专题6.1 等差数列及其前n项和（举一反三复习讲义）-【上好课】2026年高考数学二轮复习举一反三系列（全国通用）

该高中数学高考复习讲义聚焦等差数列核心考点，涵盖基本量计算、判定方法、性质应用及前n项和等内容，按“知识点梳理-题型突破-真题演练”逻辑架构知识体系。通过考点分析明确考情，方法总结提炼解题策略，分层例题变式训练，帮助学生系统构建知识网络，针对性突破高频难点。 资料以高考命题规律为导向，创新采用“考情预测-素养渗透”教学策略。如在实际应用题型中结合《周髀算经》问题，培养学生用数学眼光观察现实世界的能力，通过定义法判定等差数列强化数学思维推理。设置基础到综合的分层练习，配合高考真题对接，确保高效复习，为教师把控复习节奏、提升学生应考能力提供有力支持。

专题6.1 等差数列及其前n项和（举一反三复习讲义） 【全国通用】 命题规律分析 1、等差数列及其前n项和 数列是高考的重点、热点内容，其中等差数列属于高考的常考内容之一。从近三年的高考情况来看，等差数列的考查整体稳定，题型、难度及其考查频率都较为稳定。选择题、填空题中多单独命题，主要考查等差数列的基本量计算和基本性质、等差数列的通项公式与前n项和等，难度较易；在解答题中主要考查等差数列的证明、求和及综合应用，多位于解答题的前几题中，命题侧重基础，或融入不等式、导数等知识，难度中等；有时会在压轴题中出现数列的新定义、新情景题，难度较大，需要灵活求解。 高考真题统计 考点 2023年 2024年 2025年 等差数列 新课标I卷：第7题，5分 新课标I卷：第20题，12分 新课标Ⅱ卷：第18题，12分 全国甲卷（文数）：第5题，5分 全国乙卷（文数）：第18题，12分 全国乙卷（理数）：第10题，5分 新课标I卷：第19题，17分 新课标Ⅱ卷：第12题，5分 全国甲卷（文数）：第5题，5分 全国甲卷（理数）：第4题，5分 全国一卷：第16题，15分 全国二卷：第7题，5分 2026年 命题预测 预测在2026年全国卷高考数学中，等差数列的考情将继续维持稳定态势。选择题、填空题仍然以单独考查等差数列的基本量计算、性质及前n项和为主，分值稳定在5分左右；解答题中主要考查等差数列的判定与通项公式，或者与等比数列、不等式、函数等结合命题，难度中等。核心考查等差数列的性质、通项及前n项和的灵活运用，注重公式的运用和数学运算能力。 知识点1 等差数列的基本量计算 1．等差数列的基本量计算的两大求解思路： (1)等差数列的通项公式及前n项和公式共涉及五个量a1，an，d，n，Sn，知其中三个就能求另外两个，体现了用方程的思想来解决问题. (2)数列的通项公式和前n项和公式在解题中起到变量代换作用，而a1和d是等差数列的两个基本量，用它们表示已知和未知是常用方法. 知识点2 等差数列的判定的方法与结论 1．证明数列是等差数列的主要方法： (1)定义法：对于n≥2的任意自然数，验证an-an-1为同一常数.即作差法，将关于an-1的an代入an-an-1，在化简得到定值. (2)等差中项法：验证2an-1=an+an-2（n≥3，n∈N*）都成立. 2．判定一个数列是等差数列还常用到的结论： (1)通项公式：an=pn+q（p,q为常数）是等差数列. (2)前n项和公式：Sn=An2+Bn（A,B为常数）是等差数列. 问题的最终判定还是利用定义. 知识点3 等差数列及其前n项和的性质及应用 1．项的性质： 在等差数列an中，若m+n=p+q(m,n,p,q∈N*)，则am+an=ap+aq. 2．和的性质： 在等差数列an中，Sn为其前n项和，则 (1)S2n=n(a1+a2n)=…=n(an+an+1)； (2)S2n-1=(2n-1)an； (3)依次k项和成等差数列，即Sk,S2k-Sk,S3k-S2k,…成等差数列. 3．求等差数列前n项和的最值的常用方法： (1)邻项变号法：利用等差数列的单调性，求出其正负转折项，或者利用性质求其正负转折项，便可求得和的最值； (2)二次函数法：利用公差不为零的等差数列的前n项和Sn=An2+Bn（A,B为常数，A≠0）为二次函数，通过二次函数的性质求最值. (3)不等式组法：借助当Sn最大时，有，解此不等式组确定n的范围，进而确定n的值和对应Sn的值(即Sn最大值)，类似可求Sn的最小值. 【方法技巧与总结】 1．已知数列{an}的通项公式是an= pn+q(其中p，q为常数)，则数列{an}一定是等差数列，且公差为p. 2．在等差数列{an}中，a1>0， d<0，则Sn存在最大值；若a1<0， d>0，则Sn存在最小值. 3．等差数列{an}的单调性：当d>0时，{an}是递增数列；当d<0时，{an}是递减数列；当d=0时，{an}是常数列. 4．数列{an}是等差数列( A, B为常数). 【题型1 等差数列的基本量计算】 【例1】（2026·河南鹤壁·一模）已知等差数列的公差为，若，则（　　） A．1 B．2 C．4 D．6 【答案】C 【解题思路】利用等差数列的通项公式即可求解. 【解答过程】由题意知，，又，故． 故选：C. 【变式1-1】（2025·江苏南通·模拟预测）设为等差数列，且，则（    ） A．16 B．18 C．20 D．22 【答案】C 【解题思路】由等差数列的通项公式求解出基本量，计算求解即可. 【解答过程】设等差数列的公差为， 由于， ，， 解得，， 所以. 故选：C. 【变式1-2】（2026·贵州六盘水·模拟预测）已知等差数列前三项的和为，则的公差为（   ） A．3 B．2 C．2 D．3 【答案】D 【解题思路】根据给定条件，利用等差数列性质求解. 【解答过程】由等差数列前三项的和为，得，解得， 又，所以的公差. 故选：D. 【变式1-3】（2026·安徽芜湖·一模）等差数列的前项和为，满足，则公差（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】C 【解题思路】利用等差数列的通项公式和性质求解即可. 【解答过程】因为数列是等差数列，满足， 所以，解得， 所以由，即，解得， 故选：C. 【题型2 等差数列的性质及应用】 【例2】（2025·浙江温州·一模）已知等差数列中，，则（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】D 【解题思路】根据等差数列的项的性质计算即可. 【解答过程】在等差数列中，由于，故，所以. 故选：D. 【变式2-1】（2026·陕西渭南·一模）在等差数列中，若，，则（   ） A．8 B．12 C．16 D．20 【答案】C 【解题思路】根据等差数列的性质即可求解. 【解答过程】由于是等差数列，设公差为，则，故，因此， 故选：C. 【变式2-2】（2026·重庆·一模）在等差数列中，若，则（    ） A． B．8 C．16 D．24 【答案】B 【解题思路】根据等差数列性质以及等差中项的应用计算可得结果. 【解答过程】依题意可得，因此； 又，可得； 因为，所以. 故选：B. 【变式2-3】（2025·浙江金华·一模）已知等差数列满足，则（    ） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】B 【解题思路】应用等差中项的性质得，再由即可得出. 【解答过程】由题设，而， 所以. 故选：B. 【题型3 等差数列的判定与证明】 【例3】（2026·湖南邵阳·一模）设甲：数列满足，乙：数列是等差数列，则甲是乙的（   ） A．充要条件 B．必要不充分条件 C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解题思路】根据充分条件和必要条件的定义结合等差数列的定义分析判断即可. 【解答过程】若成立，则，符合等差数列的定义， 所以能够推出数列是等差数列，故充分性成立. 若数列是等差数列,设其公差为，则,. . 所以, 所以.即必要性成立. 所以甲是乙的充分必要条件. 故选：A. 【变式3-1】（2025·浙江宁波·模拟预测）已知数列，则“”是“数列是等差数列”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【解题思路】根据等差数列定义以及等差中项性质对充分性和必要性分别进行判断即可得结论. 【解答过程】判断充分性： 因为，所以， 令，则，所以数列的偶数项成等差数列， 令，则，所以数列的奇数项成等差数列， 但数列不一定是等差数列，如：1，1，2，2，3，3； 所以“”不是“数列为等差数列”的充分条件； 再判断必要性： 若数列是等差数列，则， 所以，所以“”是“数列为等差数列”的必要条件； 综上，“”是“数列为等差数列”的必要不充分条件. 故选：B. 【变式3-2】（2025·云南昭通·模拟预测）在正项数列中，，． (1)证明：数列是等差数列； (2)记，设数列的前n项和为，证明：． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【解题思路】（1）根据等差数列的定义进行运算证明即可； （2）利用裂项相消法进行运算证明即可. 【解答过程】（1）由，得， 因为数列为正项数列，所以，即， 又因为，所以数列是以为首项，2为公差的等差数列． （2）由（1）可知，，即， 则， ∴， ∵，，∴． 【变式3-3】（2025·四川眉山·模拟预测）在数列中，，. (1)证明数列是等差数列，并求的通项公式； (2)若，求数列的前项和. 【答案】(1)证明见解析， (2) 【解题思路】（1）由题中递推数列化简为，从而可求解. （2）由（1）结论可得，再利用裂项相消求和从而可求解. 【解答过程】（1）因为，所以，         所以.         因为，所以，             则数列是首项为2，公差为1的等差数列，         从而，             故. （2）由（1）可知，             则，         故         . 【题型4 等差数列的通项公式】 【例4】（2025·北京通州·一模）已知等差数列满足：，且，则（   ） A．2026 B．2025 C．2024 D．2023 【答案】D 【解题思路】根据题意求出首项和公差，进而可求出通项，即可得解. 【解答过程】设公差为， 由，， 得，解得， 所以， 所以. 故选：D. 【变式4-1】（2025·海南·模拟预测）已知数列满足，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据题意可得，即数列为等差数列，确定首项及公差，即可得到通项，再计算即可. 【解答过程】因为， 所以， 即数列为等差数列，又，所以数列首项为1，公差为3， ，则， 故选：D. 【变式4-2】（2025·陕西商洛·一模）已知等差数列的前项和为，，． (1)求的通项公式； (2)若数列是公比为3的等比数列，且，求的前项和． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）根据等差数列的基本量结合题设求出，进而求解即可； （2）由题意易得，进而利用分组求和法求解即可. 【解答过程】（1）设等差数列的公差为， 由题意，得，解得， 则. （2）由（1）知，， 因为数列是公比为3的等比数列，其首项为， 则，则， 所以. 【变式4-3】（2025·重庆沙坪坝·模拟预测）已知等差数列满足公差． (1)求； (2)记数列的前项和为，若，求数列中的最小项． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）求出数列的首项与公差，再根据等差数列的通项即可得解； （2）先求出，进而可求出数列的通项，再根据函数性质即可得解. 【解答过程】（1）为等差数列， ， 又， ， ， ， ； （2）， ， 当时，， 当时，， 所以当时，最小， 即数列中的最小项为． 【题型5 等差数列的前n项和】 【例5】（2026·山东枣庄·模拟预测）记等差数列的前n项和为，公差为d，若，则（   ） A．15 B．25 C．35 D．45 【答案】C 【解题思路】根据等差数列的前项求和公式，结合已知条件求出首项和公差的值，再代入等差数列的前项求和公式得出. 【解答过程】因为，， 所以， ，， 将上述式子代入已知条件得： ，解得， 所以. 故选：C. 【变式5-1】（2026·广东佛山·一模）设等差数列的前项和为.若，则（    ） A．12 B．15 C．18 D．21 【答案】B 【解题思路】设等差数列的公差为，进而结合题意列出关于的方程解得，再根据通项公式求解即可. 【解答过程】设等差数列的公差为，首项为， 因为， 所以，即，解得， 所以 故选：B. 【变式5-2】（2026·四川绵阳·二模）等差数列的前n项和为，已知，则（   ） A．0 B．2 C．4 D．8 【答案】D 【解题思路】利用等差数列的前n项和公式，即可求解. 【解答过程】因为等差数列的前n项和为， 所以，则， 即， 故选：D. 【变式5-3】（2026·辽宁大连·一模）记为数列的前项和，已知.当最大时，（    ） A．9 B．10 C．9或10 D．10或11 【答案】C 【解题思路】根据等差数列定义可判断数列为等差数列，再根据等差数列前项和公式以及二次函数性质可得结果. 【解答过程】由可得数列为等差数列， 又可得，因此； 所以公差满足，因此； 即， 又因为，所以当或时，取得最大为45. 故选：C. 【题型6 等差数列的简单应用】 【例6】（2025·四川绵阳·模拟预测）某学校为了庆祝建校60周年，计划对学校校门的梯形花坛进行美化.计划第一排摆放12个花盆，从第二排开始每排比前一排多摆放6个花盆，梯形花坛最多摆放10排，则该校花坛铺满一共需要的花盆数是（   ） A．380 B．390 C．400 D．600 【答案】B 【解题思路】根据题意将每排摆放花的盆数理解为等差数列，然后根据等差数列前项和进行求解即可. 【解答过程】记每排摆放的花盆数为，数列的前项和为. 由题意可知，数列是以为首项，为公差的等差数列， 所以. 故将该花坛铺满一共需要盆花. 故选：B. 【变式6-1】（2025·江苏宿迁·模拟预测）《周髀算经》中有这样一个问题：从冬至日起，依次为小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种，这十二个节气，其日影长依次成等差数列，若小寒、雨水、清明日影长之和为36尺，前八个节气日影长之和为92尺，则谷雨日影长为（ ） A．15 B．16 C．17 D．18 【答案】B 【解题思路】令所给等差数列为，由给定的两个和建立方程，结合等差数列性质求解. 【解答过程】令所给等差数列为，其前项和为， 则，即，因此， 解得， 则数列的公差，所以谷雨日影长. 故选：B. 【变式6-2】（2025·山东青岛·三模）《九章算术》是中国古代的数学名著，书中有“分钱问题”：现有5个人分5钱，5人分得钱数依次成等差数列，前两人分得钱数之和等于后三人分得钱数之和，则分得钱数最少的一人钱数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】设第所得钱数为钱，设数列、、、、的公差为，根据已知条件可得出关于、的值，即可求得的值. 【解答过程】设第所得钱数为钱，则数列、、、、为等差数列， 设数列、、、、的公差为， 则，解得，故. 故选：C. 【变式6-3】（2025·陕西汉中·模拟预测）鬼工球，又称同心球，要求制作者使用一整块完整的材料，将其雕成每层均同球心的数层可自由转动的空心球，空心球的球面厚度不计.为保证鬼工球的每一层均可以自由转动，要求其从最内层起，每层与其外一层球面的间距构成首项为､公差为的等差数列，若一个鬼工球最外层与最内层的半径之差为，则该鬼工球的层数为（    ） A．9 B．10 C．11 D．12 【答案】C 【解题思路】根据已知条件确定该等差数列的首项、公差，再利用前项和公式建立方程，进而求解鬼工球的层数. 【解答过程】已知每层与其外一层球面的间距构成首项、公差的等差数列.设该鬼工球的层数为， 由于最外层与最内层的半径之差就是这个等差数列的前项和，即. 根据等差数列前项和公式， 将，，代入可得： ，即 得到，（因为层数为正整数，所以舍去）. 该鬼工球的层数为11. 故选：C. 【题型7 等差数列中的不等式问题】 【例7】（2026·四川雅安·一模）已知等差数列的前n项和为，且，. (1)求数列的通项公式； (2)数列满足，为的前n项和，证明：. 【答案】(1)； (2)证明见解析. 【解题思路】（1）设等差数列的公差为d，由题意列出方程组，即可求得答案； （2）结合（1）的结果可得的表达式，说明为等比数列，即可求出的表达式，结合不等式性质，即可证明结论. 【解答过程】（1）设等差数列的公差为d， 由，得，解得， 故； （2），则， 故是以为首项，以为公比的等比数列， 故， 由于随着n的增大而增大，，故是关于n的增函数， 故， 又，故, 综上可知. 【变式7-1】（2025·四川达州·一模）已知为等差数列，前项和为，且． (1)求； (2)设，数列的前项和为，若对任意，不等式成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）先根据已知条件求出等差数列的首项和公差，进而求出. （2）先求出，然后求出并化简，进而求解不等式即可. 【解答过程】（1）设等差数列的首项为，公差为，因为. 所以，解得. 所以. （2）. 所以. 因为不等式对任意恒成立，则有对任意恒成立， 又，所以. 【变式7-2】（2026·江西九江·一模）已知数列的前项和为，且. (1)证明：是等差数列； (2)若，求的最大值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【解题思路】（1）根据题意化简得到，即可证明是等差数列； （1）由（1）算出，进而求出，代入不等式计算即可. 【解答过程】（1）已知， 所以， 所以， 两边同除以，得， 因为，所以， 所以是以为首项，为公差的等差数列. （2）由（1）可知，所以， 当时，， 时，也满足， 因为，所以，解得， 又，所以的最大值为. 【变式7-3】（2025·江苏南通·模拟预测）已知数列的各项均为正数，前n项和为，且，． (1)证明：是等差数列； (2)设，数列的前n项和为，不等式对任意正整数n恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)证明见解析； (2). 【解题思路】（1）根据给定条件，利用及等差数列定义推理得证. （2）由（1）求出及并裂项，再按分奇偶求出，进而求出的最小值即可. 【解答过程】（1）在正项数列中，， 则，所以是等差数列. （2）由（1）知，等差数列的首项，公差，则，， ，于是，而满足上式， 因此，， 则， ， 显然，且数列单调递增，， 因此，又不等式对任意正整数n恒成立，则， 所以实数的取值范围是. 【题型8 等差数列与其他知识交汇】 【例8】（2026·新疆·二模）已知等差数列的公差为，集合，若，则的值为（    ） A． B．0 C． D．1 【答案】B 【解题思路】根据给定的等差数列，写出通项公式，再结合余弦型函数的周期性，判断集合只有两个元素，化简后计算即得. 【解答过程】已知等差数列的公差为，则， 所以，则， 即. 故选：B. 【变式8-1】（2026·山东泰安·一模）已知方程的四个实根从小到大排列后成等差数列，则实数（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】方程转化为或，所以根据题意有，化简可得解. 【解答过程】设方程的四个实根，，，， 可得方程，即或， 如图， 所以， 因为，，，成等差数列， 所以，即， 可得，即. 故选：A. 【变式8-2】（2026·安徽黄山·一模）已知是正项数列的前项和，且． (1)求数列的通项公式； (2)若为函数的导函数，记，求数列的前项和． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）利用前项和与通项关系式，可化简得到，从而可利用等差数列通项公式即可求解； （2）利用导数，代入通项公式化简，再利用裂项法求和即可. 【解答过程】（1）当时，，因为正项数列，所以， 由，得， 两式相减得，即， 因为，所以， 故是一个以1为公差的等差数列， 即． （2）由题意，则， 所以， 即． 【变式8-3】（2026·安徽黄山·一模）已知函数． (1)若，讨论函数的单调性； (2)若函数有三个零点，且． （Ⅰ）求实数的取值范围； （Ⅱ）若三个零点成等差数列，求这三个零点． 【答案】(1)答案见解析 (2)（Ⅰ）； （Ⅱ）， 【解题思路】（1）求导得到导数表达式，再结合参数的不同取值范围，分别讨论导数在相应区间上的正负，从而确定函数的单调性. （2）（Ⅰ）根据单调性和函数值的符号排除不符合条件的情形，再通过极值点的函数值符号建立不等式，得到参数的取值范围； （Ⅱ）零点成等差数列时利用零点所满足的方程变形得到比例关系，结合等差数列的定义建立关于公差的方程并求解. 【解答过程】（1）由， ①当时，，在上单调递减，在上单调递增； ②当时，若，则，即在上单调递增； 若，则， 令， 若，即时， 当时，；当时，； 当时，． 所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增； 若，即时，当时，； 当时，， 由的连续性知在上单调递增． 综上所述，当时，在上单调递减，在上单调递增； 当时，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增； 当时，在上单调递增． （2）（Ⅰ）①当时，由（1）知在上单调递增，则至多只有一个零点，与题不符； ②当时，由得，则在上只有一个零点，与题不符； ③当时，在上单调递减，而在上恒成立，且, 则函数无零点，与题不符； ④当，在上单调递增且， 所以在上恰有一个零点， 又时，，若使有个零点，则， 即，即，解得. 综上所述，实数的取值范围为. （Ⅱ）令，即， 因为为函数的三个零点，且由（2）知， 所以有：，由于同号，两式相除得， 令等差数列的公差为，所以，得， 同理，由异号，所以，所以，得， 所以，得，解得． 代入，得， 所以． 考点一 等差数列 一、单选题 1．（2025·全国二卷·高考真题）记为等差数列的前n项和.若则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】由等差数列前n项和公式结合题意列出关于首项和公差d的方程求出首项和公差d，再由等差数列前n项和公式即可计算求解. 【解答过程】设等差数列的公差为d，则由题可得 ， 所以. 故选：B. 2．（2024·全国甲卷·高考真题）已知等差数列的前项和为，若，则（    ） A． B． C．1 D． 【答案】D 【解题思路】可以根据等差数列的基本量，即将题目条件全转化成和来处理，亦可用等差数列的性质进行处理，或者特殊值法处理. 【解答过程】方法一：利用等差数列的基本量 由，根据等差数列的求和公式，， 又. 故选：D. 方法二：利用等差数列的性质 根据等差数列的性质，，由，根据等差数列的求和公式， ，故. 故选：D. 方法三：特殊值法 不妨取等差数列公差，则，则. 故选：D. 3．（2024·全国甲卷·高考真题）记为等差数列的前项和，已知，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】由结合等差中项的性质可得，即可计算出公差，即可得的值. 【解答过程】由，则， 则等差数列的公差，故. 故选：B. 4．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）记为数列的前项和，设甲：为等差数列；乙：为等差数列，则（    ） A．甲是乙的充分条件但不是必要条件 B．甲是乙的必要条件但不是充分条件 C．甲是乙的充要条件 D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 【答案】C 【解题思路】利用充分条件、必要条件的定义及等差数列的定义，再结合数列前n项和与第n项的关系推理判断作答.， 【解答过程】方法1，甲：为等差数列，设其首项为，公差为， 则， 因此为等差数列，则甲是乙的充分条件； 反之，乙：为等差数列，即为常数，设为， 即，则，有， 两式相减得：，即，对也成立， 因此为等差数列，则甲是乙的必要条件， 所以甲是乙的充要条件，C正确. 方法2，甲：为等差数列，设数列的首项，公差为，即， 则，因此为等差数列，即甲是乙的充分条件； 反之，乙：为等差数列，即， 即，， 当时，上两式相减得：，当时，上式成立， 于是，又为常数， 因此为等差数列，则甲是乙的必要条件， 所以甲是乙的充要条件. 故选：C. 5．（2023·全国乙卷·高考真题）已知等差数列的公差为，集合，若，则（    ） A．－1 B． C．0 D． 【答案】B 【解题思路】根据给定的等差数列，写出通项公式，再结合余弦型函数的周期及集合只有两个元素分析、推理作答. 【解答过程】依题意，等差数列中，， 显然函数的周期为3，而，即最多3个不同取值，又， 则在中，或或 于是有或， 即有，解得； 或者，解得； 所以，或. 故选：B. 6．（2023·全国甲卷·高考真题）记为等差数列的前项和．若，则（    ） A．25 B．22 C．20 D．15 【答案】C 【解题思路】方法一：根据题意直接求出等差数列的公差和首项，再根据前项和公式即可解出； 方法二：根据等差数列的性质求出等差数列的公差，再根据前项和公式的性质即可解出． 【解答过程】方法一：设等差数列的公差为，首项为，依题意可得， ，即, 又，解得：， 所以． 故选：C. 方法二：，，所以，， 从而，于是， 所以． 故选：C. 二、填空题 7．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）记为等差数列的前n项和，若，，则 . 【答案】95 【解题思路】利用等差数列通项公式得到方程组，解出，再利用等差数列的求和公式即可得到答案. 【解答过程】因为数列为等差数列，则由题意得，解得， 则. 故答案为：. 三、解答题 8．（2025·全国一卷·高考真题）已知数列中，，. (1)证明：数列是等差数列； (2)给定正整数m，设函数，求． 【答案】(1)证明见解析； (2) 【解题思路】（1）根据题目所给条件化简，即可证明结论； （2）先求出的通项公式，代入函数并求导，函数两边同乘以，作差并利用等比数列前项和得出导函数表达式，即可得出结论. 【解答过程】（1）由题意证明如下，， 在数列中，，， ∴，即， ∴是以为首项，1为公差的等差数列. （2）由题意及（1）得，， 在数列中，首项为3，公差为1， ∴，即， 在中， ， ∴， 当且时， ∴， ∴ ∴ . 9．（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）设m为正整数，数列是公差不为0的等差数列，若从中删去两项和后剩余的项可被平均分为组，且每组的4个数都能构成等差数列，则称数列是可分数列． (1)写出所有的，，使数列是可分数列； (2)当时，证明：数列是可分数列； (3)从中任取两个数和，记数列是可分数列的概率为，证明：． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)证明见解析 【解题思路】（1）直接根据可分数列的定义即可； （2）根据可分数列的定义即可验证结论； （3）证明使得原数列是可分数列的至少有个，再使用概率的定义. 【解答过程】（1）首先，我们设数列的公差为，则. 由于一个数列同时加上一个数或者乘以一个非零数后是等差数列，当且仅当该数列是等差数列， 故我们可以对该数列进行适当的变形， 得到新数列，然后对进行相应的讨论即可. 换言之，我们可以不妨设，此后的讨论均建立在该假设下进行. 回到原题，第1小问相当于从中取出两个数和，使得剩下四个数是等差数列. 那么剩下四个数只可能是，或，或. 所以所有可能的就是. （2）由于从数列中取出和后，剩余的个数可以分为以下两个部分，共组，使得每组成等差数列： ①，共组； ②，共组. （如果，则忽略②） 故数列是可分数列. （3）定义集合，. 下面证明，对，如果下面两个命题同时成立， 则数列一定是可分数列： 命题1：或； 命题2：. 我们分两种情况证明这个结论. 第一种情况：如果，且. 此时设，，. 则由可知，即，故. 此时，由于从数列中取出和后， 剩余的个数可以分为以下三个部分，共组，使得每组成等差数列： ①，共组； ②，共组； ③，共组. （如果某一部分的组数为，则忽略之） 故此时数列是可分数列. 第二种情况：如果，且. 此时设，，. 则由可知，即，故. 由于，故，从而，这就意味着. 此时，由于从数列中取出和后，剩余的个数可以分为以下四个部分，共组，使得每组成等差数列： ①，共组； ②，，共组； ③全体，其中，共组； ④，共组. （如果某一部分的组数为，则忽略之） 这里对②和③进行一下解释：将③中的每一组作为一个横排，排成一个包含个行，个列的数表以后，个列分别是下面这些数： ，，，. 可以看出每列都是连续的若干个整数，它们再取并以后，将取遍中除开五个集合，，，，中的十个元素以外的所有数. 而这十个数中，除开已经去掉的和以外，剩余的八个数恰好就是②中出现的八个数. 这就说明我们给出的分组方式满足要求，故此时数列是可分数列. 至此，我们证明了：对，如果前述命题1和命题2同时成立，则数列一定是可分数列. 然后我们来考虑这样的的个数. 首先，由于，和各有个元素，故满足命题1的总共有个； 而如果，假设，则可设，，代入得. 但这导致，矛盾，所以. 设，，，则，即. 所以可能的恰好就是，对应的分别是，总共个. 所以这个满足命题1的中，不满足命题2的恰好有个. 这就得到同时满足命题1和命题2的的个数为. 当我们从中一次任取两个数和时，总的选取方式的个数等于. 而根据之前的结论，使得数列是可分数列的至少有个. 所以数列是可分数列的概率一定满足 . 这就证明了结论. 10．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）设等差数列的公差为，且．令，记分别为数列的前项和． (1)若，求的通项公式； (2)若为等差数列，且，求． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）根据等差数列的通项公式建立方程求解即可； （2）由为等差数列得出或，再由等差数列的性质可得，分类讨论即可得解. 【解答过程】（1），，解得， ， 又， ， 即，解得或（舍去）， . （2）为等差数列， ，即， ，即，解得或， ，， 又，由等差数列性质知，，即， ，即，解得或（舍去） 当时，，解得，与矛盾，无解； 当时，，解得. 综上，. 11．（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知为等差数列，，记，分别为数列，的前n项和，，． (1)求的通项公式； (2)证明：当时，． 【答案】(1)； (2)证明见解析. 【解题思路】（1）设等差数列的公差为，用表示及，即可求解作答. （2）方法1，利用（1）的结论求出，，再分奇偶结合分组求和法求出，并与作差比较作答；方法2，利用（1）的结论求出，，再分奇偶借助等差数列前n项和公式求出，并与作差比较作答. 【解答过程】（1）设等差数列的公差为，而， 则， 于是，解得，， 所以数列的通项公式是. （2）方法1：由（1）知，，， 当为偶数时，， ， 当时，，因此， 当为奇数时，， 当时，，因此， 所以当时，. 方法2：由（1）知，，， 当为偶数时，， 当时，，因此， 当为奇数时， ，显然满足上式，因此当为奇数时，， 当时，，因此， 所以当时，. 12．（2023·全国乙卷·高考真题）记为等差数列的前项和，已知． (1)求的通项公式； (2)求数列的前项和． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）根据题意列式求解，进而可得结果； （2）先求，讨论的符号去绝对值，结合运算求解. 【解答过程】（1）设等差数列的公差为， 由题意可得，即，解得， 所以， （2）因为， 令，解得，且， 当时，则，可得； 当时，则，可得 ； 综上所述：. 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题6.1 等差数列及其前n项和（举一反三复习讲义） 【全国通用】 命题规律分析 1、等差数列及其前n项和 数列是高考的重点、热点内容，其中等差数列属于高考的常考内容之一。从近三年的高考情况来看，等差数列的考查整体稳定，题型、难度及其考查频率都较为稳定。选择题、填空题中多单独命题，主要考查等差数列的基本量计算和基本性质、等差数列的通项公式与前n项和等，难度较易；在解答题中主要考查等差数列的证明、求和及综合应用，多位于解答题的前几题中，命题侧重基础，或融入不等式、导数等知识，难度中等；有时会在压轴题中出现数列的新定义、新情景题，难度较大，需要灵活求解。 高考真题统计 考点 2023年 2024年 2025年 等差数列 新课标I卷：第7题，5分 新课标I卷：第20题，12分 新课标Ⅱ卷：第18题，12分 全国甲卷（文数）：第5题，5分 全国乙卷（文数）：第18题，12分 全国乙卷（理数）：第10题，5分 新课标I卷：第19题，17分 新课标Ⅱ卷：第12题，5分 全国甲卷（文数）：第5题，5分 全国甲卷（理数）：第4题，5分 全国一卷：第16题，15分 全国二卷：第7题，5分 2026年 命题预测 预测在2026年全国卷高考数学中，等差数列的考情将继续维持稳定态势。选择题、填空题仍然以单独考查等差数列的基本量计算、性质及前n项和为主，分值稳定在5分左右；解答题中主要考查等差数列的判定与通项公式，或者与等比数列、不等式、函数等结合命题，难度中等。核心考查等差数列的性质、通项及前n项和的灵活运用，注重公式的运用和数学运算能力。 知识点1 等差数列的基本量计算 1．等差数列的基本量计算的两大求解思路： (1)等差数列的通项公式及前n项和公式共涉及五个量a1，an，d，n，Sn，知其中三个就能求另外两个，体现了用方程的思想来解决问题. (2)数列的通项公式和前n项和公式在解题中起到变量代换作用，而a1和d是等差数列的两个基本量，用它们表示已知和未知是常用方法. 知识点2 等差数列的判定的方法与结论 1．证明数列是等差数列的主要方法： (1)定义法：对于n≥2的任意自然数，验证an-an-1为同一常数.即作差法，将关于an-1的an代入an-an-1，在化简得到定值. (2)等差中项法：验证2an-1=an+an-2（n≥3，n∈N*）都成立. 2．判定一个数列是等差数列还常用到的结论： (1)通项公式：an=pn+q（p,q为常数）是等差数列. (2)前n项和公式：Sn=An2+Bn（A,B为常数）是等差数列. 问题的最终判定还是利用定义. 知识点3 等差数列及其前n项和的性质及应用 1．项的性质： 在等差数列an中，若m+n=p+q(m,n,p,q∈N*)，则am+an=ap+aq. 2．和的性质： 在等差数列an中，Sn为其前n项和，则 (1)S2n=n(a1+a2n)=…=n(an+an+1)； (2)S2n-1=(2n-1)an； (3)依次k项和成等差数列，即Sk,S2k-Sk,S3k-S2k,…成等差数列. 3．求等差数列前n项和的最值的常用方法： (1)邻项变号法：利用等差数列的单调性，求出其正负转折项，或者利用性质求其正负转折项，便可求得和的最值； (2)二次函数法：利用公差不为零的等差数列的前n项和Sn=An2+Bn（A,B为常数，A≠0）为二次函数，通过二次函数的性质求最值. (3)不等式组法：借助当Sn最大时，有，解此不等式组确定n的范围，进而确定n的值和对应Sn的值(即Sn最大值)，类似可求Sn的最小值. 【方法技巧与总结】 1．已知数列{an}的通项公式是an= pn+q(其中p，q为常数)，则数列{an}一定是等差数列，且公差为p. 2．在等差数列{an}中，a1>0， d<0，则Sn存在最大值；若a1<0， d>0，则Sn存在最小值. 3．等差数列{an}的单调性：当d>0时，{an}是递增数列；当d<0时，{an}是递减数列；当d=0时，{an}是常数列. 4．数列{an}是等差数列( A, B为常数). 【题型1 等差数列的基本量计算】 【例1】（2026·河南鹤壁·一模）已知等差数列的公差为，若，则（　　） A．1 B．2 C．4 D．6 【变式1-1】（2025·江苏南通·模拟预测）设为等差数列，且，则（    ） A．16 B．18 C．20 D．22 【变式1-2】（2026·贵州六盘水·模拟预测）已知等差数列前三项的和为，则的公差为（   ） A．3 B．2 C．2 D．3 【变式1-3】（2026·安徽芜湖·一模）等差数列的前项和为，满足，则公差（    ） A． B． C．1 D．2 【题型2 等差数列的性质及应用】 【例2】（2025·浙江温州·一模）已知等差数列中，，则（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 【变式2-1】（2026·陕西渭南·一模）在等差数列中，若，，则（   ） A．8 B．12 C．16 D．20 【变式2-2】（2026·重庆·一模）在等差数列中，若，则（    ） A． B．8 C．16 D．24 【变式2-3】（2025·浙江金华·一模）已知等差数列满足，则（    ） A．4 B．6 C．8 D．10 【题型3 等差数列的判定与证明】 【例3】（2026·湖南邵阳·一模）设甲：数列满足，乙：数列是等差数列，则甲是乙的（   ） A．充要条件 B．必要不充分条件 C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式3-1】（2025·浙江宁波·模拟预测）已知数列，则“”是“数列是等差数列”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式3-2】（2025·云南昭通·模拟预测）在正项数列中，，． (1)证明：数列是等差数列； (2)记，设数列的前n项和为，证明：． 【变式3-3】（2025·四川眉山·模拟预测）在数列中，，. (1)证明数列是等差数列，并求的通项公式； (2)若，求数列的前项和. 【题型4 等差数列的通项公式】 【例4】（2025·北京通州·一模）已知等差数列满足：，且，则（   ） A．2026 B．2025 C．2024 D．2023 【变式4-1】（2025·海南·模拟预测）已知数列满足，且，则（   ） A． B． C． D． 【变式4-2】（2025·陕西商洛·一模）已知等差数列的前项和为，，． (1)求的通项公式； (2)若数列是公比为3的等比数列，且，求的前项和． 【变式4-3】（2025·重庆沙坪坝·模拟预测）已知等差数列满足公差． (1)求； (2)记数列的前项和为，若，求数列中的最小项． 【题型5 等差数列的前n项和】 【例5】（2026·山东枣庄·模拟预测）记等差数列的前n项和为，公差为d，若，则（   ） A．15 B．25 C．35 D．45 【变式5-1】（2026·广东佛山·一模）设等差数列的前项和为.若，则（    ） A．12 B．15 C．18 D．21 【变式5-2】（2026·四川绵阳·二模）等差数列的前n项和为，已知，则（   ） A．0 B．2 C．4 D．8 【变式5-3】（2026·辽宁大连·一模）记为数列的前项和，已知.当最大时，（    ） A．9 B．10 C．9或10 D．10或11 【题型6 等差数列的简单应用】 【例6】（2025·四川绵阳·模拟预测）某学校为了庆祝建校60周年，计划对学校校门的梯形花坛进行美化.计划第一排摆放12个花盆，从第二排开始每排比前一排多摆放6个花盆，梯形花坛最多摆放10排，则该校花坛铺满一共需要的花盆数是（   ） A．380 B．390 C．400 D．600 【变式6-1】（2025·江苏宿迁·模拟预测）《周髀算经》中有这样一个问题：从冬至日起，依次为小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种，这十二个节气，其日影长依次成等差数列，若小寒、雨水、清明日影长之和为36尺，前八个节气日影长之和为92尺，则谷雨日影长为（ ） A．15 B．16 C．17 D．18 【变式6-2】（2025·山东青岛·三模）《九章算术》是中国古代的数学名著，书中有“分钱问题”：现有5个人分5钱，5人分得钱数依次成等差数列，前两人分得钱数之和等于后三人分得钱数之和，则分得钱数最少的一人钱数为（    ） A． B． C． D． 【变式6-3】（2025·陕西汉中·模拟预测）鬼工球，又称同心球，要求制作者使用一整块完整的材料，将其雕成每层均同球心的数层可自由转动的空心球，空心球的球面厚度不计.为保证鬼工球的每一层均可以自由转动，要求其从最内层起，每层与其外一层球面的间距构成首项为､公差为的等差数列，若一个鬼工球最外层与最内层的半径之差为，则该鬼工球的层数为（    ） A．9 B．10 C．11 D．12 【题型7 等差数列中的不等式问题】 【例7】（2026·四川雅安·一模）已知等差数列的前n项和为，且，. (1)求数列的通项公式； (2)数列满足，为的前n项和，证明：. 【变式7-1】（2025·四川达州·一模）已知为等差数列，前项和为，且． (1)求； (2)设，数列的前项和为，若对任意，不等式成立，求实数的取值范围． 【变式7-2】（2026·江西九江·一模）已知数列的前项和为，且. (1)证明：是等差数列； (2)若，求的最大值. 【变式7-3】（2025·江苏南通·模拟预测）已知数列的各项均为正数，前n项和为，且，． (1)证明：是等差数列； (2)设，数列的前n项和为，不等式对任意正整数n恒成立，求实数的取值范围． 【题型8 等差数列与其他知识交汇】 【例8】（2026·新疆·二模）已知等差数列的公差为，集合，若，则的值为（    ） A． B．0 C． D．1 【变式8-1】（2026·山东泰安·一模）已知方程的四个实根从小到大排列后成等差数列，则实数（   ） A． B． C． D． 【变式8-2】（2026·安徽黄山·一模）已知是正项数列的前项和，且． (1)求数列的通项公式； (2)若为函数的导函数，记，求数列的前项和． 【变式8-3】（2026·安徽黄山·一模）已知函数． (1)若，讨论函数的单调性； (2)若函数有三个零点，且． （Ⅰ）求实数的取值范围； （Ⅱ）若三个零点成等差数列，求这三个零点． 考点一 等差数列 一、单选题 1．（2025·全国二卷·高考真题）记为等差数列的前n项和.若则（   ） A． B． C． D． 2．（2024·全国甲卷·高考真题）已知等差数列的前项和为，若，则（    ） A． B． C．1 D． 3．（2024·全国甲卷·高考真题）记为等差数列的前项和，已知，，则（    ） A． B． C． D． 4．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）记为数列的前项和，设甲：为等差数列；乙：为等差数列，则（    ） A．甲是乙的充分条件但不是必要条件 B．甲是乙的必要条件但不是充分条件 C．甲是乙的充要条件 D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 5．（2023·全国乙卷·高考真题）已知等差数列的公差为，集合，若，则（    ） A．－1 B． C．0 D． 6．（2023·全国甲卷·高考真题）记为等差数列的前项和．若，则（    ） A．25 B．22 C．20 D．15 二、填空题 7．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）记为等差数列的前n项和，若，，则 . 三、解答题 8．（2025·全国一卷·高考真题）已知数列中，，. (1)证明：数列是等差数列； (2)给定正整数m，设函数，求． 9．（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）设m为正整数，数列是公差不为0的等差数列，若从中删去两项和后剩余的项可被平均分为组，且每组的4个数都能构成等差数列，则称数列是可分数列． (1)写出所有的，，使数列是可分数列； (2)当时，证明：数列是可分数列； (3)从中任取两个数和，记数列是可分数列的概率为，证明：． 10．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）设等差数列的公差为，且．令，记分别为数列的前项和． (1)若，求的通项公式； (2)若为等差数列，且，求． 11．（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知为等差数列，，记，分别为数列，的前n项和，，． (1)求的通项公式； (2)证明：当时，． 12．（2023·全国乙卷·高考真题）记为等差数列的前项和，已知． (1)求的通项公式； (2)求数列的前项和． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $