第17章一元二次方程及其运用（单元复习课件）数学新教材沪科版八年级下册

单元复习课件 第17章 一元二次方程及其运用 沪科版（新教材）·八年级下册 学习内容导览 单元知识图谱 2 单元复习目标 1 3 考点串讲 针对训练 5 题型剖析 4 6 课堂总结 1. 掌握：一元二次方程的定义、一般形式；直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法四种解法；根的判别式的计算及应用；根与系数的关系（韦达定理）的核心内容；一元二次方程解决增长率、面积、传播问题等实际应用题的一般步骤。 3.体会：转化思想（将一元二次方程转化为一元一次方程）、分类讨论思想（根的判别式中参数的取值范围）、建模思想（将实际问题转化为数学方程）；数学与生活的密切联系，提升运用数学知识解决实际问题的意识和能力，培养严谨的解题习惯。 2.理解：一元二次方程的本质（含一个未知数、最高次数为2的整式方程）；四种解法的内在逻辑的联系与区别；根的判别式与根的个数的对应关系；根与系数的关系的推导过程；实际问题中抽象出一元二次方程模型的思路。 单元学习目标 一元二次方程及应用 一元二次方 程的定义 三要素：①整式方程；②一元；③二次 一般形式：ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) 一元二次方程的解法 直接开平方法 配方法 公式法 因式分解法 根与系数的关系： 根的判别式及 根与系数的关系 根的判别式：Δ = b2 - 4ac 一元二次方程的应用 营销问题、平均变化率问题 几何问题、数字问题 单元知识图谱 4 考点1 一元二次方程的概念及一般形式 1. 一元二次方程定义： 2.一元二次方程一般形式： 只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是 2 的整式方程，叫作一元二次方程. ax2 ＋ bx ＋c＝0 (a，b，c 为常数，a ≠ 0) 3.一元二次方程一般形式结构： ax2 ＋ bx ＋c＝0 (a，b，c 为常数，a ≠ 0) 中， 一次项：ax2 一次项系数：a 二次项：bx 二次项系数：b 常数项：c 注意：各项系数均需包含前面的符号，不能遗漏符号导致错误， 方程-2x² + 3x - 1 = 0中， 二次项是-2x²，二次项系数是-2， 一次项是+3x，一次项系数是3， 常数项是-1， 示例 考点串讲 考点1 一元二次方程的概念及一般形式 4.一元二次方程定义辨析：ax2 ＋ bx ＋c＝0 (a，b，c 为常数，a ≠ 0) (1) 含有一个未知数； (2) 未知数的最高次数为2； (3) 二次项系数不为 0； (4) 整式方程． 注意： （1）判断一个方程是否为一元二次方程时，不能直接根据表面形式判断，需先将方程整理为ax2 ＋ bx ＋c＝0 (a，b，c 为常数，a ≠ 0)的一般形式，再根据定义逐一验证三个条件。 （2）整理方程时，需将所有项移到等号左边，合并同类项，确保方程右边为0，再判断二次项系数是否不为0、未知数最高次数是否为2、是否为整式方程。 （3）在判断“ax² + 2x + 1 = 0是一元二次方程”时，未注明a≠0， 当a=0时，该方程变为一元一次方程， 当a≠0时，才是一元二次方程； 考点串讲 解法 适用类型 考点2 一元二次方程的解法 直接开平方法 配方法 公式法 把方程化为 (x + n)2 = p 的形式 (mx + n)2 = p (m ≠ 0，p ≥ 0) （, ） 四种解法的核心思想均为“降次”，即将次数为2的一元二次方程，通过各种方法转化为两个次数为1的一元一次方程，进而求解。 核心要点 因式分解法 适用于一边为 0，另一边易于分解成两个一次因式的积的一元二次方程 考点串讲 注意事项 开方时一定要注意不要遗漏负根，这是最常见的易错点，很多学生容易只取正根，导致漏解； 同时要注意，开方后得到的是一个非负数，确保计算过程中符号不出现错误。 步骤详解 适用场景 考点2 一元二次方程的解法 1.直接开平方法 ①先将方程通过移项、化简等操作，整理为(x + m)² = n的标准形式，确保左边是完全平方，右边是常数； ②分情况讨论求解：当n＞0时，根据平方根的定义，对等式两边同时开方，得到x + m = ± ， 解得两个不相等的实数根： x₁ = -m + ，x₂ = -m - ； 当n = 0时，开方后得到x + m = 0， 此时方程有两个相等的实数根 x₁ = x₂ = -m； 当n＜0时，由于实数范围内没有一个数的平方是负数，因此方程无实数根 主要适用于方程可化为 (x + m)² = n（n≥0）的形式，此类方程的特征： 左边为一个完全平方形式，右边为一个非负数， 注意：当右边为负数时，方程无实数根， 因为任何实数的平方都不会是负数。 考点串讲 注意事项 步骤详解 适用场景 考点2 一元二次方程的解法 2.配方法 配方法适用于所有一元二次方程，无适用限制，尤其适用于二次项系数为1、一次项系数为偶数的方程，此类方程配方过程更简便， 同时配方法也是推导求根公式的基础，理解配方法的原理，能更好地掌握公式法。 配方法的核心是将一元二次方程的左边配成一个完全平方形式，步骤： ①移项：将方程中的常数项全部移到等号右边，使等号左边只保留二次项和一次项； ②二次项系数化为1：方程两边同时除以二次项系数，确保二次项系数为1，这是配方的关键步骤 ③配方：在等号两边同时加上一次项系数一半的平方，等号左边会转化成一个完全平方形式， ④开方求解：将配方后的方程化为(x + m)² = n的形式，再按照直接开平方法的步骤求解，若n＜0，则方程无实数根。 ①配方前必须将二次项系数化为1， ②配方时，一次项系数一半的平方计算要准确，注意符号，若一次项系数为负数，其一半的平方仍为正数； ③配方后，若等号右边为负数，直接判断方程无实数根，无需继续开方； ④整个过程中，移项、系数化为1、配方等步骤的符号的处理要严谨，避免因符号错误导致最终解错。 考点串讲 注意事项 步骤详解 适用场景 考点2 一元二次方程的解法 3.公式法 公式法是一元二次方程的“万能解法”，适用于所有一元二次方程，尤其适用于无法用直接开平方法、因式分解法快速求解的方程，无论方程形式如何，只要化为一般形式，就能用公式法求解。 代入求根公式求解，具体步骤分为三步： ①化为一般形式：首先将方程整理为ax² + bx + c = 0（a≠0）的一般形式，准确确定a、b、c的值，注意a、b、c均包含前面的符号， ②计算根的判别式Δ： Δ = b² - 4ac，通过Δ的值判断方程实数根的个数，这一步是公式法的前提， 若Δ＜0，方程无实数根，无需代入公式； 若Δ≥0，方程有实数根，可继续代入公式； ③代入求根公式：将a、b、c的值代入求根公式，计算得出方程的根， ①使用公式法前，必须先将方程化为一般形式，若a、b、c的符号判断错误，会导致整个求解过程出错； ②必须先计算Δ，再代入公式，不能直接跳过Δ的计算，若Δ＜0，直接判断无实数根，避免无效计算； ③代入公式计算时，要注意运算顺序， ④若Δ为完全平方数，可将根化为最简形式，若为非完全平方数，可保留根号形式。 考点串讲 注意事项 步骤详解 适用场景 考点2 一元二次方程的解法 4.因式分解法 适用于方程左边能因式分解为两个一次因式乘积的一元二次方程， 此类方程的特征是整理为一般形式后，左边的二次三项式（或单项式）能通过提公因式、平方差公式、完全平方公式等方法分解为两个一次因式的乘积。 因式分解降次，具体步骤分为三步： ①化为一般形式：整理方程右边为0，若右边不为0，需先移项，将所有项移到左边， ②因式分解：将方程左边的二次多项式分解为两个一次因式的乘积，常见的因式分解方法有提公因式法、平方差公式（a² - b² = (a+b)(a-b)）、完全平方公式（a²±2ab + b² = (a±b)²），需根据多项式的特点选择合适的分解方法，确保分解彻底； ③转化求解：根据“若两个因式的乘积为0，则至少有一个因式为0”的原理，将两个一次因式分别等于0，得到两个一元一次方程，解这两个一元一次方程，即可得到原一元二次方程的两个根。 ①因式分解时，必须先将方程右边化为0，否则无法利用“乘积为0”的原理求解； ②因式分解要彻底，不能分解不彻底导致漏解或错解 ③常见的因式分解方法要熟练掌握，尤其是提公因式法，当各项都有公因式时，需先提取公因式，再进行后续分解； ④因式分解后，切勿遗漏任何一个一元一次方程的解，确保两个根都能求解出来。 考点串讲 考点2 一元二次方程的解法 ①能直接开方的优先用直接开平方法，此类方法步骤最简单，计算量最小； ②能因式分解的优先用因式分解法，步骤简洁，不易出错； ③二次项系数为1、一次项系数为偶数的，可考虑配方法，配方过程更简便； ④以上方法均不简便或无法求解的，再用公式法，公式法虽然万能，但计算量相对较大，需注意计算准确。 解法选择技巧： 解一元二次方程时，优先选择简便方法，提高解题效率，避免复杂计算。具体选择原则为： 考点串讲 1.一元二次方程根的判别式： 我们把 叫做一元二次方程的根的判别式，通常用符号“”表示，记作． ①时，一元二次方程有两个不相等的实数根。 即；。 ②时，一元二次方程有两个相等的实数根。 即。 ③时，一元二次方程没有实数根。 2.一元二次方程 ， 考点3 一元二次方程的根的判别式 考点串讲 考点3 一元二次方程的根的判别式 2. 常见应用详解： 应用2：求参数的取值范围，此类问题的核心是根据方程根的个数，列出关于参数的不等式（或等式），同时结合二次项系数a≠0的条件，求解参数的取值范围。 若方程有两个不相等的实数根，需满足Δ＞0且a≠0； 若方程有实数根，需分情况讨论：当a≠0时，Δ≥0； 当a=0时，方程变为一元一次方程，需判断一元一次方程是否有实数根，再综合得出参数的取值范围。 若方程无实数根，需满足Δ＜0且a≠0； 应用1：判断方程根的个数，这是Δ最基础的应用，只需将方程化为一般形式，确定a、b、c的值，计算Δ的符号，即可判断根的个数。 考点串讲 考点3 一元二次方程的根的判别式 易错点详细解析： ①忽略二次项系数a≠0的条件，在求参数取值范围时，只考虑Δ的符号，忘记a≠0，导致参数取值范围出错， 例如求“ax2 + bx + c = 0 有实数根，求a的取值范围”时，若只考虑Δ≥0，会得到a≤1，遗漏a≠0的情况，实际需分a≠0（Δ≥0）和a=0（一元一次方程有实数根）两种情况，最终a≤1； ②计算Δ时，符号出错，尤其是b的符号 例如将b= -5误写为b=5，导致b²计算正确，但-4ac的符号出错，进而Δ计算错误； ③在判断“方程有实数根”时，未分一元二次方程和一元一次方程，直接套用Δ≥0，忽略a=0的情况。 考点串讲 考点4 一元二次方程的根与系数的关系 1.一元二次方程一元二次方程ax²+bx+c=0 (a ≠ 0）根与系数的关系： 如果 是一元二次方程 的两个根,由解方程中的公式法: ,。 由此可求出：① ；② 。 韦达定理 （1）定理应用前提：Δ≥0，否则方程无实数根，韦达定理不适用 （2）需要重点注意公式中的符号，两根之和是”，不是“”，这是最常见的易错点，切勿遗漏负号。 注意 考点串讲 考点4 一元二次方程的根与系数的关系 应用2：求与两根相关的代数式的值， 方法 ：将所求代数式转化为含x₁ + x₂和x₁x₂的形式，再代入公式计算。注意转化过程中要注意公式的准确性，避免符号错误。 2. 常见应用 应用1：不解方程直接求两根之和、两根之积， 将方程化为一般形式，确定a、b、c的值，代入公式计算即可。计算时，需注意a、b、c的符号，确保公式应用准确，尤其是两根之和的符号，若b为正数， 为负数；若b为负数， 为正数。 x₁² + x₂² =(x₁ + x₂)² - 2x₁x₂ (x₁ - x₂)² = (x₁ + x₂)² - 4x₁x₂ + = 常见转化的代数式 (x₁ + 1)(x₂ + 1)= ＋ ＋1 考点串讲 17 2. 常见应用 应用4：判断两根的符号，根据韦达定理，通过两根之和与两根之积的符号，可判断两根的正负情况： ①若x₁ + x₂＞0，x₁x₂＞0，则两根均为正数； ②若x₁ + x₂＜0，x₁x₂＞0，则两根均为负数； ③若x₁x₂＜0，则两根一正一负； ④若x₁x₂=0，则至少有一个根为0。 判断时，需结合两根之和与两根之积的符号，综合分析，不能单独根据其中一个判断。 应用3：构造新方程，已知两个数的和与积，可根据韦达定理构造以这两个数为根的一元二次方程。 构造方法为：设两个数为x₁、x₂，則所求方程为： x² - (x₁ + x₂)x + x₁x₂ = 0， 考点4 一元二次方程的根与系数的关系 考点串讲 考点4 一元二次方程的根与系数的关系 易错点详细解析： ①忽略韦达定理的前提条件Δ≥0，若方程无实数根（Δ＜0），则不存在两根，无法套用韦达定理，若强行套用，会导致错误； ②计算x₁ + x₂时，遗漏“”中的负号，误将x₁ + x₂写成，导致计算错误； ③转化与两根相关的代数式时，公式运用错误，例如将x₁² + x₂²误写为(x₁ + x₂)² + 2x₁x₂，或将(x₁ - x₂)²误写为(x₁ + x₂)² - 2x₁x₂ ，导致代数式转化错误，最终结果出错； ④构造新方程时，误将方程写为x² + (x₁ + x₂)x + x₁x₂ = 0，忽略两根之和前面的负号，导致方程错误。 考点串讲 考点5 一元二次方程的实际应用 一元二次方程的实际应用是本章的重点和难点，核心是将实际问题转化为数学问题，利用一元二次方程求解，关键是找到题目中的等量关系，同时注意检验根的合理性，确保解符合实际场景。实际应用的解题步骤固定，需熟练掌握，同时熟悉常见题型的等量关系，提升解题效率。 核心要点 几种常见类型 面积问题 数字问题 变化率问题 循环问题 商品利润问题 可化为一元二次方程的分式方程 考点串讲 考点5 一元二次方程的实际应用 1.列方程解实际问题的三个重要环节： 　　一是整体地、系统地审题； 　　二是把握问题中的等量关系； 　　三是正确求解方程并检验解的合理性. 2.解决应用题的一般步骤： 　　　审 (审题目，分清已知量、未知量、等量关系等)； 　　　设 (设未知数，有时会用未知数表示相关的量)； 　　　列 (根据题目中的等量关系，列出方程)； 　　　解 (解方程，注意分式方程需检验，将所求量表示清晰)； 验 (检验方程的解能否保证实际问题有意义）； 　　　答 (写出答案，切忌答非所问). 关键是寻找等量关系. 考点串讲 考点5 一元二次方程的实际应用 2. 常见题型及等量关系详解： 题型1：增长率/下降率问题 此类问题的核心是“连续增长/下降”，等量关系为： 初始量×(1 + 增长率)ⁿ = 最终量（n为增长次数）； 初始量×(1 - 下降率)ⁿ = 最终量（n为下降次数）。 其中，初始量是变化前的量，最终量是变化后的量，n是增长（或下降）的次数，增长率（或下降率）用小数表示（不带百分号）， 题型2：面积问题 此类问题的核心是利用图形的面积公式，结合“割补法”“平移法”，将不规则图形转化为规则图形，再找出等量关系。 常见图形有矩形、正方形、三角形、梯形等，核心等量关系为： 规则图形的面积 = 已知面积（或面积差、面积和）。 考点串讲 22 考点5 一元二次方程的实际应用 2. 常见题型及等量关系详解： 题型3：利润问题 此类问题的核心是掌握利润相关的数量关系，核心等量关系为： 总利润 = 单件利润×销售量； 单件利润 = 售价 - 进价； 销售量与售价的关系：通常售价每提高（或降低）一定金额，销售量就减少（或增加）一定数量，需根据题意列出销售量的代数式 题型4：数字问题， 此类问题的核心是根据数位知识表示出两位数、三位数，核心等量关系为： 两位数 = 十位数字×10 + 个位数字； 三位数 = 百位数字×100 + 十位数字×10 + 个位数字。 设未知数时，通常设个位数字、十位数字（或百位数字）为未知数，再根据题意列出方程，注意数字为0~9的整数，且十位数字、百位数字不能为0，避免出现不符合实际的数字。 考点串讲 考点5 一元二次方程的实际应用 2. 常见题型及等量关系详解： 题型5：循环问题， 此类问题分为单循环和双循环两种，核心等量关系为： 单循环问题（如握手、比赛，每两个对象之间只进行一次）， 总次数 = n(n-1) （n为对象数）； 双循环问题（如互发贺卡、双向比赛，每两个对象之间进行两次）， 总次数 = n(n-1)（n为对象数）。 设对象数为n，根据总次数列方程，求解后检验n是否为正整数，符合实际意义。 考点串讲 考点5 一元二次方程的实际应用 易错点详细解析： ①审题不清，找错等量关系，这是实际应用最常见的错误，例如将增长率问题中的“(1 + x)²”误写为“1 + 2x”，忽略连续增长的本质； 将面积问题中的“长和宽都增加2x”误写为“增加x”，导致等量关系错误； ②设未知数时，未注明单位，或单位不统一，例如长度单位有的用米，有的用厘米，未统一单位就列方程，导致计算错误； ③验根时，忽略实际意义，保留不符合题意的根，例如边长为负数、增长率大于1、人数为小数等，均需舍去； ④答题不规范，未写“答”，或答语不完整，未注明单位，导致解题不规范。 考点串讲 题型一 一元二次方程的概念及一般形式 例1.下列方程中，是一元二次方程的是（ ） 2x + 1 = 0 B. x² + 2x - 3 = 0 C. x² + = 1 D. (x + 1)(x - 1) = x² + 2x 解：根据一元二次方程的三个条件逐一判断： A. 未知数最高次数为1，是一元一次方程，排除； B. 只含一个未知数x，最高次数为2，是整式方程，符合一元二次方程定义，正确； C. 分母含未知数x，是分式方程，排除； D. 整理后为x² - 1 = x² + 2x，即-2x - 1 = 0，是一元一次方程，排除。 B 易错提醒： 判断时需先整理方程，再看是否符合三个条件，切勿直接根据表面形式判断； 注意排除分式方程、无理方程和一元一次方程。 题型剖析 26 题型一 一元二次方程的概念及一般形式 例2、将方程(2x - 1)(x + 3) = 4化为一元二次方程的一般形式，并写出二次项系数、一次项系数和常数项。 解：先将左边展开，再移项，将所有项移到等号左边，化为ax² + bx + c = 0（a≠0）的形式，再确定各项系数。 展开左边： 2x² + 6x - x - 3 = 47 移项：2x² + 5x - 3 - 4 = 0， 整理得一般形式：2x² + 5x - 7 = 0； 二次项系数：2，一次项系数：5，常数项：-7。 易错提醒： 移项时注意符号变化，常数项是移项后等号左边的常数，包含前面的符号；切勿将一次项系数误写为“6x - x”的中间结果。 题型剖析 27 例3.（24-25九年级上·江西赣州·期末）将一元二次方程化成一般形式正确的是（   ） A． B． C． D． 解：， ， ， ∴将一元二次方程化成一般形式为， 题型一 一元二次方程的概念及一般形式 题型剖析 题型二 一元二次方程的解法 例4.选择合适的方法解下列一元二次方程： （1）x² - 4x = 0 （2）(x - 2)² = 3 （4）可用因式分解法或公式法， 因式分解得：(2x - 1)(x - 2) = 0， 得：2x - 1 = 0或x - 2 = 0，解得：x₁ = ，x₂ = 2。 （3）x² - 2x - 3 = 0 （4）2x² - 5x + 2 = 0 解：（1）方程左边可提公因式，用因式分解法： x(x - 4) = 0，得x = 0或x - 4 = 0， 解得x₁ = 0，x₂ = 4。 （2）方程为(x + m)² = n的形式，用直接开平方法： 开方得：x - 2 = ±， 解得x₁ = 2 + ，x₂ = 2 - 。 （3）方程左边可因式分解，用因式分解法 (x - 3)(x + 1) = 0， 得x - 3 = 0或x + 1 = 0， 解得x₁ = 3，x₂ = -1。 题型剖析 29 题型二 一元二次方程的解法 例5.（24-25九年级上·四川泸州·期末） 解方程： 解：， ， ， ， 则， 所以 例6.（24-25九年级上·广东江门·期末）解方程： 解： 移项得， 配方得， 即， 开方得， 解得，． 题型剖析 例7.（24-25九年级上·河南周口·期末） （1）解方程：； （2）若，求的值． 解：（1）， ， ， ，或， ，； （2）设， 则有， ， 即或， ，， 的值为1或． 题型二 一元二次方程的解法 题型剖析 题型三 根的判别式的应用 例8.关于x的一元二次方程kx² - 2x + 1 = 0有两个不相等的实数根，求k的取值范围。 分析：一元二次方程有两个不相等的实数根，需同时满足两个条件： ①二次项系数k≠0（保证是一元二次方程）； ②Δ＞0（保证有两个不相等的实数根）。 易错提醒： 切勿忽略二次项系数k≠0的条件，若只考虑Δ＞0，会得到k＜1，遗漏k≠0，导致答案错误； 若题目改为“有实数根”，则需分k≠0（Δ≥0）和k=0（一元一次方程，有实数根）两种情况，最终k≤1。 解：由题意得： ①k≠0； ②Δ = (-2)² - 4×k×1 ＞ 0， 即4 - 4k ＞ 0， 解得k ＜ 1； 综上，k的取值范围是k ＜ 1且k ≠ 0。 题型剖析 32 题型三 根的判别式的应用 例9.（24-25九年级上·甘肃临夏·期末） 若关于的方程有两个实数根，求的取值范围． 解：方程有两个实数根 判别式，即： ． ． ． ． ∴的取值范围是． 题型剖析 题型三 根的判别式的应用 例10.（24-25九年级上·云南红河·期末）若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则m的值可以是（   ） A．0 B． C． D． 解：∵ 方程有两个相等的实数根， ∴ Δ = = = 0， ∴ ， ∴ ， 故 的值可以是 ， C 题型剖析 题型四 根与系数的关系（韦达定理）的应用 例11.已知x₁、x₂是方程x² - 4x + 2 = 0的两个实数根，求下列代数式的值： （1）x₁² + x₂² （2）(x₁ - 1)(x₂ - 1) 易错提醒： ①转化代数式时，公式运用要准确， x₁² + x₂²不能误写为(x₁ + x₂)² + 2x₁x₂ ； ②代入计算时，注意符号，尤其是x₁ + x₂ = -，切勿遗漏负号； ③若方程无实数根（Δ＜0），则不能运用韦达定理，需先判断Δ的符号。 解：由韦达定理得，x₁ + x₂ = 4，x₁x₂ = 2； （1）x₁² + x₂² = (x₁ + x₂)² - 2x₁x₂ = 4² - 2×2 = 16 - 4 = 12； （2）(x₁ - 1)(x₂ - 1) = x₁x₂ - x₁ - x₂ + 1 = x₁x₂ - (x₁ + x₂) + 1 = 2 - 4 + 1 = -1。 题型剖析 35 题型四 根与系数的关系（韦达定理）的应用 例12.（25-26九年级上·全国·期末） 已知关于的一元二次方程的两个实数根分别为 ，，求，的值． 解：在方程 中， ，，． 根据题意，可知 ， ． 解得 ：，． 题型剖析 例13.（24-25九年级上·湖北襄阳·期末）若关于x的一元二次方程有两个实数根．(1)求m的取值范围；(2)若a，b是关于x的一元二次方程的两个根，且，求m的值． （1）解：∵关于x的一元二次方程有两个实数根， ∴， 解得：； （2）解：由题意知：，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， 即：m的值为． 题型四 根与系数的关系（韦达定理）的应用 题型剖析 例14．（24-25九年级上·广东广州·期末）若、是方程的两个实数根，则代数式的值等于 ． 解：∵、是方程的两个实数根， ，， ， ∴ 题型四 根与系数的关系（韦达定理）的应用 题型剖析 题型五 一元二次方程的实际应用 例15.（增长率问题）某商场2024年的营业额为100万元，预计2026年的营业额为144万元，求该商场营业额的年平均增长率。 易错提醒： ①增长率问题中，n为增长次数，本题从2024年到2026年，增长2次，需用(1 + x)²，切勿误写为1 + 2x； ②检验时，需舍去不符合实际意义的根（如负数、大于1的增长率，特殊情况除外）； ③答题时，需注明增长率的单位（百分数）。 分析：设年平均增长率为x，2024年营业额为100万元，2025年营业额为100(1 + x)万元，2026年营业额为100(1 + x)²万元，根据2026年营业额为144万元列方程，求解后检验。 解：设该商场营业额的年平均增长率为x，由题意得： 100(1 + x)² = 144； (1 + x)² = 1.44； 开方得：1 + x = ±1.2； 解得 x₁ = 1.2 - 1 = 0.2 = 20%， x₂ = -1.2 - 1 = -2.2（舍去，增长率不能为负数）； 答：该商场营业额的年平均增长率为20%。 题型剖析 39 例16.（24-25九年级上·云南红河·期末）实施乡村振兴战略是中国共产党的重大决策部署，是新时代做好“三农”工作的总抓手．农业大学毕业的小宇积极响应号召回乡发展，他不仅是一个蔬菜种植能手，还是一个喜爱动脑筋的创意设计者．下面是他设计的一个矩形蔬菜仓库，如图，仓库的一边靠墙，这堵墙的长为18米，在与墙平行的一边，要开一扇2米宽的门，用33米长的木板材料，怎样围成一个面积为150平方米的长方形仓库？ 解：设长方形的长为米， 则每个长用的木板材料为米， 每个宽用的木板材料为： 米， ∴ ， 解得，， 当时，，不符合题意，舍去， ∴， ∴长方形的长为15米，宽为10米． 题型五 一元二次方程的实际应用 题型剖析 题型五 一元二次方程的实际应用 例17.（25-26九年级上·全国·期末）某电厂规定，该厂家属区每户居民如果一个月的用电量不超过a度，那么这居民这个月只需缴30元电费；如果超过a度，那么这个月除了仍要缴30元的用电费以外，超过的部分还要每度按元缴费． (1)若该厂某户居民2月份用电度，超过了规定的a度，则超过的部分应缴电费多少元（用a表示）； (2)如表是这户居民3月、4月用电情况和缴费情况： 月份 用电量（度） 缴电费总数（元） 3 120 62 4 65 30 解：（1）由题意可知，超过a度的电费为： 元； 2）由表格可知3月份的用电量超过a度， 故：， 整理得：， 解得：， ∵4月份用电量度，交费元， ∴，∴不符合题意，舍去， ∴， 答：电厂规定的a的值为． 题型剖析 题型五 一元二次方程的实际应用 例18.（24-25九年级上·河南驻马店·期末）在一次公司年会上，每两个参加会议的人都互相握了一次手，一共握了36次手．求这次会议到会的人数． 解：设这次会议到会的人数为x人， 由题意得，， 整理得， 解得或（舍去）， 答：这次会议到会的人数为9人． 题型剖析 题型五 一元二次方程的实际应用 例19.（24-25九年级上·甘肃兰州·期中）甘肃是面食之乡，其中“金城炒面”也最为有名，它浓郁的西北辣子的香味、爽滑入口、口感劲道，与兰州牛肉面一样享誉全国．兰州某餐馆一份炒面成本价为7元，若每份卖12元，平均每天销售160份，若价格每提高1元，平均每天少销售10份，每份炒面价格是多少元时，该餐馆能实现每天1080元的利润？ 解：设提高了元，则销售价格为元，利润为元，销售份数为份， ∴， 整理得，， ∴， 解得，，， ∴销售价格为元或元时， 餐馆能实现每天的利润． 题型剖析 题型六 配方法的应用 例20．（24-25九年级上·甘肃酒泉·期中）代数式的最小值是 。 解：∵ ， ， ∴， ∴代数式的最小值是4． 4 题型剖析 题型六 配方法的应用 例21．（24-25九年级上·江苏徐州·期中）若m为实数，，，则比较P，Q的大小可得： ． 解： ， ∵， ∴， ∴， ∴， 题型剖析 题型六 配方法的应用 例22．（23-24七年级下·江苏宿迁·期中）已知a、b、c为的三边长，且a、b满足，c为奇数，则的周长为 ． 解：， ， ， ，， 边长c的范围为． 边长c的值为奇数， ， 的周长为． 8 题型剖析 1. 解下列方程： （1）x2 = 64； （2）x2 = 8； （3）(3x + 2)2 = 4(x – 3)2； （4） （5）(2x + 1)2 = 2x + 1. 【教材P47页】 解：（1）开平方，得： 复习题A组 （2）开平方，得 （3）移项，得 (3x + 2)2 – 4(x – 3)2 = 0. (x + 8)(5x – 4) = 0. ∴ x + 8 = 0 或 5x – 4 = 0. ∴原方程的根： （4）把方程左边分解因式，得： ∴y = 0 或 ∴原方程的根是： 针对训练 1. 解下列方程： （1）x2 = 64； （2）x2 = 8； （3）(3x + 2)2 = 4(x – 3)2； （4） （5）(2x + 1)2 = 2x + 1. （5）移项，得 (2x + 1)2 – (2x + 1)2 = 0. 把方程左边分解因式，整理，得 2x(2x + 1) = 0. ∴ 2x = 0 或 2x + 1 = 0. ∴原方程的根是： 针对训练 2. 用配方法解下列方程： （1）x2 – x – 1 = 0； （2）3x2 = – 1 – 5x； （3）5y – 84 + y2 = 0； （4） 解：（1）移项，得 x2 – x = 1 配方，得： 则: 开平方，得: ∴原方程的根是： 针对训练 2. 用配方法解下列方程： （1）x2 – x – 1 = 0； （2）3x2 = – 1 – 5x； （3）5y – 84 + y2 = 0； （4） （2）移项，二次项系数化为 1，得： 配方，得： 则： 开平方，得： 所以原方程的根是： 针对训练 2. 用配方法解下列方程： （1）x2 – x – 1 = 0； （2）3x2 = – 1 – 5x； （3）5y – 84 + y2 = 0； （4） （3）移项，得： y2 + 5y = 84 配方，得： 则： 开平方，得： ∴原方程的根是 针对训练 2. 用配方法解下列方程： （1）x2 – x – 1 = 0； （2）3x2 = – 1 – 5x； （3）5y – 84 + y2 = 0； （4） （4）二次项系数化为 1，得： 配方，得： 则： 开平方，得： 所以原方程的根： 针对训练 3. 用公式法解下列方程： （1） ； （2）9x2 + 4 = 12x； （3）(2x – 1)2 – 5 = x(x – 5)2 ； （4） 解：（1）将方程化为一般形式，得： ∵ a = 1，b = ，c = 2， ∴ b2 – 4ac = – 4×1×2 = 0. 代入求根公式，得： 所以原方程的根是： 针对训练 3. 用公式法解下列方程： （1） ； （2）9x2 + 4 = 12x； （3）(2x – 1)2 – 5 = x(x – 5)2 ； （4） （2）将方程化为一般形式，得： 9x2 – 12x + 4 = 0 ∵ a = 9，b = – 12，c = 4， ∴ b2 – 4ac = (– 12)2 – 4×9×4 = 0. 代入求根公式，得： 所以原方程的根是 针对训练 3. 用公式法解下列方程： （1） ； （2）9x2 + 4 = 12x； （3）(2x – 1)2 – 5 = x(x – 5)2 ； （4） （3）将方程化为一般形式，得 ： 3x2 + x – 4 = 0 ∵ a = 3，b = 1，c = – 4， ∴ b2 – 4ac = 12 – 4×3×(– 4) = 49 > 0. 代入求根公式，得： ∴原方程的根是： 针对训练 3. 用公式法解下列方程： （1） ； （2）9x2 + 4 = 12x； （3）(2x – 1)2 – 5 = x(x – 5)2 ； （4） （4）将方程化为一般形式，得： y2 – 2y + 1 = 0 ∵ a = 1，b = – 2，c = 1， ∴ b2 – 4ac = (– 2)2 – 4×1×1 = 0. 代入求根公式，得： 所以原方程的根是 针对训练 4. 用适当的方法解下列方程： （1） x2 + 6x – 5 = 0； （2）(x + 3)(x – 3) = 2； （3） （4）3x(x – 1) = 2 – 2x. 解：（1）移项，得 x2 + 6x = 5 配方，得： 则： 开平方，得： ∴原方程的根是： （2）将方程化为一般形式，得： x2 – 11 = 0 移项，得： x2 = 11 开平方，得 ∴原方程的根是： 针对训练 4. 用适当的方法解下列方程： （1） x2 + 6x – 5 = 0； （2）(x + 3)(x – 3) = 2； （3） （4）3x(x – 1) = 2 – 2x. （3）将方程化为一般形式，得： ∴ 开平方，得： ∴原方程的根是： （4）将方程化为一般形式，得 3x2 – x – 2 = 0 ∵ a = 3，b = – 1，c = – 2， ∴ b2 – 4ac = (– 1)2 – 4×3×(– 2) = 25 > 0. 代入求根公式，得： ∴原方程的根是： 针对训练 5. 已知关于 x 的方程 2x2 – 5x + k = 0 有两个根，其中一个根是 1. （1）求 k 的值； （2）解这个方程. 解：（1）将 x = 1 代入原方程，得2 – 5 + k = 0 （2）设另一个根为 x2 ，由根与系数的关系，得 解得 k = 3. 解得： ∴原方程的根是： 针对训练 6. 已知实数 m，n (m ≠ n) 满足条件 m2 – 7m + 2 = 0，n2 – 7n + 2 = 0，求的值. 解：由题意，m，n 分别是方程 x2 – 7x + 2 = 0 的两个根，根据根与系数的关系，得 m + n = 7，mn = 2. ∴ 针对训练 7. 有一块长 25 cm、宽 15 cm 的长方形硬纸板. 如果在纸板的四个角上各截去一个相同大小的小正方形，然后折成一个底面积为 231 cm2 的无盖长方体盒子，求截去的小正方形的边长. 解：设截去的小正方形的边长是 x cm，根据题意，得 (25 – 2x)(15 – 2x) = 231 整理得 x2 – 20x + 36 = 0 解得 x1 = 18，x2 = 2. x1 = 18 不合题意，所以 x = 2． 答：截去的小正方形的边长为 2 cm． 针对训练 8. 某商厦 10 月份的营业额是 50 万元，第四季度的营业额是 182 万元. 第四季度后两个月营业额的月平均增长率是多少？ 解：设第四季度后两个月营业额的月平均增长率为 x， 根据题意，得: 50(1 + x)2 + 50(1 + x) + 50 = 182 整理得: 50x2 + 150x – 32 = 0 解得: x1 = 0.2 = 20%，x2 = – 3.2 答：第四季度后两个月营业额的月平均增长率是 20%. x2 = – 3.2 不合题意，所以 x = 20%. 针对训练 1. 已知 y = x2 – 2x – 3. （1）x 是什么数时， y = 0？ （2）x 是什么数时， y = – 4？ 解：（1）令 x2 – 2x – 3 = 0， 解得 x1 = 3，x2 = – 1， ∴当 x = 3 或 – 1 时，y = 0. （2）令 x2 – 2x – 3 = – 4， 解得: x1 = x2 = 1， ∴当 x = 1 时，y = – 4． 【教材P48页】 复习题B组 针对训练 2. 有三个连续奇数，它们的平方和等于 251，求这三个数. 解：设这三个奇数依次为 n – 2，n，n + 2（其中 n 为奇数）， 根据题意，得 (n – 2)2 + n2 + (n + 2)2 = 251， 解得 n1 = 9，n2 = – 9． 当 n = 9 时，n – 2 = 7，n + 2 = 11； 当 n = – 9 时，n – 2 = – 11，n + 2= – 7． 答：这三个连续奇数为 7、9、11 或 – 11、 – 9、 – 7． 针对训练 3. 已知：关于 x 的一元二次方程 (b – c)x2 + (c – a)x + (a – b) = 0 有两个相等的实数根. 求证：2b = a + c. 证明：由题意，b – c ≠ 0， Δ = (c – a)2 – 4(b – c)(a – b) = 0， 整理，得: c2 + 2ac + a2 – 4ab – 4bc + 4b2 = 0． ∴ (a + c)2 – 4b(a + c) + 4b2 = 0， ∴ (a + c – 2b)2 = 0， ∴ 2b = a + c． 针对训练 4. 要建一个面积为 150 m2 的长方形养鸡场，为了节省材料，养鸡场的一边利用原有的一道墙，另三边用铁丝网围成，如果铁丝网的长为 35 m． （1）若墙足够长，则养鸡场的长与宽各为多少？ （2）若给定墙长为 a m，则墙长对养鸡场的长、宽是否有影响？ 解：（1）设垂直于墙的边长为 x m，则平行于墙的边长为 (35 – 2x) m， 根据题意，得 :x(35 – 2x) = 150， 解得 x1 = 7.5，x2 = 10． ∴ 35 – 2x1 = 20，35 – 2x2 = 15． 答：长为 20 m，宽为 7.5 m；或长为 15 m，宽为 10 m． （2）当 a < 15 时，题目无解； 当 15 ≤ a < 20 时，题目只有一个解； 当 a ≥ 20 时，题目有两个解． 针对训练 5. 如图，OA = OB = 50 cm，OC 是一条射线，OC⊥AB 于点 O，一小虫由点 A 以 2 cm/s 的速度沿线段 AB 爬行，同时另一小虫由点 O 以 3 cm/s 的速度沿 OC 爬行，则在几秒时，两小虫所在位置与点 O 组成的三角形的面积等于 450 cm2？ 解：设两小虫爬行的时间为 t s． 答：在 10 s 或 15 s 或 25 s 时，两小虫所在位置与点 O 组成的三角形的面积等于 450 cm2． ①当 0 ≤ t < 25 时，令 解得 t1 = 10，t2 = 15； ② 当 25 < t < 50 时，令 解得 t1 = 30，t2 = – 5（不合题意，舍去）. 针对训练 6. 某家快递公司今年 1 月与 3 月完成投递的快件总分别为 10 万件和 14.4万件，现假定该公司每月投递的快件总数的增长率相同. （1）求该快递公司投递快件总数的月平均增长率； （2）该公司现有 21 名快件投递业务员，如果该公司平均每名快件投递业务员每月最多可投递快件 0.6 万件，那么他们能否完成今年 4 月的快件投递任务？如果不能，至少需要增加几名投递业务员？ 解：（1）设该快递公司投递快件总数的月平均增长率为 x. 根据题意，得: 10(1 + x)2 = 14.4 解方程，得: x1 = 0.2 = 20%，x2 = – 2.2. x2 = – 2.2 不合题意，所以 x = 20%. 答：该快递公司投递快件总数的月平均增长率为 20%. 针对训练 68 6. 某家快递公司今年 1 月与 3 月完成投递的快件总分别为 10 万件和 14.4万件，现假定该公司每月投递的快件总数的增长率相同. （1）求该快递公司投递快件总数的月平均增长率； （2）该公司现有 21 名快件投递业务员，如果该公司平均每名快件投递业务员每月最多可投递快件 0.6 万件，那么他们能否完成今年 4 月的快件投递任务？如果不能，至少需要增加几名投递业务员？ （2）该快递公司 4 月投递快件总数为 14.4×(1 + 20%) = 17.28 (万件) 21 名业务员最多可投递快件 21×0.6 = 12.6 (万件) 12.6 < 17.28 ∴ 21 名业务员不能完成今年 4 月的快件投递业务. 17.28÷0.6 – 21 = 7.8 (人) ∴至少需要增加 8 名投递业务员. 针对训练 69 7. 一小艇顺流航行 24 km 到达目的地，然后逆流回到出发地，航行时间共 6 h. 已知水流速度是 3 km/h，求小艇在静水中的速度. 解：设小艇在静水中的速度是 x km/h，根据题意，得 方程两边同乘以(x + 3)(x – 3)，得 x2 – 8x – 9 = 0， 解方程，得 ：x1 = 9，x2 = – 1. 经检验， x1 = 9，x2 = – 1 都是原方程的根， 但 x2 = – 1 不合题意， ∴ x = 9 ． 答：小艇在静水中的速度是 9 km/h． 针对训练 8. 某商店以 2400 元购进一种茶叶，第一个月每盒按进价增加 20% 作为售价，售出 50 盒. 第二个月每盒以低于进价 5 元作为售价，售完余下的茶叶. 全部售完后共盈利 350 元，求每盒茶叶的进价. 解：设每盒茶叶的进价为 x 元，根据题意，得 解得 x1 = 40，x2 = – 30. 经检验： x1 = 40，x2 = – 30 都是原方程的解， 但 x2 = – 30 不符合题意，所以 x = 40． 答：每盒茶叶的进价为 40 元． 针对训练 1. 已知关于 x 的方程 有两个不相等的实数根 x1，x2. （1）求 k 的取值范围； （2）当 k 取最大整数时，请写出一个以 2x1，2x2 为根的一元二次方程. 解：（1）根据题意，得， 整理，得：8 – 4k > 0. 即 k < 2. （2）当 k 取最大整数时，k = 1. 此时方程为 即 如 x2 – 2x – 3 = 0 (答案不唯一) 【教材P49页】 复习题C组 针对训练 2. 在一次象棋比赛中，实行单循环赛制（即每个选手都与其他选手比赛一局），每局赢者记 2 分，输者记 0 分，如果平局，两个选手各记 1 分. 今有 4 个同学统计了比赛中全部选手的得分总和，结果分别为 2005 分、2004 分、2070 分、2008 分，经核实确定只有一位同学统计正确，试计算这次比赛中共有多少名选手参赛. 解：设这次比赛的选手共有 x 名，则每局比赛两名选手得分总和均为 2 分，且共比赛了 x(x – 1) 局，得分总数为 2× x(x – 1) = x(x – 1)． ∵ x 是大于 1 的正整数，∴ x，x – 1 是连续的正整数. ∴ x(x – 1) 的值的末位数字只能是 0，2，6，即得分总数只能是 2070． ∴ x(x – 1) = 2070. 解得 x1 = 46，x2 = – 45（舍去）. ∴ x = 46． 答：这次比赛中共有 46 名选手参赛． 针对训练 3. 一商店用 1800 元购进玩具若干个，其中有 2 个损坏无法出售，剩余的每个以比进价多 5 元的价格出售. 若剩余的玩具全部卖完，则商店共赚 400 元. 这批玩具每个进价是多少元？共买进了多少个玩具？ 解：设每个玩具的进价是 x 元，根据题意，得 解得 x1 = 20，x2 = – 225． 经检验， x1 = 20，x2 = – 225 都是原方程的解， 但 x2 = – 225 不合题意，所以 x = 20． 1800÷ 20 = 90（个） 答：这批玩具每个的进价是 20 元，共买进了 90 个玩具. 针对训练 01 概念理解 深刻理解一元二次方程的定义及一般形式 (a ≠ 0)，这是解题的基础。 02 解法掌握 熟练掌握四种解法，能根据题目特征灵活选择最优解法，提升解题效率。 03 核心工具 熟练运用根的判别式 (Δ) 判断根的情况，并掌握韦达定理进行根与系数关系分析。 04 实际应用 掌握“审、设、列、解、验、答”六步走，准确列出方程解决各类实际问题。 知识点总结 课堂总结 思想方法总结 1.降次转化 解一元二次方程的根本思想，即将高次的二次方程转化为我们熟悉的一次方程，从而化繁为简，解决问题。 2.分类讨论 处理根的判别式 (Δ) 和含参数问题时的重要逻辑工具。要做到分类标准清晰，结果“不重不漏”。 3.数学建模 连接数学知识与现实世界的桥梁。是运用方程解决诸如几何、经济等实际问题的核心思维方式。 课堂总结 感谢聆听! $