第07讲 二项分布与超几何分布（知识清单+6题型讲解举三反三+强化训练）【满分全攻略备考系列】-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第三册重难点讲义与测试

第07讲 二项分布与超几何分布 知识清单 知识点01：n重伯努利试验与二项分布 知识点02：超几何分布 题型讲解 （举三反三） 题型1：二项分布的均值与方差 题型2：利用二项分布求分布列 题型3：服从二项分布的随机变量概率最大问题 题型4：建立二项分布模型解决实际问题 题型5：超几何分布的均值 题型6：超几何分布的方差 强化训练 一、单选题（8） 二、多选题（3） 三、填空题（3） 四、解答题（5） 知识点1.n重伯努利试验与二项分布 一、　n重伯努利试验及其特征 1．n重伯努利试验的概念 将一个伯努利试验独立地重复进行n次所组成的随机试验称为n重伯努利试验． 2．n重伯努利试验的共同特征 (1)同一个伯努利试验重复做n次． (2)各次试验的结果相互独立． 二、　二项分布 一般地，在n重伯努利试验中，设每次试验中事件A发生的概率为p(0<p<1)，用X表示事件A发生的次数，则X的分布列为 P(X＝k)＝Cpk(1－p)n－k，k＝0,1,2，…，n. 称随机变量X服从二项分布，记作X～B(n，p)． 三、　二项分布的均值与方差 若X～B(n，p)，则E(X)＝np，D(X)＝np(1－p)． 知识点2.超几何分布 超几何分布 1．定义：一般地，假设一批产品共有N件，其中有M件次品，从N件产品中随机抽取n件(不放回)，用X表示抽取的n件产品中的次品数，则X的分布列为 P(X＝k)＝，k＝m，m＋1，m＋2，…，r. 其中n，N，M∈N*，M≤N，n≤N，m＝max{0，n－N＋M}，r＝min{n，M}． 如果随机变量X的分布列具有上式的形式，那么称随机变量X服从超几何分布． 2．均值：E(X)＝. 题型1：二项分布的均值与方差 【例1-1】（25-26高二上·江西·期末）设随机变量，若，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【例1-2】（25-26高二上·全国·单元测试）某专家对某新品种蔬菜种子进行发芽率试验，每个试验组5个坑，每个坑种1粒种子．经过大量试验，每个试验组没有发芽的坑数的平均数为1，则估计每粒种子发芽的概率_______． 【例1-3】（24-25高二下·全国·课后作业）若射手每次击中目标的概率都为，并已知该射手击中目标的期望为90，方差为9，求及该射手射击次数． 【变式1-1】（25-26高二下·湖南长沙·月考）设随机变量，若，则（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】如图是一块高尔顿板示意图：在一块木块上钉着若干排互相平行但相互错开的圆柱形小木钉，小木钉之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃，将小球从顶端放入，小球在下落过程中，每次碰到小木钉后都等可能地向左或向右落下，最后落入底部的格子中，格子从左到右分别编号为1，2，3，……，6，用表示小球落入格子的号码，则__________． 【变式1-3】（2025高二·全国·专题练习）设随机变量，已知，求两个参数n和p各为多少. 题型2：利用二项分布求分布列 【例2-1】（24-25高二下·安徽·月考）设随机变量，若，则p=（   ） A． B． C． D． 【例2-2】（24-25高二下·福建泉州·期末）一批产品的一等品率为，从这批产品中每次抽取一件，有放回地抽取次，用表示抽到的一等品的件数，若，，则满足条件的的最小值为_____. 【例2-3】（2025高二·全国·专题练习）经验表明，预订餐厅而不来就餐的顾客比例为20%.某餐厅有50个座位，但预定给了52位顾客，则顾客来到餐厅而没有座位的概率是多少？ 【变式2-1】若随机变量服从二项分布，且，则（    ） A． B．10 C． D．11 【变式2-2】（24-25高二下·安徽安庆·期末）某研究所在试验一批种子，已知该批种子的发芽率是，从中随机选择4粒种子进行播种，则恰有3粒种子发芽的概率是_____. 【变式2-3】将一枚质地均匀的硬币连续抛掷4次，X表示“正面朝上”出现的次数． (1)求X的分布列； (2)求X的期望和方差． 题型3：服从二项分布的随机变量概率最大问题 【例3-1】（24-25高二下·四川广元·期末）若随机变量X服从二项分布，则取得最大值时，（   ） A．2或3 B．2 C．3 D．4 【例3-2】（24-25高二下·山东泰安·期末）若随机变量，则当取最大值时，正整数k的值是________. 【例3-3】（24-25高二下·云南楚雄·月考）某电子零部件代加工工厂生产的零部件次品率为，现进行多批次抽检，假设各零部件是否为次品相互独立. (1)从一批产品中随机抽取件，求抽到的零部件中正品数多于次品数的概率； (2)若从另一批产品中随机抽取件，记抽到的零部件的正品数与次品数差的绝对值为，求的分布列与期望. 【变式3-1】（24-25高二下·河南信阳·期末）某人在次射击中击中目标的次数为，且，记，，若是唯一的最大值，则的值为（    ） A．1.28 B．1.6 C．6.4 D．8 【变式3-2】（24-25高二下·陕西咸阳·期中）某人射击一发子弹，命中目标的概率为0.8，现在他射击19发子弹，则击中目标的子弹数最可能是_________. 【变式3-3】某商场为了回馈顾客，开展一个抽奖活动，在抽奖箱中放8个大小相同的小球，其中红球4个，白球4个.规定：①每次抽奖时顾客从抽奖箱中随机摸出两个小球，如果摸出的两个小球颜色相同即为中奖，颜色不同即为不中奖；②每名顾客只能选一种抽奖方案进行抽奖，方案如下： 方案一：共进行两次抽奖，第一次抽奖后将球放回抽奖箱，再进行第二次抽奖； 方案二：共进行两次抽奖，第一次抽奖后不将球放回抽奖箱，直接进行第二次抽奖. (1)顾客甲欲参加抽奖活动，请从中奖的数字特征角度为顾客甲提供决策依据； (2)已知有300位顾客按照方案二抽奖，则其中中奖2次的人数为多少的概率最大？ 题型4：建立二项分布模型解决实际问题 【例4-1】（2025高二上·全国·专题练习）已知某批矿物晶体中含有大量水分子，且经过测量发现其中轻水分子、重水分子、超重水分子的比例为6：3：1.现利用仪器从一块矿物晶体中分离出3个水分子，用频率估计概率，则至少分离出2个轻水分子的概率为（    ） A． B． C． D． 【例4-2】（24-25高二下·全国·课后作业）腿型连续跳跃机器人属于一种关节式跳跃机器人，在电机及蓄能元件的耦合驱动下实现跳跃运动．已知某款跳跃机器人依据指针显示的颜色种类来执行跳动，假设其指针共有两种颜色，指针显示红色时，机器人只能向前跳动一个单位；显示黄色时，机器人只能向右跳动一个单位，若将该机器人初始位置记为坐标原点，向右为x轴正方向，向前为y轴正方向，机器人跳动五次停止，则机器人向右跳动的次数不超过3次的概率为____． 【例4-3】（2025高二·全国·专题练习）一条自动化生产线上产品的一级品率为0.8，现检查5件，求至少有2件是一级品的概率. 【变式4-1】（24-25高二下·辽宁大连·期中）小王、小张两人进行象棋比赛，共比赛2n（）局，且每局小王获胜的概率和小张获胜的概率均为.如果某人获胜的局数多于另一人，则此人赢得比赛.记小王赢得比赛的概率为，则下列结论错误的是（    ） A． B．存在最大值 C． D．随着n的增大而增大 【变式4-2】如图，一个质点在随机外力的作用下，从原点O出发，每次等可能地向左或向右移动一个单位长度，共移动8次，则质点经过最终到达2的位置的概率为________. 【变式4-3】（25-26高二上·山东聊城·期末）某购物中心举行购物抽奖活动，顾客购物达到一定金额后即可获得一次抽奖机会.抽奖时，从装有2个红球，4个绿球（每个球大小和质地相同）的抽奖箱中，每次随机摸取2个球.若两球都是红色，则获得一等奖；若两球不同色，则获得二等奖；若两球都是绿色，则不获奖.每人每次抽球互不影响. (1)求顾客获得一等奖的概率； (2)现有3名顾客参与抽奖，求至少两人获奖的概率. 题型5：超几何分布的均值 【例5-1】（24-25高二下·辽宁锦州·期末）一包装箱内有12件产品，其中有10件合格品.现从中随机取出4件，设取出的4件产品中有件合格品，则（   ） A． B． C． D． 【例5-2】（2026高二下·全国·专题练习）在的二项展开式中任取2项，若用随机变量表示取出的2项中系数为奇数的项数，则随机变量的均值________． 【例5-3】（2025高二·全国·专题练习）某项大型赛事需要从高校选拔青年志愿者，某大学学生实践中心积极参与，从8名学生会干部（其中男生5名、女生3名）中选3名参加志愿者服务活动.若所选3名学生中的女生人数为X，求X的分布列和数学期望. 【变式5-1】）某地7个贫困村中有3个村是深度贫困，现从中任意选3个村，用表示这3个村庄中深度贫困村数，则X的数学期望（    ） A． B． C． D． 【变式5-2】（2024高二下·全国·专题练习）口袋里有大小相同的2个红球和3个黄球，现从中任取两个球，记取出的红球数为，则______. 【变式5-3】（24-25高二下·福建福州·期末）我市拟建立一个博物馆，采取竞标的方式从甲、乙两家建筑公司选取一家，招标方案如下：两家公司从6个招标问题中随机抽取3个问题，已知这6个招标问题中，甲公司能正确回答其中4道题目，而乙公司能正确回答每道题目的概率均为，甲、乙两家公司对每题的回答都是相互独立，互不影响． (1)求甲公司答对题数的分布列、期望及方差； (2)请从期望和方差的角度分析（无需再列分布列），甲、乙两家哪家公司竞标成功的可能性更大？ 题型6：超几何分布的方差 【例6-1】（24-25高二下·陕西咸阳·月考）一批笔记本电脑共有台，其中品牌台，品牌台.如果从中随机挑选台，设这台电脑中品牌的台数为，则（   ） A． B． C． D． 【例6-2】（25-26高二上·山东·期末）设随机变量服从超几何分布，从含有5个红球､3个白球的总体中不放回抽取4个球，记为抽取的红球个数，则的方差__________（结果用分数表示）. 【例6-3】袋中有大小相同，质地均匀的3个白球，5个黑球，从中任取2个球，设取到白球的个数为. (1)求随机变量的分布列； (2)求随机变量的数学期望和方差. 【变式6-1】（24-25高二下·河北石家庄·期末）一个箱子中有100个大小相同的球，其中有40个黄球，60个红球，从中随机的摸出20个，用表示采取放回摸球时摸到黄球的个数，用表示采取不放回摸球时摸到的黄球个数，，的概率分布图如下所示，则下列结论正确的是（   ）    A． B． C． D． 【变式6-2】某公司有日生产件数为95件的“生产能手”3人，有日生产件数为55件的“新手”2人，从这5人中任意抽取2人，则2人的日生产件数之和X的标准差为______． 【变式6-3】为营造浓厚的全国文明城市创建氛围，积极响应创建全国文明城市号召，提高对创城行动的责任感和参与度，学校号召师生利用周末参与创城志愿活动.高二（1）班某小组有男生4人，女生2人，现从中随机选取2人作为志愿者参加活动. (1)求在有女生参加活动的条件下，恰有一名女生参加活动的概率； (2)记参加活动的女生人数为X，求X的分布列及期望、方差. 一、单选题 1．（24-25高二下·江苏南通·月考）抛掷一枚质地均匀的硬币8次，若正面朝上次的概率最大，则（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 2．（25-26高二下·黑龙江哈尔滨·月考）某班有54名学生，其中18名学生数学成绩优秀，每次从该班随机抽取1名学生，观察后放回，连续抽取6次，其中数学成绩优秀的学生数，则（    ） A．13 B．12 C．5 D．4 3．（25-26高二上·全国·单元测试）某数学兴趣小组设计了一个开盲盒游戏：在编号为1到4的四个箱子中随机放入奖品，每个箱子中放入的奖品个数满足，每个箱子中所放奖品的个数相互独立．游戏规定：当箱子中奖品的个数超过3时，可以从该箱中取走一个奖品，否则从该箱中不取奖品．每个参与游戏的同学依次从1到4号箱子中取奖品，4个箱子都取完后该同学结束游戏，则某同学游戏结束时取走2个奖品的概率为（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高二下·江西赣州·月考）设随机变量，满足：，，若，则（    ） A．3 B． C．4 D． 5．（24-25高二下·河南新乡·月考）已知随机变量，且，，当取得最大值时，（   ） A．12或13 B．13 C．11或12 D．12 6．一个不透明的袋子有10个除颜色不同外，大小、质地完全相同的球，其中有6个黑球，4个白球．现进行如下两个试验，试验一：逐个不放回地随机摸出3个球，记取到白球的个数为，期望方差分别为；试验二：逐个有放回地随机摸出3个球，记取到白球的个数为，期望和方差分别为，则下列判断正确的是（    ） A． B． C． D． 7．（25-26高二上·河南南阳·期末）某体育用品仓库中有12个同款篮球，其中一等品有8个，二等品有3个，三等品有1个．现从中不放回地随机抽取5个篮球进行质量检测，记抽到的一等品的个数为，则当取得最大值时，（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 8．（24-25高二下·江西·期末）某商家开展促销活动，已知当天参加活动的顾客中，消费超过200元的顾客的频率为，用频率估计概率，现从参加活动的顾客中随机抽取20人赠送小礼品，若这20人中有人消费超过200元的概率最大，则的值为（    ） A．7 B．8 C．9 D．8或9 二、多选题 9．（24-25高二上·辽宁·期末）从6名女生和8名男生中任选5人去阳光敬老院参加志愿服务，用表示所选5人中女生的人数，用表示所选5人中男生的人数，则下列结论正确的是（    ） 备注：一般地，若一个随机变量的分布列为，其中，则称. A． B． C． D． 10．（24-25高二下·宁夏银川·月考）某人在次射击中击中目标的次数为，且，其中，，则下列说法正确的是（    ） A．若，，则 B．若确定，则当时，有最大值 C．若，，则当或时，取得最大值 D．若，，则 11．（25-26高二上·辽宁葫芦岛·期末）一个盒子里装有大小相同的4个黑球、2个白球，从中任取2个，其中白球的个数记为，则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 三、填空题 12．（24-25高二下·甘肃平凉·期末）一个盒子里有1个红1个绿2个黄四个相同的球，每次拿一个，记下颜色后放回，一共拿4次，设拿出黄球的次数为，则________. 13．（25-26高二上·黑龙江齐齐哈尔·期末）已知随机变量，随机变量，则________. 14．（24-25高二下·安徽蚌埠·期中）设随机变量，其中且，若，，则________________. 四、解答题 15．（24-25高二下·山西临汾·月考）盒中有四张卡片，分别标有数字1，2，3，4，现从盒中任取两张卡片，记取到偶数的个数为X.求： (1)； (2)X的分布列. 16．（24-25高二下·河南驻马店·期末）某人工智能芯片需经过两道独立的性能测试．首次测试（测试Ⅰ）通过率为p（），未通过测试Ⅰ的芯片进入第二次测试（测试Ⅱ），通过率为q（）．通过任意一次测试即为合格芯片，否则报废． (1)若某批次生产了n枚芯片，合格数为随机变量X．当，时，求X的期望与方差； (2)已知一枚芯片合格，求这枚芯片是通过测试Ⅰ的概率． 17．（25-26高二下·辽宁大连·月考）一名学生每天骑车上学，从他家到学校的途中有5个交通岗，假设他在各个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率都是. (1)设为这名学生在途中遇到红灯的次数，求的分布列、期望、方差； (2)设为这名学生在首次停车前经过的路口数，求的分布列； 18．（24-25高二上·贵州遵义·期末）某商场为了促进消费，推出购物优惠活动、消费者购物每满300元可参加一次抽奖，抽奖活动如下：抽奖箱设置3个红球和2个白球，每次抽取2个球.若抽中2个白球，返现金50元；若抽中1个红球和1个白球，返现金30元；若抽中2个红球，返现金20元. (1)顾客恰好消费了300元，设他所获得返现金额为随机变量.求的分布列与数学期望； (2)顾客消费了1000元： ①顾客获得返现金额为100元的概率是多少？ ②若该商场同时还推出购物享九折优惠活动（减免总金额的），则顾客应选择哪种方案更优惠？（备注：不能同时参加抽奖和打折活动） 19．（25-26高二·全国·假期作业）某学校从全体师生中随机抽取30位男生、30位女生、12位教师一起参加社会实践活动. (1)假设30位男生身高均不相同，记其身高的第80百分位数为，从学校全体男生中随机选取3人，记为3人中身高不超过的人数，以频率估计概率求的分布列； (2)从参加社会实践活动的72人中一次性随机选出30位，记被选出的人中恰好有个男生的概率为，求使得取得最大值的的值. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第07讲 二项分布与超几何分布 知识清单 知识点01：n重伯努利试验与二项分布 知识点02：超几何分布 题型讲解 （举三反三） 题型1：二项分布的均值与方差 题型2：利用二项分布求分布列 题型3：服从二项分布的随机变量概率最大问题 题型4：建立二项分布模型解决实际问题 题型5：超几何分布的均值 题型6：超几何分布的方差 强化训练 一、单选题（8） 二、多选题（3） 三、填空题（3） 四、解答题（5） 知识点1.n重伯努利试验与二项分布 一、　n重伯努利试验及其特征 1．n重伯努利试验的概念 将一个伯努利试验独立地重复进行n次所组成的随机试验称为n重伯努利试验． 2．n重伯努利试验的共同特征 (1)同一个伯努利试验重复做n次． (2)各次试验的结果相互独立． 二、　二项分布 一般地，在n重伯努利试验中，设每次试验中事件A发生的概率为p(0<p<1)，用X表示事件A发生的次数，则X的分布列为 P(X＝k)＝Cpk(1－p)n－k，k＝0,1,2，…，n. 称随机变量X服从二项分布，记作X～B(n，p)． 三、　二项分布的均值与方差 若X～B(n，p)，则E(X)＝np，D(X)＝np(1－p)． 知识点2.超几何分布 超几何分布 1．定义：一般地，假设一批产品共有N件，其中有M件次品，从N件产品中随机抽取n件(不放回)，用X表示抽取的n件产品中的次品数，则X的分布列为 P(X＝k)＝，k＝m，m＋1，m＋2，…，r. 其中n，N，M∈N*，M≤N，n≤N，m＝max{0，n－N＋M}，r＝min{n，M}． 如果随机变量X的分布列具有上式的形式，那么称随机变量X服从超几何分布． 2．均值：E(X)＝. 题型1：二项分布的均值与方差 【例1-1】（25-26高二上·江西·期末）设随机变量，若，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据二项分布的期望公式，求得，再由，结合二次函数的性质，即可求解. 【详解】由随机变量，可得， 因为，可得，因为，所以， 又由，可得其对称轴为， 所以在单调递增，所以当，取得最大值，最大值为. 故选：B. 【例1-2】（25-26高二上·全国·单元测试）某专家对某新品种蔬菜种子进行发芽率试验，每个试验组5个坑，每个坑种1粒种子．经过大量试验，每个试验组没有发芽的坑数的平均数为1，则估计每粒种子发芽的概率_______． 【答案】/0.8 【分析】每个坑不发芽的概率为，设每组不发芽的坑数为，根据题意得出，利用二项分布进而求解即可. 【详解】由题意知，每组中各个坑是否发芽相互独立，每个坑不发芽的概率约为， 设每组不发芽的坑数为，则， 所以每组没有发芽的坑数的平均数约为，解得， 所以每粒种子的发芽率约为． 故答案为：. 【例1-3】（24-25高二下·全国·课后作业）若射手每次击中目标的概率都为，并已知该射手击中目标的期望为90，方差为9，求及该射手射击次数． 【答案】0.9，100 【分析】根据给定条件，利用二项分布的期望、方差公式列式求解. 【详解】设射手射击次数为，击中目标的次数为，则， 依题意，，解得， 所以，射手射击次数为100. 【变式1-1】（25-26高二下·湖南长沙·月考）设随机变量，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】通过二项分布的期望，方差公式求解. 【详解】因为随机变量，所以， 解得，所以， 所以. 【变式1-2】如图是一块高尔顿板示意图：在一块木块上钉着若干排互相平行但相互错开的圆柱形小木钉，小木钉之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃，将小球从顶端放入，小球在下落过程中，每次碰到小木钉后都等可能地向左或向右落下，最后落入底部的格子中，格子从左到右分别编号为1，2，3，……，6，用表示小球落入格子的号码，则__________． 【答案】/1.25 【分析】设，分析可得，进而利用二项分布的方差公式可得，再结合方差的性质求解即可. 【详解】设“向右下落”，“向左下落”，则， 设，因为小球在下落过程中共碰撞5次，所以， 则， 所以. 故答案为：. 【变式1-3】（2025高二·全国·专题练习）设随机变量，已知，求两个参数n和p各为多少. 【答案】 【分析】直接利用二项分布的期望和方差公式，代入数据进行计算. 【详解】由，， 得，故. 题型2：利用二项分布求分布列 【例2-1】（24-25高二下·安徽·月考）设随机变量，若，则p=（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二项分布的分布列可得，可解问题. 【详解】根据随机变量， 且，可得. 故选：C 【例2-2】（24-25高二下·福建泉州·期末）一批产品的一等品率为，从这批产品中每次抽取一件，有放回地抽取次，用表示抽到的一等品的件数，若，，则满足条件的的最小值为_____. 【答案】9 【分析】题给条件符合n次独立重复试验的条件，即服从参数为n和的二项分布，根据二项分布公式计算即可. 【详解】已知，则 ，， 又，， 所以是9的倍数，的最小值为9. 故答案为：9. 【例2-3】（2025高二·全国·专题练习）经验表明，预订餐厅而不来就餐的顾客比例为20%.某餐厅有50个座位，但预定给了52位顾客，则顾客来到餐厅而没有座位的概率是多少？ 【答案】 【分析】根据二项分布概率公式计算求解. 【详解】设X表示来到餐厅的顾客人数，则X服从二项分布， 所求概率为. 【变式2-1】若随机变量服从二项分布，且，则（    ） A． B．10 C． D．11 【答案】C 【分析】根据求出，根据的分布列求出的分布列，再求期望可得答案. 【详解】因为，所以 因为，所以， 解得， ，， ，， ，， ， 所以的分布列为 0 1 2 3 4 5 6 所以的分布列为 0 1 4 9 16 25 36 所以 . 故选：C. 【变式2-2】（24-25高二下·安徽安庆·期末）某研究所在试验一批种子，已知该批种子的发芽率是，从中随机选择4粒种子进行播种，则恰有3粒种子发芽的概率是_____. 【答案】 【分析】由题知种子发芽的粒数，，根据二项分布求概率即可. 【详解】根据题意，种子发芽的粒数，， ， 所以恰有3粒种子发芽的概率是. 故答案为：. 【变式2-3】将一枚质地均匀的硬币连续抛掷4次，X表示“正面朝上”出现的次数． (1)求X的分布列； (2)求X的期望和方差． 【答案】(1)分布列见解析 (2)， 【分析】（1）由求解即可； （2）由二项分布的数学期望及方差公式求解． 【详解】（1）解：一枚质地均匀的硬币抛掷一次正面朝上的概率为， 且每次是否正面朝上相互独立，所以， ，， 所以X的分布列为 X 0 1 2 3 4 P （2）根据（1），所以，． 题型3：服从二项分布的随机变量概率最大问题 【例3-1】（24-25高二下·四川广元·期末）若随机变量X服从二项分布，则取得最大值时，（   ） A．2或3 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】利用计算即可. 【详解】由题可知：， 所以化简得到，又，所以2或3. 故选：A 【例3-2】（24-25高二下·山东泰安·期末）若随机变量，则当取最大值时，正整数k的值是________. 【答案】4 【分析】由题意得，然后根据解出即可. 【详解】由题意， 当取最大值时，， 即，其中， 化简得，解得， 所以取最大值时，. 故答案为：4. 【例3-3】（24-25高二下·云南楚雄·月考）某电子零部件代加工工厂生产的零部件次品率为，现进行多批次抽检，假设各零部件是否为次品相互独立. (1)从一批产品中随机抽取件，求抽到的零部件中正品数多于次品数的概率； (2)若从另一批产品中随机抽取件，记抽到的零部件的正品数与次品数差的绝对值为，求的分布列与期望. 【答案】(1) (2)分布列见解析， 【分析】（1）利用二项分布的概率公式可求解； （2）由题意可得的取值依次为，，利用二项分布的概率公式可求分布列，进而可求数学期望； 【详解】（1）从一批产品中随机抽取件，抽到的零部件中正品数多于次品数， 则次品数为件或件， 所以所求概率为. （2）设抽取的零部件次品数为， 则， 所以可能的取值依次为，，， ， ， 所以的分布列为： 1 3 0.27 0.73 故. 【变式3-1】（24-25高二下·河南信阳·期末）某人在次射击中击中目标的次数为，且，记，，若是唯一的最大值，则的值为（    ） A．1.28 B．1.6 C．6.4 D．8 【答案】A 【分析】根据给定条件，列出不等式求出，再利用二项分布的期望公式计算得解. 【详解】，，， 若是唯一的最大值，则 所以 解得． 因为，， ，，． ． 故选：A． 【变式3-2】（24-25高二下·陕西咸阳·期中）某人射击一发子弹，命中目标的概率为0.8，现在他射击19发子弹，则击中目标的子弹数最可能是_________. 【答案】15或16 【分析】设命中目标的子弹数为X，则，利用二项分布的概率公式，求出概率最大的子弹数即可. 【详解】设命中目标的子弹数为X，则，有， 设最大，显然，都不是最大的，即有， 于是，即， ，整理得，解得， 所以击中目标的子弹数最可能是15或16． 故答案为：15或16 【变式3-3】某商场为了回馈顾客，开展一个抽奖活动，在抽奖箱中放8个大小相同的小球，其中红球4个，白球4个.规定：①每次抽奖时顾客从抽奖箱中随机摸出两个小球，如果摸出的两个小球颜色相同即为中奖，颜色不同即为不中奖；②每名顾客只能选一种抽奖方案进行抽奖，方案如下： 方案一：共进行两次抽奖，第一次抽奖后将球放回抽奖箱，再进行第二次抽奖； 方案二：共进行两次抽奖，第一次抽奖后不将球放回抽奖箱，直接进行第二次抽奖. (1)顾客甲欲参加抽奖活动，请从中奖的数字特征角度为顾客甲提供决策依据； (2)已知有300位顾客按照方案二抽奖，则其中中奖2次的人数为多少的概率最大？ 【答案】(1)答案见解析 (2)60 【分析】（1）方案一就两次独立重复试验，求抽一次中奖后，按二项分布求解即可；方案二的所有可能取值为0，1，2，注意计算第二次的时候数量较少，按照分步计数原理作乘即可. （2）由（1）知方案二抽奖中奖2次的概率为，中奖2次的人数服从二项分布，则，通过单调性找最值即可. 【详解】（1）方案一：设中奖次数为，若第一次抽奖后将球放回抽奖箱，再进行第二次抽奖， 则每次中奖的概率为，因为两次抽奖相互独立，所以中奖次数服从二项分布， 即，所以的数学期望为， 方差为； 方案二：设中奖次数为，若第一次抽奖后不将球放回抽奖箱，直接进行第二次抽奖， 中奖次数的所有可能取值为0，1，2，则， ，， 所以的分布列为 0 1 2 所以的数学期望为， 方差， ，，两种方案中奖次数的期望相同，但方案一的方差较小，中奖的波动性小， 稳定性较好，故从中奖的数字特征角度来看，顾客甲选方案一较好. （2）每位顾客按照方案二抽奖中奖2次的概率为，则300位顾客按照方案二抽奖， 其中中奖2次的人数， 恰有人中奖2次的概率为，，， 令，解得， 于是，当时，； 当时，，故当时，最大， 所以300位顾客按照方案二抽奖，则其中中奖2次的人数为60的概率最大. 题型4：建立二项分布模型解决实际问题 【例4-1】（2025高二上·全国·专题练习）已知某批矿物晶体中含有大量水分子，且经过测量发现其中轻水分子、重水分子、超重水分子的比例为6：3：1.现利用仪器从一块矿物晶体中分离出3个水分子，用频率估计概率，则至少分离出2个轻水分子的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据二项分布的概率公式计算，注意至少分离出2个轻水分子含有分离出2个轻水分子和分离出3个轻水分子两种情况 【详解】设事件“至少分离出2个轻水分子”， 由题意知分离出1个轻水分子的概率为， 分离出1个非轻水分子的概率为， 所以， 故至少分离出2个轻水分子的概率为． 故选：D. 【例4-2】（24-25高二下·全国·课后作业）腿型连续跳跃机器人属于一种关节式跳跃机器人，在电机及蓄能元件的耦合驱动下实现跳跃运动．已知某款跳跃机器人依据指针显示的颜色种类来执行跳动，假设其指针共有两种颜色，指针显示红色时，机器人只能向前跳动一个单位；显示黄色时，机器人只能向右跳动一个单位，若将该机器人初始位置记为坐标原点，向右为x轴正方向，向前为y轴正方向，机器人跳动五次停止，则机器人向右跳动的次数不超过3次的概率为____． 【答案】 【分析】根据二项分布的概率公式计算，注意不超过3次含有0次，1次，2次，3次共4种情形． 【详解】依题意，记机器人向右跳动的次数为，则易知，所以机器人向右跳动的次数不超过3次的概率为 ． 故答案为：． 【例4-3】（2025高二·全国·专题练习）一条自动化生产线上产品的一级品率为0.8，现检查5件，求至少有2件是一级品的概率. 【答案】 【分析】判断各次试验的独立性，然后确定一个二项分布模型，进行概率的计算. 【详解】解法1：设X表示检查到的一级品件数，则X服从二项分布， 故所求概率为. 解法2：. 【变式4-1】（24-25高二下·辽宁大连·期中）小王、小张两人进行象棋比赛，共比赛2n（）局，且每局小王获胜的概率和小张获胜的概率均为.如果某人获胜的局数多于另一人，则此人赢得比赛.记小王赢得比赛的概率为，则下列结论错误的是（    ） A． B．存在最大值 C． D．随着n的增大而增大 【答案】B 【分析】小王至少赢局，小王赢得比赛的概率为，进而逐项判断即可. 【详解】由题意知，要使小王赢得比赛，则小王至少赢局， 因为每局赢的概率是相同的，所以服从二项分布， 由二项分布的概率公式可得赢局的概率为， 赢局的概率为， ， 赢局的概率为， 小王赢的概率为： ， 有，，可知选项A，C正确，选项B错误； 由， ， 可得，故为递增数列，可知D选项正确，B错误. 故选：B 【变式4-2】如图，一个质点在随机外力的作用下，从原点O出发，每次等可能地向左或向右移动一个单位长度，共移动8次，则质点经过最终到达2的位置的概率为________. 【答案】 【分析】根据实际的问题情景，结合二项分布计算出所求的概率. 【详解】质点从原点0出发，经过最终到达2的位置，需移动8次，其中必然有3次向左， 分为两类：第一类，当质点第2次移动到达的位置时，质点先向左移动了2次，在后续的6次移动中，只要向左移动1次即可， 则所求的概率为； 第二类，当前3次移动未到达，且第4次移动到达时，质点前4次的移动顺序为，，后续的4次移动中全部向右移动即可， 则所求的概率为. 故所求的概率为. 故答案为： 【变式4-3】（25-26高二上·山东聊城·期末）某购物中心举行购物抽奖活动，顾客购物达到一定金额后即可获得一次抽奖机会.抽奖时，从装有2个红球，4个绿球（每个球大小和质地相同）的抽奖箱中，每次随机摸取2个球.若两球都是红色，则获得一等奖；若两球不同色，则获得二等奖；若两球都是绿色，则不获奖.每人每次抽球互不影响. (1)求顾客获得一等奖的概率； (2)现有3名顾客参与抽奖，求至少两人获奖的概率. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先求出6个球中随机摸取2个球的情况数，再求从2个红球中随机摸取2个红球的情况数，进而可求得顾客获得一等奖的概率； （2）先求不获奖的概率，设3名顾客中获奖的人数为，服从二项分布，进而可求. 【详解】（1）设事件为“顾客获得一等奖”， 从6个球中随机摸取2个球的情况数为种， 从2个红球中随机摸取2个红球的情况数为种 则. （2）由题意得每次抽奖独立，则不获奖的概率为，则获奖的概率为， 设3名顾客中获奖的人数为，则， 则， ， 所以. 题型5：超几何分布的均值 【例5-1】（24-25高二下·辽宁锦州·期末）一包装箱内有12件产品，其中有10件合格品.现从中随机取出4件，设取出的4件产品中有件合格品，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由超几何分布的均值公式即可求解. 【详解】由题可得服从超几何分布，且， 所以. 故选：D 【例5-2】（2026高二下·全国·专题练习）在的二项展开式中任取2项，若用随机变量表示取出的2项中系数为奇数的项数，则随机变量的均值________． 【答案】/ 【分析】求出的二项展开式共10项，其中系数为奇数的项共4项，分别求出，，，从而求出． 【详解】的二项展开式共10项，其中系数为奇数的项有第一项：， 第二项：，第九项：，第十项：，共4项， 所以，，， 所以． 答案：. 【例5-3】（2025高二·全国·专题练习）某项大型赛事需要从高校选拔青年志愿者，某大学学生实践中心积极参与，从8名学生会干部（其中男生5名、女生3名）中选3名参加志愿者服务活动.若所选3名学生中的女生人数为X，求X的分布列和数学期望. 【答案】分布列见解析， 【分析】先确定X的分布列类型为超几何分布，然后确定相应的参数取值，并求出每个取值对应事件的概率，列出分布列，最后利用期望公式进行求值. 【详解】因为8名学生会干部中有5名男生、3名女生，所以X的分布列服从参数为的超几何分布，因为， 所以， ， ， . X的分布列如下， X 0 1 2 3 P . 【变式5-1】）某地7个贫困村中有3个村是深度贫困，现从中任意选3个村，用表示这3个村庄中深度贫困村数，则X的数学期望（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设选到深度贫困村数为，根据超几何分布的概率公式求解概率，进而可求得的值． 【详解】设选到深度贫困村数为，则随机变量的可能取值有0、1、2、3， 则，，，， 所以． 故选：B 【变式5-2】（2024高二下·全国·专题练习）口袋里有大小相同的2个红球和3个黄球，现从中任取两个球，记取出的红球数为，则______. 【答案】/ 【分析】根据超几何分布，求出的可能取值及对应的概率，求期望即可. 【详解】取得红球数为可能为0，1，2， 则，，， 则随机变量的分布列为 0 1 2 所以. 故答案为： 【变式5-3】（24-25高二下·福建福州·期末）我市拟建立一个博物馆，采取竞标的方式从甲、乙两家建筑公司选取一家，招标方案如下：两家公司从6个招标问题中随机抽取3个问题，已知这6个招标问题中，甲公司能正确回答其中4道题目，而乙公司能正确回答每道题目的概率均为，甲、乙两家公司对每题的回答都是相互独立，互不影响． (1)求甲公司答对题数的分布列、期望及方差； (2)请从期望和方差的角度分析（无需再列分布列），甲、乙两家哪家公司竞标成功的可能性更大？ 【答案】(1)分布列见解析 (2)甲公司竞标成功的可能性更大 【分析】（1）设甲公司答对题数为随机变量可能取值为，求得相应的概率，列出分布列，求得，； （2）设乙公司能正确回答的题目数为随机变量可能取值为，利用独立重复试验的概率公式，求得相应的概率，列出分布列，求得，，结合，且，即可得到结论. 【详解】（1）由题意，设甲公司答对题数为随机变量，则的可能取值为， 则，，， 所以随机变量的分布列为： 可得，. （2）设乙公司能正确回答的题目数为随机变量，则的可能取值为， 则，， ，， 所以随机变量的分布列为： 所以， ， 由，且，所以甲公司竞标成功的可能性更大. 题型6：超几何分布的方差 【例6-1】（24-25高二下·陕西咸阳·月考）一批笔记本电脑共有台，其中品牌台，品牌台.如果从中随机挑选台，设这台电脑中品牌的台数为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】确定随机变量的可能取值，利用超几何分布概率公式求出概率，得到分布列，代入数学期望公式和方差公式计算即可. 【详解】依题意，的可能值有. 则，，. 则的分布列为： 可得 . 故选：D 【例6-2】（25-26高二上·山东·期末）设随机变量服从超几何分布，从含有5个红球､3个白球的总体中不放回抽取4个球，记为抽取的红球个数，则的方差__________（结果用分数表示）. 【答案】 【分析】利用超几何分布的方差公式求解. 【详解】超几何分布（总体数），（红球数），（抽取数），期望，方差公式，代入得， 故答案为： 【例6-3】袋中有大小相同，质地均匀的3个白球，5个黑球，从中任取2个球，设取到白球的个数为. (1)求随机变量的分布列； (2)求随机变量的数学期望和方差. 【答案】(1)分布列见解析 (2)， 【分析】（1）找出的所有可能取值并计算对应概率即可得； （2）借助分布列计算期望与方差即可得. 【详解】（1）的可能取值为、、， 则， ， ， 故其分布列为： （2）， . 【变式6-1】（24-25高二下·河北石家庄·期末）一个箱子中有100个大小相同的球，其中有40个黄球，60个红球，从中随机的摸出20个，用表示采取放回摸球时摸到黄球的个数，用表示采取不放回摸球时摸到的黄球个数，，的概率分布图如下所示，则下列结论正确的是（   ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据二项分布和超几何分布的期望和方差的性质进行判断即可. 【详解】由题意可知服从二项分布，服从超几何分布，因此它们的期望相同， 又因为超几何分布更集中在均值附近，所以有， 故选：A 【变式6-2】某公司有日生产件数为95件的“生产能手”3人，有日生产件数为55件的“新手”2人，从这5人中任意抽取2人，则2人的日生产件数之和X的标准差为______． 【答案】24 【分析】依题意可知的所有可能取值为190，150，110，根据超几何分布的概率公式求出所对应的概率，从而求出数学期望与标准差； 【详解】解：由题意，可得的所有可能取值为190，150，110，且，，，则，标准差． 故答案为： 【变式6-3】为营造浓厚的全国文明城市创建氛围，积极响应创建全国文明城市号召，提高对创城行动的责任感和参与度，学校号召师生利用周末参与创城志愿活动.高二（1）班某小组有男生4人，女生2人，现从中随机选取2人作为志愿者参加活动. (1)求在有女生参加活动的条件下，恰有一名女生参加活动的概率； (2)记参加活动的女生人数为X，求X的分布列及期望、方差. 【答案】(1) (2)分布列见解析，. 【分析】（1）根据条件概率公式即可求解. （2）根据超几何分布，即可求出分布列，利用公式求解期望与方差. 【详解】（1）设“有女生参加活动”为事件，“恰有一名女生参加活动”为事件． 则，所以； （2）依题意知服从超几何分布，且， 所以的分布列为： 0 1 2 . 一、单选题 1．（24-25高二下·江苏南通·月考）抛掷一枚质地均匀的硬币8次，若正面朝上次的概率最大，则（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】A 【分析】由二项分布的概率公式计算的概率，再结合组合数性质即可得解. 【详解】设抛掷一枚质地均匀的硬币8次，正面朝上次，则， 则正面朝上次的概率为， 所以. 故选：A. 2．（25-26高二下·黑龙江哈尔滨·月考）某班有54名学生，其中18名学生数学成绩优秀，每次从该班随机抽取1名学生，观察后放回，连续抽取6次，其中数学成绩优秀的学生数，则（    ） A．13 B．12 C．5 D．4 【答案】C 【详解】，则，故． 3．（25-26高二上·全国·单元测试）某数学兴趣小组设计了一个开盲盒游戏：在编号为1到4的四个箱子中随机放入奖品，每个箱子中放入的奖品个数满足，每个箱子中所放奖品的个数相互独立．游戏规定：当箱子中奖品的个数超过3时，可以从该箱中取走一个奖品，否则从该箱中不取奖品．每个参与游戏的同学依次从1到4号箱子中取奖品，4个箱子都取完后该同学结束游戏，则某同学游戏结束时取走2个奖品的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据分布列的性质，各取值概率之和为1，可求出分布列，进而可得到答案 【详解】因为每个箱子中放入的奖品个数满足，所以，则，所以的分布列为： 1 2 3 4 5 P 设事件为某同学能从一个箱子中取走一个奖品，则， 所以某同学能从一个箱子中取走一个奖品的概率为． 设某同学游戏结束时取走的奖品个数为，则，所以， 所以，， 所以． 故选：B 4．（25-26高二下·江西赣州·月考）设随机变量，满足：，，若，则（    ） A．3 B． C．4 D． 【答案】C 【分析】代入二项分布的期望和方差公式，以及方差的性质，即可求解. 【详解】由条件可知，，则，, 所以. 5．（24-25高二下·河南新乡·月考）已知随机变量，且，，当取得最大值时，（   ） A．12或13 B．13 C．11或12 D．12 【答案】D 【分析】根据二项分布的期望与方差的公式，求得，得到，得到，结合的单调性，即可求解. 【详解】由随机变量，且，， 可得，解得，即， 则，可得， 当时，概率递增；当时，概率递减， 令，解得， 所以当且时，；当且时，， 所以当时，概率取得最大值. 故选：D. 6．一个不透明的袋子有10个除颜色不同外，大小、质地完全相同的球，其中有6个黑球，4个白球．现进行如下两个试验，试验一：逐个不放回地随机摸出3个球，记取到白球的个数为，期望方差分别为；试验二：逐个有放回地随机摸出3个球，记取到白球的个数为，期望和方差分别为，则下列判断正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用超几何分布和二项分布知识分别计算从中随机地无放回摸出3个球、从中随机地有放回摸出3个球的期望、方差，再做比较可得答案． 【详解】试验一：从中随机地无放回摸出3个球，记白球的个数为， 则的可能取值是0，1，2，3， 则， ，， 故随机变量的概率分布列为： 0 1 2 3 则数学期望为：， 方差为：； 试验二：从中随机地有放回摸出3个球，则每次摸到白球的概率为， 则， 故，， 故，． 故选：A． 7．（25-26高二上·河南南阳·期末）某体育用品仓库中有12个同款篮球，其中一等品有8个，二等品有3个，三等品有1个．现从中不放回地随机抽取5个篮球进行质量检测，记抽到的一等品的个数为，则当取得最大值时，（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用超几何分布求出，再利用最大值情况列出不等式求解. 【详解】依题意，服从超几何分布，则， 当取得最大值时，，即， 解得，，所以. 故选：B 8．（24-25高二下·江西·期末）某商家开展促销活动，已知当天参加活动的顾客中，消费超过200元的顾客的频率为，用频率估计概率，现从参加活动的顾客中随机抽取20人赠送小礼品，若这20人中有人消费超过200元的概率最大，则的值为（    ） A．7 B．8 C．9 D．8或9 【答案】B 【分析】由题知抽到消费超过200元的人数，，则，再利用组合数的性质求最大值即可. 【详解】由题知抽到消费超过200元的人数，， 则，又这20人中有人消费超过200元的概率最大， 所以， 即，解得， 又，所以. 故选：B. 二、多选题 9．（24-25高二上·辽宁·期末）从6名女生和8名男生中任选5人去阳光敬老院参加志愿服务，用表示所选5人中女生的人数，用表示所选5人中男生的人数，则下列结论正确的是（    ） 备注：一般地，若一个随机变量的分布列为，其中，则称. A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】根据超几何分布的概念和性质，逐项判定，即可求解. 【详解】由题意，从6名女生和8名男生中任选5人， 则所选5人中女生的人数和男生的人数Y服从超几何分布， 即，所以选项A错误，选项B正确； 又由超几何分布的均值公式，可得: ,, 所以, ,所以选项C，D正确. 故选：BCD 10．（24-25高二下·宁夏银川·月考）某人在次射击中击中目标的次数为，且，其中，，则下列说法正确的是（    ） A．若，，则 B．若确定，则当时，有最大值 C．若，，则当或时，取得最大值 D．若，，则 【答案】BCD 【分析】对于A，根据即可计算出均值；对于B，根据，即可以计算出的值；对于C，根据写出的表达式，然后根据取最大值列式计算即可判断；对于D，根据即可计算得出结论. 【详解】对于A，在5次射击中击中目标的次数， 则，故A错误； 对于B，， 当时，取得最大值，故B正确； 对于C，在9次射击中击中目标的次数， 当时对应的概率， 因为取最大值， ∴， 即，即， 解得， 因为且，所以或，取得最大值，故C正确； 对于D，在5次射击中击中目标的次数， ，故D正确. 故选：BCD. 11．（25-26高二上·辽宁葫芦岛·期末）一个盒子里装有大小相同的4个黑球、2个白球，从中任取2个，其中白球的个数记为，则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】根据超几何分布和期望、方差公式计算即可. 【详解】对于A：任取2个中有0个白球的概率是，A正确； 对于B：由题意知，所以，B错误； 对于C：由题意知，. 所以，C正确； 对于D：，因为， 所以，所以. 所以，D错误. 故选：AC. 三、填空题 12．（24-25高二下·甘肃平凉·期末）一个盒子里有1个红1个绿2个黄四个相同的球，每次拿一个，记下颜色后放回，一共拿4次，设拿出黄球的次数为，则________. 【答案】2 【分析】由二项分布均值公式即可求解. 【详解】每一次拿球拿到黄球的概率是，则， 所以. 故答案为：2 13．（25-26高二上·黑龙江齐齐哈尔·期末）已知随机变量，随机变量，则________. 【答案】 【分析】利用二项分布的方差公式求出，再由方差的性质计算. 【详解】因为，所以， 故. 故答案为：. 14．（24-25高二下·安徽蚌埠·期中）设随机变量，其中且，若，，则________________. 【答案】/ 【分析】先利用期望的性质及，求出，再根据二项分布的期望，方差的公式求出，再利用方差的性质求解即可. 【详解】因为，， 又因为，所以，解得. 因为随机变量，其期望，所以. 因为二项分布的方差，解得. 因为，将，代入可得 . 故答案为： 四、解答题 15．（24-25高二下·山西临汾·月考）盒中有四张卡片，分别标有数字1，2，3，4，现从盒中任取两张卡片，记取到偶数的个数为X.求： (1)； (2)X的分布列. 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）利用超几何分布求概率即可； （2）利用超几何分布求概率，再写分布列即可. 【详解】（1）; （2）因为两张卡片中取到偶数的个数的可能取值有， 所以，，， 即的分布列为： 16．（24-25高二下·河南驻马店·期末）某人工智能芯片需经过两道独立的性能测试．首次测试（测试Ⅰ）通过率为p（），未通过测试Ⅰ的芯片进入第二次测试（测试Ⅱ），通过率为q（）．通过任意一次测试即为合格芯片，否则报废． (1)若某批次生产了n枚芯片，合格数为随机变量X．当，时，求X的期望与方差； (2)已知一枚芯片合格，求这枚芯片是通过测试Ⅰ的概率． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）求出每个芯片通过测试的概率，判断服从二项分布，结合期望和方差的公式即可求解； （2）分别求出，，再利用条件概率公式求解即可． 【详解】（1）设事件A：芯片合格， 则每个芯片通过测试的概率为， 于是， 则，. （2）记事件A：芯片合格，事件B：通过测试I，事件C：通过测试Ⅱ． 由题意得， ， 则， 故所求概率为． 17．（25-26高二下·辽宁大连·月考）一名学生每天骑车上学，从他家到学校的途中有5个交通岗，假设他在各个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率都是. (1)设为这名学生在途中遇到红灯的次数，求的分布列、期望、方差； (2)设为这名学生在首次停车前经过的路口数，求的分布列； 【答案】(1) 0 1 2 3 4 5 ， (2) 0 1 2 3 4 5 【分析】（1）根据题意服从二项分布，然后求出的分布列、期望、方差； （2）为这名学生在首次停车前经过的路口数，即遇到红灯前经过的路口数或到校后经过的路口数，然后分别求概率. 【详解】（1）由题意可知，可取，服从二项分布， 则，， ，， ，. 由此得X的分布列 0 1 2 3 4 5 所以， . （2）由于为这名学生在首次停车前经过的路口数， 显然是随机变量，可取， ，，， ，，， 由此得Y的分布列 0 1 2 3 4 5 18．（24-25高二上·贵州遵义·期末）某商场为了促进消费，推出购物优惠活动、消费者购物每满300元可参加一次抽奖，抽奖活动如下：抽奖箱设置3个红球和2个白球，每次抽取2个球.若抽中2个白球，返现金50元；若抽中1个红球和1个白球，返现金30元；若抽中2个红球，返现金20元. (1)顾客恰好消费了300元，设他所获得返现金额为随机变量.求的分布列与数学期望； (2)顾客消费了1000元： ①顾客获得返现金额为100元的概率是多少？ ②若该商场同时还推出购物享九折优惠活动（减免总金额的），则顾客应选择哪种方案更优惠？（备注：不能同时参加抽奖和打折活动） 【答案】(1)答案见解析 (2)①0.108；②打折更划算 【分析】（1）根据超几何分布结合对应的奖金，列出相应的概率即可； （2）消费1000元可知抽奖3次，而抽到100元的可能恰好是抽到20元，30元，50元这种组合；对于打折和抽奖，分别算出每种情况的优惠，然后对比即可. 【详解】（1）设某顾客参加一次抽奖获得返现金额，可能取值为20，30，50， 则，， 则的分布列如下表： 20 30 50 （2）①由题意刚好可以抽三次，分别为50元、30元、20元各一次，则概率为0.108. ②若打九折，需支付金额为：（元）. 由（1）知每次抽中的均值为元，则抽取三次总的均值为：（元）. 因为，故打折更划算. 19．（25-26高二·全国·假期作业）某学校从全体师生中随机抽取30位男生、30位女生、12位教师一起参加社会实践活动. (1)假设30位男生身高均不相同，记其身高的第80百分位数为，从学校全体男生中随机选取3人，记为3人中身高不超过的人数，以频率估计概率求的分布列； (2)从参加社会实践活动的72人中一次性随机选出30位，记被选出的人中恰好有个男生的概率为，求使得取得最大值的的值. 【答案】(1)分布列见解析 (2). 【分析】（1）根据二项分布求出的可能取值和对应的概率，进而得到的分布列. （2）根据题意先列出的表达式，进而确定最值. 【详解】（1）所有可能的取值为，且. ； ； ； . 故的分布列为 0 1 2 3 0.008 0.096 0.384 0.512 （2）设事件为“被选出的人中恰好有位男生”， 则30个人中剩下个人为女生或者老师，事件包含样本点的个数为， 所以. 所以，解得. 所以， 故当时，最大. 1 学科网（北京）股份有限公司 $