专题6.3 等比数列及其前n项和（举一反三讲义）（全国通用）2026年高考数学一轮复习举一反三系列

专题6.3 等比数列及其前n项和（举一反三讲义） 【全国通用】 【题型1 等比数列的基本量计算】 4 【题型2 等比数列的性质及应用】 6 【题型3 等比数列的判定与证明】 7 【题型4 等比数列的通项公式】 9 【题型5 等比数列中的单调性与最值问题】 11 【题型6 等比数列前n项和的性质】 14 【题型7 等比数列的简单应用】 15 【题型8 等差数列与等比数列的综合应用】 18 【题型9 等比数列中的不等式恒成立问题】 21 【题型10 与等比数列有关的新定义、新情景问题】 25 1、等比数列及其前n项和 考点要求 真题统计 考情分析 (1)通过生活中的实例，理解等比数列的概念和通项公式的意义 (2)掌握等比数列前n项和公式，理解等比数列的通项公式与前n项和公式的关系 (3)能在具体问题情境中，发现数列的等比关系，并解决相应的问题 (4)体会等比数列与指数函数的关系 2023年新高考Ⅱ卷：第8题，5分 2023年全国乙卷（理数）：第15题，5分 2023年全国甲卷（理数）：第5题，5分 2024年新高考Ⅱ卷：第19题，17分 2024年北京卷：第15题，5分 2025年全国一卷：第13题，5分 2025年全国二卷：第9题，6分 2025年北京卷：第5题，4分 2025年天津卷：第19题，15分 等比数列是高考的重点、热点内容，属于高考的常考内容之一.从近几年的高考情况来看，等比数列的基本量计算和基本性质、等比数列的中项性质、判定是高考考查的热点，主要以选择题、填空题的形式考查，难度较易；等比数列的证明、求和及综合应用是高考考查的重点，一般出现在解答题中，难度中等. 近年高考压轴题中也会出现数列的新定义、新情景题，难度较大，需要灵活求解. 知识点1 等比数列及其前n项和 1．等比数列的概念 文字 语言 一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示(q≠0) 符号 语言 在数列{an}中，如果（或）(q≠0)成立，则称数列{an}为等比数列，常数q称为等比数列的公比 递推 关系 或 2．等比中项 如果在a与b中间插入一个数G(G≠0)，使a,G,b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项. 若G是a与b的等比中项，则，所以G2=ab，即G=. 3．等比数列的通项公式 若等比数列{an}的首项为a1，公比为q，则这个等比数列的通项公式是(a1,q≠0). 4．等比数列的单调性 已知等比数列{an}的首项为a1，公比为q，则 (1)当或时，等比数列{an}为递增数列； (2)当或时，等比数列{an}为递减数列； (3)当q=1时，等比数列{an}为常数列(这个常数列中各项均不等于0)； (4)当q<0时，等比数列{an}为摆动数列(它所有的奇数项同号，所有的偶数项也同号，但是奇数项与偶数项异号). 5．等比数列的性质 设{an}为等比数列，公比为q，则 (1)若m+n=p+q，m,n,p,q∈N*，则. (2)若m,n,p(m,n,p∈N*)成等差数列，则成等比数列. (3)数列{λan}(λ为不等于零的常数)仍是公比为q的等比数列； 数列{}是公比为的等比数列； 数列{}是公比为的等比数列； 若数列{bn}是公比为q'的等比数列，则数列{}是公比为q·q'的等比数列. (4)在数列{an}中，每隔k(k∈N*)项取出一项，按原来的顺序排列，所得数列仍为等比数列，且公比为. (5)在数列{an}中，连续相邻k项的和(或积)构成公比为qk(或)的等比数列. (6)若数列{an}是各项都为正数的等比数列，则数列{}(c>0且c≠1)是公差为的等差数列. 6．等比数列的前n项和公式 若等比数列{an}的首项为a1，公比为q，则等比数列{}的前n项和公式为 =. 7．等比数列前n项和的性质 已知等比数列{an}的公比为q，前n项和为Sn，则有如下性质： (1). (2)若(k∈N*)均不为0，则成等比数列，且公比为qk. (3)若{an}共有2n(n∈N*)项，则=q； 若{an}共有(2n+1)(n∈N*)项，则=q. 知识点2 等比数列的基本运算的解题策略 1．等比数列基本量的运算的求解思路： 等比数列基本量的运算是等比数列中的一类基本问题，等比数列中有五个量a1，n，q，an，Sn，一般可以“知三求二”，通过列方程（组）便可迎刃而解. 知识点3 等比数列的判定方法 1．证明数列是等比数列的主要方法： (1)定义法：（常数）为等比数列； (2)中项法：为等比数列； (3)通项公式法：（k，q为常数）为等比数列； 证明一个数列为等比数列常用定义法与等比中项法，其他方法只用于选择题、填空题中的判定；若证明某数列不是等比数列，则只要证明存在连续三项不成等比数列即可. 2．在利用递推关系判定等比数列时，要注意对n=1的情形进行验证. 知识点4 等比数列及其前n项和的性质及应用 1．等比数列的性质： 等比数列的性质可以分为三类：一是通项公式的变形；二是等比中项的变形；三是前n项和公式的变形.根据题目条件，认真分析，发现具体的变化特征即可找出解决问题的突破口. 2．等比数列的单调性与最值问题 涉及等比数列的单调性与最值的问题，一般要考虑公比与首项的符号对其的影响. 知识点5 等比数列前n项和的函数特征 1．Sn与q的关系 (1)当公比q≠1时，等比数列的前n项和公式是，它可以变形为,设，则上式可以写成的形式， 由此可见，数列{Sn}的图象是函数图象上的一群孤立的点； (2)当公比q=1时，等比数列的前n项和公式是，则数列{Sn}的图象是函数图象上的一群孤立的点. 2．Sn与an的关系 当公比q≠1时，等比数列的前n项和公式是，它可以变形为,设，则上式可以写成的形式，则Sn是an的一次函数. 【方法技巧与总结】 1．等比数列{an}的通项公式可以写成，这里c≠0，q≠0. 2．等比数列{an}的前n项和Sn可以写成(A≠0，q≠1,0). 3．设数列{an}是等比数列，Sn是其前n项和. (1). (2)若，则成等比数列. (3)若数列{an}的项数为2n，则；若项数为2n+1，则. 【题型1 等比数列的基本量计算】 【例1】（2025·安徽芜湖·模拟预测）若等比数列的第3项和第5项分别为48和12，则的首项（    ） A．－192 B．192 C． D．－193 【答案】B 【解题思路】由题意求得公比的平方即可得解. 【解答过程】由，，得，得， 所以． 故选：B． 【变式1-1】（2025·浙江杭州·二模）若等比数列满足，，则数列的公比等于（   ） A．或 B．或 C． D． 【答案】C 【解题思路】根据等比数列的通项公式求解即可. 【解答过程】， ， 所以， 故选：C. 【变式1-2】（2025·湖南邵阳·模拟预测）记等比数列的前项和为，若，，则（    ） A．3 B．2 C． D． 【答案】D 【解题思路】先判断公比，利用等比数列求和公式代入题设求得，即可求出. 【解答过程】设等比数列的公比为，若，则，故， 由可得， 化简得，解得， 则. 故选：D. 【变式1-3】（2025·河南·二模）已知首项为的等比数列的前项和为，若也为等比数列，则的公比为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【解题思路】由等比数列性质分、两种情况讨论求解即可. 【解答过程】设的公比为，当时，，， 可得， 所以不是等比数列， 当时，， 可得， 因为是等比数列，所以，所以. 故选：B. 【题型2 等比数列的性质及应用】 【例2】（2025·福建泉州·模拟预测）已知为等比数列，，，则（    ） A． B．3 C． D．9 【答案】A 【解题思路】根据已指两个等式，利用等比数列下标和的性质得到，进而得解. 【解答过程】由题设，又， 则，而，故 . 故选：A. 【变式2-1】（2025·云南保山·一模）若、、、成等比数列，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据等比中项的概念可得结果． 【解答过程】因为、、、成等比数列，根据等比中项的概念可得，． 故选：C. 【变式2-2】（2025·江苏南通·三模）在等比数列中，，，则（   ） A．36 B． C． D．6 【答案】D 【解题思路】根据等比数列的性质即可求解. 【解答过程】等比数列中， ，， ，由于故，所以， 故选：D． 【变式2-3】（2025·河南·一模）若成等比数列，则（    ） A．4 B．6 C．9 D．12 【答案】C 【解题思路】根据等比中项的概念可得结果. 【解答过程】根据等比中项的概念可得，. 故选：C. 【题型3 等比数列的判定与证明】 【例3】（2025·上海黄浦·三模）已知数列各项为正，满足，m、n是正整数，是等比数列，则P是Q的（   ） A．充分必要条件 B．充分非必要条件 C．必要非充分条件 D．既非充分也非必要条件． 【答案】B 【解题思路】设，令得，充分性成立，举出反例得到必要性不成立，得到结论. 【解答过程】设，中，令得， 即，所以是等比数列，充分性成立； 但必要性不成立，理由如下： 不妨设的首项为1，公比为2，取得， 但，不满足，从而必要性不成立， 综上，P是Q的充分非必要条件. 故选：B. 【变式3-1】（2024·宁夏银川·二模）已知数列满足，，则下列是等比数列的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】由数列的递推式，计算前四项，由等比数列的性质可判断；由数列的递推式推得，可判断． 【解答过程】由，，， 可得，即，解得， 又，即，解得， 由，，，，故A错误； 由，，，，故B错误； 由，，，，故C错误； 由，可得， 即为，又，可得是首项为3，公比为的等比数列，故D正确． 故选：D. 【变式3-2】（2024·全国·模拟预测）已知数列的前项和为，满足． (1)求证：数列为等比数列； (2)设的前项和为，求． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【解题思路】（1）根据与之间的关系将消去可得，再构造证明即可； （2）由（1）可得，进而可得，再根据分组与错位相减求解即可. 【解答过程】（1）当时，由，得，解得， 由递推得， 两式相减得， 化简得． 从而， 又，所以数列是首项为4，公比为2的等比数列． （2）由（1）知，所以， 所以． 所以． 令， 所以， 两式相减，得 ， 则， 所以． 【变式3-3】（2025·吉林延边·一模）已知数列的首项，且满足. (1)求，； (2)证明：数列为等比数列； (3)求数列的通项公式. 【答案】(1)，； (2)证明见解析； (3) 【解题思路】（1）直接代入计算即可； （2）变形得，即可证明； （3）根据（2）的结论得，再移项即可. 【解答过程】（1），. （2）由得， 且，所以数列是首项为2，公比为3的等比数列. （3）由（2）知数列是首项为2，公比为3的等比数列， 所以， 即. 【题型4 等比数列的通项公式】 【例4】（2025·全国·一模）等比数列中，，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据题意等比数列的性质可得公比，且由可得，从而可求解. 【解答过程】由题意知数列为等比数列，设公比为，由，得，解得， 因为，即，即，所以，又因为，所以， 所以，故B正确. 故选：B. 【变式4-1】（2024·海南·模拟预测）已知等比数列的公比不为1，若，且成等差数列，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】利用等差中项的性质及等比数列基本量的计算求通项公式即可. 【解答过程】设的公比为q， 则依题意有， 解方程得或（舍去），所以 . 故选：C. 【变式4-2】（2025高三·全国·专题练习）已知递增等比数列中，，设． (1)求的通项公式； (2)求的前项和． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）利用等比数列的性质先求出公比，再求出，即可求出等比数列通项公式； （2）先求出，并将其裂项，再根据裂项相消法即可求出的前项和. 【解答过程】（1）设递增等比数列的公比为，则． 因为， 所以，解得． 所以，解得， 所以． （2）因为， 所以， ． 【变式4-3】（2024·吉林·模拟预测）已知数列满足：，数列为单调递增等比数列，，且成等差数列. (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 【答案】(1)； (2) 【解题思路】（1）根据条件得是公差为2的等差数列，利用等差数列求通项公式可得结果，设数列的公比为，列出方程，求出，即可得到通项公式. （2）化简得到，故为公差为3的等差数列，利用等差数列求和公式得到答案. 【解答过程】（1）设等差数列公差为， 因为，所以 所以是公差为2的等差数列， 所以， 因为成等差数列，所以， 设的公比为，其中， 所以，解得或， 当时，，此时，为递增数列，满足要求， 当时，，此时，为递减数列，不合题意， 综上，. （2）由（1）得，， 所以， 所以是公差为3的等差数列， 所以. 【题型5 等比数列中的单调性与最值问题】 【例5】（24-25高三上·云南昆明·期中）设等比数列公比为，则“”是“为递增数列”的（    ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．即不充分也不必要条件 【答案】D 【解题思路】要判断“”与“等比数列为递增数列”之间的条件关系.需要分别从充分性和必要性两方面进行分析，即看“”能否推出“等比数列为递增数列”，以及“等比数列为递增数列”能否推出“”. 【解答过程】假设.对于等比数列，其通项公式为. 当，时，根据通项公式可得. 此时，等比数列不是递增数列. 这说明仅仅不能保证等比数列一定是递增数列， 所以“”不是“等比数列为递增数列”的充分条件. 假设等比数列为递增数列，那么. 由通项公式可得，，所以. 当时，不等式两边同时除以（因为，，不等号方向改变）， 得到.例如当时，，解得. 这说明等比数列为递增数列时，不一定有， 所以“”不是“等比数列为递增数列”的必要条件. 则“”是“为递增数列”的既不充分又不必要条件. 故选：D. 【变式5-1】（2025·北京顺义·一模）设为等比数列，则“存在，使得”是“为递减数列”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【解题思路】根据题意，举出反例即可得到充分性不满足，再由数列单调性的定义，即可验证必要性满足，从而得到结果. 【解答过程】假设等比数列的公比，首项，则数列的项依次为， 当时，满足，但是不是递减数列， 故充分性不满足； 若为递减数列，则对于任意的，必然有， 故必要性满足； 所以“存在，使得”是“为递减数列”的必要而不充分条件. 故选：B. 【变式5-2】（2025·上海闵行·二模）已知数列为等比数列，首项，公比，则下列叙述不正确的是（   ） A．数列的最大项为 B．数列的最小项为 C．数列为严格递增数列 D．数列为严格递增数列 【答案】D 【解题思路】分别在为偶数和为奇数的情况下，根据项的正负和的正负得到最大项和最小项，知AB正误；利用和可知CD正误. 【解答过程】对于A，由题意知：当为偶数时，； 当为奇数时，，，最大； 综上所述：数列的最大项为，A正确； 对于B，当为偶数时，，，最小； 当为奇数时，； 综上所述：数列的最小项为，B正确； 对于C，，， ， ，，， 数列为递增数列，C正确； 对于D，，， ； ，，，又， ，数列为递减数列，D错误. 故选：D. 【变式5-3】（24-25高三上·贵州黔西·阶段练习）设等比数列的公比为，其前项和为，前项积为，且满足条件，，，则下列选项错误的是（    ） A． B． C．是数列中的最大项 D． 【答案】D 【解题思路】根据题意，分析可得，，从而有，，则等比数列为正项的递减数列．再结合等比数列的性质逐一判断即可． 【解答过程】等比数列的公比为，若，则， 由，可得，则数列各项均为正值， 若，当时，由则恒成立，显然不适合，故，且，，故正确； 因为，所以，故正确； 根据，可知是数列中的最大项，故正确； 由等比数列的性质可得， 所以，故错误． 故选：D． 【题型6 等比数列前n项和的性质】 【例6】（2025·江西赣州·二模）设等比数列的前n项和为，若，，则（    ） A． B．7 C．63 D．7或63 【答案】B 【解题思路】根据等比数列片段和的性质有求，注意验证结果. 【解答过程】由等比数列片段和的性质知，、、成等比数列， 所以，则， 所以，则或， 等比数列的公比为， 若时，则，而，显然等式不成立； 若时，则，满足题设； 所以. 故选：B. 【变式6-1】（2025·江西·二模）记为等比数列的前项和，若，则（    ） A．81 B．71 C．61 D．51 【答案】C 【解题思路】根据等比数列前项和性质，即可求解. 【解答过程】由题可知，，成等比数列， 所以，即，得， 则此等比数列的首项是1，公比是，那么， ， 所以. 故选：C. 【变式6-2】（24-25高二上·重庆·期中）已知等比数列有项，，所有奇数项的和为85，所有偶数项的和为42，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【解题思路】根据等比数列的性质得到奇数项为，偶数项为，得到等比数列的公比q的值，然后用等比数列的前n项和的公式求出n即可． 【解答过程】因为等比数列有项，则奇数项有项，偶数项有项，设公比为， 得到奇数项为， 偶数项为，整体代入得， 所以前项的和为，解得. 故选：B. 【变式6-3】（2024·湖南邵阳·模拟预测）记为公比小于1的等比数列的前项和，，，则（    ） A．6 B．3 C．1 D． 【答案】B 【解题思路】根据给定条件，利用等比数列片段和性质列式计算即得. 【解答过程】依题意，成等比数列，首项为2，设其公比为， 则， 由，得，整理得， 由等比数列的公比小于1，得，解得， 所以. 故选：B. 【题型7 等比数列的简单应用】 【例7】（2025·贵州遵义·模拟预测）公元前1650年的埃及莱因德纸草书上载有如下问题：“十人分十斗玉米，从第二人开始，各人所得依次比前人少八分之一，问每人各得玉米多少斗？”在上述问题中，前五人得到的玉米总量为（     ） A．斗 B．斗 C．斗 D．斗 【答案】A 【解题思路】根据等比数列的通项公式与前项和公式计算． 【解答过程】由题意记10人每人所得玉米时依次为，则时，，，即是等比数列， 由已知，， （斗）． 故选：A． 【变式7-1】（2025·四川内江·一模）年月日是第个植树节，为加快建设美丽内江、筑牢长江上游生态屏障贡献力量，我市积极组织全民义务植树活动．现有一学校申领到若干包树苗（每包树苗数相同），该校个志愿小组依次领取这批树苗开展植树活动．已知第组领取所有树苗的一半又加半包，第组领取所剩树苗的一半又加半包，第组也领取所剩树苗的一半又加半包．以此类推，第组也领取所剩树苗的一半又加半包，此时刚好领完所有树苗．请问该校共申领了树苗多少包？（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】设原有树苗有包，求出第组到第组所领取树苗的包数，结合等比数列求和公式可得出关于的等式，解之即可. 【解答过程】设原有树苗有包，第组领取包， 第组领取包， 第组领取包， ， 以此类推可知，第组领取包， 由题意可得， 即，解得. 故选：B. 【变式7-2】（2025·四川宜宾·一模）《九章算术》中的“两鼠穿墙题”是我国数学的古典名题：“今有垣厚若干尺，两鼠对穿，大鼠日一尺，小鼠也日一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半.”题意是：有两只老鼠从墙的两边打洞穿墙.大老鼠第一天进一尺，以后每天加倍；小老鼠第一天也进一尺，以后每天减半.如果墙足够厚，第天后大老鼠打洞的总进度是小老鼠的4倍，则的值为（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】C 【解题思路】设大老鼠每天打洞的长度构成等比数列，则，小老鼠每天打洞的长度构成等比数列，则，再分别求和构造等式求出的值. 【解答过程】设大老鼠每天打洞的长度构成等比数列， 则，所以. 设小老鼠每天打洞的长度构成等比数列， 则，所以. 所以，即，化简得 解得：或(舍) 故选：C. 【变式7-3】（2024·云南昆明·一模）第七届国际数学大会（ICNE7）的会徽图案是由若干三角形组成的.如图所示，作，，，再依次作相似三角形，，，……，直至最后一个三角形的斜边与第一次重叠为止.则所作的所有三角形的面积和为（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】设第三角形的斜边长为，面积为，根据题意分析可知数列是以首项，公比为的等比数列，结合等比数列求和公式运算求解. 【解答过程】因为， 设第三角形的斜边长为，面积为， 由题意可知：，，， 则，， 可知数列是以首项，公比为的等比数列， 所以所作的所有三角形的面积和为. 故选：D. 【题型8 等差数列与等比数列的综合应用】 【例8】（2025·河南·二模）记等差数列的前n项和为，公差，，数列为等比数列，且，，，则（    ） A．2 B． C． D．3 【答案】C 【解题思路】由题意得，即，解得，进而得和，即可求解. 【解答过程】由题意得，即得， 解得（舍去）或，, 所以，， 则， 因为， 所以. 故选：C. 【变式8-1】（2025·陕西宝鸡·三模）已知数列满足给出下列三个命题 ①数列为等比数列； ②数列为等差数列； ③当时，. 其中真命题的个数为（    ）个 A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【解题思路】根据等差数列及等比数列的定义计算判断①②，再根据解析式计算判断③. 【解答过程】数列满足， 当为偶数时，，所以，， 所以，所以，所以，所以数列为等比数列，①正确； 当为奇数时，，所以， 所以，所以，所以，所以数列为等差数列，②正确； 因为时，. 数列为等差数列，所以,③正确； 故选：D. 【变式8-2】（2025·湖北·三模）记为等比数列的前项和，已知，，数列是公差为1的等差数列，且=，数列满足. (1)求数列和的通项公式； (2)求数列的最小值及取得最小值时的值． 【答案】(1)， (2)，和. 【解题思路】（1）解方程组求出等比数列公比，即可求得；继而可求出等差数列的首项，即可求得的通项公式； （2）结合（1）可得数列的通项公式，利用作差法可判断数列单调性，即可求得答案. 【解答过程】（1）设等比数列的公比为q， ，， 可知,故，解得，故， 又数列是公差为1的等差数列，且， 故，即，解得， 故； （2）由于，则， 则， 当时，，当时，，即， 故数列的最小值为，此时和. 【变式8-3】（2025·湖南长沙·三模）已知等差数列的第2项为3，其前5项和为25．数列是公比大于0的等比数列，，． (1)求和的通项公式； (2)记，， （ⅰ）证明是等比数列； （ⅱ）证明，． 【答案】(1)，；， (2)（ⅰ）证明见解析；（ⅱ）证明见解析 【解题思路】（1）由等差数列和等比数列的通项公式进行计算； （2） （ⅰ）根据，写出并计算，由证明出是等比数列； （ⅱ）由，设出，用错位相减得出，从而证明. 【解答过程】（1）因为等差数列的第2项为3，其前5项和为25． 所以，， 计算得，公差为， 所以； 设等比数列的公比为，因为，所以， 解得或（舍），故； （2）（ⅰ）由题意，， 所以， 所以，且，所以数列是以4为公比的等比数列； （ⅱ）由题意知，， 所以，所以， 设，则， 两式相减得， 所以， 所以． 【题型9 等比数列中的不等式恒成立问题】 【例9】（2025·甘肃定西·模拟预测）已知等比数列的前项和为，若对于任意，不等式恒成立，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据已知及等比数列通项公式、前n项和公式求基本量，再应用基本不等式求的最小值，由不等式恒成立并解一元二次不等式求参数范围. 【解答过程】设数列的公比为，由题意知， 由，解得， 所以， 因为，当且仅当，即时等号成立， 所以，解得. 故选：A. 【变式9-1】（2024·江苏苏州·二模）已知数列的前项和为，，若对任意的恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据给定的递推公式求出，再按为奇数、偶数分类求解即可得的范围. 【解答过程】由，得， 当时，，则， 整理得，即， 而，解得， 于是，数列是首项为，公比为的等比数列， 因此，即， 由，得， 当为奇数时，，即，显然为递增数列， 当时，，于是， 当为偶数时，，即，显然恒有，于是， 所以实数的取值范围为. 故选：B. 【变式9-2】（2025·黑龙江哈尔滨·二模）已知数列满足，（），记． (1)求证：是等比数列； (2)设，数列的前n项和为．若不等式对一切恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【解题思路】（1）证明为常数即可证明为等比数列，根据等比数列通项公式即可求通项公式，从而得证； （2）先求出，根据通项公式的特征，采用错位相减法求其前n项和，题设化简为，通过讨论为奇数或偶数，即可求λ的范围. 【解答过程】（1）由已知，， ，，， 又， ， 数列中任意一项不为0， ， 数列是首项为2， 公比为2的等比数列. （2）由第（1）问知， ， 则，所以①， ②， 所以①-②可得： ， 所以. 由，得， 化简得. 当 为奇数时，有，即， 而，所以； 当为偶数时，有， 而，所以. 综上，的取值范围为. 【变式9-3】（2025·天津·二模）已知等差数列和等比数列满足：，，， (1)求数列和的通项公式； (2)求数列的前项和； (3)已知，数列的前项和，若对任意正整数，不等式恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【解题思路】（1）求等差数列的公差和等比数列的公比即可求解； （2）令，利用裂项相消法即可求解； （3）利用错位相减法先求，由有，令，研究数列的单调性即可求解. 【解答过程】（1）设数列的公差为，数列的公比为，则有， 所以， 所以，又，所以， 所以， 所以； （2）令 ， 所以 ； （3）由已知有， 所以①， ②， 所以①②有：，解得， 由有，即，令， 所以， 所以当时，，即，所以当时，数列单调递减，又，所以， 所以. 【题型10 与等比数列有关的新定义、新情景问题】 【例10】（24-25高三下·重庆·阶段练习）定义：满足 为常数，）的数列 称为二阶等比数列，为二阶公比.已知二阶等比数列的二阶公比为，则使得 成立的最小正整数为（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】B 【解题思路】根据数列新定义可得，利用累乘法求得的表达式，解数列不等式，即可求得答案. 【解答过程】由题意知二阶等比数列的二阶公比为，则， 故， 将以上各式累乘得：， 故， 令，由于， 故，即， 又的值随n的增大而增大，且， 当时，， 当时，， 故n的最小值为8， 故选：B. 【变式10-1】（24-25高二上·北京·期末）如果数列满足（k为常数），那么数列叫做等比差数列，k叫做公比差．下列四个结论中所有正确结论的序号是（    ） ①若数列满足，则该数列是等比差数列； ②数列是等比差数列； ③所有的等比数列都是等比差数列； ④存在等差数列是等比差数列． A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．②③④ 【答案】B 【解题思路】根据比等差数列的定义(为常数)，逐一判断①②③④是否是等比差数列即可可得到答案. 【解答过程】①数列满足，则， 满足等比差数列的定义，故①正确； ②数列， ， 不满足等比差数列的定义，故②错误； ③设等比数列的公比为，则， 满足等比差数列，故③正确； ④设等差数列的公差为， 则， 故当时，满足，故存在等差数列是等比差数列，即④正确； 故选：B. 【变式10-2】（2025高三下·全国·专题练习）若数列中存在三项，按一定次序排列构成等比数列，则称为“等比源数列”． (1)已知数列为4，3，1，2，数列为1，2，6，24，分别判断,是否为“等比源数列”，并说明理由； (2)已知数列的通项公式为，判断是否为“等比源数列”，并说明理由； 【答案】(1)是“等比源数列”， 不是“等比源数列”，理由见解析 (2)不是“等比源数列”，理由见解析 【解题思路】（1）根据等比中项，结合列举法即可求解， （2）假设是“等比源数列”得，即可根据指数幂的运算，结合奇偶数的性质得矛盾，即可求解. 【解答过程】（1）是“等比源数列”， 不是“等比源数列”． 中“1，2，4”构成等比数列，所以是“等比源数列”； 中“1，2，6”，“1，2，24”，“1，6，24”，“2，6，24”均不能构成等比数列， 且这四者的其他次序也不构成等比数列， 所以不是“等比源数列”． （2）不是“等比源数列”． 假设是“等比源数列”，因为是单调递增数列， 即中存在的，，三项成等比数列， 也就是，即， ，两边时除以得， 等式左边为偶数， 等式右边为奇数． 所以数列中不存在三项按一定次序排列构成等比数列． 综上可得不是“等比源数列”． 【变式10-3】（2025·山西晋城·二模）设是项数为且各项均不相等的正项数列，满足下列条件的数列称为的“等比关联数列”：①数列的项数为；②中任意两项乘积都是中的项；③是公比大于1的等比数列． (1)已知数列是的“等比关联数列”，且，，，求数列的通项公式； (2)已知数列是的“等比关联数列”，且的前3项成等比数列的概率为，求的值； (3)证明：不存在“等比关联数列”． 【答案】(1) (2) (3)证明见详解 【解题思路】（1）根据定义计算出的前三项，即可写出等比数列的通项公式； （2）先计算出及的项数，再由的公比为，写出确定的，进而求出，再分两种情况讨论的可能性，从而得到使的前3项成等比数列的所有可能情况，进而求出概率； （3）先计算出的项数，再由的公比为，写出确定的，进而求出，再求出确定的，推理出，，是连续三项，从而推理出是第4项或第7项，进而分两种情况讨论即可得证. 【解答过程】（1）因为，，， 由定义可知，， 故数列的通项公式为； （2）因为中4项均不相同，所以有种，有项， 假设，则，，，． 设的公比为，则， 又数列的第三项，第四项， 或第三项，第四项， 所以， 且，得，且， 或， 且，得，且， 这两种情况，不能同时成立，使得的前3项为等比数列有4种情况， 故． （3）当时，假设的各项从小到大排列，此时数列有项， 则，，，， 因为是等比数列，所以，即，所以． 设的公比为，则，所以， 所以，， 剩余四项为，，，， 又公比，所以，，是连续三项，因此是第4项或第7项， 当时，，所以，即，不符合题意； 当时，，所以，即，不符合题意； 因此当时，不存在“等比关联数列”． 一、单选题 1．（2025·北京·高考真题）已知是公差不为零的等差数列，，若成等比数列，则（   ） A． B． C．16 D．18 【答案】C 【解题思路】由等比中项的性质结合等差数列的基本量运算即可求解. 【解答过程】设等差数列的公差为， 因为成等比数列，且， 所以，即，解得或（舍去）， 所以. 故选：C. 2．（2025·四川成都·一模）记为等比数列的前项和，若，则的公比为（   ） A．2 B． C． D． 【答案】D 【解题思路】由等比数列前项和的性质，成等比，公比为，结合即可求公比. 【解答过程】设等比数列的公比为， 根据等比数列前项和的性质，成等比，且公比为， 又，即，所以， 解得. 故选：D. 3．（2025·江苏连云港·模拟预测）已知等比数列的前项和为，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】化简表达式，求出首项和公比，即可求出. 【解答过程】由题意，， 在等比数列中，， 设公比为q， ，解得， ∴， 当时，，解得：， ∴是以2为首项，3为公比的等比数列， ∴. 故选：A. 4．（2025·云南丽江·模拟预测）已知等比数列的各项均为正数，且，则（    ） A．2014 B．2024 C．2025 D．2026 【答案】C 【解题思路】根据给定条件，利用等比数列性质及对数运算计算得解. 【解答过程】等比数列的各项均为正数，且， . 故选：C. 5．（2025·全国·二模）设等比数列的各项均为正数，其前项和为，则“”是“数列是递增数列”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【解题思路】把转化为，得，即是增数列，反之推导即可求解． 【解答过程】由得，所以， 又，所以是递增数列， 反之，等比数列的各项均为正数，且数列是递增数列，所以，即有， 所以，即， 所以是数列是递增数列的充要条件． 故选：C． 6．（2025·海南·模拟预测）数列满足，对于任意的恒成立，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】构造等比数列得，由题意对于任意的恒成立，故只需求出即可. 【解答过程】由题意令，所以，对比，可得， 所以数列是以为首项，2为公比的等比数列， 所以， 所以， 对于任意的恒成立，即对于任意的恒成立， 即对于任意的恒成立， 显然当增大时，减小，此时增大， 所以. 故选：A. 7．（2025·北京东城·模拟预测）月相是指天文学中对于地球上看到的月球被太阳照亮部分的称呼．1854年，爱尔兰学者在大英博物馆所藏的一块巴比伦泥板上发现了一个记录连续15天月相变化的数列，记为，其将满月等分成240份，（且）表示第天月球被太阳照亮部分所占满月的份数．例如，第1天月球被太阳照亮部分占满月的，即；第15天为满月，即．已知的第1项到第5项是公比为的等比数列，第5项到第15项是公差为的等差数列，且，均为正整数，则（   ） A．80 B．96 C．100 D．112 【答案】B 【解题思路】由已知条件和等比数列等差数列的性质，得，又，均为正整数，求出，的值得. 【解答过程】依题意，有，， 时，不是正整数； 时，； 时，，不是正整数. 所以，，. 故选：B. 8．（2025·海南·模拟预测）在等比数列中，已知，则对于任意的，下列不等式成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】利用等比数列的通项公式列方程，解方程可得首项与公比，进而利用指数运算逐个选项判断即可. 【解答过程】由已知等比数列的公比为，且， 则，解得，所以， 所以，故A错误； ，故B错误； 且，所以，故C正确； 且，所以，故D错误. 故选：C. 二、多选题 9．（2025·全国二卷·高考真题）记为等比数列的前n项和，为的公比，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】AD 【解题思路】对A，根据等比数列通项公式和前项和公式得到方程组，解出，再利用其通项公式和前项和公式一一计算分析即可. 【解答过程】对A，由题意得，结合，解得或（舍去），故A正确； 对B，则，故B错误； 对C，，故C错误； 对D，，， 则，故D正确； 故选：AD. 10．（2025·陕西宝鸡·三模）已知数列是公比为的等比数列，其前项和为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【解题思路】根据题意，两式相除得，再利用等比数列通项公式求和，即可判断ABC；根据选项A，可知为首相为，公比为的等比数列，可求D选项. 【解答过程】根据题意，， 两式相除得，A正确； 又即可得，B正确； ，C错误； 根据选项A，可知为首相为，公比为的等比数列， 所以 . D正确. 故选：ABD. 11．（2025·辽宁锦州·模拟预测）设首项为1的数列的前项和为，已知，则下列结论正确的是（    ） A． B．数列为等比数列 C．数列为等比数列 D．数列为等比数列 【答案】ABD 【解题思路】A令即可；C降标作差即可求出；B利用等比数列通项公式即可求出，进而求出，最后利用等比数列的定义求证；D利用通项公式化简，最后利用等比数列的定义求证. 【解答过程】选项A，，A对； 选项C，因为，则当时，， 两式作差得，，变形为， 又，则，故， 故当时，为等比数列，公比为2，首项为， 故，即，显然不满足， 故的通项公式为，C错误； B选项，时， ， 又符合上式，故， 由于时，，故为等比数列，B正确； D选项，由C选项可知，，则， 故时，， 所以为等比数列，D正确. 故选：ABD. 三、填空题 12．（2025·湖南长沙·模拟预测）等比数列的前项和记为，若，，，则 . 【答案】219 【解题思路】由求得，从而可得答案. 【解答过程】设数列的首项为，公比为. 因为，所以， 因为，所以，所以. 所以， 所以. 于是. 故答案为：219. 13．（2025·全国一卷·高考真题）若一个等比数列的各项均为正数，且前4项的和等于4，前8项的和等于68，则这个数列的公比为 . 【答案】 【解题思路】法一：利用等比数列的求和公式作商即可得解；法二：利用等比数列的通项公式与前项和的定义，得到关于的方程，解之即可得解；法三：利用等比数列的前项和性质得到关于的方程，解之即可得解. 【解答过程】法一：设该等比数列为，是其前项和，则， 设的公比为， 当时，，即，则，显然不成立，舍去； 当时，则， 两式相除得，即， 则，所以， 所以该等比数列公比为2. 故答案为：. 法二：设该等比数列为，是其前项和，则， 设的公比为， 所以， ， 所以，则，所以， 所以该等比数列公比为2. 故答案为：2. 法三：设该等比数列为，是其前项和，则， 设的公比为， 因为， 又， 所以，所以， 所以该等比数列公比为. 故答案为：. 14．（2025·浙江绍兴·二模）等比数列的前n项和为，若，且与的等差中项为，则 . 【答案】15 【解题思路】先由等比数列的性质求出，再由等差中项的性质求出，然后计算公比和，再利用等比数列的公式法求和即可. 【解答过程】由题意可得，解得， 因为与的等差中项为，所以，则， 得到，解得，故， 由等比数列求和公式得. 故答案为：15. 四、解答题 15．（2025·新疆喀什·三模）记数列的前n项和为，已知 (1)证明:数列是等比数列； (2)求数列的通项公式； 【答案】(1)证明见解析 (2) 【解题思路】（1）利用和等比数列的定义即可求证； （2）由（1）通过等比数列求通项公式即可求解. 【解答过程】（1）因为 ， 所以当时， ; 当时， ， 所以 ， 即 ， 又 ， 所以 ， 所以数列是首项为，公比为 的等比数列； （2）由（1）得， 所以. 16．（2025·四川成都·模拟预测）已知数列的首项，且满足． (1)求证：数列为等比数列； (2)记，数列的前n项和，证明：． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【解题思路】（1）由等比数列的定义即可求证； （2）由裂项相消法求和，可求解得，根据单调性，即可求证结论. 【解答过程】（1）由得，，， 又， 所以是首项为2，公比为2的等比数列． （2）由（1）知，，所以， 所以， ． 17．（2025·海南·模拟预测）已知各项均为正数的等差数列的前项和为，，数列为等比数列，首项． (1)求数列和的通项公式； (2)设，求数列的前项和． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）根据数列通项公式与数列前项和之间的关系，求出数列的公差，再根据求出首项，写出数列通项公式，根据，求出公比，写出通项公式. （2）写出数列的通项公式，根据错位相消法求出前项和． 【解答过程】（1）由，当时，， 相减得， 已知数列各项均为正数，即，可化简得，即数列的公差满足，解得， 当时，，解得，则数列通项公式为， 可得，则， 由数列为等比数列可得，由，求得， 则数列通项公式为. （2）由（1）知，则， 所以， 则， 作差的， 化简得， 解得. 18．（2025·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知数列是正项等比数列，满足，，且， (1)求数列的通项公式； (2)在与之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，记数列的前项和为，求证：. 【答案】(1) (2)证明见解析 【解题思路】（1）应用等比数列的性质求基本量，进而写出通项公式； （2）由已知可得，再应用错位相减法求，即可证结论. 【解答过程】（1）， ，又，， 则，，故. （2）因为，所以，则， ， ， 所以 ， 所以. 19．（2025·河北邢台·二模）已知数列满足，记． (1)证明：数列为等比数列，并求出数列的通项公式； (2)设为数列的前项和，证明：． 【答案】(1)证明见解析， (2)证明见解析 【解题思路】（1）根据等比数列定义证明，再分奇数偶数求出通项公式即可； （2）应用错位相减法计算再结合单调性证明不等式即可. 【解答过程】（1）因为 ， 又， 所以是首项为2，公比为2的等比数列， 所以， 所以当为偶数时，； 当为奇数且时， ． 也符合上式． 综上所述， （2）由（1）得，则， 可得， 两式相碱，可得 ． 则． 因为， 所以为递增数列， 则， 所以． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题6.3 等比数列及其前n项和（举一反三讲义） 【全国通用】 【题型1 等比数列的基本量计算】 4 【题型2 等比数列的性质及应用】 5 【题型3 等比数列的判定与证明】 5 【题型4 等比数列的通项公式】 6 【题型5 等比数列中的单调性与最值问题】 6 【题型6 等比数列前n项和的性质】 7 【题型7 等比数列的简单应用】 7 【题型8 等差数列与等比数列的综合应用】 8 【题型9 等比数列中的不等式恒成立问题】 10 【题型10 与等比数列有关的新定义、新情景问题】 10 1、等比数列及其前n项和 考点要求 真题统计 考情分析 (1)通过生活中的实例，理解等比数列的概念和通项公式的意义 (2)掌握等比数列前n项和公式，理解等比数列的通项公式与前n项和公式的关系 (3)能在具体问题情境中，发现数列的等比关系，并解决相应的问题 (4)体会等比数列与指数函数的关系 2023年新高考Ⅱ卷：第8题，5分 2023年全国乙卷（理数）：第15题，5分 2023年全国甲卷（理数）：第5题，5分 2024年新高考Ⅱ卷：第19题，17分 2024年北京卷：第15题，5分 2025年全国一卷：第13题，5分 2025年全国二卷：第9题，6分 2025年北京卷：第5题，4分 2025年天津卷：第19题，15分 等比数列是高考的重点、热点内容，属于高考的常考内容之一.从近几年的高考情况来看，等比数列的基本量计算和基本性质、等比数列的中项性质、判定是高考考查的热点，主要以选择题、填空题的形式考查，难度较易；等比数列的证明、求和及综合应用是高考考查的重点，一般出现在解答题中，难度中等. 近年高考压轴题中也会出现数列的新定义、新情景题，难度较大，需要灵活求解. 知识点1 等比数列及其前n项和 1．等比数列的概念 文字 语言 一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示(q≠0) 符号 语言 在数列{an}中，如果（或）(q≠0)成立，则称数列{an}为等比数列，常数q称为等比数列的公比 递推 关系 或 2．等比中项 如果在a与b中间插入一个数G(G≠0)，使a,G,b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项. 若G是a与b的等比中项，则，所以G2=ab，即G=. 3．等比数列的通项公式 若等比数列{an}的首项为a1，公比为q，则这个等比数列的通项公式是(a1,q≠0). 4．等比数列的单调性 已知等比数列{an}的首项为a1，公比为q，则 (1)当或时，等比数列{an}为递增数列； (2)当或时，等比数列{an}为递减数列； (3)当q=1时，等比数列{an}为常数列(这个常数列中各项均不等于0)； (4)当q<0时，等比数列{an}为摆动数列(它所有的奇数项同号，所有的偶数项也同号，但是奇数项与偶数项异号). 5．等比数列的性质 设{an}为等比数列，公比为q，则 (1)若m+n=p+q，m,n,p,q∈N*，则. (2)若m,n,p(m,n,p∈N*)成等差数列，则成等比数列. (3)数列{λan}(λ为不等于零的常数)仍是公比为q的等比数列； 数列{}是公比为的等比数列； 数列{}是公比为的等比数列； 若数列{bn}是公比为q'的等比数列，则数列{}是公比为q·q'的等比数列. (4)在数列{an}中，每隔k(k∈N*)项取出一项，按原来的顺序排列，所得数列仍为等比数列，且公比为. (5)在数列{an}中，连续相邻k项的和(或积)构成公比为qk(或)的等比数列. (6)若数列{an}是各项都为正数的等比数列，则数列{}(c>0且c≠1)是公差为的等差数列. 6．等比数列的前n项和公式 若等比数列{an}的首项为a1，公比为q，则等比数列{}的前n项和公式为 =. 7．等比数列前n项和的性质 已知等比数列{an}的公比为q，前n项和为Sn，则有如下性质： (1). (2)若(k∈N*)均不为0，则成等比数列，且公比为qk. (3)若{an}共有2n(n∈N*)项，则=q； 若{an}共有(2n+1)(n∈N*)项，则=q. 知识点2 等比数列的基本运算的解题策略 1．等比数列基本量的运算的求解思路： 等比数列基本量的运算是等比数列中的一类基本问题，等比数列中有五个量a1，n，q，an，Sn，一般可以“知三求二”，通过列方程（组）便可迎刃而解. 知识点3 等比数列的判定方法 1．证明数列是等比数列的主要方法： (1)定义法：（常数）为等比数列； (2)中项法：为等比数列； (3)通项公式法：（k，q为常数）为等比数列； 证明一个数列为等比数列常用定义法与等比中项法，其他方法只用于选择题、填空题中的判定；若证明某数列不是等比数列，则只要证明存在连续三项不成等比数列即可. 2．在利用递推关系判定等比数列时，要注意对n=1的情形进行验证. 知识点4 等比数列及其前n项和的性质及应用 1．等比数列的性质： 等比数列的性质可以分为三类：一是通项公式的变形；二是等比中项的变形；三是前n项和公式的变形.根据题目条件，认真分析，发现具体的变化特征即可找出解决问题的突破口. 2．等比数列的单调性与最值问题 涉及等比数列的单调性与最值的问题，一般要考虑公比与首项的符号对其的影响. 知识点5 等比数列前n项和的函数特征 1．Sn与q的关系 (1)当公比q≠1时，等比数列的前n项和公式是，它可以变形为,设，则上式可以写成的形式， 由此可见，数列{Sn}的图象是函数图象上的一群孤立的点； (2)当公比q=1时，等比数列的前n项和公式是，则数列{Sn}的图象是函数图象上的一群孤立的点. 2．Sn与an的关系 当公比q≠1时，等比数列的前n项和公式是，它可以变形为,设，则上式可以写成的形式，则Sn是an的一次函数. 【方法技巧与总结】 1．等比数列{an}的通项公式可以写成，这里c≠0，q≠0. 2．等比数列{an}的前n项和Sn可以写成(A≠0，q≠1,0). 3．设数列{an}是等比数列，Sn是其前n项和. (1). (2)若，则成等比数列. (3)若数列{an}的项数为2n，则；若项数为2n+1，则. 【题型1 等比数列的基本量计算】 【例1】（2025·安徽芜湖·模拟预测）若等比数列的第3项和第5项分别为48和12，则的首项（    ） A．－192 B．192 C． D．－193 【变式1-1】（2025·浙江杭州·二模）若等比数列满足，，则数列的公比等于（   ） A．或 B．或 C． D． 【变式1-2】（2025·湖南邵阳·模拟预测）记等比数列的前项和为，若，，则（    ） A．3 B．2 C． D． 【变式1-3】（2025·河南·二模）已知首项为的等比数列的前项和为，若也为等比数列，则的公比为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【题型2 等比数列的性质及应用】 【例2】（2025·福建泉州·模拟预测）已知为等比数列，，，则（    ） A． B．3 C． D．9 【变式2-1】（2025·云南保山·一模）若、、、成等比数列，则（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】（2025·江苏南通·三模）在等比数列中，，，则（   ） A．36 B． C． D．6 【变式2-3】（2025·河南·一模）若成等比数列，则（    ） A．4 B．6 C．9 D．12 【题型3 等比数列的判定与证明】 【例3】（2025·上海黄浦·三模）已知数列各项为正，满足，m、n是正整数，是等比数列，则P是Q的（   ） A．充分必要条件 B．充分非必要条件 C．必要非充分条件 D．既非充分也非必要条件． 【变式3-1】（2024·宁夏银川·二模）已知数列满足，，则下列是等比数列的是（   ） A． B． C． D． 【变式3-2】（2024·全国·模拟预测）已知数列的前项和为，满足． (1)求证：数列为等比数列； (2)设的前项和为，求． 【变式3-3】（2025·吉林延边·一模）已知数列的首项，且满足. (1)求，； (2)证明：数列为等比数列； (3)求数列的通项公式. 【题型4 等比数列的通项公式】 【例4】（2025·全国·一模）等比数列中，，，，则（    ） A． B． C． D． 【变式4-1】（2024·海南·模拟预测）已知等比数列的公比不为1，若，且成等差数列，则（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】（2025高三·全国·专题练习）已知递增等比数列中，，设． (1)求的通项公式； (2)求的前项和． 【变式4-3】（2024·吉林·模拟预测）已知数列满足：，数列为单调递增等比数列，，且成等差数列. (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 【题型5 等比数列中的单调性与最值问题】 【例5】（24-25高三上·云南昆明·期中）设等比数列公比为，则“”是“为递增数列”的（    ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．即不充分也不必要条件 【变式5-1】（2025·北京顺义·一模）设为等比数列，则“存在，使得”是“为递减数列”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式5-2】（2025·上海闵行·二模）已知数列为等比数列，首项，公比，则下列叙述不正确的是（   ） A．数列的最大项为 B．数列的最小项为 C．数列为严格递增数列 D．数列为严格递增数列 【变式5-3】（24-25高三上·贵州黔西·阶段练习）设等比数列的公比为，其前项和为，前项积为，且满足条件，，，则下列选项错误的是（    ） A． B． C．是数列中的最大项 D． 【题型6 等比数列前n项和的性质】 【例6】（2025·江西赣州·二模）设等比数列的前n项和为，若，，则（    ） A． B．7 C．63 D．7或63 【变式6-1】（2025·江西·二模）记为等比数列的前项和，若，则（    ） A．81 B．71 C．61 D．51 【变式6-2】（24-25高二上·重庆·期中）已知等比数列有项，，所有奇数项的和为85，所有偶数项的和为42，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【变式6-3】（2024·湖南邵阳·模拟预测）记为公比小于1的等比数列的前项和，，，则（    ） A．6 B．3 C．1 D． 【题型7 等比数列的简单应用】 【例7】（2025·贵州遵义·模拟预测）公元前1650年的埃及莱因德纸草书上载有如下问题：“十人分十斗玉米，从第二人开始，各人所得依次比前人少八分之一，问每人各得玉米多少斗？”在上述问题中，前五人得到的玉米总量为（     ） A．斗 B．斗 C．斗 D．斗 【变式7-1】（2025·四川内江·一模）年月日是第个植树节，为加快建设美丽内江、筑牢长江上游生态屏障贡献力量，我市积极组织全民义务植树活动．现有一学校申领到若干包树苗（每包树苗数相同），该校个志愿小组依次领取这批树苗开展植树活动．已知第组领取所有树苗的一半又加半包，第组领取所剩树苗的一半又加半包，第组也领取所剩树苗的一半又加半包．以此类推，第组也领取所剩树苗的一半又加半包，此时刚好领完所有树苗．请问该校共申领了树苗多少包？（  ） A． B． C． D． 【变式7-2】（2025·四川宜宾·一模）《九章算术》中的“两鼠穿墙题”是我国数学的古典名题：“今有垣厚若干尺，两鼠对穿，大鼠日一尺，小鼠也日一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半.”题意是：有两只老鼠从墙的两边打洞穿墙.大老鼠第一天进一尺，以后每天加倍；小老鼠第一天也进一尺，以后每天减半.如果墙足够厚，第天后大老鼠打洞的总进度是小老鼠的4倍，则的值为（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 【变式7-3】（2024·云南昆明·一模）第七届国际数学大会（ICNE7）的会徽图案是由若干三角形组成的.如图所示，作，，，再依次作相似三角形，，，……，直至最后一个三角形的斜边与第一次重叠为止.则所作的所有三角形的面积和为（    ）    A． B． C． D． 【题型8 等差数列与等比数列的综合应用】 【例8】（2025·河南·二模）记等差数列的前n项和为，公差，，数列为等比数列，且，，，则（    ） A．2 B． C． D．3 【变式8-1】（2025·陕西宝鸡·三模）已知数列满足给出下列三个命题 ①数列为等比数列； ②数列为等差数列； ③当时，. 其中真命题的个数为（    ）个 A．0 B．1 C．2 D．3 【变式8-2】（2025·湖北·三模）记为等比数列的前项和，已知，，数列是公差为1的等差数列，且=，数列满足. (1)求数列和的通项公式； (2)求数列的最小值及取得最小值时的值． 【变式8-3】（2025·湖南长沙·三模）已知等差数列的第2项为3，其前5项和为25．数列是公比大于0的等比数列，，． (1)求和的通项公式； (2)记，， （ⅰ）证明是等比数列； （ⅱ）证明，． 【题型9 等比数列中的不等式恒成立问题】 【例9】（2025·甘肃定西·模拟预测）已知等比数列的前项和为，若对于任意，不等式恒成立，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式9-1】（2024·江苏苏州·二模）已知数列的前项和为，，若对任意的恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式9-2】（2025·黑龙江哈尔滨·二模）已知数列满足，（），记． (1)求证：是等比数列； (2)设，数列的前n项和为．若不等式对一切恒成立，求实数的取值范围． 【变式9-3】（2025·天津·二模）已知等差数列和等比数列满足：，，， (1)求数列和的通项公式； (2)求数列的前项和； (3)已知，数列的前项和，若对任意正整数，不等式恒成立，求实数的取值范围． 【题型10 与等比数列有关的新定义、新情景问题】 【例10】（24-25高三下·重庆·阶段练习）定义：满足 为常数，）的数列 称为二阶等比数列，为二阶公比.已知二阶等比数列的二阶公比为，则使得 成立的最小正整数为（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 【变式10-1】（24-25高二上·北京·期末）如果数列满足（k为常数），那么数列叫做等比差数列，k叫做公比差．下列四个结论中所有正确结论的序号是（    ） ①若数列满足，则该数列是等比差数列； ②数列是等比差数列； ③所有的等比数列都是等比差数列； ④存在等差数列是等比差数列． A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．②③④ 【变式10-2】（2025高三下·全国·专题练习）若数列中存在三项，按一定次序排列构成等比数列，则称为“等比源数列”． (1)已知数列为4，3，1，2，数列为1，2，6，24，分别判断,是否为“等比源数列”，并说明理由； (2)已知数列的通项公式为，判断是否为“等比源数列”，并说明理由； 【变式10-3】（2025·山西晋城·二模）设是项数为且各项均不相等的正项数列，满足下列条件的数列称为的“等比关联数列”：①数列的项数为；②中任意两项乘积都是中的项；③是公比大于1的等比数列． (1)已知数列是的“等比关联数列”，且，，，求数列的通项公式； (2)已知数列是的“等比关联数列”，且的前3项成等比数列的概率为，求的值； (3)证明：不存在“等比关联数列”． 一、单选题 1．（2025·北京·高考真题）已知是公差不为零的等差数列，，若成等比数列，则（   ） A． B． C．16 D．18 2．（2025·四川成都·一模）记为等比数列的前项和，若，则的公比为（   ） A．2 B． C． D． 3．（2025·江苏连云港·模拟预测）已知等比数列的前项和为，且，则（    ） A． B． C． D． 4．（2025·云南丽江·模拟预测）已知等比数列的各项均为正数，且，则（    ） A．2014 B．2024 C．2025 D．2026 5．（2025·全国·二模）设等比数列的各项均为正数，其前项和为，则“”是“数列是递增数列”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 6．（2025·海南·模拟预测）数列满足，对于任意的恒成立，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 7．（2025·北京东城·模拟预测）月相是指天文学中对于地球上看到的月球被太阳照亮部分的称呼．1854年，爱尔兰学者在大英博物馆所藏的一块巴比伦泥板上发现了一个记录连续15天月相变化的数列，记为，其将满月等分成240份，（且）表示第天月球被太阳照亮部分所占满月的份数．例如，第1天月球被太阳照亮部分占满月的，即；第15天为满月，即．已知的第1项到第5项是公比为的等比数列，第5项到第15项是公差为的等差数列，且，均为正整数，则（   ） A．80 B．96 C．100 D．112 8．（2025·海南·模拟预测）在等比数列中，已知，则对于任意的，下列不等式成立的是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（2025·全国二卷·高考真题）记为等比数列的前n项和，为的公比，若，则（   ） A． B． C． D． 10．（2025·陕西宝鸡·三模）已知数列是公比为的等比数列，其前项和为，则（    ） A． B． C． D． 11．（2025·辽宁锦州·模拟预测）设首项为1的数列的前项和为，已知，则下列结论正确的是（    ） A． B．数列为等比数列 C．数列为等比数列 D．数列为等比数列 三、填空题 12．（2025·湖南长沙·模拟预测）等比数列的前项和记为，若，，，则 . 13．（2025·全国一卷·高考真题）若一个等比数列的各项均为正数，且前4项的和等于4，前8项的和等于68，则这个数列的公比为 . 14．（2025·浙江绍兴·二模）等比数列的前n项和为，若，且与的等差中项为，则 . 四、解答题 15．（2025·新疆喀什·三模）记数列的前n项和为，已知 (1)证明:数列是等比数列； (2)求数列的通项公式； 16．（2025·四川成都·模拟预测）已知数列的首项，且满足． (1)求证：数列为等比数列； (2)记，数列的前n项和，证明：． 17．（2025·海南·模拟预测）已知各项均为正数的等差数列的前项和为，，数列为等比数列，首项． (1)求数列和的通项公式； (2)设，求数列的前项和． 18．（2025·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知数列是正项等比数列，满足，，且， (1)求数列的通项公式； (2)在与之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，记数列的前项和为，求证：. 19．（2025·河北邢台·二模）已知数列满足，记． (1)证明：数列为等比数列，并求出数列的通项公式； (2)设为数列的前项和，证明：． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $$