第三章 图形的平移与旋转 知识清单 2025-2026学年北师大版八年级数学下册

知识清单 第三章 平移与旋转 一、平移的定义与性质 定义 在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，这样的图形运动称为平移； ⚠平移由方向和距离两个要素共同确定，方向确定移动的路径，距离确定移动的远近； 性质 平移只改变图形的位置，不改变图形的形状、大小和方向，平移前后两图形全等 对应点所连的线段平行（或在同一直线上）且相等 对应线段平行（或在同一直线上）且相等 平移后对应角保持不变 补充：坐标系中沿坐标轴平移 点沿x轴或y轴平移的坐标变化规律 平移方向 坐标变化 向左（右）平移个单位 横坐标（），纵坐标不变 向上（下）平移个单位 纵坐标（），横坐标不变 沿两个坐标轴方向的两次平移 一个图形依次沿x轴方向、y轴方向平移后所得的图形，可以看成是由原来图形经过一次平移得到的，平移的方向是两个平移方向的合方向，平移的距离是两次平移距离的平方和的算术平方根 二、旋转的定义与性质 定义 在平面内，将一个图形绕一个定点按某个方向转动一个角度，这样的图形运动称为旋转，这个定点称为旋转中心，转动的角称为旋转角； ⚠旋转的三要素：旋转中心、旋转方向、旋转角； 旋转不改变图形的形状和大小，但会改变图形的方向和位置；对应点到旋转中心的距离相等； 性质 旋转前、后的图形全等，即形状和大小不变 对应点到旋转中心的距离相等（即旋转中心在对应点连线的垂直平分线上） 任意一组对应点与旋转中心的连线所成的角都等于旋转角 对应线段相等，对应角相等 ⚠辅助线技巧：利用旋转的性质解题时，常连接对应点和旋转中心，构造等腰三角形求解 三、中心对称的定义与性质 中心对称 定义 把一个图形绕着某一点旋转 180°，它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做它们的对称中心； ⚠要点：中心对称是旋转角为180°的特殊旋转； 性质 成中心对称的两个图形具有图形旋转的一切性质 成中心对称的两个图形中，对应点所连线段经过对称中心，且被对称中心平分 成中心对称的两个图形全等 中心对称图形 定义 把一个平面图形绕某个点旋转 180°，如果旋转后的图形能够和原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点叫做它的对称中心 常见的中心对称图形：线段、平行四边形、矩形、菱形、正方形、正六边形、圆等； 常见非中心对称图形：等腰三角形、等边三角形、等腰梯形等； ⚠补充：关于原点对称的点的坐标：在平面直角坐标系中，两点关于原点对称时，横、纵坐标都互为相反数，即点P(x, y) 关于原点的对称点为(−x, −y)； 补充：坐标系中沿坐标轴平移 对比纬度 轴对称 中心对称 性质 沿一条直线翻折后重合 绕一点旋转180°后重合 对应点连线 被对称轴垂直平分 经过对称中心，且被对称中心平分 四、常见题型与考点 考点类别 常见题型 平移性质的应用 根据平移求解线段长度： 例题：如图，将△ABC沿BC方向平移到△DEF，若A，D之间的距离为2，CE＝3，则BF的长度为 ． 【答案】7 【解答】∵将△ABC沿BC方向平移到△DEF，若A，D之间的距离为2， ∴BE＝CF＝2， ∵CE＝3， ∴BF＝CF+BE+CE＝2+2+3＝7． 故答案为：7． 根据平移求解图形面积： 例题：如图，将直角三角形沿方向平移2得到，交于点，，，则阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解答】由平移的性质可知，BC=EF=5cm，AD=BE=2cm，，， ∴BH=BC-CH=5-2=3cm， ∵， ∴ ∴ ∴． 故选：B． 根据平移解决实际问题： 例题：如图，某住宅小区内有一长方形地块，想在长方形地块内修筑同样宽的小路（图中阴影部分），余下部分为绿化，小路的宽为2m，则绿化的总面积是（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【解答】如图，设余下部分长方形长、宽分别为CF，EF， 因为CF=30-2=28m，EF=22-2=20m，所以绿化面积EFCG=2820=560． 旋转性质的应用 利用旋转求角度、长度： 例题一：如图，中，，将绕点顺时针旋转后，得到，且点在边上，则的度数为 ．    【答案】 【解答】根据题意，， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：． 例题二：如图，将一块角的直角三角板绕点B顺时针旋转到的位置，点A的对应点为点，且点C、B、三点在一条直线上，连接，若，则的长为 ． 【答案】 【解答】设与AB交点为F， ∵直角三角板ACB中，，， ∴， 由旋转知,， ∵点C、B、三点在一条直线上， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 坐标系中的平移和旋转 点的平移坐标变化： 例题一：在平面直角坐标系内，将M（5，2）先向下平移2个单位，再向左平移3个单位，则移动后的点的坐标是（　　） A．（2，0） B．（3，5） C．（8，4） D．（2，3） 【答案】A 【解答】平移后的坐标为（5﹣3，2﹣2），即坐标为（2，0）， 故选：A． 例题二：如图，点A，B分别在x轴和y轴上，OA＝1，OB＝2，若将线段AB平移至线段A'B'，则a+b的值为（　　） A．2 B．3 C．﹣2 D．﹣3 【答案】A 【解答】由题意得A（﹣1，0），A'（2，a）， ∴A'是点A向右平移2﹣（﹣1）＝3个单位得到； ∵B（0，2），B'（b，1）， ∴点B'是点B向下平移2﹣1＝1个单位得到； ∴线段A'B'是线段AB先向右平移3个单位，再向下平移1个单位得到，故a＝0﹣1＝﹣1，b＝0+3＝3， ∴a+b＝﹣1+3＝2， 故选：A． 点的旋转坐标变化： 例题：在平面直角坐标系xOy中，将线段OA绕原点O逆时针旋转，记点A(-2,4)的对应点为，则的坐标为 ． 【答案】 【解答】如图， 把△OAR绕坐标原点O逆时针旋转90°得到△OS， 则AR==2，OR=OS=4，， ∴点． 故答案为： 中心对称性质的应用 利用中心对称性质求值： 例题：如图，△DEC与△ABC关于点C成中心对称，AB＝3，AC＝2，∠CAB＝90°，则AE的长是 　 　． 【答案】5 【解答】∵△DEC与△ABC关于点C成中心对称， ∴△ACB≌△DCE， ∴AC＝CD＝2，∠A＝∠D＝90°，AB＝DE＝3， ∴AD＝4， ∴AE5， 故答案为：5． 坐标系中的中心对称： 例题：已知点A、点B、点C在平面直角坐标系内，点A、点B关于直线对称，点B、点C关于原点中心对称．若点A坐标是，那么点C的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】 【解答】∵点A坐标是（5，2），点A、点B关于直线x=2对称， ∴点B坐标是（-1，2）， ∵点B、点C关于原点中心对称． ∴点C的坐标是（1，-2）， 故选：D． 中心对称图形的判断： 例题：下列标识中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【答案】 【解答】A．不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故此选项不正确； B．既是中心对称图形，又是轴对称图形，故此选项正确； C．不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不正确； D．是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不正确； 故选：B． 关于原点对称 求关于原点对称的点的坐标： 例题：已知点P到x轴的距离是2，到y轴的距离是3，且与第二象限内的点Q关于原点对称，则点P的坐标为（　　） A．（3，﹣2） B．（﹣3，2） C．（2，﹣3） D．（﹣2，3） 【答案】A 【解答】设点P（a，b）， ∵点P与第二象限内的点Q关于原点对称， ∴点P在第四象限， ∴a＞0，b＜0， ∵点P到x轴的距离是2，到y轴的距离是3， ∴|a|＝3，|b|＝2， ∴a＝3，b＝﹣2， ∴点P的坐标为（3，﹣2）， 故选：A． 作图综合 平移与旋转的作图： 例题：如图，正方形网格中每个小正方形的边长都是1个单位长度，△ABC各顶点坐标分别为A（﹣2，1），B（2，2），C（0，﹣1）． （1）将△ABC先向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到，请在网格中画出； （2）将△ABC绕点A顺时针旋转90°得到，请在网格中画出； （3）求出△ABC旋转过程中所扫过的面积（结果保留π）． 【答案】（1）如图，即为所求．（2）如图，即为所求．（3）． 【解答】（1）如图，即为所求． （2）如图，即为所求． （3）由勾股定理得，AB， ∴△ABC旋转过程中所扫过的面积为． 旋转综合与规律探究 旋转与几何图形的综合问题： 例题：如图，是等腰直角的斜边上的两个动点，，将绕点A逆时针旋转后与重合，连接． (1)求证：． (2)求证：． (3)若，则的长度为__________． 【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析；(3)8 【解答】（1）在等腰直角三角形ABC中，， ∵△BAE绕点A逆时针旋转后与△CAD重合， ∴， ∴， ∴， ∴ （2）根据旋转的性质得：AE=AD，，∵， ∴ ， 在和中， ∴， ∴EF=DF （3）由（1）（2）得，EF=DF，旋转的性质得BE=CD ∵EF=10，BE=6， ∴∠DCF＝90°，EF=DF=10， ∵EF=DF=10，BE=CD=6， 在中∴， 故答案为：8． 图形变化中的规律探究： 例题：等腰在平面直角坐标系中的位置如图所示，点为原点，，，把等腰沿轴正半轴作无滑动顺时针翻转，第一次翻转到位置①，第二次翻转到位置②，…，依此规律，第23次翻转后点的横坐标是（    ） A．123 B．125 C．126 D．131 【答案】A 【解答】由题意得，每翻转三次与初始位置的形状相同， ，余数为2， ∴第23次翻转后点C的横坐标是． 故选：A． 综合运用（拓展） 手拉手模型： 例题：如图，已知在△ABC中，AB＝AC，D、E是BC边上的点，将△ABD绕点A旋转，得到△AC，连接E． (1)当∠BAC＝120°，∠DAE＝60°时，求证：DE＝E. (2)当DE＝E时，∠DAE与∠BAC有怎样的数量关系？请写出，并说明理由． (3)在（2）的结论下，当∠BAC＝90°，BD与DE满足怎样的数量关系时，△EC是等腰直角三角形？（直接写出结论，不必证明） 【答案】(1)见解析；(2)∠DAE＝∠BAC，理由见解析；(3)DE＝BD 【解答】（1）证明：∵△ABD绕点A旋转得到△AC， ∴AD＝A，∠CA＝∠BAD， ∵∠BAC＝120°，∠DAE＝60°， ∴∠AE＝∠CA＋∠CAE＝∠BAD＋∠CAE＝∠BAC﹣∠DAE＝120°﹣60°＝60°， ∴∠DAE＝∠AE， 在△ADE和△AE中，， ∴△ADE≌△AE（SAS）， ∴DE＝E； （2）解：∠DAE＝∠BAC．理由如下： 在△ADE和△AE中，， ∴△ADE≌△AD′E（SSS）， ∴∠DAE＝∠AE， ∴∠BAD＋∠CAE＝∠CAD′＋∠CAE＝∠D′AE＝∠DAE， ∴∠DAE＝∠BAC； （3）解：∵∠BAC＝90°，AB＝AC， ∴∠B＝∠ACB＝∠AC＝45°， ∴∠CE＝45°＋45°＝90°， ∵△EC是等腰直角三角形， ∴E＝C， 由（2）DE＝E， ∵△ABD绕点A旋转得到△AC， ∴BD＝ ， ∴DE＝BD． 对角互补模型： 例题：若四边形满足，则我们称该四边形为“对角互补四边形”．    (1)如图①，四边形为对角互补四边形，且满足，，求的度数．小云同学是这么做的：将绕点A逆时针旋转，使得点D与点B重合，点C的对应点为点M．请你写出的度数为______； (2)如图②，四边形为对角互补四边形，且满足，，试说明：. 【答案】(1)45°(2)见解析 【解答】（1）解：由题意知，， 由旋转的性质可得，，AC=AM， ∴，∴C、B、M三点共线， ∴△ACM是等腰直角三角形，∴， 故答案为：45°； （2）解：如图②，将△ACD绕点A逆时针旋转，使得点D与点B重合，点C的对应点为点E，   由题意知，∴，由旋转的性质可得，AC=AE，∴． ∴点C，B，E在同一条直线上． ∴ 半角模型： 例题：如图，四边形是正方形，点M，N分别在边上，且，我们称之为“半角模型”，在解决“半角模型”问题时，旋转是一种常用的方法．如图，将绕点A顺时针旋转，点D与点B重合，得到，连接．试判断之间的数量关系，并写出证明过程． 【答案】MN=DM+BN，证明见解析 【解答】MN=DM+BN．证明如下： 由旋转的性质，得AE=AM，BE=DM，，，∴点E，B，C共线． ∵， ∴． 在△EAN和△MAN中 ∴， ∴EN=MN， ∵EN=BE+BN ∴MN=DM+BN． 费马点模型： 例题：1643年，法国数学家费马曾提出一个著名的几何问题：给定不在同一条直线上的三个点A，B，C，求平面上到这三个点的距离之和最小的点的位置，意大利数学家和物理学家托里拆利给出了分析和证明，该点也被称为“费马点”或“托里拆利点”． (1)下面是该问题的一种常见的解决方法，分两种情况讨论，请补充以下推理过程： ①当的三个内角均小于时， 如图1，将绕点C顺时针旋转得到，连接，    ∵绕点C顺时针旋转得到 ∴， ∴为_________三角形， ∴ ∵ ∴ ∴ 由几何公理：_____________可得： ∴当B，P，，在同一条直线上时，取最小值， 如图2，最小值为，此时的P点为该三角形的“费马点”，且有________°．    ②当有一个内角大于或等于时，“费马点”为该三角形的某个顶点，证明略． (2)如图3，在中，三个内角均小于，且，，，若P为的“费马点”，求的值；    【答案】(1)①等边，两点之间选的最短，120；②见解析(2)7 【解答】（1）解：①当的三个内角均小于时， 如图1，将绕点C顺时针旋转得到，连接，    ∵绕点C顺时针旋转得到， ∴，， ∴为等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， 由几何公理：两点之间选的最短，可得： ∴当B，P，，在同一条直线上时，取最小值， 如图2，最小值为，此时的P点为该三角形的“费马点”，且有．    ②当时， ∵， ∴， ∴， ∴顶点A到另两个顶点距离和最小， ∵， ∴， ∴当点P和点A重合时，取最小值， 即此时的A点为该三角形的“费马点”．    （2）解：将绕点C顺时针旋转得到，连接，    由（1）可得：当B，P，，在同一条直线上时，取最小值， 延长，过点作延长线的垂线，垂足为D， ∵绕点C顺时针旋转得到， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，则 根据勾股定理可得：， ∴； 学科网（北京）股份有限公司 $ 知识清单 第三章 平移与旋转 一、平移的定义与性质 定义 在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，这样的图形运动称为平移； ⚠平移由方向和距离两个要素共同确定，方向确定移动的路径，距离确定移动的远近； 性质 平移只改变图形的位置，不改变图形的形状、大小和方向，平移前后两图形全等 对应点所连的线段平行（或在同一直线上）且相等 对应线段平行（或在同一直线上）且相等 平移后对应角保持不变 补充：坐标系中沿坐标轴平移 点沿x轴或y轴平移的坐标变化规律 平移方向 坐标变化 向左（右）平移个单位 横坐标（），纵坐标不变 向上（下）平移个单位 纵坐标（），横坐标不变 沿两个坐标轴方向的两次平移 一个图形依次沿x轴方向、y轴方向平移后所得的图形，可以看成是由原来图形经过一次平移得到的，平移的方向是两个平移方向的合方向，平移的距离是两次平移距离的平方和的算术平方根 二、旋转的定义与性质 定义 在平面内，将一个图形绕一个定点按某个方向转动一个角度，这样的图形运动称为旋转，这个定点称为旋转中心，转动的角称为旋转角； ⚠旋转的三要素：旋转中心、旋转方向、旋转角； 旋转不改变图形的形状和大小，但会改变图形的方向和位置；对应点到旋转中心的距离相等； 性质 旋转前、后的图形全等，即形状和大小不变 对应点到旋转中心的距离相等（即旋转中心在对应点连线的垂直平分线上） 任意一组对应点与旋转中心的连线所成的角都等于旋转角 对应线段相等，对应角相等 ⚠辅助线技巧：利用旋转的性质解题时，常连接对应点和旋转中心，构造等腰三角形求解 三、中心对称的定义与性质 中心对称 定义 把一个图形绕着某一点旋转 180°，它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做它们的对称中心； ⚠要点：中心对称是旋转角为180°的特殊旋转； 性质 成中心对称的两个图形具有图形旋转的一切性质 成中心对称的两个图形中，对应点所连线段经过对称中心，且被对称中心平分 成中心对称的两个图形全等 中心对称图形 定义 把一个平面图形绕某个点旋转 180°，如果旋转后的图形能够和原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点叫做它的对称中心 常见的中心对称图形：线段、平行四边形、矩形、菱形、正方形、正六边形、圆等； 常见非中心对称图形：等腰三角形、等边三角形、等腰梯形等； ⚠补充：关于原点对称的点的坐标：在平面直角坐标系中，两点关于原点对称时，横、纵坐标都互为相反数，即点P(x, y) 关于原点的对称点为(−x, −y)； 补充：坐标系中沿坐标轴平移 对比纬度 轴对称 中心对称 性质 沿一条直线翻折后重合 绕一点旋转180°后重合 对应点连线 被对称轴垂直平分 经过对称中心，且被对称中心平分 四、常见题型与考点 考点类别 常见题型 平移性质的应用 根据平移求解线段长度： 例题：如图，将△ABC沿BC方向平移到△DEF，若A，D之间的距离为2，CE＝3，则BF的长度为 ． 根据平移求解图形面积： 例题：如图，将直角三角形沿方向平移2得到，交于点，，，则阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 根据平移解决实际问题： 例题：如图，某住宅小区内有一长方形地块，想在长方形地块内修筑同样宽的小路（图中阴影部分），余下部分为绿化，小路的宽为2m，则绿化的总面积是（    ）    A． B． C． D． 旋转性质的应用 利用旋转求角度、长度： 例题一：如图，中，，将绕点顺时针旋转后，得到，且点在边上，则的度数为 ．    例题二：如图，将一块角的直角三角板绕点B顺时针旋转到的位置，点A的对应点为点，且点C、B、三点在一条直线上，连接，若，则的长为 ． 坐标系中的平移和旋转 点的平移坐标变化： 例题一：在平面直角坐标系内，将M（5，2）先向下平移2个单位，再向左平移3个单位，则移动后的点的坐标是（　　） A．（2，0） B．（3，5） C．（8，4） D．（2，3） 例题二：如图，点A，B分别在x轴和y轴上，OA＝1，OB＝2，若将线段AB平移至线段A'B'，则a+b的值为（　　） A．2 B．3 C．﹣2 D．﹣3 点的旋转坐标变化： 例题：在平面直角坐标系xOy中，将线段OA绕原点O逆时针旋转，记点A(-2,4)的对应点为，则的坐标为 ． 中心对称性质的应用 利用中心对称性质求值： 例题：如图，△DEC与△ABC关于点C成中心对称，AB＝3，AC＝2，∠CAB＝90°，则AE的长是 　 　． 坐标系中的中心对称： 例题：已知点A、点B、点C在平面直角坐标系内，点A、点B关于直线对称，点B、点C关于原点中心对称．若点A坐标是，那么点C的坐标是（   ） A． B． C． D． 中心对称图形的判断： 例题：下列标识中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 关于原点对称 求关于原点对称的点的坐标： 例题：已知点P到x轴的距离是2，到y轴的距离是3，且与第二象限内的点Q关于原点对称，则点P的坐标为（　　） A．（3，﹣2） B．（﹣3，2） C．（2，﹣3） D．（﹣2，3） 作图综合 平移与旋转的作图： 例题：如图，正方形网格中每个小正方形的边长都是1个单位长度，△ABC各顶点坐标分别为A（﹣2，1），B（2，2），C（0，﹣1）． （1）将△ABC先向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到，请在网格中画出； （2）将△ABC绕点A顺时针旋转90°得到，请在网格中画出； （3）求出△ABC旋转过程中所扫过的面积（结果保留π）． 旋转综合与规律探究 旋转与几何图形的综合问题： 例题：如图，是等腰直角的斜边上的两个动点，，将绕点A逆时针旋转后与重合，连接． (1)求证：． (2)求证：． (3)若，则的长度为__________． 图形变化中的规律探究： 例题：等腰在平面直角坐标系中的位置如图所示，点为原点，，，把等腰沿轴正半轴作无滑动顺时针翻转，第一次翻转到位置①，第二次翻转到位置②，…，依此规律，第23次翻转后点的横坐标是（    ） A．123 B．125 C．126 D．131 综合运用（拓展） 手拉手模型： 例题：如图，已知在△ABC中，AB＝AC，D、E是BC边上的点，将△ABD绕点A旋转，得到△AC，连接E． (1)当∠BAC＝120°，∠DAE＝60°时，求证：DE＝E. (2)当DE＝E时，∠DAE与∠BAC有怎样的数量关系？请写出，并说明理由． (3)在（2）的结论下，当∠BAC＝90°，BD与DE满足怎样的数量关系时，△EC是等腰直角三角形？（直接写出结论，不必证明） 对角互补模型： 例题：若四边形满足，则我们称该四边形为“对角互补四边形”．    (1)如图①，四边形为对角互补四边形，且满足，，求的度数．小云同学是这么做的：将绕点A逆时针旋转，使得点D与点B重合，点C的对应点为点M．请你写出的度数为______； (2)如图②，四边形为对角互补四边形，且满足，，试说明：. 半角模型： 例题：如图，四边形是正方形，点M，N分别在边上，且，我们称之为“半角模型”，在解决“半角模型”问题时，旋转是一种常用的方法．如图，将绕点A顺时针旋转，点D与点B重合，得到，连接．试判断之间的数量关系，并写出证明过程． 费马点模型： 例题：1643年，法国数学家费马曾提出一个著名的几何问题：给定不在同一条直线上的三个点A，B，C，求平面上到这三个点的距离之和最小的点的位置，意大利数学家和物理学家托里拆利给出了分析和证明，该点也被称为“费马点”或“托里拆利点”． (1)下面是该问题的一种常见的解决方法，分两种情况讨论，请补充以下推理过程： ①当的三个内角均小于时， 如图1，将绕点C顺时针旋转得到，连接，    ∵绕点C顺时针旋转得到 ∴， ∴为_________三角形， ∴ ∵ ∴ ∴ 由几何公理：_____________可得： ∴当B，P，，在同一条直线上时，取最小值， 如图2，最小值为，此时的P点为该三角形的“费马点”，且有________°．    ②当有一个内角大于或等于时，“费马点”为该三角形的某个顶点，证明略． (2)如图3，在中，三个内角均小于，且，，，若P为的“费马点”，求的值；    学科网（北京）股份有限公司 $知识清单 第三章平移与旋转 一、平移的定义与性质 在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离， 这样的图形运动称为平移； 定义 平移由方向和距离两个要素共同确定，方向确定移 动的路径，距离确定移动的远近； 平移只改变图形的位置，不改变图形的形状、大小和 方向，平移前后两图形全等 性质 对应，点所连的线段平行（或在同一直线上)且相等 对应线段平行（或在同一直线上)且相等 平移后对应角保持不变 补充：坐标系中沿坐标轴平移 平移方向 坐标变化 ,点沿x轴或y 向左（右）平移a个单位 横坐标-a(+a),纵坐 轴平移的坐 标不变 标变化规律 向上（下)平移a个单位 纵坐标-a（+Q),横坐 标不变 一个图形依次沿x轴方向、y轴方向平移后所得的图形， 沿两个坐标 可以看成是由原来图形经过一次平移得到的，平移的方 轴方向的两 向是两个平移方向的合方向，平移的距离是两次平移距 次平移 离的平方和的算术平方根 二、旋转的定义与性质 在平面内，将一个图形绕一个定点按某个方向转动一个 角度，这样的图形运动称为旋转，这个定点称为旋转中 心，转动的角称为旋转角； 定义 旋转的三要素：旋转中心、旋转方向、旋转角； 旋转不改变图形的形状和大小，但会改变图形的方向和 位置；对应，点到旋转中心的距离相等； 旋转前、后的图形全等，即形状和大小不变 对应点到旋转中心的距离相等（即旋转中心在对应点连 线的垂直平分线上) 性质 任意一组对应点与旋转中心的连线所成的角都等于旋 转角 对应线段相等，对应角相等 辅助线技巧：利用旋转的性质解题时，常连接对应点和旋转中心， 构造等腰三角形求解 三、中心对称的定义与性质 把一个图形绕着某一，点旋转180°，它能够 与另一个图形重合，那么就说这两个图形 关于这个点对称或中心对称，这个点叫做 定义 它们的对称中心； 要，点：中心对称是旋转角为180°的特殊 中心对称 旋转； 成中心对称的两个图形具有图形旋转的一 切性质 性质 成中心对称的两个图形中，对应，点所连线 段经过对称中心，且被对称中心平分 成中心对称的两个图形全等 把一个平面图形绕某个点旋转180°，如果 旋转后的图形能够和原来的图形重合，那 定义 么这个图形叫做中心对称图形，这个点叫 中心对称图 做它的对称中心 形 常见的中心对称图形：线段、平行四边形、矩形、菱形、 正方形、正六边形、圆等； 常见非中心对称图形：等腰三角形、等边三角形、等腰 梯形等； 补充：关于原点对称的点的坐标：在平面直角坐标系中，两点关于 原点对称时，横、纵坐标都互为相反数，即，点P(区，y)关于原点的对称 点为P'(-x,-y; 补充：坐标系中沿坐标轴平移 对比纬度 轴对称 中心对称 性质 沿一条直线翻折后重合 绕一点旋转180°后重合 对应点连线 被对称轴垂直平分 经过对称中心，且被对称中 心平分 四、常见题型与考点 考点类别 常见题型 根据平移求解线段长度： 例题：如图，将△ABC沿BC方向平移到△DEF,若A,D之 间的距离为2，CE=3,则BF的长度为 B E c 平移性质的 根据平移求解图形面积： 应用 例题：如图，将直角三角形ABC沿AB方向平移2cm得到aDEF,DF 交BC于，点H,CH=2cm,EF=5cm,则阴影部分的面积为() B A. 6cm2 B.8cm2 C.12cm2 D.16cm2 根据平移解决实际问题： 例题：如图，某住宅小区内有一长方形地块，想在长方形地块 内修筑同样宽的小路（图中阴影部分），余下部分为绿化，小 路的宽为2m,则绿化的总面积是() 30m 22m A. 660m2B.600m2C.560m2D.100m2 利用旋转求角度、长度： 例题一：如图，△MBC中，∠B=65°，将aABC绕，点C顺时针旋转后， 得到△A'BC,且，点B在边AB上，则LBA的度数为 旋转性质的 应用 例题二：如图，将一块30°角的直角三角板ACB绕，点B顺时针旋 转到△A'CB的位置，点A的对应点为点，且点C、B、A三点 在一条直线上，连接CC,若BC=1,则CC的长为」 B ,点的平移坐标变化： 坐标系中的 例题一：在平面直角坐标系内，将M(5,2)先向下平移2个 平移和旋转 单位，再向左平移3个单位，则移动后的点的坐标是() A.(2,0)B.(3,5)C.(8,4)D.(2,3) 例题二：如图，点A,B分别在x轴和y轴上，OA=1,OB= 2,若将线段AB平移至线段A'B，则a+b的值为() 2B B(b,1) A/ -10 A'(2,a A.2B.3C.-2D.-3 点的旋转坐标变化： 例题：在平面直角坐标系xOy中，将线段OA绕原点O逆时针 旋转90°，记点A(-2,4)的对应点为A1,则A1的坐标为 利用中心对称性质求值： 例题：如图，△DEC与△ABC关于，点C成中心对称，AB=3, AC=2,∠CAB=90°，则AE的长是 D B 中心对称性 质的应用 坐标系中的中心对称： 例题：已知点A、点B、点C在平面直角坐标系内，点A、点 B关于直线=2对称，点B、点C关于原点中心对称.若点A 坐标是(5,2)，那么点C的坐标是() A.(52)B.(-12)C.（-1,-2）D.(1,-2) 中心对称图形的判断： 例题：下列标识中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是 A B D 求关于原点对称的，点的坐标： 例题：已知，点P到x轴的距离是2，到y轴的距离是3，且与第 关于原点对 二象限内的点Q关于原点对称，则点P的坐标为() 称 A.(3,-2) B.(-3,2) C.(2,-3) D.(-2,3) 平移与旋转的作图： 例题：如图，正方形网格中每个小正方形的边长都是1个单位 长度，△ABC各顶，点坐标分别为A（-2,1),B(2,2),C (0,-1). 作图综合 (1)将△ABC先向右平移2个单位长度，再向下平移3个单 位长度，得到△A1B1C1,请在网格中画出△A1B1C1; (2)将△ABC绕点A顺时针旋转90°得到△AB2C2,请在网 格中画出△AB2C2; (3)求出△ABC旋转过程中所扫过的面积（结果保留π)· 2 -3- 2 B A 53-2-81.2.3 5 C 2 旋转与几何图形的综合问题： 例题：如图，E、F是等腰直角△ABC的斜边BC上的两个动点， ∠EAF=45°，将aBAE绕，点A逆时针旋转后与△CAD重合，连接FD. B E (1)求证：DC1BC. 旋转综合与 (2)求证：EF=DF. 规律探究 (3)若F=10,BE=6则C的长度为 图形变化中的规律探究： 例题：等腰△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，点A为 原，点，AB=6,CA=CB=5,把等腰4BC沿x轴正半轴作无滑动顺 时针翻转，第一次翻转到位置①，第二次翻转到位置②，…， 依此规律，第23次翻转后，点C的横坐标是() (A)-(B) ① ② A B (C) (4)x A.123B.125C.126D.131 手拉手模型： 例题：如图，已知在△ABC中，AB=AC,D、E是BC边上的 点，将△ABD绕点A旋转，得到△ACD'，连接D'E. D E (1)当∠BAC=120°，∠DAE=60°时，求证：DE=D'E. 综合运用（拓 (2)当DE=D'E时，∠DAE与∠BAC有怎样的数量关系？请 展) 写出，并说明理由. (3)在(2)的结论下，当∠BAC=90°，BD与DE满足怎样的数 量关系时，△D'EC是等腰直角三角形？（直接写出结论，不 必证明) 对角互补模型： 例题：若四边形ABCD满足∠A+∠C=180°，则我们称该四边形为“对 角互补四边形”. M B 图① 图② (1)如图①，四边形ABCD为对角互补四边形，且满足∠BAD=90°， AB=AD,求∠ACB的度数.小云同学是这么做的：将△ACD绕，点A 逆时针旋转，使得点D与点B重合，，点C的对应，点为点M.请 你写出∠ACB的度数为—； (2)如图②，四边形ABCD为对角互补四边形，且满足∠BAD=60°， AB=AD,试说明：CA=CB+CD. 半角模型： 例题：如图，四边形ABCD是正方形，点M,N分别在边CDBC 上，且∠MN=45°，我们称之为“半角模型”，在解决“半角模型” 问题时，旋转是一种常用的方法.如图，将△ADM绕，点A顺时 针旋转90°，点D与点B重合，得到△ABE,连接MN.试判断 DM,BN,MN之间的数量关系，并写出证明过程. D E B 费马点模型： 例题：1643年，法国数学家费马曾提出一个著名的几何问题： 给定不在同一条直线上的三个点A,B,C,求平面上到这三个 点的距离之和最小的点的位置，意大利数学家和物理学家托里 拆利给出了分析和证明，该点也被称为“费马点”或“托里拆利点” (1)下面是该问题的一种常见的解决方法，分两种情况讨论，请 补充以下推理过程： ①当△ABC的三个内角均小于120°时， 如图1，将△APC绕，点C顺时针旋转60°得到△A'P'C,连 接PP, 图1 △APC绕，点C顺时针旋转60°得到△A'P'C .PC=P'C,∠PCP'=60° △PCP′为 三角形， ..PP=PC .‘△APC=△A'P'C ..P'A'=PA ..PA+PB+PC=PP PB+A P 由几何公理： 可得：PP'+PB+A'P'≥A'B 当B,P,P',A在同一条直线上时，PA+PB+PC取最 小值， 如图2，PA+PB+PC最小值为A'B,此时的P点为该三角 形的“费马，点”，且有∠APC=∠BPC=∠APB= A 图2 ②当△ABC有一个内角大于或等于120°时，“费马，点”为该三 角形的某个顶点，证明略. (2)如图3，在ABC中，三个内角均小于120°， 且∠ABC=60°，AB=5,BC=3,若P为△ABC的“费马 点”，求PA+PB+PC的值； 图3B