广东深圳市罗湖外语学校2025-2026学年高三下学期第四次月考数学试卷

**基本信息** 2025-2026学年高三下学期第四次月考数学试卷，聚焦数学思维与应用能力，通过复数运算、立体几何、导数应用等题型，考查抽象能力、推理意识与数据观念，适配高三复习阶段综合评估需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|8/40|复数模、集合运算、二项式系数|基础概念与运算结合，如第3题考查三项式展开系数| |多选|3/18|三角函数性质、统计回归、正方体几何|选项分层设计，如第11题融合线面角与外接球体积| |填空|3/15|切线斜率、等比数列小数部分、圆中角最值|创新情境，如第13题结合小数部分求和| |解答|5/77|解三角形、导数极值与切线、抛物线轨迹、立体几何夹角、概率期望|梯度分明，如第19题概率证明体现逻辑推理，第16题导数综合考查运算与应用|

2025-2026学年高三下学期数第四次月考数学试卷 注意事项： 1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚. 2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.在试题卷上作答无效. 3.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.满分150分，考试用时120分钟. 一．单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．设i为虚数单位，复数z满足|z|＝1+zi，则z＝（　　） A． B． C． D． 2．设集合A＝{x||x|＞2}，B＝{x|1＜2x+1＜128}，则A∪B＝（　　） A．（2，6） B．（﹣∞，﹣2）∪（﹣1，+∞） C．（﹣∞，+∞） D．（﹣∞，﹣2）∪（6，+∞） 3．在（x2+3x+y）5的展开式中，x5y2的系数为（　　） A．90 B．60 C．30 D．20 4．设x∈R，则“（x﹣1）（x+2）≥0”是“|x﹣2|＜1”的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5．在平行四边形ABCD中，，则（　　） A． B． C． D． 6．已知a，b，c是空间中的三条直线，下列说法中错误的是（　　） A．若a∥b，b∥c，则a∥c B．若a与b垂直，b与c垂直，则a与c可能相交、平行或异面 C．若a，b分别在两个相交平面内，则这两条直线可能平行、相交或异面 D．若a与c相交，b与c异面，则a与b异面 7．已知双曲线的左、右焦点分别为F1，F2，过F1作倾斜角为的直线l，l与C的右支交于点P，与y轴交于点Q，若|QF1|＝|PF2|，则C的离心率为（　　） A． B． C．2 D． 8．函数，若对任意x∈[﹣2，2]，都有f（x+a）+f（1﹣x2）＞2，则a的取值范围是（　　） A． B．（5，+∞） C． D．（﹣∞，5） 二．多项选择题（本大题共3个小题，每小题6分，共18分.在每个小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9．已知函数，则下列结论正确的是（　　） A．函数f（x）图象关于直线对称 B．函数f（x）的最小正周期为π C．函数f（x）图象可看作是把函数y＝2cos2x的图象向左平移个单位而得到 D．函数f（x）在区间的最大值为2 10．某企业根据市场调研得到研发投入x（亿元）与产品收益y（亿元）的数据如表，则下列叙述正确的是（　　） x 1 2 3 4 5 6 7 y 2 3 5 7 8 8 9 A． B．变量x和y正相关 C．用最小二乘法求得y关于x的经验回归方程为 D．变量x每增加一个单位，y值一定增加个单位 11．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F分别为BC，CC1的中点，则下列结论正确的是（　　） A．直线A1B与EF所成的角的大小为60° B．直线AD1∥平面DEF C．平面DEF⊥平面BCC1B1 D．四面体D﹣EFC外接球的体积与正方体ABCD﹣A1B1C1D1的体积之比为 三．填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12．曲线在x＝1处的切线斜率为　 　 ． 13．已知正项等比数列{an}中，a3＝3a1a2，，用{x}表示实数x的小数部分，如{1.5}＝0.5，{2.4}＝0.4，记bn＝{an}，则数列{bn}的前15项的和S15为　 　 ． 14．若点M是圆E：x2+y2﹣4y＝0上的任一点，直线l：y＝x﹣2与x轴，y轴分别相交于A，B两点，则∠MBA最小值为　 　 ． 四．解答题（共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15．（13分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a2＝b2+c2﹣bc． （1）求角A的大小； （2）若b+c＝4，△ABC的面积为，求a的值． 16．（15分）已知函数． （1）求f（x）的极值； （2）若对任意x1，x2∈[﹣3，3]，都有|f（x1）﹣f（x2）|≤M恒成立，求实数M的最小值； （3）若过点的直线l与曲线y＝f（x）相切，求l的方程． 17．（15分）已知F为抛物线Γ：y2＝2px（p＞1）的焦点，M（x0，y0）为Γ在第一象限上的动点，当y0＝1时，|MF|，设Γ的准线与x轴交于点F′，MF与Γ交于点N，，，MO与FP交于点G1，NO与FQ交于点G2． （1）求Γ的方程； （2）求G1的轨迹方程； （3）若，求y0的取值范围． 18．（17分）如图所示，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为等腰梯形，其中AB＝AD＝CD＝1，BC＝PC＝2，CD⊥PB． （1）求PD的长； （2）若PB＝3， ①求平面PAB与平面PCD夹角的余弦值； ②空间中一动点Q满足，求的最小值． 19．（17分）某商场举行抽奖活动，箱子里装有标号为1到n的n张奖券，不同的奖券标号对应不同的奖品，标号越大，奖品越丰厚．规则如下：顾客从中有放回地抽取奖券r次，每次抽取一张奖券，抽取结果中标号最大的奖券对应的奖品即为最终奖品，设最终获得的奖品对应的奖券标号为X． （1）当n＝3，r＝2时，求最终拿到标号为3的奖券的概率和拿到标号为2的奖券的概率． （2）若n＝4，r＝m． ①求最终拿到标号不大于k（1≤k≤4）的奖券的概率； ②求随机变量X的期望E（X）（用m表示）． （3）当r＝n时，证明：． 参考答案 一．选择题 1．B． 2．B． 3．A． 4．B． 5．D． 6．D． 7．B． 8．B． 二．多选题 9．ABD． 10．ABC． 11．ABD． 三．填空题 12．﹣1． 13．5． 14．． 四．解答题 15．解：（1）由a2＝b2+c2﹣bc， 由余弦定理可得a2＝b2+c2﹣2bccosA， 可得cosA， 在△ABC中，A∈（0，π）， 故； （2）由， 解得bc＝2， 又bc＝b2+c2﹣a2，可得bc＝（b+c）2﹣2bc﹣a2， 故a2＝（b+c）2﹣3bc＝16﹣6＝10， 故． 16．解：（1）由题意得：f′（x）＝x2﹣x﹣2＝（x﹣2）（x+1），令f′（x）＝0，解得x＝2或﹣1， 由f′（x）＞0有：x＞2或x＜﹣1，由f′（x）＜0有：﹣1＜x＜2， 所以f（x）在（﹣1，2）单调递减，在（﹣∞，﹣1），（2，+∞）单调递增， 所以f（x）的极大值为， f（x）的极小值为． （2）由已知有：对任意x1，x2∈[﹣3，3]，都有|f（x1）﹣f（x2）|≤M恒成立， 由（1）有f（x）在（﹣3，﹣1），（2，3）单调递增，在（﹣1，2）单调递减， 又， 所以， 所以， 所以实数M的最小值为． （3）设切点为（x0，f（x0））， 所以，， 所以切线方程l为：y﹣f（x0）＝f′（x0）（x﹣x0）， 所以， 又切线l过点， 所以， 化简整理有：，即，解得x0＝1， 所以直线l的方程为：， 所以直线l的方程为：． 17．解：（1）由，可得，所以， 由抛物线的准线方程为， 所以． 解得p＝2（其中舍去）， 所以T的方程为y2＝4x． （2）由题意，知． 设，则． 因为P，G1，F三点共线，所以，即． 设G1（x，y），由，得x0＝5x，y0＝5y， 所以， 即， 所以G1的轨迹方程； （3）因为，所以， 因为， 所以，同理， 设S△MFF＝S1，S△NFF′＝S2， 则， ， 所以， 解得， 又M（x0，y0），设N（x1，y1）， 有， 于是， 解得， 即y0的取值范围是． 18．解：（1）如图： ， 在等腰梯形ABCD中，过点A作AE⊥BC于E，过点D作DF⊥BC于F， 因为AB＝AD＝CD＝1，BC＝2，则，所以∠DCF＝60°， 连接BD， 在三角形BCD中，由余弦定理得BD2＝4+1﹣2×2×1cos60°＝3， 所以，又BC＝2，CD＝1，所以BD2+CD2＝BC2， 所以BD⊥CD，又CD⊥PB，BD∩PB＝B，且BD，PB⊂平面PBD， 所以CD⊥平面PBD，又PD⊂平面PBD， CD⊥PD， 因为PC＝2， 所以． （2）①在三角形BDP中， 由余弦定理得， 所以∠BDP＝120°，由于CD⊥平面PBD， 所以以D为坐标原点，分别以，向量的方向为x，y轴的正方向， 过点D作垂直于DC的直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，C（0，1，0），D（0，0，0），， 设平面PAB的一个法向量为， ，， 则，则， 所以， 令x＝1，则，， 所以， 设平面PCD的一个法向量为， ，， 则，则， 所以， 令，则c＝1，b＝0， 所以， 设平面PAB与平面PCD的夹角为θ， 则． ②因为点Q满足， 所以设点Q在PB的垂直平分面α上， 则为平面α的法向量， 则的最小值为点A到平面α的距离， PB的中点为，， 所以点A到平面α的距离为， 所以的最小值为． 19．解：（1）顾客从中有放回地抽取奖券r次，每次抽取一张奖券，抽取结果中标号最大的奖券对应的奖品即为最终奖品， 设最终获得的奖品对应的奖券标号为X．X＝k表示最大标号为k， 等价于所有抽取结果都不超过k，且至少有一次等于k， 则P（X＝3）＝1﹣P（两次都不超过2， P（X＝2）＝P（两次都不超过2）﹣P（两次都不超过1， ∴最终拿到标号为3的奖券的概率和拿到标号为2的奖券的概率为． （2）①最终标号不大于k等价于m次抽取的所有结果都不大于k，每次抽到不大于k的概率为， ∴． ②， 随机变量X的期望得： ． （3）证明：， 则随机变量X的期望为： ． 设f（x）＝xn+（1﹣x）n，x∈（0，1），f′（x）＝n[xn﹣1﹣（1﹣x）n﹣1]， 当n＝1时，P（X＝1）＝1，E（X）＝1×1＝1，等号成立； 当n≥2时，当时，f′（x）＜0，f（x）单调递减； 当时，f′（x）＞0，f（x）单调递增， ． 设， ∵， ∴，∴． 综上，． 学科网（北京）股份有限公司 $