精品解析：河北张家口市宣化第一中学等校2025-2026学年高一下学期5月期中测试数学试卷

5月高一年级期中测试卷 数学 考试说明： 1.本试卷共150分．考试时间120分钟． 2.请将各题答案填在答题卡上． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. （ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由复数的乘法运算即可求解. 【详解】因为. 2. 与向量同方向的单位向量的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】因为， 与同方向的单位向量的坐标为． 3. 如图，的直观图是，已知是等腰直角三角形，且，则边上的高为（ ） A. 4 B. C. D. 8 【答案】A 【解析】 【详解】因为是等腰直角三角形，，所以， 将直观图还原成原图，画出，如图所示， 则，所以原中边上的高为4. 4. 已知平面向量满足，，且与的夹角为，则（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】 ． 5. 的内角的对边分别为．若，则（ ） A. 6 B. C. 4 D. 【答案】D 【解析】 【详解】已知 由余弦定理：， 所以． 6. 在中，内角的对边分别为，若，，则（ ） A. B. C. D. 或 【答案】D 【解析】 【详解】由正弦定理，可得， 因为，则，而，，所以或． 7. 已知的三边长分别为，则的外接圆面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】的内角的对边分别为，不妨设， 由余弦定理可得，因为，所以， 由正弦定理得的外接圆直径，即， 所以的外接圆面积为． 8. 如图，在中，点满足，为线段上的一点，若，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用向量的线性运算与三点共线定理构建出关于的关系式，结合基本不等式求出目标乘积的最值即可. 【详解】因为，所以，所以， 显然，又三点共线，所以， 由基本不等式得，所以， 当且仅当，即时，等号成立． 所以的最大值为． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分． 9. 已知复数，则（ ） A. 的虚部为 B. 的共轭复数为 C. D. 【答案】BD 【解析】 【详解】由，故的虚部为1，故A错误； 而，故B正确； ，故C错误； ，故D正确． 10. 已知向量，，若与的夹角为钝角，则实数的值可能为（ ） A. 6 B. 3 C. 0 D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】由钝角条件得出数量积小于0并排除掉共线情况即可求解. 【详解】因为与的夹角为钝角，所以且不共线， 即解得且． 故BCD符合条件. 11. 如图为圆台的轴截面，其上底面直径为4、下底面直径为8，母线长为4，为边的中点，则（ ） A. 圆台的高为 B. 圆台的侧面积为 C. 圆台的体积是 D. 在圆台的侧面上，从沿圆台侧面到的最短路径的长度为10 【答案】ABD 【解析】 【分析】求出等腰梯形的高，进而求出面积判断A；利用圆台体积、侧面积公式求解判断BC；利用圆台侧面展开图求解判断D. 【详解】对于A，如图所示，过点作交于点，过点作交于点， 根据题意，在中，，，则，故A正确； 对于B，圆台的侧面积为，故B正确； 对于C，因为圆台上底面半径，下底面半径，高， 所以圆台的体积，故C错误； 对于D，圆台侧面展开为扇环，设扇环的圆心角为，将其补充为扇形，大扇形母线长为，小扇形母线长为， 根据弧长公式，，解得，其展开后的示意图如图所示， 在圆台的侧面上，从沿圆台侧面到的最短路径为， 由题意可得， 因为为中点，所以，所以，故D正确． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知向量满足，，，则与的夹角为______． 【答案】## 【解析】 【详解】因为， 又因，所以与的夹角为． 13. 已知，点满足，则______． 【答案】24 【解析】 【详解】． 14. 某圆锥的高为，其侧面展开图的圆心角为，则该圆锥底面圆的半径为______． 【答案】1 【解析】 【详解】设圆锥底面圆的半径为，高为，则母线长为， 由题知，解得． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 设向量满足，，． （1）若，求； （2）若与共线，求实数的值． 【答案】（1） （2）． 【解析】 【分析】（1）由向量线性运算的坐标表示结合向量的模长公式即可求解. （2）由向量线性运算的坐标表示结合向量共线的坐标运算即可求解. 【小问1详解】 当时，， 所以， 所以． 【小问2详解】 ， 因为与共线，所以． 解得． 16. 设复数． （1）若是纯虚数，求的值； （2）若在复平面内表示复数的点位于第二象限，求的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 若是纯虚数，则，解得． 【小问2详解】 由题意知，解得， 所以的取值范围为. 17. 如图所示的几何体，由上、下两层组成，上层是正四棱锥，下层是长方体，，，． （1）求这个几何体的表面积； （2）求这个几何体的体积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）取的中点，连接，先求出，进而求得正四棱锥的侧面积，再求长方体底座的侧面积和底面积，把它们相加，即得这种几何体的表面积； （2）连接，设的交点为，连接，根据图形和相关边长求出正四棱锥的高，再利用棱锥和长方体的体积公式计算即得. 【小问1详解】 如图，取的中点，连接， 由四棱锥为正四棱锥知，所以，且， 又，所以， 则， 故正四棱锥的侧面积为． 长方体的侧面积为， 长方体的下底面积为， 所以这个几何体的表面积为． 【小问2详解】 连接，设的交点为，连接， 易知为正四棱锥的高，且， 因为，所以，又，所以， 则正四棱锥的体积为． 长方体的体积为． 所以这个几何体的体积为． 18. 在中，内角的对边分别为，已知． （1）求； （2）若，的面积为，求的周长． 【答案】（1） （2）18 【解析】 【分析】（1）由题设结合正弦定理化简求解即可； （2）结合的面积为可得，再根据余弦定理得到，可得，进而求解即可. 【小问1详解】 由正弦定理，得， 所以，则，因为，所以． 【小问2详解】 因为的面积为， 所以，即， 由余弦定理，则，即， 则，即， 则的周长为． 19. 在中，内角的对边分别为，已知． （1）求的大小； （2）若为锐角三角形，且，求面积的取值范围． 【答案】（1）或 （2） 【解析】 【分析】（1）由于题设结合正弦定理、两角和的正弦公式化简求解即可； （2）先根据正弦定理得到，再结合三角形的面积公式、三角恒等变换公式可得，结合为锐角三角形可得，进而结合正弦函数的性质求解即可. 【小问1详解】 由， 根据正弦定理，得， 即， 在中，，则， 又，所以或． 【小问2详解】 因为为锐角三角形，所以， 由正弦定理：，即， 则 ． 又，解得， 则，即，所以． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 5月高一年级期中测试卷 数学 考试说明： 1.本试卷共150分．考试时间120分钟． 2.请将各题答案填在答题卡上． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. （ ） A. B. C. D. 2. 与向量同方向的单位向量的坐标为（ ） A. B. C. D. 3. 如图，的直观图是，已知是等腰直角三角形，且，则边上的高为（ ） A. 4 B. C. D. 8 4. 已知平面向量满足，，且与的夹角为，则（ ） A. B. 2 C. D. 5. 的内角的对边分别为．若，则（ ） A. 6 B. C. 4 D. 6. 在中，内角的对边分别为，若，，则（ ） A. B. C. D. 或 7. 已知的三边长分别为，则的外接圆面积为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在中，点满足，为线段上的一点，若，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分． 9. 已知复数，则（ ） A. 的虚部为 B. 的共轭复数为 C. D. 10. 已知向量，，若与的夹角为钝角，则实数的值可能为（ ） A. 6 B. 3 C. 0 D. 11. 如图为圆台的轴截面，其上底面直径为4、下底面直径为8，母线长为4，为边的中点，则（ ） A. 圆台的高为 B. 圆台的侧面积为 C. 圆台的体积是 D. 在圆台的侧面上，从沿圆台侧面到的最短路径的长度为10 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知向量满足，，，则与的夹角为______． 13. 已知，点满足，则______． 14. 某圆锥的高为，其侧面展开图的圆心角为，则该圆锥底面圆的半径为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 设向量满足，，． （1）若，求； （2）若与共线，求实数的值． 16. 设复数． （1）若是纯虚数，求的值； （2）若在复平面内表示复数的点位于第二象限，求的取值范围． 17. 如图所示的几何体，由上、下两层组成，上层是正四棱锥，下层是长方体，，，． （1）求这个几何体的表面积； （2）求这个几何体的体积． 18. 在中，内角的对边分别为，已知． （1）求； （2）若，的面积为，求的周长． 19. 在中，内角的对边分别为，已知． （1）求的大小； （2）若为锐角三角形，且，求面积的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $