专题02 三角函数、恒等变换、解三角形、数列（8大考点）（湖北专用）2026年高考数学二模分类汇编

专题02 三角函数、恒等变换、解三角形、数列 8大考点概览 考点01三角函数的图象及其性质 考点02三角恒等变换 考点03解三角形 考点04等差数列及其性质 考点05等比数列及其性质 考点06数列递推 考点07数列的综合应用 考点08数列与不等式 三角函数的图象及其性质 考点01 1．（2026·湖北·二模）（多选）已知函数，给出下列四个命题中的真命题有（   ） A．在上单调递增 B．的最小正周期是 C．的图象关于直线对称 D．的图象关于点对称 2．（2026·湖北宜昌·二模）（多选）已知函数的部分图象如图所示，则下列正确的有（    ） A． B． C．是函数的一条对称轴 D．函数的图象可以由函数的图象向左平移个单位得到 3．（2026·湖北·二模）若函数的最大值为3. (1)求的值及函数的单调递减区间； (2)求不等式的解集. 三角恒等变换 考点02 4．（2026·湖北孝感·二模）已知、均为锐角，，，则（   ） A． B． C． D． 5．（2026·湖北·二模）函数的最大值为（   ） A．1 B． C． D．2 6．（2026·湖北宜昌·二模）已知坐标原点到直线的距离为，则的最大值为___________． 7．（2026·湖北武汉·二模）已知函数的图象关于点中心对称. (1)求，； (2)在中，角，，所对的边分别为，，，若，且，求角. 解三角形 考点03 8．（2026·湖北武汉·二模）在中，若，，，则（   ） A．0 B． C． D． 9．（2026·湖北恩施·二模）锐角中，，则（    ） A． B． C． D． 10．（2026·湖北·二模）在中，角、、的对边分别为、、，的面积记为，若且，则的形状为（    ） A．直角三角形 B．等腰非等边三角形 C．等边三角形 D．钝角三角形 11．（2026·湖北孝感·二模）在中，角，，的对边分别是，，，若，为锐角三角形，则的取值范围是_______． 12．（2026·湖北宜昌·二模）在中，内角的对边分别是． (1)求的值； (2)若，求的面积． 13．（2026·湖北十堰·二模）在中，内角A，B，C的对边分别为，，． (1)求； (2)若M为边上一点，，，判断的形状，并说明理由． 14．（2026·湖北宜昌·二模）在中，角的对边分别为，且满足. (1)求证：； (2)设点为线段延长线上一点，若，求的面积. 15．（2026·湖北黄冈·二模）锐角三角形的内角的对边分别为，且满足． (1)求角； (2)设为锐角三角形的垂心，求的值． 等差数列及其性质 考点04 16．（2026·湖北宜昌·二模）已知为等差数列的前项和，若，则（    ） A．84 B．100 C．103 D．128 17．（2026·湖北十堰·二模）已知等差数列的前项和为，若，，则（    ） A．19 B．25 C．30 D．33 18．（2026·湖北恩施·二模）等差数列的前项和为，满足，则（    ） A． B． C． D．均为的最大值 19．（2026·湖北宜昌·二模）在等差数列中，为其前项和．若，则（    ） A．420 B．210 C．198 D．105 20．（2026·湖北十堰·二模）已知等差数列的公差为，等比数列的公比为，其中，若，且存在，使得，则______；______．（用表示） 等比数列及其性质 考点05 21．（2026·湖北武汉·二模）已知数列为公比为3的等比数列，且，则______ 22．（2026·湖北黄冈·二模）（多选）已知函数有三个零点，则（   ） A．若成等差数列，则成等比数列 B．若成等比数列，则成等差数列 C．若成等差数列，则数列的公差为 D．若成等比数列，则数列的公比为 数列递推 考点06 23．（2026·湖北黄冈·二模）已知数列的前项和为，且，，则______． 24．（2026·湖北武汉·二模）若数列中，，，则（   ） A． B． C． D． 25．（2026·湖北·二模）（多选）已知数列满足，且，则的值可能是（    ） A．1 B．2026 C． D． 26．（2026·湖北宜昌·二模）（多选）已知数列，数列满足.若在数列中去掉所有与数列中某项的值相同的项，余下的项组成数列，则（    ） A． B．中存在连续三项成等比数列 C． D． 27．（2026·湖北·二模）记为数列的前n项和，已知． (1)求的通项公式； (2)设，求数列的前n项和． 28．（2026·湖北恩施·二模）已知各项均为正数的数列，满足． (1)求； (2)设数列满足，记其前项和为，且，求 数列的综合应用 考点07 29．（2026·湖北·二模）“东数西算”是一项国家战略工程，旨在通过构建全国一体化算力网络体系，将东部算力需求有序引导到西部的资源优化配置策略．某人工智能公司有两种方式租赁算力方案可供选择，一种是仅根据单位算力支付费用，另一种是租用专用超级计算机，然后再根据单位算力支付费用，下表列出了该公司调查A、B、C三个公司租赁方案的整体费用最少的租赁方案，当他有算力需求时，最优方案所需费用为（   ） 公司 算力 租赁最少费用 A公司 120万元 B公司 180万元 C公司 220万元 A．240万元 B．260万元 C．280万元 D．300万元 30．（2026·湖北孝感·二模）已知数列是各项均为正数的等差数列，且公差；数列是各项均为正数的等比数列，且公比，若项数均为项，下列说法正确的个数是（   ） ①数据，，，…，的平均数是； ②数据，，，…，的平均数是； ③若，，则数据，，，…，的中位数大于数据，，，…，的中位数； ④若，，则数据，，，…，的平均数大于数据，，，…，的平均数． A．1 B．2 C．3 D．4 数列与不等式 考点08 31．（2026·湖北孝感·二模）已知数列的前项和为，若对任意，向量，，有．数列满足，其前项和为． (1)求数列的通项公式； (2)若对任意恒成立，求实数的取值范围． 2/23 1/23 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 三角函数、恒等变换、解三角形、数列 8大考点概览 考点01三角函数的图象及其性质 考点02三角恒等变换 考点03解三角形 考点04等差数列及其性质 考点05等比数列及其性质 考点06数列递推 考点07数列的综合应用 考点08数列与不等式 三角函数的图象及其性质 考点01 1．（2026·湖北·二模）（多选）已知函数，给出下列四个命题中的真命题有（   ） A．在上单调递增 B．的最小正周期是 C．的图象关于直线对称 D．的图象关于点对称 【答案】ACD 【分析】根据正弦函数的图象与性质，利用验证法，结合选项计算依次判断即可. 【详解】A：由，得， 又函数在上单调递增，故A正确； B：由，可知的最小正周期为，故B错误； C：，所以的图象关于直线对称，故C正确； D：，所以的图象关于点对称，故D正确. 故选：ACD． 2．（2026·湖北宜昌·二模）（多选）已知函数的部分图象如图所示，则下列正确的有（    ） A． B． C．是函数的一条对称轴 D．函数的图象可以由函数的图象向左平移个单位得到 【答案】ABD 【分析】根据函数的图象，利用三角函数的性质，求得，结合三角函数的对称性，以及图象变换，逐项判断，即可求解. 【详解】A，由函数的图象，可得，可得，所以，所以A正确； B，由，可得，可得， 解得，因为，所以，所以B正确； C，由，令，可得， 令，可得，所以不是函数的一条对称轴，所以C错误； D，将函数的图象向左平移个单位， 可得，所以D正确. 3．（2026·湖北·二模）若函数的最大值为3. (1)求的值及函数的单调递减区间； (2)求不等式的解集. 【答案】(1)， (2)或 【分析】（1）先对函数中的三角部分进行化简，根据题意可建立关于的方程，求解得到值 （2）将拆分为或两个不等式，再结合化简后的函数表达式，利用正弦函数的图象与性质分别求解这两个不等式，最后取并集得到解集 【详解】（1） 因为的最大值为3，所以， ，解得， 的单调递减区间为 （2）， 可得或即或， 所以或， 解得或， 所以解集为或. 三角恒等变换 考点02 4．（2026·湖北孝感·二模）已知、均为锐角，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据同角三角函数关系式求出，，再由和两角和的正切公式即可求解. 【详解】因为，为锐角，所以，， 所以，所以. 因为，所以，， 因为，所以， 则 ， 所以，， . 5．（2026·湖北·二模）函数的最大值为（   ） A．1 B． C． D．2 【答案】B 【分析】利用向量把函数转化为模长乘积形式，进而利用数量积的性质转化为三角函数的最值问题. 【详解】设，，则． 故. 故选：B 6．（2026·湖北宜昌·二模）已知坐标原点到直线的距离为，则的最大值为___________． 【答案】 【分析】根据条件得到，令，可得，即可求解. 【详解】因为坐标原点到直线的距离为，则，整理得到， 令，则，其中， 所以，当且仅当时取等号， 故的最大值为. 7．（2026·湖北武汉·二模）已知函数的图象关于点中心对称. (1)求，； (2)在中，角，，所对的边分别为，，，若，且，求角. 【答案】(1)， (2)或 【分析】（1）将原函数化简后，利用对称性有恒成立，代入计算解出即可得； （2）利用正弦定理将边化为角后，利用两角和的正弦公式计算可得，再利用（1）中所得可求出，结合可求出，即可得. 【详解】（1）由题 ， 由函数的图象关于点中心对称， 则， 即， 即 ， 所以，解得； （2）由（1）知， 又，所以， 即， 所以.又，所以，又，所以， 又，∴， 又，所以，所以或， ∴或，又，所以或. 解三角形 考点03 8．（2026·湖北武汉·二模）在中，若，，，则（   ） A．0 B． C． D． 【答案】B 【详解】由余弦定理，. 9．（2026·湖北恩施·二模）锐角中，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先根据和求出角的值，然后确定角的范围，然后分析选项. 【详解】由题意得 ， ， ， 因为，，， 又是锐角三角形，，. ，A错误； ，B错误； 由正弦定理可知，， 即，C正确； ，D错误. 10．（2026·湖北·二模）在中，角、、的对边分别为、、，的面积记为，若且，则的形状为（    ） A．直角三角形 B．等腰非等边三角形 C．等边三角形 D．钝角三角形 【答案】C 【详解】在中，， 又可得，从而； 利用余弦定理和面积公式可将化为， 所以，从而，故是等边三角形. 11．（2026·湖北孝感·二模）在中，角，，的对边分别是，，，若，为锐角三角形，则的取值范围是_______． 【答案】 【分析】由已知条件结合余弦定理可得，方法一：设，则可得，继而可求出关于t的表达式，利用为锐角三角形，确定的取值范围，即可构造函数，利用导数求解的取值范围；方法二，利用正弦定理与和角公式推得，，再由正弦定理与二倍角公式将化成关于角的三角函数式，借助于函数的单调性即可求得其范围. 【详解】在中，由余弦定理，，结合， 可得，即（*）， 方法一：由（*）得，设，则， 为锐角三角形，则， 即， 而， 代入中， 得 恒成立， 同理可得 ， 需满足，即，解得， 结合，可得； 由，， 可得 ， 即，故， 令，则， 即在上单调递增，则， 故的取值范围是. 方法二：由（*）和正弦定理，可得， 因， 代入整理得，，即， 因，则或（舍去）， 即，则，则， 则 ， 于是，由正弦定理，， 因为锐角三角形，则有，解得， 设，则，且 ，因该函数在上单调递增， 故可得，即， 故的取值范围是. 12．（2026·湖北宜昌·二模）在中，内角的对边分别是． (1)求的值； (2)若，求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据两角和与差的正切公式，求得的值，结合三角形内角的取值范围，求得； （2）由余弦定理求出，再根据三角形面积公式求得的面积． 【详解】（1）因为， 且， 所以，整理得， 即. 所以或. 因为，所以，所以. 所以，所以，. （2）因为，， 所以由余弦定理，得 ，即，，所以. 所以. 所以的面积为. 13．（2026·湖北十堰·二模）在中，内角A，B，C的对边分别为，，． (1)求； (2)若M为边上一点，，，判断的形状，并说明理由． 【答案】(1) (2)等边三角形，理由见解析 【分析】（1）根据二倍角公式及正弦定理求解即可. （2）根据三角形面积公式得到，结合余弦定理即可求出，的值，得到为等边三角形． 【详解】（1）解：，， ， 由正弦定理得，， 即，又， ，即， 又，； （2）解： 由（1）知，，又， 所以，即平分. 因为，， ， 所以，即， 在中，， 即，解得或（舍去）， 所以，解得，所以为等边三角形. 14．（2026·湖北宜昌·二模）在中，角的对边分别为，且满足. (1)求证：； (2)设点为线段延长线上一点，若，求的面积. 【答案】(1)证明见解析 (2)6 【分析】（1）结合题意与正弦定理得到，再利用余弦定理证明即可. （2）利用余弦定理建立方程，进而求出，再利用勾股定理逆定理得到为直角三角形，最后结合三角形的面积公式求解即可. 【详解】（1）由题意得，由正弦定理得， 由余弦定理得，整理得. （2）在中，由余弦定理得， 在中，由余弦定理得， 因为与互补，所以， 即，则， 整理可得，所以， 此时，可得为直角三角形， 故的面积为. 15．（2026·湖北黄冈·二模）锐角三角形的内角的对边分别为，且满足． (1)求角； (2)设为锐角三角形的垂心，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）借助正弦定理将角化为边后，利用余弦定理计算即可得； （2）设AD垂直于BC于D，BE垂直于AC于E，AD与BE交于垂心H，则由垂心性质可得、、，再利用正弦定理可得，即有，即可得解. 【详解】（1）由条件知：，由正弦定理可得， 所以，则； （2）设AD垂直于BC于D，BE垂直于AC于E，AD与BE交于垂心H， 则，故， 有，则， 设外接圆半径为，在中用正弦定理： ， 故， 所以. 等差数列及其性质 考点04 16．（2026·湖北宜昌·二模）已知为等差数列的前项和，若，则（    ） A．84 B．100 C．103 D．128 【答案】B 【分析】设出首项和公差，得到基本量，最后求解即可. 【详解】设首项为，公差为，由题意得， 可得，解得， 则. 17．（2026·湖北十堰·二模）已知等差数列的前项和为，若，，则（    ） A．19 B．25 C．30 D．33 【答案】B 【详解】法1：设 的公差为 ，由 ，得 ，即 . 由 ，得 ，所以 . 所以 ，所以. 法2：设 的公差为 ，由题意，得 ， 即 ， 解得 ， . 所以 . 18．（2026·湖北恩施·二模）等差数列的前项和为，满足，则（    ） A． B． C． D．均为的最大值 【答案】C 【分析】根据条件可得，，根据等差数列的求和公式，分析即可得答案. 【详解】由题意， 所以．故C正确． 无法判断的正负，故A、B、D错误. 19．（2026·湖北宜昌·二模）在等差数列中，为其前项和．若，则（    ） A．420 B．210 C．198 D．105 【答案】B 【分析】根据等差数列的通项公式，求出首项和公差，按照等差数列前项和的公式，求得. 【详解】设等差数列的公差为，则， 整理得，解得. 所以. 20．（2026·湖北十堰·二模）已知等差数列的公差为，等比数列的公比为，其中，若，且存在，使得，则______；______．（用表示） 【答案】 【分析】根据，结合，可得，进而可求出，再根据，求出的表达式，再结合，即可求出，再根据等差数列前项和公式即可得解. 【详解】由题意，， 由，即， 所以， 由，可得， 所以， 所以， 又，所以， 因为存在，使得， 即，所以， 因为，且， 所以，即， 所以， 所以， 所以. 故答案为：；. 等比数列及其性质 考点05 21．（2026·湖北武汉·二模）已知数列为公比为3的等比数列，且，则______ 【答案】729 【详解】由题意得，故，， 所以. 22．（2026·湖北黄冈·二模）（多选）已知函数有三个零点，则（   ） A．若成等差数列，则成等比数列 B．若成等比数列，则成等差数列 C．若成等差数列，则数列的公差为 D．若成等比数列，则数列的公比为 【答案】ABD 【分析】对A、C：由题意可得，结合等差数列定义可得，则成等比数列，则可得，即可求出，结合，两边取对数运算可得，即可得其公差；对B、D：由，结合等比数列定义可得，则成等差数列，则可求出，即可得，即可得其公比. 【详解】当时，，不合题意； 当时，分别画出与的图象，如图： 所以； 对A、C：由题得，所以，即， 若成等差数列，则，所以， 所以成等比数列，由，则， 即，所以， 由，解得，因为， 所以， 则，即数列的公差为， 故A正确、C错误； 对B、D：由，若成等比数列，则， 则，即有，故成等差数列， 又，则， 故，即数列的公比为， 故B、D正确. 数列递推 考点06 23．（2026·湖北黄冈·二模）已知数列的前项和为，且，，则______． 【答案】 【分析】由条件易判断出数列为等比数列，确定该数列的首项和公比，求出其通项公式，再利用，即可求出的通项公式. 【详解】由题意知，由可得，所以， 因此数列是以为首项，为公比的等比数列，所以. 当且时，， 又不满足上式，所以. 24．（2026·湖北武汉·二模）若数列中，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据数列递推公式，构造函数，利用导数判断函数的单调性和函数值，从而判断数列的单调性和，判断A，同样通过作差构造函数，利用导数判断 函数的单调性，证明不等式，判断B，根据B的结果，两边取倒数，判断C，并根据累加法判断D. 【详解】，，， 所以在上单调递增，且， 因此，时，， 由，由递推式，得对所有的成立， ， 令，， 恒成立， 所以在单调递减，，因此时，， 即，数列单调递减， 因此，故A错误； B.， 令，， ， 当时，，时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增，， 所以时，，即，所以，故B错误； C.由两边取倒数，得，即，故C错误； D.由可知，，即， 根据累加法，，故D正确. 25．（2026·湖北·二模）（多选）已知数列满足，且，则的值可能是（    ） A．1 B．2026 C． D． 【答案】ACD 【详解】原式因式分解可得，故或都可成立. 数列每一项都满足时，则，A可能 ，不是的整数次幂，B不可能 第一步选择，之后所有递推都选择，则，C可能 所有递推都选择，则，D可能 26．（2026·湖北宜昌·二模）（多选）已知数列，数列满足.若在数列中去掉所有与数列中某项的值相同的项，余下的项组成数列，则（    ） A． B．中存在连续三项成等比数列 C． D． 【答案】ACD 【分析】先由与的递推关系式推出的通项公式，进而得到的通项公式，然后根据与的通项公式，依次判断ABC选项，找出它们相同的项，从而可求的前10项的和可判断D选项. 【详解】因为，所以，又因为，所以， 所以数列是首项为2，公比为2的等比数列，所以，即， 所以，故A正确； 由于，， 所以数列是首项为，公差为2的等差数列，即， 假设中存在连续三项成等比数列，设为：， 则， 化简得：，即等式无解； 所以中不存在连续三项成等比数列，故B错误； 由于，所以，故C正确； 数列的项在数列中对应的位置满足：， 即，即中被去掉的项为： ，，即第一项， ，，即第三项， ，，即第七项， ，，即第十五项， 所以,故D正确. 27．（2026·湖北·二模）记为数列的前n项和，已知． (1)求的通项公式； (2)设，求数列的前n项和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）使用退步作差即并验证首项后即可求得数列的通项公式； （2）先确定，再设出后使用错位相减即可求数列的前n项和. 【详解】（1）当时，，即， 当时，，解得， 当时，，， 则， 由可得：，即， 因为，满足公比为， 所以数列是首项，公比为的等比数列， 故数列的通项公式为. （2）由题意得，则设， 则， ， ， 即， 化简得． 故数列的前n项和. 28．（2026·湖北恩施·二模）已知各项均为正数的数列，满足． (1)求； (2)设数列满足，记其前项和为，且，求 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将代入递推式，配方得，推出，可得的公比，进而求得的通项公式； （2）由表达式得连续四项和，代入 得 ，结合枚举出唯一解，再代入具体项计算比值. 【详解】（1）由题意得，则有， 整理得， 即， 两边同时平方，得， 即，所以是以为首项，为公比的等比数列， 所以. （2）， 则， 即， 所以， 若，则，显然不成立， 若，即， 此时若：，则，亦不成立， 故，于是， 若，不成立， 所以， 综上， 所以. 故. 数列的综合应用 考点07 29．（2026·湖北·二模）“东数西算”是一项国家战略工程，旨在通过构建全国一体化算力网络体系，将东部算力需求有序引导到西部的资源优化配置策略．某人工智能公司有两种方式租赁算力方案可供选择，一种是仅根据单位算力支付费用，另一种是租用专用超级计算机，然后再根据单位算力支付费用，下表列出了该公司调查A、B、C三个公司租赁方案的整体费用最少的租赁方案，当他有算力需求时，最优方案所需费用为（   ） 公司 算力 租赁最少费用 A公司 120万元 B公司 180万元 C公司 220万元 A．240万元 B．260万元 C．280万元 D．300万元 【答案】B 【分析】设相关参数，根据题意分析整体费用最少的租赁方案的可能组合，可得，，，运算求解即可. 【详解】设方案一，单位算力费用为万元，方案二，单位算力费用为万元，租用一台超级计算机费用t万元 运算量付费 租赁方式付费 租赁最少费用 A公司 120万元 B公司 180万元 C公司 220万元 由于A、B、C三个公司租赁方案的整体费用最少， 根据数据计算量支付费用分别为，，成等差数列，与租赁最少费用120万元，180万元，220万元矛盾， 租用超级计算机分别为，，也成等差数列，与租赁最少费用120万元，180万元，220万元矛盾， 则必有某公司是根据数据计算量支付费用的． 若根据数据计算量支付费用的是B公司则， 则与A公司租赁最少费用120万元矛盾； 若根据数据计算量支付费用的是C公司则， 则与A公司租赁最少费用120万元矛盾； 故根据数据计算量支付费用的是A公司，租用超级计算机的是B公司和C公司， 则，，， 解得：，，， 若某公司有算力需求时，最优方案需费用为万， 故选：B． 30．（2026·湖北孝感·二模）已知数列是各项均为正数的等差数列，且公差；数列是各项均为正数的等比数列，且公比，若项数均为项，下列说法正确的个数是（   ） ①数据，，，…，的平均数是； ②数据，，，…，的平均数是； ③若，，则数据，，，…，的中位数大于数据，，，…，的中位数； ④若，，则数据，，，…，的平均数大于数据，，，…，的平均数． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】根据等差、等比数列的性质，结合平均数、中位数的概念逐项判断即可. 【详解】对于①选项，设的前项和为，， 所以数据，，，…，的平均数是，故①选项正确： 对于②选项，当时，取为2，4，8，平均数为，故②选项错误； 对于③选项，，，，…，的中位数是，，，，…，的中位数是， ，故③选项正确； 对于④选项，易知点在直线上，点在曲线上， 因为，所以如下图所示： 由图可知，当时，， 所以数列的前项和大于数列的前项和， 所以数列的前项的平均数比的前项的平均数大，④选项正确． 数列与不等式 考点08 31．（2026·湖北孝感·二模）已知数列的前项和为，若对任意，向量，，有．数列满足，其前项和为． (1)求数列的通项公式； (2)若对任意恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意可得，利用与关系即可求出数列的通项公式； （2）分为偶数及为奇数进行讨论，结合分组求和法与等差数列求和公式计算后解出相应不等式即可得. 【详解】（1）因为，即：．① 当时，， 又，所以． 当时，，② 由①－②整理得：． 整理得， 由累乘法得：， 代入比值：， 当时，，符合上式， 所以数列的通项公式为． （2）当为偶数时， ， 所以，为偶数， 由恒成立，得， 是偶数，当时，有最小值，所以； 当为奇数时，为偶数， ， 所以，为奇数， 由恒成立，得， 又在上单调递增， 所以当时，有最小值1，所以． 综上，实数的取值范围是 2/23 1/23 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $