精品解析：辽宁沈阳第二中学2025-2026学年高一下学期期中考试数学试题

2025—2026学年度下学期期中考试 数学试题 说明： 1．测试时间：120分钟总分：150分 2．客观题涂在答题纸上，主观题答在答题纸的相应位置上 第I卷（58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知复数，则的虚部是（ ） A. B. C. D. 2. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，，则外接圆的周长为（ ） A. 2π B. 4π C. 2 D. 1 3. 已知，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知，则（ ） A. B. C. D. 6. 在中，，，，则（ ） A. B. 若是的中线，则 C. 若是的高，则 D. 若是的角平分线，则 7. 记的内角的对边分别为，若，，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知平面向量、、 满足，且对任意实数恒成立，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对得部分分. 9. 下列化简正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则是锐角三角形 C. 若，，，则有两解 D. 若的面积为S，且，则 11. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 若将图象向左平移个单位长度，所得图象与原图象重合，则的最小值为4 B. 若，则的最小值为1 C. 若在内无零点，则的取值范围为 D. 若在内单调递减，则的取值范围为 第Ⅱ卷（92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 我国南宋著名数学家秦九韶，发现了从三角形三边求面积的公式，他把这种方法称为“三斜求积”，它填补了我国传统数学的一个空白．如果把这个方法写成公式，就是，其中是三角形的三边，是三角形的面积．设某三角形的三边，则该三角形的面积___________． 13. 若复数和复数满足，，，则________. 14. 在中，内角,,所对的边分别为,，，若，则的最大值等于__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分. 15. 已知函数的部分图象如图所示． （1）求的解析式； （2）求的对称轴方程； （3）若方程在有且仅有一个实根，求实数的取值范围． 16. 已知向量，． （1）若且，求x的值； （2）记，R． ①求的单调增区间； ②若任意，均满足，求实数m的取值范围． 17. 某海域的东西方向上分别有A，B两个观测点（如图），它们相距海里．现有一艘轮船在D点发出求救信号，经探测得知D点位于A点北偏东，B点北偏西，这时位于B点南偏西且与B相距80海里的C点有一救援船，其航行速度为35海里/小时． （1）求B点到D点的距离BD； （2）若命令C处的救援船立即前往D点营救，求该救援船到达D点需要的时间． 18. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且． （1）求的值； （2）若为锐角三角形，且，求面积的取值范围． （3）若，当的周长最小时，求的值． 19. 如图，设中角，，所对的边分别为，，，为边上的中点，且，， （1）求； （2）求； （3）设，分别为边，上的动点，线段交于，且四边形的面积为面积的，求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年度下学期期中考试 数学试题 说明： 1．测试时间：120分钟总分：150分 2．客观题涂在答题纸上，主观题答在答题纸的相应位置上 第I卷（58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知复数，则的虚部是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用复数的乘法运算及共轭复数的概念计算即可 【详解】易知， 所以，虚部为． 故选：A． 2. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，，则外接圆的周长为（ ） A. 2π B. 4π C. 2 D. 1 【答案】A 【解析】 【详解】设外接圆的半径为， 因为，，由正弦定理，， 解得，故外接圆的周长为. 3. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】借助完全平方公式及二倍角公式可得，结合原式计算即可得解. 【详解】由， 故， 故，故，即. 4. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用不等式即可. 【详解】如图，角的终边与单位圆圆交于点，单位圆与轴正半轴交于点， 过作轴，交角的终边于点， 则，， 则，扇形的面积为，， 由三者的大小关系可知，，即， 因，则，即. 故选：C 5. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】 ． 6. 在中，，，，则（ ） A. B. 若是的中线，则 C. 若是的高，则 D. 若是的角平分线，则 【答案】BD 【解析】 【分析】利用余弦定理求解判断A；利用数量积运算律求解判断B；利用三角形面积列式求解判断CD. 【详解】对于A，由余弦定理，得，A错误； 对于B，由是的中线，得，则 ，B正确； 对于C，由是的高，得，则，C错误； 对于D，由是的角平分线，得，由， 得，则，D正确. 7. 记的内角的对边分别为，若，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用正弦定理得，再利用余弦定理有，由正弦定理得到的值，最后代入计算即可. 【详解】因为，则由正弦定理得. 由余弦定理可得:， 即:，根据正弦定理得， 所以， 因为为三角形内角，则，则. 故选：C. 8. 已知平面向量、、 满足，且对任意实数恒成立，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】不等式，两边平方得到关于实数的不等式，进而得到，再利用模长公式将转化为，再利用不等式即可得解. 【详解】由，两边平方得 又，且对任意实数恒成立， 即恒成立，所以， 即，所以，即. 由，知， 所以, 当且仅当与同向时取等号. 故选：B 【点睛】关键点睛：本题考查向量的综合应用，不等式恒成立问题，解题的关键先利用对任意实数恒成立，求得，再利用求最值，考查了转化思想与运算能力. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对得部分分. 9. 下列化简正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【详解】A选项，由， 得， 即，故A正确； B选项，，故B错误； C选项，，故C正确； D选项， ，故D错误. 10. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则是锐角三角形 C. 若，，，则有两解 D. 若的面积为S，且，则 【答案】AD 【解析】 【分析】根据余弦定理和正弦定理和面积公式，判断选项. 【详解】对于A，由，可得，由正弦定理可得，所以A正确； 对于B，由正弦定理得，所以，所以C为锐角，但A，B可能为钝角，不能确定为锐角三角形，故B错误； 对于C，已知，，，根据正弦定理可知，解得，所以无解，C错误； 对于D，若的面积为S，因为，则，所以，则，由于，则，故D正确. 11. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 若将图象向左平移个单位长度，所得图象与原图象重合，则的最小值为4 B. 若，则的最小值为1 C. 若在内无零点，则的取值范围为 D. 若在内单调递减，则的取值范围为 【答案】BD 【解析】 【分析】根据图象平移重合、函数值相等、给定区间单调性等条件，利用三角函数性质建立关于的方程或不等式求解，再结合的取值确定的范围或最值判断各选项. 【详解】对于A选项，函数的图象向左平移个单位长度， 所得的函数的原图象重合，故为最小正周期的整数倍， 所以，整理得，， 故的最小值为8，故A错误； 对于B选项，由于，， 所以， 即或， 所以或， 所以的最小值为1，故B正确； 对于C选项，由已知得， 整理得，， 当时，，当时，， 故的取值范围为，故C错误. 对于D选项，由于在内单调递减， 由于函数在内单调递减， 则满足，解得，， 当时，；故D正确. 第Ⅱ卷（92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 我国南宋著名数学家秦九韶，发现了从三角形三边求面积的公式，他把这种方法称为“三斜求积”，它填补了我国传统数学的一个空白．如果把这个方法写成公式，就是，其中是三角形的三边，是三角形的面积．设某三角形的三边，则该三角形的面积___________． 【答案】## 【解析】 【分析】由“三斜求积”公式求解三角形的面积即可. 【详解】因为， 所以， 故答案为： 13. 若复数和复数满足，，，则________. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，利用复数模的运算性质，准确化简、运算，即可求解. 【详解】因为，，， 由复数模的运算性质，可得 ， 所以，所以， 又由， 所以. 14. 在中，内角,,所对的边分别为,，，若，则的最大值等于__________. 【答案】 【解析】 【分析】利用正弦定理，化简已知条件，得到；再根据正弦定理和余弦定理，将目标式化为关于的三角函数，进而求三角函数的最大值即可. 【详解】因为，由正弦定理可得：， 又，，则 因为 ， 当且仅当时，取得最大值，最大值为，也即的最大值为. 四、解答题：本题共5小题，共77分. 15. 已知函数的部分图象如图所示． （1）求的解析式； （2）求的对称轴方程； （3）若方程在有且仅有一个实根，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由图象可得出的值以及函数的最小正周期，可求出的值，结合以及的取值范围可得出的值，由此可得出函数的解析式； （2）由可解得函数的对称轴方程； （3）由可得，由求出的取值范围，数形结合可得出关于的不等式，解之即可. 【小问1详解】 由图可知，函数的最小正周期为，又， 所以，所以， 因为，可得， 所以，则， 因为，故，因此. 【小问2详解】 由可得， 故函数的对称轴方程为. 【小问3详解】 由可得，即， 由可得， 令，则，如下图所示： 因为方程在有且仅有一个实根，则， 解得，即实数的取值范围是. 16. 已知向量，． （1）若且，求x的值； （2）记，R． ①求的单调增区间； ②若任意，均满足，求实数m的取值范围． 【答案】（1） （2）①单调增区间为 ，Z；② 【解析】 【分析】（1）根据向量平行的坐标表示列等式，结合三角恒等变换求解即可. （2）①先将化简，再利用正弦函数图象的性质求解即可； ②恒成立问题转化为求函数的最值问题，再分离参数进而求出取值范围. 【小问1详解】 由，则，即， 解法1：所以， 由于，所以，所以，则． 解法2：所以，即， 因为与不能同时为零，所以，． 因为，所以． 【小问2详解】 ① 由，得，Z， 所以的单调增区间为,Z. ②因为，所以， 所以当，即时，； 当，即时，． 因为恒成立，所以恒成立， 所以，因此， 即m的取值范围为． 17. 某海域的东西方向上分别有A，B两个观测点（如图），它们相距海里．现有一艘轮船在D点发出求救信号，经探测得知D点位于A点北偏东，B点北偏西，这时位于B点南偏西且与B相距80海里的C点有一救援船，其航行速度为35海里/小时． （1）求B点到D点的距离BD； （2）若命令C处的救援船立即前往D点营救，求该救援船到达D点需要的时间． 【答案】（1）50海里 （2）小时. 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理解三角形计算即可； （2）利用余弦定理解三角形计算即可. 【小问1详解】 由题意知：，，， 所以， 在中，由正弦定理可得：即， 所以(海里)； 【小问2详解】 在中，，，， 由余弦定理可得： ， 所以海里，所以需要的时间为(小时). 18. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且． （1）求的值； （2）若为锐角三角形，且，求面积的取值范围． （3）若，当的周长最小时，求的值． 【答案】（1）； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）运用正弦定理边角转化，三角函数的辅助角公式，结合三角形内角的范围求解； （2）利用正弦定理和三角恒等变换，把面积的取值范围转化为求角的正切值的取值范围，根据正切函数的单调性进行求解； （3）利用余弦定理用单一变量来表示三角形的周长，结合基本不等式进行求解. 【小问1详解】 ，由正弦定理可得， 因为， 所以代入可得， 即， 因为，所以， 化简可得，即， 解得，因为，所以， 因此，即. 【小问2详解】 由正弦定理可得，即， 所以， ， 因为，所以， 代入可得， 因为为锐角三角形，， 所以，即，解得， 所以，即， 所以， 即的面积的取值范围为． 【小问3详解】 由余弦定理可得， 因为，代入可得，化简可得， 因此 ， 当且仅当，即时等号成立， 因此当的周长最小时，的值为． 19. 如图，设中角，，所对的边分别为，，，为边上的中点，且，， （1）求； （2）求； （3）设，分别为边，上的动点，线段交于，且四边形的面积为面积的，求的取值范围. 【答案】（1）4 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据和差角公式以及正弦定理即可求解， （2）根据向量的线性运算，结合模长公式即可求解， （3）根据共线，利用向量的线性表示，结合三点共线得，根据面积之比得，即可根据数量积的运算律，得，利用不等式的性质求解即可. 【小问1详解】 由，得, 即， 由于，所以， 则，即. 由正弦定理，得. 【小问2详解】 由于为边上的中点，所以， 则， 所以. 【小问3详解】 设，，， 所以，. 由于，所以. 由于、、三点共线，可得，所以. 由于 ； 由题意知，而， 所以. 由于. 所以 . 由于，而，所以， 则，所以， 所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $