精品解析：广东广州市执信中学2025-2026学年第二学期八年级数学科期中考试试卷

2025～2026学年度第二学期 初二级数学科期中考试试卷 本试卷分选择题和非选择题两部分，共7页，满分为150分．考试用时120分钟． 注意事项： 1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和学号填写在答题卡和答卷密封线内相应的位置上，用2B铅笔将自己的学号填涂在答题卡上． 2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案；不能答在试卷上． 3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔在答卷纸上作答，答案必须写在答卷纸各题目指定区域内的相应位置上，超出指定区域的答案无效：如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效． 4．考生必须保持答题卡的整洁和平整． 第一部分 选择题（共40分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分，每题只有一项是符合题目要求的．） 1. 下列式子中，一定是二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据二次根式的定义判断，二次根式需同时满足两个条件：根指数为2（可省略不写），被开方数为非负数，两个条件同时满足才是二次根式． 【详解】解： 选项A中，被开方数，无意义，它不是二次根式； 选项B中，根指数为，被开方数，满足二次根式的定义，它一定是二次根式. 选项C中，根指数为，属于三次根式，它不是二次根式； 选项D中，的符号不确定，当时，无意义，它不一定是二次根式． 2. 下列各曲线中，不能表示y是x的函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据函数的概念逐项分析判断即可得出答案． 【详解】解：A、满足对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应，所以y是x的函数，不符合题意； B、满足对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应，所以y是x的函数，不符合题意； C、满足对于x的每一个取值，y存在两个确定的值与之对应，所以y不是x的函数，符合题意； D、满足对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应，所以y是x的函数，不符合题意； 3. 下列四组线段a、b、c，能组成直角三角形的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】D 【解析】 【分析】对每组线段，取最长边，计算两条较短边的平方和，验证是否等于最长边的平方，若相等则可组成直角三角形. 【详解】解：根据勾股定理的逆定理，若三边满足两短边的平方和等于最长边的平方，则能组成直角三角形，验证如下： 选项A：∵ 最长边为，，，∴ ，不能组成直角三角形； 选项B：∵ 最长边为，，，∴ ，不能组成直角三角形； 选项C：∵ 最长边为，，，∴ ，不能组成直角三角形； 选项D：∵ 最长边为，，，∴ ，能组成直角三角形. 4. 如图，在中，，分别是边，的中点，，则的长为（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形中位线定理，熟练掌握“三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半”是解题的关键． 根据三角形中位线的判定，确定是的中位线，再利用中位线定理求的长度． 【详解】解：∵，分别是边，的中点， ∴是的中位线， ∴， ∵， ∴， 故选：A． 5. 矩形具有而菱形不一定具有的性质是（ ） A. 对角相等 B. 对角线相等 C. 对角线互相平分 D. 对角线互相垂直 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查矩形和菱形的性质，根据矩形和菱形都是特殊的平行四边形，所以平行四边形所具有的性质，矩形和菱形都具有，故可得出答案． 【详解】解：∵矩形和菱形是平行四边形， ∴A、C是二者都具有的性质，D是菱形具有的性质， ∴对角线相等是矩形具有而菱形不一定具有的性质． 故选：B． 6. 如图，，平行四边形、三角形、梯形放置于和之间，它们的面积分别记为，则下列正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了平行线之间的距离，设和之间的距离为h，然后表示出，进而求解即可． 【详解】解：∵ ∴设和之间的距离为h， ∴，，， ∴． 故选：D． 7. 如图，将正方形放在平面直角坐标系中，是坐标原点，点的坐标为，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】过点作轴于，过点作轴于，利用正方形的性质和同角的余角相等证明，根据全等三角形对应边相等求出和的长，再根据点所在的象限写出坐标即可． 【详解】解：过点作轴于，过点作轴于，如图所示： ∵四边形是正方形， ∴， ∴， 又∵， ， 在和中， ， ， ， 点E的坐标为， ， ， 点在第二象限， ∴点的坐标为． 8. 在中，，分别平分，，分别交于点，．若，，则的长为（ ） A. B. 1 C. 1.5 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】先证，同理，，进而求解即可． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， 同理，， ∴， 即， 解得：； 故选：． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质、角平分线的定义、平行线的性质、等腰三角形的判定等知识，熟练掌握平行四边形的性质和等腰三角形的判定是解题的关键． 9. 某天，某同学早上8点坐车上高速出发去外地研学，汽车行驶距离S（千米）与所用时间t（分）之间的函数关系如图所示，已知汽车在途中停车加油一次，则下列描述不正确的是（ ） A. 汽车在途中加油用了15分钟 B. 该同学9：05到达目的地 C. 若与部分汽车速度相同，则加满油以后的速度为96千米/小时 D. 若汽车加油后的速度是110千米/小时，则 【答案】D 【解析】 【分析】根据速度、时间、路程之间的关系，结合函数图象逐项分析判断，即可解题． 【详解】解：由图知，汽车在途中加油用了（分钟）， 故A选项正确，不符合题意； 该同学早上8点出发，路上用时分钟， 该同学到达目的地，故B选项正确，不符合题意； 与部分汽车速度相同， ， 解得， 加满油以后的速度为（千米/小时）， 故C选项正确，不符合题意； 若汽车加油后的速度是110千米/小时，则， 解得， 故D选项错误，符合题意. 10. 勾股定理是数学史上的一颗璀璨明珠．被誉为清代“历算第一名家”的著名数学家梅文鼎先生在《梅氏丛书辑要》的“勾股举隅”卷中给出了多种勾股定理的证法．其中一种是在如图的基础上，运用“出入相补”原理完成的．在中，四边形均为正方形，与相交于点J，连接．若，的面积分别为2和7，则直角边的长为（ ） A. B. C. D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】证明得,,则可证明H、I、D三点共线；设，，，由勾股定理得，，进而得，，据此即可得出答案． 【详解】解：∵四边形，都是正方形， ∴，，， ∴ ∴， ∴，， ∴， ∴H、I、D三点共线； 设，，， 由勾股定理得， 即， ∴, ∴， ∴，即， ∴或（舍去），即． 第二部分 非选择题（共110分） 二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分） 11. 当时，二次根式的值是______． 【答案】 【解析】 【详解】解：当时，. 12. 一个多边形的内角和等于，则这个多边形是____边形． 【答案】六 【解析】 【分析】本题考查了多边形内角和，掌握多边形内角和公式是解题关键．设这个多边形是边形，根据多边形内角和公式列方程求解即可． 【详解】解：设这个多边形是边形， 则， 解得， 即这个多边形是六边形， 故答案为：六． 13. 如图，在数轴上A，B两点所表示的数分别是0，3，与数轴垂直，且，连接，以A为圆心，为半径画弧，交数轴于点D，则点D所表示的数为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查勾股定理及实数与数轴，熟练掌握勾股定理及实数与数轴是解题的关键；由数轴可知，，然后根据勾股定理可进行求解． 【详解】解：由数轴可知，， ∵， ∴； 故答案为． 14. 如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，OE⊥AB，垂足为E，若∠ADC=140°，则∠AOE的大小为 __________________； 【答案】70° 【解析】 【分析】根据“菱形的性质、三角形内角和定理”结合已知条件分析解答即可. 【详解】解：∵四边形ABCD是菱形， ∴AB∥CD，AC平分∠DAB， ∴∠DAB+∠ADC=180°，∠OAB=∠DAB， ∵∠ADC=140°， ∴∠DAB=40°，∠OAB=20°， ∵OE⊥AB， ∴∠OEA=90°， ∴∠AOE=180°-90°-20°=70°. 故答案为：70°. 【点睛】熟记“菱形的相关性质并能由此解得∠OAB=20°”是解答本题的关键. 15. 在中，，，点O为对角线的中点，连接．当是直角三角形时，的长为______． 【答案】3或 【解析】 【分析】分两种情况讨论直角顶点的位置，分别求解的长度即可． 【详解】解：①当时， ∵是的中点，， ∴垂直平分， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴； ②当时， ∵， ∴， ∴， ∴； 综上所述，的长为3或． 16. 如图，在矩形中，对角线交于点O，的平分线交于点E，连接，已知，，则______． 【答案】 【解析】 【分析】设，则，由角平分线的定义可得，则可推出，进而可证明，得到；过点E作于点H，证明，得到；可证明；设，则，，，由勾股定理可推出，，，则可求出，进而得到方程 ，解方程即可得到答案． 【详解】解：设， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴； ∵的平分线交于点E， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 如图所示，过点E作于点H， ∴， 又∵， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴； 设，则， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴， ∴， ∴； 在中，由勾股定理得， ∴， ∴， ∴； 在中，由勾股定理得， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ ， ∵， ∴， ∴， ∴ ， 解得或 ∴． 三、解答题（本大题共9小题，共86分） 17. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据二次根式的相关运算法则计算即可； （2）根据乘法公式计算即可． 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：原式 ． 18. 如图，在中，是它的一条对角线，求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】由平行四边形的性质得出，，再由，即可证明 【详解】证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， 在和中， ∵， ∴． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质和全等三角形的判定，正确掌握平行四边形的性质和全等三角形的判定方法是解题的关键． 19. 已知等腰三角形的周长为，底边长为，一腰长为． （1）求y关于x的解析式，并直接写出自变量x的取值范围； （2）当自变量时，求出函数值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】利用周长公式建立解析式，并用三角形三边关系确定自变量取值范围． 【小问1详解】 解：等腰三角形周长为 ，腰长为 ，底边长为 ， ， ， 三角形两边之和大于第三边， ，即  ， ，​ 又 ，即  ， ， 自变量 的取值范围为  ； 【小问2详解】 解：当  时， ． 20. 如图，点D在中，，，，，． （1）求的长； （2）求图中阴影部分的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用勾股定理求解即可； （2）利用勾股定理的逆定理证明，再进一步求解即可. 【小问1详解】 解：∵，，， . 【小问2详解】 解：在中，，，， ， 即， ， 的面积为， 的面积为， 阴影部分面积为， 故阴影部分面积为24． 21. 如图，四边形中，对角线相交于点O，，，且． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，求四边形的周长． 【答案】（1）见解析 （2）28 【解析】 【分析】（1）根据对角线互相平分的四边形是平行四边形可证明四边形是平行四边形，根据三角形外角的性质和已知条件可证明，得到，则可证明，据此可证明结论； （2）根据矩形的性质可得，利用勾股定理求出的长即可得到答案． 【小问1详解】 证明：∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴平行四边形是矩形； 【小问2详解】 解：∵四边形是矩形， ∴， ， ∴四边形的周长． 22. 如图，四边形中，，，于点D． （1）尺规作图：在上求作一点E（不写作法，保留作图痕迹），连接，使四边形为菱形，并说明理由； （2）在（1）的条件下，连接交于点O，连接，若，求长． 【答案】（1）作图见解析，证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）作的平分线，交于点E，则点E为所求．根据角平分线和平行线的性质得到，得到，从而得到，即可证明四边形是菱形； （2）根据菱形的性质得到，，，从而根据勾股定理求出，进而得到的长，最后根据直角三角形斜边上中线的性质即可求解． 【小问1详解】 解：如图，点E为所求． 理由如下：∵是的角平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，即， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴是菱形． 【小问2详解】 解：如图， ∵四边形是菱形， ∴，，， ∴， ∴， ∵，， ∴． 23. 在学习《平行四边形》章节时，我们经历了概念——性质——判定等阶段对特殊的平行四边形进行研究，同时将陌生的四边形问题转化为熟悉的三角形问题．小跃尝试运用已有经验，进一步研究一种特殊的五边形． 定义对象：如图1，在凸五边形中，，，，像这样的五边形叫做等腰五边形，其各部分要素名称如图1所示． 由定义直接可以得到：等腰五边形的两条上腰相等、两条下腰相等，两个旁角相等； （1）已知：如图2，正方形中，点E、F分别在、边上，且，连接．求证：五边形是等腰五边形； （2）为了发现等腰五边形的性质，小跃通过观察、猜想、测量、证明等过程，得出等腰五边形的一个性质：等腰五边形的两个底角相等．请你完成下列证明： 如图3，已知等腰五边形，其中，，，求证：； （3）关于等腰五边形的判定条件，小跃提出了以下猜想，下列6种情形中，满足条件的凸五边形一定是等腰五边形的有： ①，，； ②； ③； ④，，，； ⑤，，； ⑥，，． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3）①② 【解析】 【分析】（1）由推出，，在五边形中，，，，符合定义，故五边形是等腰五边形； （2）连接、，由所给条件可推出，然后由等边对等角可推出； （3）代入定义：等腰五边形的两条上腰相等、两条下腰相等，两个旁角相等逐个判断． 【小问1详解】 证明：在正方形中，， ， ， 又，， 在五边形中， ， 五边形是等腰五边形； 【小问2详解】 证明：连接、， 在和中， ， ， ，， ， ，即； 【小问3详解】 解：①，，，符合定义，一定是等腰五边形； ②五边形的内角和为，，此时五边形为正五边形，符合定义，一定是等腰五边形； ③仅知，无法确定角是否相等，不一定是等腰五边形； ④，，，不符合定义，不一定是等腰五边形； ⑤，，，条件不足，无法证明，故不一定是等腰五边形； ⑥由，，无法证明，故无法确定，不符合定义，不一定是等腰五边形． 24. 问题探究 （1）如图①，已知中，，，平分．若为上一动点，连接，则的最小值为_____； （2）如图②，已知中，，，为中点，作，分别交边、于、两点，四边形的面积是否发生变化？若不变化请求出这个面积；若发生变化，请求出四边形的面积的最小值； 问题解决 （3）如图③，某公园中有一块四边形空地，经测量米，，．现计划对该空地进行重新规划，分别在边上选取点、，并沿，修两条休闲通道（通道的宽度忽略不计），设计要求四边形的面积为平方米，该区域将用于种植观赏花卉．为保障施工的安全，需在四边形的四周修建护栏．为了节约修建成本，四边形的周长是否存在最小值？若存在，请求出这个最小值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）四边形的面积不会变化，面积的最小值为4平方米 （3）存在，四边形的周长的最小值为米 【解析】 【分析】（1）根据三线合一得到，，当时，的值最小，由等面积法即可求解； （2）根据题意，是等腰直角三角形，证明，得到，结合图形，面积的计算及等量代换即可求解； （3）如图所示，过点作于点，过点作于点，可算出（平方米），如图所示，过点E作于点K，设米，米，得到，则最小即可，点重合，点重合，此时的值最小，由此即可求解． 【小问1详解】 解：∵，，平分， ∴，， ∴在中，， 为上一动点，连接， ∴当时，的值最小， ∵， ∴； 【小问2详解】 解：四边形的面积不会变化，面积为4平方米，理由如下， 如图所示，连接， ∵已知中，，，为中点， ∴是等腰直角三角形，，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴四边形的面积不会发生变化， ∵， ∴四边形的面积为4； 【小问3详解】 解：存在，四边形的周长的最小值为米，理由如下， ∵米，，， ∴四边形是等腰梯形，， 如图所示，过点作于点，过点作于点， ∴，， ∴， ∴四边形是矩形，则米， 在中，米，， ∴米，米， ∵米， 同理，米，米， ∴米， ∴（平方米）， ∵四边形的面积为平方米， ∴（平方米）， 如图所示，过点E作于点K，设米，米， ∴，则， ∴米，米， ∴（平方米），（平方米）， ∴， 化简得，， ∴米，则 米， ∴当值最小时，四边形的周长存在最小值， 把绕点逆时针旋转，得到，作点关于射线的对称点，交于点，连接，如图所示， 由旋转可得，， ∵， ∴共线，米， ∵米， ∴米， ∵， 当共线时，取得最小值，最小值为的长，即米， ∴四边形的周长的最小值为米． 25. 如图1，在矩形中，，，点P从点B出发，沿向点D运动，作关于直线的对称（点C、D的对称点分别为、）． （1）如图2，当点在的延长线上时，则的长为______； （2）如图3，当点P与点C重合时，连，、交分别于点E、F． ①求证：； ②求的长． （3）当直线经过点B时，求的长． 【答案】（1） （2）①证明见解析；② （3）当直线经过点B时，的长或． 【解析】 【分析】（1）由对称结合勾股定理可得，可得； （2）①由对称，得，，，，进而得 ，，即； ②在矩形中，由，得，进而得，，，设，则，用勾股定理建立方程即可求解； （3）分点在边上，点在边上，直线经过点B时两种情况，用勾股定理即可求解． 【小问1详解】 解：在矩形中，，， ， 、关于直线对称， ， . 【小问2详解】 解：①如图， 、关于直线对称， ，，，， ， ， ， ，即； ②如图， 在矩形中，∵， ， ， ， ， ， ， 设，则， 在中，， 即， 解得，， 即的长是. 【小问3详解】 解：①当在边上时，如下图所示： 连接， 、关于直线对称， ，，，，，， ， ，即，当直线经过点B时， 在中，，， 在中，， 即，， ； ②当在边上时，如下图所示： 、关于直线对称， ，，， ， ， 当直线经过点B时， 在中，， 在矩形中，∵， ， ， ， 在和中， ， ， ； 综上所述，当直线经过点B时，的长或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025～2026学年度第二学期 初二级数学科期中考试试卷 本试卷分选择题和非选择题两部分，共7页，满分为150分．考试用时120分钟． 注意事项： 1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和学号填写在答题卡和答卷密封线内相应的位置上，用2B铅笔将自己的学号填涂在答题卡上． 2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案；不能答在试卷上． 3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔在答卷纸上作答，答案必须写在答卷纸各题目指定区域内的相应位置上，超出指定区域的答案无效：如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效． 4．考生必须保持答题卡的整洁和平整． 第一部分 选择题（共40分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分，每题只有一项是符合题目要求的．） 1. 下列式子中，一定是二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列各曲线中，不能表示y是x的函数的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列四组线段a、b、c，能组成直角三角形的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 4. 如图，在中，，分别是边，的中点，，则的长为（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 5. 矩形具有而菱形不一定具有的性质是（ ） A. 对角相等 B. 对角线相等 C. 对角线互相平分 D. 对角线互相垂直 6. 如图，，平行四边形、三角形、梯形放置于和之间，它们的面积分别记为，则下列正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，将正方形放在平面直角坐标系中，是坐标原点，点的坐标为，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 8. 在中，，分别平分，，分别交于点，．若，，则的长为（ ） A. B. 1 C. 1.5 D. 2 9. 某天，某同学早上8点坐车上高速出发去外地研学，汽车行驶距离S（千米）与所用时间t（分）之间的函数关系如图所示，已知汽车在途中停车加油一次，则下列描述不正确的是（ ） A. 汽车在途中加油用了15分钟 B. 该同学9：05到达目的地 C. 若与部分汽车速度相同，则加满油以后的速度为96千米/小时 D. 若汽车加油后的速度是110千米/小时，则 10. 勾股定理是数学史上的一颗璀璨明珠．被誉为清代“历算第一名家”的著名数学家梅文鼎先生在《梅氏丛书辑要》的“勾股举隅”卷中给出了多种勾股定理的证法．其中一种是在如图的基础上，运用“出入相补”原理完成的．在中，四边形均为正方形，与相交于点J，连接．若，的面积分别为2和7，则直角边的长为（ ） A. B. C. D. 2 第二部分 非选择题（共110分） 二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分） 11. 当时，二次根式的值是______． 12. 一个多边形的内角和等于，则这个多边形是____边形． 13. 如图，在数轴上A，B两点所表示的数分别是0，3，与数轴垂直，且，连接，以A为圆心，为半径画弧，交数轴于点D，则点D所表示的数为________． 14. 如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，OE⊥AB，垂足为E，若∠ADC=140°，则∠AOE的大小为 __________________； 15. 在中，，，点O为对角线的中点，连接．当是直角三角形时，的长为______． 16. 如图，在矩形中，对角线交于点O，的平分线交于点E，连接，已知，，则______． 三、解答题（本大题共9小题，共86分） 17. 计算： （1）； （2）． 18. 如图，在中，是它的一条对角线，求证：． 19. 已知等腰三角形的周长为，底边长为，一腰长为． （1）求y关于x的解析式，并直接写出自变量x的取值范围； （2）当自变量时，求出函数值． 20. 如图，点D在中，，，，，． （1）求的长； （2）求图中阴影部分的面积． 21. 如图，四边形中，对角线相交于点O，，，且． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，求四边形的周长． 22. 如图，四边形中，，，于点D． （1）尺规作图：在上求作一点E（不写作法，保留作图痕迹），连接，使四边形为菱形，并说明理由； （2）在（1）的条件下，连接交于点O，连接，若，求长． 23. 在学习《平行四边形》章节时，我们经历了概念——性质——判定等阶段对特殊的平行四边形进行研究，同时将陌生的四边形问题转化为熟悉的三角形问题．小跃尝试运用已有经验，进一步研究一种特殊的五边形． 定义对象：如图1，在凸五边形中，，，，像这样的五边形叫做等腰五边形，其各部分要素名称如图1所示． 由定义直接可以得到：等腰五边形的两条上腰相等、两条下腰相等，两个旁角相等； （1）已知：如图2，正方形中，点E、F分别在、边上，且，连接．求证：五边形是等腰五边形； （2）为了发现等腰五边形的性质，小跃通过观察、猜想、测量、证明等过程，得出等腰五边形的一个性质：等腰五边形的两个底角相等．请你完成下列证明： 如图3，已知等腰五边形，其中，，，求证：； （3）关于等腰五边形的判定条件，小跃提出了以下猜想，下列6种情形中，满足条件的凸五边形一定是等腰五边形的有： ①，，； ②； ③； ④，，，； ⑤，，； ⑥，，． 24. 问题探究 （1）如图①，已知中，，，平分．若为上一动点，连接，则的最小值为_____； （2）如图②，已知中，，，为中点，作，分别交边、于、两点，四边形的面积是否发生变化？若不变化请求出这个面积；若发生变化，请求出四边形的面积的最小值； 问题解决 （3）如图③，某公园中有一块四边形空地，经测量米，，．现计划对该空地进行重新规划，分别在边上选取点、，并沿，修两条休闲通道（通道的宽度忽略不计），设计要求四边形的面积为平方米，该区域将用于种植观赏花卉．为保障施工的安全，需在四边形的四周修建护栏．为了节约修建成本，四边形的周长是否存在最小值？若存在，请求出这个最小值；若不存在，请说明理由． 25. 如图1，在矩形中，，，点P从点B出发，沿向点D运动，作关于直线的对称（点C、D的对称点分别为、）． （1）如图2，当点在的延长线上时，则的长为______； （2）如图3，当点P与点C重合时，连，、交分别于点E、F． ①求证：； ②求的长． （3）当直线经过点B时，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $