2等比数列及其前N项和 讲义-2026届高三数学二轮复习

等比数列及其前n项和 知识要点： 1．等比数列的有关概念 (1)定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数(不为零)，那么这个数列就叫做等比数列．这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q表示，定义的表达式为＝q. (2)等比中项：如果a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项．即G是a与b的等比中项⇔a，G，b成等比数列⇒G2＝ab.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 2．等比数列的有关公式 (1)通项公式：an＝a1qn－1. (2)前n项和公式：Sn＝ 3．等比数列与指数型函数的关系 当q>0且q≠1时，an＝·qn可以看成函数y＝cqx，其是一个不为0的常数与指数函数的乘积，因此数列{an}各项所对应的点都在函数y＝cqx的图象上； 对于非常数列的等比数列{an}的前n项和Sn＝＝－qn＋，若设a＝，则Sn＝－aqn＋a(a≠0，q≠0，q≠1)．由此可知，数列{Sn}的图象是函数y＝－aqx＋a图象上一系列孤立的点． 对于常数列的等比数列，即q＝1时，因为a1≠0，所以Sn＝na1.由此可知，数列{Sn}的图象是函数y＝a1x图象上一系列孤立的点． 常用结论： 设数列{an}是等比数列，Sn是其前n项和． (1)通项公式的推广：an＝am·qn－m(n，m∈N*)． (2)若m＋n＝p＋q，则aman＝apaq；若2s＝p＋r，则apar＝a，其中m，n，p，q，s，r∈N*. (3)ak，ak＋m，ak＋2m，…仍是等比数列，公比为qm(k，m∈N*)． (4)若数列{an}，{bn}是两个项数相同的等比数列，则数列{ban}，{pan·qbn}和也是等比数列． (5)若数列{an}的项数为2n，则＝q；若项数为2n＋1，则＝q. 【题型1 等比数列的基本量求解】 规律与方法 1、方程的思想：等比数列的通项公式、前n项和公式中联系着五个量：，已知其中三个量，可以通过解方程(组)求出另外两个量；其中基本量是a1与q，在解题中根据已知条件建立关于a1与q的方程或者方程组，是解题的关键． 2、分类讨论思想：在应用等比数列前n项和公式时，必须分类求和，当时，；当时，；在判断等比数列单调性时，也必须对与分类讨论． 1．（2023·全国·高考真题）记为等比数列的前项和．若，则的公比为 ． 【答案】 【解析】若，则由得，则，不合题意.所以. 当时，因为，所以， 即，即，即，解得. 2.（2026·广西河池·二模）小明假期在一家文具店兼职打工，文具店第1天支付给他30元，由于小明工作认真努力，从第2天起，文具店老板决定每天支付给小明的金额都是前一天的1.2倍．小明一共工作了10天，则他领到的总报酬为（   ）元．（参考数据：） A．778.5 B．624 C．185.7 D．154.8 【答案】A 【详解】设第n天的报酬为，， 由题意，是以首项，公比的等比数列， 则工作了10天，他领到的总报酬. 3.（2026·重庆渝中·二模）已知正项等比数列单调递增，是其前项和，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设数列的公比为，则， 即，即，解得或， 由数列单调递增且，故，所以，. 4．（23-24高三下·江西·阶段练习）已知是正项等比数列的前项和，且，，则（    ） A．212 B．168 C．121 D．163 【答案】C 【解析】设等比数列的公比为， 因为数列为正项等比数列，所以， 因为，又， 所以，因为，所以或， 若，则，解得，， 所以， 若，则，解得，， 所以，所以，故选：C. 5．（23-24高三下·江苏南通·开学考试）设各项均不相等的等比数列的前n项和为，若，则公比（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由数列为各项均不相等的等比数列，设公比为， 由，得，又因为， 当时，则，化简得，解得，或（舍）； 当，则，化简得， 因，所以无解； 综上可得，故C正确.故选：C. 【题型2 等比数列的性质及应用】 规律与方法 1、等比数列性质应用问题的解题突破口 等比数列的性质可以分为三类：一是通项公式的变形，二是等比中项公式的变形，三是前n项和公式的变形．根据题目条件，认真分析，发现具体的变化特征即可找出解决问题的突破口． 2、应用等比数列性质解题时的2个注意点 （1）在解决等比数列的有关问题时，要注意挖掘隐含条件，利用性质， 特别是性质“若，则有”，可以减少运算量，提高解题速度． （2） 在应用相应性质解题时，要注意性质成立的前提条件，有时需要进行适当变形．此外，解题时注意设而不求思想的运用． 3.若成等比数列，则为和的等比中项。由定义可知只有同号的两数才有等比中项， “”仅是“为和的等比中项”的必要不充分条件，在解题时务必要注意此点。 1．（2025·湖北·模拟预测）1与2025的等比中项为__________. 【答案】. 【详解】设1与2025的等比中项为为，所以，所以.故答案为：. 2.（2026·江西·二模）已知正项数列为等比数列，，则的值为（   ） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】B 【详解】正项数列为等比数列，，； . 3.（2026·安徽合肥·模拟预测）在等比数列中，，是方程的两个根，则（   ） A．6 B．9 C．12 D．6或12 【答案】D 【详解】因为，是方程的两个根，所以，在等比数列中，有， 所以，所以或，所以或． 4．（23-24高三下·青海西宁·开学考试）在等比数列中，若，，则 ． 【答案】 【解析】因为为等比数列，则，可得， 又因为，可得，即， 所以. 5．（2026·广东湛江·二模）已知等比数列的各项均为正数，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A【详解】由等比数列的性质得. 由于的各项均为正数，所以. 【题型4 等比数列前n项和的性质及应用】 规律与方法 1.如果等比数列{an}的前n项和为Sn,那么(S2n-Sn)2=Sn(S3n-S2n)；如果公比q≠-1或虽q=-1但n为奇数时,Sn,S2n-Sn,S3n-S2n成等比数列. 2.当等比数列{an}的项数为偶数,公比为q时,=q. 项数为奇数=q 1．（23-24高三上·黑龙江哈尔滨·期末）等比数列中，为的前n项和，若，则（    ） A． B． C． D．1 【答案】A 【解析】因为为等比数列，，设， 所以构成等比数列. 所以构成等比数列，所以，所以.故选：A 2．（2023·全国·高考真题）记为等比数列的前n项和，若，，则（    ）． A．120 B．85 C． D． 【答案】C 【解析】方法一：设等比数列的公比为，首项为， 若，则，与题意不符，所以； 若，则，与题意不符，所以； 由，可得，，①， 由①可得，，解得：， 所以．故选：C． 方法二：设等比数列的公比为， 因为，，所以，否则， 从而，成等比数列， 所以有，，解得：或， 当时，，即为， 易知，，即； 当时，， 与矛盾，舍去．故选：C． 3.（2026·山东泰安·二模）已知等比数列的公比大于1，前项和为，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．9 【答案】B 【详解】设等比数列的首项为，公比为，其中． 则，由，得． 令，则．由上式可得， ，，由题意得， 因为，所以． 化简得．解得或． 又，所以，故． 4.（2026·山东·一模）在等比数列中，已知，且公比，则该数列前100项的和是（    ） A．150 B．200 C．250 D．300 【答案】B 【详解】在等比数列中，公比，则有， 而，于是得， 所以数列的前100项和． 故选：B 5.（2026·山东·模拟预测）若等比数列的前项和，则该数列的前9项中所有奇数项之和与所有偶数项之和的比为（   ） A． B．2 C． D． 【答案】C 【详解】当时，. 当时，. 因为为等比数列，所以时也满足，即，解得. 所以数列的通项公式为. 该数列的前9项中所有奇数项之和为， 该数列的前9项中所有偶数项之和为， 故该数列的前9项中所有奇数项之和与所有偶数项之和的比为. 故选：C. 【题型5 数列前项积的最值】 规律与方法 1.判断单调性 2.看an 与1的大小关系 ， 1.（2026·重庆·二模）已知等比数列的首项，公比．若是数列的前项积，则取得最大值时的值为（ ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【详解】由题意可知，可知等比数列为单调递减数列， 由，要使取得最大值，需满足， 则，即且，即且， 因为，所以当时满足要求. 2.（多选 2023·福建三明·三模）设等比数列的前项和为，前项积为，若满足，，，则下列选项正确的是（    ） A．为递减数列 B． C．当时，最小 D．当时，的最小值为4047 【答案】BC 【详解】A.由条件可知，，与同号，所以，则， 而，则公比， 若，数列单调递减，则，那么，与已知矛盾， 若，则，则那么，与已知矛盾， 只有当，才存在，使，所以等比数列单调递增，故A错误； B.因为，单调递增，所以， 则，即，故B正确； C.因为，且，所以当时，最小，故C正确； D.根据等比数列的性质可知，，， 所以当时，的最小值为4046，故D错误. 故选：BC 3.（多选 2026·江苏南京·模拟预测）已知为等比数列的前n项和，为其前n项积，公比，且，，则下列结论正确的是（    ） A．数列为递减数列 B．使的正整数n的最小值为5 C．的最大值为 D． 【答案】ABD 【详解】对于A，由题意，得，解得， 则，即数列为递减数列，故A正确； 对于B，由，得，则， 即，因此，使的正整数n的最小值为5，故B正确； 对于C，由于，则时，，时，，时，， 则的最大值为或，故C错误； 对于D，，故D正确. 【题型6 等比数列的判定与证明】 规律与方法 1、定义法：为常数且数列是等比数列． 2、等比中项法：数列是等比数列． 3、通项公式法：数列是等比数列． 4、前项和公式法：若数列的前项和，则该数列是等比数列． 其中前两种方法是证明等比数列的常用方法，而后两种方法一般用于选择题、填空题中． 注意：（1）若要判定一个数列不是等比数列，则只需判定存在连续三项不成等比数列即可． （2）只满足的数列未必是等比数列，要使其成为等比数列还需要. 1．（2024·贵州毕节·一模）已知数列满足. （1）设，证明：是等比数列； （2）求数列的前项和. 【答案】（1）证明见解析；（2） 【解析】（1）因为， 所以， 所以， 所以，所以， 又，则， 所以是以为首项，为公比的等比数列. （2）由（1）可知，， 由于，所以， 所以 . 2．（2024高三·全国·专题练习）设数列满足，，． （1）证明：数列为等比数列； （2）求数列的通项公式． 【答案】（1）证明见解析；（2） 【解析】（1）证明：由，，得， 由，得， 所以， 故数列是以为首项，3为公比的等比数列． （2）由（1）得，则， 则；；， ． 由累加法可得， 又，则，同时满足上式， 所以． 3.在各项都为正数的数列{an}中，首项a1＝2，且点(a，a)在直线x－9y＝0上，则数列{an}的前n项和Sn等于(　　) A．3n－1 B. C. D. 解析：选A　由点(a，a)在直线x－9y＝0上，得a－9a＝0，即(an＋3an－1)(an－3an－1)＝0，又数列{an}各项均为正数，且a1＝2，∴an＋3an－1>0，∴an－3an－1＝0，即＝3，∴数列{an}是首项a1＝2，公比q＝3的等比数列，其前n项和Sn＝＝3n－1. 【题型7 等差与等比数列综合】 规律与方法 解决等差数列与等比数列的综合问题（即双数列问题）的关键在于用好它们的有关知识，理顺两个数列间的关系。注意运用等差数列与等比数列的基本量来表示数列中的所有项，还应注意等差数列与等比数列之间的相关转化。 1.（25-26高三上·福建厦门·阶段练习）设为公差不为0的等差数列，且成等比数列，则（    ） A． B． C．2 D．3 【答案】A 【详解】设数列的公差为，则，， 由成等比数列，得，化简得：，又，得， 故. 故选：A. 2.已知数列为等比数列，是它的前项和，若，且与的等差中项为，则( ) A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意得，设等比数列的公比为，则，所以， 又，解得，所以，故选C． 3．（23-24高三上·山东济宁·期末）已知是等比数列的前项和，成等差数列，且． （1）求数列的通项公式； （2）求数列的前n项和． 【答案】（1）；（2） 【解析】（1）设数列的首项为，公比为， 由条件可知，，即， 所以，得， 又因为，得， 所以； （2）由（1）可知，，， 所以. 课后作业： 基础题组练 1．（2025·河南·一模）等比数列，，，则公比（   ） A．1 B．2 C．4 D．8 【答案】B 【详解】由题设，又，解得. 故选：B 2.已知递增等比数列的前项和为，，则（   ） A．8 B．6 C．4 D．2 【答案】A 【详解】由已知，数列为等比数列， 可求出，（与数列为递增数列矛盾，舍去），故.故选：A 3．（25-26高三上·云南昆明·期中）已知各项均为正数的等比数列的前项和为，且满足，，则（   ） A．11 B．31 C．32 D．121 【答案】B 【详解】由等比数列的性质知，又，所以， 设的公比为，则，所以或（舍）， 所以. 故选：B. 4．（25-26高三上·北京顺义·阶段练习）已知数列为单调递增的等差数列、前项和为，若，，成等比数列，则当取最小值时，(        ) A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【详解】设数列的公差为，则，，， 因为，，成等比数列， 所以，即，化简得， 解得或， 因为数列为递增的等差数列，所以， 故舍去，， 所以 开口向上，对称轴为直线，由于为正整数，且离更近， 所以当时，取得最小值。 故选：B 5．（25-26高三上·辽宁·期中）等比数列的公比为，，数列满足，当且仅当时，的前项和有最小值，则的值是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【详解】解：可知， 又∵， ∴数列是以为首项，为公差的等差数列， ∴． ∵当且仅当时，的前项和有最小值， ∴，即，∴，∴，∵，∴． 故选：B． 6．（25-26高二上·甘肃庆阳·期中）各项不为零的等差数列中，有，数列是等比数列，且，则＝（   ） A．16 B．8 C．4 D．2 【答案】A 【详解】因为数列是等差数列，所以， 所以，解得或（舍去）， 又因为数列是等比数列，所以． 故选：A. 7．（25-26高三上·上海闵行·期中）数列前项和为，已知，且对任意正整数，，都有，若恒成立，则实数的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由已知对任意正整数，，都有， 则令，可得，即数列是首项为，公比为的等比数列， 所以，即， 又当，所以，即，即， 所以的最小值为，故选：A. 8．（2025·四川泸州·一模）已知实数成等比数列，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设等比数列的公比为，则，且，解得. 故选：C 9．（25-26高三上·湖北·期中）在等比数列中，是方程的两个根，则（    ） A． B．6 C．36 D． 【答案】D 【详解】∵是方程的两个根， ∴， 由， ∴由. 故选：D. 10.（2025·云南丽江·模拟预测）已知等比数列的各项均为正数，且，则（    ） A．2014 B．2024 C．2025 D．2026 【答案】C 【详解】等比数列的各项均为正数，且， . 故选：C 11．（25-26高二上·甘肃兰州·阶段练习）已知等比数列的前项和为，若，则公比（    ） A． B．2 C． D． 【答案】C 【详解】由题知，所以. 故选：C. 12.已知等比数列共有项，其和为，且奇数项的和比偶数项的和大80，则公比（    ） A． B．2 C． D． 【答案】B 【详解】设等比数列的奇数项和为,偶数项和为,则，解得， 而奇数项与偶数项的项数相同，所以公比. 故选：B 14．（多选25-26高三上·山西运城·期中）在公比为的等比数列中，，则下列说法正确的是（    ） A． B．的公比为4 C．当时，的前20项积为 D．当时，数列是公差为2的等差数列 【答案】BC 【详解】由题意可得，所以解得， 当时，；当时，， 对于A，，故A错误； 对于B，的公比为，故B正确； 对于C，当时，， 所以的前20项积为，故C正确； 对于D，当时，数列的通项公式为，公差为，故D错误. 故选：BC. 15．（多选25-26高二上·江苏苏州·阶段练习）设等比数列的公比为，前项积为，并且满足条件，.则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D．的最大项为 【答案】ACD 【详解】对于A，由等比数列性质可得， 若，因为，所以，不满足， 若，因为，所以，不满足， 所以，故A正确； 对于B、C，因为，为递减数列，所以， 又，所以，故B错误、C正确； 对于D，由B，C可得当时，，当时，， 所以的最大值为，故D正确． 故选：ACD. 16．已知数列满足，且对任意的，都有 (1)令，证明：数列为等比数列； (2)求数列的通项公式，及数列的前项和． 【答案】(1)数列是以为首项，为公比的等比数列； (2)，. 【详解】（1）已知，则， 因为，所以， 则， 又， 所以数列是以为首项，为公比的等比数列； （2）由（1）可知， 因为，所以， ， ， 先求，这是首项为，公比为的等比数列的前项和， 可得：， 再求，根据等差数列求和公式可得：， 所以. 能力提升练 17．（25-26高二上·江苏苏州·阶段练习）李华从2015年起，每年10月1日到银行存入a元，若年利率为r，按复利计算，到期自动转存，那么2025年10月1日将前面的存款全部取出，可得本利和为（   ） A．B．C．D． 【答案】D 【详解】依题意，2015年10月1日存入的a元，到2025年10月1日取出时的本利和为. 同理可得：2016年10月1日存入的a元，到2025年10月1日取出时的本利和为； 2017年10月1日存入的a元，到2025年10月1日取出时的本利和为； …… 2024年10月1日存入的a元，到2025年10月1日取出时的本利和为. 所以，2025年10月1日取出前面的存款共有：. 故选：D 18．（25-26高三上·江苏徐州·期中）在各项均为正数的等比数列中，，则的最小值为（    ） A． B．12 C．17 D． 【答案】B 【详解】因为是正项等比数列，所以，又，所以， 设公比为，所以， 令，则 因为， 所以当时，当时， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以， 所以当时，即取得最小值，最小值为. 故选：B 19.（2025高三·全国·专题练习）已知正项等比数列满足，若存在两项，使得，则的最小值为（   ） A． B． C． D．不存在 【答案】A 【详解】设等比数列的公比为，由得，又， 解得（舍去），∴， 由得， ∴，所以， 当且仅当，即时等号成立．所以的最小值是． 故选：A 20．（24-25高二下·海南海口·期末）已知数列的前n项和为，若点都在函数的图象上，且． (1)求数列，的通项公式； (2)设，记数列的前n项和为，求证：． 【答案】(1)； (2)证明见解析. 【详解】（1）因为点都在函数的图象上，所以， 又，， 所以数列是以2为首项，2为公差的等差数列， 所以，又，所以．所以. （2）， 因为，，所以是以为首项，为公比的等比数列， 所以．因为，函数是增函数， 所以时，最小值为，，又，所以，所以． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 等比数列及其前n项和 知识要点： 1．等比数列的有关概念 (1)定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数(不为零)，那么这个数列就叫做等比数列．这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q表示，定义的表达式为＝q. (2)等比中项：如果a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项．即G是a与b的等比中项⇔a，G，b成等比数列⇒G2＝ab.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 2．等比数列的有关公式 (1)通项公式：an＝a1qn－1. (2)前n项和公式：Sn＝ 3．等比数列与指数型函数的关系 当q>0且q≠1时，an＝·qn可以看成函数y＝cqx，其是一个不为0的常数与指数函数的乘积，因此数列{an}各项所对应的点都在函数y＝cqx的图象上； 对于非常数列的等比数列{an}的前n项和Sn＝＝－qn＋，若设a＝，则Sn＝－aqn＋a(a≠0，q≠0，q≠1)．由此可知，数列{Sn}的图象是函数y＝－aqx＋a图象上一系列孤立的点． 对于常数列的等比数列，即q＝1时，因为a1≠0，所以Sn＝na1.由此可知，数列{Sn}的图象是函数y＝a1x图象上一系列孤立的点． 常用结论： 设数列{an}是等比数列，Sn是其前n项和． (1)通项公式的推广：an＝am·qn－m(n，m∈N*)． (2)若m＋n＝p＋q，则aman＝apaq；若2s＝p＋r，则apar＝a，其中m，n，p，q，s，r∈N*. (3)ak，ak＋m，ak＋2m，…仍是等比数列，公比为qm(k，m∈N*)． (4)若数列{an}，{bn}是两个项数相同的等比数列，则数列{ban}，{pan·qbn}和也是等比数列． (5)若数列{an}的项数为2n，则＝q；若项数为2n＋1，则＝q. 【题型1 等比数列的基本量求解】 规律与方法 1、方程的思想：等比数列的通项公式、前n项和公式中联系着五个量：，已知其中三个量，可以通过解方程(组)求出另外两个量；其中基本量是a1与q，在解题中根据已知条件建立关于a1与q的方程或者方程组，是解题的关键． 2、分类讨论思想：在应用等比数列前n项和公式时，必须分类求和，当时，；当时，；在判断等比数列单调性时，也必须对与分类讨论． 1．（2023·全国·高考真题）记为等比数列的前项和．若，则的公比为 ． 2.（2026·广西河池·二模）小明假期在一家文具店兼职打工，文具店第1天支付给他30元，由于小明工作认真努力，从第2天起，文具店老板决定每天支付给小明的金额都是前一天的1.2倍．小明一共工作了10天，则他领到的总报酬为（   ）元．（参考数据：） A．778.5 B．624 C．185.7 D．154.8 3.（2026·重庆渝中·二模）已知正项等比数列单调递增，是其前项和，，，则（   ） A． B． C． D． 4．（23-24高三下·江西·阶段练习）已知是正项等比数列的前项和，且，，则（    ） A．212 B．168 C．121 D．163 5．（23-24高三下·江苏南通·开学考试）设各项均不相等的等比数列的前n项和为，若，则公比（    ） A． B． C． D． 【题型2 等比数列的性质及应用】 规律与方法 1、等比数列性质应用问题的解题突破口 等比数列的性质可以分为三类：一是通项公式的变形，二是等比中项公式的变形，三是前n项和公式的变形．根据题目条件，认真分析，发现具体的变化特征即可找出解决问题的突破口． 2、应用等比数列性质解题时的2个注意点 （1）在解决等比数列的有关问题时，要注意挖掘隐含条件，利用性质， 特别是性质“若，则有”，可以减少运算量，提高解题速度． （2） 在应用相应性质解题时，要注意性质成立的前提条件，有时需要进行适当变形．此外，解题时注意设而不求思想的运用． 3.若成等比数列，则为和的等比中项。由定义可知只有同号的两数才有等比中项， “”仅是“为和的等比中项”的必要不充分条件，在解题时务必要注意此点。 1．（2025·湖北·模拟预测）1与2025的等比中项为__________. 2.（2026·江西·二模）已知正项数列为等比数列，，则的值为（   ） A．6 B．8 C．10 D．12 3.（2026·安徽合肥·模拟预测）在等比数列中，，是方程的两个根，则（   ） A．6 B．9 C．12 D．6或12 4．（23-24高三下·青海西宁·开学考试）在等比数列中，若，，则 ． 5．（2026·广东湛江·二模）已知等比数列的各项均为正数，且，则（   ） A． B． C． D． 【题型4 等比数列前n项和的性质及应用】 规律与方法 1.如果等比数列{an}的前n项和为Sn,那么(S2n-Sn)2=Sn(S3n-S2n)；如果公比q≠-1或虽q=-1但n为奇数时,Sn,S2n-Sn,S3n-S2n成等比数列. 2.当等比数列{an}的项数为偶数,公比为q时,=q. 项数为奇数=q 1．（23-24高三上·黑龙江哈尔滨·期末）等比数列中，为的前n项和，若，则（    ） A． B． C． D．1 2．（2023·全国·高考真题）记为等比数列的前n项和，若，，则（    ）． A．120 B．85 C． D． 3.（2026·山东泰安·二模）已知等比数列的公比大于1，前项和为，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．9 4.（2026·山东·一模）在等比数列中，已知，且公比，则该数列前100项的和是（    ） A．150 B．200 C．250 D．300 5.（2026·山东·模拟预测）若等比数列的前项和，则该数列的前9项中所有奇数项之和与所有偶数项之和的比为（   ） A． B．2 C． D． 【题型5 数列前项积的最值】 规律与方法 1.判断单调性 2.看an 与1的大小关系 ， 1.（2026·重庆·二模）已知等比数列的首项，公比．若是数列的前项积，则取得最大值时的值为（ ） A．5 B．6 C．7 D．8 2.（多选 2023·福建三明·三模）设等比数列的前项和为，前项积为，若满足，，，则下列选项正确的是（    ） A．为递减数列 B． C．当时，最小 D．当时，的最小值为4047 3.（多选 2026·江苏南京·模拟预测）已知为等比数列的前n项和，为其前n项积，公比，且，，则下列结论正确的是（    ） A．数列为递减数列 B．使的正整数n的最小值为5 C．的最大值为 D． 【题型6 等比数列的判定与证明】 规律与方法 1、定义法：为常数且数列是等比数列． 2、等比中项法：数列是等比数列． 3、通项公式法：数列是等比数列． 4、前项和公式法：若数列的前项和，则该数列是等比数列． 其中前两种方法是证明等比数列的常用方法，而后两种方法一般用于选择题、填空题中． 注意：（1）若要判定一个数列不是等比数列，则只需判定存在连续三项不成等比数列即可． （2）只满足的数列未必是等比数列，要使其成为等比数列还需要. 1．（2024·贵州毕节·一模）已知数列满足. （1）设，证明：是等比数列； （2）求数列的前项和. 2．（2024高三·全国·专题练习）设数列满足，，． （1）证明：数列为等比数列； （2）求数列的通项公式． 3.在各项都为正数的数列{an}中，首项a1＝2，且点(a，a)在直线x－9y＝0上，则数列{an}的前n项和Sn等于(　　) A．3n－1 B. C. D. 【题型7 等差与等比数列综合】 规律与方法 解决等差数列与等比数列的综合问题（即双数列问题）的关键在于用好它们的有关知识，理顺两个数列间的关系。注意运用等差数列与等比数列的基本量来表示数列中的所有项，还应注意等差数列与等比数列之间的相关转化。 1.（25-26高三上·福建厦门·阶段练习）设为公差不为0的等差数列，且成等比数列，则（    ） A． B． C．2 D．3 2.已知数列为等比数列，是它的前项和，若，且与的等差中项为，则( ) A． B． C． D． 3．（23-24高三上·山东济宁·期末）已知是等比数列的前项和，成等差数列，且． （1）求数列的通项公式； （2）求数列的前n项和． 课后作业： 基础题组练 1．（2025·河南·一模）等比数列，，，则公比（    ） A．1 B．2 C．4 D．8 2.已知递增等比数列的前项和为，，则（    ）A．8 B．6 C．4 D．2 3．（25-26·昆明·）已知各项均为正数的等比数列的前项和为，且满足，，则（    ） A．11 B．31 C．32 D．121 4．已知数列为单调递增的等差数列前项和为，若，，成等比数列，则当取最小值时，(         ) A．3 B．4 C．5 D．6 5．（25-26高三上·辽宁·期中）等比数列的公比为，，数列满足，当且仅当时，的前项和有最小值，则的值是（     ） A．2 B．3 C．4 D．5 6．（25甘肃）各项不为零的等差数列中，有，数列是等比数列，且，则＝（    ） A．16 B．8 C．4 D．2 7． （25-26高三上·上海闵行·期中）数列前项和为，已知，且对任意正整数，，都有，若恒成立，则实数的最小值为（    ） A． B． C． D． 8．（2025·四川泸州·一模）已知实数成等比数列，则（    ）A． B． C． D． 9．（25-26高三上·湖北·期中）在等比数列中，是方程的两个根，则（     ） A． B．6 C．36 D． 10.（2025·云南丽江·模拟）已知等比数列的各项均为正数，且，则（     ） A．2014 B．2024 C．2025 D．2026 11．（25-26高二上·甘肃兰州·阶段练习）已知等比数列的前项和为，若，则公比（     ） A． B．2 C． D． 12.（23-24·南京·）已知等比数列共有项，其和为，且奇数项的和比偶数项的和大80，则公比（     ） A． B．2 C． D． 13.已知等比数列的前项和为，若，则 . 14．（多选25-26高三上·山西运城·）在公比为的等比数列中，，则下列说法正确的是（    ） A． B．的公比为4 C．当时，的前20项积为 D．当时，数列是公差为2的等差数列 15．（多选25-26高二上·江苏苏州·阶段练习）设等比数列的公比为，前项积为，并且满足条件，.则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D．的最大项为 16．（25-26江苏·阶段练习）已知数列满足，且对任意的，都有 (1)令，证明：数列为等比数列； (2)求数列的通项公式，及数列的前项和． 能力提升练 17．（25-26高二上·江苏苏州·阶段练习）李华从2015年起，每年10月1日到银行存入a元，若年利率为r，按复利计算，到期自动转存，那么2025年10月1日将前面的存款全部取出，可得本利和为（   ） A． B． C． D． 18．（25-26高三上·江苏徐州·期中）在各项均为正数的等比数列中，，则的最小值为（    ） A． B．12 C．17 D． 19.已知正项等比数列满足，若存在两项，使得，则的最小值为（   ） A． B． C． D．不存在 20．已知数列的前n项和为，若点都在函数的图象上，且． (1)求数列，的通项公式； (2)设，记数列的前n项和为，求证：． 1 学科网（北京）股份有限公司 $