精品解析：广东揭阳市三校2025-2026学年高三下学期开学综合训练数学试题

2026年2月高三级综合训练 数学 一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．请把正确选项在答题卡中的相应位置涂黑． 1. 命题：的否定是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】对全称量词命题进行否定时，只需将全称量词改为存在量词，并否定原命题的结论即可. 【详解】全称量词要改为存在量词，结论要否定为，条件保持不变； 所以命题的否定是. 故选：C 2. 在二项式的展开式中，第5项和第9项的系数相等，则（ ） A. 14 B. 13 C. 12 D. 11 【答案】C 【解析】 【分析】写出展开式的通项，依题意，即可求出. 【详解】二项式展开式的通项为（且）， 依题意可得，则. 故选：C. 3. 已知p，q为实数，是关于x的方程的一个根，则的值为（ ） A. 14 B. －14 C. 38 D. －38 【答案】C 【解析】 【分析】把根代入方程，利用复数相等可求答案. 【详解】由题意，即， ，解得，所以. 故选：C 4. 已知是各项为正数的等比数列，，且与的等差中项为4，则等于（ ） A. 2 B. C. 4 D. 8 【答案】D 【解析】 【分析】利用等比中项的性质可根据求得，再根据等差中项的性质得到，结合，解得公比，进而可求得. 【详解】由题可知，，得，解得或（舍去）. 设等比数列的公比为，则由，可得， 整理得，得或（舍去）， 则. 故选：D. 5. 已知点是圆外一点，过P作圆C的两条切线，切于A，B两点，则切线长（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用切线长公式计算. 【详解】由题意知，，半径， 则. 故选：A 6. 有很多立体图形都体现了数学的对称美，其中半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体．半正多面体因其最早由阿基米德研究发现，故也被称作阿基米德体．某公园中设置的供市民休息的石凳如图所示，它是一个棱数为24的半正多面体，且所有顶点都在同一个正方体的表面上，它也可以看成是由一个正方体截去八个一样的四面体所得的，若被截正方体的棱长为，则该石凳的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由已知得到石凳的各条棱都相等，并求得棱的长度，然后分别计算6个正方形面的和，8个等边三角形面的面积的和，然后求和即得. 【详解】由图形可得该多面体的棱长为，则6个正方形的面积之和为，8个等边三角形的面积之和为，所以该石凳的表面积为． 故选：. 7. 如图所示，等边内有3个全等的小三角形，且，，则的面积为（ ） A. 7 B. C. 14 D. 【答案】B 【解析】 【分析】设，在中，分别利用正弦定理和余弦定理，求得边长，再利用三角形面积公式求解. 【详解】在中，， 又，则为锐角， ，设， 在中，由正弦定理得， 由余弦定理得， 或（舍）， 所以， 所以， 故选：B 8. 设，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】方法一：设，可知为负数，分别表示，和，根据选项，构造和，并比较大小，即可判断与的大小关系；同理，构造和，可判定与的大小关系，即可得到结果； 方法二：设，分别利用表示，并结合选项构造，则可构造函数，结合函数在上的单调性，可判断的大小关系，整理后即可得到结果. 【详解】方法一：设， 则，，，且为负数， 所以,由得. 同理，，由得， 所以． 方法二：设，则，，， 所以，，． 设，则， 当时，，所以在上单调递增， 因为，且， 即． 又，所以． 故选：A 二、多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分．请把正确选项在答题卡中的相应位置涂黑． 9. 已知 为两条不同的直线，两个不同的平面，且，则（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】AC 【解析】 【分析】A由面面垂直的判定定理即可判断，BCD由线面之间的关系即可判断， 【详解】对于A，由面面垂直的判定定理即可判断，故A正确； 对于B，若，可得直线与直线可能平行、相交、异面，故B错误； 对于C，若，又则，故C正确； 对于D，若，则或，故D错误； 故选：AC. 10. 下列说法正确的有（ ） A. 这组数据的第百分位数是 B. 若一组数据，，…，的方差为，则，，…，的方差为1 C. 若变量服从二项分布，则 D. 若变量服从正态分布，，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据百分位数的概念计算可得选项A正确；根据方差的性质可得选项B错误；利用二项分布均值计算公式可得选项C正确；根据正态分布的对称性可得选项D正确. 【详解】A.将数据从小到大排序为，共个数据. ∵，∴这组数据的第百分位数是，选项A正确. B. 若一组数据，，…，的方差为，则，，…，的方差为，选项B错误. C. 若变量服从二项分布，则，选项C正确. D.∵变量服从正态分布，∴正态密度曲线关于直线对称， ∴，， ∴，选项D正确. 故选：ACD. 11. 纯音的数学模型是函数，但我们平时听到的乐音不止是一个音在响，而是许多个音的结合，称为复合音.复合音的产生是因为发声体在全段振动，产生频率为的基音的同时，其各部分，如二分之一､三分之一､四分之一部分也在振动，产生的频率恰好是全段振动频率的倍数，如等.这些音叫谐音，因为其振幅较小，我们一般不易单独听出来，所以我们听到的声音函数是.记，则下列结论中正确的是（ ） A. 为的一条对称轴 B. 的最小正周期为 C. 的最大值为 D. 关于点中心对称 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据可判断选项A；根据可判断选项B；利用导数研究函数的最值的方法及三角恒等变换即可判断选项C；根据可判断选项D. 【详解】因为， ， 所以， 则不为的一条对称轴，故选项A不正确； 因为， 所以， 则的周期为，而的最小正周期为，故的最小正周期为， 故选项B正确； 因为 所以 又因为 所以的周期为. 故只考虑函数在上的最大值即可. 令，得：或或或； 令，得：或者或； 所以函数在，，和上单调递增；在，和上单调递减. 又因为，，， 所以的最大值为，故选项C正确； 因为， 所以， 则关于点中心对称，故选项D正确. 故选：BCD 三、填空题：共3小题，每小题5分，共15分．请把答案填在答题卡的相应位置上． 12. 若直线与双曲线只有一个公共点，则的一个取值为 ________． 【答案】（或，答案不唯一） 【解析】 【分析】联立直线方程与双曲线方程，根据交点个数与方程根的情况列式即可求解. 【详解】联立，化简并整理得：， 由题意得或， 解得或无解，即，经检验，符合题意. 故答案为：（或，答案不唯一）. 13. 已知角的顶点与原点重合，始边与轴的正半轴重合，将角的终边绕原点逆时针旋转后与单位圆交于点，则________. 【答案】 【解析】 【分析】 利用三角函数的定义可解出，然后余弦的二倍角公式求解. 【详解】由题意可知：,则 ， 又，所以 . 故答案为：. 【点睛】本题考查任意角三角函数的定义，考查诱导公式、二倍角公式的运用，较简单. 14. 1202年，意大利数学家斐波那契（Leonardo Fibonacci，约1170-约1250）以兔子繁殖问题，引入“兔子数列”：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，⋯，即，．人们在自然界中发现了许多斐波那契数列的例子．斐波那契数列在现代物理“准晶体结构”、化学等领域也有着广泛的应用．若此数列被2除后的余数构成一个新数列，则数列的前2025项的和为________． 【答案】1350 【解析】 【分析】由题意可得出新数列，判断出周期性，即可求得答案. 【详解】由题意知数列：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，⋯， 被2除后的余数构成一个新数列：1，1，0，1，1，0，1，1，0，1，1，0，⋯， 即数列是以3为周期的数列，一个周期内的三项和为2， 因为，故数列的前2025项的和为， 故答案为：1350 四、解答题：共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 某校组织本校2000名学生进行针对性检测（检测分为初试和复试），并随机抽取了100名学生的初试成绩，绘制了频率分布直方图，如图所示． （1）根据频率分布直方图，求样本平均数的估计值；（同一组数据用该区间的中点值作代表） （2）若所有学生的初试成绩X近似服从正态分布，其中为样本平均数的估计值，，初试成绩不低于90分的学生才能参加复试，试估计能参加复试的人数、（四舍五入精确到整数）． 附：若随机变量X服从正态分布，则， ，． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据平均数的求法计算即可； （2）根据原则以及正态分布的对称性计算. 【小问1详解】 设样本平均数的估计值为， 则. 所以，样本平均数的估计值为62. 【小问2详解】 由（1）可知，样本平均数的估计值， 所以， 则 所以，估计能参加复试的人数为 16. 已知函数,. （1）求函数的单调递增区间； （2）在中,角、、的对边分别是、、,且满足,若方程恰有两个不同的解,求实数的取值范围. 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】（1）先将函数解析式化简整理，得到，根据求解，即可得出结果； （2）先由题意，根据正弦定理，得到，求出，令，画出在的大致图像，将方程恰有两个不同的解，转化为与有两不同交点，结合函数图像，即可得出结果. 【详解】（1）因为 ， 由得， 所以函数的单调递增区间为； （2）因为，所以， 即，所以， 故，所以，因此， 所以，令，则， 作出函数在的大致图像如下， 因为方程恰有两个不同的解，则与有两不同交点， 即与有两不同交点， 由图像可得，只需，即. 【点睛】本题主要考查求正弦型三角函数的单调区间，以及根据方程根的个数求参数的问题，熟记辅助角公式，正弦函数的单调区间，正弦定理等，灵活运用数形结合的方法求解即可，属于常考题型. 17. 如图，在三棱锥中，，，， （1）求，并说明异面直线与所成角的大小在棱长度增大时是怎样变化的． （2）判断点在平面上的射影是否可能在直线上？说出你的结论并加以证明． 【答案】（1）随长度增大，也增大 （2）不可能,证明见解析. 【解析】 【分析】（1）将 转化为计算即可，再根据向量数量积与余弦函数的单调性可知随长度增大，也增大． （2）应用反证法，假设点在平面上的射影在上，则有，得出矛盾故得证． 【小问1详解】 异面直线与所成角为,, , , 因为,在上单调递减,所以随长度增大, 减少,故增大. 【小问2详解】 不可能． 证明：假设点在平面上的射影在上， 则平面平面,平面平面,平面,平面,则有, 从而有 ，这与矛盾， 所以点在平面上的射影不可能在上． 18. 已知函数． （1）当时，求的极值； （2）若在上恒成立，求实数的取值范围； （3）证明：，． 【答案】（1）极大值1，无极小值 （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）利用导函数判断其单调性即可； （2）将问题转化为在上恒成立，构造，再分类讨论研究其单调性即可； （3）由（2）知，当时，在上恒成立，令，则有，再写出个式子，将其相加化简即可. 【小问1详解】 当时，，定义域为，则， 当时，；当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 因此，当时有极大值；无极小值． 【小问2详解】 若在上恒成立， 即在上恒成立， 设，则，， ①当时，有，此时函数在上单调递增， 有，不符合题意； ②当时，， 令，解得， 若，则，此时， 函数在上单调递减，则恒有，符合题意； 若，则，则，得；，得， 从而可知，函数在上单调递增，在上单调递减． 注意到当时，，此与相矛盾，不符合题意． 综上，实数的取值范围为． 【小问3详解】 由（2）知，当时，在上恒成立， 令，则有， 所以，，，， 将上面式子相加，可得， 即是， 故，． 19. 用一个平面截圆锥，若圆锥的轴与该平面所成角大于圆锥轴截面的半顶角时，所得截口曲线是椭圆.在直角三角形中，，，，点在线段上，为的平分线，直线与平面垂直，垂足为.点，，记点的轨迹为曲线. （1）说明：曲线为椭圆； （2）建立适当坐标系，求曲线的方程； （3）当四面体体积最大时，求平面与平面夹角的大小. 【答案】（1）说明见解析. （2）坐标系见解析，椭圆方程为（依赖于坐标系）. （3） 【解析】 【分析】（1）可将“  的点”视作以  为顶点、  为轴的圆锥面上的点，然后根据题意判定即可； （2）建立坐标系，利用空间向量运算求解； （3）法一：利用坐标系中坐标运算求解；法二：利用面面角的定义，使用线面垂直的判定定理，采用几何方法求解. 【小问1详解】 曲线 W 是椭圆的几何理由： 可将“  的点”视作以  为顶点、  为轴的圆锥面上的点， 圆锥轴截面的半顶角为 ， 点，点的轨迹为此圆锥面与平面的交线. 因为已知直线与平面垂直，垂足为，，所以， 因为在直角三角形中，，，点在线段上，为的平分线， 所以与平面所成的角为，， 若圆锥的轴与平面所成角（）大于圆锥轴截面的半顶角（）， 按圆锥曲线的判定规律可知该截线必为椭圆. 【小问2详解】 可取空间直角坐标系：令  为原点 ，令平面为平面， 由于 平面，可令 过点 平行于的直线为  轴， 又知  中，，， 因为点  在  上且 平分  ， 由角分线定理得， 则，. 设平面  内任意点 坐标为. 向量，. 由  可用向量夹角公式， 所以， 化简可得，所以曲线的方程为； 【小问3详解】 四面体  的底面可取三角形 (其平面即)， 面积为.  若 在上一步所求椭圆上，则其到平面的距离即. 四面体体积， 要使  最大，需在椭圆上使 取最大值. 下面用两种方法计算求解. 法一：由椭圆方程可知，当时，最大，此时，  取上顶点  . 取平面  的一个法向量为，  由 与 可求出 与 ， 平面  的法向量， 由，得，令，则， 所以平面 的一个法向量为， 设平面与平面夹角为， 则， 所以平面与平面夹角的大小为 30°. 综上，当四面体体积最大时，平面  与平面 α 的夹角为 30°. 法二：由上可知，又因为，所以， 因为平面，， 所以平面， 因为平面， 所以， 由，平面平面， 所以即为平面与平面夹角，即平面与平面的夹角为 30°. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年2月高三级综合训练 数学 一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．请把正确选项在答题卡中的相应位置涂黑． 1. 命题：的否定是（ ） A. B. C. D. 2. 在二项式的展开式中，第5项和第9项的系数相等，则（ ） A. 14 B. 13 C. 12 D. 11 3. 已知p，q为实数，是关于x的方程的一个根，则的值为（ ） A. 14 B. －14 C. 38 D. －38 4. 已知是各项为正数的等比数列，，且与的等差中项为4，则等于（ ） A. 2 B. C. 4 D. 8 5. 已知点是圆外一点，过P作圆C的两条切线，切于A，B两点，则切线长（ ） A. B. C. D. 6. 有很多立体图形都体现了数学的对称美，其中半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体．半正多面体因其最早由阿基米德研究发现，故也被称作阿基米德体．某公园中设置的供市民休息的石凳如图所示，它是一个棱数为24的半正多面体，且所有顶点都在同一个正方体的表面上，它也可以看成是由一个正方体截去八个一样的四面体所得的，若被截正方体的棱长为，则该石凳的表面积为（ ） A. B. C. D. 7. 如图所示，等边内有3个全等的小三角形，且，，则的面积为（ ） A. 7 B. C. 14 D. 8. 设，则（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分．请把正确选项在答题卡中的相应位置涂黑． 9. 已知 为两条不同的直线，两个不同的平面，且，则（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 10. 下列说法正确的有（ ） A. 这组数据的第百分位数是 B. 若一组数据，，…，的方差为，则，，…，的方差为1 C. 若变量服从二项分布，则 D. 若变量服从正态分布，，则 11. 纯音的数学模型是函数，但我们平时听到的乐音不止是一个音在响，而是许多个音的结合，称为复合音.复合音的产生是因为发声体在全段振动，产生频率为的基音的同时，其各部分，如二分之一､三分之一､四分之一部分也在振动，产生的频率恰好是全段振动频率的倍数，如等.这些音叫谐音，因为其振幅较小，我们一般不易单独听出来，所以我们听到的声音函数是.记，则下列结论中正确的是（ ） A. 为的一条对称轴 B. 的最小正周期为 C. 的最大值为 D. 关于点中心对称 三、填空题：共3小题，每小题5分，共15分．请把答案填在答题卡的相应位置上． 12. 若直线与双曲线只有一个公共点，则的一个取值为 ________． 13. 已知角的顶点与原点重合，始边与轴的正半轴重合，将角的终边绕原点逆时针旋转后与单位圆交于点，则________. 14. 1202年，意大利数学家斐波那契（Leonardo Fibonacci，约1170-约1250）以兔子繁殖问题，引入“兔子数列”：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，⋯，即，．人们在自然界中发现了许多斐波那契数列的例子．斐波那契数列在现代物理“准晶体结构”、化学等领域也有着广泛的应用．若此数列被2除后的余数构成一个新数列，则数列的前2025项的和为________． 四、解答题：共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 某校组织本校2000名学生进行针对性检测（检测分为初试和复试），并随机抽取了100名学生的初试成绩，绘制了频率分布直方图，如图所示． （1）根据频率分布直方图，求样本平均数的估计值；（同一组数据用该区间的中点值作代表） （2）若所有学生的初试成绩X近似服从正态分布，其中为样本平均数的估计值，，初试成绩不低于90分的学生才能参加复试，试估计能参加复试的人数、（四舍五入精确到整数）． 附：若随机变量X服从正态分布，则， ，． 16. 已知函数,. （1）求函数的单调递增区间； （2）在中,角、、的对边分别是、、,且满足,若方程恰有两个不同的解,求实数的取值范围. 17. 如图，在三棱锥中，，，， （1）求，并说明异面直线与所成角的大小在棱长度增大时是怎样变化的． （2）判断点在平面上的射影是否可能在直线上？说出你的结论并加以证明． 18. 已知函数． （1）当时，求的极值； （2）若在上恒成立，求实数的取值范围； （3）证明：，． 19. 用一个平面截圆锥，若圆锥的轴与该平面所成角大于圆锥轴截面的半顶角时，所得截口曲线是椭圆.在直角三角形中，，，，点在线段上，为的平分线，直线与平面垂直，垂足为.点，，记点的轨迹为曲线. （1）说明：曲线为椭圆； （2）建立适当坐标系，求曲线的方程； （3）当四面体体积最大时，求平面与平面夹角的大小. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $