精品解析：甘肃省兰州市第五十五中学等校2025--2026学年第二学期期中考试 八年级数学学科试卷

2025--2026学年第二学期期中考试八年级数学学科试卷 一、单选题（每小题3分，共33分） 1. 如果一个多边形的内角和是，则这个多边形是（ ） A. 四边形 B. 五边形 C. 六边形 D. 八边形 2. 下列图形中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，在中，，平分，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，将绕点顺时针旋转得到，若线段，则的长为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 5. 若，则下列不等式不一定成立的是（ ） A. B. C. D. 6. 已知不等式的正整数解有3个，那么的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 不等式的解集在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 在平面直角坐标系中，将点向下平移3个单位长度，得到的点的坐标是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，中，平分交于点．若，，则点到的距离为（ ） A. B. C. D. 10. 将一副三角板按如图所示叠放在一起，直角顶点为O，，与交于点E，若，则图中的度数为（ ） A. B. C. D. 11. 如图，点第一次向上平移1个单位长度至点，第二次向右平移1个单位长度至点，第三次向上平移1个单位长度至点，第四次向右平移1个单位长度至点，……照此规律平移下去，点的坐标是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共12分） 12. 如图，在中，若，则____． 13. 不等式的正整数解的个数是________． 14. 关于x的不等式的解集在数轴上的表示如图所示，则a取值范围__________． 15. 我们定义：，例如，若x，y为不同的整数，且满足，则的值是________． 三、解答题（满分75分） 16. 如图，在中，，．若的周长为17，求的长． 17. 如图，在中，，，是的高，求的长及的面积． 18. 按要求解下列不等式（组）． （1）（解不等式并在数轴上表示其解集） （2） 19. 如图，三个顶点的坐标分别为，，． （1）在图中作出向左平移5个单位长度后得到的； （2）在图中作出关于轴对称的，并写出，，的坐标． 20. 某文具店销售一种品牌笔记本，批发商提供两种进货方案： 方案A：按固定价格进货，每本进价8元； 方案B：进货量在100本以内（含100本）时，每本进价10元；超过100本的部分，每本进价6元． 文具店按每本15元的统一零售价销售该笔记本． 设文具店进货本（为正整数），两种方案的总利润分别为元（方案A）和元（方案B）． 请根据以上信息，回答下列问题： （1）分别写出与，与的函数关系式； （2）文具店计划进货不超过200本，应选择哪种进货方案才能使总利润最大？请说明理由． 21. 已知一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点． （1）求点、的坐标； （2）当取何值时，函数值满足？ （3）结合图象，求方程的解，并直接写出不等式的解集． 22. 阅读材料：解不等式，根据有理数的乘法法则“两数相乘，同号得正”，可以转化为不等式组求解． 解：，转化为① 或② ，解不等式组①，得，解不等式组②，得． ∴原不等式的解集是或． 请你仿照上面的方法，解下列不等式 23. 如图，已知函数和的图象交于点． （1）的值为 ； （2）利用图象直接写出不等式的解集； （3）求的面积． 24. 如图，在四边形中，是对角线，是等边三角形．线段绕点顺时针旋转得到线段，连接． （1）求证：； （2）若，求的长． 25. 如图，在中，点为边上一点，连接，延长至点，使得，连接． （1）如图1，若，，，求的度数； （2）如图2，的角平分线交于点，若，，求证：． 26. 结合图形，解决问题： （1）如图1，在和中，，，且，试证明：． 【初步探究】 （2）如图2，为等边三角形，过A点作的垂线，点P为上一动点（不与点A重合），连接，把线段绕点C逆时针方向旋转得到，连接．请写出与的数量关系并说明理由； 【深入探究】 （3）如图3，在（2）的条件下，连接并延长交直线于点．当点运动到时，若，求的长； 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025--2026学年第二学期期中考试八年级数学学科试卷 一、单选题（每小题3分，共33分） 1. 如果一个多边形的内角和是，则这个多边形是（ ） A. 四边形 B. 五边形 C. 六边形 D. 八边形 【答案】B 【解析】 【分析】利用n边形内角和公式列方程求解边数即可，n边形内角和公式为． 【详解】解：设这个多边形的边数为， 根据题意可得方程，， 解得， ∴这个多边形是五边形． 2. 下列图形中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据中心对称图形的概念：把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，对各选项分析判断即可． 【详解】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意； B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意； C、是中心对称图形，故本选项符合题意； D、不是中心对称图形，故本选项不符合题意. ． 3. 如图，在中，，平分，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据，平分，得出 ，根据，得出，再根据三角形外角的性质求解即可． 【详解】解：∵，平分， ∴， ∵， ∴， ∴． 4. 如图，将绕点顺时针旋转得到，若线段，则的长为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】B 【解析】 【分析】根据旋转可得，旋转角度，可得为等边三角形，再由求解即可． 【详解】解：∵将绕点顺时针旋转得到， ∴，且， ∴为等边三角形， ∴， 则的长为5 ． 5. 若，则下列不等式不一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：若，两边同时减去得，则A成立，不符合题意， 由得，则B成立，不符合题意， 若，两边同时乘以得，则C成立，不符合题意， 若，当时，，则D不一定成立，符合题意． 6. 已知不等式的正整数解有3个，那么的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求解一元一次不等式的解集，再根据正整数解的个数确定的取值范围． 【详解】解： 解得， ∵不等式的正整数解共有3个， ∴这3个正整数解为1、2、3， ∴， ∴． 7. 不等式的解集在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】定边界，定方向，在数轴上表示出解集即可． 【详解】解：不等式的解集在数轴上表示为： 8. 在平面直角坐标系中，将点向下平移3个单位长度，得到的点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了平面直角坐标系中点的平移，掌握点的平移规律是解题的关键． 根据点的平移规律：向下平移时，纵坐标减少，横坐标不变计算新坐标． 【详解】解：∵点向下平移3个单位， ∴横坐标不变，纵坐标减少3， ∴新点坐标为： 故选：D． 9. 如图，中，平分交于点．若，，则点到的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】过点D作于E，根据角平分线的性质可得，再根据及求出的长即可求解． 【详解】解：过点D作于E，如图，  ∵，，  ∴， ∴， ∵，平分，，  ∴， 即点D到的距离为． 10. 将一副三角板按如图所示叠放在一起，直角顶点为O，，与交于点E，若，则图中的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用平行线的内错角相等求出的度数，结合三角板的固定角度，根据三角形内角和定理计算的度数． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 由一副三角板的性质可知， 在中，三角形内角和为， ∴． 11. 如图，点第一次向上平移1个单位长度至点，第二次向右平移1个单位长度至点，第三次向上平移1个单位长度至点，第四次向右平移1个单位长度至点，……照此规律平移下去，点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了平面直角坐标系中点的平移规律，数字规律探究．通过分析平移次数与坐标的关系总结规律是解题的关键． 先梳理每次平移后的坐标，发现平移规律为奇数次平移是向上平移1个单位长度，偶数次平移是向右平移1个单位长度，而进行了1013次向上平移，1013次向右平移，则的横坐标和纵坐标都加上1013即可求解． 【详解】解：观察平移规律，第一次向上平移1个单位长度至点， 第二次向右平移1个单位长度至点， 第三次向上平移1个单位长度至点， 第四次向右平移1个单位长度至点， 可以发现平移规律：奇数次平移是向上平移1个单位长度，偶数次平移是向右平移1个单位长度． 是偶数，所以是经过次平移得到的， 由于偶数次平移是向右平移，从点开始，经过次平移，横坐标的变化是向右平移了个单位长度，所以的横坐标为； 又因为奇数次平移是向上平移，从点开始，经过次平移，纵坐标的变化是向上平移了个单位长度，所以的纵坐标为； ． 故选D． 二、填空题（每小题3分，共12分） 12. 如图，在中，若，则____． 【答案】 【解析】 【分析】题目主要考查了等边对等角及三角形内角和定理，结合图形，找出各角之间的关系是解题关键．先根据，得，则，结合三角形内角和性质以及，进行列式计算，即可作答． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 13. 不等式的正整数解的个数是________． 【答案】2 【解析】 【分析】先按照一元一次不等式的解法求出不等式的解集，再找出解集中的正整数，统计正整数的个数即可． 【详解】解：解不等式 移项，得． 合并同类项，得． 系数化为，得． 不等式的正整数解为，，共个． 14. 关于x的不等式的解集在数轴上的表示如图所示，则a取值范围__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，在数轴上表示解集．解题的关键在于对知识熟练掌握与灵活运用． 解不等式组得，由数轴可知，得出原不等式组的解集为，则，计算求解即可． 【详解】解：解不等式组， 得， 由数轴可知，原不等式组的解集为， ∴， 解得． ∴a的取值范围为， 故答案为： 15. 我们定义：，例如，若x，y为不同的整数，且满足，则的值是________． 【答案】 【解析】 【分析】根据新定义，推出，得到或，分类讨论求出的值，再进行求解即可． 【详解】解：由题意得，，即， ∴， ∵x，y为不同的整数， ∴或， 当时，或，不符合题意，舍去； 当时，或或或， ∴或． 三、解答题（满分75分） 16. 如图，在中，，．若的周长为17，求的长． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形的判定，根据等角对等边得到，进而根据已知的三角形的周长求解即可． 【详解】解：∵在中，， ∴， ∵，的周长为17， ∴， 解得． 17. 如图，在中，，，是的高，求的长及的面积． 【答案】，的面积为48 【解析】 【分析】根据等腰三角形的“三线合一”求出，进而根据勾股定理即可求出，再根据三角形的面积公式即可求解． 【详解】解：∵，，是的高， ∴，， ∴在中，， ∴． 18. 按要求解下列不等式（组）． （1）（解不等式并在数轴上表示其解集） （2） 【答案】（1），数轴表示见解析 （2） 【解析】 【小问1详解】 解： 去括号，得 移项，得 合并同类项，得 系数化为，得 解集表示在数轴上如下： 【小问2详解】 解不等式①，得 解不等式②，得 ∴原不等式组的解集为． 19. 如图，三个顶点的坐标分别为，，． （1）在图中作出向左平移5个单位长度后得到的； （2）在图中作出关于轴对称的，并写出，，的坐标． 【答案】（1）见解析 （2）见解析，，， 【解析】 【分析】（1）将三个顶点向左平移5个单位长度得到其对应点，再顺次连接即可； （2）作出A、B、C关于x轴对称的对应点，然后顺次连接，然后写出坐标即可． 【小问1详解】 解：如图，即为所求； 【小问2详解】 解：如图，即为所求； ∴，，． 20. 某文具店销售一种品牌笔记本，批发商提供两种进货方案： 方案A：按固定价格进货，每本进价8元； 方案B：进货量在100本以内（含100本）时，每本进价10元；超过100本的部分，每本进价6元． 文具店按每本15元的统一零售价销售该笔记本． 设文具店进货本（为正整数），两种方案的总利润分别为元（方案A）和元（方案B）． 请根据以上信息，回答下列问题： （1）分别写出与，与的函数关系式； （2）文具店计划进货不超过200本，应选择哪种进货方案才能使总利润最大？请说明理由． 【答案】（1）， 、． （2）当进货量时，方案A合适；当进货量时，方案A和方案B利润相同，任选其一即可． 【解析】 【小问1详解】 利润等于总售价减去总进价，总售价等于． 方案A：每本进价元，总进价等于， ． 方案B：分两种情况讨论： 1、当时，总进价为， ． 2、当，前100本进价10元，超过部分进价6元， 总进价， ． 综上，方案B的函数关系式： 、． 【小问2详解】 已知，分两段分析： 当时： ，显然，此时方案A利润更大． 当时： 比较和： 令，解得； 令，解得； 即时，； 时，． 综上所述，当进货量时，方案A合适；当进货量时，方案A和方案B利润相同，任选其一即可． 21. 已知一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点． （1）求点、的坐标； （2）当取何值时，函数值满足？ （3）结合图象，求方程的解，并直接写出不等式的解集． 【答案】（1）点； （2）当时， （3）； 【解析】 【小问1详解】 解：令，则，解得， ∴ 点； 令，则， ∴ 点； 【小问2详解】 解：解不等式： 由， 即 解(1)得：； 解(2)得：． ∴ 当时，； 【小问3详解】 解：如图， 由图可知： 方程的解为； 不等式的解集为． 22. 阅读材料：解不等式，根据有理数的乘法法则“两数相乘，同号得正”，可以转化为不等式组求解． 解：，转化为① 或② ，解不等式组①，得，解不等式组②，得． ∴原不等式的解集是或． 请你仿照上面的方法，解下列不等式 【答案】或 【解析】 【分析】根据有理数的乘法法则得出两个不等式组，求出每个不等式组的解集，即可求出答案． 【详解】解：将不等式，转化为①或②， 解不等式组①，得， 解不等式组②，得， 原不等式的解集为或． 23. 如图，已知函数和的图象交于点． （1）的值为 ； （2）利用图象直接写出不等式的解集； （3）求的面积． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）把代入，即可求出的值； （2）根据（1）得出，结合函数图象，即可求解； （3）将点的坐标代入即可求出的值，进而求得，再根据三角形的面积公式，即可求解． 【小问1详解】 解：把代入得，， 解得， 故答案为：； 【小问2详解】 ， 点的坐标为， 由图象得，不等式的解集为． 【小问3详解】 函数的图象经过点， ，解得， 直线的解析式为， 当时，， ， ， ． 24. 如图，在四边形中，是对角线，是等边三角形．线段绕点顺时针旋转得到线段，连接． （1）求证：； （2）若，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与证明，旋转的性质及勾股定理，证明三角形全等是解题的关键； （1）由等边三角形的性质与旋转的性质证明即可； （2）由旋转知是等边三角形，则，可得，在直角三角形中利用勾股定理即可求得结果． 【小问1详解】 证明：∵是等边三角形， ∴； ∵线段绕点顺时针旋转得到线段， ∴， ∴， 即， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：旋转知， ∴是等边三角形， ∴； ∴； ∵， ∴由勾股定理得：． 25. 如图，在中，点为边上一点，连接，延长至点，使得，连接． （1）如图1，若，，，求的度数； （2）如图2，的角平分线交于点，若，，求证：． 【答案】（1） （2）见解析 【解析】 【分析】（1）根据等边对等角可得，根据三角形内角和定理可得，根据等边对等角可得，根据三角形内角和定理可得，即可求解； （2）在上截取，使得，连接，根据各边的关系得出，再由全等三角形的判定和性质得出，，，确定，得出，利用等角对等边得，即可证明． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴， ∵， ∵， ∴， ∴． 【小问2详解】 解：在上截取，使得，连接． ∵ ，即 在和中， ， ∴ ∴， ∵平分， ∴， 在和中， ， ∴ ∴， ， ， 又∵， ， ， ∴． 26. 结合图形，解决问题： （1）如图1，在和中，，，且，试证明：． 【初步探究】 （2）如图2，为等边三角形，过A点作的垂线，点P为上一动点（不与点A重合），连接，把线段绕点C逆时针方向旋转得到，连接．请写出与的数量关系并说明理由； 【深入探究】 （3）如图3，在（2）的条件下，连接并延长交直线于点．当点运动到时，若，求的长； 【答案】（1）见解析 （2），理由见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）利用全等三角形的判定证明即可； （2）证明即可； （3）连接，，结合（2）结论，先证明是等边三角形，再证明垂直平分，，即可得，在中，根据等腰三角形的性质可得，即有，在中，根据，，可得，在中，利用勾股定理可得，即有． 【小问1详解】 证明：∵， ∴即， ∵，， ∴ 【小问2详解】 ，理由如下： 证明：∵为等边三角形， ∴，， ∵线段绕点逆时针方向旋转得到， ∴，， ∴， 在和中， ∴， ∴； 【小问3详解】 如图，连接，， 由（2）得，， ∵，， ∴是等边三角形， 又∵， ∴垂直平分，， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴， 在中， ∵，， ∴ ， 在中， ∵，，， ∴， ∴， 在中， ∵，，， ∴ ， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $