专题04 计数原理与概率统计（5大考点）（湖北专用）2026年高考数学二模分类汇编

专题04 计数原理与概率统计 5大考点概览 考点01排列组合 考点02二项式定理 考点03统计 考点04概率计算 考点05分布列及期望方差 排列组合 考点01 1．（2026·湖北孝感·二模）2025年泡泡玛特旗下的IP“LABUBU”突然爆火．现有5个不同造型的“LABUBU”．把这5个“LABUBU”装入3个不同的盒内，每盒至少装一个，共有_______种不同的装法． 2．（2026·湖北恩施·二模）将4个相同的小球摆放在的方格中，要求每一个方格中只能摆放一个小球，且任意两个小球所在的方格不能恰好共用一个方格顶点，则所有摆放种数为___________． 二项式定理 考点02 3．（2026·湖北·二模）的展开式中，的系数为30，则a的值为______． 4．（2026·湖北·二模）多项式的展开式的各二项式系数的和等于__________. 5．（2026·湖北武汉·二模）在的展开式中，含项的系数为（   ） A．240 B． C．80 D． 6．（2026·湖北十堰·二模）的展开式中所有奇数项的系数和为________． 7．（2026·湖北宜昌·二模）写出一个能使的展开式中含有常数项的正整数的值为__________. 8．（2026·湖北宜昌·二模）已知二项式的展开式中仅有第4项的二项式系数最大，则展开式中项的系数为（    ） A． B． C．80 D．160 统计 考点03 9．（2026·湖北宜昌·二模）一组数据的第60百分位数为（    ） A．29 B．30 C．31 D．32 10．（2026·湖北十堰·二模）（多选）已知，记一组数据1，2，3，a，8为，则（    ） A．若的极差为9，则 B．若的分位数是6，则 C．若的平均数为3，则 D．若的方差为6.8，则 11．（2026·湖北宜昌·二模）有一组样本数据，其中．已知，设函数．则的最小值为（    ） A．19 B．100 C．190 D．200 12．（2026·湖北孝感·二模）已知数列是各项均为正数的等差数列，且公差；数列是各项均为正数的等比数列，且公比，若项数均为项，下列说法正确的个数是（   ） ①数据，，，…，的平均数是； ②数据，，，…，的平均数是； ③若，，则数据，，，…，的中位数大于数据，，，…，的中位数； ④若，，则数据，，，…，的平均数大于数据，，，…，的平均数． A．1 B．2 C．3 D．4 概率计算 考点04 13．（2026·湖北武汉·二模）在科技下乡的大趋势下，某果园使用一种智能水果分选机筛选某种水果，将该种水果分为大果和小果两类，该分选机把大果错误筛选为小果以及把小果错误筛选为大果的概率均为0.1，经过分选机筛选分类之后大果所占比例为0.58，则可推测该果园中这种水果里的大果所占的真实比例为（   ） A．0.55 B．0.6 C．0.65 D．0.7 14．（2026·湖北孝感·二模）（多选）春节假期过后，车主小张选择去该市新开的，两家共享自助洗车店洗车．已知小张第一次去，两家洗车店洗车的概率分别为和，如果小张第一次去洗车店，那么第二次去洗车店的概率为；如果小张第一次去洗车店，那么第二次去洗车店的概率为，则下列结论正确的是（   ） A．小张第一次去洗车店，第二次也去洗车店的概率为 B．小张第二次去洗车店的概率比第二次去洗车店的概率小 C．若小张第二次去了洗车店，则他第一次去洗车店的概率为 D．若小张第二次去了洗车店，则他第一次去洗车店的概率为 15．（2026·湖北武汉·二模）（多选）某工厂生产的零件质量指标．从生产的众多零件中随机抽取个零件，其中次品数，则（   ） A． B． C．（其中） D．当，时， 16．（2026·湖北·二模）CBA季后赛总决赛在甲、乙两支球队进行，总决赛采用七局四胜制（7场4胜），总决赛的主场优势授予常规赛排名更高的球队，采用“”的主客场安排（即排名高的球队先打两个主场，然后是对手的两个主场，之后若需要，交替进行一个主场）．设甲队主场取胜的概率为，客场取胜的概率为，且各场比赛结果相互独立，若甲球队常规赛排名更高，那么甲队获胜的概率是______． 17．（2026·湖北·二模）某健身房为了解“是否喜欢健身操”与年龄的关联性，随机调查了80位会员，得到的数据如表所示（单位：人）： 年龄 是否喜欢健身操 合计 喜欢健身操 不喜欢健身操 青年 15 25 40 中年 20 20 40 合计 35 45 80 (1)根据小概率值的独立性检验，能否认为是否喜欢健身操与年龄有关联？ (2)已知会员小邹选择“动感单车”“瑜伽”“普拉提”三种项目的概率依次为，，；且小邹在这三种项目中达到“训练标准”的概率依次为，，．若小邹某次训练未达到目标，求他选择的是“瑜伽”项目的概率。 附：，． 18．（2026·湖北宜昌·二模）在概率中，等效转换是计算复杂比赛概率的重要思想.例如：两位选手进行3局2胜制比赛，每局选手获胜的概率为选手获胜的概率为，且每局比赛相互独立.那么选手在“3局2胜制”的赛制中获胜的概率，可等效为：选手在3场比赛中至少赢2场.设3场比赛中选手获胜的场数为，那么服从二项分布，从而可以利用二项分布的分布列求出选手获胜的概率. (1)若，求选手在“5局3胜”的赛制中获胜的概率； (2)记选手在“局胜”的赛制中获胜的概率为；在“局胜”的赛制中，选手第一场比赛获胜的条件下，最终获胜的概率为，证明： (3)网球大满贯赛事有两个签表，上半区有名种子选手，下半区有名种子选手（且）.每次抽签都等可能地随机选择一个签表，并抽出一名种子选手进入正赛，抽中后种子选手保留在签表内（不重复抽取）.记上半区的所有种子选手先被抽完的概率为，证明：. 分布列及期望方差 考点05 19．（2026·湖北恩施·二模）（多选）设为样本的一个随机变量，则关于数学期望的表述正确的有（    ） A．样本估计总体时，总体的均值一定为 B．反应了取值的平均水平 C． D．若服从分布，则 20．（2026·湖北恩施·二模）某景区为回馈游客设计了一项抽奖活动，每轮抽奖规则是：从装有大小相同的6个红球和4个黑球的袋中一次抽取3个球，每一个红球积1分，每一个黑球积0分；每位游客只能参加一轮抽奖活动，若所得积分大于或等于2，即可获得景区门票一张． (1)求游客甲在一轮抽奖中所得积分的分布列； (2)若某旅行团共5位游客，每位游客获奖的概率稳定且相互独立，求该旅行团获得景区门票人数的众数． 21．（2026·湖北宜昌·二模）某公司升级了智能客服系统，在测试时，当输入的问题表达清晰时，智能客服的回答被采纳的概率为；当输入的问题表达不清晰时，智能客服的回答被采纳的概率为．已知输入的问题表达不清晰的概率为．每次回答是否被采纳相互独立． (1)求智能客服的回答被采纳的概率； (2)在某次测试中输入了3个问题，设表示智能客服的回答被采纳的次数，求的分布列及期望、方差； (3)公司为了测试该系统是否值得推广，随机抽取了10个问题，智能客服的回答每被采纳1次计10分，不采纳则不计分．记被采纳的回答数的总得分为，若，则推广该系统．试推断该系统是否会得到推广，请说明理由， 22．（2026·湖北十堰·二模）某智慧城市在主干道部署了个独立边缘计算节点．初始时有个节点在线（假设在线的不再宕机），个为宕机（停摆，不能正常工作）．每个月系统随机等概率地巡查个节点：若该节点为宕机，则修复，修复后该节点转为在线，不再宕机，已知每个宕机节点修复成功的概率均为；若该节点已在线，则仅进行维护．用表示第个月后在线节点数，表示其数学期望． (1)当时，求； (2)证明：； (3)已知每个宕机节点每个月会造成万元的经济损失，初始月份不考虑损失，求从第个月开始的个月内的经济损失的总期望． 23．（2026·湖北·二模）某篮球运动员在训练中进行投篮练习.已知其2分球的命中率为0.8，3分球的命中率为0.5，且每次投篮结果相互独立.在每次投篮前，他可以根据场上情况选择投2分球或3分球. (1)若该运动员等可能地选择投2分球或3分球，求他投一次篮命中的概率： (2)现该运动员拥有连续2次投篮的机会，他制定了如下策略： 若第一次命中，则第二次继续选择同一类型的投篮；若第一次未命中，则第二次更换为另一种类型的投篮，求该策略下，这名运动员第一次投篮应该怎么选择可以使得两次投篮总得分的期望最大. 24．（2026·湖北武汉·二模）某气象观测网在沿海某干线上部署了个自动气象站，按照自南向北依次编号为1，2，…，.为测试数据回传系统，控制中心下发了两次数据抽取指令.每次指令均从这个气象站中随机选中一个作为目标（每次指令的目标相互独立）.记第一次指令选中的气象站的编号为，第二次指令选中的气象站编号为. (1)若两次指令选中同一个气象站，则会引发“数据重载”；若第一次指令选中的气象站位于第二次指令选中气象站的南侧，则称为“顺向传输”.请分别计算触发“数据重载”与“顺向传输”的概率； (2)为评估两次指令在整条观测线上的空间分布情况，将与中的较大值记为（即相对偏北的站点编号），将与中的较小值记为（即相对偏南的站点编号）. （ⅰ）记两次指令的选中编号之和为，即，求； （ⅱ）定义两次指令的空间跨度，证明：. （参考公式：） 25．（2026·湖北襄阳·二模）根据《国家学生体质健康标准》，高三男生和女生立定跳远单项等级如下（单位：）： 立定跳远单项等级 高三男生 高三女生 优秀 260及以上 194及以上 良好 245～259 180～193 及格 205～244 150～179 不及格 204及以下 149及以下 从某校高三男生和女生中各随机抽取12名同学，将其立定跳远测试成绩整理如下（精确到）： 男生 180 205 213 220 235 245 250 258 261 270 275 280 女生 148 160 162 169 172 184 195 196 196 197 208 220 假设用频率估计概率，且每个同学的测试成绩相互独立. (1)分别估计该校高三男生和女生立定跳远单项的优秀率； (2)从该校全体高三男生中随机抽取2人，全体高三女生中随机抽取1人，设为这3人中立定跳远单项等级为优秀的人数，估计的数学期望； (3)从该校全体高三女生中随机抽取3人，设“这3人的立定跳远单项既有优秀，又有其它等级”为事件，“这3人的立定跳远单项至多有1个是优秀”为事件.判断与是否相互独立. 26．（2026·湖北黄冈·二模）一辆汽车上有个座位，编号从1到．现在编号为1到的乘客依次上车，编号为1的乘客比较顽皮，上了车后是随机等可能的选择座位坐下，编号为2的乘客上了车后会先看看2号座位有没有人，如果有，那么他从剩下的空座位中随机等可能的选择座位坐下，如果2号座位没有人，那么他就在2号座位坐下，编号为3及后面的乘客的选择座位方式与2号相同，即自己对应的号码座位上有人，则从剩下座位中随机等可能挑选座位坐下，如果自己对应的号码座位上没有人，则坐在自己对应号码的座位上． (1)当时，求4号乘客坐在编号4号座位上的概率； (2)当时，设为刚好坐在了自己座位上的乘客数（规定：编号为的乘客坐在了编号为的座位上为坐在了自己的座位上），求随机变量的期望． 2/23 1/23 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 计数原理与概率统计 5大考点概览 考点01排列组合 考点02二项式定理 考点03统计 考点04概率计算 考点05分布列及期望方差 排列组合 考点01 1．（2026·湖北孝感·二模）2025年泡泡玛特旗下的IP“LABUBU”突然爆火．现有5个不同造型的“LABUBU”．把这5个“LABUBU”装入3个不同的盒内，每盒至少装一个，共有_______种不同的装法． 【答案】150 【分析】先按和两种方式分组，再排列即可. 【详解】把这5个“LABUBU”装入3个不同的盒内，每盒至少装一个，分组方式有两种： 按分组：先从个中选个为一组，剩下的个各成一组， 组数；按分组：先从个中选个为一组， 剩下的个中选个为一组，最后个为一组(消除重复分组)， 组数，分配到3个不同的盒内，， 故装法总数. 2．（2026·湖北恩施·二模）将4个相同的小球摆放在的方格中，要求每一个方格中只能摆放一个小球，且任意两个小球所在的方格不能恰好共用一个方格顶点，则所有摆放种数为___________． 【答案】29 【分析】先确定不能恰好共用一个方格顶点是不能斜对角相邻，所以小球必不可能在中间的方格，再将四个角设成类方格，其它方格为B类方格，分类讨论即可. 【详解】根据题意，两个小球所在的方格不能恰好共用一个方格顶点， 即禁止斜对角相邻，可以上下左右相邻（共用两个方格顶点）或不相邻（无公共顶点）， 可以把的方格分为两类， 小球必不可能在中间方格，否则一定会有斜对角相邻的情况， 将四个角的方格设成类方格，以保证类在除去中间方格的情况下没有斜对角相邻的方格， 剩余4个小格为类方格，如图所示： （1）4个小球若占用4个A类方格，有种； （2）4个小球若占用3个A类方格，1个B类方格，有种； （3）4个小球若占用2个A类方格，2个B类方格， 此时只能选择隔着中间方格相对的B类方格，共2种可能，所以此时有种； （4）4个小球若占用1个A类方格，3个B类方格，此时一定会有斜对角相邻的情况，舍. （5）4个小球若占用4个B类方格，此时一定会有斜对角相邻的情况，舍. 因此，共有种． 二项式定理 考点02 3．（2026·湖北·二模）的展开式中，的系数为30，则a的值为______． 【答案】6 【分析】根据二项式通项公式结合条件即得. 【详解】由题可得展开式通项公式为， 令，解得，则有，其系数， 所以． 故答案为：6. 4．（2026·湖北·二模）多项式的展开式的各二项式系数的和等于__________. 【答案】 【分析】利用二项式系数的和的概念可得结果. 【详解】多项式的展开式的各二项式系数的和等于. 5．（2026·湖北武汉·二模）在的展开式中，含项的系数为（   ） A．240 B． C．80 D． 【答案】D 【详解】的通项， 项的两种来源，①中项与相乘，②中项与相乘， ①令，得，此时该项为，与相乘后得到， ②令，得，此时该项为，与相乘后得到， 所以，含项的系数为． 6．（2026·湖北十堰·二模）的展开式中所有奇数项的系数和为________． 【答案】121 【详解】展开式的通项为，， 当，2，4时,，，， 其系数和为． 7．（2026·湖北宜昌·二模）写出一个能使的展开式中含有常数项的正整数的值为__________. 【答案】（答案不唯一，即可） 【详解】 展开式中通项为， 若展开式中含有常数项，则有解，则， 满足题意的一个正整数（答案不唯一，满足即可）. 8．（2026·湖北宜昌·二模）已知二项式的展开式中仅有第4项的二项式系数最大，则展开式中项的系数为（    ） A． B． C．80 D．160 【答案】A 【分析】依题意可确定，再结合通项公式即可求解. 【详解】因为二项式的展开式中仅有第4项的二项式系数最大， 所以，所以的展开式的通项为， 令，得，故， 故展开式中的系数为. 统计 考点03 9．（2026·湖北宜昌·二模）一组数据的第60百分位数为（    ） A．29 B．30 C．31 D．32 【答案】C 【详解】由题意得，则第60百分位数为. 10．（2026·湖北十堰·二模）（多选）已知，记一组数据1，2，3，a，8为，则（    ） A．若的极差为9，则 B．若的分位数是6，则 C．若的平均数为3，则 D．若的方差为6.8，则 【答案】AB 【详解】对于A，的极差为9，则，，A正确； 对于B，由的分位数是6，得，当时，，不符合题意， 因此，则，解得，符合题意，B正确； 对于C，由的平均数为3，得，解得，C错误； 对于D，的平均数为，的平均数为， 由的方差为6.8，得，解得或，D错误. 11．（2026·湖北宜昌·二模）有一组样本数据，其中．已知，设函数．则的最小值为（    ） A．19 B．100 C．190 D．200 【答案】C 【分析】将所求函数式展开，代入已知条件，转化成二次函数求最小值问题. 【详解】因为， 而，则得. 所以当时，. 12．（2026·湖北孝感·二模）已知数列是各项均为正数的等差数列，且公差；数列是各项均为正数的等比数列，且公比，若项数均为项，下列说法正确的个数是（   ） ①数据，，，…，的平均数是； ②数据，，，…，的平均数是； ③若，，则数据，，，…，的中位数大于数据，，，…，的中位数； ④若，，则数据，，，…，的平均数大于数据，，，…，的平均数． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】根据等差、等比数列的性质，结合平均数、中位数的概念逐项判断即可. 【详解】对于①选项，设的前项和为，， 所以数据，，，…，的平均数是，故①选项正确： 对于②选项，当时，取为2，4，8，平均数为，故②选项错误； 对于③选项，，，，…，的中位数是，，，，…，的中位数是， ，故③选项正确； 对于④选项，易知点在直线上，点在曲线上， 因为，所以如下图所示： 由图可知，当时，， 所以数列的前项和大于数列的前项和， 所以数列的前项的平均数比的前项的平均数大，④选项正确． 概率计算 考点04 13．（2026·湖北武汉·二模）在科技下乡的大趋势下，某果园使用一种智能水果分选机筛选某种水果，将该种水果分为大果和小果两类，该分选机把大果错误筛选为小果以及把小果错误筛选为大果的概率均为0.1，经过分选机筛选分类之后大果所占比例为0.58，则可推测该果园中这种水果里的大果所占的真实比例为（   ） A．0.55 B．0.6 C．0.65 D．0.7 【答案】B 【详解】设该果园中这种水果里的大果所占的真实比例为， 根据题意可得，，解得. 14．（2026·湖北孝感·二模）（多选）春节假期过后，车主小张选择去该市新开的，两家共享自助洗车店洗车．已知小张第一次去，两家洗车店洗车的概率分别为和，如果小张第一次去洗车店，那么第二次去洗车店的概率为；如果小张第一次去洗车店，那么第二次去洗车店的概率为，则下列结论正确的是（   ） A．小张第一次去洗车店，第二次也去洗车店的概率为 B．小张第二次去洗车店的概率比第二次去洗车店的概率小 C．若小张第二次去了洗车店，则他第一次去洗车店的概率为 D．若小张第二次去了洗车店，则他第一次去洗车店的概率为 【答案】BCD 【分析】根据乘法公式以及全概率公式判断AB；由条件概率结合全概率公式求解CD. 【详解】记小张第次去洗车店为，第次去洗车店为， 则，，，，，. 选项A：，故A错误. 选项B：， ， 所以小张第二次去洗车店的概率比第二次去洗车店的概率小，故B正确. 选项C：，故C正确. 选项D：，故D正确. 15．（2026·湖北武汉·二模）（多选）某工厂生产的零件质量指标．从生产的众多零件中随机抽取个零件，其中次品数，则（   ） A． B． C．（其中） D．当，时， 【答案】ABD 【分析】本题结合正态分布的对称性判断选项A，B，根据二项分布的概率公式判断选项C，再通过条件概率公式计算验证选项D，从而得出正确答案． 【详解】对于A，正态分布的密度曲线关于直线对称， 所以，A正确； 对于B，由正态分布的对称性， ， 所以，B正确； 对于C，二项分布满足，， 当且仅当时两者相等，一般情况不成立，C错误； 对于D，当时，， ， 条件概率 ，D正确． 16．（2026·湖北·二模）CBA季后赛总决赛在甲、乙两支球队进行，总决赛采用七局四胜制（7场4胜），总决赛的主场优势授予常规赛排名更高的球队，采用“”的主客场安排（即排名高的球队先打两个主场，然后是对手的两个主场，之后若需要，交替进行一个主场）．设甲队主场取胜的概率为，客场取胜的概率为，且各场比赛结果相互独立，若甲球队常规赛排名更高，那么甲队获胜的概率是______． 【答案】 【分析】依题意可得甲队在前五场比赛中，赢3场输2场，第六场赢，分三个主场全胜、两个客场全负，三个主场2胜1负、两个客场1胜1负，三个主场1胜2负、两个客场2胜三种情况利用相互独立事件的概率公式计算可得. 【详解】甲队在前五场比赛中，赢3场输2场，第六场赢． 又前五场中甲队有三个主场，两个客场，第六场为客场． 甲队三个主场全胜，两个客场全负以获胜的概率是； 甲队三个主场2胜1负，两个客场1胜1负以获胜的概率是； 甲队三个主场1胜2负，两个客场2胜以获胜的概率是； 综上所述，甲队以获胜的概率. 故答案为： 17．（2026·湖北·二模）某健身房为了解“是否喜欢健身操”与年龄的关联性，随机调查了80位会员，得到的数据如表所示（单位：人）： 年龄 是否喜欢健身操 合计 喜欢健身操 不喜欢健身操 青年 15 25 40 中年 20 20 40 合计 35 45 80 (1)根据小概率值的独立性检验，能否认为是否喜欢健身操与年龄有关联？ (2)已知会员小邹选择“动感单车”“瑜伽”“普拉提”三种项目的概率依次为，，；且小邹在这三种项目中达到“训练标准”的概率依次为，，．若小邹某次训练未达到目标，求他选择的是“瑜伽”项目的概率。 附：，． 【答案】(1)不能认为是否喜欢健身操与年龄有关联 (2) 【分析】（1）运用列联表进行独立性检验，通过计算卡方统计量与临界值比较，判断两个分类变量之间是否存在关联； （2）使用全概率公式计算未达标总概率，再通过贝叶斯公式反推在未达标条件下选择特定项目的条件概率. 【详解】（1）零假设为：是否喜欢健身操与年龄无关联． 根据列联表中的数据，计算得到， 所以根据小概率值的独立性检验，不能认为是否喜欢健身操与年龄有关联． （2）设表示“选动感单车”；表示“选瑜伽”；表示“选普拉提”；表示“未达到目标”． ，，，， ， ， 小邹训练没有达标的条件下，他选择瑜伽的概率为: ． 18．（2026·湖北宜昌·二模）在概率中，等效转换是计算复杂比赛概率的重要思想.例如：两位选手进行3局2胜制比赛，每局选手获胜的概率为选手获胜的概率为，且每局比赛相互独立.那么选手在“3局2胜制”的赛制中获胜的概率，可等效为：选手在3场比赛中至少赢2场.设3场比赛中选手获胜的场数为，那么服从二项分布，从而可以利用二项分布的分布列求出选手获胜的概率. (1)若，求选手在“5局3胜”的赛制中获胜的概率； (2)记选手在“局胜”的赛制中获胜的概率为；在“局胜”的赛制中，选手第一场比赛获胜的条件下，最终获胜的概率为，证明： (3)网球大满贯赛事有两个签表，上半区有名种子选手，下半区有名种子选手（且）.每次抽签都等可能地随机选择一个签表，并抽出一名种子选手进入正赛，抽中后种子选手保留在签表内（不重复抽取）.记上半区的所有种子选手先被抽完的概率为，证明：. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）合理分析目标事件的情况，再结合二项分布概率公式求解概率即可. （2）合理分析题意，进而结合全概率公式证明目标等式即可. （3）结合题意得到，进而结合组合数的性质证明即可. 【详解】（1）设事件为“5局3胜”的赛制中，A选手获得最终胜利， 则事件等效于进行5局比赛且A至少胜3局. 记5局比赛中A获胜的局数为，由题意得， 所以. （2）设进行局比赛，赢的局数为， 则， 在“局胜”的赛制中，A第一局胜的条件下，A获得最终胜利有两种情况： ①若第2局A输，则后续打满局比赛，至少胜局； ②若第2局A胜，则后续打满局比赛，至少胜局； 由全概率公式得 ， 所以 . （3）不妨设有无数名种子选手， 若上半区的所有种子选手先被抽完，则当“上半区抽完名种子选手时， 下半区至多抽取了名种子选手”， 得到“总共有名种子选手，至少抽取了名上半区种子选手”. 设总共有名种子选手时，来自上半区的有名，则， 所以. 事件“”等效于在在“局胜”的赛制中， 每局获胜概率都为，最终A获胜， 由对称性可知，则， 所以， 因为， 又，所以， 所以，故. 分布列及期望方差 考点05 19．（2026·湖北恩施·二模）（多选）设为样本的一个随机变量，则关于数学期望的表述正确的有（    ） A．样本估计总体时，总体的均值一定为 B．反应了取值的平均水平 C． D．若服从分布，则 【答案】BCD 【分析】对于选项A，根据样本期望是随机变量，总体均值是定值即可判断；对于选项B，结合期望的含义即可判断；对于选项C，利用方差的非负性公式即可判断；对于选项D，结合期望计算公式判断. 【详解】对于A，用样本估计总体时，样本的均值为随机变量，总体的均值是固定的，故错误； 对于B，期望的含义是反映了随机变量取值的平均水平，故正确； 对于C,故正确； 对于D,分布的期望为，故正确． 20．（2026·湖北恩施·二模）某景区为回馈游客设计了一项抽奖活动，每轮抽奖规则是：从装有大小相同的6个红球和4个黑球的袋中一次抽取3个球，每一个红球积1分，每一个黑球积0分；每位游客只能参加一轮抽奖活动，若所得积分大于或等于2，即可获得景区门票一张． (1)求游客甲在一轮抽奖中所得积分的分布列； (2)若某旅行团共5位游客，每位游客获奖的概率稳定且相互独立，求该旅行团获得景区门票人数的众数． 【答案】(1) 0 1 2 3 (2)3人或4人 【分析】（1）根据题意求得所有可能取值为0，1，2，3对应的概率即可求解； （2）先求得在一轮抽奖中获得景区门票的概率，记成功的人数为，则，求得的最大值即可． 【详解】（1）由题知的所有可能取值为0，1，2，3， 则， ， 故的分布列为 0 1 2 3 （2）在一轮抽奖中所得积分大于或等于2的概率为， 5位游客在5轮抽奖中，记成功的人数为，则， 故， 法一： . 且，故5位游客在5轮抽奖中，该旅行团获得景区门票人数的众数是3人或4人． 法二：假设当时，对应概率取值最大， 则且， 解得， 且， 故5位游客在5轮抽奖中，该旅行团获得景区门票人数的众数是3人或4人． 21．（2026·湖北宜昌·二模）某公司升级了智能客服系统，在测试时，当输入的问题表达清晰时，智能客服的回答被采纳的概率为；当输入的问题表达不清晰时，智能客服的回答被采纳的概率为．已知输入的问题表达不清晰的概率为．每次回答是否被采纳相互独立． (1)求智能客服的回答被采纳的概率； (2)在某次测试中输入了3个问题，设表示智能客服的回答被采纳的次数，求的分布列及期望、方差； (3)公司为了测试该系统是否值得推广，随机抽取了10个问题，智能客服的回答每被采纳1次计10分，不采纳则不计分．记被采纳的回答数的总得分为，若，则推广该系统．试推断该系统是否会得到推广，请说明理由， 【答案】(1) (2)，， 0 1 2 3 (3)会得到推广，因为. 【分析】（1）利用全概率公式，结合问题清晰与不清晰两种情况的采纳概率即可求解； （2）由二项分布概率模型，计算各可能次数的概率及期望、方差； （3）根据二项分布期望公式求出10个问题的总得分期望，并与75比较得出结论. 【详解】（1）设事件表示回答被采纳，事件表示问题表达清晰， 则， 则. （2）由（1）知每个问题的回答被采纳的概率，且每次回答是否被采纳相互独立， 因此随机变量服从二项分布， 则， ， ， ， ， ，， 的分布列为： 0 1 2 3 （3）随机抽取10个问题，设被采纳的次数为，则有，总得分， 则，满足推广条件，因此该系统会得到推广. 22．（2026·湖北十堰·二模）某智慧城市在主干道部署了个独立边缘计算节点．初始时有个节点在线（假设在线的不再宕机），个为宕机（停摆，不能正常工作）．每个月系统随机等概率地巡查个节点：若该节点为宕机，则修复，修复后该节点转为在线，不再宕机，已知每个宕机节点修复成功的概率均为；若该节点已在线，则仅进行维护．用表示第个月后在线节点数，表示其数学期望． (1)当时，求； (2)证明：； (3)已知每个宕机节点每个月会造成万元的经济损失，初始月份不考虑损失，求从第个月开始的个月内的经济损失的总期望． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)（万元） 【分析】（1）根据题意求出的所有可能取值及相应的概率，分析的可能情况，进而运算求解； （2）分析可知随机变量的可能取值有、、、，利用全概率公式求出随机变量在不同取值下的概率，再结合期望公式可证得结论成立； （3）分析可知数列是以为公比的等比数列，求出的表达式，于是可得出第个月的期望宕机节点数为，据此可得出第个月的经济损失的期望，再利用等比数列求和公式可求得从第个月开始的个月内的经济损失的总期望． 【详解】（1）初始状态，即个在线、个宕机． 第个月选中在线节点的概率为，此时； 选中宕机节点的概率为，其中修复成功的概率为，此时； 修复失败的概率为，此时． 所以，． ，． 所以 ， 故当时，． （2）由题意知的可能取值有、、、， 所以， ， ， ， 所以 ． 因为， 所以， 所以 ， 所以． （3）因为，设， 所以， 所以，，， 所以是以为公比的等比数列， ，，, 故， 所以， 所以， 第个月的期望宕机节点数的期望为． 每台宕机节点每月损失万元，故第个月的经济损失的期望为． 设从第个月开始的个月的经济损失的总期望为， 故（万元）. 23．（2026·湖北·二模）某篮球运动员在训练中进行投篮练习.已知其2分球的命中率为0.8，3分球的命中率为0.5，且每次投篮结果相互独立.在每次投篮前，他可以根据场上情况选择投2分球或3分球. (1)若该运动员等可能地选择投2分球或3分球，求他投一次篮命中的概率： (2)现该运动员拥有连续2次投篮的机会，他制定了如下策略： 若第一次命中，则第二次继续选择同一类型的投篮；若第一次未命中，则第二次更换为另一种类型的投篮，求该策略下，这名运动员第一次投篮应该怎么选择可以使得两次投篮总得分的期望最大. 【答案】(1) (2)该运动员第一次选择2分球可以使得两次投篮总得分的期望最大 【分析】（1）记选择2分球为事件，选择3分球为事件，投一次篮命中为事件，结合全概率公式，即可求解； （2）当该运动员第一次选择2分球时，得到变量可取值有，求得相应的概率，列出分布列，求得期望值；当该运动员第一次选择3分球时，得到变量可取值有，求得相应的概率，列出分布列，求得期望值，结合，即可求解. 【详解】（1）解：记选择2分球为事件，选择3分球为事件，投一次篮命中为事件， 则 所以. （2）解：当该运动员第一次选择2分球时，记他两次投篮的得分为，可取值有， 可得，， ，， 所以随机变量的分布列为： 0 2 3 4 0.1 0.16 0.1 0.64 所以 当该运动员第一次选择3分球时，记他两次投篮的得分为，可取值有， 可得， ，， 所以随机变量的分布列为： 0 2 3 6 0.1 0.4 0.25 0.25 所以， 因为，即， 所以该运动员第一次选择2分球可以使得两次投篮总得分的期望最大. 24．（2026·湖北武汉·二模）某气象观测网在沿海某干线上部署了个自动气象站，按照自南向北依次编号为1，2，…，.为测试数据回传系统，控制中心下发了两次数据抽取指令.每次指令均从这个气象站中随机选中一个作为目标（每次指令的目标相互独立）.记第一次指令选中的气象站的编号为，第二次指令选中的气象站编号为. (1)若两次指令选中同一个气象站，则会引发“数据重载”；若第一次指令选中的气象站位于第二次指令选中气象站的南侧，则称为“顺向传输”.请分别计算触发“数据重载”与“顺向传输”的概率； (2)为评估两次指令在整条观测线上的空间分布情况，将与中的较大值记为（即相对偏北的站点编号），将与中的较小值记为（即相对偏南的站点编号）. （ⅰ）记两次指令的选中编号之和为，即，求； （ⅱ）定义两次指令的空间跨度，证明：. （参考公式：） 【答案】(1) (2)（ⅰ）；（ⅱ）证明见解析 【分析】（1）转化为古典概率类型，即组合，与均服从集合上的离散型均匀分布，利用列举法，结合古典概率公式求解； （2）（ⅰ）根据公式，再根据（1）的结果，分别求和，即可求解； （ⅱ），分和时，，再代入期望公式求解. 【详解】（1）根据题意，与均服从集合上的离散型均匀分布.由于两次指令独立且等概率随机选择，因此组合的所有可能结果共有种，且每种结果发生的概率相同.设事件为“数据重载”，即.此时可以是，，…，，共种情况.故. 设事件为“顺向传输”，即.在种总情况中，除去的种情况，剩下的种情况分布在与两个对立且对称的事件中.由对称性可知，包含的情况数均为种.故. （2）（ⅰ）由于且，对于任意一对实数，其最大值与最小值之和永远等于这两数之和，因此恒等式成立，即.根据题干中已知随机变量期望的线性可加性，有：.对于离散型均匀分布的随机变量和，其可能的取值为1，2，…，，对应的概率均为. 故. 因此，. （ⅱ）证明：依题意，.所有可能的取值为0，1，2，…，.当时，对应，概率为.当时，满足的站点对有两类组合方式： 第一类，此时为，，…，，共种； 第二类，此时为，，…，，共种； 即有种基本事件组合.所以，. ， 而，因为且，显然. 所以，. 25．（2026·湖北襄阳·二模）根据《国家学生体质健康标准》，高三男生和女生立定跳远单项等级如下（单位：）： 立定跳远单项等级 高三男生 高三女生 优秀 260及以上 194及以上 良好 245～259 180～193 及格 205～244 150～179 不及格 204及以下 149及以下 从某校高三男生和女生中各随机抽取12名同学，将其立定跳远测试成绩整理如下（精确到）： 男生 180 205 213 220 235 245 250 258 261 270 275 280 女生 148 160 162 169 172 184 195 196 196 197 208 220 假设用频率估计概率，且每个同学的测试成绩相互独立. (1)分别估计该校高三男生和女生立定跳远单项的优秀率； (2)从该校全体高三男生中随机抽取2人，全体高三女生中随机抽取1人，设为这3人中立定跳远单项等级为优秀的人数，估计的数学期望； (3)从该校全体高三女生中随机抽取3人，设“这3人的立定跳远单项既有优秀，又有其它等级”为事件，“这3人的立定跳远单项至多有1个是优秀”为事件.判断与是否相互独立. 【答案】(1)， (2) (3)与相互独立 【分析】（1）根据用样本频率估计总体概率的方法求解； （2）利用独立事件、互斥事件的概率公式以及组合知识求出分布列，再结合期望公式求解； （3）判断是否相等即可. 【详解】（1）样本中立定跳远单项等级获得优秀的男生人数为4，获得优秀的女生人数为6， 所以估计该校高三男生立定跳远单项的优秀率为； 估计高三女生立定跳远单项的优秀率为. （2）由题设，的所有可能取值为0，1，2，3， ，， ，， . （3），， ， 则，所以与相互独立. 26．（2026·湖北黄冈·二模）一辆汽车上有个座位，编号从1到．现在编号为1到的乘客依次上车，编号为1的乘客比较顽皮，上了车后是随机等可能的选择座位坐下，编号为2的乘客上了车后会先看看2号座位有没有人，如果有，那么他从剩下的空座位中随机等可能的选择座位坐下，如果2号座位没有人，那么他就在2号座位坐下，编号为3及后面的乘客的选择座位方式与2号相同，即自己对应的号码座位上有人，则从剩下座位中随机等可能挑选座位坐下，如果自己对应的号码座位上没有人，则坐在自己对应号码的座位上． (1)当时，求4号乘客坐在编号4号座位上的概率； (2)当时，设为刚好坐在了自己座位上的乘客数（规定：编号为的乘客坐在了编号为的座位上为坐在了自己的座位上），求随机变量的期望． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据独立事件和互斥事件概率公式进行求解即可； （2）根据独立事件和互斥事件概率公式，结合数学期望公式进行求解即可. 【详解】（1）设1号乘客坐在号位上时，4号乘客坐在4号位的概率为， 则， ，， ，， 所以. （2）随机变量所有可能的取值为0，1，2，4； ， ， ， ， 所以. 2/23 1/23 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $