精品解析：河北沧州市肃宁县第一中学2025-2026学年高一下学期5月期中数学试题

高一数学 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知点，，，则在上的投影向量的坐标为（ ） A. B. C. D. 2. 已知平面向量和满足，在方向上的投影向量为，则在方向上的投影向量为（     ） A. B. C. D. 3. 复数（i为虚数单位）的虚部为（ ） A. B. 6 C. 3 D. 4. 如图，利用斜二测画法画出的四边形的直观图为等腰梯形，已知，，则四边形的面积为（ ） A. B. C. D. 5. 为空间两条不重合直线，为空间平面，下列命题正确的是（ ） A. ，则 B. 与所成角均为，则 C. ，则直线到的距离相等 D. ，则 6. 已知的内角，，所对的边分别是，，，若，，则的值为（ ）． A. B. C. D. 7. 已知复数（为虚数单位），则下列说法正确的是（ ） A. 的虚部为 B. 复数在复平面内对应的点位于第三象限 C. 的共轭复数 D. 8. 在锐角中，角A，B，C所对的边为a，b，c，若，且，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 实系数一元二次方程有一个根是纯虚数，则（ ） A. B. C. D. 10. 如图，一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径相等，则下列结论正确的是（ ） A. 圆柱的侧面积为 B. 圆锥的侧面积为 C. 圆柱的侧面积与球的表面积相等 D. 圆柱、圆锥、球的体积之比为 11. 设点M是所在平面内一点，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则点M是的重心 B. 若，则点M在线段的延长线上 C. 若，且，则的面积是面积的 D. 已知平面向量，满足，则为等腰三角形 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 如图，是水平放置的的直观图，，，则的面积是__________． 13. 已知是虚数单位，若复数满足，则 ________. 14. 在△ABC中，已知AB=4，AC=7，BC边的中线AD=，那么BC=____________． 15. 如图，在平面四边形中，，，，． （1）求的长； （2）求的正弦值． 16. 在三棱柱ABC-A1B1C1中，AB⊥AC，B1C⊥平面ABC，E，F分别是AC，B1C的中点． （1）求证：EF∥平面AB1C1； （2）求证：平面AB1C⊥平面ABB1． 17. （1）设，在复平面内对应的点为，那么求满足条件：的点的集合的图形面积； （2）已知复数， ，且，求的范围. 18. 《九章算术》中有这样一段话：“斜解立方，得两堑堵，斜解堑堵，其一为阳马，一为鳖臑”，这里所谓的“阳马”，就是底面是矩形且一条侧棱垂直于底面的四棱锥.如图，四棱锥为阳马，底面，分别为的中点. （1）证明：平面； （2）证明：平面； （3）求直线与平面所成角的大小. 19. 如图1所示，在中，点在线段BC上，满足是线段AB上的点，且满足，线段CG与线段AD交于点． （1）若，求实数x，y的值； （2）若，求实数的值； （3）如图2，过点的直线与边AB，AC分别交于点E，F，设，，求的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高一数学 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知点，，，则在上的投影向量的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据投影向量的定义，结合平面向量数量积的坐标表示公式进行求解即可. 【详解】因为,所以 所以在上的投影向量的坐标为： ， 故选 ：C. 2. 已知平面向量和满足，在方向上的投影向量为，则在方向上的投影向量为（     ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据在方向上的投影向量可求得，再利用投影向量的定义求解即可. 【详解】向量和满足，由在方向上的投影向量为， 可得，解得， 所以在方向上的投影向量为. 故选：D. 3. 复数（i为虚数单位）的虚部为（ ） A. B. 6 C. 3 D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据复数虚部的概念直接求解. 【详解】由复数的概念知，复数的虚部为. 故选：A 4. 如图，利用斜二测画法画出的四边形的直观图为等腰梯形，已知，，则四边形的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据斜二测画法画出原四边形求解即可. 【详解】如图，根据斜二测画法性质可得， 作于，于， 则三角形、为两个全等的等腰直角三角形， 故. 则. 画出原四边形，可知 ， 且 ，则四边形 为直角梯形， 其面积为. 5. 为空间两条不重合直线，为空间平面，下列命题正确的是（ ） A. ，则 B. 与所成角均为，则 C. ，则直线到的距离相等 D. ，则 【答案】B 【解析】 【分析】ACD选项，可举出反例；B选项，由线面垂直的性质定理知平行. 【详解】对于A，当时，根据线面垂直的定义，由，可知必有，故当，时，可以不与平面平行，故A错误； 对于B，根据线面角的定义，可知当都与平面成角时，，由线面垂直的性质定理知平行，故B正确； 对于C，如图所示，，但直线到的距离可以不相等，故C错误； 对于D，，则可以是平行直线，相交直线，也可以是异面直线，故D错误． 故选：B． 6. 已知的内角，，所对的边分别是，，，若，，则的值为（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】借助正弦定理计算即可得. 【详解】由正弦定理可得， 则、， 则. 故选：C. 7. 已知复数（为虚数单位），则下列说法正确的是（ ） A. 的虚部为 B. 复数在复平面内对应的点位于第三象限 C. 的共轭复数 D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用的周期性先将复数化简为即可得到答案. 【详解】因为，，，所以的周期为4，故， 故的虚部为2，A错误；在复平面内对应的点为，在第二象限，B错误；的共 轭复数为，C错误；，D正确. 故选：D. 【点睛】本题考查复数的四则运算，涉及到复数的虚部、共轭复数、复数的几何意义、复数的模等知识，是一道基础题. 8. 在锐角中，角A，B，C所对的边为a，b，c，若，且，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由，结合正余弦定理求得角，继而由结合正余弦定理求出，再表示出，，利用三角函数的性质求得的范围，即可求得答案. 【详解】由，由正弦定理得, 即有，而，则， 又， 由正弦定理､余弦定理得，，化简得：， 由正弦定理有：，即，， 是锐角三角形且，有，， 解得， 因此 ， 由得：，， 所以. 故选：D 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 实系数一元二次方程有一个根是纯虚数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】根据实系数一元二次方程的根与系数关系即可判断选项. 【详解】由题意知，方程的根分别为， 所以由根与系数的关系知，， 所以，， 故BC错误，AD正确. 故选：AD 10. 如图，一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径相等，则下列结论正确的是（ ） A. 圆柱的侧面积为 B. 圆锥的侧面积为 C. 圆柱的侧面积与球的表面积相等 D. 圆柱、圆锥、球的体积之比为 【答案】CD 【解析】 【分析】根据题意，结合圆柱、圆锥和球的表面积和体积公式，逐项判定，即可求解 . 【详解】对于A中，圆柱的侧面积为，所以A错误； 对于B中，圆锥的母线为，圆锥的侧面积为，所以B错误； 对于C中，球的表面积为，所以圆柱的侧面积与球的表面积相等，C正确； 对于D中，圆柱的体积，圆锥的体积， 球的体积，所以圆柱、圆锥、球的体积之比为，故D正确. 故选：CD. 11. 设点M是所在平面内一点，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则点M是的重心 B. 若，则点M在线段的延长线上 C. 若，且，则的面积是面积的 D. 已知平面向量，满足，则为等腰三角形 【答案】ACD 【解析】 【分析】设的中点为，由向量的线性运算可得，由重心的性质即可判断选项；由向量的线性运算即可判断选项；结合图象，由三点共线的充要条件即线性运算可得点的位置，结合图象，及面积公式即可判断选项；由向量的线性运算及数量积运算即可判断选项． 【详解】解：对于，设的中点为，若， 则点是的重心，故正确； 对于，若，即有，即， 则点在边的延长线上，故错误； 对于，若，且， 由图可得为的中点，则的面积是面积的，故正确； 对于，因为，所以， 即， 所以， 因为，所以点在的角平分线上， 所以，所以， 所以，所以为等腰三角形，故正确． 故选：． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 如图，是水平放置的的直观图，，，则的面积是__________． 【答案】 【解析】 【分析】由直观图得到原图的形状和边长即得解. 【详解】由直观图得到原图是一个直角三角形，且， 所以的面积是. 13. 已知是虚数单位，若复数满足，则 ________. 【答案】 【解析】 【分析】先计算复数，再计算复数的模. 【详解】 故答案为 【点睛】本题考查了复数的计算，属于简单题. 14. 在△ABC中，已知AB=4，AC=7，BC边的中线AD=，那么BC=____________． 【答案】9 【解析】 【分析】利用()，得，即可求，利用余弦定理即可求解. 【详解】由()，得， 所以， 即， 即． 由余弦定理，得， 所以． 故答案为：9. 15. 如图，在平面四边形中，，，，． （1）求的长； （2）求的正弦值． 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）利用余弦定理即求； （2）利用正弦定理即得. 【小问1详解】 在中，由余弦定理可知： , 【小问2详解】 在中，由正弦定理可知：， 即： . 16. 在三棱柱ABC-A1B1C1中，AB⊥AC，B1C⊥平面ABC，E，F分别是AC，B1C的中点． （1）求证：EF∥平面AB1C1； （2）求证：平面AB1C⊥平面ABB1． 【答案】 （1）由于分别是的中点，所以. 由于平面，平面，所以平面. （2）由于平面，平面，所以. 由于，所以平面， 由于平面，所以平面平面. 【解析】 【分析】（1）通过证明，来证得平面. （2）通过证明平面，来证得平面平面. 【详解】（1）略 （2）略 【点睛】本小题主要考查线面平行的证明，考查面面垂直的证明，属于中档题. 17. （1）设，在复平面内对应的点为，那么求满足条件：的点的集合的图形面积； （2）已知复数， ，且，求的范围. 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】（1）利用复数的几何意义，结合圆的面积公式即可得解； （2）利用复数相等得到关于的方程组，从而得到关于的表达式，结合二次函数的性质即可得解. 【详解】（1）由复数的几何意义知：满足条件的点的集合的图形为圆环， 其中大圆半径为，小圆半径为， 故所求面积为. （2）因为， ，且， 所以，所以且， 故， 因为，， 所以当时，有最小值为， 所以范围为. 18. 《九章算术》中有这样一段话：“斜解立方，得两堑堵，斜解堑堵，其一为阳马，一为鳖臑”，这里所谓的“阳马”，就是底面是矩形且一条侧棱垂直于底面的四棱锥.如图，四棱锥为阳马，底面，分别为的中点. （1）证明：平面； （2）证明：平面； （3）求直线与平面所成角的大小. 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）作的中点，连接，则由三角形中位线定理及平行四边形的性质可证得四边形为平行四边形，则，然后由线面平行的判定定理可证得结论； （2）由等腰三角形的性质可得，由线面垂直的判定定理证得平面，则，由，可得，，再利用线面垂直的判定定理可证得结论； （3）连接交于点，连接，则可得平面，所以与平面所成角为，然后在中求解即可. 【小问1详解】 作的中点，连接， 由得分别为的中点， 所以且， 又因为且，所以且， 所以四边形为平行四边形，所以， 因为平面平面，所以平面 【小问2详解】 因为，所以， 因为底面，所以， 又因为平面，且， 所以平面， 所以， 因为，，所以，， 又因为平面， 所以平面； 【小问3详解】 连接交于点，连接， 因为点分别为的中点， 所以， 所以平面， 所以为在平面中的射影， 所以与平面所成角为， 由已知得 所以， 因为为锐角，所以， 所以与平面所成角为. 19. 如图1所示，在中，点在线段BC上，满足是线段AB上的点，且满足，线段CG与线段AD交于点． （1）若，求实数x，y的值； （2）若，求实数的值； （3）如图2，过点的直线与边AB，AC分别交于点E，F，设，，求的最小值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据向量的线性运算以为基底表示，进而求解； （2）根据向量的线性运算以为基底表示,又因为两向量共线所以具有倍数关系，求出的值； （3）根据向量的线性运算以为基底表示，又因为三点共线，所以系数之和为1，得出，然后应用基本不等式中1的代换求出的最小值. 【小问1详解】 因为所以， 所以, 所以. 【小问2详解】 由题意可知：， ， 又因为三点共线，所以存在实数使得, ， 所以，解得：， 所以. 【小问3详解】 易知， 由（2）知， 又因为三点共线,所以，又， 所以：， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $