专题05 直线与圆、圆锥曲线（椭圆双曲线抛物线）（8大考点）（湖北专用）2026年高考数学二模分类汇编

动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题05直线与圆、圆锥曲线（椭圆双曲线抛物线） ☆8大考点概聪 考点01直线与方程 考点02圆与方程 考点03离心率 考点04轨迹问题 考点05定值问题 考点06存在性问题 考点07平分问题 考点08综合应用 考点01 直线与方程 1.(2026湖北宜昌·二模)己知坐标原点到直线1：ax+by+1=0的距离为1，则3a+4b的最大值为 2.(2026湖北二模)将直线1：x-2y=0绕点(2，)逆时针旋转0(0为锐角，其中c0s0=30 )后所得直 10 线方程为() A.y=x-1 B.y=2x-3 C.y=3x-5 D.y=4x-7 考点02 圆与方程 3.(2026湖北十堰二模)已知直线：x+y-m=0(m∈R)与圆C:x2+(y-1)2=4交于A,B两点，则|AB 的最小值为() A.√2 B.5 C.22 D.25 4.(2026湖北二模)已知圆C:(x-22+(y-2)2-8,直线1：x+y=10,过直线1上一动点P作圆C的两条 切线，切点记作A,B,则AB的最小值为() A.25 B.4V5 c.2v10 D.4v10 3 3 3 3 5.(2026湖北孝感二模)在平面直角坐标系x0y中，己知圆O:x2+y2=16,点M(-2,0).点P在直线 2x+y+I0=0上运动，过点P作圆O的两条切线，切点分别为A、B,则点M到直线AB的距离的最大值为 () 1/23 动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 A.2 B.3 C.4 D.5 6.(2026湖北宜昌·二模)己知圆C与圆C,外切于点A(2,0),且直线x=-2是圆G与圆C,的一条公切线， 则C,C,的最小值为 考点03 离心率 7.(2026湖北宜昌·二模)若椭圆C的长轴长是短轴长的√5倍，则椭圆C的离心率为() A.5 B. c.2v5 D. 5 8.(2026湖北武汉二模)已知双曲线-y =1(a>0,b>0)右焦点F也是抛物线y2=2pxp>0)的焦点， a2 b2 两曲线在第一象限的公共点为M,且MF垂直于x轴，则双曲线的离心率为 考点04 轨迹问题 9.(2026湖北武汉二模)（多选）已知曲线C:(-(x2-y-2=0,则() A.曲线C上任一点到原点的距离的最小值为√2 B.曲线C恰有八条对称轴 C.过点(0,1)的任意一条直线与曲线C的公共点个数均为偶数 D.曲线C所围成的封闭图形的面积S满足2π<S<8 10.(2026湖北武汉·二模)在平面直角坐标系x0y中，A-2,0),B(2,0)是两定点，动点T与A、B连线 的斜率之积为一4 (1)求动点T的轨迹方程； (2)过点F(1,0)的直线1与T的轨迹相交于点P,Q,直线AP,AQ与直线x=4分别交于点M,N (i)证明：MF⊥NF; (i)记△PFM,△QFN,△MFN的面积分别为S,S2,S,且S好=20S,S2,求直线I的方程 考点05 定值问题 2/23 动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 1.(2026潮北十报二核)已知椭圆C:三+广=1a>6>0的离心率为5，左、右焦点分别为R,R,过 a262 F且与x轴垂直的直线交C于A,B两点. (1)求∠AEB的大小： (②)若D(0,2)为C的上顶点，斜率为k的直线I与C交于M,N两点（异于C的上、下顶点），记直线DM,DN 的斜率分别为k,k2· (1)若k=1,k2=-2,求1的方程； ()若kk2=-1,过D作l的垂线，垂足为P,是否存在点Q,使得PQ为定值？若存在，求出点Q的坐 标；若不存在，请说明理由. 2225湖北宣各牌)已灯双直线C:号若-a>0b>0的临点F到条商近袋的师肖为1，且点 P(2,1在双曲线C上. (1)求双曲线C的方程： (2)斜率为-1的直线与双曲线C的右支交于A、B两点（异于点P). ①求直线AP、BP的斜率之和； ②若。PAB的外接圆圆心为M,试问在x轴上是否存在定点Q使MQ-MP为定值，若存在，求出Q点坐 标，若不存在，请说明理由. 考点06 存在性问题 13.C2026湖北恩施三模)已知椭圆C元+京=a>b>0与直线2x+ay+b-10=0交于A3,0,B10,6一 两点。 (1)求椭圆C的方程； (2)若C上存在关于原点对称的两点M,N,使得△MAB与△NAB的面积相等，求这两点的坐标. 14.(2026湖北二模)如图，椭圆号+y'=1与双曲线y=>0)在第一象限交于4，B两点。 4 1/23 动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 B (I)AB直线的斜率是否为定值，若是，求出其取值，若不是，请说明理由； (2)若D(2,O),x轴上存在一点P满足PA=PB,且LABP+∠BPD=90°，求t的值. 15.(2026装孝感二俊)已知限情浅C:若若-a>Q6>0的一条裔近线的领斜角为5点r2-在 双曲线C上.点M为双曲线C右支上除右顶点外的任意点. (1)求双曲线C的标准方程： (2)证明：点M到C的两条渐近线的距离之积为定值； ③)已知C的左顶点A和右焦点F,直线AM与直线：x=相交于点N,试问是否存在常数元，使得 ∠AFM=1∠AFN?若存在，请求出2的值；若不存在，请说明理由. 考点07 平分问题 6(2026湖北宜昌模)已知椭圆CC+a>b>0经过点04，，上，R为C的左，右焦点 F,F=6 (1)求椭圆C的标准方程； (2)设直线l:x=my+3(m≥1)与椭圆C交于A,B两点，直线过点M(-1,0),且交y轴于点N,已知l⊥1. (i)求证：FN平分∠AFB; (iⅱ)若aAMN与△BMN的面积之比为3，求直线Z的方程 17.(2026湖北黄冈二模)已知抛物线C:y2=2px(p>0),F为其焦点，直线1过点F交抛物线C于A、B 两点，若三角形04B面积的最小值为 9 (1)求P; (②)若三角形0AB外接圆与抛物线的最后一个交点为点T. ()设Ax,y),B(x2,y2,T(x3,y3,证明：=-(y+2). (i)若TF平分∠ATB,求线段TF长度的所有可能取值. 2/23 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 18.（2026湖北二模)如图，有一个“果圆”，y轴左边为一个半圆，y轴右边为一个半椭圆（焦点在x轴上）， 且它与y轴正半轴的交点为P(0,1,椭圆的离心率为 2 (1)求半椭圆的标准方程： (2)过点M(-1,0)作直线1与果圆交于另一点N(N与M不重合)，若△PMN的面积为1，求直线l的方程： (3)若x轴上方有一条斜率为0的直线AB与果圆相交于A、B两点，连接A0、BO并延长，分别交果圆于 C、点D,连接CD,记AOB、△COD的面积分别为S、S,求令的最大值 考点08 综合应用 19.(2026湖北二模)在同一坐标系下，下面4条抛物线中开口最大的为() A.x2=y B.x2=2y C.x2=3y D.x2=4y 0,2026潮北恩隆二装)双曲线号石1的左右焦点分别为人，片，双储线右支上一点M满足 MF⊥MF,则直线MF的斜率为 21.(2026湖北二模)已知F、5为椭圆C:亡+少-1的两个焦点，P、Q为C上关于坐标原点对称的两 164 点，若四边形PFQF为矩形，则四边形PFQF的外接圆面积为() A.16π B.12π C.8π D.4π 22.(2026湖北宜昌·二模)（多选)已知直线1：y=k(x-1(k>0)与抛物线C:y2=4x交于A,B两点，F为 抛物线的焦点，过点F作I的垂线交直线x=-1于点D,则() A.04.0B=0 B.DA.DB=0 C.若AF=2BF,则k=2√2 D.若DF=45,则k=5 3 23.(2026湖北二模)（多选）已知对勾函数y=5x+ +2的图象是双曲线，焦点分别为F、万，直线 3 1/23 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 y=与对勾函数的图象交于A、B两点，且A和F在第一象限，过A作直线FF的垂线，垂足为N,则 () A.对勾函数的离心率为25 B.AF-BF=4 AF C. 1<2 AN D.若A5⊥BC,则K=45±西 3 24.(2026湖北十堰二模)（多选）已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,点D(-1,0)为C的准线4上 点，过焦点F且斜率大于0的直线马与C交于A,B两点(A在第一象限)，与准线交于P点，0为原 点，直线A0,BO分别交Z于M,N两点，则() A.若FA=3,则直线的斜率为√2 B.若过A点的C的切线与交于Q点，则AF⊥QF C.若△ABD的面积为4√5，则MF:WF=85 D.若PBP=BFH81,则直线么的倾斜角为写 25.(2026湖北恩施二模)（多选）已知抛物线y2=-2pxp>0)经过平移后得到曲线 「：y-m)=-2px+m2-5,m∈R,T与y轴交于A,B两点，点C坐标为1,1aABC的外接圆为圆E,则下 列说法正确的是() A.下的焦点坐标为 wi-p-5,m 2p B.圆心E在直线2x-y+2=0上 C.圆E过定点 55 22 D.若p=1V5<m<3,则圆E与「有且仅有两个交点 26.2026湖北二模)（多选）已知抛物线，=：的焦点为R,点4〔兮0， 则下列结论正确的是() A.抛物线上动点P,则PF-PA的最大值为 B.抛物线两条互相垂直的切线交点为P,若P、R、A三点共线，则P14 C。过（兮0作抛物线两条切线，切点分别为N,则三角形N的面积为 4 2/23 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 D.若抛物线第一象限上点P的切线与y轴和直线PA的夹角相等，则PI,) 27.(2026湖北孝感·二模)（多选）已知抛物线C:y2=mx的准线方程为2x+1=0.过点(0，-1)且斜率为k的 直线I与C交于A,B两个不同的点，O为坐标原点.过点A作x轴的垂线，交直线OB于点D,则下列说 法正确的是() A.曲线C的方程是y2=2x 1 B.k的取值范围为 2+w C.若>m,侧O1.O5的取值范围为0 D.线段AD的中点在一条定直线上 1/23 专题05 直线与圆、圆锥曲线（椭圆双曲线抛物线） 8大考点概览 考点01直线与方程 考点02圆与方程 考点03离心率 考点04轨迹问题 考点05定值问题 考点06存在性问题 考点07平分问题 考点08综合应用 直线与方程 考点01 1．（2026·湖北宜昌·二模）已知坐标原点到直线的距离为，则的最大值为___________． 【答案】 【分析】根据条件得到，令，可得，即可求解. 【详解】因为坐标原点到直线的距离为，则，整理得到， 令，则，其中， 所以，当且仅当时取等号， 故的最大值为. 2．（2026·湖北·二模）将直线绕点逆时针旋转（为锐角，其中）后所得直线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用题目条件计算出旋转后的直线斜率，再利用点斜式列出方程. 【详解】设直线的倾斜角为，所求直线倾斜角为α， 又为锐角，其中，所以，则， 即，故直线方程为． 故选：A 圆与方程 考点02 3．（2026·湖北十堰·二模）已知直线与圆交于，两点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】将直线方程整理为， 该式对任意实数恒成立，故需满足 解得，即直线恒过定点.圆心，半径. 圆心到定点的距离. 当直线时，弦长最小. 由弦长公式得最小值为. 故的最小值为. 4．（2026·湖北·二模）已知圆，直线，过直线上一动点作圆的两条切线，切点记作，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据几何关系可得，由此推得，再分析的取值范围，从而得到的取值范围，据此可求得的最小值． 【详解】如图所示，可知， 根据对称性易得，所以， 所以， 圆心到直线的距离，且易知， ，所以， 所以． 5．（2026·湖北孝感·二模）在平面直角坐标系中，已知圆，点．点在直线上运动，过点作圆的两条切线，切点分别为，则点到直线的距离的最大值为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】设出点的坐标，根据切线的性质可得到直线的方程，进而可知直线过定点，进而可知点到直线的距离的最大值为. 【详解】如图，设，则. 根据圆的切线性质知，以为直径的圆与圆交于两点， 即线段为两圆的公共弦. 而以为直径的圆的圆心为，半径为， 所以其方程为，即. 与圆的方程作差得直线的方程为， 将代入得，即. 因为上式对恒成立，令，解得， 所以直线恒过定点，所以点到直线的距离， 所以点到直线的距离的最大值为. 6．（2026·湖北宜昌·二模）已知圆与圆外切于点，且直线是圆与圆的一条公切线，则的最小值为__________. 【答案】8 【分析】根据已知条件分析得到点与满足抛物线定义，确定与在抛物线上，且线段是抛物线的焦点弦，求出焦点弦的最小值通径即可求解. 【详解】根据题意点与满足到定点的距离等于到直线的距离， 所以与在抛物线上，，线段是抛物线的焦点弦， 又抛物线的焦点弦最小值为抛物线的通径，所以的最小值为. 离心率 考点03 7．（2026·湖北宜昌·二模）若椭圆的长轴长是短轴长的倍，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意可求出之间的关系，结合离心率，即可求得答案. 【详解】设椭圆的长轴长为，短轴长为， 由于椭圆的长轴长是短轴长的倍，故，即， 故椭圆的离心率为. 8．（2026·湖北武汉·二模）已知双曲线右焦点也是抛物线的焦点，两曲线在第一象限的公共点为，且垂直于轴，则双曲线的离心率为______. 【答案】 【分析】联立双曲线方程和抛物线方程，代入，，得到关于离心率的齐次式，求出答案 【详解】双曲线的右焦点坐标为， 的焦点坐标为，故，， 联立与得， 又，故， 满足，故， 即，化简得， 方程每项除以得，解得， 因为，所以不合要求，舍去， ，故. 轨迹问题 考点04 9．（2026·湖北武汉·二模）（多选）已知曲线：，则（   ） A．曲线上任一点到原点的距离的最小值为 B．曲线恰有八条对称轴 C．过点的任意一条直线与曲线的公共点个数均为偶数 D．曲线所围成的封闭图形的面积满足 【答案】ABD 【分析】首先由条件确定曲线为或，画出曲线的图象，结合双曲线的对称性和性质，直线与双曲线的交点个数问题，判断选项. 【详解】由曲线可知，或， 即或或或， 如图，分别画出曲线的图象， 这4个双曲线都关于轴，轴，和对称， 如图，还有过两个曲线交点且过原点的直线也是对称轴，所以曲线有8条对称轴，故B正确； 根据对称性可知，双曲线的顶点到原点的距离最小， 不妨研究落在轴正半轴的顶点到原点的距离，时，，即， 此时顶点到原点的距离为，所以曲线上任一点到原点的距离的最小值为，故A正确； 如图，当过点的直线与的左支相切时，此时有5个交点，分别是与有2个交点， 与有2个交点，还有1个切点，共5个交点，为奇数，故C错误； 如图，根据对称性，以原点为圆心以为半径的圆在封闭图形的内部，此时圆的面积为， 设与在第一象限的交点为，， 如图，连接与的交点，得到正八边形， 正八边形的面积为，封闭图形在正八边形的内部， 所以，故D正确. 10．（2026·湖北武汉·二模）在平面直角坐标系中，，是两定点，动点与、连线的斜率之积为. (1)求动点的轨迹方程； (2)过点的直线与的轨迹相交于点，，直线，与直线分别交于点，. （ⅰ）证明：； （ⅱ）记，，的面积分别为，，，且，求直线的方程. 【答案】(1) (2)（ⅰ）证明见解析；（ⅱ）或. 【分析】（1）根据斜率之积得到方程，又与、不能重合，从而得到轨迹方程； （2）（ⅰ）设出直线方程，联立椭圆方程，得到两根之和，两根之积，计算出，证明出结论； （ⅱ）计算出，，，由得到方程，解得，求出直线的方程 【详解】（1）设点，由知，，化简得. 又与、不能重合，所以动点的轨迹方程为； （2）（ⅰ）可设直线方程为，点， 联立得，， ， 则，， 又直线、方程分别为，， 分别与联立，得，. ∴，， ∴ 所以，. （ⅱ）先证明，在任意三角形中，若，， 三角形的面积 ， 由（ⅰ）知，， ∴，同理. ∴ . 又 ， 因为，， 所以， 故， 故， 由知，，解得. 所以直线的方程为或. 定值问题 考点05 11．（2026·湖北十堰·二模）已知椭圆的离心率为，左、右焦点分别为，过且与轴垂直的直线交于A，B两点． (1)求的大小； (2)若为的上顶点，斜率为的直线与交于M，N两点（异于的上、下顶点），记直线DM，DN的斜率分别为． （i）若，求的方程； （ii）若，过作的垂线，垂足为，是否存在点，使得为定值？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)（i）（ii）存在点，使得为定值 【分析】（1）根据离心率得出与的关系，利用直角三角形中正切值求出，再由椭圆对称性得解； （2）（i）联立直线与椭圆方程，分别求出的坐标，即可求出直线方程；（ii）设直线的方程为,联立直线与椭圆方程，根据韦达定理及斜率公式表示出，化简后根据求出，可知直线过定点，由题意确定点轨迹为以为直径的圆，据此可得解. 【详解】（1）因为，所以， 又，所以， 将代入方程，得， 所以，所以， 又，所以， 由椭圆的对称性知，. （2）因为为的上顶点，所以，即，所以， 所以，所以椭圆的方程为. （i）若，则直线DM，DN的方程分别为， 由，可得，解得，所以， 即，同理可求得， 所以直线的斜率为， 所以直线的方程为，即. （ii）设直线的方程为， 由，消去并整理可得， 则， 且. 由，可得 ，解得，满足， 所以直线的方程为，所以直线过定点. 由题意知点在以为直径的圆上， 所以当点为线段的中点时，，为圆的半径，即为定值. 12．（2026·湖北宜昌·二模）已知双曲线的焦点到一条渐近线的距离为，且点在双曲线上． (1)求双曲线的方程； (2)斜率为的直线与双曲线的右支交于、两点（异于点）． ①求直线、的斜率之和； ②若的外接圆圆心为，试问在轴上是否存在定点使为定值，若存在，求出点坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)①；②存在，且点. 【分析】（1）利用点到直线的距离公式求出的值，将点的坐标代入双曲线的方程，求出的值，即可得出双曲线的方程； （2）①设点、，设直线的方程为，将该直线方程与双曲线的方程联立，列出韦达定理，结合斜率公式可求得直线、的斜率之和； ②设的外接圆方程为，分析可知方程与方程为同解方程，可得出关于、、的方程组，解出、，可得出点的坐标，求出直线的方程，当时，求出直线的方程，取点为直线与轴的交点，结合勾股定理可得出结论. 【详解】（1）双曲线的右焦点为，双曲线的渐近线方程为，即， 所以焦点到一条渐近线的距离为， 因为点在双曲线上，所以，解得， 故双曲线的标准方程为. （2）①设点、，设直线的方程为， 因为点不在直线上，则，可得， 联立，可得， 则，解得或， 由题意可得，所以且， 所以 ， 即直线、的斜率之和为. ②设的外接圆方程为， 则， 由代入， 可得， 可得， 同理可得， 所以、为关于的方程的两根， 又因为、为关于的方程的两根， 所以方程与方程为同解方程， 所以，解得， 易知点，即点，， 所以直线的方程为，即， 当时，直线的方程为，即， 直线与轴的交点为，不妨取点，此时， 则， 故在轴上存在定点，使得为定值. 存在性问题 考点06 13．（2026·湖北恩施·二模）已知椭圆与直线交于两点． (1)求椭圆的方程； (2)若上存在关于原点对称的两点，使得与的面积相等，求这两点的坐标． 【答案】(1) (2)与． 【分析】（1）代入点求出即可求解； （2）由对称性及三角形面积相等，可得，得出直线方程，联立椭圆方程求交点坐标. 【详解】（1）将点代入椭圆方程得， 将代入直线方程得，解得或（舍去）， 所以椭圆的方程为. （2）连接，如图， ’ 因为与的面积相等，则直线， 设直线的方程为 由（1）可知，直线，所以．. 由，消去，整理得关于的方程， 解得， 所以这两点坐标为与． 14．（2026·湖北·二模）如图，椭圆与双曲线在第一象限交于A，B两点． (1)直线的斜率是否为定值，若是，求出其取值，若不是，请说明理由； (2)若，x轴上存在一点P满足，且，求t的值． 【答案】(1)是定值 (2) 【分析】（1）将双曲线和椭圆方程联立，利用一元二次方程根与系数关系、根的判别式、直线斜率公式进行运算证明即可； （2）根据等腰三角形的性质，结合弦长公式、（1）中的结论进行求解即可. 【详解】（1）联立椭圆与双曲线有：消y得：，且 ， 关于的二次方程判别式，得，， 且有，，从而， 得为定值． （2）取中点M，作于H． 由， ， 由（1）， 则， 得． 15．（2026·湖北孝感·二模）已知双曲线的一条渐近线的倾斜角为，点在双曲线上．点为双曲线右支上除右顶点外的任意点． (1)求双曲线的标准方程； (2)证明：点到的两条渐近线的距离之积为定值； (3)已知的左顶点和右焦点，直线与直线相交于点．试问是否存在常数，使得？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)存在 【分析】（1）由渐近线倾斜角得到，再把点代入，建立方程求解； （2）设出点M的坐标为，，利用点到直线距离公式得到点M到双曲线C的两条渐近线的距离之积为定值； （3）先考虑时，再考虑，当M在x轴上方时，设出点的坐标，表达出，结合正切二倍角公式得到，故，当M在x轴下方时，同理可得结论. 【详解】（1）由双曲线的一条渐近线的倾斜角为，有，可得， 又由点在双曲线上，有， 代入，有，可得，， 故双曲线的标准方程为； （2）设点的坐标为，则，即． 双曲线的两条渐近线，的方程分别为，， 则点到两条渐近线的距离分别为，， 则． 所以点到双曲线的两条渐近线的距离之积为定值． （3）存在． ①当时，，又是的中点， 所以，所以，此时． ②当时． ⅰ）当在轴上方时，由，，可得， 所以直线的方程为， 把代入得． 所以，则． 由二倍角公式可得． 因为直线的斜率及， 所以，则． 因为，， 所以． ⅱ）当在轴下方时，同理可得． 故存在，使得． 平分问题 考点07 16．（2026·湖北宜昌·二模）已知椭圆经过点为的左､右焦点，且. (1)求椭圆的标准方程； (2)设直线与椭圆交于两点，直线过点，且交轴于点，已知. （i）求证：平分； （ii）若与的面积之比为3，求直线的方程. 【答案】(1) (2)（i）证明见解析；（ii）. 【分析】（1）结合题意先求解基本量，再求解椭圆方程即可. （2）（i）结合题意求出关键点的坐标，再结合向量表示出，最后结合余弦函数的性质得到角相等，进而证明结论即可，（ii）结合题意得到，再联立方程组并结合韦达定理得到和，最后得到，进而求解参数，得到直线方程即可. 【详解】（1）由题意知，则①， 因为椭圆经过点，所以②， 联立①②，解得， 故椭圆的标准方程为. （2）（i）如图，设， 则，所以， 可得， 则， 同理，又， 所以 ， ， 所以，又， 所以，即，故平分. （ii）设与相交于点，则， 即，所以， 联立，得， 则， 由韦达定理得， 不妨设，则. 联立，得， 所以， 化简得， 即，因为，所以， 所以，又，所以， 故直线的方程为，即. 17．（2026·湖北黄冈·二模）已知抛物线为其焦点，直线过点交抛物线C于两点，若三角形面积的最小值为． (1)求； (2)若三角形外接圆与抛物线的最后一个交点为点． （i）设，证明：． （ii）若平分，求线段长度的所有可能取值． 【答案】(1) (2)（i）证明见解析；（ii） 【分析】（1）根据三角形面积公式，结合一元二次方程根与系数的关系进行求解即可； （2）（i）利用圆的一般方程，结合方程解的定义进行求解即可； （ii）根据角平分线的性质，结合因式分解法进行求解即可. 【详解】（1）设直线，联立，得：，， 由韦达定理可知：． 则，当且仅当时等号成立． 此时，则，抛物线. （2）（i）由于三角形的外接圆过原点，则可设其方程为：， 将其与抛物线方程联立：得：， 由于为方程的四个根，所以， 展开比较等式两边的系数可得； （ii）因为TF平分角，由角平分线定理知：且， 所以 化简即得： 因式分解可得：， 此时，若，则重合或者重合，这都不符合题意，舍去； 所以，即， 所以，这表示满足条件的两点存在， 所以， 此时. 18．（2026·湖北·二模）如图，有一个“果圆”，轴左边为一个半圆，轴右边为一个半椭圆（焦点在轴上），且它与轴正半轴的交点为，椭圆的离心率为. (1)求半椭圆的标准方程； (2)过点作直线与果圆交于另一点（与不重合），若的面积为1，求直线的方程： (3)若轴上方有一条斜率为0的直线与果圆相交于、两点，连接、并延长，分别交果圆于点、点，连接，记、的面积分别为、，求的最大值. 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】（1）设半椭圆的方程为，结合题意，列出方程，求得的值，即可求解； （2）设点到直线的距离为，根据题意，求得，得到点落在直线上，联立方程组，求得点的坐标，进而求得的方程； （3）根据题意，转化为，设直线，联立方程组，分别求得的坐标，以及的横坐标，结合基本不等式，即可求解. 【详解】（1）设半椭圆的方程为， 因为半椭圆与轴正半轴的交点为，可得， 又因为椭圆的离心率为，可得，即， 因为，即，解得， 所以半椭圆的标准方程为. （2）设点到直线的距离为， 由点，可得直线的方程为，且， 因为若的面积为1，可得，解得， 设点落在直线时，则，解得或， 此时或， 当时，联立方程组，其中， 整理得，此时，不符合题意，舍去； 当时，联立方程组，其中， 整理得，解得或，此时点或， 所以的方程为或. （3）由， 因为，可得所以， 设直线，不妨设点在点的右边， 当时，可得“果圆”的方程为， 联立方程组，解得，此时； 当时，可得“果圆”的方程为， 联立方程组，解得，此时 所以直线，直线 联立方程组，可得， 联立方程组，可得， 则 因为 当且仅当即时，等号成立，所以. 综合应用 考点08 19．（2026·湖北·二模）在同一坐标系下，下面4条抛物线中开口最大的为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由抛物线的性质，得抛物线中，越大，抛物线开口越大， 所以抛物线中，开口最大的为. 20．（2026·湖北恩施·二模）双曲线的左右焦点分别为，双曲线右支上一点满足，则直线的斜率为______． 【答案】或2 【分析】根据双曲线的定义及勾股定理求出，结合双曲线的对称性及直线的倾斜角与的关系求解即可. 【详解】设，， 由双曲线的定义及勾股定理得，可得， ，设，则，. 又，即，解得或（舍去）， 所以直线的斜率为， 结合双曲线对称性可知，直线的斜率为或2． 21．（2026·湖北·二模）已知、为椭圆的两个焦点，、为上关于坐标原点对称的两点，若四边形为矩形，则四边形的外接圆面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出焦点坐标，根据矩形的几何性质求出矩形外接圆的半径，利用圆的面积公式可求得结果. 【详解】在椭圆中，，，则， 故、， 由四边形为矩形，知， 故该矩形的外接圆半径，故矩形的外接圆面积为． 故选：B． 22．（2026·湖北宜昌·二模）（多选）已知直线与抛物线交于两点，为抛物线的焦点，过点作的垂线交直线于点，则（    ） A． B． C．若，则 D．若，则 【答案】BCD 【分析】设，联立方程组求得，，结合向量的数量积的运算公式，可得判定A错误，B正确；由抛物线的定义和，得到，代入求得的坐标，结合斜率公式，可判定C正确；求得 ，列出方程，求得的值，可判定D正确. 【详解】对于A，设，可得 联立方程组，整理得， 可得，且， 则， 所以，所以A错误； 对于B，由抛物线的焦点为，直线的斜率为， 则过且垂直于的直线的斜率为，其方程为， 令，可得，所以，则， 所以， 又由， 所以，所以B正确； 对于C，由抛物线的定义，可得， 因为，可得，即， 因为，代入可得，即， 解得或（舍去），则， 将代入抛物线的方程，可得或（舍去），所以， 此时直线的斜率为，所以C正确； 对于D，由抛物线的焦点为且， 可得， 因为，可得，整理得，解得， 又因为，所以，所以D正确. 23．（2026·湖北·二模）（多选）已知对勾函数的图象是双曲线，焦点分别为、，直线与对勾函数的图象交于、两点，且和在第一象限，过作直线的垂线，垂足为，则（    ） A．对勾函数的离心率为 B． C． D．若，则 【答案】ABD 【详解】对勾函数的两条渐近线分别为轴和，所以它的对称轴为， 设双曲线的实轴长为，虚轴长为，且， 由双曲线的性质可知，化简可得离心率，故A正确； 对称轴与的交点坐标为和， 所以，因为，关于原点对称， 所以，故B正确； 由图可知，且，所以，故，C错误； 若，则四边形为矩形，所以， 设，故有解得，故D正确. 24．（2026·湖北十堰·二模）（多选）已知抛物线的焦点为，点为的准线上一点，过焦点且斜率大于0的直线与C交于，两点（在第一象限），与准线交于点，为原点，直线，分别交于，两点，则（   ） A．若，则直线的斜率为 B．若过点的的切线与交于点，则 C．若的面积为，则 D．若，则直线的倾斜角为 【答案】BCD 【分析】根据题意先求，进而得抛物线方程，再根据抛物线的性质和直线与抛物线的关系逐项验证即可求解. 【详解】如图： 由题意得，所以抛物线，所以， 设，直线 对于A：由，解得，所以，解得，所以，所以，故A错误； 对于B：由，所以，又点位于第一象限，所以，，所以，所以， 所以过点的切线方程为：，即，令，，所以， 所以，所以，所以，故B正确； 对于C：由，消元整理得，所以， 所以，所以， 又到直线的距离为， 所以，解得， 所以直线的直线方程为：，令得，所以， 同理得，所以 ，故C正确； 对于D：由直线，令，得，所以， 所以，所以， 由得：， 所以， 又， 所以，解得，所以， 又因为，解得，又， 所以，即，又，所以， 所以直线的斜率为，所以直线的倾斜角为，故D正确. 25．（2026·湖北恩施·二模）（多选）已知抛物线经过平移后得到曲线与轴交于两点，点坐标为的外接圆为圆，则下列说法正确的是（    ） A．的焦点坐标为 B．圆心在直线上 C．圆过定点 D．若，则圆与有且仅有两个交点 【答案】ACD 【分析】选项A由抛物线方程求出曲线焦点坐标；选项B先求出两点的坐标，再根据圆的性质求出圆心的坐标判断；选项C先求出圆的方程，然后将定点代入验证；选项D求出圆的方程联立方程判断交点个数. 【详解】已知曲线， 即， 所以焦点坐标为， 即曲线的焦点坐标，故A正确． 已知， 设的外接圆的一般方程为， 则满足以下方程组 又，又， 所以． 可得外接圆圆心的坐标为，即， 故外接圆圆心满足，B错． 又， 该外接圆经过的定点（x，y）满足， 解得（1，1）与满足题意，故圆 E经过定点，C正确． 当时，联立圆和曲线的方程有， 解得或， 因为， 所以圆和曲线有且仅有两点，D正确． 26．（2026·湖北·二模）（多选）已知抛物线的焦点为F，点，则下列结论正确的是（   ） A．抛物线上动点P，则的最大值为 B．抛物线两条互相垂直的切线交点为P，若P、F、A三点共线，则 C．过作抛物线两条切线，切点分别为M，N，则三角形的面积为 D．若抛物线第一象限上点P的切线与y轴和直线的夹角相等，则 【答案】AD 【分析】对于A，利用抛物线的定义结合距离的性质可判断其正误，对于B，利用导数求出切线方程，求出交点坐标后结合斜率乘积为1得交点纵坐标，从而可求交点坐标，故可判断其正误，对于C，同B求出切线方程后可求切点坐标，从而可求面积判断正误，对于D，求出切线的斜率，再结合两角差的正切构建关于的横坐标的方程，求出解判断其正误. 【详解】对于A，过作准线的垂线，垂足为，且垂线与轴交于， 则， 而，故，当且仅当即时等号成立， 故的最大值为，故A正确.    对于B，设切线的切点分别为， 因为，故两条切线的斜率分别为， 且，， 由可得即， 而即，故. 直线方程为， 令，解得，故，故B错误； 对于C，设切点坐标分别为，， 由B中的解析可得，， 故，且，故或， 故或， 则三角形的面积为，故C错误； 对于D，      设点，设切线与轴的交点为，由B中分析可得， 故，而， 故 ， 故，，故(舍去负根)， 故，故D正确. 故选：AD 27．（2026·湖北孝感·二模）（多选）已知抛物线的准线方程为．过点且斜率为的直线与交于，两个不同的点，为坐标原点．过点作轴的垂线，交直线于点．则下列说法正确的是（   ） A．曲线的方程是 B．的取值范围为 C．若，则的取值范围为 D．线段的中点在一条定直线上 【答案】ACD 【分析】根据准线方程求出可判断A；直线与抛物线联立，根据直线与抛物线的关系令可判断B；利用向量数量积的坐标公式结合韦达定理表示出，然后再利用二次函数的性质判断C；设线段的中点为，利用韦达定理得到可判断D. 【详解】根据题意可知准线方程为，即的准线方程为，所以，即，所以， 则抛物线的方程为：，故A正确； 依题意得直线的方程为， 当时，直线与抛物线只有一个交点，不符合题意， 当时，代入，得， 则且，解得且， 所以的取值范围是，故B错误； 设，，根据韦达定理可得：，， 所以， 代入可得：； 若，即，则， 所以， 即的取值范围是，故C正确； 因为直线的方程为，所以点的坐标为， 设线段的中点为，则，， 则， 所以点在直线上，故线段的中点在一条定直线上．故D正确. 2/23 1/23 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $