精品解析：北京市第九中学2025-2026学年第二学期高二数学期中统练试卷

北京九中2025-2026学年第二学期高二数学期中统练试卷 （考试时间120分钟 满分150分） 一、单项选择题.（本题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题意，选对得4分，选错或不答的得0分.） 1. 若数列的通项公式，则此数列（ ） A. 是公差为的等差数列 B. 是公差为1的等差数列 C. 是首项为2的等差数列 D. 是公差为n的等差数列 【答案】A 【解析】 【分析】由等差数列的通项公式求出首项与公差后判断 【详解】，此数列的首项为1； ， 所以数列是首项为1，公差为的等差数列 故选：A 2. 已知件产品中有件正品，其余为次品.现从件产品中任取件，观察正品件数与次品件数，下列选项中的两个事件互为对立事件的是（ ） A. 恰好有件次品和恰好有件次品 B. 至少有件次品和全是次品 C. 至少有件正品和至少有件次品 D. 至少有件次品和全是正品 【答案】D 【解析】 【分析】对每个选项中事件的关系分析，选出正确选项. 【详解】对于A项，恰好有1件次品和恰好有两件次品互为互斥事件，但不是对立事件； 对于B项，至少有1件次品和全是次品可以同时发生，不是对立事件； 对于C项，至少有1件正品和至少有1件次品可以同时发生，不是对立事件； 对于D项，至少有1件次品即存在次品，与全是正品互为对立事件. 故选：D. 3. 等比数列中，，是方程的两根，则等于（ ） A. B. 4 C. D. 以上都不对 【答案】A 【解析】 【分析】利用韦达定理得到的值，根据的值的正负判断出的符号，利用等比数列的通项公式结合的符号得到的符号，利用等比数列的性质求出. 【详解】，是方程的两根， ， ，同号， ，同负， ，，同号，， 等比数列，，，故选：A. 4. 我国古代有辉煌的数学研究成果，其中《周髀算经》，《九章算术》，《海岛算经》，《孙子算经》均有着十分丰富的内容.某中学计划将这4本专著作为高中阶段“数学文化”校本课程选修内容，要求每学年至少选一科，三学年必须将4门选完，则小南同学的不同选修方式有（ ）种. A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】将4本书先分成3组（每组至少1本），再将这3组书全排列，即可求得小南同学的不同选修方式的方法数. 【详解】依据题给要求，先将《周髀算经》，《九章算术》，《海岛算经》， 《孙子算经》分成3组，每组至少1本，再将这3组书全排列即可. 则小南同学的不同选修方式有种. 故选：C 5. 设是等差数列.下列结论中正确的是 A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】C 【解析】 【详解】先分析四个答案，A举一反例，而，A错误，B举同样反例，，而，B错误， D选项，故D错， 下面针对C进行研究，是等差数列，若，则设公差为，则，数列各项均为正，由于，则， 故选C. 考点：本题考点为等差数列及作差比较法，以等差数列为载体，考查不等关系问题，重 点是对知识本质的考查. 6. 已知随机变量的分布列为 0 1 2 P 则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用离散型随机变量的分布列的性质求解. 【详解】由离散型随机变量X的分布列，得：, . 7. 已知数列是无穷项等比数列，公比为，则“”是“数列单调递增”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分又不必要条件 【答案】D 【解析】 【分析】根据等比数列的首项、公比的不同情形，分析数列的单调性，结合充分条件、必要条件得解. 【详解】若，，则数列单调递减，故不能推出数列单调递增； 若单调递增，则，，或，，不能推出， 所以“”是“数列单调递增”的既不充分也不必要条件， 故选：D． 8. 若数列是等差数列，则下列数列不一定是等差数列的是（    ） A. B. C. （为常数） D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，结合等差数列的定义和特殊数列，逐项判定，即可求解. 【详解】因为数列为等差数列，设公差为，可得， 对于A中，例如：等差数列，则， 此时数列不是等差数列，所以A符合题意； 对于B中，数列中，可得，所以数列为常数列， 所以数列一定是等差数列，所以B不符合题意； 对于C中，数列中，可得（常数）， 所以数列一定是等差数列，所以C不符合题意； 对于D中，数列中，可得， 所以数列一定是等差数列，所以D不符合题意. 故选：A. 9. 已知数列满足，，则（ ） A. B. C. 2 D. 2025 【答案】A 【解析】 【分析】通过列举得出数列周期计算即可. 【详解】由题意可知，即该数列是以3为周期的数列， 所以. 10. 定义：已知数列，，，若，，使，则称，互为阶友好数列.已知为无穷项等差数列，是数列的前项和，是公比为的无穷项等比数列，，.下列说法正确的是（ ） A. 若，则，，互为5阶友好数列 B. 若，则，，互为5阶友好数列 C. 若，则，使，互为4阶友好数列 D. 若，则，使，互为4阶友好数列 【答案】D 【解析】 【分析】根据阶友好数列的定义排除A、B、C. 【详解】A选项，当时，数列的公差为，，， 是公比为的无穷项等比数列，所以， 因为，，所以在上单调递增， 在上单调递减， 所以在上单调递增， 所以， 所以，当时，，则， 此时不存在，使得，不满足5阶友好数列的定义，故A错误； B选项，当时，数列的公差为，， 当时，， 令，， 所以，可知在上单调递减， 所以，可知在上单调递减， 所以，即， 所以，则， 此时不存在，使得，不满足5阶友好数列的定义，故B错误； C选项，由A知，，， 在上单调递增，则， 又因为，所以，， 则，即， 所以不存在，使，互为4阶友好数列；故C错误； D选项，时，数列的公差为，， 取，时，，满足4阶友好数列，故D正确. 故选：D 二.填空题（每小题5分，共计25分） 11. 设等差数列的前项和为，若，，则________. 【答案】100 【解析】 【分析】利用等差数列的性质及求和公式计算即可. 【详解】设该数列公差为d，由题意可知， 则. 12. 的展开式中常数项为______． 【答案】60 【解析】 【详解】的展开式的通项为，，1，2，…，6， 令，得，所以的展开式中常数项为． 13. 已知数列，，则________，数列的通项公式________. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】使用倒数构造的方法可得为等差数列，进而可求得的通项公式. 【详解】，两边同时取倒数得， 即，所以是以为首项，为公差的等差数列， 即，所以，. 14. 100件产品中有5件次品，不放回地抽取2次，每次抽1件.已知第1次抽出的是次品，则第2次抽出正品的概率是_________. 【答案】 【解析】 【分析】在第次抽到次品后，还有件次品，件正品，利用概率计算公式可得结果. 【详解】在第次抽到次品后，还有有件次品，件正品， 则第二次抽到正品的概率为，故答案为. 【点睛】本题主要考查条件概率，属于简单题.解答条件概率问题时，一定要注意条件概率与独立事件概率的区别与联系. 15. 下面是关于公差d>0的等差数列{an}的四个命题： p1：数列{an}是递增数列； p2：数列{nan}是递增数列； p3：数列是递增数列； p4：数列{an＋3nd}是递增数列． 其中的真命题为________． 【答案】p1，p4 【解析】 【详解】设an＝a1＋(n－1)d＝dn＋a1－d，它是递增数列，所以p1为真命题；若an＝3n－12，则满足已知，但nan＝3n2－12n并非递增数列，所以p2为假命题；若an＝n＋1，则满足已知，但＝1＋是递减数列，所以p3为假命题；由于an＋3nd＝4dn＋a1－d，它是递增数列，所以p4为真命题． 答案：p1，p4. 三、解答题（共计85分） 16. 已知等差数列满足，. （1）求数列的通项公式 （2）求 【答案】（1） （2）60 【解析】 【分析】（1）将条件转化为关于和的等式组，联立后结合等差数列通项公式即可求解； （2）将问题化为关于和的式子，并结合（1）中求得的值即可求解. 【小问1详解】 设为的公差，由题意得，解得， 故. 【小问2详解】 由题意得 . 17. 在某区“创文明城区”（简称“创城”）活动中，教委对本区A，B，C，D四所高中学校随机抽查了100人，将调查情况进行整理后制成下表： 学校 A B C D 抽查人数 50 15 10 25 “创城”活动中参与的人数 40 10 9 15 （1）在100名高中学生中，随机抽取1名学生，求该生没有参与“创城”活动的概率； （2）在上表中从B，C两校没有参与“创城”活动的同学中随机抽取2人，求恰好B，C两校各有1人的概率是多少? （3）在抽查的100名高中学生中随机抽取2人，已知其中的一名同学来自D校，则这2人不同校的概率是多少? 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】根据古典概型的概率公式进行计算即可. 【小问1详解】 参与抽查的100名高中学生中，没有参与“创城”活动的有26人， 设在这100名高中学生中，随机抽取1名学生，该生没有参与“创城”活动为事件E，则. 【小问2详解】 上表中从B校没有参与“创城”活动的同学有5人，C校没有参与“创城”活动的同学有1人，设从中随机抽取2人，恰好B，C两校各有1人为事件F， 则 . 【小问3详解】 在抽查的100名高中学生中随机抽取2人，其中的一名同学来自D校，设这2人不同校为事件G，则. 18. 已知是等差数列，是等比数列，且，，，. （1）求的通项公式； （2）设，求数列的前项和. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用等差数列和等比数列的通项公式求解； （2）分组求和法，利用等差数列和等比数列的前项和公式求解. 【小问1详解】 是等比数列，且，， ，，， ，，，， 是等差数列，，，， ， 即. 【小问2详解】 设的前项和为， 由（1）知，，，则， 设的前项和为， 由（1）知，，，则， 设数列的前项和为，则. 故数列的前项和为. 19. 某中学为了解本校高二年级学生阅读水平现状，从该年级学生中随机抽取100人进行一般现代文阅读速度的测试，以每位学生平均每分钟阅读的字数作为该学生的阅读速度，将测试结果整理得到如下频率分布直方图： （1）若该校高二年级有1500人，试估计阅读速度达到620字/分钟及以上的人数； （2）用频率估计概率，从该校高二学生中随机抽取3人，设这3人中阅读速度达到540字/分钟及以上的人数为，求的分布列与数学期望； （3）若某班有10名学生参加测试，他们的阅读速度如下：506，516，553，592，617，632，667，693，723，776，从这10名学生中随机抽取3人，设这3人中阅读速度达到540字/分钟及以上的人数为，试判断数学期望与（2）中的的大小. 【答案】（1）人 （2）分布列为： （3） 【解析】 【分析】（1）根据频率分布直方图分析数据得频率即可估计阅读速度达到620字/分钟及以上的人数； （2）确定从中任取一人，其阅读速度达到540字/分钟及以上的概率，结合二项分布的概率求解的分布列与数学期望即可； （3）根据超几何分布的概率求解的分布列与数学期望即可得结论. 【小问1详解】 ， 故可估计阅读速度达到620字/分钟及以上的人数为人； 【小问2详解】 从中任取一人，其阅读速度达到540字/分钟及以上的概率为： ， 的可能取值为、、、， ， ， ， ， 则其分布列为： 其期望为：； 【小问3详解】 ，理由如下： 这10名学生中，阅读速度达到540字/分钟及以上的人数为人，的可能取值为、、， ，，， 则，故. 20. 在①a5＝b3＋b5，②S3＝87，③a9－a10＝b1＋b2这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并给出解答． 设等差数列{an}的前n项和为Sn，数列{bn}的前n项和为Tn，___，a1＝b6，若对于任意n∈N*都有Tn＝2bn－1，且Sn≤Sk(k为常数)，求正整数k的值． 【答案】选择条件①，②，③，的值都是11 【解析】 【分析】由Tn＝2bn－1，求出b1＝1和bn＝2bn－1，可以判断出数列{bn}是首项为1，公比为2的等比数列，求出.分别选择条件①②③时，利用基本量代换，均可以求出an＝35－3n，判断出当n≤11时，an>0，当n>11时，an<0，即可求出Sn取得最大值时正整数k的值为11. 【详解】由Tn＝2bn－1，n∈N*得， 当n＝1时，b1＝1； 当n≥2时，Tn－1＝2bn－1－1， 从而bn＝Tn－Tn－1＝2bn－2bn－1，即bn＝2bn－1， 由此可知，数列{bn}是首项为1，公比为2的等比数列， 故. 选条件①：当a5＝b3＋b5时，a1＝32，a5＝20， 设数列{an}的公差为d，则a5＝a1＋4d， 即20＝32＋4d，解得d＝－3， 所以an＝32－3(n－1)＝35－3n， 因为当n≤11时，an>0，当n>11时，an<0， 所以当n＝11时，Sn取得最大值． 因此，正整数k的值为11. 选条件②：当S3＝87时，a1＝32,3a2＝87， 设数列{an}的公差为d，则3(32＋d)＝87， 解得d＝－3， 所以an＝32－3(n－1)＝35－3n， 因为当n≤11时，an>0，当n>11时，an<0， 所以当n＝11时，Sn取得最大值， 因此，正整数k的值为11. 选条件③：当a9－a10＝b1＋b2时，a1＝32，a9－a10＝3， 设数列{an}的公差为d，则－d＝3，解得d＝－3， 所以an＝32－3(n－1)＝35－3n， 因为当n≤11时，an>0，当n>11时，an<0， 所以当n＝11时，Sn取得最大值， 因此，正整数k的值为11. 21. 设为无穷数列，给定正整数，如果对于任意，都有，则称数列具有性质. （1）判断下列两个数列是否具有性质；（结论不需要证明） ①等差数列：； ②等比数列： （2）已知数列具有性质，，，且满足 （即：数列的所有项构成整数集），求的通项公式； （3）若既具有性质又具有性质的数列一定是等差数列，求的最小值. 【答案】（1）数列具有性质，数列不具有性质 （2）或 （3） 【解析】 【分析】（1）性质即，通过代入验证即可判断； （2）通过转化得到数列：，，，⋯，是等差数列且公差，数列：，，，⋯，，是等差数列且公差，进而分类讨论的正负情况进而求解的通项公式； （3）由数列1，1，1，2，2，2，3，3，3，，，，，不是等差数列，且其既具有性质又具有性质，得．所以的最小值大于或等于5，然后证明的最小值等于5即可. 【小问1详解】 由题意知，数列通项公式为， ，所以数列具有性质； 数列中，代入，，所以数列不具有性质. 【小问2详解】 由数列具有性质，得， 所以，即， 所以数列：，，，，，是等差数列. 又因为，，所以数列的公差， 同理，得数列：，，，⋯，，是等差数列，公差．           ①若且，则数列的最小项是，数列的最小项是， 所以数列的最小项为1，这与矛盾； ②若且，同理，得的最大项为2，这与矛盾；           ③若且，则为递减数列，为递增数列， 由，得3为数列中的项，所以只能是，且， 同理，可得0为数列中的项，所以只能，， 此时，的通项公式为； ④若，，类似③的讨论可得，． 此时，的通项公式为． 综上，的通项公式为或. 【小问3详解】 由数列1，1，2，2，3，3，⋯，，，，，，，不是等差数列，且其同时具有性质，，，得且， 类似的，由数列1，1，1，2，2，2，3，3，3，⋯，，，，不是等差数列，且其既具有性质又具有性质，得， 所以的最小值大于或等于5， 以下证明的最小值等于5，即证“既具有性质又具有性质的数列一定是等差数列”． 因为具有性质，即， 所以对于，是等差数列； 同理，由具有性质，得对于，是等差数列．           由，，，，，，为等差数列（记公差为），且，，，，，，为等差数列（记公差为）， 得，，所以． 令，则，，． 同理，由，，⋯，，为等差数列，且，，，，，，，，为等差数列（记公差为），得，， 所以，且． 所以 同理，由，，，⋯，，为等差数列，且，，，⋯，，为等差数列， 得； 由，，，，⋯，，为等差数列，且，，，，⋯，，为等差数列， 得； 由，，，，，⋯，，为等差数列，且，，，，，⋯，，为等差数列，得． 综上，， 故数列是公差为的等差数列， 即既具有性质又具有性质的数列一定是等差数列， 所以的最小值等于5. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 北京九中2025-2026学年第二学期高二数学期中统练试卷 （考试时间120分钟 满分150分） 一、单项选择题.（本题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题意，选对得4分，选错或不答的得0分.） 1. 若数列的通项公式，则此数列（ ） A. 是公差为的等差数列 B. 是公差为1的等差数列 C. 是首项为2的等差数列 D. 是公差为n的等差数列 2. 已知件产品中有件正品，其余为次品.现从件产品中任取件，观察正品件数与次品件数，下列选项中的两个事件互为对立事件的是（ ） A. 恰好有件次品和恰好有件次品 B. 至少有件次品和全是次品 C. 至少有件正品和至少有件次品 D. 至少有件次品和全是正品 3. 等比数列中，，是方程的两根，则等于（ ） A. B. 4 C. D. 以上都不对 4. 我国古代有辉煌的数学研究成果，其中《周髀算经》，《九章算术》，《海岛算经》，《孙子算经》均有着十分丰富的内容.某中学计划将这4本专著作为高中阶段“数学文化”校本课程选修内容，要求每学年至少选一科，三学年必须将4门选完，则小南同学的不同选修方式有（ ）种. A. B. C. D. 5. 设是等差数列.下列结论中正确的是 A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 6. 已知随机变量的分布列为 0 1 2 P 则（ ） A. B. C. D. 7. 已知数列是无穷项等比数列，公比为，则“”是“数列单调递增”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分又不必要条件 8. 若数列是等差数列，则下列数列不一定是等差数列的是（    ） A. B. C. （为常数） D. 9. 已知数列满足，，则（ ） A. B. C. 2 D. 2025 10. 定义：已知数列，，，若，，使，则称，互为阶友好数列.已知为无穷项等差数列，是数列的前项和，是公比为的无穷项等比数列，，.下列说法正确的是（ ） A. 若，则，，互为5阶友好数列 B. 若，则，，互为5阶友好数列 C. 若，则，使，互为4阶友好数列 D. 若，则，使，互为4阶友好数列 二.填空题（每小题5分，共计25分） 11. 设等差数列的前项和为，若，，则________. 12. 的展开式中常数项为______． 13. 已知数列，，则________，数列的通项公式________. 14. 100件产品中有5件次品，不放回地抽取2次，每次抽1件.已知第1次抽出的是次品，则第2次抽出正品的概率是_________. 15. 下面是关于公差d>0的等差数列{an}的四个命题： p1：数列{an}是递增数列； p2：数列{nan}是递增数列； p3：数列是递增数列； p4：数列{an＋3nd}是递增数列． 其中的真命题为________． 三、解答题（共计85分） 16. 已知等差数列满足，. （1）求数列的通项公式 （2）求 17. 在某区“创文明城区”（简称“创城”）活动中，教委对本区A，B，C，D四所高中学校随机抽查了100人，将调查情况进行整理后制成下表： 学校 A B C D 抽查人数 50 15 10 25 “创城”活动中参与的人数 40 10 9 15 （1）在100名高中学生中，随机抽取1名学生，求该生没有参与“创城”活动的概率； （2）在上表中从B，C两校没有参与“创城”活动的同学中随机抽取2人，求恰好B，C两校各有1人的概率是多少? （3）在抽查的100名高中学生中随机抽取2人，已知其中的一名同学来自D校，则这2人不同校的概率是多少? 18. 已知是等差数列，是等比数列，且，，，. （1）求的通项公式； （2）设，求数列的前项和. 19. 某中学为了解本校高二年级学生阅读水平现状，从该年级学生中随机抽取100人进行一般现代文阅读速度的测试，以每位学生平均每分钟阅读的字数作为该学生的阅读速度，将测试结果整理得到如下频率分布直方图： （1）若该校高二年级有1500人，试估计阅读速度达到620字/分钟及以上的人数； （2）用频率估计概率，从该校高二学生中随机抽取3人，设这3人中阅读速度达到540字/分钟及以上的人数为，求的分布列与数学期望； （3）若某班有10名学生参加测试，他们的阅读速度如下：506，516，553，592，617，632，667，693，723，776，从这10名学生中随机抽取3人，设这3人中阅读速度达到540字/分钟及以上的人数为，试判断数学期望与（2）中的的大小. 20. 在①a5＝b3＋b5，②S3＝87，③a9－a10＝b1＋b2这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并给出解答． 设等差数列{an}的前n项和为Sn，数列{bn}的前n项和为Tn，___，a1＝b6，若对于任意n∈N*都有Tn＝2bn－1，且Sn≤Sk(k为常数)，求正整数k的值． 21. 设为无穷数列，给定正整数，如果对于任意，都有，则称数列具有性质. （1）判断下列两个数列是否具有性质；（结论不需要证明） ①等差数列：； ②等比数列： （2）已知数列具有性质，，，且满足 （即：数列的所有项构成整数集），求的通项公式； （3）若既具有性质又具有性质的数列一定是等差数列，求的最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $