等差数列及其前n项和课件-2027届高三数学一轮复习

等差数列及其前n项和 第2项 差 同一个常数 公差 A a与b a1＋(n－1)d ak＋al＝am＋an md n2d B A ABD 180 25 B D C C AC 2 025 ABD 20 C C [知识梳理] 1．等差数列的定义 如果一个数列从 起，每一项与它的前一项的 都等于 ，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差 数列的 ，通常用字母d表示． 2．等差中项 如果三个数a，A，b组成等差数列，那么 叫做 的等差中项，由等差数列的定义知2A＝a＋b. 3．等差数列的有关公式 (1)通项公式：an＝ ； (2)前n项和公式：Sn＝ ＝ ． na1＋d 4．已知数列{an}是等差数列，Sn是其前n项和 (1)等差数列{an}的通项公式的推广：an＝am＋(n－m)d(n，m∈N*). (2)若{an}为等差数列，且k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)， 则 ． (3)若{an}是等差数列，公差为d，则{a2n}也是等差数列，公差为2d. (4)若{an}，{bn}是等差数列，则{pan＋qbn}也是等差数列． (5)若{an}是等差数列，公差为d，则ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N*)是公差为 的等差数列． (6)Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…也是等差数列，公差为 ． (7)若{an}是等差数列，则也是等差数列，其首项与{an}的首项相同，公差是{an}公差的. 5．关于等差数列奇数项和与偶数项和的性质 (1)若项数为偶数2n，则S2n＝n(a1＋a2n)＝n(an＋an＋1)；S偶－S奇＝nd；＝. (2)若项数为奇数2n－1，则S2n－1＝(2n－1)an；S奇－S偶＝an；＝. 6．两个等差数列{an}，{bn}的前n项和Sn，Tn之间的关系为＝. [热身训练] 1．若{an}为等差数列，且a7－2a4＝－1，a3＝0，则公差d等于( ). A．－2　　　 B．－ C．　　　 D．2 2．在数列{an}中，若a1＝1，a2＝，＝＋(n∈N*)，则该数列的通项公式为( ). A．an＝　　　 B．an＝ C．an＝　　　 D．an＝ 3．(多选)若{an}是等差数列，d是其公差，Sn是数列{an}的前n项和，且S5<S6，S6＝S7>S8，则下列结论正确的有( ). A．d<0 B．a7＝0 C．S9>S5 D．S6与S7均为Sn的最大值 4．在等差数列{an}中，若a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝450，则a2＋a8＝ ． 5．记Sn为等差数列{an}的前n项和．若a1＝－2，a2＋a6＝2，则S10＝ ． 题型1　等差数列的基本量 【例1】(1)(2025·全国Ⅱ卷)记Sn为等差数列{an}的前n项和，若S3＝6，S5＝－5，则S6＝( ). A．－20　　　 B．－15 C．－10　　　 D．－5 【解析】设等差数列{an}的公差为d，由题意得解得所以S6＝6a1＋15d＝6×5＋15×(－3)＝－15. (2)(2025·烟台模拟)记等差数列{an}的前n项和为Sn，若{an}的公差为，首项a1∈，sin a1＝sin a2，则S16等于( ). A．24π　　　 B．32π C．56π　　　 D．64π 【解析】因为等差数列{an}的公差为，所以a2＝a1＋，即sin a2＝sin ＝cos a1，又sin a1＝sin a2，所以sin a1＝cos a1，所以tan a1＝1，又a1∈，所以a1＝，所以S16＝16×＋×＝64π. (1)等差数列运算问题的一般解法是设出首项a1和公差d，然后由通项公式或前n项和公式转化为方程(组)求解． (2)等差数列的通项公式及前n项和公式，共涉及五个量a1，an，d，n，Sn，知其中三个就能求另外两个，体现了用方程思想解决问题的方法． 【变式】(1)(2025·南通模拟)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且a5＝5，a1＋S11＝46，则a3·a10是{an}中的( ). A．第28项　　　 B．第29项 C．第30项　　　 D．第32项 (2)(南通三模)设等差数列{an}的前n项和为Sn，a1≠0，a1＋a5＝3a2，则的值为 ． 【解析】由a1＋a5＝3a2，得a1＋a1＋4d＝3(a1＋d)，得a1＝d，所以＝＝. 题型2　等差数列的判定与证明 【例2】记Sn为数列{an}的前n项和． 从下面两个条件中选一个作为已知，证明：数列{an}是等差数列． ①数列是等差数列； ②Sn＝(n∈N*). 【证明】选择条件①：设数列的首项为b1，公差为p，则＝b1＋(n－1)p＝np＋b1－p，故Sn＝pn2＋(b1－p)n.当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝pn2＋(b1－p)n－p(n－1)2－(b1－p)(n－1)＝b1＋2(n－1)p；当n＝1时，a1＝S1＝b1，所以an＝b1＋2(n－1)p.又an＋1－an＝b1＋2np－b1－2(n－1)p＝2p，所以数列{an}是等差数列． 选择条件②：因为Sn＝(n∈N*)，所以2Sn＝nan＋n，所以2Sn＋1＝(n＋1)an＋1＋n＋1，两式相减可得2an＋1＝(n＋1)an＋1－nan＋1，即nan－1＝(n－1)an＋1，所以(n＋1)an＋1－1＝nan＋2，两式相减可得(n＋1)an＋1－nan＝nan＋2－(n－1)an＋1，化简可得2nan＋1＝n(an＋2＋an)，所以2an＋1＝an＋2＋an，所以数列{an}是等差数列． 方法 解读 适合题型 定义法 对于数列{an}，an－an－1(n≥2，n∈N*)为同一常数⇔{an}是等差数列 解答题中 的证明问 题　　　 等差 中项法 2an－1＝an＋an－2(n≥3，n∈N*)成立⇔{an}是等差数列 通项 公式法 an＝pn＋q(p，q为常数)对任意的正整数n都成立⇔{an}是等差数列 选择、填 空题中的 判断问题 前n项 和公 式法 验证Sn＝An2＋Bn(A，B为常数)对任意的正整数n都成立⇔{an}是等差数列 【变式】已知Sn为数列{an}的前n项和，Sn＋1＝4an＋2，a1＝1. (1)设cn＝，求证：数列{cn}是等差数列； (2)求数列{an}的通项公式． (1)【证明】在数列{an}中，Sn＋1＝4an＋2，当n≥2时，Sn＝4an－1＋2，两式相减得an＋1＝4an－4an－1，而cn＝，即an＝2ncn，则2n+1cn＋1＝4×2ncn－4×2n-1cn－1，整理得cn＋1＝2cn－cn－1，即cn＋1＋cn－1＝2cn，所以数列{cn}是等差数列． (2)【解析】由Sn＋1＝4an＋2，得a1＋a2＝4a1＋2，而a1＝1，则a2＝5，c1＝＝，c2＝＝，所以等差数列{cn}的公差d＝－＝，即{cn}是以为首项，为公差的等差数列，所以cn＝＋(n－1)＝n－，即＝，所以an＝(3n－1)·2n-2，所以数列{an}的通项公式为an＝(3n－1)·2n-2. 题型3　等差数列的常见性质 【例3】(1)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若S3＝9，S6＝63，则a7＋a8＋a9等于( ). A．63　　　 B．71 C．99　　　 D．117 【解析】由等差数列{an}的前n项和性质，得S3，S6－S3，S9－S6成等差数列，即2(S6－S3)＝S3＋S9－S6，由S3＝9，S6＝63，解得S9＝162，因此a7＋a8＋a9＝S9－S6＝162－63＝99. (2)(多选)(枣庄二模)已知{an}为等差数列，其前n项和为Sn，a1＝10，公差d＝－2，则( ). A．S4＝S7 B．当n＝5或n＝6时，Sn取得最小值30 C．数列{|an|}的前10项和为50 D．当n≤2 023时，{an}与数列{3m＋10}(m∈N*)共有671项互为相反数 【解析】因为{an}是等差数列，且a1＝10，公差d＝－2，所以an＝10－2(n－1)＝－2n＋12，Sn＝＝＝－n2＋11n，所以S4＝－16＋44＝28，S7＝－49＋77＝28，所以A正确；因为Sn＝－n2＋11n＝－＋，根据二次函数的性质可知，Sn的最大值为S5＝S6＝－＝30，故B错误；记{|an|}的前10项和为T10，当an＝－2n＋12≥0时，解得n≤6，当an＝－2n＋12<0时，解得n>6，所以T10＝|a1|＋|a2|＋…＋|a9|＋|a10|＝a1＋a2＋…＋a6－a7－a8－a9－a10＝S6－(S10－S6)＝2S6－S10，因为Sn＝－n2＋11n，所以S10＝10，所以T10＝2×30－10＝50，故C正确； 记bm＝3m＋10，因为an＝－2n＋12，n≤2 023，所以a2 023＝－4 034，所以当n≤2 023时，an≥－4 034，由an＝－2n＋12，n≤2 023，可知an为偶数，若bm与an互为相反数，则bm≤4 034，且bm为偶数，由bm＝3m＋10，知bm－10为偶数，则3m为偶数，则m为偶数，则3m≤4 024，即m≤，且m为偶数，所以m≤1 341，且m为偶数，故这样的m有670个，故D错误． (3)已知Sn是等差数列{an}的前n项和．若a1＝－2 023，－＝6，则S2 025＝ ． 【解析】由等差数列的性质可得数列也为等差数列．设其公差为d，则－＝6d＝6，所以d＝1.故＝＋2 024d＝－2 023＋2 024＝1，所以S2 025＝1×2 025＝2 025. (1)项的性质：在等差数列{an}中，若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，则am＋an＝ap＋aq. (2)和的性质：在等差数列{an}中，Sn为其前n项和，则 ①S2n＝n(a1＋a2n)＝…＝n(an＋an＋1)； ②S2n－1＝(2n－1)an. 提示：由两个等差数列的公共项组成的新数列是等差数列，公差为原来两个等差数列公差的最小公倍数． 【变式】(1)(多选)(2024·株洲模拟)设等差数列{an}的前n项和为Sn，则下列说法正确有( ). A．若a5＝0，则S9＝0 B．若S6－S9＝a10，且a2>a1，则a8<0且a9>0 C．若S16＝64，且在{an}的前16项中，偶数项的和与奇数项的和之比为3∶1，则{an}的公差为2 D．若(n＋1)Sn>nSn＋1，且a＝a，则S3和S4均是Sn的最大值 【解析】对于A，因为{an}是等差数列，a5＝0，所以S9＝＝9a5＝0，故A正确；对于B，因为a2>a1，所以{an}的公差d＝a2－a1>0，所以{an}是递增数列．因为S6－S9＝a10，即S9－S6＝－a10，所以a9＋a8＋a7＝－a10，即a10＋a9＋a8＋a7＝0，所以a8＋a9＝0，所以a8<0且a9>0，故B正确；对于C，因为S16＝64，所以＝64，所以a1＋a16＝8，所以a8＋a9＝8，又a2＋a4＋a6＋a8＋a10＋a12＋a14＋a16＝8a9，a1＋a3＋a5＋a7＋a9＋a11＋a13＋a15＝8a8，所以8a9＝3×8a8，即a9＝3a8，故4a8＝8，得a8＝2，a9＝6，所以{an}的公差为a9－a8＝4，故C错误； 对于D，因为(n＋1)Sn>nSn＋1，即>，所以>，整理得d<0，因为a＝a，所以(a6＋a2)(a6－a2)＝0，因为a6－a2＝4d≠0，所以a6＋a2＝0，所以2a4＝0，即a4＝0，因为d<0，所以{an}是递减数列，所以a3>0，a5<0，所以S3>S2>S1，S3＝S4>S5>S6>…，故S3和S4均是Sn的最大值，故D正确． (2)若两个等差数列{an}和{bn}的前n项和分别为Sn和Tn，已知＝，则＝ ． 【解析】因为a5＝，b5＝，所以＝＝＝＝＝. (3)已知等差数列{an}的通项公式为an＝31－tn(t∈Z)，当且仅当n＝10时，数列{an}的前n项和Sn最大．则当Sk＝－10时，k＝ ． 【解析】由题意可知解得<t<.又t∈Z，所以t＝3，所以an＝31－3n，Sn＝.由Sk＝＝－10，得3k2－59k－20＝0，解得k＝20或k＝－(舍去)，故k＝20. 等差数列中的数学文化 通过生活中的实例，理解等差数列的概念和通项公式的意义，能在具体的问题情境中，发现数列的等差关系，并建立相应数学模型解决问题． 【例题】广丰永和塔塔高九层，每至夜色降临，金灯齐明，塔身晶莹剔透，远望犹如仙境．某游客从塔底层(一层)进入塔身，沿石阶逐级攀登，一步一阶，此后每上一层均沿塔走廊绕塔一周以便浏览美景，现知底层共二十六级台阶，此后每往上一层减少两级台阶，顶层绕塔一周需十二步，每往下一层绕塔一周需多三步，则这位游客从底层进入塔身开始到顶层绕塔一周停止共需( ). A．352步　　　 B．387步 C．332步　　　 D．368步 【解析】设从第n层到第(n＋1)层所走的台阶数为an，绕第(n＋1)层一周所走的步数为bn，由已知可得a1＝26，an＋1－an＝－2，n∈{1，2，3，4，5，6，7，8}，b8＝12，bn－bn＋1＝3，n∈{1，2，3，4，5，6，7，8}，所以数列{an}为首项为26，公差为－2的等差数列，故an＝28－2n，n∈{1，2，3，4，5，6，7，8}，数列{bn}为公差为－3的等差数列，故bn＝36－3n，n∈{1，2，3，4，5，6，7，8}，设数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn，Tn，则S8＝＝152，T8＝＝180，则S8＋T8＝152＋180＝332，故这位游客从底层进入塔身开始到顶层绕塔一周停止共需332步． 求解与等差数列有关的数学文化题的关键是阅读文字信息后建立等差数列的模型，再利用等差数列相关的知识进行求解． 【变式】北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层．上层中心有一块圆形石板(称为天心石)，环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块．下一层的第一环比上一层的最后一环多9块，向外每环依次增加9块．已知每层环数相同，且下层比中层多729块，则三层共有扇面形石板(不含天心石)( ). A．3 699块　　　 B．3 474块 C．3 402块　　　 D．3 339块 【解析】设每一层有n环，由题可知从内到外每环之间构成公差d＝9，首项a1＝9的等差数列．由等差数列的性质知Sn，S2n－Sn，S3n－S2n成等差数列，且(S3n－S2n)－(S2n－Sn)＝n2d，则9n2＝729，得n＝9，则三层共有扇面形石板S3n＝S27＝27×9＋×9＝3 402(块). $