精品解析：2025-2026学年福建省莆田第二十五中学八年级下学期期中数学试卷

2025－2026学年福建省莆田第二十五中学八年级（下）期中数学试卷 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效． 3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回． 第I卷 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若在实数范围内有意义，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 2. 下列各式为最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 3. 在中，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 4. 下列各组长度的线段中，首尾顺次相接能构成直角三角形的是（ ） A. 2，3，4 B. 3，6，8 C. 5，7，9 D. 6，8，10 5. 不等式组的解集是（ ） A. B. C. D. 6. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 正方形一定具有而矩形不一定具有的性质是（ ） A. 对角相等 B. 对角线互相垂直 C. 对边平行且相等 D. 对角线相等 8. 如图是《九章算术》中的“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折高者几何？意思是：一根竹子，原高一丈（1丈10尺），折断后，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部3尺远，求折断处离地面的高度．若设竹子折断处离地面x尺，则根据题意，方程可列为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在中，，，，分别是边，的中点，连接在线段上，若，则的长为（ ） A. 8 B. 4 C. 2 D. 1 10. 如图是一张的正方形网格（每个小正方形的边长都是1个单位长度），若要在格点上画出一些点，使得每两个点之间的距离都大于2个单位长度，则画出的点的个数最多有（ ） A. 12 B. 13 C. 14 D. 15 第II卷 注意事项： 1.用0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上相应位置书写作答，在试题卷上作答，答案无效． 2.作图可先用2B铅笔画出，确定后必须用0.5毫米黑色墨水签字笔描黑． 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分． 11. 比较实数的大小：3 _____（填“＞”、“＜”或“＝”）． 12. “比的2倍小1的数”用代数式表示是________． 13. 如图，菱形的对角线，则菱形的周长为___________． 14. 如图，以线段为斜边向两侧作和，，是线段的中点，连接．若，则的度数为___________． 15. 如图，在中，，、分别是、的平分线分别交于点、，交于点，若，，则的长为______________． 16. 如图，在正方形中，以线段为边在正方形内作等边，点分别是上的点，且．若，则的最小值是___________． 三、解答题：本题共9小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 计算：． 18. 已知，． （1）直接写出_____，_____； （2）试求的值． 19. 先化简，再求值：，其中． 20. 如图，在矩形中，是的中点，是上一点，若，求证：是的中点． 21. 如图，在四边形中，，，，，连接，若，判断和的位置关系，并说明理由． 22. 已知． （1）求的最小值； （2）若，求的值． 23. 如图，，点C是射线上一点． （1）尺规作图：以为对角线构造菱形，且点B在射线上（不写作法，保留作图痕迹）； （2）若，求菱形的面积． 24. 综合实践 【问题背景】 勾股定理作为数学历史长河中古老的定理之一，被称为人类数学文明中的一枚璀璨瑰宝．其内容为：如果直角三角形的两条直角边长分别为，斜边长为，那么．据说其证明方法有400余种．现有三种可用来证明勾股定理的图形： 图①，图②都是由4个全等的直角三角形和1个小正方形拼成大正方形； 图③是由2个全等的直角三角形及1个等腰直角三角形拼成梯形； 这三个图形中全等的直角三角形的两条直角边长均为，斜边长为． （1）【探索求证】 请从图1，图2，图3任选一个图形证明勾股定理． （2）【深入实践】 同学们在研究勾股定理的证明时发现直角三角形的三边之间除了满足，还有其他的关系，如：若，则，请证明这个结论． （3）【拓展迁移】 如图4，分别是以的三边为一边的等边三角形．若的面积为的面积为，四边形的面积为，的面积为，试判断之间的数量关系，并说明理由．___________． 25. 如图，在菱形中，点M在对角线上，过M作于点E，连接并延长交于点F． （1）如图1，当时． ①求证：； ②若点F恰为边的中点，求证：． （2）如图2，若，．求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025－2026学年福建省莆田第二十五中学八年级（下）期中数学试卷 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效． 3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回． 第I卷 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若在实数范围内有意义，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查二次根式有意义的条件，根据二次根式有意义的条件为被开方数必须大于或等于零进行求解即可． 【详解】解：∵在实数范围内有意义， ∴， ∴． 故选B． 2. 下列各式为最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】被开方数不含分母，且被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，这样的二次根式叫做最简二次根式，据此逐一判断即可． 【详解】根据最简二次根式的定义逐一判断： 解：A、，被开方数含分母，不是最简二次根式，不符合题意； B、，被开方数含能开得尽方的因数，不是最简二次根式，不符合题意； C、是最简二次根式，符合题意； D、，被开方数含分母，不是最简二次根式，不符合题意； 3. 在中，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质可知，再结合即可求出的度数． 【详解】解：如下图： 四边形是平行四边形， ， ， ， ． 4. 下列各组长度的线段中，首尾顺次相接能构成直角三角形的是（ ） A. 2，3，4 B. 3，6，8 C. 5，7，9 D. 6，8，10 【答案】D 【解析】 【分析】若三角形三边满足两短边的平方和等于最长边的平方，则该三角形为直角三角形，据此分别计算验证各选项即可得到答案． 【详解】解：选项，，， ， 所以不能构成直角三角形，不符合题意． 选项，，， ， 所以不能构成直角三角形，不符合题意． 选项，，， ， 所以不能构成直角三角形，不符合题意． 选项，，， ， 所以能构成直角三角形，符合题意． 5. 不等式组的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据解不等式的基本步骤求解即可． 【详解】解：第一个不等式的解集为，第二个表达式的解集为， 故不等式组的解集为． 6. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：、与不是同类二次根式，不能合并，故本选项不符合题意； 、，故本选项不符合题意； 、，故本选项不符合题意； 、，故本选项符合题意． 7. 正方形一定具有而矩形不一定具有的性质是（ ） A. 对角相等 B. 对角线互相垂直 C. 对边平行且相等 D. 对角线相等 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查矩形和正方形的性质．根据矩形和正方形的性质逐项判断即可． 【详解】解：正方形的对角线互相垂直平分且相等， 矩形的对角线互相平分且相等，但不一定垂直， 故选：B． 8. 如图是《九章算术》中的“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折高者几何？意思是：一根竹子，原高一丈（1丈10尺），折断后，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部3尺远，求折断处离地面的高度．若设竹子折断处离地面x尺，则根据题意，方程可列为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：设竹子折断处离地面x尺，则折断处离抵地处尺， 根据勾股定理可得． 9. 如图，在中，，，，分别是边，的中点，连接在线段上，若，则的长为（ ） A. 8 B. 4 C. 2 D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】先利用中位线求的长度，再根据直角三角形斜边中线求的长度，最后计算． 【详解】解：∵，分别是边，的中点， ∴是的中位线， ， ， ， ∵，是的中点， ， ∵， ∴， ． 10. 如图是一张的正方形网格（每个小正方形的边长都是1个单位长度），若要在格点上画出一些点，使得每两个点之间的距离都大于2个单位长度，则画出的点的个数最多有（ ） A. 12 B. 13 C. 14 D. 15 【答案】B 【解析】 【分析】 先确定每一行，每一列有8个格点，根据题意，则每一行，每一列最多画2个格点，再根据，对网格的格点进行错位间隔排布，即可解答． 【详解】解：如图所示，每一行，每一列有8个格点， 根据题意，则每一行，每一列最多画2个格点， ∵， ∴格点进行错位间隔排布，如下图， 则最多画出 13个点． 第II卷 注意事项： 1.用0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上相应位置书写作答，在试题卷上作答，答案无效． 2.作图可先用2B铅笔画出，确定后必须用0.5毫米黑色墨水签字笔描黑． 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分． 11. 比较实数的大小：3 _____（填“＞”、“＜”或“＝”）． 【答案】< 【解析】 【分析】先平方，然后比较大小即可． 【详解】解：∵，均为正数且，， ∴ 故答案为：<． 【点睛】本题考查了有理数的大小比较．解题的关键在于先平方后比较大小． 12. “比的2倍小1的数”用代数式表示是________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意列出代数式即可． 【详解】解：“比的2倍小1的数”用代数式表示是， 故答案为：． 【点睛】本题考查了列代数式，读懂题意是关键． 13. 如图，菱形的对角线，则菱形的周长为___________． 【答案】20 【解析】 【分析】本题考查求菱形的性质、勾股定理．熟练掌握菱形的对角线互相垂直平分，是解题的关键．利用菱形的对角线互相垂直平分和勾股定理，求出菱形的边长，即可求解． 【详解】解：∵菱形中，， ， ， ∴菱形的周长是：． 故答案为：20． 14. 如图，以线段为斜边向两侧作和，，是线段的中点，连接．若，则的度数为___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据斜边上的中线等于斜边的一半得到，等边对等角，结合三角形的内角和定理以及角的和差关系进行求解即可. 【详解】解：∵，是线段的中点， ∴， ∴， ∵， ∴. 15. 如图，在中，，、分别是、的平分线分别交于点、，交于点，若，，则的长为______________． 【答案】1 【解析】 【分析】由平行四边形的性质和角平分线的定义，推出，，得到，再推出是等边三角形，即可得解． 【详解】解：在中，，，， ，， ， 、分别是、的平分线， ，， ， ， ， ∴， 是等边三角形， ， ． 16. 如图，在正方形中，以线段为边在正方形内作等边，点分别是上的点，且．若，则的最小值是___________． 【答案】 【解析】 【分析】连接，由正方形和等边三角形的性质可得，，，以、为邻边构造平行四边形，与交于点，从而得出点在射线上运动，当时，有最小值，此时有最小值，再在含30度角的直角三角形中求解即可． 【详解】解：如图，连接， 在正方形中，， ，，， ， 是等边三角形， ， 以、为邻边构造平行四边形，与交于点， ，，， ， ， ， ， ， 点在射线上运动， 当时，有最小值，此时有最小值， ， 在中，， 的最小值是． 三、解答题：本题共9小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的加减运算，先根据零指数幂、绝对值的意义计算并化简二次根式，然后合并即可． 【详解】解： ． 18. 已知，． （1）直接写出_____，_____； （2）试求的值． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的运算，平方差公式，完全平方公式变形计算，解题的关键是熟练掌握平方差公式和完全平方公式． （1）根据二次根式加减运算法则进行计算可以得出的值，根据平方差公式，求出的值即可； （2）将变形为，然后代入（1）中得出的结果进行计算即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴；； 【小问2详解】 解：∵，， ∴ ． 19. 先化简，再求值：，其中． 【答案】 【解析】 【详解】解：原式； 当时，原式． 20. 如图，在矩形中，是的中点，是上一点，若，求证：是的中点． 【答案】见解析 【解析】 【分析】由矩形的性质得到，则可证明四边形是平行四边形，得到，再由线段中点的定义可得． 【详解】证明：∵四边形是矩形， ∴，即， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵是的中点， ∴， ∴， ∴是的中点． 21. 如图，在四边形中，，，，，连接，若，判断和的位置关系，并说明理由． 【答案】，理由见解析 【解析】 【分析】先在利用勾股定理求出边长，再在中利用勾股定理逆定理得，即可证明． 【详解】解：，理由如下： ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， 又， ∴， ∴， ∴． 22. 已知． （1）求的最小值； （2）若，求的值． 【答案】（1）3 （2）13 【解析】 【分析】（1）根据二次根式的性质得出，即可求解； （2）将式子化简得出，确定，即可求解． 【小问1详解】 解：， ∵， ∴当时， 的最小值为3； 【小问2详解】 ∵，， ∴， 整理得：， ∴， ∴， 解得：，经检验，是方程的解， ∴． 23. 如图，，点C是射线上一点． （1）尺规作图：以为对角线构造菱形，且点B在射线上（不写作法，保留作图痕迹）； （2）若，求菱形的面积． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）作的垂直平分线，交于点B，交于点O，在垂直平分线上取点D，使得，连接，，，则四边形是菱形； （2）根据菱形的性质得到，，，由得到，根据勾股定理有，因此，求得，从而，根据菱形的面积公式即可求解． 【小问1详解】 解：如图，菱形为所求． ∵是的垂直平分线， ∴，， ∵， ∴四边形是菱形． 【小问2详解】 解∶∵四边形是菱形， ∴，，， ∵， ∴， ∵在中，， 即， ∴， ∴， ∴． 24. 综合实践 【问题背景】 勾股定理作为数学历史长河中古老的定理之一，被称为人类数学文明中的一枚璀璨瑰宝．其内容为：如果直角三角形的两条直角边长分别为，斜边长为，那么．据说其证明方法有400余种．现有三种可用来证明勾股定理的图形： 图①，图②都是由4个全等的直角三角形和1个小正方形拼成大正方形； 图③是由2个全等的直角三角形及1个等腰直角三角形拼成梯形； 这三个图形中全等的直角三角形的两条直角边长均为，斜边长为． （1）【探索求证】 请从图1，图2，图3任选一个图形证明勾股定理． （2）【深入实践】 同学们在研究勾股定理的证明时发现直角三角形的三边之间除了满足，还有其他的关系，如：若，则，请证明这个结论． （3）【拓展迁移】 如图4，分别是以的三边为一边的等边三角形．若的面积为的面积为，四边形的面积为，的面积为，试判断之间的数量关系，并说明理由．___________． 【答案】（1）见详解 （2）见详解 （3），理由见详解 【解析】 【分析】（1）从图1，图2，图3任选一个图形，根据整体的面积等于每部分面积和即可证明； （2）根据都是正数，要证，两边平方等价于证明，结合勾股定理，得，结合，得出该式恒成立，即可证明； （3）设中，，分别求出，由勾股定理得，即可得出，结合​，，．证出． 【小问1详解】 解：选图1： 大正方形边长为，因此大正方形面积， 大正方形由4个全等直角三角形和1个边长为的小正方形组成，因此总面积也可表示为：， 因此，勾股定理得证． 选图2：大正方形边长，面积， 整理得，勾股定理得证． 选图3：梯形面积， 整理得，勾股定理得证． 【小问2详解】 证明：∵都是正数， 要证，两边平方等价于证明，整理得， 结合勾股定理，代入得：， 整理得， ∵， ∴该式恒成立， 因此原不等式​得证． 【小问3详解】 解：． 理由：设中，， 过点分别作， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 由勾股定理得， ∴， ∵​，，． 将前两式相加，代入，消去相同项后整理得：． 25. 如图，在菱形中，点M在对角线上，过M作于点E，连接并延长交于点F． （1）如图1，当时． ①求证：； ②若点F恰为边的中点，求证：． （2）如图2，若，．求证：． 【答案】（1）①证明见详解，②证明见详解 （2）证明见详解 【解析】 【分析】（1）①利用菱形的性质得到，再结合已知条件得到，从而推出，利用等腰三角形三线合一的性质即可证得结论； ②分别延长、交于点G，证明，，利用全等三角形的性质结合线段的和差关系即可证得结论； （2）过点C作交延长线于点N，利用菱形的性质得出，，，证明是等腰三角形，结合已知条件证得是等腰三角形，再证得和是等腰直角三角形，从而得出相关线段的等量关系，然后证明，利用线段和差关系即可证得结论． 【小问1详解】 ①证明：∵四边形是菱形， ∴，且， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； ②证明：如图，分别延长、交于点G， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，点F，E分别是，的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，，，， ∴． 【小问2详解】 证明：如图，过点C作交延长线于点N， ∵四边形是菱形，， ∴，，， ∴是等腰三角形，， ∵， ∴是等腰三角形， ∴， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴，，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，即, ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $