第17章 一元二次方程及其应用 学业质量评价（作业课件）【优翼·学练优】2025-2026学年八年级数学下册同步备课（沪科版）

2026春季学期 《学练优》·八年级数学下·HK 第17章学业质量评价 一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，满分 40分) 1. 下列方程属于一元二次方程的是(　D　) A. x2＋y－2＝0 B. x＋y＝5 C. x＋ ＝5 D. x2＋2x＝3 D 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 2. 用配方法解一元二次方程x2－4x－9＝0时，原方 程可变形为(　A　) A. (x－2)2＝13 B. (x－2)2＝11 C. (x＋2)2＝11 D. (x＋2)2＝13 A 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 3. 若α，β是一元二次方程x2－3x－10＝0的两个 根，则α＋β＝(　B　) A. －3 B. 3 C. －10 D. 10 4. 若关于x的方程x2－2x－m＝0没有实数根，则 m的最大整数值是(　A　) A. －2 B. －1 C. 0 D. 1 B A 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 5. 已知m是一元二次方程x2－x－3＝0的一个根， 则2026－m2＋m的值为(　B　) A. 2029 B. 2023 C. 2020 D. 2026 6. 若关于x的一元二次方程(m－3)x2＋m2x＝9x－ 6化为一般形式后不含一次项，则m的值为(　D　) A. 0 B. ±3 C. 3 D. －3 B D 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 7. 流行性感冒是一种由流感病毒引起的传染病，人 群普遍易感.若有一人患了流感，经过两轮传染后， 假设共有100人患了流感，每轮传染中平均每人传染 了x个人，则下列结论错误的是(　B　) A. 1轮后有(x＋1)人患了流感 B. 2轮后有(x＋1)x个人患了流感 C. 依题意可得方程(x＋1)2＝100 D. 经过三轮一共会有1000人感染 B 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 8. 已知(m2＋n2)(m2＋n2－2)－8＝0，则m2＋n2＝ (　A　) A. 4 B. 2 C. 4或－2 D. 4或2 9. 若等腰三角形的一边长为6，另两边长分别是关 于x的方程x2－(k＋5)x＋3k＋6＝0的两个根，则k 的值是(　D　) A. －1或4 B. －1 C. 1或4 D. 4 A D 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 10. 如图，若将图①的正方形剪成四块，恰能拼成 图②的长方形，设a＝1，则b＝(　B　) A. B. C. D. ＋1 B 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，满分 20分) 11. 若关于x的方程(k－1)x｜k｜＋1－x＋5＝0是一元 二次方程，则k＝ ⁠. 12. 若m，n是方程x2－4x＝2的两个根，则m＋n －mn＝ ⁠. －1　 6　 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 13. 根据物理学规律，如果把一个物体从地面以 10m/s的速度竖直上抛(如图所示)，那么物体经过xs 离地面的高度(单位：m)为10x－5x2.根据上述规 律，该物体落回地面所需要的时间约为 s. 2　 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 14. 已知关于x的一元二次方程mx2－(m＋2)x＋ ＝0有两个不相等的实数根x1，x2. (1)m的取值范围是 ⁠； (2)若 ＋ ＝4m，则m的值为 ⁠. m＞－1且m≠0　 2　 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 三、(本大题共2小题，每小题8分，满分16分) 15. 用配方法解方程：m2－6m－2＝0. 解：移项，得m2－6m＝2. 配方，得m2－6m＋9＝2＋9， 即(m－3)2＝11. 开平方，得m－3＝± . ∴m1＝3＋ ，m2＝3－ .(8分) 解：移项，得m2－6m＝2. 配方，得m2－6m＋9＝2＋9， 即(m－3)2＝11. 开平方，得m－3＝± . ∴m1＝3＋ ，m2＝3－ .(8分) 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 16. 设关于x的一元二次方程x2＋bx＋c＝0，已知 ①b＝2，c＝1；②b＝－2，c＝－3；③b＝1，c ＝2.请在上述三组条件中选择其中一组b，c的值， 使这个方程有两个实数根，并解这个方程. 解：∵Δ＝b2－4c≥0时，一元二次方程x2＋bx＋c ＝0 有两个实数根， 解：∵Δ＝b2－4c≥0时， 一元二次方程x2＋bx＋c＝0有两个实数根， ∴选①②均可.例如，当b＝2，c＝1时， 此时方程为x2＋2x＋1＝0， 解得x1＝x2＝－1.(8分) 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 四、(本大题共2小题，每小题8分，满分16分) 17. 已知关于x的一元二次方程x2－2ax＋a2－1＝0. (1)该方程是否存在两个相等的实数根？请说明理由. 解：(1)不存在，理由如下：Δ＝(－2a)2－4×1×(a2 －1) ＝4a2－4a2＋4＝4＞0， ∴该方程不存在两个相等的实数根.(4分) 解：(1)不存在，理由如下： Δ＝(－2a)2－4×1×(a2－1) ＝4a2－4a2＋4＝4＞0， ∴该方程不存在两个相等的实数根.(4分) 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 17. 已知关于x的一元二次方程x2－2ax＋a2－1＝0. (2)若该方程的两个实数根为x1和x2，且满足x1·x2＝ 3，求x1＋x2的值. 解：(2)由条件可知x1·x2＝a2－1， ∴a2－1＝3. ∴a＝±2. 又∵x1＋x2＝2a， ∴x1＋x2＝±4.(8分) 解：(2)由条件可知x1·x2＝a2－1， ∴a2－1＝3. ∴a＝±2. 又∵x1＋x2＝2a， ∴x1＋x2＝±4.(8分) 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 18. 在国家积极政策的鼓励下，中国新能源汽车的 市场需求呈螺旋式上升，某汽车企业2023到2025这 两年A型汽车年销售总量增加了60％，年销售单价 下降了10％. (1)设2023年销售A型汽车总量为a万辆，销售单价 为b万元，请用代数式填表：(4分) (4分) 年份 年销售A型汽 车总量/万辆 年销售A型汽 车单价/万元 年销售A型汽 车总额/亿元 2023 a b ① ⁠ 2025 1.6a 0.9b ② . ab　 1.44ab 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 18. 在国家积极政策的鼓励下，中国新能源汽车的 市场需求呈螺旋式上升，某汽车企业2023到2025这 两年A型汽车年销售总量增加了60％，年销售单价 下降了10％. (2)若该汽车企业这两年A型汽车销售总额的年增长 率相同，求年增长率. 解：设年增长率为x，则ab(1＋x)2＝1.44ab. ∴x1＝0.2＝20％，x2＝－2.2(舍去). 答：年增长率为20％.(8分) 解：设年增长率为x，则ab(1＋x)2＝1.44ab. ∴x1＝0.2＝20％，x2＝－2.2(舍去). 答：年增长率为20％.(8分) 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 五、(本大题共2小题，每小题10分，满分20分) 19. (1)已知一元二次方程2x2－3x－1＝0的两个实 数根分别为m，n，求m2n＋mn2的值； 解：(1)∵一元二次方程2x2－3x－1＝0 的两个实数根分别为m，n， ∴m＋n＝ ，mn＝－ . ∴m2n＋mn2＝mn(m＋n)＝－ × ＝－ .(5分) 解：(1)∵一元二次方程2x2－3x－1＝0 的两个实数根分别为m，n， ∴m＋n＝ ，mn＝－ . ∴m2n＋mn2＝mn(m＋n)＝－ × ＝－ .(5分) 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 (2)已知实数m，n满足2m2－3m－1＝0，2n2－3n －1＝0，且m≠n，求 ＋ 的值. 解：(2)由题意得m，n是关于x的一元二次方程 2x2－3x－1＝0的两个实数根， ∴m＋n＝ ，mn＝－ . ∴ ＋ ＝ ＝ ＝－3.(10分) 解：(2)由题意得m，n是关于x的一元二次方程 2x2－3x－1＝0的两个实数根， ∴m＋n＝ ，mn＝－ . ∴ ＋ ＝ ＝ ＝－3.(10分) 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 20. 如图，用总长为48m的篱笆依墙(墙足够长)围成 如图所示的①②③三块长方形区域，且三块区域的 面积相等. (1) 的值为 ， 的值为 ；(4分) 2　 2　 (4分) 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 20. 如图，用总长为48m的篱笆依墙(墙足够长)围成 如图所示的①②③三块长方形区域，且三块区域的 面积相等. (2)当长方形ABCD的面积为108m2时，求BC的长. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 解：设EB＝xm，则AE＝2xm，BC＝ ＝(24－4x)m. 根据题意，得(2x＋x)(24－4x)＝108， 整理，得x2－6x＋9＝0，解得x1＝x2＝3. ∴24－4x＝24－4×3＝12. 答：BC的长为12m.(10分) 解：设EB＝xm，则AE＝2xm， BC＝ ＝(24－4x)m. 根据题意，得(2x＋x)(24－4x)＝108， 整理，得x2－6x＋9＝0，解得x1＝x2＝3. ∴24－4x＝24－4×3＝12. 答：BC的长为12m.(10分) 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 六、(本题满分12分) 21. [初步思考]观察下列式子： x2＋4x＋2＝(x2＋4x＋4－4)＋2＝(x＋2)2－4＋2＝ (x＋2)2－2. ∵(x＋2)2≥0， ∴x2＋4x＋2＝(x＋2)2－2≥－2. ∴代数式x2＋4x＋2的最小值为－2. [尝试应用](1)代数式－x2＋4x＋3的最大值 为 ；(3分) 7　 (3分) 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 (2)已知A＝2x2－3x＋2，B＝x2－x－1，请比较A 与B的大小，并说明理由； 解：(2)A＞B，理由如下： ∵A－B＝2x2－3x＋2－(x2－x－1) ＝2x2－3x＋2－x2＋x＋1＝x2－2x＋3 ＝(x－1)2＋2， 又∵对于任意的x都有(x－1)2≥0， ∴A－B＝(x－1)2＋2≥2＞0. ∴A＞B. (7分) 解：(2)A＞B，理由如下： ∵A－B＝2x2－3x＋2－(x2－x－1) ＝2x2－3x＋2－x2＋x＋1＝x2－2x＋3 ＝(x－1)2＋2， 又∵对于任意的x都有(x－1)2≥0， ∴A－B＝(x－1)2＋2≥2＞0. ∴A＞B. (7分) 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 [拓展提高] (3)已知x＋y＝3，求代数式x2＋y＋3x－2的最小值. 解：(3)∵x＋y＝3， ∴y＝3－x. ∴x2＋y＋3x－2＝x2＋3－x＋3x－2 ＝x2＋2x＋1＝(x＋1)2. ∵对于任意的x都有(x＋1)2≥0， ∴x2＋y＋3x－2＝(x＋1)2≥0. ∴代数式x2＋y＋3x－2的最小值为0.(12分) 解：(3)∵x＋y＝3， ∴y＝3－x. ∴x2＋y＋3x－2＝x2＋3－x＋3x－2 ＝x2＋2x＋1＝(x＋1)2. ∵对于任意的x都有(x＋1)2≥0， ∴x2＋y＋3x－2＝(x＋1)2≥0. ∴代数式x2＋y＋3x－2的最小值为0.(12分) 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 七、(本题满分12分) 22. 定义：如果x1，x2是一元二次方程ax2＋bx＋c ＝0的两个根，且｜x1－x2｜＝1，那么称这样的方 程为“邻根方程”.例如：一元二次方程x2－3x＋2 ＝0的两个根是x1＝1，x2＝2，此时｜x1－x2｜＝｜ 1－2｜＝1，则方程x2－3x＋2＝0是“邻根方程”. (1)下列方程中，属于“邻根方程”的是 (填序 号).(3分) ①x2＝1；②4x2＋4x＋1＝0；③x2－x＝0. ③　 (3分) 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 (2)已知方程(x－m)(x＋3)＝0是“邻根方程”，求m 的值. (2)解：解方程(x－m)(x＋3)＝0得x1＝m，x2＝－3. ∵方程(x－m)(x＋3)＝0是“邻根方程”， ∴｜m－(－3)｜＝1，即m＋3＝±1， 解得m＝－2或m＝－4.(7分) (2)解：解方程(x－m)(x＋3)＝0得x1＝m，x2＝－3. ∵方程(x－m)(x＋3)＝0是“邻根方程”， ∴｜m－(－3)｜＝1，即m＋3＝±1， 解得m＝－2或m＝－4.(7分) 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 (3)若方程x2－bx＋c＝0是“邻根方程”，求证：b ＋2c＋1≥0. (3)证明：设x1，x2是方程x2－bx＋c＝0的两个根， 由根与系数的关系得x1＋x2＝b，x1x2＝c. ∵方程x2－bx＋c＝0是“邻根方程”， ∴｜x1－x2｜＝1. ∴(x1－x2)2＝1. ∴(x1＋x2)2－4x1x2＝1，即b2－4c＝1. ∴c＝ . ∴b＋2c＋1＝b＋ (b2－1)＋1 ＝ b2＋b＋ ＝ (b＋1)2≥0.(12分) 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 八、(本题满分14分) 23. 利用以下素材解决问题. 茶叶定价问题 素材 1 安徽盛产茶叶，如黄山毛峰、六安瓜片、太平猴魁、祁门红茶等知名品牌.皖叶茶叶专卖店销售某品牌茶叶，其进价为每千克240元，按每千克400元出售，平均每周可售出200千克. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 素材 2 经市场调研发现：单价每下降10元，平均每 周的销售量可增加40千克；单价每上涨10 元，平均每周的销售量要减少10千克. 任务 1 若该专卖店销售这种品牌茶叶要想平均每周 获利41600元，请计算每千克茶叶应降价多 少元. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 解：任务1：设每千克茶叶降价x元， 则每千克的销售利润为(400－x－240)元， 平均每周可售出(200＋ ×40)千克， 根据题意得(400－x－240)(200＋ ×40)＝41600， 整理得x2－110x＋2400＝0，解得x1＝30，x2＝80. 答：每千克茶叶应降价30元或80元.(5分) 解：任务1：设每千克茶叶降价x元， 则每千克的销售利润为(400－x－240)元， 平均每周可售出(200＋ ×40)千克， 根据题意得(400－x－240)(200＋ ×40)＝41600， 整理得x2－110x＋2400＝0，解得x1＝30，x2＝80. 答：每千克茶叶应降价30元或80元.(5分) 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 任务 2 降价销售时，在平均每周获利41600元的情 况下，为尽可能让利于顾客，赢得市场，该 店应按原售价的几折出售？ 解：任务2：∵要尽可能让利于顾客， ∴每千克茶叶应降价80元.又∵ ×10＝8， ∴该店应按原售价的8折出售.(9分) 解：任务2：∵要尽可能让利于顾客， ∴每千克茶叶应降价80元.又∵ ×10＝8， ∴该店应按原售价的8折出售.(9分) 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 任务 3 若涨价销售，该专卖店销售这种品牌茶叶平 均每周获利能达到41600元吗？若能达到， 请计算每千克茶叶应涨价多少元；若不能， 请说明理由. 解：任务3：不能，理由如下：假设该专卖店销售这 种品牌茶叶平均每周获利能达到41600元，设每千克 茶叶应涨价m元，则每千克的销售利润为(400＋m －240)元，平均每周可售出(200－ ×10)千克，根 据题意得(400＋m－240)(200－ ×10)＝41600，整 理得m2－40x＋9600＝0. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 ∵Δ＝(－40)2－4×1×9600＝－36800＜0， ∴原方程没有实数根，∴假设不成立. ∴该专卖店涨价销售这种品牌茶叶平均每周获利不 能达到41600元.(14分) 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 $