19.3 3.正方形-【初中必刷题】2025-2026学年八年级下册数学同步课件(沪科版·新教材)
2026-05-05
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教辅
摘要：
该初中数学课件聚焦八年级下册“正方形”，通过回顾矩形、菱形性质导入，构建从平行四边形到特殊四边形的知识脉络，以学习支架形式帮助学生衔接新旧知识点。
其亮点是分层训练（刷基础、刷提升）与分类讨论实例（如点E位置分内外），结合中考真题培养推理能力和应用意识。学生能巩固知识提升解题能力，教师可丰富教学资源优化教学环节。
内容正文：
数 学
八年级下册 HK
1
2
3
第19章 四边形
4
19.3
矩形、菱形、正方形
3.正方形
5
刷基础
刷提升
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6
基础
知识点1 正方形的性质
1.矩形、菱形、正方形不同时具有的性质是( )
D
A.对边平行且相等 B.对角相等
C.对角线互相平分 D.每条对角线平分一组对角
【解析】矩形、菱形、正方形都是特殊的平行四边形，它们同时具有平行四边形
的一切性质，故A、B、C选项不符合题意，D选项符合题意.故选D.
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（第2题图）
2.【2024安徽滁州凤阳模拟】如图所示，是正方形 的对角线
上一点，，，垂足分别是，，若 ，
，则 的长是( )
C
A.3 B.4 C.5 D.7
【解析】如图，连接 四边形是正方形， ，
.在和 中，
， ，
， ， 四边形是矩形， ，
， .故选C.
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（第3题图）
3.如图，为正方形边延长线上一点，且 ，
交于， 的度数为( )
B
A. B. C. D.
【解析】如图，连接 四边形 是正方形，
，， 是正方
形的对角线， ， ，
， ．故选B.
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思路分析
根据等边对等角的性质可得 ，然后根据正方形的对角线平分一组对角
以及三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式求出 ，再
根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式计算即可得解.
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4.以正方形的边为边作等边，则 ___________.
或
【解析】 四边形为正方形，， .当点 在
正方形外时.为等边三角形， ，
.， .同理可知
， .当点在正方形
内时., ， ，
， .同理可得 ，
.综上， 或 .故答案为
或 .
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易错警示
解答本题时要考虑两种情况，即点在正方形 内和外，不要漏解.
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5.【2024辽宁锦州质检】如图，正方形中，对角线，
的交点为，是上的一点，于点，交于点 .
求证： .
【证明】 四边形是正方形，, .
， .
又， .
在和中，
， .
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知识点2 正方形的判定
6.下列命题中，正确的是( )
D
A.四边相等的四边形是正方形
B.四角相等的四边形是正方形
C.对角线互相垂直的平行四边形是正方形
D.对角线相等的菱形是正方形
【解析】选项A错误，四边相等的四边形是菱形；选项B错误，四角相等的四边形
是矩形；选项C错误，对角线互相垂直的平行四边形是菱形；选项D正确，符合正
方形的判定.故选D.
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7.如图，的对角线，相交于点，给出四个条件： ；
；； .从所给的四个条件中任意选择两个
为一组，能判定 是正方形的有( )
B
A.3组 B.4组 C.5组 D.6组
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【解析】， ， 是正方形，故①②为一组，能判
定是正方形. ，是矩形.， 矩形
是正方形，故②④为一组，能判定是正方形.在 中，
，，， 是正方形，
故③④为一组，能判定是正方形.，， 是
矩形.， 矩形是正方形，故①③为一组，能判定 是正方
形.故选B.
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8.【2024山东菏泽郓城校级一模】若菱形的两个相邻的内角度数分别为 和
，定义 为菱形的“接近度”，则当“接近度”为___时，这个菱形就是
正方形.
1
【解析】 有一个角是直角的菱形就是正方形，且菱形相邻的两个内角互补，
当菱形相邻的两个内角都为90度时，该菱形是正方形，， 当 时，
这个菱形就是正方形.故答案为1.
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关键点拨
正确理解“接近度”的含义是解决问题的关键．
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9.【2025安徽合肥包河区期末】如图，分别在正方形的边，， ，
上截取相等的线段，，，，连接，，， ，得到四边形
，连接 .
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（1）求证：四边形 是正方形；
【证明】 四边形是正方形， ，
，
， ，
， ，
， 四边形是菱形. ，
， ， 菱形
是正方形.
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（2）若，，求 的长.
【解】，，，， 在
中，由勾股定理得 四边形 是正方形，
， ， 在 中，由勾股定理得
.
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提升
（第1题图）
1.【2025河南伊川期末，中】如图，在 中，
，点从点出发沿边向点运动，运动到点 停
止，过点分别作交于点，交于点 .
在点的运动过程中，四边形 形状的变化依次为( )
B
A.矩形 菱形 矩形
B.矩形 正方形 矩形
C.平行四边形 菱形 平行四边形
D.平行四边形 正方形 平行四边形
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【解析】，， 四边形是平行四边形. ，
平行四边形是矩形， 在点的运动过程中，四边形 始终是矩形.当
时，矩形是正方形， 四边形形状的变化依次为矩形 正方
形 矩形.故选B.
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思路分析 图示
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（第2题图）
2.【2025安徽合肥庐阳区校级期末，较难】如图，在
中， ，，分别以，
为边向外作正方形，.连接，过点 作
于点，过点作分别交，，
于点，， ，则下列线段比值为定值的是( )
B
A. B. C. D.
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【解析】设交于点，如图所示. 四边形 ，四
边形都是正方形，,，，
.又 ，.
在和 中，
，
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，， ，
, , .又
, 易证,,是等腰三角形， 是
中点. 是的中位线，, ，为
定值.其他选项无法求出固定比值，故选B.
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3.【2024安徽合肥庐阳区校级期中，中】如图，在边长为3的正方形 的外部作
等腰，， ，连接，，，则 ____.
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（第3题图）
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【解析】如图，连接，交于点 四边形 是正方形,
， 是等腰直角三角形，
,， ，
思路分析
连接，交于点，由已知条件可证，可得 ，
进而可得 ，再由勾股定理即可求解.
，， ，
.故答案为20.
, , , ，
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4.【2025安徽合肥庐阳区校级期末，较难】如图，在中， ，
，，点是边上的一动点，以为边，在 的右侧作正方形
，连接 .填空：
（第4题图）
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（1）若平分，则 _______；
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图（1）
【解析】如图（1），过作于，在上取点 ，使
在中， ,， ，
，，， .
在正方形中，平分 ，
， ，
， ， .设
，则，.在 中，由勾股定理得
，解得 （负值已舍去），
，.故答案为 .
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（2）若，则 的面积为_ __.
图（2）
【解析】如图（2），连接，过作交 的延长线
于，过作于 .由（1）得
， ，
，， ，
四边形是正方形， 设，.在 中，
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由勾股定理得，解得， ，
， .
在和中， ，
，的面积为.故答案为 .
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关键点拨
（2）连接,过作交的延长线于，过作于.利用 证明
是解答本题的关键.
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5.【2025安徽肥西期末，较难】如图，在正方形中，点为 延长线上任一
点，连接.过点作，交的延长线于点，过点作于点 .
（第5题图）
（1）若，则 _ __.
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【解析】如图，在上截取一点,使，连接， ，
连接交于点.， ，
是等腰直角三角形， 四边形 是正
方形，， ， ，
，， ，
， ， 是等腰直角三角形，
.在和 中，
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，，， ，
， ， ，
，.又， 四边形 是平行四边形，
.在 中，
由勾股定理得， .
故答案为 .
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（2）若，则 _______.
【解析】设，，则.， ，
.由（1）可知，，四边形 是平行四边
形，.在和中，
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，， ，
，， .由（1）
可知，是等腰直角三角形，， 由勾股定理得
，
，， ，
.故答案为 .
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6.［较难］如图，在平面直角坐标系中，，直线经过点且与 轴平
行，是直线上一动点，以为边向右作正方形 .
（第6题图）
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（1）点的坐标是______________（用含 的式子表示）.
【解析】如图，过点作轴于，过点作轴于 ，交
直线于 直线经过点且与轴平行， 直线 ，
，， 直线 ，
. 四边形 是正方形，
， ， ，
，，， .
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在和中， ，
，， ，
，， 点 的坐标
是.故答案为 .
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（2）当时， ___.
2
【解析】如图.由（1）得，， .
在中，，，
或， .故答案为2.
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思路分析
（1）过点作轴于，过点作轴于，交直线于 ，证明
，根据全等三角形的性质即可求解.
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7.【2025安徽全椒期末，较难】如图，是正方形的一条对角线，点 是边
上的任意一点，过点作于，连接，为的中点，连接 ，
， .
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（1）当 时，求 的度数；
【解】 四边形是正方形，是它的对角线， ,
.
在和中，
，， .又
， ，
.
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（2）当 时， ，求正方形的边长；
【解】 四边形是正方形， .又, 是等腰
直角三角形.，, .
, , 在 中，
，， ,
即正方形的边长为 .
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（3）当时，求 的长.
【解】如图，连接.由（1）可得 ,
.在中，为中点， ，
同理， ，
， .又
， ， .又
， 是等腰直角三角形，
， .
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关键点拨
（1）解题关键是利用正方形的性质证明 .
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8.【2024安徽滁州天长校级期中，难】如图（1），在正方形中，点 在边
上，点在的延长线上，,连接,, .
图（1）
图（2）
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（1）求证： 是等腰直角三角形.
【证明】 四边形 为正方形，
， ，
, .
在和中，
，， ，
， ， 是等腰直角三角形.
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（2）如图（2），过点作交于点，垂足为，连接 .
①求证： ；
【证明】如图，过点作交延长线于 ，
.
是等腰直角三角形，， ，
， ， .
，四边形内角和为 ，
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， .
在和中，
，，， 是等腰直角三角
形， 由勾股定理易知 ，
.
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②若，，求 的长.
【解】如图，连接，设，则， ，
，， .
是等腰直角三角形，，垂直平分， .
在中，由勾股定理得， ，
， .
关键点拨
（2）①本题主要考查正方形的性质、全等三角形的性质和判定及勾股定理，过点
作交延长线于 ，根据正方形的性质和等腰直角三角形的性质，利
用证明 是解题的关键.
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刷素养
9.思想方法 分类讨论 ［难］如图，四边形为正方形，点为线段 上一点，
连接，过点作，交射线于点，以，为邻边作矩形 ，
连接 .
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（1）求证：矩形 是正方形；
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图（1）
【证明】如图（1），过点作于，于 四边形
为正方形， ，
， .又 ，
， .
， .
在和中，
， ，
矩形 是正方形.
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（2）若，，求 的长；
【解】如图（2），在中，， ，
, 点与重合， 由（1）知 .
图（2）
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（3）当线段与正方形的某条边的夹角是 时，直接写出 的度数.
【解】的度数是 或 .分两种情况：
①如图（3），当与的夹角为 时，
.
， .
， .
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②如图（4），当与的夹角为 时,
，
.
综上所述，的度数为 或 ．
图（3）
图（4）
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微专题3 中点四边形
10.判断形状 【2024安徽合肥包河区校级期末，中】如图，
，是四边形的对角线，若，，，分别是 ，
，，的中点，顺次连接，，， 四点，得到四边
形 ，则下列结论不正确的是( )
C
A.四边形 一定是平行四边形
B.当时，四边形 是菱形
C.当时，四边形 是矩形
D.四边形 可能是正方形
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【解析】，分别是，的中点，，， 分别是
，的中点，，，，， 四边形
是平行四边形，A选项正确，不符合题意.，分别是， 的中点，
，， 当时，四边形 是菱形，B
选项正确，不符合题意.当时，与不一定垂直， 四边形 不一
定是矩形，C选项错误，符合题意.当，时， ,
, 四边形 是正方形，D选项正确，不符合题意.故选C.
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11.周长面积规律问题 【2025河南中牟模拟，中】如
图，四边形中，，，且 ，
顺次连接四边形 各边的中点，得到四边形
，再顺次连接四边形 各边的中点，
得到四边形， ，如此进行下去，得到四边
形 .
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（1）当时，则四边形 的周长是_ ___.
【解析】如图，连接，.由题意得， ，
，，， ，
， 四边形 是平行四边形，同理可得，
四边形是平行四边形.又， 易得
，
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四边形是矩形，，，
四边形 是菱形.根据中位线的性质易知，
，
， 四边形 的周长是
，故答案为 .
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（2）四边形 的面积是_ ____.
【解析】 在四边形中，，，且 ，
.由三角形的中位线的性质易推得，每得到一个新的四边形，
它的面积变为原来四边形面积的一半， 四边形的面积是 .故答案为
.
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思路分析
（1）根据题意，找出变化后的四边形的边长与四边形 中各边长度的关系规
律，由四边形的周长边长之和来计算四边形 的周长；根据四边形
的面积与四边形的面积间的数量关系计算四边形 的面积.
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