第07讲：二项分布与超几何分布【七大题型】讲义-2025-2026学年高二下学期数学《考点•题型•技巧》精讲与精练高分突破（人教A版选择性必修第三册）

第07讲：二项分布与超几何分布 · 考点一：二项分布的均值 · 考点二：利用二项分布求分布列 · 考点三：二项分布的概率最大问题 · 考点四：建立二项分布解决实际问题 · 考点五:超几何分布的均值 · 考点六:超几何分布的方差 · 考点七：建超几何分布解决实际问题 知识点一：n重伯努利试验及其特征 1．n重伯努利试验的概念 将一个伯努利试验独立地重复进行n次所组成的随机试验称为n重伯努利试验． 2．n重伯努利试验的共同特征 (1)同一个伯努利试验重复做n次．(2)各次试验的结果相互独立． 知识点二：二项分布 一般地，在n重伯努利试验中，设每次试验中事件A发生的概率为p(0<p<1)，用X表示事件A发生的次数，则X的分布列为P(X＝k)＝Cpk(1－p)n－k，k＝0,1,2，…，n.称随机变量X服从二项分布，记作X～B(n，p)． 知识点三：二项分布的均值与方差 若X～B(n，p)，则E(X)＝np，D(X)＝np(1－p)． 知识点四：超几何分布 1．定义：一般地，假设一批产品共有N件，其中有M件次品，从N件产品中随机抽取n件(不放回)，用X表示抽取的n件产品中的次品数，则X的分布列为 P(X＝k)＝，k＝m，m＋1，m＋2，…，r. 其中n，N，M∈N*，M≤N，n≤N，m＝max{0，n－N＋M}，r＝min{n，M}． 如果随机变量X的分布列具有上式的形式，那么称随机变量X服从超几何分布． 2．均值：E(X)＝. 题型一：二项分布的均值 【典例1】．（2026·陕西西安·三模）设随机变量服从二项分布，若，则（   ） A． B． C． D． 【变式1】．（24-25高二下·山西·期末）若随机变量，且，则（   ） A． B． C． D． 【变式2】．（24-25高二下·山东青岛·期末）已知随机变量，随机变量，且，则（   ） A． B． C． D． 【变式3】．（24-25高二下·四川乐山·期末）若随机变量服从二项分布且，则（   ） A．3 B．6 C．9 D．12 题型二：利用二项分布求分布列 【典例2】．（2025·广东清远·一模）甲､乙两人进行象棋比赛，每局胜者得1分，负者得0分．设每局甲胜的概率为，乙胜的概率为，且各局胜负相互独立，五局比赛结束后甲比乙至少多得2分的概率为__________．（结果用数字作答） 【变式1】．（24-25高二下·福建泉州·期末）一批产品的一等品率为，从这批产品中每次抽取一件，有放回地抽取次，用表示抽到的一等品的件数，若，，则满足条件的的最小值为_____. 【变式2】．（24-25高二下·天津·月考）某射击俱乐部开展青少年射击培训，俱乐部共有6支气枪，其中有2支气枪未经试射校正，有4支气枪已校正，若用校正过的气枪射击，射中目标的概率为0.8，用未校正过的气枪射击，射中目标的概率为0.4，某少年射手任取一支气枪进行1次射击，射中目标的概率是：________；若此少年射手任取一支气枪进行3次射击，每次射击结果相互不影响，则恰有2次射中目标的概率为________． 【变式3】．（24-25高二下·广东深圳·期中）一枪手进行射击训练，共射击6次，每次命中概率相同，且每次射击相互独立，总共命中2次的概率和总共脱靶3次的概率相同，则其命中的概率为_______. 题型三：二项分布的概率最大问题 【典例3】．（24-25高二下·河南信阳·期末）某人在次射击中击中目标的次数为，且，记，，若是唯一的最大值，则的值为（    ） A．1.28 B．1.6 C．6.4 D．8 【变式1】．（24-25高二下·四川广元·期末）若随机变量X服从二项分布，则取得最大值时，（   ） A．2或3 B．2 C．3 D．4 【变式2】．（24-25高二下·江西·期末）某商家开展促销活动，已知当天参加活动的顾客中，消费超过200元的顾客的频率为，用频率估计概率，现从参加活动的顾客中随机抽取20人赠送小礼品，若这20人中有人消费超过200元的概率最大，则的值为（    ） A．7 B．8 C．9 D．8或9 【变式3】．（24-25高二下·安徽·月考）小明参加了一档综艺节目，节目中有这样一个游戏：如图，参与者一开始站在“0点”的格子中，每次向右移动1格或移动2格，其中每次向右移动1格的概率为p（），向右移动2格的概率为，要求参与者一共移动5次，每次移动之间互不影响，奖品放在“7点”的格子中，5次移动结束后参与者正好停在“7点”格子中才能获得奖品，小明为了尽可能的拿到奖品，则p的值为（    ） 0（小明） 1 2 3 4 5 6 7（奖品） 8 9 10 A．0.2 B．0.4 C．0.5 D．0.6 题型四：建立二项分布解决实际问题 【典例4】．（24-25高二下·安徽芜湖·期中）食品安全问题越来越受到人们的重视，某超市在某种蔬菜进货前，要求食品安检部门对每箱蔬菜进行三轮各项指标的综合检测，只有三轮检测都合格，蔬菜才能在该超市销售.已知每箱这种蔬菜第一轮检测不合格的概率为，第二轮检测不合格的概率为，第三轮检测不合格的概率为，每轮检测只有合格与不合格两种情况，且各轮检测是否合格相互独立. (1)求每箱这种蔬菜不能在该超市销售的概率为； (2)若这种蔬菜能在该超市销售，则每箱可获利元，若不能在该超市销售，则每箱亏损元，现有箱这种蔬菜，求这箱蔬菜总收益的均值. 【变式1】．（25-26高二上·贵州遵义·期中）齐王与田忌赛马，田忌的上等马优于齐王的中等马，劣于齐王的上等马；田忌的中等马优于齐王的下等马，劣于齐王的中等马；田忌的下等马劣于齐王的下等马.现齐王与田忌各出上等马、中等马、下等马一匹，进行三场比赛，每场双方均任意选一匹马参赛，胜两场或两场以上的人获得这次比赛的胜利， (1)求田忌获胜的概率； (2)若某月齐王与田忌进行了这样的三次比赛，并且各次比赛结果互不影响，求田忌至少赢得两次比赛的概率. 【变式2】．（2025高三·全国·专题练习）“分布式计算系统”是由多台计算机组成的用以提高计算效率的计算机系统．在一个分布式计算系统中，若一次计算中发生故障的计算机数不超过总计算机数的，则称这次计算是“优质计算”，某科技公司采购了一批共计台计算机用于搭建分布式计算系统，每台计算机的故障率均为． (1)若，，记为一次计算中正常运行的计算机数量，求的分布列和数学期望； (2)若，，请估计一次计算中正常运行的计算机数量最有可能是多少？ 【变式3】．（22-23高二下·河南商丘·期末）某校开展“学习二十大，永远跟党走”网络知识竞赛．每人可参加多轮答题活动，每轮答题情况互不影响、每轮比赛共有两组题，每组都有两道题，只有第一组的两道题均答对，方可进行第二组答题，否则本轮答题结束．已知甲同学第一组每道题答对的概率均为，第二组每道题答对的概率均为，两组题至少答对3题才可获得一枚纪念章． (1)记甲同学在一轮比赛中答对的题目数为，请写出的分布列，并求； (2)若甲同学进行了4轮答题，求甲同学恰好获得2枚纪念章的概率． 题型五:超几何分布的均值 【典例5】．（2026高二下·全国·专题练习）在的二项展开式中任取2项，若用随机变量表示取出的2项中系数为奇数的项数，则随机变量的均值________． 【变式1】．（24-25高二下·河北邢台·月考）为了解甲、乙两个农场某种水果的品质，某调研小组利用分层随机抽样的方法抽取500个甲、乙两个农场的该种水果，并将这500个水果分为大果和小果两种品级，其中来自甲农场的该种水果数量为200，来自甲、乙农场的大果数量均为80．抽取的该批水果中色泽红润，果实饱满的水果作为精品果售出，剩余水果作为普通果售出．已知精品果中大果的占比为，普通果中大果与小果的数量之比为，精品果利润为10元/个，普通果利润为5元/个．现从这500个水果中随机抽取4个，设这4个水果中精品果的个数为X，这4个水果的总利润为Y元，则．_______，________． 【变式2】．（23-24高二下·云南保山·月考）为深入学习贯彻党的二十大精神，推动全市党员干部群众用好“学习强国”学习平台，某单位组织“学习强国”知识竞赛，竞赛共有10道题目，随机抽取3道让参赛者回答，规定参赛者至少要答对其中2道才能通过初试.已知某参赛党员甲只能答对其中的6道，那么党员甲抽到能答对题目数的数学期望为__________. 【变式3】．（23-24高二下·北京海淀·期末）某学校组织趣味运动会，一共设置了3个项目（其中只包含1个球类项目），每位教师只能从3个项目中随机选择2个参加，设李老师选择的2个项目中所含球类项目的数量为，则的所有可能取值为_________，数学期望_________． 题型六:超几何分布的方差 【典例6】．（25-26高二上·山东·期末）设随机变量服从超几何分布，从含有5个红球､3个白球的总体中不放回抽取4个球，记为抽取的红球个数，则的方差__________（结果用分数表示）. 【变式1】．（25-26高三上·江苏南京·月考）3名男生和3名女生中随机选择两人，设选到男生的人数为，则的方差为______. 【变式2】．（24-25高二下·河北沧州·期中）已知圆周率，用四舍五入法把精确到的近似值分别为，从这5个近似值中任取3个，记这3个值中大于的个数为，则__________. 【变式3】．（20-21高二·全国·课后作业）盒中有2个白球，3个黑球，从中任取3个球，以表示取到白球的个数，表示取到黑球的个数．给出下列各项： ①，；②；③；④. 其中正确的是________．(填上所有正确项的序号) 题型七：建立超几何分布解决实际问题 【典例7】．（25-26高二上·北京昌平·期末）在全民抗击新冠肺炎疫情期间，北京市开展了“停课不停学”活动，此活动为学生提供了多种网络课程资源以供选择使用.活动开展一个月后，某学校随机抽取了高三年级的甲、乙两个班级进行网络问卷调查，统计学生每天的学习时间.这两个班级各有40名学生，均提供了有效的数据，将样本数据整理得到如下频率分布直方图： (1)已知该校高三年级共有600名学生，根据统计数据知，甲班每天学习时间不超过4小时的学生频率为0.05，乙班每天学习时间不超过4小时的学生频率为0.1，求甲、乙两班每天学习时间不超过4小时的学生各多少人？ (2)从甲、乙两个班级每天学习时间不超过4小时的学生中随机抽取3人，记从乙班抽到的学生人数为，求的分布列和数学期望； (3)记甲、乙两个班级学生每天学习时间的方差分别为，，试比较，的大小.（只需写出结论） 【变式1】．（2026·重庆九龙坡·一模）某企业为了提高生产效率和产品质量，更新了机器设备，为了检验新机器生产零件的质量，该企业质检部门要对新机器生产的零件抽样检测. (1)在调试生产初期，质检部门抽检该机器生产的10个零件中有2个为次品，现从这10个零件中随机抽取3个零件，设抽取的零件为次品的个数为，求的分布列和数学期望; (2)在正式生产后，质检部门从新机器生产的一批零件中随机抽取100件进行检验，其中有3件为次品. 用频率估计概率，现从新机器生产的这批零件中随机抽取个零件，记这个零件中恰有2件为次品的概率为，求取得最大值时的值. 【变式2】．（25-26高二上·辽宁朝阳·期末）2025年春节期间，电影《哪吒之魔童降世2》票房破百亿，整个电影界都为之欢腾，这是中国动画电影的一大步，也是世界电影史上的一次壮丽篇章．现随机抽取100位市民，将市民按年龄分为“青年组”和“非青年组”，同时统计是否看过电影《哪吒之魔童降世2》的样本观测数据整理如下： 看过 没看过 合计 青年组 30 20 50 非青年组 15 35 50 合计 45 55 100 记表示“抽取到的市民没看过《哪吒之魔童降世2》”，其概率为表示“抽取到的市民为非青年组”，其概率为． (1)给出的估计值； (2)现从抽取的青年组市民中，按是否看过《哪吒之魔童降世2》用分层抽样的方法选出5人组成一个小组，从抽取的5人中再抽取3人赠送《哪吒之魔童降世2》的电影票，求这3人中看过《哪吒之魔童降世2》的人数的分布列和数学期望． 【变式3】．（25-26高二上·江西·期末）2024年10月30日神舟十九号载人飞船成功发射，不仅顺利进入了预定轨道，还与已经在太空中的目标飞行器实现了精准对接，完成了“顺利会师”的壮举，此次任务的圆满完成，不仅标志着中国在载人航天领域取得了新的突破，也为中国未来的深空探索奠定了坚实的基础．为进一步宣传中国航空航天伟大成就，培养学生对航空事业的兴趣和爱国情怀，某中学举办了以“探索航空，爱国起航”为主题的知识竞赛，分初赛和决赛两个环节进行．初赛环节规则如下：每位选手从10道题中随机抽取3道题作答，3道题全部答对的选手晋级决赛．决赛环节进行三轮抢答，规则如下：每位选手每轮抢到题目且回答正确得10分，抢到题目但回答错误扣5分，该轮未参与抢答或未抢到题目不得分，每轮抢答情况相互独立，最终按照决赛中三轮抢答的总得分进行排名并表彰. (1)若某选手对于初赛环节中的10道题目，只有4道能回答正确，求他在初赛环节中答对题目数量的分布列和期望； (2)已知甲晋级决赛，甲在决赛中每轮抢到题目的概率为，能回答正确的概率为，求甲在决赛中总得分大于10分的概率. 一、单选题 1．（25-26高二下·河南驻马店·开学考试）某体育用品仓库中有12个同款篮球，其中一等品有8个，二等品有4个.现从中不放回地随机抽取5个篮球进行质量检测，记抽到的一等品的个数为X，则当取得最大值时，（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 2．（25-26高二下·全国·课后作业）在16辆公共自行车中有6辆损坏，现从中任意选10辆，用表示这10辆公共自行车中损坏的辆数，下列概率中等于的是（   ） A． B． C． D． 3（25-26高二上·江西·期末）设随机变量，若，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高二上·全国·单元测试）某数学兴趣小组设计了一个开盲盒游戏：在编号为1到4的四个箱子中随机放入奖品，每个箱子中放入的奖品个数满足，每个箱子中所放奖品的个数相互独立．游戏规定：当箱子中奖品的个数超过3时，可以从该箱中取走一个奖品，否则从该箱中不取奖品．每个参与游戏的同学依次从1到4号箱子中取奖品，4个箱子都取完后该同学结束游戏，则某同学游戏结束时取走2个奖品的概率为（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高三下·陕西西安·月考）盲盒中有大小相同的3个红球，2个黑球，随机有放回的摸两次球，记X为摸到黑球的个数，随机无放回的摸两次球，记Y为摸到黑球的个数，则（ ） A．， B．， C．， D．， 6．（24-25高二下·云南曲靖·期末）某社区开展防疫值班工作，甲乙丙三人轮流参与，规则如下：①第1天安排甲值班；②第2天从乙丙两人中随机选1人值班；③第天，从前一天未值班的2人中随机选1人值班，则第天甲值班的概率为（    ） A． B． C． D． 7．（25-26高二上·全国·单元测试）泊松分布是一种描述随机现象的概率分布，在经济生活、事故预测、生物学、物理学等领域有广泛应用，泊松分布的概率分布列为，其中e为自然对数的底数，是泊松分布的均值．若随机变量服从二项分布，当很大且很小时，二项分布近似于泊松分布，其中，即，．现已知某种元件的次品率为0.01，抽检100个该种元件，则正品率大于97%的概率约为（    ）（参考数据：） A． B． C． D． 二、多选题 8．（25-26高二下·全国·单元测试）一个课外兴趣小组共有5名成员，其中3名女性成员，2名男性成员，现从中随机选取2名成员进行学习汇报，记选出女性成员的人数为，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 9．（25-26高二下·全国·课后作业）下列例子中随机变量不服从二项分布的是（   ） A．某同学投篮的命中率为0.6，他10次投篮中命中的次数 B．某射手击中目标的概率为0.9，从开始射击到击中目标所需的射击次数 C．从装有5个红球，5个白球的袋中，有放回地摸球，直到摸出白球为止，摸到白球时的摸球次数 D．有一批产品共有件，其中件为次品，采用不放回抽取方法，表示次抽取中出现次品的件数 10．（25-26高二上·江西上饶·期末）一个袋子中有5个完全相同的球，编号分别为1，2，3，4，5，现从中随机地摸出3个球作为样本.用X表示样本中球的编号为偶数的个数，用Y表示样本中球的最大编号，则（   ） A．若采取有放回摸球， B．若采取不放回摸球，则 C．若采取有放回摸球，则 D．若采取不放回摸球，则 11．（25-26高二上·山东日照·月考）下列选项正确的是（   ） A．若随机变量X服从两点分布（或0-1分布），且，则 B．若随机变量X满足，，1，2，则 C．若随机变量，则 D．某人在10次射击中，击中目标的次数为Z，若，则此人最有可能7次击中目标 12．（25-26高二上·黑龙江齐齐哈尔·期末）甲、乙两人在投篮比赛中每轮各投一次，若一方投中且另一方未投中，则投中的一方获胜，否则本轮平局.已知每轮甲、乙投中的概率分别为和，且每轮甲、乙投中与否互不影响，各轮之间也互不影响，则下列说法正确的是（   ） A．一轮比赛中乙获胜的概率为 B．若在8轮比赛中甲获胜的次数的数学期望为2，则的最小值为 C．若且，则一轮比赛中平局的概率大于 D．若，且在4轮比赛中，甲获胜2次的概率为，则或 三、填空题 13．（25-26高二上·江苏常州·期末）袋中装有标号为1，2，3，4，5且质地、大小相同的5个小球，从袋子中一次性摸出两个球，记下号码后将两球放回，如果两个号码的和是偶数，则获奖. 若有4人参与摸球，则恰好2人获奖的概率是________． 14．（25-26高三上·河北张家口·期末）某大型购物商场为吸引顾客设置购物抽奖活动，顾客消费满一定金额后可以参加抽奖活动，抽奖规则是：从一个装有6个大小、形状、质地完全相同的小球（2个红球、4个白球）的不透明盒子中每次随机抽取1个球，记下颜色后放回，摇匀后进行下一次抽取，每名顾客一共有4次抽奖机会，若前3次都抽到红球，则不需要抽第4次，根据抽出的红球数计算奖次．记为抽到红球的次数，则___________． 15．（24-25高二下·贵州铜仁·月考）已知随机变量，，则将个人分到3个不同的地方，每个人必去一个地方，每个地方至少去1人的分配方案共有___________种． 16.（2025高二上·湖北黄冈·专题练习）某罐中装有除颜色外完全相同的4个红球和3个绿球，每次随机摸出1个球，若不放回地连续摸两次球，则在第二次摸到红球的情况下，第一次也摸到红球的概率是______；若每次都是有放回地摸球，连续摸四次，摸到红球记1分，摸到绿球记0分，设四次摸球总得分为X，则X的数学期望______. 四、解答题 17．（2026·湖北宜昌·二模）某公司升级了智能客服系统，在测试时，当输入的问题表达清晰时，智能客服的回答被采纳的概率为；当输入的问题表达不清晰时，智能客服的回答被采纳的概率为．已知输入的问题表达不清晰的概率为．每次回答是否被采纳相互独立． (1)求智能客服的回答被采纳的概率； (2)在某次测试中输入了3个问题，设表示智能客服的回答被采纳的次数，求的分布列及期望、方差； (3)公司为了测试该系统是否值得推广，随机抽取了10个问题，智能客服的回答每被采纳1次计10分，不采纳则不计分．记被采纳的回答数的总得分为，若，则推广该系统．试推断该系统是否会得到推广，请说明理由， 18．（25-26高二上·安徽淮北·期末）《中国诗词大会》自开播以来受到广泛关注.为营造乐学向上的学风，某班组织古诗背诵比赛，小明、小华两位同学进入决赛阶段，需从首古诗中随机抽取首，答对多者获胜，小明可背诵其中首，而小华能背诵每首古诗的概率均为，小明、小华两位同学背诵古诗都是互不影响的. (1)求小明可以背诵首古诗的概率； (2)求小明背诵古诗数的期望与方差； (3)选哪位同学代表班级参加学校总决赛更合适? 19．（25-26高二下·全国·课堂例题）设甲、乙两位同学上学期间，每天之前到校的概率均为，假定甲、乙两位同学到校情况互不影响，且任一同学每天到校情况相互独立． (1)用X表示甲同学上学期间的三天中之前到校的天数，求随机变量X的期望； (2)设事件M为“上学期间的三天中，甲同学在之前到校的天数比乙同学在之前到校的天数恰好多2”，求事件M发生的概率． 20．（25-26高二下·河南南阳·月考）为迎接国际数学日，某班级举行数学趣味知识有奖问答活动．每位同学需回答3个题目，回答时从6个A类题目、4个B类题目中选择3个回答，A类题目每个答对得9分，B类题目每个答对得n分，每个题答对与否互不影响．已知小王每个A类题目答对的概率均为，每个B类题目答对的概率均为． (1)若小王从A类题目中随机选择3个回答，记小王答对的题目个数为X，求X的分布列． (2)若小王从所有题目中随机选择3个回答， （ⅰ）记小王选取的A类题目数为Y，求； （ⅱ）试确定n的值，使得A类题目无论选择几个总得分的期望不变． 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 第07讲：二项分布与超几何分布 · 考点一：二项分布的均值 · 考点二：利用二项分布求分布列 · 考点三：二项分布的概率最大问题 · 考点四：建立二项分布解决实际问题 · 考点五:超几何分布的均值 · 考点六:超几何分布的方差 · 考点七：建超几何分布解决实际问题 知识点一：n重伯努利试验及其特征 1．n重伯努利试验的概念 将一个伯努利试验独立地重复进行n次所组成的随机试验称为n重伯努利试验． 2．n重伯努利试验的共同特征 (1)同一个伯努利试验重复做n次．(2)各次试验的结果相互独立． 知识点二：二项分布 一般地，在n重伯努利试验中，设每次试验中事件A发生的概率为p(0<p<1)，用X表示事件A发生的次数，则X的分布列为P(X＝k)＝Cpk(1－p)n－k，k＝0,1,2，…，n.称随机变量X服从二项分布，记作X～B(n，p)． 知识点三：二项分布的均值与方差 若X～B(n，p)，则E(X)＝np，D(X)＝np(1－p)． 知识点四：超几何分布 1．定义：一般地，假设一批产品共有N件，其中有M件次品，从N件产品中随机抽取n件(不放回)，用X表示抽取的n件产品中的次品数，则X的分布列为 P(X＝k)＝，k＝m，m＋1，m＋2，…，r. 其中n，N，M∈N*，M≤N，n≤N，m＝max{0，n－N＋M}，r＝min{n，M}． 如果随机变量X的分布列具有上式的形式，那么称随机变量X服从超几何分布． 2．均值：E(X)＝. 题型一：二项分布的均值 【典例1】．（2026·陕西西安·三模）设随机变量服从二项分布，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二项分布的期望公式计算. 【详解】因为随机变量服从二项分布，故，得. 故选：C 【变式1】．（24-25高二下·山西·期末）若随机变量，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用二项分布的期望求出，再利用二项分布的概率公式求出概率. 【详解】由，，得，解得， 所以. 故选：B 【变式2】．（24-25高二下·山东青岛·期末）已知随机变量，随机变量，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据二项分布的期望公式及期望的性质求解. 【详解】因为，随机变量， 所以， 所以， 故选：A 【变式3】．（24-25高二下·四川乐山·期末）若随机变量服从二项分布且，则（   ） A．3 B．6 C．9 D．12 【答案】C 【分析】由二项分布的概率公式结合，求得，利用二项分布的期望公式和性质求解. 【详解】由，解得， 又，， 所以. 故选：C. 题型二：利用二项分布求分布列 【典例2】．（2025·广东清远·一模）甲､乙两人进行象棋比赛，每局胜者得1分，负者得0分．设每局甲胜的概率为，乙胜的概率为，且各局胜负相互独立，五局比赛结束后甲比乙至少多得2分的概率为__________．（结果用数字作答） 【答案】 【分析】利用二项分布概率公式来分两类计算即可. 【详解】事件：甲胜5局，得5分，乙得0分，则， 事件：甲胜4局，负1局，得4分，乙得1分，则， 所以五局比赛结束后甲比乙至少多得2分的概率为 故答案为： 【变式1】．（24-25高二下·福建泉州·期末）一批产品的一等品率为，从这批产品中每次抽取一件，有放回地抽取次，用表示抽到的一等品的件数，若，，则满足条件的的最小值为_____. 【答案】9 【分析】题给条件符合n次独立重复试验的条件，即服从参数为n和的二项分布，根据二项分布公式计算即可. 【详解】已知，则 ，， 又，， 所以是9的倍数，的最小值为9. 故答案为：9. 【变式2】．（24-25高二下·天津·月考）某射击俱乐部开展青少年射击培训，俱乐部共有6支气枪，其中有2支气枪未经试射校正，有4支气枪已校正，若用校正过的气枪射击，射中目标的概率为0.8，用未校正过的气枪射击，射中目标的概率为0.4，某少年射手任取一支气枪进行1次射击，射中目标的概率是：________；若此少年射手任取一支气枪进行3次射击，每次射击结果相互不影响，则恰有2次射中目标的概率为________． 【答案】 【分析】根据独立事件概率的乘法公式，求出一次射中的概率，再根据二项分布，求出三次射击恰有两次射中的概率. 【详解】由题意可知，拿到校正过的气枪概率为，拿到未校正过的气枪概率， 则随机一把气枪射中的概率为， 随机一把气枪，射击三次，每次射击结果相互不影响，则射中次数服从二项分布，则， 恰有两次射中的概率. 故答案为：，. 【变式3】．（24-25高二下·广东深圳·期中）一枪手进行射击训练，共射击6次，每次命中概率相同，且每次射击相互独立，总共命中2次的概率和总共脱靶3次的概率相同，则其命中的概率为_______. 【答案】 【分析】依题意，判断这是伯努利概型，利用二项分布概率公式列式计算即得. 【详解】设枪手命中的概率为p，因总共命中2次的概率和总共脱靶3次的概率相同， 则， 因，化简得：，解得. 故答案为：. 题型三：二项分布的概率最大问题 【典例3】．（24-25高二下·河南信阳·期末）某人在次射击中击中目标的次数为，且，记，，若是唯一的最大值，则的值为（    ） A．1.28 B．1.6 C．6.4 D．8 【答案】A 【分析】根据给定条件，列出不等式求出，再利用二项分布的期望公式计算得解. 【详解】，，， 若是唯一的最大值，则所以 解得．因为，，，，． ． 故选：A． 【变式1】．（24-25高二下·四川广元·期末）若随机变量X服从二项分布，则取得最大值时，（   ） A．2或3 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】利用计算即可. 【详解】由题可知：， 所以化简得到，又，所以2或3. 故选：A 【变式2】．（24-25高二下·江西·期末）某商家开展促销活动，已知当天参加活动的顾客中，消费超过200元的顾客的频率为，用频率估计概率，现从参加活动的顾客中随机抽取20人赠送小礼品，若这20人中有人消费超过200元的概率最大，则的值为（    ） A．7 B．8 C．9 D．8或9 【答案】B 【分析】由题知抽到消费超过200元的人数，，则，再利用组合数的性质求最大值即可. 【详解】由题知抽到消费超过200元的人数，， 则，又这20人中有人消费超过200元的概率最大， 所以， 即，解得， 又，所以. 故选：B. 【变式3】．（24-25高二下·安徽·月考）小明参加了一档综艺节目，节目中有这样一个游戏：如图，参与者一开始站在“0点”的格子中，每次向右移动1格或移动2格，其中每次向右移动1格的概率为p（），向右移动2格的概率为，要求参与者一共移动5次，每次移动之间互不影响，奖品放在“7点”的格子中，5次移动结束后参与者正好停在“7点”格子中才能获得奖品，小明为了尽可能的拿到奖品，则p的值为（    ） 0（小明） 1 2 3 4 5 6 7（奖品） 8 9 10 A．0.2 B．0.4 C．0.5 D．0.6 【答案】D 【分析】由题意可得，若五次移动结束正好停在“7点”格子中，必然是3次向右移动1格，2次向右移动2格，其概率，求导求出最值时的值. 【详解】由题意可得，若五次移动结束正好停在“7点”格子中，必然是3次向右移动1格，2次向右移动2格，其概率， 故， 当，，单调递增，当，，单调递减， 所以当时，取到最大值. 故选:D. 题型四：建立二项分布解决实际问题 【典例4】．（24-25高二下·安徽芜湖·期中）食品安全问题越来越受到人们的重视，某超市在某种蔬菜进货前，要求食品安检部门对每箱蔬菜进行三轮各项指标的综合检测，只有三轮检测都合格，蔬菜才能在该超市销售.已知每箱这种蔬菜第一轮检测不合格的概率为，第二轮检测不合格的概率为，第三轮检测不合格的概率为，每轮检测只有合格与不合格两种情况，且各轮检测是否合格相互独立. (1)求每箱这种蔬菜不能在该超市销售的概率为； (2)若这种蔬菜能在该超市销售，则每箱可获利元，若不能在该超市销售，则每箱亏损元，现有箱这种蔬菜，求这箱蔬菜总收益的均值. 【答案】(1) (2)元． 【分析】（1）记分别为事件“第一，二，三轮检测合格”，为事件“每箱这种蓅菜不能在该超市销售”．则，根据条件可求结论； （2）方法一：由条件确定随机变量的可能取值，再求取各值的概率，由此可得分布列，再由期望公式求. 方法二：设这4箱蔬菜的检验合格数量为随机变量，则，由二项分布期望公式求，结合关系和期望的性质求. 【详解】（1）记分别为事件“第一，二，三轮检测合格”，为事件“每箱这种蓅菜不能在该超市销售”． 由题意可知：， 所以． （2）方法一：设这箱蔬菜的总收益为随机变量，则的所有可能取值为，，，，， ，， ，， ， 故的分布列为： 所以的均值（元）． 方法二：设这箱蔬菜的检验合格数量为随机变量，则， 总收益为随机变量， 所以（元）． 【变式1】．（25-26高二上·贵州遵义·期中）齐王与田忌赛马，田忌的上等马优于齐王的中等马，劣于齐王的上等马；田忌的中等马优于齐王的下等马，劣于齐王的中等马；田忌的下等马劣于齐王的下等马.现齐王与田忌各出上等马、中等马、下等马一匹，进行三场比赛，每场双方均任意选一匹马参赛，胜两场或两场以上的人获得这次比赛的胜利， (1)求田忌获胜的概率； (2)若某月齐王与田忌进行了这样的三次比赛，并且各次比赛结果互不影响，求田忌至少赢得两次比赛的概率. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）基本事件总数，田忌获胜包含的基本事件只有一种可能，由此能求出田忌获胜的概率； （2）根据（1）及题意三次比赛，田忌获胜次数服从，再由求概率. 【详解】（1）齐王与田忌各出上等马，中等马，下等马一匹，共进行三场比赛，基本事件有， 田忌获胜包含的基本事件只有一种可能，即： 田忌的下等马对阵齐王的上等马，田忌的中等马对阵齐王的下等马，田忌的上等马对阵齐王的中等马， 田忌获胜的概率为； （2）由（1），每次田忌获胜概率为，所以三次比赛，田忌获胜次数服从， 所以田忌至少赢得两次比赛的概率 . 【变式2】．（2025高三·全国·专题练习）“分布式计算系统”是由多台计算机组成的用以提高计算效率的计算机系统．在一个分布式计算系统中，若一次计算中发生故障的计算机数不超过总计算机数的，则称这次计算是“优质计算”，某科技公司采购了一批共计台计算机用于搭建分布式计算系统，每台计算机的故障率均为． (1)若，，记为一次计算中正常运行的计算机数量，求的分布列和数学期望； (2)若，，请估计一次计算中正常运行的计算机数量最有可能是多少？ 【答案】(1)分布列见解析，数学期望为 (2)台或台 【分析】（1）由题意可知，，由二项分布可得出随机变量的分布列，利用二项分布的期望公式可得出的值； （2）设由台计算机组成的分布式计算系统中正常运行的计算机数为，则，解不等式组，其中，，求出的取值范围，即可得出结论. 【详解】（1）由题意可知，， 可得，， ，， 所以，随机变量的分布列如下表所示： 所以，随机变量的数学期望为. （2）设由台计算机组成的分布式计算系统中正常运行的计算机数为，则． 且， 由得，其中，， 即，解得． 所以同时正常运行的计算机数最有可能是台或台． 【变式3】．（22-23高二下·河南商丘·期末）某校开展“学习二十大，永远跟党走”网络知识竞赛．每人可参加多轮答题活动，每轮答题情况互不影响、每轮比赛共有两组题，每组都有两道题，只有第一组的两道题均答对，方可进行第二组答题，否则本轮答题结束．已知甲同学第一组每道题答对的概率均为，第二组每道题答对的概率均为，两组题至少答对3题才可获得一枚纪念章． (1)记甲同学在一轮比赛中答对的题目数为，请写出的分布列，并求； (2)若甲同学进行了4轮答题，求甲同学恰好获得2枚纪念章的概率． 【答案】(1)分布列见解析， (2) 【分析】（1）先确定的可能取值，再求取各值的概率，由此可得分布列，利用期望公式求； （2）先求甲同学每一轮获得纪念章的概率，进而可得，结合独立重复试验概率公式求甲同学恰好获得2枚纪念章的概率. 【详解】（1）由题意，X可取0，1，2，3，4． ， ， ， ， ， 则的分布列为： 0 1 2 3 4 ． （2）每一轮获得纪念章的概率为， 设4轮答题获得纪念章的数量为，则， ， 即甲同学则获得2枚纪念章的概率是． 题型五:超几何分布的均值 【典例5】．（2026高二下·全国·专题练习）在的二项展开式中任取2项，若用随机变量表示取出的2项中系数为奇数的项数，则随机变量的均值________． 【答案】/ 【分析】求出的二项展开式共10项，其中系数为奇数的项共4项，分别求出，，，从而求出． 【详解】的二项展开式共10项，其中系数为奇数的项有第一项：， 第二项：，第九项：，第十项：，共4项， 所以，，， 所以． 答案：. 【变式1】．（24-25高二下·河北邢台·月考）为了解甲、乙两个农场某种水果的品质，某调研小组利用分层随机抽样的方法抽取500个甲、乙两个农场的该种水果，并将这500个水果分为大果和小果两种品级，其中来自甲农场的该种水果数量为200，来自甲、乙农场的大果数量均为80．抽取的该批水果中色泽红润，果实饱满的水果作为精品果售出，剩余水果作为普通果售出．已知精品果中大果的占比为，普通果中大果与小果的数量之比为，精品果利润为10元/个，普通果利润为5元/个．现从这500个水果中随机抽取4个，设这4个水果中精品果的个数为X，这4个水果的总利润为Y元，则．_______，________． 【答案】 28 【分析】设抽取的该批水果中精品果的数量为x个，求出普通果的数量，根据题意列出方程求解即可求解. 【详解】设抽取的该批水果中精品果的数量为x个， 则普通果的数量为个， 由题意得， 解得，由超几何分布可知，. 故答案为：； 【变式2】．（23-24高二下·云南保山·月考）为深入学习贯彻党的二十大精神，推动全市党员干部群众用好“学习强国”学习平台，某单位组织“学习强国”知识竞赛，竞赛共有10道题目，随机抽取3道让参赛者回答，规定参赛者至少要答对其中2道才能通过初试.已知某参赛党员甲只能答对其中的6道，那么党员甲抽到能答对题目数的数学期望为__________. 【答案】 【分析】分析题意，确定的所有可能的值，运用超几何分布的概率公式求得它们的概率，列出分布列表，计算其均值即得. 【详解】由题意可得 则， ， 可得的分布列为： 0 1 2 3 期望. 故答案为：. 【变式3】．（23-24高二下·北京海淀·期末）某学校组织趣味运动会，一共设置了3个项目（其中只包含1个球类项目），每位教师只能从3个项目中随机选择2个参加，设李老师选择的2个项目中所含球类项目的数量为，则的所有可能取值为_________，数学期望_________． 【答案】 0，1； . 【分析】根据题意服从超几何分布，应用古典概型概率公式求出相应概率，再由期望公式即可得. 【详解】X的取值可能为0，1． 依题意可知服从超几何分布， 则，， 所以． 故答案为：0，1；. 题型六:超几何分布的方差 【典例6】．（25-26高二上·山东·期末）设随机变量服从超几何分布，从含有5个红球､3个白球的总体中不放回抽取4个球，记为抽取的红球个数，则的方差__________（结果用分数表示）. 【答案】 【分析】利用超几何分布的方差公式求解. 【详解】超几何分布（总体数），（红球数），（抽取数），期望，方差公式，代入得， 故答案为： 【变式1】．（25-26高三上·江苏南京·月考）3名男生和3名女生中随机选择两人，设选到男生的人数为，则的方差为______. 【答案】 【分析】先根据超几何分布的求概率公式求出不同取值情况下的概率值，利用求期望和求方差公式求出的期望和方差，再利用求方差性质求得的方差即可. 【详解】由题意，满足超几何分布，且的取值为0，1，2， 则，，， ， ， 所以. 故答案为： 【变式2】．（24-25高二下·河北沧州·期中）已知圆周率，用四舍五入法把精确到的近似值分别为，从这5个近似值中任取3个，记这3个值中大于的个数为，则__________. 【答案】/ 【详解】由已知可得，. 所以，. 所以，从这5个近似值中任取3个，记这3个值中大于的个数可能为0，1，2， 显然服从超几何分布， 所以，，，所以，， .故答案为：. 【变式3】．（20-21高二·全国·课后作业）盒中有2个白球，3个黑球，从中任取3个球，以表示取到白球的个数，表示取到黑球的个数．给出下列各项： ①，；②；③；④. 其中正确的是________．(填上所有正确项的序号) 【答案】①②④ 【详解】由题意可知X服从超几何分布，η也服从超几何分布．∴E(X)＝＝，E(η)＝＝. 又X的分布列 X 0 1 2 P ∴E(X2)＝02×＋12×＋22×＝， D(X)＝E(X2)－[E(X)]2＝－2＝. η的分布列为 η 1 2 3 P ∴E(η2)＝12×＋22×＋32×＝， D(η)＝E(η2)－[E(η)]2＝－2＝. ∴E(X2)＝E(η)，D(X)＝D(η)，∴①②④正确． 故答案为：①②④. 题型七：建立超几何分布解决实际问题 【典例7】．（25-26高二上·北京昌平·期末）在全民抗击新冠肺炎疫情期间，北京市开展了“停课不停学”活动，此活动为学生提供了多种网络课程资源以供选择使用.活动开展一个月后，某学校随机抽取了高三年级的甲、乙两个班级进行网络问卷调查，统计学生每天的学习时间.这两个班级各有40名学生，均提供了有效的数据，将样本数据整理得到如下频率分布直方图： (1)已知该校高三年级共有600名学生，根据统计数据知，甲班每天学习时间不超过4小时的学生频率为0.05，乙班每天学习时间不超过4小时的学生频率为0.1，求甲、乙两班每天学习时间不超过4小时的学生各多少人？ (2)从甲、乙两个班级每天学习时间不超过4小时的学生中随机抽取3人，记从乙班抽到的学生人数为，求的分布列和数学期望； (3)记甲、乙两个班级学生每天学习时间的方差分别为，，试比较，的大小.（只需写出结论） 【答案】(1)甲班每天学习时间不超过4小时的学生人数为2人，乙班每天学习时间不超过4小时的学生人数为4人 (2)分布列见详解，的数学期望为2 (3) 【分析】（1）根据频率即可直接求得甲、乙两班每天学习时间不超过4小时的学生人数； （2）记从乙班抽到的学生人数为，由题得随机变量符合超几何分布，则有，即可求，再计算均值即可. （3）从频率分布直方图，我们可以得到甲班的数据比较集中，乙班的数据比较分散，这说明甲班的离散程度小，数据波动小，方差也小，乙班的离散程度大，数据波动大，方差也大，故可得. 【详解】（1）甲班每天学习时间不超过4小时的学生人数为人， 乙班每天学习时间不超过4小时的学生人数为人. （2）两个班级每天学习时间不超过4小时的学生人数共有6人，记从乙班抽到的学生人数为，易得随机变量符合超几何分布，的取值为 则有， 则，，， 则分布列为： 1 2 3 0.2 0.6 0.2 则，即的数学期望为2. （3）根据频率分布直方图，可以观察到甲班每天学习时间较为集中，乙班学习时间较为分散，故可得乙班数据波动较大，方差较大，则有. 【变式1】．（2026·重庆九龙坡·一模）某企业为了提高生产效率和产品质量，更新了机器设备，为了检验新机器生产零件的质量，该企业质检部门要对新机器生产的零件抽样检测. (1)在调试生产初期，质检部门抽检该机器生产的10个零件中有2个为次品，现从这10个零件中随机抽取3个零件，设抽取的零件为次品的个数为，求的分布列和数学期望; (2)在正式生产后，质检部门从新机器生产的一批零件中随机抽取100件进行检验，其中有3件为次品. 用频率估计概率，现从新机器生产的这批零件中随机抽取个零件，记这个零件中恰有2件为次品的概率为，求取得最大值时的值. 【答案】(1)的分布列详见解析； (2)66 【分析】（1）根据分布列、数学期望及超几何分布概率计算公式求解即可. （2）根据二项分布求出，比较与1的大小关系，判断数列的单调性，从而找到最大值点. 【详解】（1）的可能取值为0，1，2. ，，. 所以的分布列为 0 1 2 数学期望为. （2）由频率估计概率，单次抽到次品的概率为， 则个零件中恰有2件次品的概率为. . 令，即，解得；令，解得. 因此，当时，，当时，，所以​在时取得最大值. 故取得最大值时的值为66. 【变式2】．（25-26高二上·辽宁朝阳·期末）2025年春节期间，电影《哪吒之魔童降世2》票房破百亿，整个电影界都为之欢腾，这是中国动画电影的一大步，也是世界电影史上的一次壮丽篇章．现随机抽取100位市民，将市民按年龄分为“青年组”和“非青年组”，同时统计是否看过电影《哪吒之魔童降世2》的样本观测数据整理如下： 看过 没看过 合计 青年组 30 20 50 非青年组 15 35 50 合计 45 55 100 记表示“抽取到的市民没看过《哪吒之魔童降世2》”，其概率为表示“抽取到的市民为非青年组”，其概率为． (1)给出的估计值； (2)现从抽取的青年组市民中，按是否看过《哪吒之魔童降世2》用分层抽样的方法选出5人组成一个小组，从抽取的5人中再抽取3人赠送《哪吒之魔童降世2》的电影票，求这3人中看过《哪吒之魔童降世2》的人数的分布列和数学期望． 【答案】(1)的估计值为，的估计值为，的估计值为； (2)分布列见解析，. 【分析】（1）根据古典概型求解，法一：利用条件概率公式求解；法二利用缩小样本空间法求解即可； （2）根据分层抽样求出看过和没看过《哪吒之魔童降世2》的人数，进而可知的所有可能取值，求出相应的概率即可得到分布列，进而可求数学期望（或者利用超几何分布结论求解）. 【详解】（1）A表示抽取到的市民没看过《哪吒之魔童降世2》，B表示抽取到的市民为非青年组． 样本容量，没看过电影的总人数55，抽取到的市民没看过《哪吒之魔童降世2》的频率为， 因此的估计值为， 抽取到的市民为非青年组的总人数50，抽取到的市民为非青年组的频率为， 因此的估计值为. 法一：， 在抽取到的市民没看过《哪吒之魔童降世2》条件下，抽到的市民为青年组的频率为， 因此的估计值为； 法二：， 在抽取到的市民没看过《哪吒之魔童降世2》条件下，抽到的市民为青年组的频率为， 因此的估计值为； （2）按照分层抽样，抽取的5人中看过《哪吒之魔童降世2》的有3人，没看过《哪吒之魔童降世2》的有2人， 则看过《哪吒之魔童降世2》的人数的取值范围为， 由题意，看过《哪吒之魔童降世2》的人数，则， 此时，，. 则的分布列为： X 1 2 3 所以，或． 【变式3】．（25-26高二上·江西·期末）2024年10月30日神舟十九号载人飞船成功发射，不仅顺利进入了预定轨道，还与已经在太空中的目标飞行器实现了精准对接，完成了“顺利会师”的壮举，此次任务的圆满完成，不仅标志着中国在载人航天领域取得了新的突破，也为中国未来的深空探索奠定了坚实的基础．为进一步宣传中国航空航天伟大成就，培养学生对航空事业的兴趣和爱国情怀，某中学举办了以“探索航空，爱国起航”为主题的知识竞赛，分初赛和决赛两个环节进行．初赛环节规则如下：每位选手从10道题中随机抽取3道题作答，3道题全部答对的选手晋级决赛．决赛环节进行三轮抢答，规则如下：每位选手每轮抢到题目且回答正确得10分，抢到题目但回答错误扣5分，该轮未参与抢答或未抢到题目不得分，每轮抢答情况相互独立，最终按照决赛中三轮抢答的总得分进行排名并表彰. (1)若某选手对于初赛环节中的10道题目，只有4道能回答正确，求他在初赛环节中答对题目数量的分布列和期望； (2)已知甲晋级决赛，甲在决赛中每轮抢到题目的概率为，能回答正确的概率为，求甲在决赛中总得分大于10分的概率. 【答案】(1)分布列见解析， (2) 【分析】（1）由条件确定随机变量的可能取值，再求取各值的概率，由此可得其分布列，进而求得数学期望； （2）所求事件可表示为事件得分，得分，得分的和，再求每轮比赛抢到题目答对，抢到题目答错，没抢到题目的概率，结合概率乘法公式概率加法公式求结论. 【详解】（1）设该选手初赛中答对题目数量为，的所有可能取值为 ，， ，， 的分布列为： 0 1 2 3 该选手初赛中答对题目数量的期望. （2）甲在决赛中总得分大于分的情况有以下三种： 得分（抢到次且答对次，答错次），得分（抢到次且答对次，次没抢到）， 得分（抢到次且答对次）， 设甲每轮抢到题目且答对为事件， 抢到题目且答错的概率为事件，， 没抢到题目为事件， 得分的概率， 得分的概率， 得分的概率， 甲在决赛中总得分大于分的概率. 一、单选题 1．（25-26高二下·河南驻马店·开学考试）某体育用品仓库中有12个同款篮球，其中一等品有8个，二等品有4个.现从中不放回地随机抽取5个篮球进行质量检测，记抽到的一等品的个数为X，则当取得最大值时，（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】确定随机变量的可能取值，应用超几何分布的概率求法求出对应概率值，即可得. 【详解】由题意，的可能值为，则， 所以，，，，， 所以当取得最大值时. 2．（25-26高二下·全国·课后作业）在16辆公共自行车中有6辆损坏，现从中任意选10辆，用表示这10辆公共自行车中损坏的辆数，下列概率中等于的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，可推得服从超几何分布，利用超几何分布概率公式计算即可判断. 【详解】依题意，随机变量服从超几何分布， 则，， 当时，， 故C正确. 故选：C. 3（25-26高二上·江西·期末）设随机变量，若，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据二项分布的期望公式，求得，再由，结合二次函数的性质，即可求解. 【详解】由随机变量，可得， 因为，可得，因为，所以， 又由，可得其对称轴为， 所以在单调递增，所以当，取得最大值，最大值为. 故选：B. 4．（25-26高二上·全国·单元测试）某数学兴趣小组设计了一个开盲盒游戏：在编号为1到4的四个箱子中随机放入奖品，每个箱子中放入的奖品个数满足，每个箱子中所放奖品的个数相互独立．游戏规定：当箱子中奖品的个数超过3时，可以从该箱中取走一个奖品，否则从该箱中不取奖品．每个参与游戏的同学依次从1到4号箱子中取奖品，4个箱子都取完后该同学结束游戏，则某同学游戏结束时取走2个奖品的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据分布列的性质，各取值概率之和为1，可求出分布列，进而可得到答案 【详解】因为每个箱子中放入的奖品个数满足，所以，则，所以的分布列为： 1 2 3 4 5 P 设事件为某同学能从一个箱子中取走一个奖品，则， 所以某同学能从一个箱子中取走一个奖品的概率为． 设某同学游戏结束时取走的奖品个数为，则，所以， 所以，， 所以． 故选：B 5．（24-25高三下·陕西西安·月考）盲盒中有大小相同的3个红球，2个黑球，随机有放回的摸两次球，记X为摸到黑球的个数，随机无放回的摸两次球，记Y为摸到黑球的个数，则（ ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】由题意可得随机变量服从二项分布，随机变量服从超几何分布，进而根据二项分布求，根据超几何分布求，即可得结果. 【详解】由题意可知：，则，， Y的可能取值为0，1，2， 则，，， 可得， ， 所以. 故选：B. 6．（24-25高二下·云南曲靖·期末）某社区开展防疫值班工作，甲乙丙三人轮流参与，规则如下：①第1天安排甲值班；②第2天从乙丙两人中随机选1人值班；③第天，从前一天未值班的2人中随机选1人值班，则第天甲值班的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设事件：甲第天值班，，则，设，则，构造等比数列即可求解． 【详解】设事件：甲第天值班，，则， 设，则，， 又， 是首项为，公比为的等比数列， ， 故选：C． 7．（25-26高二上·全国·单元测试）泊松分布是一种描述随机现象的概率分布，在经济生活、事故预测、生物学、物理学等领域有广泛应用，泊松分布的概率分布列为，其中e为自然对数的底数，是泊松分布的均值．若随机变量服从二项分布，当很大且很小时，二项分布近似于泊松分布，其中，即，．现已知某种元件的次品率为0.01，抽检100个该种元件，则正品率大于97%的概率约为（    ）（参考数据：） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用给定的信息，求出，再利用概率公式计算即得. 【详解】设抽检的元件中次品的个数为，则， 由题知，，，泊松分布可作为二项分布的近似， 此时，所以， 所以，， 正品率大于（即只能有0个，1个或2个次品）的概率为 ． 故选：C． 二、多选题 8．（25-26高二下·全国·单元测试）一个课外兴趣小组共有5名成员，其中3名女性成员，2名男性成员，现从中随机选取2名成员进行学习汇报，记选出女性成员的人数为，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】根据给定条件，求出的分布列，再结合期望的定义逐项计算判断即可. 【详解】由题意得，的所有可能取值为0，1，2，， ，，故A，B正确，C错误； ，故D正确． 故选：ABD. 9．（25-26高二下·全国·课后作业）下列例子中随机变量不服从二项分布的是（   ） A．某同学投篮的命中率为0.6，他10次投篮中命中的次数 B．某射手击中目标的概率为0.9，从开始射击到击中目标所需的射击次数 C．从装有5个红球，5个白球的袋中，有放回地摸球，直到摸出白球为止，摸到白球时的摸球次数 D．有一批产品共有件，其中件为次品，采用不放回抽取方法，表示次抽取中出现次品的件数 【答案】BCD 【分析】二项分布需满足固定次数n次独立重复试验、每次试验只有两个对立结果、成功概率p恒定、随机变量表示成功的次数这四大核心条件，据此逐项分析. 【详解】对于A：满足独立重复试验的全部条件，随机变量表示固定次数试验中成功的次数，服从二项分布； 对于B：的取值是，，显然不符合固定次数和成功概率恒定，因此不服从二项分布； 对于C:随机变量定义为 “直到摸出白球为止的试验次数”，本质是刻画 “首次摸到白球” 的试验次数，并非二项分布要求的 “固定n次试验中摸到白球的次数”，不符合二项分布的定义； 对于D：试验为不放回抽样，每次试验的概率会随抽样结果变化，不满足二项分布 “独立重复、概率恒定” 的条件，故不服从二项分布． 故选：BCD. 10．（25-26高二上·江西上饶·期末）一个袋子中有5个完全相同的球，编号分别为1，2，3，4，5，现从中随机地摸出3个球作为样本.用X表示样本中球的编号为偶数的个数，用Y表示样本中球的最大编号，则（   ） A．若采取有放回摸球， B．若采取不放回摸球，则 C．若采取有放回摸球，则 D．若采取不放回摸球，则 【答案】AC 【分析】根据二项分布以及超几何分布的期望和方差公式以及条件概率公式即可判断 【详解】对于，有放回的摸球，满足二项分布，且摸到偶数球的概率， 共摸次，，则根据期望公式可得，故正确； 对于，不放回的摸球，则服从超几何分布，， 根据超几何分布的期望和方差公式可得， ，故错误； 对于，有放回的摸球，根据二项分布的方差公式， 故正确； 对于，根据条件概率公式表示的最大编号是， 剩余的个从1，2，3，4中选其中偶数球有两个的概率， 则， 表示的意思是已知有两个偶数球，其中最大编号是的概率， 则，则，故错误. 故选：AC 11．（25-26高二上·山东日照·月考）下列选项正确的是（   ） A．若随机变量X服从两点分布（或0-1分布），且，则 B．若随机变量X满足，，1，2，则 C．若随机变量，则 D．某人在10次射击中，击中目标的次数为Z，若，则此人最有可能7次击中目标 【答案】BCD 【分析】利用两点分布，结合期望及方差的意义求解判断A；利用超几何分布求出期望判断B；利用二项分布求出方差判断C；利用不等式法求解判断D. 【详解】对于A，由随机变量服从两点分布，，得试验成功的概率， 因此，A错误； 对于B，由随机变量满足，， 得服从超几何分布，因此，B正确； 对于C，由随机变量，得，C正确； 对于D，，由， 得，解得， 则，即最大，此人最有可能7次击中目标，D正确． 故选：BCD 12．（25-26高二上·黑龙江齐齐哈尔·期末）甲、乙两人在投篮比赛中每轮各投一次，若一方投中且另一方未投中，则投中的一方获胜，否则本轮平局.已知每轮甲、乙投中的概率分别为和，且每轮甲、乙投中与否互不影响，各轮之间也互不影响，则下列说法正确的是（   ） A．一轮比赛中乙获胜的概率为 B．若在8轮比赛中甲获胜的次数的数学期望为2，则的最小值为 C．若且，则一轮比赛中平局的概率大于 D．若，且在4轮比赛中，甲获胜2次的概率为，则或 【答案】ACD 【分析】对于A，由独立事件的乘法公式即可判断；对于B，先计算一轮中甲获胜的概率，再由即可得到；对于C，由题可得一轮中平局的概率即可判断；对于D，当时，一轮中甲获胜的概率，则4轮比赛中，甲获胜2次的概率为即可求解. 【详解】一轮比赛中乙获胜，即乙投中甲未投中，其概率为，故A正确； 一轮比赛中甲获胜的概率为，由，知，故， 所以（当且仅当时取等号）， 可得的最小值为0，故B错误； 一轮比赛中平局的概率为，故C正确； 若，一轮比赛中甲获胜的概率， 则4轮比赛中，甲获胜2次的概率为， 解得或，当时，解得或，当时，方程无解， 综上，或，故D正确. 故选：ACD. 三、填空题 13．（25-26高二上·江苏常州·期末）袋中装有标号为1，2，3，4，5且质地、大小相同的5个小球，从袋子中一次性摸出两个球，记下号码后将两球放回，如果两个号码的和是偶数，则获奖. 若有4人参与摸球，则恰好2人获奖的概率是________． 【答案】 【分析】先确定摸一次中奖的概率，4个人摸奖，相当于发生4次试验，根据每一次发生的概率，利用独立重复试验的公式得到结果． 【详解】从袋子中一次性摸出两个球，共有种情况， 其中两个号码的和为偶数的有共4种情况， 所以一个人摸球，能够获奖的概率为， 所以4人参与摸球，恰好2人获奖的概率. 故答案为：. 14．（25-26高三上·河北张家口·期末）某大型购物商场为吸引顾客设置购物抽奖活动，顾客消费满一定金额后可以参加抽奖活动，抽奖规则是：从一个装有6个大小、形状、质地完全相同的小球（2个红球、4个白球）的不透明盒子中每次随机抽取1个球，记下颜色后放回，摇匀后进行下一次抽取，每名顾客一共有4次抽奖机会，若前3次都抽到红球，则不需要抽第4次，根据抽出的红球数计算奖次．记为抽到红球的次数，则___________． 【答案】 【分析】根据独立重复事件的概率计算求解. 【详解】包含两类：前3次都取到红球，或前3次取到2个红球和1个白球且第4次取到红球， 其概率为． 故答案为：． 15．（24-25高二下·贵州铜仁·月考）已知随机变量，，则将个人分到3个不同的地方，每个人必去一个地方，每个地方至少去1人的分配方案共有___________种． 【答案】150 【分析】根据二项分布的期望得到，然后采用先分组后排序的方法计算即可. 【详解】由，得，即， 故分配方案共有150种． 故答案为：150 16.（2025高二上·湖北黄冈·专题练习）某罐中装有除颜色外完全相同的4个红球和3个绿球，每次随机摸出1个球，若不放回地连续摸两次球，则在第二次摸到红球的情况下，第一次也摸到红球的概率是______；若每次都是有放回地摸球，连续摸四次，摸到红球记1分，摸到绿球记0分，设四次摸球总得分为X，则X的数学期望______. 【答案】 【分析】①利用条件概率公式及全概率公式即可求解第一次也摸到红球的概率； ②由题意可得，根据二项分布的特征即可求解数学期望. 【详解】①记第一次摸到红球为事件A，第二次摸到红球为事件B. . 所以. 故在第二次摸球时摸到红球的条件下，第一次摸球时摸到红球的概率为. ②由题可知，每次摸球，摸到红球的概率为，摸到绿球的概率为. 记四次摸球活动中，摸到红球的次数为，则. 因为四次摸球总得分为，所以.所以. 所以的数学期望是. 故答案为：；. 四、解答题 17．（2026·湖北宜昌·二模）某公司升级了智能客服系统，在测试时，当输入的问题表达清晰时，智能客服的回答被采纳的概率为；当输入的问题表达不清晰时，智能客服的回答被采纳的概率为．已知输入的问题表达不清晰的概率为．每次回答是否被采纳相互独立． (1)求智能客服的回答被采纳的概率； (2)在某次测试中输入了3个问题，设表示智能客服的回答被采纳的次数，求的分布列及期望、方差； (3)公司为了测试该系统是否值得推广，随机抽取了10个问题，智能客服的回答每被采纳1次计10分，不采纳则不计分．记被采纳的回答数的总得分为，若，则推广该系统．试推断该系统是否会得到推广，请说明理由， 【答案】(1) (2)，， 0 1 2 3 (3)会得到推广，因为. 【分析】（1）利用全概率公式，结合问题清晰与不清晰两种情况的采纳概率即可求解； （2）由二项分布概率模型，计算各可能次数的概率及期望、方差； （3）根据二项分布期望公式求出10个问题的总得分期望，并与75比较得出结论. 【详解】（1）设事件表示回答被采纳，事件表示问题表达清晰， 则， 则. （2）由（1）知每个问题的回答被采纳的概率，且每次回答是否被采纳相互独立， 因此随机变量服从二项分布， 则， ， ， ， ， ，， 的分布列为： 0 1 2 3 （3）随机抽取10个问题，设被采纳的次数为，则有，总得分， 则，满足推广条件，因此该系统会得到推广. 18．（25-26高二上·安徽淮北·期末）《中国诗词大会》自开播以来受到广泛关注.为营造乐学向上的学风，某班组织古诗背诵比赛，小明、小华两位同学进入决赛阶段，需从首古诗中随机抽取首，答对多者获胜，小明可背诵其中首，而小华能背诵每首古诗的概率均为，小明、小华两位同学背诵古诗都是互不影响的. (1)求小明可以背诵首古诗的概率； (2)求小明背诵古诗数的期望与方差； (3)选哪位同学代表班级参加学校总决赛更合适? 【答案】(1) (2)， (3)选小明同学代表班级参加学校总决赛更合适 【分析】（1）根据组合计数原理结合古典概型的概率公式求解即可； （2）分析可知的可能取值为、、，计算出随机变量在不同取值下的概率，结合随机变量的期望和方差公式求解即可； （3）设小华背诵的古诗数为，由题意可知，利用二项分布的期望和方差公式求出、的值，比较与、与的大小关系，即可得出结论. 【详解】（1）由题意得小明背诵首古诗的概率. （2）已知小明背诵的古诗数为，则的可能取值为、、， ，，， 所以， . （3）设小华背诵的古诗数为，由题意可知， 由二项分布的期望和方差公式可得，, 显然，，所以选小明同学代表班级参加学校总决赛更合适. 19．（25-26高二下·全国·课堂例题）设甲、乙两位同学上学期间，每天之前到校的概率均为，假定甲、乙两位同学到校情况互不影响，且任一同学每天到校情况相互独立． (1)用X表示甲同学上学期间的三天中之前到校的天数，求随机变量X的期望； (2)设事件M为“上学期间的三天中，甲同学在之前到校的天数比乙同学在之前到校的天数恰好多2”，求事件M发生的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意可知，进而按二项分布求期望可得； （2）先设乙同学上学期间的三天中到校的天数为，则，根据题意可得，再根据事件的相互独立和互斥性计算可得. 【详解】（1）因为甲上学期间的三天中到校情况相互独立，且每天之前到校的概率均为， 故，，， ，． 故的分布列为 0 1 2 3 的数学期望为． （2）设乙同学上学期间的三天中之前到校的天数为，则， 由题意，，由事件的独立性和互斥性， 得 ． 20．（25-26高二下·河南南阳·月考）为迎接国际数学日，某班级举行数学趣味知识有奖问答活动．每位同学需回答3个题目，回答时从6个A类题目、4个B类题目中选择3个回答，A类题目每个答对得9分，B类题目每个答对得n分，每个题答对与否互不影响．已知小王每个A类题目答对的概率均为，每个B类题目答对的概率均为． (1)若小王从A类题目中随机选择3个回答，记小王答对的题目个数为X，求X的分布列． (2)若小王从所有题目中随机选择3个回答， （ⅰ）记小王选取的A类题目数为Y，求； （ⅱ）试确定n的值，使得A类题目无论选择几个总得分的期望不变． 【答案】(1)答案见解析 (2)（ⅰ）；（ⅱ） 【分析】（1）先写出随机变量的所有可能取值，求出对应概率，即可得出分布列； （2）（ⅰ）先写出随机变量的所有可能取值，求出对应概率，再根据期望公式求期望即可； （ⅱ）易得小王做对题目的数量服从二项分布，做对题目的数量服从二项分布，设小王选择类题目数为，求出总期望，使得A类题目无论选择几个总得分的期望不变，则总期望与无关，进而可得出答案. 【详解】（1）由题意可取， 则，， ，， 所以X的分布列为 （2）（ⅰ）由题意可取， 则，， ，， 所以； （ⅱ）设小王选择类题目数为，则类题目数为， 由题意小王做对题目的数量服从二项分布，做对题目的数量服从二项分布， 故题目得分的期望为， 题目得分的期望为， 所以得分的总期望为， 因为A类题目无论选择几个总得分的期望不变， 所以得分的总期望与无关， 所以，解得， 所以当时，A类题目无论选择几个总得分的期望不变． 2 学科网（北京）股份有限公司 $