精品解析：河北沧州市肃宁县第一中学2025-2026学年高一下学期5月期中数学试题

6学科网 命组卷网 高一数学 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的选项中，只有一项是符合 题目要求的 1.已知点4(，0，B(0,2）,C(3,2),则B在AC上的投影向量的坐标为() a（2 n( ? 【答案】C 【解析】 【分析】根据投影向量的定义，结合平面向量数量积的坐标表示公式进行求解即可 【详解】因为AB=(-1,2),AC=(2,2),所以ABAC=-2+4=2,AC=V22+22=2V2 所以AB在AC上的投影向量的坐标为： AB·AC 女aaea-号a 故选：C 1一 2已知平面向量9和吗满足同=2=2，日在马方向上的投影向量为49，则名3在名方向上的投 影向量为() 1 A.-1 B.2 c.29 D.-e 【答案】D 【解析】 【分析】根据9在？方向上的投影向量可求得·6=一1，再利用投影向量的定义求解即可 第1页/共20页 6学科网 命组卷网 1 【详解1向量9和马满足问=2问=2，由9在马方向上的投影向量为48 1 1→2 可得 49 ,解得g6=-1 6.g=-6 一12 所以g在。方向上的投影向量为 故选：D 3.复数2=3-6i(i为虚数单位)的虚部为( ) -6 -6i A. B.6 C.3 D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据复数虚部的概念直接求解。 【详解】由复数的概念知，复数z=3-6i的虚部为6. 故选：A 4.如图，利用斜二测画法画出的四边形ABCD的直观图为等腰梯形A'B'C'D',己知A'B'=6, CD'=3 ABCD ,则四边形 的面积为() Ay' /0(A) B 27 27N2 272 A.9V2 B.4 C.4 D. 2 【答案】D 【解析】 第2页/共20页 6学科网列组卷网 【分析】根据斜二测画法画出原四边形ABCD求解即可 【详解】如图，根据斜二测画法性质可得∠D'A'B′=45°， 作DF⊥A'B于F,CG⊥AB于G, 则三角形D'FA'、CGB'为两个全等的等腰直角三角形， 故AF=BG=AB-DC3 22 D G 画出原四边形ABCD,可知AD=2AD'=3V2,AB=6,CD=3 且AD⊥AB,则四边形ABCD为直角梯形， 其面期为5S6+3)k32-2 2· (4) B 5.m,n为空间两条不重合直线，为空间平面，下列命题正确的是() Am⊥a,nlm,则n/a B.m,n a 90° m//n 与所成角均为，则" 第3页/共20页 学科网命组卷网 ml∥a,n/∥a,m/∥n m,n a c. 则直线到的距离相等 m∥a&,n/∥am/∥n D. ,则 【答案】B 【解析】 【分析】ACD选项，可举出反例：B选项，由线面垂直的性质定理知m,n平行 【详解】对于A,当nca时，根据线面垂直的定义，由m⊥a,可知必有m1n,故当m⊥x, m时，”可以不与平面平行，故A错误： n⊥ n 对干B,根据钱面角的定义，可知当m,”都与平面“成90°角时，m上a,n1“,向线面垂直的性质定 m,n 理知m,n平行，故B正确： m/∥c,n∥a,m∥n m,n a 对于C,如图所示， ,但直线到的距离可以不相等，故C错误； -72 n /a m/∥a,nl∥&m,n 对于D, ,则可以是平行直线，相交直线，也可以是异面直线，故D错误. 故选：B b+c 6.己知△ABC的内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,若a=1,A=135°，则sinB+sinC的值 为(). 2 √2 A.4 B.2 C.2 D.2√2 【答案】C 【解析】 第4页/共20页 命学科网命组卷网 【分析】借助正弦定理计算即可得 b a 1 详解】由正弦定理可得sin B sinC sin A sin1.35os√ 则b=√2sinB、c=√2sinC, b+c 2sin B+2sinC= 则sinB+sinC sin B+sin C 故选：C (3i-1)(1-i) 7.已知复数2= 2019 (i为虚数单位)，则下列说法正确的是() A.z的虚部为4 B.复数2在复平面内对应的点位于第三象限 C.2的共轭复数z=4-21 D.=2V5 【答案】D 【解析】 【分析】利用i的周期性先将复数z化简为z=-4+2i即可得到答案. 4i+2_4i+2_4i+2=-4+2i 7 【详解】因为子=-1，i=1,的=i,所以i的周期为4，故0 -i 故乙的虚部为2，A错误；乙在复平面内对应的点为 -4,2) ,在第二象限，B错误；2的共 轭复数为2=-4-2i,C错误，=V(4+2=25,D正确， 故选：D. 【点睛】本题考查复数的四则运算，涉及到复数的虚部、共轭复数、复数的几何意义、复数的模等知识， 是一道基础题 sin Bsin C cos A cos C 8.在锐角△ABC中，角A,B,C所对的边为a,b,c,若3 sinA a c,且 第5页/共20页 命学科网命组卷网 c2 sin2A+sinB-sin2C=sin A.sin B,则a+b的取值范围是() A.[V3,2V3) B.(6,4V3] c[23,6) D.[V3,2) 【答案】D 【解析】 【分析】由sin24+sinB-sSmC=si血4-s如B,结合正余弦定理求得角C,继而由 C sin Bsin C cos A cos C 3sin A a 结合正余弦定理求出c=2N3,再表示出a=4sinA,b=4sinB,利用三 角函数的性质求得a+b的范围，即可求得答案， 【】曲n加月-s如C=如1血8.古正茶花理对心+6-心= 即有cosC=+b-c2Ca0 2ab 2,而(02则C= 3, sin Bsin C cosA cosC 又3sinA a c, 6.56+c2-g a2+b2-c2 由正定理余定8，子=合+化：c=25 a =4 由正弦定理有：sinA sin B sinC√3 ,即 2 a=4sin A b=4sin B ππ A∈ 解得6’2 第6页/共20页 命学科网组卷网 因此a+b=4(sinA+sinB)=4 m4肾-小-a45w如小 =45s4+ 面4(4），m) 12 ∈[V3,2) 所以a+b 43sin 4+ 6 故选：D 二、多选题：本题共3小题，共18分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求 9实系数一元二次方程r+br+c=0 有一个根是纯虚数，则（ A6=0 B.be>0 C.ac<0 D.ac>0 【答案】AD 【解析】 【分析】根据实系数一元二次方程的根与系数关系即可判断选项 【详解】由题意知，方程的根分别为mi,-mi(m≠0，m∈) 所以由根与系数的关系 mi-mi=-b =0mi-(-mi=m2=C>0 a a 所以b=0,ac>0, 故BC错误，AD正确， 故选：AD 第7页/共20页 命学科网组卷网 10.如图，一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径2R相等，则下列结论正确的是 A.圆柱的侧面积为 πR2 B.圆锥的侧面积为 2πR2 C.圆柱的侧面积与球的表面积相等 D.圆柱、圆锥、球的体积之比为3：1：2 【答案】CD 【解析】 【分析】根据题意，结合圆柱、圆锥和球的表面积和体积公式，逐项判定，即可求解· 【详解】对于A中，圆柱的侧面积 2R×2R=4R,所以A错误： 对于B中，圆锥的母线为V(2R)+R=V5R,圆锥的侧面积为√5RxπR=√5πR2,所以B错误； 对于C中，球的表面积为 4πR2 所以圆柱的侧面积与球的表面积相等，C正确： 干D中，圆柱的体积VπR×2R=2R,圆维的体积×元R×2R2 3 3 球的体积片」 4 πR3 πR3=3:1:2 3一，所以圆柱、圆锥、球的体积之比 2mR3:2 3 ,故D正确 故选：CD. 11.设点M是△ABC所在平面内一点，则下列说法正确的是() 第8页/共20页 6学科网命组卷网 AM=14B+1AC A. 3 ,则点M是△ABC的重心 B.若M=2AB-AC,则点M在线段BC的延长线上 C.若2AM=xAB+yAC,且x+y=L,则△MBC的面积是△ABC面积的2 D.已知平面向量，满足MA·MB=MA·MC,AM=入 AB AC ABI ACI 则 为等腰三角形 △ABC 【答案】ACD 【解析】 M=2AD 【分析】设BC的中点为D,由向量的线性运算可得 3 ,由重心的性质即可判断选项A；由向 量的线性运算即可判断选项B；结合图象，由三点共线的充要条件即线性运算可得点M的位置，结合图 象，及面积公式即可判断选项C；由向量的线性运算及数量积运算即可判断选项D, 【详解1解：对于4设BC的中点为D若M-B+4C-+40-x2D-号D, 3 3 3 则点M是△ABC的重心，故A正确： 对于B,若AM=2AB-AC,即有AM-AB=AB-AC,即BM=CB 则点M在边CB的延长线上，故B错误； 对于C,若2AM=xAB+yAC,且x+y=1, 由图可得M为AN的中点，则△MBC的面积是△ABC面积的2，故C正确： 对于D,因为M1-ME=Mi:MC,所以MA-M+A=M-(Mi+AC 即MiAB=MaA 第9页/共20页 命学科网命组卷网 所以Mlcos∠BAMM ACcos∠CM AM=A(AB AC 因为 IAB|IAC,所以点M在∠BAC的角平分线上， 所以∠BAM=∠CAM,所以cos∠BAM=cos∠CAM, 所以ABHACI,所以△ABC为等腰三角形，故D正确。 故选：ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12如图，a0A 是水平敢置的601B的直龙图，40=6，B0=2,则401B 的面积是 【答案】12 【解析】 【分析】由直观图得到原图的形状和边长即得解 A0=6,B0=4 【详解】由直观图得到原图是一个直角三角形，且 ×6×4=12 所以△OAB的面积是2 13.已知是虚数单位，若复数2满足z09=1+i,则= 第10页/共20页 6学科网 组卷网 【答案】V2 【解析】 【分析】先计算复数，再计算复数的模， 【详解1z9=1+i→zx(-)=1+i今2=-1+i→4=V2:月=V2 故答案为V2 【点睛】本题考查了复数的计算，属于简单题 7 14.在△ABC中，已知AB=4,AC-7,BC边的中线AD=2,那么BC- 【答案】9 【解析】 +A0,每0-a+aC+2aeas∠Bac. AD- 【分析】利用 即可求 cOs∠BAC 利用余弦定理即可求解 2+4C.利而=B+ac'-6+4C+2.4C到 所u0-4+ac+2 coos∠B4c m9-4f47+2x7NB1C 即cos∠BAC=- 2 由余弦定理，得 C2=AB+AC2-2:4Cas∠B4C-华+7-2x4x7x(引-8别 第11页/共20页 学科网 组卷网 所以BC=9. 故答案为：9. 15.如图，在平面四边形ABCD中，∠BAD=60°，BC=1,AD=CD=2,∠DCB=120° D (1)求BD的长： (2)求∠ABD的正弦值. 【答案】1)V7 v21 (2)7 【解析】 【分析】(1)利用余弦定理即求； (2)利用正弦定理即得. 【小问1详解】 在△BCD中，由余弦定理可知： BD=BC+6D-2C.CDms∠BCD=+2-2x1x2x(←3-7 :BD=V万 【小问2详解】 BD AD 在△ABD中，由正弦定理可知：Sin∠BAD sin∠ABD, 第12页/共20页 6学科网组卷网 √万 2 即：V3 sin∠ABD 2 sin∠ABD=V2 16.在三棱柱ABC-ABC中，AB⊥AC,BC⊥平面ABC,E,F分别是AC,BC的中点. A ☑C B B (1)求证：EF列平面ABC; (2)求证：平面ABC⊥平面ABB1. 【答案】 （4)由于E,F分别是4C,BC的中点，所以BFAB 由于EF上平面MB,G,ABC平面MB,G,所以EF∥平面AB,G. (2)由于BCL平面ABC,ABC平面ABC,所BCL AB 由于AB LAC,.4CnBC=C,所以AB1平面4BC 由于ABc平面ABB,所以平面ABC士平面MBB A B B 【解析】 第13页供20页 6学科网命组卷网 【分析】(1)通过证明 EFI∥AB ,来证得EF∥平面AB,G (②通过证明4BL平面4BC,来证得平面4BC上平面MBB 【详解】(1)略 (2)略 【点睛】本小题主要考查线面平行的证明，考查面面垂直的证明，属于中档题 17.（山)设2∈C,在复平面内2对应的点为乙，那么求满足条件：2<<3的点乙的集合的图形面积： （2)已知复数子=m+(4-m)i(m∈R),32=x+(2+2i(2,xeR),且名+五，=0，求的范 围 【答案】(1)5π：(2)[5，+o) 【解析】 【分析】(1)利用复数的几何意义，结合圆的面积公式即可得解： m,x,元 (2)利用复数相等得到关于 的方程组，从而得到入关于”的表达式，结合二次函数的性质即可得 解。 【详解】(1)由复数的几何意义知：满足条件2<<3 的点乙的集合的图形为圆环， 其中大圆半径为3，小圆半径为2， 故所求面积为π32-元-22=5元 (2)因为=m+(4-m)i(m∈R),3=x+(2+2x)i(,xeR),且+名3=0， 所以x+m+(4-m2+元+2xi=0,所以m=-x且4-m2+2+2x=0, 故元=m2-2x-4=x2-2x-4=(x-12-5 因为m∈R,x∈R, 第14页/供20页 6学科网 命组卷网 所以当x=1时，2有最小值为-5， 所以元范围为[5+0) 18.《九章算术》中有这样一段话：“斜解立方，得两堑堵，斜解堑堵，其一为阳马，一为鳖臑”，这里所 谓的“阳马”，就是底面是矩形且一条侧棱垂直于底面的四棱锥如图，四棱锥P-ABCD为阳马，PA⊥底 面ABCD,AB=V2,PA=D=LE,F分别为4B,PC的中点 D (1)证明： EFI平面PAD (2)证明：EF⊥平面PCD: (3)求直线BF与平面ABCD所成角的大小. 【答案】(1) 作PD M AM MF 的中点，连接 M PD PC 得分别为 的中点， MF=1DC 所以MF‖DC且21 第15页/供20页 6学科网命组卷网 又因为AG∥DC且4B=DC 21 ,所以MF‖AE且MF=AE, 所以四边形4MFE为平行闪边形，所F‖AM 因为MMC平面 平面PAD,BF平面PAD,所以EF平面PAD (2) 因为AD=PA,所以AM⊥PD, 因为PA⊥底面ABCD,所以PA⊥CD, 又因 CDLD,PA,MDc平面PMD,且PAOAD=A, 所以CD⊥平面PAD, 所以CD⊥AM, 因为EF‖AM,MM⊥PD,所CD1EF,EF⊥PD, PDOCD=D,PD,CDC平面 PCD 又因为 所以EF⊥平面PCD； 元 (3)6 【解析】 【分析】作PD的中点M,连接 AMMF ，则由三角形中位线定理及平行四边形的性质可证得四边 彩ME为平行四边形，则F‖4M。然后由线而平行的判定定理可证得结论。 (2)由等腰三角形的性质可得AM⊥PD,由线面垂直的判定定理证得CD⊥平面PAD,则 第16页/供20页 6学科网命组卷网 CD⊥AM ,由EF‖AM,可得CD⊥EF,EF LPD 再利用线面垂直的判定定理可证得结论： AC,BD (3)连接 交于点O,连接OF,则可得OFL平面ABCD,所以BF与平面ABCD 所成角为 ∠FBO FBO 然后在 中求解即可： 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 AC,BD 连接 交于点0，连接0 OF D O,F AC,PC 因为点 分别为 的中点， 所OF∥PA 所以OF⊥平面ABCD, 所以BO为BF在平面ABCD中的射影， 所以BF与平面ABCD所成角为∠FBO, 2,0=1 BO三5BD=2Y 所以tan<FBo=5 3 第17页/供20页 6学科网6组卷网 因为∠FBO为锐角，所 ∠FBO=π 6. 2 所以BF与平面ABCD所成角为6. 19.如图1所示，在△ABC中，点D在线段BC上，满足3CD=DB,G是线段AB上的点，且满足 3AG=2GB ,线段CG与线段AD交于点0. G 图1 图2 ()若D=xAB+yAC 求实数x,y的值： (2)若A0=1A ,求实数的值： (3)如图2，过点O的直线与边AB,AC分别交于点E,E,设征=M瓜，AF=4AC,(亿>0,4>0) +P的最小值. 求 13 x= 【答案】(1) 4 8+4v5 (3)11 【解析】 【分析】(1)根据向量的线性运算以MB,AC为基底表示AD,进而求解， 第18页/共20页 6学科网6组卷网 （2)根据向量的线性运算以M瓜，4C为基底表示G0,GC又因为两向量共线所以具有倍数关系，求出'的 值； (3)根据向量的线性运算以1E,4F为基底表示A0,又因为E,0, 三点共线，所以系数之和为1，得出 2+6 =1 1几4，然后应用基本不等式中1的代换求出九+“的最小值 【小问1详解】 因为3CD=DB所以 4=4C+而=aC+=Ac+B-4-+C 所以 4 1 3 所以x=4=4 【小问2详解】 由题意可知： C=C-G=C-号=号+C 5 为G,0,C三点共线，所以存在实数人使得G0=GC 又因 后36+4C=-号孤+0=沓+kC, 5 t 2 2k 8 f= 455 11 所以 3=k ,解得： h=6, 04 11 第19页/共20页 6学科网命组卷网 所以11 【小问3详解】 AE=AB,上AF=AC 易知 由(2)知 0-而-+0品+c-品亚+品亚+6和 114 11 114 11 2.6 =1 又因为E,O,F三点共线，所以11几1lw,又元>0，>0， 品+总*0品+股恶+-5， 所以：+u=(品+ 2u62 当且仅当2山w:即4=6=2+2③ 11时取等号， 8+4V5 所以2+4的最小值为11· 第20页/共20页 高一数学 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知点，，，则在上的投影向量的坐标为（ ） A. B. C. D. 2. 已知平面向量和满足，在方向上的投影向量为，则在方向上的投影向量为（     ） A. B. C. D. 3. 复数（i为虚数单位）的虚部为（ ） A. B. 6 C. 3 D. 4. 如图，利用斜二测画法画出的四边形的直观图为等腰梯形，已知，，则四边形的面积为（ ） A. B. C. D. 5. 为空间两条不重合直线，为空间平面，下列命题正确的是（ ） A. ，则 B. 与所成角均为，则 C. ，则直线到的距离相等 D. ，则 6. 已知的内角，，所对的边分别是，，，若，，则的值为（ ）． A. B. C. D. 7. 已知复数（为虚数单位），则下列说法正确的是（ ） A. 的虚部为 B. 复数在复平面内对应的点位于第三象限 C. 的共轭复数 D. 8. 在锐角中，角A，B，C所对的边为a，b，c，若，且，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 实系数一元二次方程有一个根是纯虚数，则（ ） A. B. C. D. 10. 如图，一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径相等，则下列结论正确的是（ ） A. 圆柱的侧面积为 B. 圆锥的侧面积为 C. 圆柱的侧面积与球的表面积相等 D. 圆柱、圆锥、球的体积之比为 11. 设点M是所在平面内一点，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则点M是的重心 B. 若，则点M在线段的延长线上 C. 若，且，则的面积是面积的 D. 已知平面向量，满足，则为等腰三角形 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 如图，是水平放置的的直观图，，，则的面积是__________． 13. 已知是虚数单位，若复数满足，则 ________. 14. 在△ABC中，已知AB=4，AC=7，BC边的中线AD=，那么BC=____________． 15. 如图，在平面四边形中，，，，． （1）求的长； （2）求的正弦值． 16. 在三棱柱ABC-A1B1C1中，AB⊥AC，B1C⊥平面ABC，E，F分别是AC，B1C的中点． （1）求证：EF∥平面AB1C1； （2）求证：平面AB1C⊥平面ABB1． 17. （1）设，在复平面内对应的点为，那么求满足条件：的点的集合的图形面积； （2）已知复数， ，且，求的范围. 18. 《九章算术》中有这样一段话：“斜解立方，得两堑堵，斜解堑堵，其一为阳马，一为鳖臑”，这里所谓的“阳马”，就是底面是矩形且一条侧棱垂直于底面的四棱锥.如图，四棱锥为阳马，底面，分别为的中点. （1）证明：平面； （2）证明：平面； （3）求直线与平面所成角的大小. 19. 如图1所示，在中，点在线段BC上，满足是线段AB上的点，且满足，线段CG与线段AD交于点． （1）若，求实数x，y的值； （2）若，求实数的值； （3）如图2，过点的直线与边AB，AC分别交于点E，F，设，，求的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $