19.2.4三角形的中位线(教学课件)数学新教材沪科版八年级下册

19.2.4 三角形的中位线 第十九章 四边形 沪科版 · 新教材 · 八年级下册 学 习 目 标 1 2 3 了解三角形中位线的概念,掌握三角形的中位线定理;能应用三角形中位线定理进行有关的证明和计算. 经历探索三角形中位线定理的过程,培养探究意识,提高合情推理的能力. 培养严谨的推理能力、合作交流的习惯,体会三角形中位线定理的实际应用. 探究新知 三角形中，连接一个 和它 的 叫做三角形的中线. 线段DE是三角形的什么呢？ 它就是我们这节课要学习的三角形的中位线. 顶点 对边中点 线段 A B C F E D 中点 中点 中点 什么叫三角形的中线？ 探究新知 2、一个三角形有几条中位线？ 1、你能给“三角形中位线”下个定义吗？ A B C F E D 中点 中点 中点 连接三角形两边中点的线段叫做 三角形的中位线. 一个三角形有三条中位线 3、三角形的中位线与中线有什么区别？ 答： 中线 中位线 是连接三角形 是连接 两边中点 的线段. 一个顶点和它的对边中点 的线段. 探究新知 A B C E D 中点 中点 连接三角形 两边中点 的线段 叫做 三角形的中位线. AE=CE ∴ DE 是 △ABC 的中位线 【几何语言】 ∵ AD=BD， 反过来 ∴ AD=BD， ∵ DE 是 △ABC 的中位线 AE=CE 理解定义 探究新知 猜想：在△ABC中，中位线 DE 和边 BC 什么关系? DE 和边 BC 关系 数量关系: 位置关系: DE= A B C E D 1 2 DE∥ BC BC 三角形两边中点的连线平行于第三边，并且等于等三边的一半. 猜想： 你能证明吗？ 验证猜想 求证： 已知：如图，点D，E分别为△ABC的边AB，AC的中点. DE= 1 2 DE∥ BC， BC 且 A B C E D 连结CF. 证明： 延长 DE 到 F， 使 EF=DE， F 在△ADE和△CFE中 ∵ AE=CE ∠AED=∠CEF DE＝EF ∴ △ADE≌△CFE (SAS) ∵ 点D，E分别为△ABC的边AB，AC的中点 ∴ AE=CE， ∴ AD=CF， ∠A=∠ECF ∴ 四边形BCFD是平行四边形 ∴ DF BC ∴ BD=CF， AB∥ CF AD=BD ∴ DE∥ BC， 且 DE= DF 1 2 = BC 1 2 探究新知 (数量关系) (位置关系) 主要用途： (2) 证明一条线段是另一条线段的 2 倍或 三角形两边中点的连线平行于第三边，并且等于等三边的一半 三角形中位线定理： ∵ DE是△ABC的中位线 ∴ DE∥ BC， 【几何语言】 (或 AD=BD，AE=CE) 且 DE= BC 1 2 (1) 证明两条线段平行 1 2 A B C E D (或 BC=2DE) 探究新知 1、如图，在 ABCD中，AC 与 BD 相交于点 O，点 E 是边 AB 的中点，且 AD=10cm，则 OE 的长是 . 5cm B C A D O E 变式 1：如图，▱ABCD 中的周长为 24，对角线 AC，BD相交于点 O，点 E 是 CD 的中点，BD=8，则 △DOE 的周长为 ． 变式 2：如图 EF 是 △ABC 的中位线，BD 平分 ∠ABC 交 EF于点 D，若 AB=4，BC=6，则 DF= ． 10 1 探究新知 2、如图，D，E， F 分别是 △ABC 三边的中点你能发现△DEF 的面积与 △ABC 的面积有什么关系吗? 为什么? ● ● ● A B C D E F 原三角形面积的 . 因而每个小三角形的面积为 知识拓展： 三角形的三条中位线 把原三角形 分成了4个全等的小三角形， 1 4 探究新知 3、如图，点 D，E，F 分别是 △ABC 各边的中点，若△ABC的周长为 10 cm，求 △DEF 的周长？ A B C F E D 解： ∵ D，E分别是AB、BC的中点 ∴ DE是△ABC的中位线 DE= BC 1 2 ∴ 同理可得 DF= AC， 2 1 EF= AB 1 2 ∴ △DEF的周长为 DE+DF+EF= BC 1 2 + AC 1 2 + AB 1 2 (BC+AC+AB) 1 2 =5(cm) = 每个小三角形的面积为 每个小三角形的周长为 方法技巧： 三角形的三条中位线 把原三角形 分成了4个全等的小三角形， 原三角形周长的 ， 1 2 原三角形面积的 . 1 4 探究新知 4、已知：如图，在四边形 ABCD 中，E、F、G、H 分别是 AB、BC、CD、DA 的中点. 求证：四边形 EFGH 是平行四边形. 解决含有一个或多个线段中点的几何问题的关键是恰当地添加辅助线（构造三角形的中位线），进而借助三角形中位线定理进行解答。 构造中位线解决中点或中线问题 探究新知 例6 已知，直线 l1、l2、l3 互相平行，直线 AC 和直线 A1C1 分别交直线 l1、l2、l3 于点 A、B、C 和点 A1、B1、C1，且 AB=BC.求证：A1B1=B1C1. l1 l2 l3 A B C A1 B1 C1 E F 证明： 过点 B1 作EF∥ AC， 分别交直线 l1、l3 于点E、F. ∴ 四边形ABB1E和四边形BCFB1都是平行四边形 ∴ AB=EB1， ∵ AB=BC ∴ EB1=B1F ∵ l1∥ l3 ∴ △A1B1E≌△C1B1F ∴ A1B1=B1C1 ∴ ∠A1EB1=∠C1FB1 在△A1B1E和△C1B1F中 ∵ ∠A1B1E=∠C1FB1 EB1=FB1 ∠A1EB1=∠B1FC1 (ASA) BC=B1F 探究新知 l1 l2 l3 A B C A1 B1 C1 由此得到如下结论： 那么在其他直线上截得的线段也相等. 如果一组平行线 在一条直线上 截得的线段相等， 平行线等分线段定理： ∵ l1∥l2∥l3 ， AB=BC ∴ A1B1=B1C1 【几何语言】 探究新知 l1 l2 l4 A B l3 C 将直线 l5 平移，使点 A 和点 A1 重合，若 AB=BC，你能得到什么结论？ l5 A1 B1 C1 A1B1=B1C1 抽取 A B C B1 C1 AB1=B1C1 平行线等分线段定理推论： 经过三角形一边中点 与另一边平行的直线 必平分第三边. ∵ BB1∥CC1， AB=BC ∴ AB1=B1C1 【几何语言】 探究新知 A B C E D E′ 证明： ∵ D 为 AB 边上的中点，且 DE′∥ BC ∴ E' 是 AC 的中点 ∴ 点 E' 与点 E 重合 过点 D 作 DE′∥ BC 交 AC 于点 E′. F 求证： 已知：如图，点 D，E 分别为 △ABC 的边 AB，AC 的中点. DE= 1 2 DE∥ BC， BC 且 同理，过点 D 作 DF∥AC 交 BC 于点 F ∴ 四边形 DFCE 是平行四边形 ∴ DE // BC 则点 F 为 BC 的中点. ∴ DE=FC = BC 三角形两边中点的连线平行于第三边，并且等于等三边的一半 三角形中位线定理： 感谢聆听! $