7.4.2超几何分布5题型分类(讲+练）-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第三册

2025-2026学年高二数学同步知识·题型解题秘籍精讲精练讲义（人教A版2019选择性必修第三册） 7.4.2超几何分布5题型分类 一、超几何分布 一般地，假设一批产品共有N件，其中有M件次品，从N件产品中随机抽取n件(不放回)，用X表示抽取的n件产品中的次品数，则X的分布列为，k＝m，m＋1，m＋2，…，r.其中n，N，M∈N* ，M≤N，n≤N，m＝max{0，n－N＋M}，r＝min{n，M}．如果随机变量X的分布列具有上式的形式，那么称随机变量X服从超几何分布． 二、超几何分布的期望 E(X)＝＝np(p为N件产品的次品率)． （一） 超几何分布 1.一般地，假设一批产品共有N件，其中有M件次品，从N件产品中随机抽取n件(不放回)，用X表示抽取的n件产品中的次品数，则X的分布列为 ，k＝m，m＋1，m＋2，…，r. 2.超几何分布是一种常见的随机变量的分布，所求概率分布问题由明显的两部分组成，或可转化为明显的两部分. 题型1：超几何分布的判断 1．（2026高三·上海·随堂练习）下列关于超几何分布的命题中错误的命题是（    ）． A．超几何分布的模型是不放回抽样 B．超几何分布里的总体可以有两类或三类特点 C．超几何分布中的参数是 D．超几何分布的总体往往是由差异明显的两部分组成的 【答案】B 【分析】根据超几何分布的定义判断各个选项. 【详解】对于A，由超几何分布的定义，超几何模型为不放回抽样，A对； 对于BCD，超几何分布实质上就是有总数为件的两类物品，其中一类有件，从所有物品中任取件，这件中所含这类物品的件数是一个离散型随机变量，根据超几何分布的定义，超几何分布里的总体有两类特点，B错，CD对. 故选：B． 2．（2026高二·全国·课后作业）下列问题中，哪些属于超几何分布问题，说明理由． (1)抛掷三枚骰子，所得向上的数是的骰子的个数记为，求的分布列； (2)有一批种子的发芽率为，任取颗种子做发芽实验，把实验中发芽的种子的个数记为，求的分布列； (3)盒子中有红球只，黄球只，蓝球只，任取只球，把不是红色的球的个数记为，求的分布列； (4)某班级有男生人，女生人．选派名学生参加学校组织的活动，班长必须参加，其中女生人数记为，求的分布列； (5)现有台平板电脑未经检测，抽取台送检，把检验结果为不合格的平板电脑的个数记为，求的分布列． 【答案】(1)不是，理由见解析 (2)不是，理由见解析 (3)是，理由见解析 (4)是，理由见解析 (5)不是，理由见解析 【分析】（1）（2）（3）（4）（5）根据超几何分布的特点逐项判断，可得出结论. 【详解】（1）解：样本没有分类，是重复试验问题，不是超几何分布问题. （2）解：样本没有分类，是重复试验问题，不是超几何分布问题. （3）解：样本符合超几何分布的特征，样本都分为两类， 随机变量表示抽取件样本某类样本被抽取的件数，是超几何分布． （4）解：样本符合超几何分布的特征，样本都分为两类， 随机变量X表示抽取件样本某类样本被抽取的件数，是超几何分布． （5）解：样本没有给出不合格产品数，无法计算的分布列，所以不属于超几何分布问题． 3．（2026高二·全国·课后作业）下列随机变量中，服从超几何分布的有______．（填序号） ①在10件产品中有3件次品，每次随机取1件且不放回，共取4次，记取到的次品数为X； ②从3台甲型电视机和2台乙型电视机中任取2台，记X表示所取的2台电视机中甲型电视机的台数； ③一名学生骑自行车上学，途中有6个交通岗，记此学生遇到红灯数为随机变量X． 【答案】①② 【分析】根据超几何分布模型定义可知答案. 【详解】根据超几何分布模型定义可知①中随机变量X服从超几何分布． ②中随机变量X服从超几何分布． ③中显然不能看作一个不放回抽样问题，故随机变量X不服从超几何分布． 故答案为：①② 4．【多选】（2026高三·全国·专题练习）下列随机事件中的随机变量X的分布列服从超几何分布的是（    ） A．抛掷三枚骰子，所得向上的数是6的骰子的个数记为 B．有一批种子的发芽率为，任取颗种子做发芽试验，把试验中发芽的种子的个数记为 C．盒子中有红球个，黄球个，蓝球个，任取个球，把不是红色的球的个数记为 D．某班级有男生人，女生人，选派名学生参加学校组织的活动，其中女生人数记为 【答案】CD 【分析】利用超几何分布的定义，对各个选项逐一分析判断，即可求解. 【详解】超几何分布：假设一批产品共有件，其中有件次品，从件产品中随机抽取件（不放回）， 用表示抽取的件产品中的次品数，则服从超几何分布. 对于选项A和B，试验均为独立重复试验，随机变量服从二项分布，不服从超几何分布，所以A和B错误， 对于选项C和D，符合超几何分布的特征，样本进行了分类， 随机变量X表示抽取n件样本，某类样本被抽取的件数，所以C和D正确， 故选：CD． 题型2：超几何分布的概率 5．（2026高二·广东东莞·阶段检测）一个盒子里装有大小，材质均相同的黑球10个，红球12个，白球3个，从中任取3个，其中白球的个数记为，则等于的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据已知条件分析概率值、对应的事件，即可得结果. 【详解】由题设，取出的3个球中没有白球的概率为， 取出的3个球中有一个白球的概率， 所以目标式表示. 故选：C 6．（2026高二·北京昌平·期末）某校组织一次认识大自然的夏令营活动，有6名同学参加，其中有4名男生、2名女生．现从这6名同学中随机抽取3名同学去采集自然标本，则抽到的3名同学中至少有1名女生的概率为__________． 【答案】/ 【分析】可以运用“正难则反”的思想， 先求出抽到的3名同学中没有女生的概率，再运用对立事件的概率公式求得抽到的3名同学中至少有1名女生的概率. 【详解】抽到的3名同学中没有女生的概率为， 则抽到的3名同学中至少有1名女生的概率为. 故答案为： 7．（2026高三·天津西青·阶段检测）某学习小组有男生4人，女生3人，现需从中抽取2人参加学校开展的AI人工智能学习，则恰有一名男生参加的概率为______；在有女生参加学习的条件下，恰有一名女生参加AI人工智能学习的概率为______. 【答案】 / 【分析】利用超几何概型的概率、古典概型求法及组合数求概率即可. 【详解】由题设，恰有一名男生参加的概率为， 有女生参加学习的条件下，恰有一名女生参加的概率为. 故答案为：， 8．（2026高二·江苏南京·期末）某工厂生产车间有日生产件数为95件的“生产标兵”3人，有日生产件数为55件的“新手”2人，从这5人中任意抽取2人，则2人的日生产件数之和为150件的概率为__________． 【答案】/ 【分析】依题意可知日生产件数之和的所有可能取值为190，150，110，根据超几何分布的概率公式求出对应的概率； 【详解】由题意可得日生产件数之和的所有可能取值为190，150，110， 则可知. 故答案为： 9．（2026高三·北京·开学考试）袋中有5个形状相同的乒乓球，其中3个黄色2个白色，现从袋中随机取出3个球，则恰好有2个黄色乒乓球的概率是______． 【答案】/ 【分析】根据超几何分布公式计算即可. 【详解】设事件A表示“取出的3个球中恰好有2个黄色乒乓球”， 则， 故答案为：. 10．（2026高三·天津·一轮复习）一箱苹果共有12个苹果，其中有个是烂果，从这箱苹果中随机抽取3个．恰有2个烂果的概率为，则___． 【答案】4 【分析】由超几何分布的概率公式列方程即可求解． 【详解】依题意可得，即，整理得， 解得或9，因为，所以． 故答案为：4. 11．（2026高二·浙江宁波·期末）小卖部推出一套20张不同的角色卡，其中3张为稀有卡．若一次性抽取5张，则抽到的卡中至少有一张稀有卡的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】运用“正难则反”的策略求出抽到的卡中没有稀有卡的概率，再根据对立事件的概率公式求得抽到的卡中至少有一张稀有卡的概率. 【详解】抽到的卡中没有稀有卡的概率，根据对立事件的概率公式， 可知抽到的卡中至少有一张稀有卡的概率为. 故选：A. 12．（2026高二·浙江台州·期中）为助力校园文创节，文创社准备了60枚文创徽章（红色款）、20枚文创书签（白色款），从其中随机选取10件文创产品作为活动奖品，则其中恰有6枚徽章的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】总文创产品数：，总选法：， 符合条件的选法：选 6 枚徽章 ，选 4 枚书签 ，即 ， 所以概率：． （二） 超几何分布的综合应用 超几何分布的期望 E(X)＝＝np(p为N件产品的次品率)． 题型3：超几何分布均值与方差 13．（2026高二·山东德州·阶段检测）在名女生和名男生中任选人参加一项交流活动，设为抽到男生的人数，则为__________． 【答案】/ 【详解】∵ 从名学生（女男）中任选人，总选法数为 ， ∴ 随机变量 （抽到男生的人数）的可能取值为 . ∴ ，，. ∴ . 14．（2026·甘肃金昌·模拟预测）袋中有9个除颜色外完全相同的小球，其中2个白球，3个红球和4个黄球．每次不放回从袋中随机摸出一个球，共摸4次，记这4次摸球中，摸到黄球的个数为X，则随机变量X的数学期望为________． 【答案】/ 【分析】X的取值为，求出分布列，再利用期望公式求解. 【详解】X的取值为， 则，， ，， ， 所以． 15．（2026高二·江苏南京·期中）学校要从4名男教师和2名女教师中随机选出3人去支教，设抽取的人中女教师的人数为，则______. 【答案】1 【详解】由题意可得，的取值为， ， ， ， . 16．（2026高二·山东青岛·期中）已知甲箱子中有3个白球和3个红球，乙箱子中有4个白球和3个红球.（两箱中的球除颜色外，没有其他区别） (1)若从甲箱中任取2个球，求摸出的2个球中的红球的个数的概率分布列和期望； (2)若先从甲箱中任取2个球放入乙箱中，然后再从乙箱中任取1个球. （i）求从乙箱中取出的球是白球的概率； （ii）若已知从乙箱中取出的球是白球，求从甲箱中取出2个同色球的概率. 【答案】(1) 0 1 2 ； (2)（i）（ii） 【分析】（1）通过超几何分布求出取到不同个数红球的概率以列出分布列，再直接代入公式计算数学期望； （2）（i）将“从甲箱转移到乙箱的2个球”按颜色分类作为互斥的条件事件，应用全概率公式求解最终摸出白球的总概率；（ii）在第（i）问已知结果的基础上，将“甲箱取出同色球”作为原因，应用贝叶斯公式进行逆向推算. 【详解】（1）由题意可能取值为， ， ， ， 0 1 2 期望. （2）（i）设“甲箱中取出2个球都为白球”；“甲箱中取出2个球为一白一红”；“甲箱中取出2个球都为红球”；“乙箱中取出的1个球为白球” 由全概率公式： . （ii）设“从甲箱中取出2个同色球”，所以 由贝叶斯公式： . 17．（2026·广东东莞·模拟预测）一个袋子中有个大小相同的球，其中有4个红球、8个绿球，分别采用有放回和不放回的方式从中随机抽取3个球，设采用有放回方式抽取时抽到红球的个数为，采用不放回方式抽取时抽到红球的个数为. (1)求的概率; (2)求Y的分布列与数学期望. 【答案】(1) (2)分布列 0 1 2 3 【分析】（1）若有放回的抽取时，随机变量X服从二项分布，由二项分布的概率公式可得； （2）若不放回抽取时，随机变量Y服从超几何分布，由超几何分布的概率公式可得分布列及期望. 【详解】（1）若有放回抽取时，每次抽球相互独立，每次抽到红球的概率为 ​，共抽3次， 因此,根据二项分布概率公式： . （2）若不放回抽取时，服从超几何分布，的所有可能取值为， 概率公式为：. ，，，. 的分布列为： 0 1 2 3 数学期望： . 18．（2026高三·陕西西安·月考）盲盒中有大小相同的3个红球，2个黑球，随机有放回的摸两次球，记X为摸到黑球的个数，随机无放回的摸两次球，记Y为摸到黑球的个数，则（ ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】由题意可得随机变量服从二项分布，随机变量服从超几何分布，进而根据二项分布求，根据超几何分布求，即可得结果. 【详解】由题意可知：，则，， Y的可能取值为0，1，2， 则，，， 可得， ， 所以. 故选：B. 19．（2026高二·陕西咸阳·阶段检测）一批笔记本电脑共有台，其中品牌台，品牌台.如果从中随机挑选台，设这台电脑中品牌的台数为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】确定随机变量的可能取值，利用超几何分布概率公式求出概率，得到分布列，代入数学期望公式和方差公式计算即可. 【详解】依题意，的可能值有. 则，，. 则的分布列为： 可得 . 故选：D 题型4：超几何分布的综合应用 20．（2026高二·北京昌平·期末）在全民抗击新冠肺炎疫情期间，北京市开展了“停课不停学”活动，此活动为学生提供了多种网络课程资源以供选择使用.活动开展一个月后，某学校随机抽取了高三年级的甲、乙两个班级进行网络问卷调查，统计学生每天的学习时间.这两个班级各有40名学生，均提供了有效的数据，将样本数据整理得到如下频率分布直方图： (1)已知该校高三年级共有600名学生，根据统计数据知，甲班每天学习时间不超过4小时的学生频率为0.05，乙班每天学习时间不超过4小时的学生频率为0.1，求甲、乙两班每天学习时间不超过4小时的学生各多少人？ (2)从甲、乙两个班级每天学习时间不超过4小时的学生中随机抽取3人，记从乙班抽到的学生人数为，求的分布列和数学期望； (3)记甲、乙两个班级学生每天学习时间的方差分别为，，试比较，的大小.（只需写出结论） 【答案】(1)甲班每天学习时间不超过4小时的学生人数为2人，乙班每天学习时间不超过4小时的学生人数为4人 (2)分布列见详解，的数学期望为2 (3) 【分析】（1）根据频率即可直接求得甲、乙两班每天学习时间不超过4小时的学生人数； （2）记从乙班抽到的学生人数为，由题得随机变量符合超几何分布，则有，即可求，再计算均值即可. （3）从频率分布直方图，我们可以得到甲班的数据比较集中，乙班的数据比较分散，这说明甲班的离散程度小，数据波动小，方差也小，乙班的离散程度大，数据波动大，方差也大，故可得. 【详解】（1）甲班每天学习时间不超过4小时的学生人数为人， 乙班每天学习时间不超过4小时的学生人数为人. （2）两个班级每天学习时间不超过4小时的学生人数共有6人，记从乙班抽到的学生人数为，易得随机变量符合超几何分布，的取值为 则有， 则，，， 则分布列为： 1 2 3 0.2 0.6 0.2 则，即的数学期望为2. （3）根据频率分布直方图，可以观察到甲班每天学习时间较为集中，乙班学习时间较为分散，故可得乙班数据波动较大，方差较大，则有. 21．（2026高二·甘肃定西·阶段检测）为推动网球运动的发展，某网球比赛允许不同协会的运动员组队参加．现有来自甲协会的运动员名，其中种子选手名；乙协会的运动员名，其中种子选手名．从这名运动员中随机选择人参加比赛． (1)设事件为“选出的人中恰有名种子选手，且这名种子选手来自同一个协会”，求事件发生的概率； (2)设为选出的人中种子选手的人数，求随机变量的分布列及均值． 【答案】(1) (2)分布列答案见解析， 【分析】（1）利用组合计数原理结合古典概型的概率公式可求得的值； （2）分析可知，随机变量的可能取值有、、、、，求出随机变量在不同取值下的概率，可得出随机变量的分布列，进而可求得的值. 【详解】（1）解：由题意可得. （2）解：由题意可知，人中，种子选手共人，非种子选手共人， 从这人中随机抽取人，其中种子选手的人数为随机变量， 则的可能取值有、、、、， 则，，， ，， 所以，随机变量的分布列如下表所示： 因此，. 22．（2026高二·山东枣庄·阶段检测）为营造浓厚的全国文明城市创建氛围，积极响应创建全国文明城市号召，提高对创城行动的责任感和参与度，学校号召师生利用周末参与创城志愿活动.高二（1）班某小组有男生4人，女生2人，现从中随机选取2人作为志愿者参加活动. (1)求在有女生参加活动的条件下，恰有一名女生参加活动的概率； (2)记参加活动的女生人数为X，求X的分布列及期望、方差. 【答案】(1) (2)分布列见解析，. 【分析】（1）根据条件概率公式即可求解. （2）根据超几何分布，即可求出分布列，利用公式求解期望与方差. 【详解】（1）设“有女生参加活动”为事件，“恰有一名女生参加活动”为事件． 则，所以； （2）依题意知服从超几何分布，且， 所以的分布列为： 0 1 2 . 23．（2026高二·安徽滁州·阶段检测）已知盒中放有个乒乓球，其中个是新的，个是旧的第一次比赛时，从中一次性任意取出个来用，用完后仍放回盒中新球用后成了旧球；第二次比赛时从中任意取出个． (1)记第一次比赛时从盒中取出的个球中旧球的个数为，求的分布列与数学期望； (2)求第二次比赛时取出的球为新球的概率． 【答案】(1)分布列见解析，； (2). 【分析】1从盒中取出的个球中旧球的个数的所有可能取值为，，，，根据等可能事件的概率公式可求，然后结合分布列公式及期望公式可求； 2设事件表示第二次比赛时取出的球为新球，事件为第一次比赛时取出的个球中有个新球，其，，，，结合条件概率全概率公式可求． 【详解】（1）依题意，从盒中取出的个球中旧球的个数的所有可能取值为，，，， 所以， ， ， ， 所以的分布列为： 所以. 方法二：由题得服从超几何分布，所以 （2）设事件表示第二次比赛时取出的球为新球，事件为第一次比赛时取出的个球中有个新球，其，，，， 由1可得，，，， 根据题意，，，，， 所以根据全概率公式可得． 24．（2026高二·江西·阶段检测）甲罐中有4个红球和3个白球，乙罐中有3个红球和2个白球（球除颜色外，大小质地均相同）. (1)若从甲罐中取出3个球，记为取出的红球的个数，求的分布列和期望. (2)若从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别表示从甲罐中取出的球是红球，白球；再从乙罐中随机取出一球，表示从乙罐中取出的球是红球.求和. 【答案】(1)分布列见解析， (2) 【分析】（1）利用超几何分布模型求解； （2）利用条件概率和全概率公式求解. 【详解】（1）由题可知服从参数的超几何分布. 的取值可以为. . 的分布列为： 0 1 2 3 的期望为. （2）由题意得， 根据全概率公式得. 题型5：超几何分布和二项分布的辨析 25．（2026高二·江苏连云港·期末）一个袋子中有10个大小相同的球，其中有4个红球、6个白球，从中随机地摸出2个球作为样本，用X表示样本中红球的个数． (1)若有放回摸球，求X的分布列； (2)若不放回摸球，求X的分布列． 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 【分析】（1）由条件判断服从二项分布，运用概率计算公式计算即得分布列 ； （2）先由条件判断服从超几何分布，由概率计算公式计算即得分布列. 【详解】（1）若有放回摸球，每次摸到红球的概率为，且各次试验之间的结果是独立的， 因此. 所以. 即， ，. 则的分布列为： 0 1 2 （2）若不放回摸球，则服从超几何分布， 故， ， ，. 则的分布列： 0 1 2 26．（2026高二·浙江·期中）某商店举办促销活动，顾客消费后可参与抽奖．盒子中有个大小､形状完全相同的小球，其中红球个，白球个．顾客从中一次性抽取个小球，若抽到两个小球中有红球，则获得一份纪念品． (1)求一位顾客获得纪念品的概率； (2)若某家庭个人到店消费，均独立获得抽奖资格并参加抽奖活动，记三人获得纪念品的份数为，求的分布列与数学期望． 【答案】(1) (2)分布列: 数学期望为. 【详解】（1）设一位顾客抽到红球的个数为；当时，顾客获得纪念品． ， ， ． （2）由已知可得：， 则． 所以的分布列为： ． 27．（2026高二·江苏南京·期末）某公司生产一种电子产品，每批产品进入市场之前，需要对其进行检测，现从某批产品中随机抽取10箱进行检测，其中有6箱为一等品． (1)现从这10箱产品中随机抽取3箱，求这三箱中恰有两箱是一等品的概率； (2)用频率估计概率，在这批产品中随机抽取3箱，用表示抽到一等品的箱数，求的分布列和数学期望． 【答案】(1) (2)分布列见解析， 【分析】（1）根据超几何分布的概率计算公式，可得答案； （2）根据二项分布的概率计算公式以及均值公式，可得答案. 【详解】（1）记“这三箱中恰有两箱是一等品”为事件， 则． （2）由题意，任取一个，取到一等品的概率为， 因为可能的取值为0，1，2，3，且服从二项分布 所以，， ，， 所以随机变量的分布列如下： 数学期望． 28．（2026高二·全国·课后作业）高三某班的联欢会上设计了一项游戏：在一个口袋中装有10个红球，20个白球，这些球除颜色外完全相同，现依次从中摸出5个球．规定摸到4个红球，1个白球的就中一等奖． (1)若摸出后放回，求中一等奖的概率； (2)若摸出后不放回，①求中一等奖的概率；②若至少摸到3个红球就中奖，求中奖的概率． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】（1）摸出后放回，则相当于做了5次重复试验，由此可知摸到的球服从二项分布，据此可以求解; （2）摸出后不放回，则摸到的球服从超几何分布，根据超几何分布的概率分布列计算即可. 【详解】（1）若摸出后放回，设摸到白球的个数为，则， 中一等奖的概率为． （2）若以30个球为一批产品，其中红球为不合格产品，随机抽取5个球，表示取到的红球数，则服从超几何分布， ①由公式得，， 所以中一等奖的概率为． ②的可能取值为0，1，2，3，4，5， 根据公式可得至少摸到3个红球的概率为 ， 故中奖的概率约为． 29．（2026高二·北京房山·期末）人工智能（简称）的相关技术首先在互联网开始应用，然后陆续普及到其他行业. 某公司推出的软件主要有四项功能：“视频创作”、“图像修复”、“语言翻译”、“智绘设计”. 为了解某地区大学生对这款软件的使用情况，从该地区随机抽取了名大学生，统计他们最喜爱使用的软件功能（每人只能选一项），统计结果如下： 软件功能 视频创作 图像修复 语言翻译 智绘设计 大学生人数 假设大学生对软件的喜爱倾向互不影响. (1)从该地区的大学生中随机抽取人，试估计此人最喜爱“视频创作”的概率； (2)采用分层抽样的方式先从名大学生中随机抽取人，再从这人中随机抽取人，其中最喜爱“视频创作”的人数为，求的分布列和数学期望； (3)从该地区的大学生中随机抽取人，其中最喜爱“视频创作”的人数为，的方差记作，（2）中的方差记作，比较与的大小. （结论不要求证明） 【答案】(1) (2)分布列见解析， (3) 【分析】（1）有古典概型计算可得结果； （2）利用抽样比可确定6人中有2人最喜欢“视频创作”，求得的所有可能取值及其对应概率可得分布列和期望值（或利用超几何分布计算可得结果）； （3）由（2）可得，由频率估计概率可得地区的大学生中最喜欢“视频创作”的概率为，因此，可得. 【详解】（1）设从该地区的大学生随机抽取1人，此人选择“视频创作”的事件为A， 则 （2）因为抽取的6人中喜欢“视频创作”的人数为， 所以的所有可能取值为，         所以的分布列为：            （或则 ） （3）由（2）可得； 由频率估计概率可得地区的大学生中最喜欢“视频创作”的概率为，因此， 可得. 因此. 30．（2026高二·四川遂宁·月考）为回馈广大消费者对商场的支持与关心，商场决定开展抽奖活动：限定日累计消费满200元的顾客可以参加一次抽奖活动；已知一抽奖箱中放有8只除颜色外其它完全相同的彩球，其中仅有5只彩球是红色．现从抽奖箱中一个一个地取出彩球，共取三次，取到三个都是红球的消费者可获得代金券120元，恰好取到两个红色球的消费者可获得代金券80元，恰好取到一个红色球的消费者可获得代金券40元.取到红色球的个数记为X，参与活动的每位消费者获得代金券的金额记为Y元． (1)若取球过程是无放回的，求” ”时的概率； (2)若取球过程是有放回的，求X的概率分布列及数学期望 【答案】(1) (2)分布列见解析，， 【分析】（1）首先分析代金券的金额与对应取到红球的个数，再根据超几何分布求概率； （2）若取球过程是有放回的，则随机变量服从二项分布，根据二项分布的概率公式求分布列和数学期望；，根据期望的性质，即可求解. 【详解】（1）取到红色球的个数记为X，获得一、二、三等奖分别对应于、、 根据超几何分布可知： （2）随机变量X的可能取值为：0，1，2，3；且， ，，1，2，3 X的分布列如下： X 0 1 2 3 P 所以 因为，所以. 31．（2026高二·内蒙古赤峰·期中）我市拟建立一个博物馆，采取竞标的方式从多家建筑公司选取一家建筑公司，经过层层筛选，甲、乙两家建筑公司进入最后的招标.现从建筑设计院聘请专家设计了一个招标方案：两家公司从6个招标问题中随机抽取3个问题，已知这6个招标问题中，甲公司能正确回答其中4道题目，而乙公司能正确回答每道题目的概率均为 ，甲、乙两家公司对每题的回答都是相互独立，互不影响的. (1)求甲公司至少答对2道题目的概率； (2)分别求甲、乙两家公司答对题数的分布列，请从期望和方差的角度分析，甲、乙两家哪家公司竞标成功的可能性更大? 【答案】(1) (2)分布列见解析，甲公司竞标成功的可能性更大，分析见解析 【分析】（1）利用超几何分布求出甲公司回答对2道题和3道题的概率即可求出结果； （2）根据超几何分布和二项分布求出甲、乙两家公司答对题数对应的概率，进而得到分布列，再求两个随机变量的期望和方差，由此作出判断即可. 【详解】（1）由题意可知甲公司至少答对2道题目可分为答对2题和答对3题， 所求概率. （2）设甲公司正确完成面试的题数为，则的可能取值为1，2，3， ，，， 则的分布列为 1 2 3 所以，， 设乙公司正确完成面试的题数为，则的可能取值为0，1，2，3， ，， ，， 则的分布列为 0 1 2 3 所以， ， 由于，，所以甲公司竞标成功的可能性更大. 32．（2026·云南昆明·模拟预测）某校举行知识竞赛，最后一个名额要在A，B两名同学中产生，测试方案如下：A，B两名学生各自从给定的4个问题中随机抽取3个问题作答，在这4个问题中，已知A能正确作答其中的3个，B能正确作答每个问题的概率都是，A，B两名同学作答问题相互独立． (1)求A，B两名同学恰好共答对2个问题的概率； (2)若让你投票决定参赛选手，你会选择哪名学生，简要说明理由． 【答案】(1) (2)应该选择学生，理由见解析 【分析】（1）根据离散型随机变量以及古典概型的概率公式，结合概率乘法公式，可得答案； （2）根据数学期望以及方差的意义，可得答案. 【详解】（1）设同学答对的题数为，则随机变量的所有可能取值为，. 则，； 设同学答对的题数为，则随机变量的所有可能取值为，，，. ，， ，. 所以，两名同学恰好共答对个问题的概率为. （2）由（1）知，，； 而，. 因为，<．所以应该选择学生． 33．（2026高三·全国·一轮复习）某社区组织开展“扫黑除恶”宣传活动，为鼓励更多的人积极参与到宣传活动中来，宣传活动现场设置了抽奖环节．在盒中装有9张大小相同的精美卡片，卡片上分别印有“扫黑除恶利国利民”或“普法宣传人人参与”图案．抽奖规则：参加者从盒中抽取卡片两张，若抽到两张分别是“普法宣传人人参与”和“扫黑除恶利国利民”卡即可获奖，否则，均为不获奖．卡片用后放回盒子，下一位参加者继续重复进行．活动开始后，一位参加者问：“盒中有几张‘普法宣传人人参与’卡？”主持人答：“我只知道，从盒中抽取两张都是‘扫黑除恶利国利民’卡的概率是．” (1)求抽奖者获奖的概率； (2)为了增加抽奖的趣味性，规定每个抽奖者先从装有9张卡片的盒中随机抽出1张不放回，再用剩下8张卡片按照之前的抽奖规则进行抽奖，现有甲、乙、丙三人依次抽奖，用X表示获奖的人数，求X的分布列和均值． 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）设“扫黑除恶利国利民”卡有n张，根据题意求出n，再计算抽奖者获奖的概率即可； （2）在新规则下，每个抽奖者获奖的概率为，则X～B，写出分布列和期望即可． 【详解】（1）设“扫黑除恶利国利民”卡有n张，由＝，得n＝4， 故“普法宣传人人参与”卡有5张，抽奖者获奖的概率为＝． （2）在新规则下，每个抽奖者获奖的概率为×＋×＝， 所以X～B，则，（k＝0，1，2，3）， X的分布列为 X 0 1 2 3 P 所以E(X)＝3×＝． 1．（2026·辽宁）设袋中有80个红球，20个白球，若从袋中任取10个球，则其中恰有6个红球的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据超几何分布的概率公式即可求解. 【详解】从袋中有80个红球，20个白球，若从袋中任取10个球共有种取法， 恰好有6个红球，则有4个白球，故取法有中， 由古典概型的概率公式得概率为. 故选：D 2．（2026·浙江·模拟预测）已知5件产品中有2件次品，3件正品，检验员从中随意抽取2件进行检测，记取到的正品数为，则数学期望为(    ) A． B． C．1 D． 【答案】D 【分析】服从超几何分布，求出的分布列，根据数学期望的计算方法计算即可． 【详解】方法一：可能取0，1，2，其对应的概率为， ∴． 方法二：由题可知，服从超几何分布，故． 故选：D． 3．（2026高二·全国·课堂例题）在含有5名男生的100名学生中，任选3人，则恰有2名男生的概率表达式为______． 【答案】 【分析】利用组合数和古典概型的概率公式求解即可. 【详解】由超几何分布的概率公式得所求概率表达式为． 故答案为：. 4．（2026高二·全国·课后作业）一个袋中装有6个形状大小完全相同的小球，其中红球有3个，编号为1，2，3；黑球有2个，编号为1，2；白球有1个，编号为1.现从袋中依次随机抽取3个球. (1)求取出的3个球的颜色都不相同的概率； (2)记取得1号球的个数为随机变量，求随机变量的分布列. 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）利用古典概型的概率公式求解即可， （2）由题意可得0，1，2，3，然后求出其对应的概率，从而可得分布列 【详解】（1）从袋中一次随机抽取3个球，基本事件总数，取出的3个球的颜色都不相同包含的基本事件的个数为， 所以取出的3个球的颜色都不相同的概率. （2）由题意知0，1，2，3. ， ， ， . 所以的分布列为 0 1 2 3 5．（2026高二·全国·课堂例题）一个袋中装有6个形状、大小完全相同的小球，其中红球有3个，编号为1，2，3；黑球有2个，编号为1，2；白球有1个，编号为1．现从袋中一次随机抽取3个球，若记取到白球的个数为随机变量，求随机变量的分布列， 【答案】答案见解析 【分析】利用两点分布可求的分布列. 【详解】由题意可知，服从两点分布． 又， 所以的分布列为 0 1 6．（2026高二·全国·课堂例题）一个袋中装有6个形状、大小完全相同的小球，其中红球有3个，编号为1，2，3；黑球有2个，编号为1，2；白球有1个，编号为1．现从袋中有放回地抽取3次球，每次抽取1个球， (1)求取出的3个球的颜色都不相同的概率； (2)记取得1号球的个数为随机变量，求随机变量的分布列． 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）利用古典概型的概率公式即可求得； （2）由题意知的可能取值有，分别求出相应的概率，写出随机变量的分布列即可． 【详解】（1）取出3个球颜色都不相同的概率． （2）由题意知． ． ． 所以的分布列为 0 1 2 3 7．（2026高二·上海崇明·期末）从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛，设随机变量X表示所选3人中女生的人数，求： (1)“所选3人中女生人数”的概率； (2)X的期望与方差. 【答案】(1) (2)； 【分析】（1）“所选3人中女生人数”的概率，由此能求出结果． （2）由题意的可能取值为0，1，2，分别求出相应的概率，由此能求出的分布列．由的分布列能求出的均值和方差． 【详解】（1）“所选3人中女生人数”的概率： ． （2）从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛， 设随机变量表示所选3人中女生的人数， 的可能取值为0，1，2， ，，， 的分布列为： 0 1 2 的均值． 的方差． 8．（2026高二·全国·课后作业）为发展业务，某调研组对两个公司的产品需求量进行调研，准备从国内7个人口超过1500万的超大城市和个人口低于200万的小城市中随机抽取若干个进行统计，若一次抽取2个城市，则全是小城市的概率为. （1）求的值； （2）若一次抽取4个城市，则 ①假设取出小城市的个数为，求的分布列； ②若取出的4个城市是同一类城市，求全为超大城市的概率. 【答案】（1）；（2）①分布列答案见解析；②. 【解析】（1）这是一个古典概型，先求得从个城市取出2个的方法数，再得到全是小城市的情况的方法数，然后代入公式由概率为求解.， （2）①由题意知的所有可能取值为0，1，2，3，4，然后分别求得相应的概率，然后列出分布列；②分4个城市全是超大城市和4个城市全是小城市，再由古典概型的概率求解 【详解】（1）由题意知，共个城市，取出2个的方法总数是， 其中全是小城市的情况有种， 故全是小城市的概率是， 整理得， 即， .， . （2）①由题意可知的所有可能取值为0，1，2，3，4. ， . 故的分布列为 0 1 2 3 4 ②若4个城市全是超大城市，共有种情况； 若4个城市全是小城市，共有种情况， 故全为超大城市的概率为. 【点睛】方法点睛：(1)求解离散型随机变量X的分布列的步骤：①理解X的意义，写出X可能取的全部值；②求X取每个值的概率；③写出X的分布列．(2)求离散型随机变量的分布列的关键是求随机变量所取值对应的概率，在求解时，要注意应用计数原理、古典概型等知识． 9．（2026高二·浙江温州·期末）三门是“中国青蟹之乡”，气候温暖、港湾平静、水质优良，以优越的自然环境成为我国优质青蟹的最佳产区.所产的三门青蟹具有“金爪、绯钳、青背、黄肚”的特征，以“壳薄、皆黄、肉嫩、味美”而著称，素有“三门青蟹、横行世界”之美誉；且营养丰富，内含人体所需的18种氨基酸和蛋白质、脂肪、钙、磷、铁等营养成分，被誉为“海中黄金，蟹中臻品”.养殖户一般把重量超过350克的青蟹标记为类青蟹 (1)现有一个小型养蟹池，已知蟹池中有50只青蟹，其中类青蟹有7只，若从池中抓了2只青蟹，用表示其中类青蟹的只数，请写出的分布列，并求的数学期望； (2)另有一个养蟹池，为估计蟹池中的青蟹数目，小王先从中抓了50只青蟹，做好记号后放回池中，过了一段时间后，再从中抓了20只青蟹，发现有记号的有只，若，试给出蟹池中青蟹数目的估计值（以使取得最大值的为估计值）. 【答案】(1)分布列见解析， (2)或200 【分析】（1）的取值为0，1，2，由古典概型概率公式求出对应概率，从而可得分布列，进而可求的数学期望； （2）设，判断增减性，可得时，，时，，进而可得答案. 【详解】（1）由题意的取值为0，1，2 ，， 分布列为 0 1 2 （2）设 ， 所以时， 时，，时， 所以当或200时，最大，估计蟹池中青蟹数目为199或200只 10．（2026高二·全国·课堂例题）为了解决某地区教师资源匮乏的问题，某市教育局拟从5名优秀教师中抽选人员分批次参与支教活动．支教活动共分为三批次，每批次支教需要同时派送2名教师，且每批次派送人员均从这5人中随机抽选．已知这5名优秀教师中，2人有支教经验，3人没有支教经验． (1)求甲在这三批次支教活动中恰有两次被抽到的概率； (2)求第一批次抽到没有支教经验的教师人数的分布列； (3)第二批次抽到没有支教经验的教师人数最有可能是多少？请说明理由． 【答案】(1) (2)答案见解析 (3)1，理由见解析 【分析】（1）由独立重复事件的概率公式求解即可； （2）先写出的可能取值，再求出每个值的概率即可求解； （3）设表示第二次抽取到的无支教经验的教师人数可能的取值为0，1，2，分别求出相应的概率，比较的大小关系，由此可得出结论. 【详解】（1）由题意，得甲每批次被抽到的概率为， 则甲在这三批次支教活动中恰有两次被抽到的概率． （2）的可能取值为0，1，2． ．所以的分布列为 0 1 2 （3）设为第二批次抽到没有支教经验的教师人数，则的可能取值为0，1，2． ， ， ． 因为，所以第二批次抽到没有支教经验的教师人数最有可能是1． 11．（2026高二·全国·课后作业）一批产品共10件，次品率为20%，从中任取2件，则恰好取到1件次品的概率为(　　) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据古典概率计算公式结合组合数计算即可求解． 【详解】由题意知10件产品中有2件次品，故所求概率为P(X＝1)＝＝． 故选：B 12．（2026高二·全国·课后作业）从一副不含大王、小王的52张扑克牌中任意抽出5张，则至少有3张A的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求得从不含大王、小王的52张扑克牌中任意抽出5张的方法数，再求得至少有3张的方法数，利用古典概型概率求解. 【详解】从不含大王、小王的52张扑克牌中任意抽出5张有种方法， 则至少有3张有种方法， 所以设X为抽出的5张扑克牌中含A的张数， 则P(X≥3)＝P(X＝3)＋P(X＝4)＝. 故选：D 13．（2026高二·全国·课堂例题）已知一不透明盒子中有围棋子10粒，其中7粒黑子，3粒白子．任意取出2粒，若表示取得白子的个数，则的均值______． 【答案】/ 【分析】方法一：随机变量的可能取值为0，1，2，利用超几何分布求得对应的概率，利用数学期望公可求数学期望.方法二：利用超几何分布的概率公式求解即可. 【详解】方法一：随机变量的可能取值为0，1，2， 则． 所以． 方法二：由题意知，随机变量服从超几何分布，其中， 则由超几何分布的均值公式知． 故答案为：. 14．（2026高二·全国·课堂例题）一个袋中装有10个红色球，20个白色球，现从中任取5个小球，令随机变量表示取出的5个小球中红色球的个数，随机变量表示取出的5个小球中白色球的个数，试问：随机变量，是否服从超几何分布？若服从超几何分布，它们的参数分别是多少？ 【答案】答案见解析 【分析】根据超几何分布的定义可求解. 【详解】根据超几何分布的定义可知，随机变量服从参数为的超几何分布， 随机变量服从参数为的超几何分布． 15．（2026高二·山东德州·期末）某商场为了促进消费，推出购物优惠活动，消费者购物每满300元可参加一次抽奖，抽奖活动如下：抽奖箱设置3个红球和2个白球，每次抽取2个球．若抽中2个白球，返现金50元；若抽中1个红球和1个白球，返现金30元；若抽中2个红球，返现金20元． (1)顾客A恰好消费了300元，设他所获得返现金额为随机变量X．求X的分布列与数学期望； (2)顾客B消费了1000元． ①顾客B获得返现金额为90元的概率是多少? ②若该商场同时还推出购物享九折优惠活动（减免总金额的10%），则顾客B应选择哪种方案更优惠?（备注：不能同时参加抽奖和打折活动） 【答案】(1)分布列见解析， (2)①；②打折更划算 【分析】（1）先求出随机变量的所有取值，再求出其概率，从而可求出分布列，再根据期望公式求期望即可； （2）①由题意刚好可以抽三次，每次返现金都是30元或者两次20元，一次50元，从而可求出所求概率； ②对于打折和抽奖，分别算出每种情况的优惠，然后对比即可. 【详解】（1）由题意X可能取值为20，30，50， 则，，， 则X的分布列如下表： X 20 30 50 P 由期望公式可得； （2）①由题意刚好可以抽三次，获得90元返现的情况为：三次抽奖每次返现金都是30元或者两次20元，一次50元， 则概率为； ②若打九折，需支付金额为：（元） 由（1）知每次抽中的均值为29元，则抽取三次总的均值为：（元）， 因为，故打折更划算． 16．（2026高三·河北秦皇岛·期末）为研究浙江省小微企业发展状况，某研究机构从“雏鹰计划”项目库中随机抽取 100 家企业进行调研，统计数据显示，这些企业上年度的营业收入增幅（单位：%）分布情况如下： 增幅分组 企业数量 5 20 30 25 20 注：规定营业收入增幅不低于 30% 的企业为“高成长型企业”. (1)根据以上数据，估计这 100 家企业营业收入增幅的平均值（计算时取各组的组中值代表该组数据）； (2)为进一步研究高成长型企业，现采用分层抽样的方式，从“高成长型企业”中选取 9 家，再从 9 家企业中不放回地抽取 2 家进行实地调研，设抽中 的数量为 ，写出 的概率分布列，并求其数学期望 . 【答案】(1) (2)分布列见解析； 【分析】（1）利用平均数公式计算即可； （2）利用超几何分布求出 的概率分布列，结合数学期望即可求出. 【详解】（1）根据以上数据，估计这 100 家企业营业收入增幅的平均值为 （2）营业收入增幅不低于 30% 的企业为“高成长型企业”中，占家，占家， 所以“高成长型企业”中选取 9 家中，抽取：家， 抽取：家； 从 9 家企业中不放回地抽取 2 家进行实地调研，设抽中 的数量为 ， 所以可能取值为：， 所以， ， ， 则 的概率分布列为： 17．（2026·浙江·模拟预测）某高新区对7家企业的研发投入与专利产出数进行调研，数据如下： 企业 研发投入（万元） 300 600 900 1200 2000 2800 4000 年度专利产出数（件） 3 5 7 6 9 10 11 (1)现从这7家企业中随机抽取1家.记事件：抽到的企业“研发投入不超过2000万元”；事件：抽到的企业“专利产出数超过8件”. （i）求条件概率的值； （ii）判断事件与是否相互独立，并说明理由； (2)从这7家企业中随机抽取3家企业进行重点扶持，记其中专利产出数大于6件的企业数为随机变量，求的分布列和数学期望. 【答案】(1)（i）；（ii）不相互独立，理由见解析 (2)分布列见解析， 【分析】（1）（i）已知和，用条件概率公式计算. （ii）法1：比较和判断；法2：验证与是否相等判断. （2）利用超几何分布概率公式计算概率得分布列，再用期望公式求. 【详解】（1）（i），， . （ii）事件M与N不相互独立 理由如下： 法1：利用条件概率： ，， ， 所以，不相互独立. 法2：利用独立性定义： ，， ， 所以，不相互独立. （2）这7家企业中，专利产出数大于6的企业有4家，所以的所有可能取值为， （服从超几何分布，） ，， ，， 故的分布列为： X 0 1 2 3 P 故的数学期望. 18．（2026·重庆·模拟预测）某地区从高一年级的物理测试中随机抽取了100名学生的物理成绩，整理得到如图所示的频率分布直方图． (1)该地区某学校建议此次物理测试成绩在本地区前的学生选科报物理方向，试估计报物理方向的学生本次成绩不低于多少分？（结果保留整数） (2)从成绩位于区间和的答卷中，采用分层抽样随机抽取7份，再从这7份中随机抽取3份，设成绩在的答卷份数为随机变量，求的分布列及数学期望． 【答案】(1)72分 (2)分布列见解析， 【分析】（1）根据频率分布直方图中所有小矩形的面积和为1，可求得a值，分析可得选报物理方向的最低分在内，根据x值右侧面积和为，即可求得答案. （2）求出成绩在区间和的人数，分析可得X的可能取值，求出各个取值对应的概率，列出分布列，求出期望即可. 【详解】（1）由题意，解得， 成绩在的频率为0.1，在的频率为0.25，在的频率为0.3， 因为， 所以选报物理方向的最低分在内，则， 解得，所以估计报物理方向的学生本次成绩不低于72分． （2）由题可知，成绩在区间的频数为， 成绩在区间的频数为， 利用分层抽样，从中抽取7份，成绩在的频数为， 成绩在的频数为， 再从这7份答卷中随机抽取3份，的所有可能取值为， ， 故的分布列为： 0 1 2 所以的数学期望为：． 19．（2026高三·上海虹口·月考）在运用人工智能时，要避免AI幻觉，即AI模型解决一次问题生成看似合理但实际不正确的信息现象，AI幻觉率是指AI模型产生AI幻觉的概率，现抽取了市面上9个使用率较高的AI模型，其幻觉率如下表所示． AI模型 1 2 3 4 5 6 7 8 9 幻觉率 0.13 0.18 0.29 0.15 0.19 0.29 0.3 0.16 0.4 (1)若独立地重复使用AI模型7处理8个不相关的问题，记随机变量为这8个问题回答中出现AI幻觉的个数，求； (2)若从这9个AI模型中随机抽取3个模型解答同一问题，以此避免AI幻觉，记随机变量为这3个模型中AI幻觉率小于0.2的个数，求； (3)在调查研究中发现，使用AI模型9解决相关问题时会出现较为有趣的现象，若当前问题解答出现了AI幻觉，则下一个有关问题的解答出现AI幻觉的概率为0.5，若当前问题解答不出现AI幻觉，则下一个有关问题的解答出现AI幻觉的概率为0.2，那么若运用AI模型9解答5个相关问题，比较第1个问题与第5个问题出现AI幻觉率的大小． 【答案】(1)2.4 (2) (3)第1个问题出现AI幻觉的概率比第5个问题出现AI幻觉的概率大 【分析】（1）应用二项分布的期望求法求期望； （2）由超几何分布的概率求法求分布列，进而求期望，结合期望与方差的关系求方差； （3）应用全概率公式依次求出前5个问题的概率，比较大小即可得. 【详解】（1）由题得，随机变量，故. （2）由题可得，，其中. 则，，，. 故随机变量的分布列为，故. 故，所以. （3）设事件：解答第个问题出现幻觉，则. 由全概率公式知，. 代入，整理得，其中，. 依次计算得，，，. 因此，，即第1个问题出现AI幻觉的概率比第5个问题出现AI幻觉的概率大. 20．（2026高二·广西柳州·期中）2025年1月下旬，DeepSeek的R1模型发布，该模型在全球范围内引发广泛关注.现为了对其产品用户的使用行为进行统计分析，收集了1000名用户的每日使用时长（单位：分钟），得到如下所示的频率分布直方图，每日使用时长不小于60分钟的用户称为“忠实粉丝”. (1)求的值； (2)现采用分层抽样的方法从样本中使用时长在的用户中随机抽取7人，并从中随机抽取2人作进一步分析，记为2人中忠实粉丝的人数，求的分布列和期望. (3)用样本的频率估计概率，从该产品所有用户中抽取5人，为忠实粉丝的人数，记时对应的概率为，则为多少时最大？ 【答案】(1) (2)分布列见解析， (3) 【分析】（1）根据频率之和为1即可求解； （2）根据超几何分布的概率求解分布列，即可求解； （3）根据二项分布以及组合数的计算即可求解. 【详解】（1）由，解得. （2）由频率分布直方图可知，[40,60）与[80,100）的用户数之比为3：4， 所以用分层抽样抽取的7人中，有4人是忠实粉丝，从7人中任取2人，取0，1，2， ， 所以的分布列为 0 1 2 所以 （3）用样本的频率估计概率，从所有用户中任取1人，他为忠实粉丝的概率为 所以 ， 解得：，又，故时概率最大 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！26 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $2025-2026学年高二数学同步知识·题型解题秘籍精讲精练讲义（人教A版2019选择性必修第三册） 7.4.2超几何分布5题型分类 一、超几何分布 一般地，假设一批产品共有N件，其中有M件次品，从N件产品中随机抽取n件(不放回)，用X表示抽取的n件产品中的次品数，则X的分布列为，k＝m，m＋1，m＋2，…，r.其中n，N，M∈N* ，M≤N，n≤N，m＝max{0，n－N＋M}，r＝min{n，M}．如果随机变量X的分布列具有上式的形式，那么称随机变量X服从超几何分布． 二、超几何分布的期望 E(X)＝＝np(p为N件产品的次品率)． （一） 超几何分布 1.一般地，假设一批产品共有N件，其中有M件次品，从N件产品中随机抽取n件(不放回)，用X表示抽取的n件产品中的次品数，则X的分布列为 ，k＝m，m＋1，m＋2，…，r. 2.超几何分布是一种常见的随机变量的分布，所求概率分布问题由明显的两部分组成，或可转化为明显的两部分. 题型1：超几何分布的判断 1．（2026高三·上海·随堂练习）下列关于超几何分布的命题中错误的命题是（    ）． A．超几何分布的模型是不放回抽样 B．超几何分布里的总体可以有两类或三类特点 C．超几何分布中的参数是 D．超几何分布的总体往往是由差异明显的两部分组成的 2．（2026高二·全国·课后作业）下列问题中，哪些属于超几何分布问题，说明理由． (1)抛掷三枚骰子，所得向上的数是的骰子的个数记为，求的分布列； (2)有一批种子的发芽率为，任取颗种子做发芽实验，把实验中发芽的种子的个数记为，求的分布列； (3)盒子中有红球只，黄球只，蓝球只，任取只球，把不是红色的球的个数记为，求的分布列； (4)某班级有男生人，女生人．选派名学生参加学校组织的活动，班长必须参加，其中女生人数记为，求的分布列； (5)现有台平板电脑未经检测，抽取台送检，把检验结果为不合格的平板电脑的个数记为，求的分布列． 3．（2026高二·全国·课后作业）下列随机变量中，服从超几何分布的有______．（填序号） ①在10件产品中有3件次品，每次随机取1件且不放回，共取4次，记取到的次品数为X； ②从3台甲型电视机和2台乙型电视机中任取2台，记X表示所取的2台电视机中甲型电视机的台数； ③一名学生骑自行车上学，途中有6个交通岗，记此学生遇到红灯数为随机变量X． 4．【多选】（2026高三·全国·专题练习）下列随机事件中的随机变量X的分布列服从超几何分布的是（    ） A．抛掷三枚骰子，所得向上的数是6的骰子的个数记为 B．有一批种子的发芽率为，任取颗种子做发芽试验，把试验中发芽的种子的个数记为 C．盒子中有红球个，黄球个，蓝球个，任取个球，把不是红色的球的个数记为 D．某班级有男生人，女生人，选派名学生参加学校组织的活动，其中女生人数记为 题型2：超几何分布的概率 5．（2026高二·广东东莞·阶段检测）一个盒子里装有大小，材质均相同的黑球10个，红球12个，白球3个，从中任取3个，其中白球的个数记为，则等于的是（    ） A． B． C． D． 6．（2026高二·北京昌平·期末）某校组织一次认识大自然的夏令营活动，有6名同学参加，其中有4名男生、2名女生．现从这6名同学中随机抽取3名同学去采集自然标本，则抽到的3名同学中至少有1名女生的概率为__________． 7．（2026高三·天津西青·阶段检测）某学习小组有男生4人，女生3人，现需从中抽取2人参加学校开展的AI人工智能学习，则恰有一名男生参加的概率为______；在有女生参加学习的条件下，恰有一名女生参加AI人工智能学习的概率为______. 8．（2026高二·江苏南京·期末）某工厂生产车间有日生产件数为95件的“生产标兵”3人，有日生产件数为55件的“新手”2人，从这5人中任意抽取2人，则2人的日生产件数之和为150件的概率为__________． 9．（2026高三·北京·开学考试）袋中有5个形状相同的乒乓球，其中3个黄色2个白色，现从袋中随机取出3个球，则恰好有2个黄色乒乓球的概率是______． 10．（2026高三·天津·一轮复习）一箱苹果共有12个苹果，其中有个是烂果，从这箱苹果中随机抽取3个．恰有2个烂果的概率为，则___． 11．（2026高二·浙江宁波·期末）小卖部推出一套20张不同的角色卡，其中3张为稀有卡．若一次性抽取5张，则抽到的卡中至少有一张稀有卡的概率为（   ） A． B． C． D． 12．（2026高二·浙江台州·期中）为助力校园文创节，文创社准备了60枚文创徽章（红色款）、20枚文创书签（白色款），从其中随机选取10件文创产品作为活动奖品，则其中恰有6枚徽章的概率为（   ） A． B． C． D． （二） 超几何分布的综合应用 超几何分布的期望 E(X)＝＝np(p为N件产品的次品率)． 题型3：超几何分布均值与方差 13．（2026高二·山东德州·阶段检测）在名女生和名男生中任选人参加一项交流活动，设为抽到男生的人数，则为__________． 14．（2026·甘肃金昌·模拟预测）袋中有9个除颜色外完全相同的小球，其中2个白球，3个红球和4个黄球．每次不放回从袋中随机摸出一个球，共摸4次，记这4次摸球中，摸到黄球的个数为X，则随机变量X的数学期望为________． 15．（2026高二·江苏南京·期中）学校要从4名男教师和2名女教师中随机选出3人去支教，设抽取的人中女教师的人数为，则______. 16．（2026高二·山东青岛·期中）已知甲箱子中有3个白球和3个红球，乙箱子中有4个白球和3个红球.（两箱中的球除颜色外，没有其他区别） (1)若从甲箱中任取2个球，求摸出的2个球中的红球的个数的概率分布列和期望； (2)若先从甲箱中任取2个球放入乙箱中，然后再从乙箱中任取1个球. （i）求从乙箱中取出的球是白球的概率； （ii）若已知从乙箱中取出的球是白球，求从甲箱中取出2个同色球的概率. 17．（2026·广东东莞·模拟预测）一个袋子中有个大小相同的球，其中有4个红球、8个绿球，分别采用有放回和不放回的方式从中随机抽取3个球，设采用有放回方式抽取时抽到红球的个数为，采用不放回方式抽取时抽到红球的个数为. (1)求的概率; (2)求Y的分布列与数学期望. 18．（2026高三·陕西西安·月考）盲盒中有大小相同的3个红球，2个黑球，随机有放回的摸两次球，记X为摸到黑球的个数，随机无放回的摸两次球，记Y为摸到黑球的个数，则（ ） A．， B．， C．， D．， 19．（2026高二·陕西咸阳·阶段检测）一批笔记本电脑共有台，其中品牌台，品牌台.如果从中随机挑选台，设这台电脑中品牌的台数为，则（   ） A． B． C． D． 题型4：超几何分布的综合应用 20．（2026高二·北京昌平·期末）在全民抗击新冠肺炎疫情期间，北京市开展了“停课不停学”活动，此活动为学生提供了多种网络课程资源以供选择使用.活动开展一个月后，某学校随机抽取了高三年级的甲、乙两个班级进行网络问卷调查，统计学生每天的学习时间.这两个班级各有40名学生，均提供了有效的数据，将样本数据整理得到如下频率分布直方图： (1)已知该校高三年级共有600名学生，根据统计数据知，甲班每天学习时间不超过4小时的学生频率为0.05，乙班每天学习时间不超过4小时的学生频率为0.1，求甲、乙两班每天学习时间不超过4小时的学生各多少人？ (2)从甲、乙两个班级每天学习时间不超过4小时的学生中随机抽取3人，记从乙班抽到的学生人数为，求的分布列和数学期望； (3)记甲、乙两个班级学生每天学习时间的方差分别为，，试比较，的大小.（只需写出结论） 21．（2026高二·甘肃定西·阶段检测）为推动网球运动的发展，某网球比赛允许不同协会的运动员组队参加．现有来自甲协会的运动员名，其中种子选手名；乙协会的运动员名，其中种子选手名．从这名运动员中随机选择人参加比赛． (1)设事件为“选出的人中恰有名种子选手，且这名种子选手来自同一个协会”，求事件发生的概率； (2)设为选出的人中种子选手的人数，求随机变量的分布列及均值． 22．（2026高二·山东枣庄·阶段检测）为营造浓厚的全国文明城市创建氛围，积极响应创建全国文明城市号召，提高对创城行动的责任感和参与度，学校号召师生利用周末参与创城志愿活动.高二（1）班某小组有男生4人，女生2人，现从中随机选取2人作为志愿者参加活动. (1)求在有女生参加活动的条件下，恰有一名女生参加活动的概率； (2)记参加活动的女生人数为X，求X的分布列及期望、方差. 23．（2026高二·安徽滁州·阶段检测）已知盒中放有个乒乓球，其中个是新的，个是旧的第一次比赛时，从中一次性任意取出个来用，用完后仍放回盒中新球用后成了旧球；第二次比赛时从中任意取出个． (1)记第一次比赛时从盒中取出的个球中旧球的个数为，求的分布列与数学期望； (2)求第二次比赛时取出的球为新球的概率． 24．（2026高二·江西·阶段检测）甲罐中有4个红球和3个白球，乙罐中有3个红球和2个白球（球除颜色外，大小质地均相同）. (1)若从甲罐中取出3个球，记为取出的红球的个数，求的分布列和期望. (2)若从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别表示从甲罐中取出的球是红球，白球；再从乙罐中随机取出一球，表示从乙罐中取出的球是红球.求和. 题型5：超几何分布和二项分布的辨析 25．（2026高二·江苏连云港·期末）一个袋子中有10个大小相同的球，其中有4个红球、6个白球，从中随机地摸出2个球作为样本，用X表示样本中红球的个数． (1)若有放回摸球，求X的分布列； (2)若不放回摸球，求X的分布列． 26．（2026高二·浙江·期中）某商店举办促销活动，顾客消费后可参与抽奖．盒子中有个大小､形状完全相同的小球，其中红球个，白球个．顾客从中一次性抽取个小球，若抽到两个小球中有红球，则获得一份纪念品． (1)求一位顾客获得纪念品的概率； (2)若某家庭个人到店消费，均独立获得抽奖资格并参加抽奖活动，记三人获得纪念品的份数为，求的分布列与数学期望． 27．（2026高二·江苏南京·期末）某公司生产一种电子产品，每批产品进入市场之前，需要对其进行检测，现从某批产品中随机抽取10箱进行检测，其中有6箱为一等品． (1)现从这10箱产品中随机抽取3箱，求这三箱中恰有两箱是一等品的概率； (2)用频率估计概率，在这批产品中随机抽取3箱，用表示抽到一等品的箱数，求的分布列和数学期望． 28．（2026高二·全国·课后作业）高三某班的联欢会上设计了一项游戏：在一个口袋中装有10个红球，20个白球，这些球除颜色外完全相同，现依次从中摸出5个球．规定摸到4个红球，1个白球的就中一等奖． (1)若摸出后放回，求中一等奖的概率； (2)若摸出后不放回，①求中一等奖的概率；②若至少摸到3个红球就中奖，求中奖的概率． 29．（2026高二·北京房山·期末）人工智能（简称）的相关技术首先在互联网开始应用，然后陆续普及到其他行业. 某公司推出的软件主要有四项功能：“视频创作”、“图像修复”、“语言翻译”、“智绘设计”. 为了解某地区大学生对这款软件的使用情况，从该地区随机抽取了名大学生，统计他们最喜爱使用的软件功能（每人只能选一项），统计结果如下： 软件功能 视频创作 图像修复 语言翻译 智绘设计 大学生人数 假设大学生对软件的喜爱倾向互不影响. (1)从该地区的大学生中随机抽取人，试估计此人最喜爱“视频创作”的概率； (2)采用分层抽样的方式先从名大学生中随机抽取人，再从这人中随机抽取人，其中最喜爱“视频创作”的人数为，求的分布列和数学期望； (3)从该地区的大学生中随机抽取人，其中最喜爱“视频创作”的人数为，的方差记作，（2）中的方差记作，比较与的大小. （结论不要求证明） 30．（2026高二·四川遂宁·月考）为回馈广大消费者对商场的支持与关心，商场决定开展抽奖活动：限定日累计消费满200元的顾客可以参加一次抽奖活动；已知一抽奖箱中放有8只除颜色外其它完全相同的彩球，其中仅有5只彩球是红色．现从抽奖箱中一个一个地取出彩球，共取三次，取到三个都是红球的消费者可获得代金券120元，恰好取到两个红色球的消费者可获得代金券80元，恰好取到一个红色球的消费者可获得代金券40元.取到红色球的个数记为X，参与活动的每位消费者获得代金券的金额记为Y元． (1)若取球过程是无放回的，求” ”时的概率； (2)若取球过程是有放回的，求X的概率分布列及数学期望 31．（2026高二·内蒙古赤峰·期中）我市拟建立一个博物馆，采取竞标的方式从多家建筑公司选取一家建筑公司，经过层层筛选，甲、乙两家建筑公司进入最后的招标.现从建筑设计院聘请专家设计了一个招标方案：两家公司从6个招标问题中随机抽取3个问题，已知这6个招标问题中，甲公司能正确回答其中4道题目，而乙公司能正确回答每道题目的概率均为 ，甲、乙两家公司对每题的回答都是相互独立，互不影响的. (1)求甲公司至少答对2道题目的概率； (2)分别求甲、乙两家公司答对题数的分布列，请从期望和方差的角度分析，甲、乙两家哪家公司竞标成功的可能性更大? 32．（2026·云南昆明·模拟预测）某校举行知识竞赛，最后一个名额要在A，B两名同学中产生，测试方案如下：A，B两名学生各自从给定的4个问题中随机抽取3个问题作答，在这4个问题中，已知A能正确作答其中的3个，B能正确作答每个问题的概率都是，A，B两名同学作答问题相互独立． (1)求A，B两名同学恰好共答对2个问题的概率； (2)若让你投票决定参赛选手，你会选择哪名学生，简要说明理由． 33．（2026高三·全国·一轮复习）某社区组织开展“扫黑除恶”宣传活动，为鼓励更多的人积极参与到宣传活动中来，宣传活动现场设置了抽奖环节．在盒中装有9张大小相同的精美卡片，卡片上分别印有“扫黑除恶利国利民”或“普法宣传人人参与”图案．抽奖规则：参加者从盒中抽取卡片两张，若抽到两张分别是“普法宣传人人参与”和“扫黑除恶利国利民”卡即可获奖，否则，均为不获奖．卡片用后放回盒子，下一位参加者继续重复进行．活动开始后，一位参加者问：“盒中有几张‘普法宣传人人参与’卡？”主持人答：“我只知道，从盒中抽取两张都是‘扫黑除恶利国利民’卡的概率是．” (1)求抽奖者获奖的概率； (2)为了增加抽奖的趣味性，规定每个抽奖者先从装有9张卡片的盒中随机抽出1张不放回，再用剩下8张卡片按照之前的抽奖规则进行抽奖，现有甲、乙、丙三人依次抽奖，用X表示获奖的人数，求X的分布列和均值． 1．（2026·辽宁）设袋中有80个红球，20个白球，若从袋中任取10个球，则其中恰有6个红球的概率为（    ） A． B． C． D． 2．（2026·浙江·模拟预测）已知5件产品中有2件次品，3件正品，检验员从中随意抽取2件进行检测，记取到的正品数为，则数学期望为(    ) A． B． C．1 D． 3．（2026高二·全国·课堂例题）在含有5名男生的100名学生中，任选3人，则恰有2名男生的概率表达式为______． 4．（2026高二·全国·课后作业）一个袋中装有6个形状大小完全相同的小球，其中红球有3个，编号为1，2，3；黑球有2个，编号为1，2；白球有1个，编号为1.现从袋中依次随机抽取3个球. (1)求取出的3个球的颜色都不相同的概率； (2)记取得1号球的个数为随机变量，求随机变量的分布列. 5．（2026高二·全国·课堂例题）一个袋中装有6个形状、大小完全相同的小球，其中红球有3个，编号为1，2，3；黑球有2个，编号为1，2；白球有1个，编号为1．现从袋中一次随机抽取3个球，若记取到白球的个数为随机变量，求随机变量的分布列， 6．（2026高二·全国·课堂例题）一个袋中装有6个形状、大小完全相同的小球，其中红球有3个，编号为1，2，3；黑球有2个，编号为1，2；白球有1个，编号为1．现从袋中有放回地抽取3次球，每次抽取1个球， (1)求取出的3个球的颜色都不相同的概率； (2)记取得1号球的个数为随机变量，求随机变量的分布列． 7．（2026高二·上海崇明·期末）从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛，设随机变量X表示所选3人中女生的人数，求： (1)“所选3人中女生人数”的概率； (2)X的期望与方差. 8．（2026高二·全国·课后作业）为发展业务，某调研组对两个公司的产品需求量进行调研，准备从国内7个人口超过1500万的超大城市和个人口低于200万的小城市中随机抽取若干个进行统计，若一次抽取2个城市，则全是小城市的概率为. （1）求的值； （2）若一次抽取4个城市，则 ①假设取出小城市的个数为，求的分布列； ②若取出的4个城市是同一类城市，求全为超大城市的概率. 9．（2026高二·浙江温州·期末）三门是“中国青蟹之乡”，气候温暖、港湾平静、水质优良，以优越的自然环境成为我国优质青蟹的最佳产区.所产的三门青蟹具有“金爪、绯钳、青背、黄肚”的特征，以“壳薄、皆黄、肉嫩、味美”而著称，素有“三门青蟹、横行世界”之美誉；且营养丰富，内含人体所需的18种氨基酸和蛋白质、脂肪、钙、磷、铁等营养成分，被誉为“海中黄金，蟹中臻品”.养殖户一般把重量超过350克的青蟹标记为类青蟹 (1)现有一个小型养蟹池，已知蟹池中有50只青蟹，其中类青蟹有7只，若从池中抓了2只青蟹，用表示其中类青蟹的只数，请写出的分布列，并求的数学期望； (2)另有一个养蟹池，为估计蟹池中的青蟹数目，小王先从中抓了50只青蟹，做好记号后放回池中，过了一段时间后，再从中抓了20只青蟹，发现有记号的有只，若，试给出蟹池中青蟹数目的估计值（以使取得最大值的为估计值）. 10．（2026高二·全国·课堂例题）为了解决某地区教师资源匮乏的问题，某市教育局拟从5名优秀教师中抽选人员分批次参与支教活动．支教活动共分为三批次，每批次支教需要同时派送2名教师，且每批次派送人员均从这5人中随机抽选．已知这5名优秀教师中，2人有支教经验，3人没有支教经验． (1)求甲在这三批次支教活动中恰有两次被抽到的概率； (2)求第一批次抽到没有支教经验的教师人数的分布列； (3)第二批次抽到没有支教经验的教师人数最有可能是多少？请说明理由． 11．（2026高二·全国·课后作业）一批产品共10件，次品率为20%，从中任取2件，则恰好取到1件次品的概率为(　　) A． B． C． D． 12．（2026高二·全国·课后作业）从一副不含大王、小王的52张扑克牌中任意抽出5张，则至少有3张A的概率为（    ） A． B． C． D． 13．（2026高二·全国·课堂例题）已知一不透明盒子中有围棋子10粒，其中7粒黑子，3粒白子．任意取出2粒，若表示取得白子的个数，则的均值______． 14．（2026高二·全国·课堂例题）一个袋中装有10个红色球，20个白色球，现从中任取5个小球，令随机变量表示取出的5个小球中红色球的个数，随机变量表示取出的5个小球中白色球的个数，试问：随机变量，是否服从超几何分布？若服从超几何分布，它们的参数分别是多少？ 15．（2026高二·山东德州·期末）某商场为了促进消费，推出购物优惠活动，消费者购物每满300元可参加一次抽奖，抽奖活动如下：抽奖箱设置3个红球和2个白球，每次抽取2个球．若抽中2个白球，返现金50元；若抽中1个红球和1个白球，返现金30元；若抽中2个红球，返现金20元． (1)顾客A恰好消费了300元，设他所获得返现金额为随机变量X．求X的分布列与数学期望； (2)顾客B消费了1000元． ①顾客B获得返现金额为90元的概率是多少? ②若该商场同时还推出购物享九折优惠活动（减免总金额的10%），则顾客B应选择哪种方案更优惠?（备注：不能同时参加抽奖和打折活动） 16．（2026高三·河北秦皇岛·期末）为研究浙江省小微企业发展状况，某研究机构从“雏鹰计划”项目库中随机抽取 100 家企业进行调研，统计数据显示，这些企业上年度的营业收入增幅（单位：%）分布情况如下： 增幅分组 企业数量 5 20 30 25 20 注：规定营业收入增幅不低于 30% 的企业为“高成长型企业”. (1)根据以上数据，估计这 100 家企业营业收入增幅的平均值（计算时取各组的组中值代表该组数据）； (2)为进一步研究高成长型企业，现采用分层抽样的方式，从“高成长型企业”中选取 9 家，再从 9 家企业中不放回地抽取 2 家进行实地调研，设抽中 的数量为 ，写出 的概率分布列，并求其数学期望 . 17．（2026·浙江·模拟预测）某高新区对7家企业的研发投入与专利产出数进行调研，数据如下： 企业 研发投入（万元） 300 600 900 1200 2000 2800 4000 年度专利产出数（件） 3 5 7 6 9 10 11 (1)现从这7家企业中随机抽取1家.记事件：抽到的企业“研发投入不超过2000万元”；事件：抽到的企业“专利产出数超过8件”. （i）求条件概率的值； （ii）判断事件与是否相互独立，并说明理由； (2)从这7家企业中随机抽取3家企业进行重点扶持，记其中专利产出数大于6件的企业数为随机变量，求的分布列和数学期望. 18．（2026·重庆·模拟预测）某地区从高一年级的物理测试中随机抽取了100名学生的物理成绩，整理得到如图所示的频率分布直方图． (1)该地区某学校建议此次物理测试成绩在本地区前的学生选科报物理方向，试估计报物理方向的学生本次成绩不低于多少分？（结果保留整数） (2)从成绩位于区间和的答卷中，采用分层抽样随机抽取7份，再从这7份中随机抽取3份，设成绩在的答卷份数为随机变量，求的分布列及数学期望． 19．（2026高三·上海虹口·月考）在运用人工智能时，要避免AI幻觉，即AI模型解决一次问题生成看似合理但实际不正确的信息现象，AI幻觉率是指AI模型产生AI幻觉的概率，现抽取了市面上9个使用率较高的AI模型，其幻觉率如下表所示． AI模型 1 2 3 4 5 6 7 8 9 幻觉率 0.13 0.18 0.29 0.15 0.19 0.29 0.3 0.16 0.4 (1)若独立地重复使用AI模型7处理8个不相关的问题，记随机变量为这8个问题回答中出现AI幻觉的个数，求； (2)若从这9个AI模型中随机抽取3个模型解答同一问题，以此避免AI幻觉，记随机变量为这3个模型中AI幻觉率小于0.2的个数，求； (3)在调查研究中发现，使用AI模型9解决相关问题时会出现较为有趣的现象，若当前问题解答出现了AI幻觉，则下一个有关问题的解答出现AI幻觉的概率为0.5，若当前问题解答不出现AI幻觉，则下一个有关问题的解答出现AI幻觉的概率为0.2，那么若运用AI模型9解答5个相关问题，比较第1个问题与第5个问题出现AI幻觉率的大小． 20．（2026高二·广西柳州·期中）2025年1月下旬，DeepSeek的R1模型发布，该模型在全球范围内引发广泛关注.现为了对其产品用户的使用行为进行统计分析，收集了1000名用户的每日使用时长（单位：分钟），得到如下所示的频率分布直方图，每日使用时长不小于60分钟的用户称为“忠实粉丝”. (1)求的值； (2)现采用分层抽样的方法从样本中使用时长在的用户中随机抽取7人，并从中随机抽取2人作进一步分析，记为2人中忠实粉丝的人数，求的分布列和期望. (3)用样本的频率估计概率，从该产品所有用户中抽取5人，为忠实粉丝的人数，记时对应的概率为，则为多少时最大？ 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！26 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $