6.2等差数列及其前n项和 课件-2027届高三数学一轮复习

第六章　数列 第2节　等差数列及其前n项和 1.理解等差数列的概念. 2.掌握等差数列的通项公式与前n项和公式. 3.能在具体的问题情境中识别数列的等差关系，并能用等差数列的有关知识解决相应的问题. 4.了解等差数列与一次函数的关系. 课标要求 1.等差数列的概念 (1)定义:如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于___________，那么这个数列就叫做等差数列. 数学语言表达式:an＋1－an＝d(n∈N*，d为常数). (2)等差中项:由三个数a，A，b组成的等差数列可以看成是最简单的等差数列，这时___叫做a与b的等差中项，根据等差数列的定义可知2A＝__________. 同一个常数 A a+b 3 2.等差数列的通项公式与前n项和公式 (1)若等差数列{an}的首项是a1，公差是d，则其通项公式为an＝_______________. (2)前n项和公式:Sn＝__________________. 3.等差数列的性质 (1)通项公式的推广:an＝am＋__________________ (n，m∈N*). (2)若{an}为等差数列，且k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，则_____________________. a1+(n-1)d na1+ (n-m)d ak+al=am+an 4 (3)若{an}是等差数列，公差为d，则ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N*)是公差为______的等差数列. (4)若Sn为等差数列{an}的前n项和，则数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…也是等差数列. (5)若Sn为等差数列{an}的前n项和，则数列也为等差数列. md 5 常用结论与微点提醒 1.已知数列{an}的通项公式是an＝pn＋q(其中p，q为常数)，则数列{an}一定是等差数列，且公差为p. 2.在等差数列{an}中，a1>0，d<0，则Sn存在最大值;若a1<0，d>0，则Sn存在最小值. 3.等差数列{an}的单调性:当d>0时，{an}是递增数列;当d<0时，{an}是递减数列;当d＝0时，{an}是常数列. 4.数列{an}是等差数列⇔Sn＝An2＋Bn(A，B为常数). 6 1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”) (1)数列{an}为等差数列的充要条件是对任意n∈N*，都有2an＋1＝an＋an＋2.(　　) (2)等差数列{an}的单调性是由公差d决定的.(　　) (3)数列{an}为等差数列的充要条件是其通项公式为n的一次函数.(　　) (4)等差数列的前n项和公式是常数项为0且关于n的二次函数.(　　) (3)若公差d＝0，则通项公式不是n的一次函数. (4)若公差d＝0，则前n项和不是n的二次函数. 诊断自测 概念思考辨析+教材经典改编 √ √ × × 7 2.(人教A选修二P15T4改编)已知等差数列{an}中，a4＋a8＝20，a7＝12，则a4＝____________.  6 由题意可得 解得a1＝0，d＝2，故a4＝a1＋3d＝6. 8 3.(北师大选修二P19练习T2改编)在等差数列{an}中，已知a3＋a15＝40，则S17＝____________.  340 S17＝(a1＋a17) ＝(a3＋a15)＝×40＝340. 9 4.(苏教选修一P151T6改编)设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S8＝100，S16＝392，则S24＝____________.  876 法一　由S8＝8a1＋d＝100，S16＝16a1＋d＝392， 得a1＝2，d＝3， ∴S24＝24×2＋×3＝876. 法二　∵S8，S16－S8，S24－S16成等差数列， ∴2(S16－S8)＝S8＋(S24－S16)， 得S24＝3S16－3S8＝876. 10 例1 (1)(2025·新高考Ⅱ卷)记Sn为等差数列{an}的前n项和.若S3＝6，S5＝－5，则S6＝(　　) A.－20 B.－15 C.－10 D.－5 B 考点一　等差数列基本量的求解 由S3＝3a2＝6，S5＝5a3＝－5， 得a2＝2，a3＝－1， 所以{an}的公差d＝a3－a2＝－3， 所以a6＝a3＋3d＝－10， 所以S6＝S5＋a6＝－5－10＝－15. (2)(2026·大庆模拟)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若S5＝2S3，a1＋a8＝10，则公差d＝(　　) A. B. C. D.1 C 由S5＝2S3，则＝2×，即5a3＝6a2， 所以5(a2＋d)＝6a2，得5d＝a2，则a1＝4d， 由a1＋a8＝2a1＋7d＝15d＝10，则d＝. (3)(2026·青岛模拟)《九章算术》是中国古代的数学名著，书中有“分钱问题”:现有5个人分5钱，5人分得钱数依次成等差数列，前两人分得钱数之和等于后三人分得钱数之和，则分得钱数最少的一人钱数为(　　) A. B. C. D. C 设第n(1≤n≤5，n∈N*)人所得钱数为an钱，则数列{an}为等差数列， 设数列{an}的公差为d， 则 故a5＝a1＋4d＝－4×. 感悟提升 1.等差数列的通项公式及前n项和公式共涉及五个量a1，an，d，n，Sn，知其中三个就能求另外两个，体现了用方程的思想来解决问题. 2.数列的通项公式和前n项和公式在解题中起到变量代换作用，而a1和d是等差数列的两个基本量，用它们表示已知和未知是常用方法. 训练1 (1)(2025·北京卷)已知{an}是公差不为0的等差数列，a1＝－2，若a3，a4，a6成等比数列，则a10＝(　　) A.-20 B.-18 C.16 D.18 C 设等差数列{an}的公差为d(d≠0)， 因为a3，a4，a6成等比数列，且a1＝－2， 所以＝a3a6， 即(－2＋3d)2＝(－2＋2d)(－2＋5d)， 解得d＝2或d＝0(舍去)， 所以a10＝a1＋9d＝－2＋9×2＝16. (2)(多选)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，公差为d，若a2＝4，S5＝30，则下列结论正确的是(　　) A.{an}是递减数列 B.d＝2 C.a1＝2 D.＝3 BC 由已知有得a1＝d＝2， 因为d＝2>0，所以{an}是递增数列，故A错误，B正确，C正确; ，故D错误. 例2 (1)(多选)(2026·合肥质检)若数列{an}为等差数列，则下列说法中正确的是( 　　) A.数列2a1，2a2，2a3，…，2an，…为等差数列 B.数列a2，a4，a6，…，a2n，…为等差数列 C.数列{anan＋1}为等差数列 D.数列{an＋an＋1}为等差数列 ABD 考点二　等差数列的判定与证明 A中，因为{an}为等差数列， 所以设an－an－1＝d(d为常数)， 又2an－2an－1＝2(an－an－1)＝2d， 所以数列{2an}也为等差数列，故A正确; B中，a2n－a2n－2＝2d，所以数列{a2n}为等差数列，故B正确; C中，anan＋1－an－1an＝2dan，不是常数，故{anan＋1}不是等差数列，故C错误; D中，an＋an＋1－(an－1＋an)＝2d， 所以数列{an＋an＋1}为等差数列，故D正确. (2)(2026·汉中模拟节选)设数列{an}的前n项和为Sn，若2Sn－an＝n2，n∈N*. 证明:数列{an＋an＋1}是等差数列. ∵2Sn－an＝n2，∴当n≥2时，2Sn－1－an－1＝(n－1)2， 两式相减得2Sn－an－(2Sn－1－an－1) ＝n2－(n－1)2＝2n－1， 又∵2Sn－an－(2Sn－1－an－1)＝2Sn－2Sn－1－an＋an－1＝2an－an＋an－1＝an＋an－1， ∴an＋an－1＝2n－1，故(an＋1＋an)－(an＋an－1)＝[2(n＋1)－1]－(2n－1)＝2，且a2＋a1＝3，∴数列{an＋1＋an}是以3为首项，2为公差的等差数列. 感悟提升 1.等差数列的判定与证明的常用方法:(1)定义(作差)法:对任意n∈N*，an＋1－an是同一常数⇔{an}为等差数列;(2)等差中项法:2an＋1＝an＋an＋2⇔{an}为等差数列; (3)通项公式法:an＝an＋b(a，b是常数)⇔{an}为等差数列;(4)前n项和公式法:Sn＝an2＋bn(a，b为常数)⇔{an}为等差数列. 2.若要判定一个数列不是等差数列，则只需找出三项an，an＋1，an＋2，使得这三项不满足2an＋1＝an＋an＋2即可. 训练2 若数列{an}的前n项和为Sn，且满足an＋2SnSn－1＝0(n≥2)，a1＝. (1)求证:是等差数列; 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1且an＋2SnSn－1＝0，即(Sn－Sn－1)＋2SnSn－1＝0， 可得＝2，且＝2. 故数列是以首项为2，公差为2的等差数列. (2)求数列{an}的通项公式. 由(1)可知＝2＋2(n－1)＝2n， 即Sn＝， 当n≥2时，an＝－2SnSn－1＝－， 当n＝1时，a1＝不符合上式， 角度1　项的性质 例3 (2024·新高考Ⅱ卷)记Sn为等差数列{an}的前n项和.若a3＋a4＝7，3a2＋a5＝5，则S10＝____________.  95 设{an}的公差为d，由a3＋a4＝a2＋a5＝7，3a2＋a5＝5，得a2＝－1，a5＝8， 故d＝＝3，a6＝11， 则S10＝×10＝5(a5＋a6)＝5×19＝95. 考点三　等差数列的性质及应用 角度2　和的性质 例4 (1)(2026·长春模拟)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若S3＝S9＝6，则S12的值为(　　) A.0 B.3 C.6 D.12 A 因为{an}是等差数列，所以S3，S6－S3，S9－S6，S12－S9成等差数列. 又S3＝S9＝6，所以6，S6－6，6－S6，S12－6成等差数列， 所以6＋S12－6＝S6－6＋6－S6， 所以S12＝0.故选A. (2)(2026·河南部分学校联考)已知Sn与Tn分别是等差数列{an}与等差数列{bn}的前n项和，且，则＝____________.  3 由等差数列的性质可知b6＋b2 021＝b4＋b2 023＝b1＋b2 026， 所以＝3. 角度3　和的最值 例5 等差数列{an}中，设Sn为其前n项和，且a1>0，S3＝S11，则当n为多少时，Sn最大? 法一　设公差为d.由S3＝S11，可得3a1＋d＝11a1＋d， 即d＝－a1. 从而Sn＝n2＋n＝－(n－7)2＋a1， 因为a1>0，所以－<0. 故当n＝7时，Sn最大. 法二　易知Sn＝An2＋Bn(A≠0)是关于n的二次函数， 由S3＝S11，可知Sn＝An2＋Bn的图象关于直线n＝＝7对称. 由法一可知A＝－<0，故当n＝7时，Sn最大. 法三　设公差为d，由法一可知d＝－a1. 要使Sn最大，则有 即 解得6.5≤n≤7.5，故当n＝7时，Sn最大. 法四　设公差为d. 由S3＝S11，可得2a1＋13d＝0， 即(a1＋6d)＋(a1＋7d)＝0， 故a7＋a8＝0， 又由a1>0，S3＝S11可知d<0， 所以a7>0，a8<0， 所以当n＝7时，Sn最大. 感悟提升 1.项的性质:在等差数列{an}中，若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，则am＋an＝ap＋aq. 2.和的性质:在等差数列{an}中，Sn为其前n项和，则 (1)S2n＝n(a1＋a2n)＝…＝n(an＋an＋1); (2)S2n－1＝(2n－1)an; (3)依次k项和成等差数列，即Sk，S2k－Sk，S3k－S2k，…成等差数列. 感悟提升 3.求等差数列前n项和的最值，常用的方法: (1)邻项变号法，利用等差数列的单调性，求出其正负转折项，或者利用性质求其正负转折项，便可求得和的最值; (2)函数法，利用公差不为零的等差数列的前n项和Sn＝An2＋Bn(A≠0)为二次函数，通过二次函数的性质求最值. 训练3 (1)设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S12＝288，S9＝162，则S6＝ (　　) A.18 B.36 C.54 D.72 D 因为等差数列{an}中，S3，S6－S3，S9－S6，S12－S9成等差数列， 令S3＝x，S6＝y，即x，y－x，162－y，288－162成等差数列， 则x＋(162－y)＝2(y－x)，(y－x)＋(288－162)＝2(162－y)， 即x＋54＝y，x＋198＝3y， 解得S6＝y＝72. (2)已知等差数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn与Tn，且，则等于(　　) A. B. C. D. D 因为等差数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn，Tn，所以， 因为，所以可设Sn＝kn2，Tn＝kn(2n＋1)， 则S5－S4＝9k，T4－T3＝15k，所以. (3)(2026·厦门模拟)记等差数列{an}的前n项和为Sn，公差为d，若a3＋a18>0，S19<0，则(　　) A.S20<0 B.a6＋a17<0 C.a11>0 D.∈ C 由a3＋a18>0，得a1＋a20＝a3＋a18>0，得S20＝＝10(a1＋a20)>0，故A错误; 由S19<0，得S19＝＝19a10<0，得a10<0，a10＋a11＝a3＋a18>0，所以a11>0，故C正确;a6＋a17＝a11＋a12>0，故B错误; 一、单选题 1.(2026·大连模拟)已知等差数列{an}满足a2＋a4＋a6＝3，a3＋a5＋a7＝9，则a1＋a8＝(　　) A.1 B. C.4 D.8 C 因为数列{an}为等差数列，且a2＋a4＋a6＝3，a3＋a5＋a7＝9， 所以3a4＝3，3a5＝9，解得a4＝1，a5＝3， 所以a1＋a8＝a4＋a5＝4. 2.(2026·合肥调研)已知等差数列{an}的前8项和为48，a2＋a3＝4，则{an}的公差为(　　) A.1 B.2 C.4 D.8 B 依题意知S8＝＝48， 即a1＋a8＝12. 设等差数列{an}的公差为d， 则解得d＝2. 3.(2026·浙江名校联考)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且S11＝11(a5＋2)，则a11－a5＝(　　) A.4 B.8 C.10 D.12 D 设等差数列{an}的公差为d， ∵S11＝11(a5＋2)， ∴11a1＋d＝11(a1＋4d＋2)， 解得d＝2， ∴a11－a5＝a5＋6d－a5＝6d＝12. 4.(2026·南京模拟)设Sn是等差数列{an}的前n项和.若，则＝(　　) A. B. C.2 D.3 D ×＝3. 5.已知Sn，Tn分别是等差数列{an}，{bn}的前n项和，且(n∈N*)，则＝(　　) A. B. C. D. D Sn，Tn分别是等差数列{an}，的前n项和，且b3＋b18＝b6＋b15＝b10＋b11， 故，故选D. 6.(2025·天津卷)已知数列{an}的前n项和Sn＝－n2＋8n，则{|an|}的前12项和为(　　) A.48 B.112 C.80 D.114 C 当n＝1时，a1＝S1＝－1＋8＝7; 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝－n2＋8n－[－(n－1)2＋8(n－1)]＝－2n＋9， 显然a1＝7也符合该式，所以an＝－2n＋9， 所以当n≤4时，an>0，当n≥5时，an<0， 所以{|an|}的前12项和为|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|a12|＝a1＋a2＋a3＋a4－(a5＋ a6＋…＋a12)＝2(a1＋a2＋a3＋a4)－(a1＋a2＋…＋a12) ＝2S4－S12＝2(－16＋32)－(－144＋96)＝80. 7.(2026·秦皇岛模拟)在等差数列{an}中，若a8＝1，3a6＋2a4＝a2，则{a3n－1}的前8项和为(　　) A.26 B.50 C.－2 D.－6 A 设等差数列{an}的公差为d， 因为a8＝1，3a6＋2a4＝a2，可得3(1－2d)＋2(1－4d)＝1－6d，解得d＝， 所以an＝a8＋(n－8)d＝n－3，所以a3n－1＝， 所以数列{a3n－1}的前8项和为S8＝8×(－2)＋×＝26. 二、多选题 8.(2026·东北三省三校联考)等差数列{an}中，a1>0，则下列命题正确的是(　　 ) A.若a3＋a7＝4，则S9＝18 B.若S15>0，S16<0，则> C.若a1＋a2＝5，a3＋a4＝9，则a7＋a8＝17 D.若a8＝S10，则S9>0，S10<0 ACD 对于A，a3＋a7＝4， 则S9＝＝18，A正确; 对于B，S15＝＝15a8>0， 则a8>0，S16＝＝8(a8＋a9)<0， 则a8＋a9<0，a9<－a8<0，故<，B错误; 对于C，a5＋a6＝2(a3＋a4)－(a1＋a2)＝13， 则a7＋a8＝2(a5＋a6)－(a3＋a4)＝17，C正确; 对于D，设{an}的公差为d，由a8＝S10， 得a1＋7d＝10a1＋45d，解得d＝－a1，又a1>0， 则S9＝9a1＋36d＝9>0，S10＝5<0，D正确. 9.(2026·茂名模拟)等差数列{an}中，a2＋a3＝－12，a5＋a7＝2，记数列{an}的前n项和为Sn，下列说法正确的是(　　 ) A.数列{an}的公差为2 B.Sn取最小值时，n＝6 C.S4＝S7 D.数列{|an|}的前10项和为50 AD 设{an}的公差为d， ∵a2＋a3＝－12，a5＋a7＝2， ∴2a1＋3d＝－12，2a1＋10d＝2， 解得d＝2，a1＝－9，A正确; 由A知an＝－9＋2(n－1)＝2n－11， 则a5<0，a6>0，故n＝5时，Sn取得最小值，B错误; S7－S4＝a5＋a6＋a7＝3a6>0，C错误; 数列{|an|}的前10项和为9＋7＋5＋3＋1＋1＋3＋5＋7＋9＝50，D正确. 三、填空题 10.(2026·北京平谷区模拟)《张邱健算经》是公元5世纪中国古代内容丰富的数学著作，书中记载着这样一个问题:“有个女子善织布，每天比前一天多织相同的布，第一天织5尺，一个月(按30天计)共织了440尺，推算第10天该女子织了_____尺布.”  11 由题得每天的织布数成等差数列，首项a1＝5，记公差为d， 由题得S30＝5×30＋d＝440， 解得d＝， 所以a10＝5＋×9＝11. 11.设Sn是等差数列{an}的前n项和，S10＝16，S100－S90＝24，则S100＝______.  依题意，S10，S20－S10，S30－S20，…，S100－S90依次成等差数列，设该等差数列的公差为d. 又S10＝16，S100－S90＝24， 因此S100－S90＝24＝16＋(10－1)d＝16＋9d， 解得d＝， 因此S100＝10S10＋d＝10×16＋×＝200. 200 12.在等差数列{an}中，奇数项之和为220，偶数项之和为165.若此数列的项数为10，则此数列的公差为____________;若此数列的项数为奇数，则此数列的中间项是____________.  -11 55 令S奇＝220，S偶＝165， 若此数列的项数为10，则S偶－S奇＝5d， 所以－55＝5d，所以d＝－11; 若此数列的项数为奇数，设项数为2n－1， 则S奇＝a1＋a3＋…＋a2n－1＝ ＝nan， S偶＝a2＋a4＋a6＋…＋a2n－2 ＝＝(n－1)an， 所以，解得n＝4， 所以第4项是此数列的中间项，a4＝＝55. 四、解答题 13.(2022·全国甲卷)记Sn为数列{an}的前n项和.已知＋n＝2an＋1. (1)证明:{an}是等差数列; 由＋n＝2an＋1， 得2Sn＋n2＝2ann＋n，① 所以2Sn＋1＋(n＋1)2＝2an＋1(n＋1)＋(n＋1)，② ②－①，得2an＋1＋2n＋1＝2an＋1(n＋1)－2ann＋1， 化简得an＋1－an＝1， 所以数列{an}是公差为1的等差数列. (2)若a4，a7，a9成等比数列，求Sn的最小值. 由(1)知数列{an}的公差为1. 由a4，a7，a9成等比数列，得＝a4a9， 即(a1＋6)2＝(a1＋3)(a1＋8)， 解得a1＝－12. 所以Sn＝－12n＋ ＝， 所以当n＝12或13时，Sn取得最小值，最小值为－78. 14.(2026·太原调研)已知数列{an}满足a1＝2，2an＝1＋anan＋1. (1)证明:数列为等差数列; 由2an＝1＋anan＋1知an＋1＝， ∴ ＝＝1， ∴数列＝1为首项，1为公差的等差数列. (2)设数列{an}的前n项之积为Tn，求T2 026. ∵＝1＋(n－1)·1＝n⇒an＝1＋， ∴T2 026＝a1a2·…·a2 026 ＝×××…×＝2 027. 所以an＝ 由得－10<<－9，故D错误. $