18.1 第1课时 勾股定理 课件 2025-2026学年沪科版数学八年级下册

沪科版数学8年级下册培优精做课件 授课教师： Home . 班 级： 8年级（*）班 . 时 间： . 2026年5月4日 18.1 第1课时 勾股定理 第18章 勾股定理 沪科版数学八下18.1第1课时 勾股定理练习题 本套练习题围绕沪科版八年级下册18.1第1课时勾股定理核心知识点设计，侧重基础巩固、易错辨析和简单应用，贴合课堂所学，帮助同学们熟练掌握勾股定理的内容（直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方，即在Rt△ABC中，∠C=90°，则a²+b²=c²，其中a、b为直角边，c为斜边），题型涵盖选择题、填空题、解答题，总字数控制在1000字左右，适合课后即时练习。 一、选择题（每题4分，共20分） 1. 在Rt△ABC中，∠C=90°，若直角边a=3，b=4，则斜边c的长为（ ） A. 5 B. 7 C. 25 D. √7 2. 下列各组线段中，能构成直角三角形的是（ ） A. 2，3，4 B. 3，4，6 C. 5，12，13 D. 4，6，7 3. 我国古代数学家刘徽利用“出入相补”原理证明了勾股定理，这种证法体现的数学思想是（ ） A. 数形结合思想 B. 分类思想 C. 函数思想 D. 归纳思想 4. 在Rt△ABC中，∠C=90°，若斜边c=10，直角边a=6，则另一条直角边b的长为（ ） A. 8 B. 4 C. √136 D. 16 5. 已知直角三角形的两边长分别为3和4，则第三边长为（ ） A. 5 B. √7 C. 5或√7 D. 无法确定 二、填空题（每题4分，共20分） 1. 在Rt△ABC中，∠C=90°，a=5，b=12，则c=______。 2. 若直角三角形的两直角边长分别为6和8，则斜边上的中线长为______。 3. 如图，数字代表所在正方形的面积，其中一个正方形面积为25，另一个为144，则字母所代表的正方形的面积为______。 4. 在Rt△ABC中，∠C=90°，若a:b=3:4，c=10，则a=______，b=______。 5. 等腰直角三角形的直角边长为√2，则斜边的长为______。 三、解答题（每题12分，共60分） 1. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，已知AC=5cm，BC=12cm，求斜边AB的长及△ABC的面积。 2. 已知在Rt△ABC中，∠C=90°，斜边AB=20cm，一条直角边AC=16cm，求另一条直角边BC的长及斜边上的高CD的长（提示：利用三角形面积相等求解）。 3. 一个圆柱形铁桶，底面周长为12πcm，高为8cm，一只蚂蚁从铁桶底面圆周上的点A出发，沿铁桶侧面爬行到上底面圆周上与A相对的点B，求蚂蚁爬行的最短路径长（侧面展开后利用勾股定理求解）。 4. 如图，在4×3的正方形网格中，点A、B、C在小正方形的顶点上，每个小正方形的边长为1，求△ABC的周长（提示：先判断△ABC的形状，再计算边长）。 5. “折竹抵地”源自《九章算术》：“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？”（1丈=10尺），大意是：一根竹子原高一丈，虫伤后被风吹折，竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部3尺远，求竹子折断处离地面的高度。 四、易错辨析（附加10分） 判断下列说法是否正确，并说明理由： 1. 已知a、b、c是三角形的三边，则a²+b²=c²。 2. 在直角三角形中，两边的平方和等于第三边的平方。 参考答案与提示 一、选择题：1.A 2.C 3.A 4.A 5.C（提示：第5题需分两种情况，3和4均为直角边或4为斜边） 二、填空题：11.13 12.5 13.169 14.6，8 15.2 三、解答题： 18. AB=13cm，面积=30cm²（提示：由勾股定理得AB²=5²+12²=169，故AB=13；面积=½×5×12=30）。 19. BC=12cm，CD=9.6cm（提示：BC²=20²-16²=144，故BC=12；面积=½×16×12=½×20×CD，解得CD=9.6）。 20. 10cm（提示：侧面展开为长方形，长=底面周长=12πcm，宽=高=8cm，最短路径为长方形对角线，长=√[(12π÷2)²+8²]=10cm）。 21. 12（提示：AC=3，BC=4，AB=5，△ABC为直角三角形，周长=3+4+5=12）。 22. 4.55尺（提示：设折断处离地面x尺，由勾股定理得x²+3²=(10-x)²，解得x=4.55）。 四、易错辨析：1.错误，只有直角三角形中，两直角边的平方和才等于斜边的平方；2.错误，应是两直角边的平方和等于斜边的平方。 1. 经历勾股定理的探究过程，了解关于勾股定理的一些文化历史背景，会用面积法来证明勾股定理，体会数形结合的思想. (重点) 2. 会用勾股定理进行简单的计算. (难点) 学习目标 勾股定理 复习导入 A B C 说一说直角三角形有哪些性质？ ① 有一个直角，∠C = 90° ② 两个锐角互余，∠A + ∠B = 90° a b c 对于直角三角形的三条边，它们之间有什么特殊关系呢？ 推进新课 勾 股 弦 3 4 5 并指出“两矩共长二十有五”. 在《周髀算经》的开篇，商高构造了一个勾、股、弦分别为三、四、五的直角三角形， S1 = 9 S2 = 16 S3 = 25 这个直角三角形的三边满足： 两条直角边长的平方和______斜边长的平方 等于 如图，在行距、列距都是 1 个单位长度的方格网中，Rt△ABC 的顶点都是格点，∠ACB = 90°. 分别以△ABC 的各边为正方形的一边，向形外作正方形，并用 S1，S2 与 S3 表示这三个正方形的面积. 探究 S2 S3 S1 b c a （1） （2） S2 S3 S1 b c a 探究 S2 S3 S1 b c a 1. S1 ____个单位面积 S2 ____个单位面积 S3 ____个单位面积 面积关系 9 9 18 S1 + S2 = S3 探究 S1 ____个单位面积 S2 ____个单位面积 S3 ____个单位面积 面积关系 9 16 25 2. S2 S3 S1 b c a S1 + S2 = S3 探究 3. 图中三个正方形面积之间有怎样的关系？ S2 S3 S1 b c a （1） （2） S2 S3 S1 b c a 用它们的边长 a，b，c 表示：_______________. 9 + 16 = 25 9 + 9 = 18 S1 + S2 = S3 a2 + b2 = c2 探究 4. 画若干个直角三角形，分别度量它们的三边长，猜想三边长度有怎样的关系. 与同伴进行交流. 几何画板：直角三角形的三边关系 B C b c a A 如图，在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，AB = c，BC = a，AC = b，则 a2 + b2 = c2 . B C b c a A 猜 想 利用拼图来证明猜想： 1. 准备 4 个全等的直角三角形（设直角三角形的两条直角边分别为 a、b，斜边为 c）. 2. 你能用这四个直角三角形拼成一个以斜边 c 为边长的正方形吗？拼一拼，算算看！ b c a 拼法1 拼法2 b c a b c a c c b a b a b c a b c a c c b a b a 证 明 B1 E b c a A1 b c a c c b a b a C1 D1 F H G 取 4 个与 Rt△ABC 全等的直角三角形，把它们拼成如图所示的边长为 a + b 的正方形 EFGH. 由题意，得 A1B1 = B1C1 = C1D1 = A1D1 = c. 因为∠B1A1E +∠A1B1E = 90°， ∠A1B1E =∠D1A1H， 所以∠B1A1E +∠D1A1H = 90°， ∠D1A1B1 = 90°. 同理： ∠A1B1C1 =∠B1C1D1 =∠C1D1A1 = 90°. 则四边形 A1B1C1D1 是边长为 c 的正方形. 证 明 B1 E b c a A1 b c a c c b a b a C1 D1 F H G 分别记正方形 EFGH 和正方形 A1B1C1D1 的面积为 和 . 则 即 化简，得 a2 + b2 = c2. 拼法2证明 a b c b a2 + b2 c2 a a b c = 直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方. 在 Rt△ABC 中，∠C = 90°， ∴ a2 + b2 = c2. 几何语言： 定理： B C b c a A 我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾，较长的直角边称为股，斜边称为弦. 因此，我们称上述定理为勾股定理，国外称之为毕达哥拉斯定理. 2002年，第 24 届国际数学家大会在北京召开，此次大会的会徽是以“弦图”为原型设计的，这是对我国在数学领域取得辉煌成就的充分肯定. 直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方. 练一练 在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，a，b，c 分别表示 ∠A，∠B，∠C 的对边. （1）已知 a = 7，c = 25，求 b； 【教材P54练习 T1】 解：在 Rt△ABC 中，a2 + b2 = c2. ∴ b2 = c2 – a2 = 252 – 72 = 625 – 49 = 576. ∴ b = 24. 练一练 在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，a，b，c 分别表示 ∠A，∠B，∠C 的对边. （2）已知 c = 25，a∶b = 4∶3，求 a，b. 【教材P54练习 T1】 解：在 Rt△ABC 中，a2 + b2 = c2. 设 a = 4x，b = 3x，则(4x)2 + (3x)2 = 25x2 = 252. ∴ x = 5. ∴ a = 4×5 = 20，b = 3×5 = 15. 例 1 如图，在 Rt△ABC 中，两直角边 AC = 5，BC = 12. 求： （1）AB 的长； （2）斜边上的高 CD 的长. B C A D 解 （1）在 Rt△ABC 中， AB2 = AC2 + BC2 = 52 + 122 = 169. 则 AB = 13. （2）∵ ， ∴ 练一练 1. 直角三角形两边长分别是 3，4，求第三边长. 【教材P54练习 T2】 解：分两种情况讨论. ①当已知两边均为直角边时，第三边长为： ②当已知两边一条为直角边，另一条为斜边时，第三边长为： 所以第三边长为 5 或 练一练 2. 如图，在行距和列距都是 1 的方格网中，△ABC 的顶点都是格点，求△ABC 的周长和面积. 【教材P54练习 T3】 A B C 解：由勾股定理，得 ∴△ABC 的周长为 S△ABC = 返回 D 1. 直角三角形两直角边的长分别为6和8，则斜边上的 高为(　　) A．10 B．5 C．9.6 D．4.8 中考考法 24 C 返回 2．如图，在长方形ABCD中，AB＝3 cm，AD＝9 cm，将此长方形折叠，使点B与点D重合，折痕为EF，则△ABE的面积为(　　) A．3 cm2 B．4 cm2 C．6 cm2 D．12 cm2 中考考法 25 返回 B 中考考法 26 4．[2025成都]如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝1，BC＝2.以点A为圆心，以AB长为半径作弧；再以点C为圆心，以BC长为半径作弧，两弧在AC上方交于点D，连接BD，则BD的长为________． 中考考法 27 返回 中考考法 返回 5．如图，在每个小正方形的边长均为1的网格中，△ABC各顶点均在网格的格点上，BD⊥AC于点D，则BD的长为________． 1 中考考法 29 6．勾股定理是历史上第一个把数与形联系起来的定理，其证明是论证几何的发端．下面四幅图中不能证明勾股定理的是(　　) 中考考法 30 中考考法 课堂小结 直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方. 在 Rt△ABC 中，∠C = 90°， ∴ a2 + b2 = c2. 几何语言： 定理： B C b c a A Lavf54.6.100 3．[2025安徽]如图，在△ABC中，∠A＝120°，AB＝AC，边AC的中点为D，边BC上的点E满足ED⊥AC.若DE＝，则AC的长是(　　) A．4 B．6 C．2 D．3 【点拨】如图，连接AD，CD，设AC与BD相交于O，根据作图过程，得AD＝AB，CD＝CB，∴AC垂直平分BD，则AC⊥BD，OB＝OD.∵在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝1，BC＝2，∴AC＝＝＝.由S△ABC＝AB·BC＝AC·OB，得BO＝＝ ＝，∴BD＝2OB＝. 【点拨】A.大正方形的面积等于两个小正方形的面积与两个长方形的面积和，∴(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2，以上公式为完全平方公式，故A选项不能证明勾股定理．B.三个直角三角形的面积的和等于梯形的面积，∴ab＋ab＋c2＝(a＋b)(a＋b)，整理可得a2＋b2＝c2，故B选项可以证明勾股定理． $