精品解析：北京市第五中学2025-2026学年度第二学期期中检测试卷高二数学

2025/2026学年度第二学期期中检测试卷 高二数学 班级________姓名________学号________成绩________ 一､选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1. 函数在处的瞬时变化率为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【详解】方法一：由函数在某点处瞬时变化率计算公式可知，， ， 根据重要极限 ，当时， ， 故选项为C. 方法二：因为，所以，所以. 即函数在处的瞬时变化率为3. 2. 已知的展开式中的系数为（ ） A. 243 B. 40 C. 32 D. 10 【答案】B 【解析】 【分析】借助二项式的展开式的通项公式计算即可得. 【详解】，， 则，故的展开式中的系数为. 3. 设是两个随机事件，且，如果，那么事件与是（ ） A. 互斥事件 B. 对立事件 C. 独立事件 D. 包含事件 【答案】C 【解析】 【详解】若，则，即， 则事件与是独立事件. 4. 已知，则（ ） A. 1 B. 0 C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】令，得：， 所以， 令，得：，所以，则. 5. 甲、乙两名乒乓球运动员进行一场比赛，采用7局4胜制（先胜4局者胜，比赛结束）．已知每局比赛甲获胜的概率均为，则甲以4比2获胜的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意只需前5场甲赢3场，再利用独立事件的乘法公式求解． 【详解】根据题意，甲运动员前5场内需要赢3场，第6场甲胜， 则甲以4比2获胜的概率为． 故选：D． 6. 过原点的直线与曲线相切，则切点坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设切点坐标为，则，利用导数求出切线方程，将原点坐标代入切线方程，求出的值，即可得出切点坐标. 【详解】设切点坐标为，则， 对函数求导得，切线斜率为， 所以曲线在点处的切线方程为， 将原点坐标代入切线方程得，解得，故切点坐标为. 故选：A. 7. 中国民族五声调式音阶的各音依次为：宫、商、角、徵、羽，如果用这五个音，排成一个没有重复音的五音音列，且商、角不相邻，徵位于羽的左侧，则可排成的不同音列有（ ） A. 18种 B. 24种 C. 36种 D. 72种 【答案】C 【解析】 【分析】先排宫、徽、羽三个音节，然后商、角两个音阶插空即可求解. 【详解】解：先将宫、徽、羽三个音节进行排序，且徽位于羽的左侧，有， 再将商、角插入4个空中的2个，有， 所以共有种． 故选：C． 8. “”是“函数存在单调递减区间”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】由题意得在上有解，分离参数a，结合二次函数的性质，可得a的范围，根据充分、必要条件的定义，即可得答案. 【详解】由题意得， 由函数存在单调递减区间，得在上有解， 只需，即在上有解， 整理得在上有解， 令，则， 所以当时，y有最小值，则， 所以， 当时，， 则单调递增，无单调减区间，故， 所以函数存在单调递减区间时，， 因为“”是“”的必要不充分条件， 所以“”是“函数存在单调递减区间”的必要不充分条件. 9. 若函数在上有最小值，则实数的取值范围为（） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】可导函数在开区间内存在最小值，则其必在区间内存在极小值点，即导数存在从负到正的变号零点,对于本题，导函数的分子为二次函数，其对应的函数至多只有一个极小值点，故若在内存在最小值，则导数在区间内存在唯一的从负到正的变号零点. 【详解】已知函数 的定义域为，对其求导得： ，令 ， 若在上存在最小值，根据本题的函数结构可知，函数在区间内先递减后递增， 即在内由负变正，等价于. . 解得，即实数的取值范围是. 10. 已知，对于，记，，，下列说法正确的是（ ） A. 若，，则 B. ，都有 C. 若，则 D. ，使得 【答案】C 【解析】 【分析】代入数据，比较A、B，即可判断A的正误；当时，满足，分别求出B和C，比较即可判断B的正误；求出的表达式，根据基本不等式结合条件，分析求解，可判断C的正误；假设，使得，整理变形，令，得，令，利用导数求出的单调性和范围，分析求解，即可判断D的正误. 【详解】选项A：若，， 则，，所以，故A错误； 选项B：当时，满足， 此时，，显然，故B错误； 选项C：， 由基本不等式得，当且仅当时等号成立， 因为，所以， 因为，所以，则， 所以， 所以，则，故C正确； 选项D：假设，使得，则， 所以，左右同除，得， 令，则，整理得， 令，则， 令，则， 因为，所以，则， 所以在上单调递减，则， 所以，则在上单调递增， 所以，所以在上无解， 即在上无解，所以假设不成立，即不存在，使得. 二､填空题共5小题，每小题5分，共25分. 11. 若展开式的第三项和第四项的二项式系数同时最大，则______，其展开式中的常数项为______. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】第1空，根据二项式展开共有项及二项式系数的对称性，可得到关于的等式，解出即可； 第2空，先写出通项公式，化简，令的指数为，即可求出项数，再代入计算即可求出常数项. 【详解】（1）解：由二项式展开共有项，又展开式的第三项和第四项的二项式系数同时最大， 则为奇数，且这两项为中间两项，所以，即，解得； （2）由（1）知，则二项式为，设其通项公式为， 则当该项为常数项时，，解得， 即第三项为常数项，所以. 12. 在马年春节联欢晚会上，多款人形机器人惊艳亮相，其精彩的表演赢得了观众的一致好评.某款人形机器人在排练时，若对机器人下达的动作指令表述清晰，则机器人成功完成指令的概率为；若对机器人下达的动作指令表述模糊，则机器人成功完成指令的概率为.假设下达的动作指令表述模糊的概率为，则该机器人成功完成指令的概率为______. 【答案】## 【解析】 【分析】根据条件概率和全概率公式求解. 【详解】设事件表示“机器人成功完成指令”，事件表示“下达的动作指令表述清晰”， 则表示“下达的动作指令表述模糊”. 已知，，， ， 则 . 即该机器人成功完成指令的概率为. 13. 在刚过去的“五一”假期，甲、乙、丙、丁四名同学从，，三个景点中选一个景点去旅游.已知每个景点都有人选，且甲没有选景点，则所有不同的选法种数为______. 【答案】 【解析】 【分析】先根据每个景点都有人选，确定分组情况，再结合甲没有选景点，分情况讨论不同的选法种数，将各种情况种数相加即为所有不同选法种数. 【详解】解：由四名学生选三个景点，且每个景点都有人，则必有一个景点有2人，另外两个景点各1人， 情况1，甲单独去一个景点，由甲没有选景点，则甲选景点或，共有种， 由于甲单独在一个景点，因此需将剩下人分配到剩下两个景点， 则有一个景点有2人，另一个景点1人，有种， 所以根据分步计数原理，这种情况选法种数共有种； 情况2，甲和另外一个人一起去景点或，共有种， 剩下2人选剩下的2个景点，共有种， 所以根据分步计数原理，这种情况选法种数共有种， 因此，每个景点都有人选，且甲没有选景点，则所有不同的选法种数为种. 14. 已知函数的导函数，请写出一个满足条件且的函数_______. 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【详解】令 ，则， ， 所以，且，满足，此时只要即可，所以 . 15. 设，，其中，定义，给出下列四个结论： ①当时，共有2个极值点； ②，都有； ③，使得是增函数； ④若恰有 个零点，则. 其中正确结论的序号为______. 【答案】①③ 【解析】 【分析】对于①，需要分析当时，和的大小关系，进而确定的极值点个数；对于②，举反例，取， ；对于③，要判断是否存在，使得是增函数，需分析和的性质；对于④，举反例，取，即可判断. 【详解】分析①，当时，，令. 当时，，，此时. 当时，，此时. 当，，，此时. 综上， 时， ，， 令，得. 当时，，，，此时是的极大值点. 当 ， ， ，且 ，故 在 处连续； 时， ，在 附近 ，函数递减； 时， ，函数递增，因为 左侧递减、右侧递增，故 是极小值点. 当时，，在单调递增，此时无极值点. 综上，共有两个极值点，①正确. 分析②，，，. 因为，取，则 ，所以；②错误. 分析③，对于，， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增. ，，， 存在足够小的，使得在的递减区间上，且单调递增； 而在递增的区间上，当出现递减时，有， 此时仍单调递增， 故存在使为增函数，③正确. 分析④，取，此时恰有2个零点，但，④错误. 三､解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 16. 在△中，角A、B、C对应的边分别为a、b、c，且，． （1）求证：△为等腰三角形； （2）从条件①、条件②这两个条件中任选一个作为已知，求AC边上的高h． 条件①：△的面积为； 条件②：△的周长为20． 【答案】（1）证明见解析； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据余弦定理，结合，求得，通过判断，即可证明； （2）选择①，根据结合面积公式，求得；再根据等面积法即可求得； 选择②，根据三角形周长结合等量关系，求得，再根据等面积即可求得. 【小问1详解】 因为，由余弦定理可得：，又，设， 则，解得（舍）或， 故△为等腰三角形，即证. 【小问2详解】 选①：△的面积为， 由，可得，又，故， 则，又，故可得，又，则， 因为AC边上的高为h，故，故可得； 选②：△的周长为20， 则，即，结合可得， 由，可得，又，故， 则，即，解得. 综上所述，选择①②作为条件，均有. 17. 2022年2月4日晚，璀璨的烟花点亮“鸟巢”上空，国家体育场再次成为世界瞩目的焦点，北京成为奥运历史和人类历史上第一座举办过夏奥会和冬奥会的“双奥之城”，奥林匹克梦想再次在中华大地绽放.冰雪欢歌耀五环，北京冬奥会开幕式为第二十四届“简约､安全､精彩”的冬奥盛会拉开序幕. 为了解“开幕式”当晚的收看情况，对某地区居民进行简单随机抽样，获得数据如下表：（用频率估计概率） 收看方式 通过电视收看 通过手机收看 没有收看 人数（人） 200 300 100 （1）从该地区被调查对象中随机选取1人，估计此人是通过电视收看的概率； （2）采用分层随机抽样方法从该地区被调查对象中抽取6人，再从这6人中随机选出3人，用表示这3人中通过手机收看的人数，求的分布列和期望； （3）从该地区被调查对象中随机选取3人，若3人中恰有1人用手机收看，1人用电视收看，1人没有收看的概率为；若3人都用手机收看的概率为.试比较与的大小.（直接写出结论） 【答案】（1）； （2）分布列见解析，期望； （3）； 【解析】 【分析】（1）由题设条件及频率估计概率计算可得. （2）由题意知可能的值为，求出对应可能值的概率，进而写出分布列并求期望； （3）用频率估计概率知识计算相应的概率，利用分步计数原理、组合知识解得值并比较大小即可. 【小问1详解】 由频率估计概率，总人数为(人)， 通过电视收看的人数为200(人)，； 【小问2详解】 由题意，～，可能的值为，服从超几何分布： ； ； ； ； 分布列如下： ； 【小问3详解】 由题意知，指随机抽取的人中恰有1人用手机收看，1人用电视收看，1人没有收看的概率. 从人中任选人有种，其中人用手机收看的概率为， 再从剩下的两人中任选人，有种，用电视收看的概率为，还有人没有收看的概率为， 由分步计数原理得：； 同理得， 所以. 18. 如图，在三棱柱中，侧面，均为矩形，点D是棱的中点． （1）求证：平面； （2）若，． （Ⅰ）求直线到平面的距离； （Ⅱ）在棱上是否存在点M，使得直线与平面所成角为，如果存在，求出的值，如果不存在，说明理由． 【答案】（1）证明见解析 （2）（Ⅰ）（Ⅱ）存在， 【解析】 【分析】（1）通过证明平行于平面内的一条直线，即可证明平面 （2）（Ⅰ）将直线到平面的距离转化为点到平面的距离，根据等体积法，得到点到平面的距离，也就得到直线到平面的距离. （Ⅱ）由几何关系，建立空间直角坐标系，设，根据线面垂直求出面的法向量，通过直线与平面所成的角的余弦值，即可求出的值 【小问1详解】 由题意：连接交于点， ∵为矩形∴为中点 连接， 在△中，为中点，D是棱的中点 ∴ ∵， ∴平面 【小问2详解】 （Ⅰ）由题意及（1）得 平面 ∴直线到平面的距离与点到平面的距离相等 连接，设点到平面的距离为 ∵， ∴由几何知识得，， 在△中， ∴△是直角三角形 ∴ 取中点，连接， 由几何知识得，，易得 ∵ ∴ ∴ ∴直线到平面的距离为 （Ⅱ）由题意，（1）及（2）（Ⅰ）得， 以点为原点，，，方向为轴，建立空间直角坐标系如下图所示， 则， , ，， ∴， 设，为面的一个法向量 ∴ ∴即，解得： 当时， ∴面的其中一个法向量 若直线与平面所成角为 ∴ 整理得 解得： ∴ 19. 已知椭圆，焦距为，椭圆上的点到两焦点的距离之和为. （1）求椭圆的标准方程； （2）过椭圆的右焦点的直线（不与轴重合）交椭圆于两点，记线段的中点为，直线交直线于点（为坐标原点），以为直径的圆是否过定点？如果是，求出定点坐标，如果不是，请说明理由. 【答案】（1） （2）过定点，且定点坐标为 【解析】 【分析】（1）利用焦距与椭圆定义计算可得、，即可计算出，即可得解； （2）设出直线方程，联立曲线方程可得与交点纵坐标有关韦达定理，则可得点坐标，在表示出直线方程，即可得点坐标，由以为直径的圆上的点满足，即可借助向量得到，设，求出是否存在定值、使得恒成立即可得解. 【小问1详解】 由焦距为，可得，即， 由椭圆定义可得，故， 故， 即椭圆的标准方程为； 【小问2详解】 由题意可得，设，、， 联立，消去可得，恒成立， 则，， 则，，即， 则，令，解得，即， 若在以为直径的圆上，则， 由，， 即有 ， 即 ， 令，解得， 故以为直径的圆恒过定点. 20. 定义在上的函数在取得极小值.函数满足（其中是的导函数）且. （1）求的最小值； （2）解不等式； （3）若，求过点作的切线有多少条？ 【答案】（1）0 （2） （3）过点作的切线有2条 【解析】 【分析】（1）求导，根据极值点可得，代入结合的单调性检验，进而可得的最小值； （2）分析可知在定义域内单调递增，根据函数单调性结合解不等式； （3）根据题意可得 ，设切点坐标，结合导数的几何意义可得 ，设 ，利用导数分析的零点即可. 【小问1详解】 因为，则， 由题意可知： ，解得， 若，则，， 令，解得；令，解得； 可知在内单调递减，在内单调递增， 则在取得极小值，所以符合题意， 所以的最小值为. 【小问2详解】 由（1）可知：，即， 可知在定义域内单调递增，且， 不等式即为，可得， 所以不等式的解集为. 【小问3详解】 由题意可知：，可设 ，， 因为 ，解得，即 ， 则 ，符合题意， 即 ，， 设切点坐标为，则切线斜率 ， 则切线方程为， 代入点可得， 整理可得 ， 设 ，则， 令，即，解得或； 令，即，解得； 可知在内单调递减，在内单调递增， 则的极大值为，， 且当趋近于时，趋近于；当趋近于时，趋近于； 由图象可知：有2个零点，所以过点作的切线有2条. 21. 已知各项均为正整数的有穷数列满足，有，若等于中所有不同值的个数，则称数列具有性质. （1）判断下列数列是否具有性质，并说明理由： ① ② （2）已知数列具有性质，求出的所有可能取值； （3）若一个数列具有性质，则是否存在最小值？若存在，求出这个最小值，并写出一个符合条件的数列；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）①具有，②不具有，理由见解析 （2） （3）存在，最小值是4049， 【解析】 【分析】（1）根据新定义判断即可； （2）根据新定义，确定数列，任意两项和不同的取值最多有15个，中任意两项和的结果有个，分为奇数、偶数讨论求解； （3）将的项从小到大排列构成新数列：，可得，据此取数列，结合等差数列性质证明满足条件即可. 【小问1详解】 ①任意两项和的结果有4，6，8，10，12共5个， 而，所以具有性质； ②，任意两项和的结果有共7个， 而，所以不具有性质． 【小问2详解】 因为数列中任意两项和的结果有共个，且全部为偶数， 所以数列，任意两项和不同的取值最多有个， 所以， 若为奇数，都是奇数，与前6项中任意两项和的值均不相同， 则中所有的不同值共有15个，所以． 若为偶数，都是偶数，所以，所以， 因为，有，所以，则， 则任意两项和比任意两项和多了，共个，不符合题意； 综上，. 【小问3详解】 存在最小值，且最小值为4049． 将的项从小到大排列构成新数列：， 所以 所以的值至少有个． 即的值至少有4049个，即． 数列符合条件，即． 此时为等差数列，由等差数列性质， 当时，；当时，， 因此每个等于中的一个，或者等于中的一个． 即所有和的不同值为个不同值，且． 综上，的最小值为4049 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025/2026学年度第二学期期中检测试卷 高二数学 班级________姓名________学号________成绩________ 一､选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1. 函数在处的瞬时变化率为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 2. 已知的展开式中的系数为（ ） A. 243 B. 40 C. 32 D. 10 3. 设是两个随机事件，且，如果，那么事件与是（ ） A. 互斥事件 B. 对立事件 C. 独立事件 D. 包含事件 4. 已知，则（ ） A. 1 B. 0 C. D. 5. 甲、乙两名乒乓球运动员进行一场比赛，采用7局4胜制（先胜4局者胜，比赛结束）．已知每局比赛甲获胜的概率均为，则甲以4比2获胜的概率为（ ） A. B. C. D. 6. 过原点的直线与曲线相切，则切点坐标为（ ） A. B. C. D. 7. 中国民族五声调式音阶的各音依次为：宫、商、角、徵、羽，如果用这五个音，排成一个没有重复音的五音音列，且商、角不相邻，徵位于羽的左侧，则可排成的不同音列有（ ） A. 18种 B. 24种 C. 36种 D. 72种 8. “”是“函数存在单调递减区间”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 9. 若函数在上有最小值，则实数的取值范围为（） A. B. C. D. 10. 已知，对于，记，，，下列说法正确的是（ ） A. 若，，则 B. ，都有 C. 若，则 D. ，使得 二､填空题共5小题，每小题5分，共25分. 11. 若展开式的第三项和第四项的二项式系数同时最大，则______，其展开式中的常数项为______. 12. 在马年春节联欢晚会上，多款人形机器人惊艳亮相，其精彩的表演赢得了观众的一致好评.某款人形机器人在排练时，若对机器人下达的动作指令表述清晰，则机器人成功完成指令的概率为；若对机器人下达的动作指令表述模糊，则机器人成功完成指令的概率为.假设下达的动作指令表述模糊的概率为，则该机器人成功完成指令的概率为______. 13. 在刚过去的“五一”假期，甲、乙、丙、丁四名同学从，，三个景点中选一个景点去旅游.已知每个景点都有人选，且甲没有选景点，则所有不同的选法种数为______. 14. 已知函数的导函数，请写出一个满足条件且的函数_______. 15. 设，，其中，定义，给出下列四个结论： ①当时，共有2个极值点； ②，都有； ③，使得是增函数； ④若恰有 个零点，则. 其中正确结论的序号为______. 三､解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 16. 在△中，角A、B、C对应的边分别为a、b、c，且，． （1）求证：△为等腰三角形； （2）从条件①、条件②这两个条件中任选一个作为已知，求AC边上的高h． 条件①：△的面积为； 条件②：△的周长为20． 17. 2022年2月4日晚，璀璨的烟花点亮“鸟巢”上空，国家体育场再次成为世界瞩目的焦点，北京成为奥运历史和人类历史上第一座举办过夏奥会和冬奥会的“双奥之城”，奥林匹克梦想再次在中华大地绽放.冰雪欢歌耀五环，北京冬奥会开幕式为第二十四届“简约､安全､精彩”的冬奥盛会拉开序幕. 为了解“开幕式”当晚的收看情况，对某地区居民进行简单随机抽样，获得数据如下表：（用频率估计概率） 收看方式 通过电视收看 通过手机收看 没有收看 人数（人） 200 300 100 （1）从该地区被调查对象中随机选取1人，估计此人是通过电视收看的概率； （2）采用分层随机抽样方法从该地区被调查对象中抽取6人，再从这6人中随机选出3人，用表示这3人中通过手机收看的人数，求的分布列和期望； （3）从该地区被调查对象中随机选取3人，若3人中恰有1人用手机收看，1人用电视收看，1人没有收看的概率为；若3人都用手机收看的概率为.试比较与的大小.（直接写出结论） 18. 如图，在三棱柱中，侧面，均为矩形，点D是棱的中点． （1）求证：平面； （2）若，． （Ⅰ）求直线到平面的距离； （Ⅱ）在棱上是否存在点M，使得直线与平面所成角为，如果存在，求出的值，如果不存在，说明理由． 19. 已知椭圆，焦距为，椭圆上的点到两焦点的距离之和为. （1）求椭圆的标准方程； （2）过椭圆的右焦点的直线（不与轴重合）交椭圆于两点，记线段的中点为，直线交直线于点（为坐标原点），以为直径的圆是否过定点？如果是，求出定点坐标，如果不是，请说明理由. 20. 定义在上的函数 在取得极小值.函数满足（其中是的导函数）且. （1）求的最小值； （2）解不等式； （3）若 ，求过点作的切线有多少条？ 21. 已知各项均为正整数的有穷数列满足，有，若等于中所有不同值的个数，则称数列具有性质. （1）判断下列数列是否具有性质，并说明理由： ① ② （2）已知数列具有性质，求出的所有可能取值； （3）若一个数列具有性质，则是否存在最小值？若存在，求出这个最小值，并写出一个符合条件的数列；若不存在，请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $