高一数学下学期第三次月考卷（沪教版必修第二册第6章～第8章，高效培优）

2025-2026学年高一数学下学期第三次月考卷 参考答案 一、填空题（本大题共12题，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分，共54分.） 1．2 2．6 3． 4． 5． 1 6． 7． 8． 9． 10． 28 11． 12． 二、选择题（本大题共4题，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分，共18分.） 1 2 3 4 A C D B 三、解答题（本大题共5题，第17-19题每题14分，第20-21题每题18分，共78分.） 17．（14分） 【解析】（1）依题意，化简得且， 解得．（5分） （2）由（1）可知，所以，（8分） 所以（11分） .（14分） 18．（14分） 【解析】（1）解：在中，因为，且， 由余弦定理得，即， 整理得，因为，所以，则，（4分） 所以的面积为.（6分） （2）解：因为，由正弦定理得， 又因为，可得，所以，则， 因为为锐角，可得，，（10分） 因为，可得， 所以，则（12分） 所以得周长为.（14分） 19．（14分） 【解析】（1）因为， 所以，（2分） 在区间上取，可得下表： 据此可作出函数在上的大致图象如下： （4分） （2）当时，即，时， 有最大值，（7分） 当时，即，时， 有最小值.（9分） （3）当时，， 所以，（12分） 所以.（14分） 20．（18分） 【解析】（1）解：因为在边上的射影满足， 所以在上的投影向量为，且， 所以 所以，当时，（4分） （2）解：因为点满足， 所以， 因为是中点，所以， 所以，（6分） 因为， 所以，即，解得（负舍） 所以（9分） （3）解：结合（2）知，因为点在直线上， 设，则， 因为， 所以，即， 代入整理得，即（11分） 因为的中点为， 所以， 所以 因为，，在边上的射影满足， 所以，且 因为点满足 所以点到的距离为，即中边上的高为 所以面积为（14分） 记，令，则， 所以，（16分） 当且仅当，即时等号成立，即时等号成立， 所以面积为，即面积的最小值为，此时. （18分） 21．（18分） 【解析】（1）因为图象的相邻两个最高点间的距离为， 所以，解得， 所以， 令，解得， 所以函数的所有零点可以表示为；（4分） （2）因为，所以， 因为，所以，解得， 因为，所以，（7分） 由余弦定理可得， 所以；（9分） （3）将函数的图象向左平移单位可得， 再将横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数的图象，即， 当时，，故，（13分） 所以当时，函数有最大值为， 当时，函数有最小值为，（15分） 若对任意，都有， 则，即， 所以的取值范围为.（18分） 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高一数学下学期第三次月考卷 考试版 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：沪教版必修第二册第6~8章三角、三角函数、平面向量。 一、填空题（本大题共12题，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分，共54分.） 1．已知向量、满足，，则______. 2．已知，则___________． 3．已知，则__________. 4．在中，已知且，则的大小为__________. 5．已知函数的部分图象如下图所示，则______. 6．如图所示，平行四边形的对角线相交于点，为的中点若，则=__________ 7．已知向量，，且，则在方向上的数量投影的取值范围为___________ 8．如图所示，在坡度一定的山坡处测得山顶上一建筑物的顶端对于山坡的斜度为，向山顶前进100米到达处，又测得对于山坡的斜度为，若米，山坡对于地平面的坡度为，则__________（精确到） 9．若关于的方程在上有解，则的取值范围是________. 10．在等腰直角中，为斜边的中点，点在边上，，则的最小值为______. 11．已知函数，若，且函数在区间上恰有一个最大值点，无最小值点，则的值为______． 12．已知实数，且满足，则a，b，c的由小到大关系为________. 二、选择题（本大题共4题，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分，共18分.每题有且仅有一个正确选项.） 13．设，下列向量不能与构成平面向量一组基的是（   ） A． B． C． D． 14．若是第一象限角，则下列不等式正确的是（    ） A． B． C． D． 15．下列说法中正确的个数是（ ） ①在锐角中，不等式恒成立 ②已知函数（，为常数，，）在处取得最小值，则函数的图像关于点对称 ③若为斜三角形，则成立 A． B． C． D． 16．如图，在中，点是的中点，过点的直线分别交直线，于不同的两点，，若 则 的最小值为（    ）    A．2 B．9 C．10 D．18 三、解答题（本大题共5题，第17-19题每题14分，第20-21题每题18分，共78分.） 17．（14分） 已知是角终边上一点，且． (1)求实数的值； (2)若．求． 18．（14分） 已知在中，、、所对边分别为、、，且，. (1)若，求的面积； (2)若且为锐角，求的周长. 19．（14分） 已知函数． (1)求函数的最小正周期，并用五点法作出它在一个周期内的大致图象； (2)求函数的最大值、最小值及相应的的值； (3)若，求函数的取值范围． 20．（18分） 已知平面上的，是锐角，，，在边上的射影满足，点满足，点在直线上，使得. (1)若，求； (2)若是中点，求的值； (3)记的中点为，求面积的最小值. 21．（18分） 已知函数，且图象的相邻两个最高点间的距离为. (1)求函数的所有零点； (2)在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若，，，求边的长； (3)设，将函数的图象向左平移单位，再将横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数的图象，若对任意，都有，求的取值范围. 1 / 5 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高一数学下学期第三次月考卷 全解全析 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：沪教版必修第二册第6~8章三角、三角函数、平面向量。 一、填空题（本大题共12题，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分，共54分.） 1．已知向量、满足，，则______. 【答案】2 【详解】已知向量、满足，， 则，进而. 2．已知，则___________． 【答案】 【详解】由诱导公式可得：，， ，， 原式可化简为：， 分子分母同除以得：，代入， 得： 3．已知，则__________. 【答案】 【详解】. 4．在中，已知且，则的大小为__________. 【答案】 【分析】根据题意，利用正弦定理和两角差的正弦公式，化简得到，得到，结合三角形的内角和定理，即可求解. 【详解】在中，因为， 由正弦定理，可得， 即， 因为为三角形的内角，可得，即， 又因为，所以，则 5．已知函数的部分图象如下图所示，则______. 【答案】1 【分析】根据图象先求出，进而代值求解即可. 【详解】由图可知，，， 则，即， 因为点附近函数单调递减， 则将点代入函数解析式，得， 即，又，则， 所以，则. 6．如图所示，平行四边形的对角线相交于点，为的中点若，则=__________ 【答案】 【详解】在平行四边形中，，对角线交点是中点， 因此， 因为是的中点，所以， ， ，得，，因此. 7．已知向量，，且，则在方向上的数量投影的取值范围为___________ 【答案】 【分析】代入数量投影公式，转化为三角函数值域问题求解. 【详解】在方向上的数量投影为， ，，. 8．如图所示，在坡度一定的山坡处测得山顶上一建筑物的顶端对于山坡的斜度为，向山顶前进100米到达处，又测得对于山坡的斜度为，若米，山坡对于地平面的坡度为，则__________（精确到） 【答案】 【详解】，， 在中，，所以， 在中，，所以， 所以， 所以 9．若关于的方程在上有解，则的取值范围是________. 【答案】 【分析】分离参数，结合三角换元得到二次函数，求得值域即可求解. 【详解】利用同角三角函数关系 ， 代入原方程得： ， 整理得 在上有解， 因为在 单调递增，在 单调递减， 令可得， 即在有解， 又 ，二次函数开口向上，对称轴为 ， 可得， 故的取值范围是. 10．在等腰直角中，为斜边的中点，点在边上，，则的最小值为______. 【答案】28 【分析】建立直角坐标系，根据向量数量积及二次函数性质求解即可. 【详解】 以为坐标原点，，所在直线分别为轴，建立平面直角坐标系，如图所示： 则. 则. 所以. 当时，取得最小值28. 11．已知函数，若，且函数在区间上恰有一个最大值点，无最小值点，则的值为______． 【答案】 【分析】根据得，又根据函数在区间上恰有一个最大值点，无最小值点，进而得的范围，最后验证即可求解. 【详解】由题意得： ，所以，解得， 又，所以， 又函数在区间上恰有一个最大值点，无最小值点， 由 ，所以， 当时，， 所以，所以在区间上无最大值点，不满足题意； 当时，， 所以，所以在区间上恰有一个最大值点，无最小值点，满足题意， 当时，，所以， 所以在区间上无最大值点，有最小值点，不满足题意， 当时，，所以， 所以在区间上有最大值点，有最小值点，不满足题意， 当时，在区间上有最大值点，有最小值点，不满足题意， 所以. 12．已知实数，且满足，则a，b，c的由小到大关系为________. 【答案】 【详解】由可化为： ， 作出与的图象如下： 由于，所以， 即先与相交，再与相交，可得， 又，所以，所以. 二、选择题（本大题共4题，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分，共18分.每题有且仅有一个正确选项.） 13．设，下列向量不能与构成平面向量一组基的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】对于A，，则共线，不能作为基底，符合题意； 对于B，由可得两向量不共线，则不共线，能作为基底，不符合题意； 对于C，由可得两向量不共线，则不共线，能作为基底，不符合题意； 对于D，由可得两向量不共线，则不共线，能作为基底，不符合题意.. 14．若是第一象限角，则下列不等式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由是第一象限角，可得为第一或第三象限角，结合象限角性质逐项判断即可得. 【详解】由是第一象限角，则， 则，为第一或第三象限角； 对A：若为第三象限角，则，故A错误； 对B：若为第三象限角，则，故B错误； 对C：为第一或第三象限角，则，故C正确； 对D：取，则，，， 此时，故D错误. 15．下列说法中正确的个数是（ ） ①在锐角中，不等式恒成立 ②已知函数（，为常数，，）在处取得最小值，则函数的图像关于点对称 ③若为斜三角形，则成立 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】对于①根据锐角三角形必有，再结合正弦函数的单调性判断可得；对于②先将函数写成一个角的三角函数形式，再根据在处取得最小值可得辅助角的一个值，进而可判断平移后的函数图象的对称性；对于③根据两角和的正切公式及诱导公式可得. 【详解】逐个分析三个命题，结论如下： 对于①：锐角中，​，因此，即. 又，函数在单调递增， 因此所以不等式恒成立，①正确； 对于②：将化为辅助角形式：（）。 因为在取最小值，所以，得， 不妨取，因此.则， 正弦函数的对称中心为，因此关于点对称.故②正确； 对于③：斜三角形中没有直角，所有角的正切都有意义。 由，得， 展开得： 整理得， 即，所以等式恒成立，故③正确. 三个命题都正确，正确个数为. 16．如图，在中，点是的中点，过点的直线分别交直线，于不同的两点，，若 则 的最小值为（    ）    A．2 B．9 C．10 D．18 【答案】B 【分析】根据向量共线的知识和基本不等式的性质进行求解即可. 【详解】因为是的中点，所以. 因为，所以. 由于三点共线，所以可以表示为的线性组合， 即. 所以，即. 因为，所以. 当且仅当时，即时等号成立. 由于，所以解得，此时最小值为9. 故选：B. 三、解答题（本大题共5题，第17-19题每题14分，第20-21题每题18分，共78分.） 17．（14分） 已知是角终边上一点，且． (1)求实数的值； (2)若．求． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据任意角三角函数的定义列式求解即可. （2）先根据任意角三角函数的定义求解，然后利用两角和差公式化简，代入正切值求解即可. 【详解】（1）依题意，化简得且， 解得． （2）由（1）可知，所以， 所以 . 18．（14分） 已知在中，、、所对边分别为、、，且，. (1)若，求的面积； (2)若且为锐角，求的周长. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意，由余弦定理，列出方程，求得，得到，结合面积公式，即可求解； （2）由和，结合，求得，结合正弦定理，求得的长，即可得到三角形的周长. 【详解】（1）解：在中，因为，且， 由余弦定理得，即， 整理得，因为，所以，则， 所以的面积为. （2）解：因为，由正弦定理得， 又因为，可得，所以，则， 因为为锐角，可得，， 因为，可得， 所以，则 所以得周长为. 19．（14分） 已知函数． (1)求函数的最小正周期，并用五点法作出它在一个周期内的大致图象； (2)求函数的最大值、最小值及相应的的值； (3)若，求函数的取值范围． 【答案】(1)，图象见解析 (2)当时，有最大值，当时，有最小值. (3) 【分析】（1）根据三角恒等变换化简，利用周期公式求周期，“五点法”画图象即可； （2）根据正弦型函数的最值求解； （3）利用正弦型函数在所给区间上的值域求解. 【详解】（1）因为， 所以， 在区间上取，可得下表： 据此可作出函数在上的大致图象如下： （2）当时，即，时， 有最大值， 当时，即，时， 有最小值. （3）当时，， 所以， 所以. 20．（18分） 已知平面上的，是锐角，，，在边上的射影满足，点满足，点在直线上，使得. (1)若，求； (2)若是中点，求的值； (3)记的中点为，求面积的最小值. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由题意知在上的投影向量为，再根据数量积的定义求解即可； （2）用，表示向量，，进而结合题意，利用求解即可； （3）设，用，表示向量，，再结合得，根据得，根据求得中边上的高为，最后结合基本不等式求解面积的最小值即可. 【详解】（1）解：因为在边上的射影满足， 所以在上的投影向量为，且， 所以 所以，当时， （2）解：因为点满足， 所以， 因为是中点，所以， 所以， 因为， 所以，即，解得（负舍） 所以 （3）解：结合（2）知，因为点在直线上， 设，则， 因为， 所以，即， 代入整理得，即 因为的中点为， 所以， 所以 因为，，在边上的射影满足， 所以，且 因为点满足 所以点到的距离为，即中边上的高为 所以面积为 记，令，则， 所以， 当且仅当，即时等号成立，即时等号成立， 所以面积为，即面积的最小值为，此时. 21．（18分） 已知函数，且图象的相邻两个最高点间的距离为. (1)求函数的所有零点； (2)在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若，，，求边的长； (3)设，将函数的图象向左平移单位，再将横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数的图象，若对任意，都有，求的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由题意可得，根据正弦型函数性质列式计算求解； （2）由可得，再根据三角形面积公式及余弦定理计算求解即可； （3）根据图象变换可得，若对任意，都有成立，则，结合正弦函数性质计算求解. 【详解】（1）因为图象的相邻两个最高点间的距离为， 所以，解得， 所以， 令，解得， 所以函数的所有零点可以表示为； （2）因为，所以， 因为，所以，解得， 因为，所以， 由余弦定理可得， 所以； （3）将函数的图象向左平移单位可得， 再将横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数的图象，即， 当时，，故， 所以当时，函数有最大值为， 当时，函数有最小值为， 若对任意，都有， 则，即， 所以的取值范围为. 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $