7.4.1二项分布7题型分类(讲+练）-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第三册

2025-2026学年高二数学同步知识·题型解题秘籍精讲精练讲义（人教A版2019选择性必修第三册） 7.4.1二项分布7题型分类 一、相互独立事件 1．事件A（或B）是否发生对事件B（A）发生的概率没有影响，这样的两个事件叫做相互独立事件． 2．设A,B是两事件,如果满足等式P(A∩B)=P(AB)=P(A)P(B),则称事件A,B相互独立,简称A,B独立． 二、n重伯努利试验的概念 只包含两个可能结果的试验叫做伯努利试验，将一个伯努利试验独立地重复进行n次所组成的随机试验称为n重伯努利试验． 三、n重伯努利试验的特征 1．同一个伯努利试验重复做n次． 2．各次试验的结果相互独立． 四、二项分布 一般地，在n重伯努利试验中，设每次试验中事件A发生的概率为p(0<p<1)，用X表示事件A发生的次数，则X的分布列为：，如果随机变量X的分布列具有上式的形式，则称随机变量X服从二项分布，记作X～B(n，p)． 五、二项分布的期望与方差 如果X～B(n，p)，那么E(X)＝np，D(X)＝np(1－p)． （一） n重伯努利试验的概率 1．n重伯努利试验的概念 只包含两个可能结果的试验叫做伯努利试验，将一个伯努利试验独立地重复进行n次所组成的随机试验称为n重伯努利试验． 2．n重伯努利试验具有如下共同特征 (1)同一个伯努利试验重复做n次； (2)各次试验的结果相互独立． 3.n重伯努利试验概率求解的关注点 (1)解此类题常用到互斥事件概率加法公式，相互独立事件概率乘法公式及对立事件的概率公式． (2)运用n重伯努利试验的概率公式求概率时，首先判断问题中涉及的试验是否为n重伯努利试验，判断时注意各次试验之间是相互独立的，并且每次试验的结果只有两种(即要么发生，要么不发生)，在任何一次试验中某一事件发生的概率都相等，然后用相关公式求概率． 题型1：n重伯努利试验的判断 1．（2026高二·全国·专题练习）小明同小华一起玩掷骰子游戏，比赛谁能掷出奇数点.游戏规则如下：小明先掷，小华后掷，如此间隔投掷.问： (1)小明共投掷n次，是否可看作n重伯努利试验？小华共投掷m次，是否可看作m重伯努利试验？ (2)在游戏的全过程中共投掷了次，则这次是否可看作重伯努利试验？ 【答案】(1)小明投掷的n次可看作n重伯努利试验，小华投掷的m次可看作m重伯努利试验 (2)不可看作重伯努利试验 【分析】根据伯努利试验的判断条件，看试验的条件是否相同，且结果是否相互影响，即可判断出结论. 【详解】（1）由伯努利试验的判断条件，小明、小华各自投掷骰子时可看作在相同条件下，且每次投掷互不影响， 故小明投掷的n次可看作n重伯努利试验，小华投掷的m次可看作m重伯努利试验. （2）在游戏的全过程中投掷次，不是在相同条件下（两人间隔投掷）进行的， 故不可看作重伯努利试验. 2．（2026高二·全国·课后作业）判断下列试验是不是n重伯努利试验： (1)依次投掷四枚质地不同的硬币，3次正面向上； (2)某人射击，击中目标的概率是稳定的，他连续射击了10次，其中6次击中； (3)口袋中装有5个白球，3个红球，2个黑球，依次从中抽取5个球，恰好抽出4个白球． 【答案】(1)不是n重伯努利试验 (2)是n重伯努利试验 (3)不是n重伯努利试验 【分析】通过分析不同的试验的条件即可得出结论. 【详解】（1）由题意， ∵试验的条件不同(质地不同)， ∴不是n重伯努利试验 （2）由题意， ∵某人射击且击中的概率是稳定的， ∴是n重伯努利试验． （3）由题意， ∵每次抽取，试验的结果有三种不同的颜色，且每种颜色出现的可能性不相等， ∴不是n重伯努利试验． 3．（2026高二·全国·课后作业）以下真命题共有______个． ①在n重伯努利试验中，各次试验的结果相互没有影响； ②在n重伯努利试验中，各次试验中某事件发生的概率可以不同； ③如果在1次试验中某事件发生的概率是p，那么在n次独立重复试验中这个事件恰好发生k次的概率． 【答案】2 【分析】根据n重伯努利试验的知识对个命题进行分析，从而确定正确答案. 【详解】①，n重伯努利试验是相互独立试验，各次试验的结果相互没有影响，①是真命题. ②，n重伯努利试验是独立重复试验，各次试验中某事件发生的概率相同，②是假命题. ③，结合二项分布的知识可知，在n次独立重复试验中事件恰好发生k次的概率为， 所以③是真命题. 综上所述，真命题共有个. 故答案为： 4．（2026高二·全国·课后作业）重伯努利试验应满足的条件： ①各次试验之间是相互独立的；②每次试验只有两种结果； ③各次试验成功的概率是相同的；④每次试验发生的事件是互斥的． 其中正确的是（    ） A．①② B．②③ C．①②③ D．①②④ 【答案】C 【分析】由重伯努利试验试验的定义判断即可． 【详解】解：只包含两个可能结果的试验叫做伯努利试验，将一个伯努利试验独立地重复进行次所组成的随机试验称为重伯努利试验， 故重伯努利试验应满足的条件： ①各次试验之间是相互独立的； ②每次试验只有两种结果； ③各次试验成功的概率是相同的； 故选：C 5．【多选】（2026高二·全国·课后作业）下列试验不是重伯努利试验的是（    ）． A．依次投掷四枚质地不同的硬币 B．某人射击，击中目标的概率是稳定的，他连续射击了次 C．口袋中装有个白球，个红球，个黑球，依次从中抽取个球 D．小明做道难度不同的数学单选题 【答案】ACD 【分析】根据重伯努利试验的概念及性质直接判断即可. 【详解】A．由于试验的条件不同（硬币质地不同），因此不是重伯努利试验． B．某人射击，击中目标的概率是稳定的，因此是重伯努利试验． C．每次抽取，每种颜色出现的可能性不相等，因此不是重伯努利试验． D．道题难度不同，每道题做对的概率也不同，因此不是重伯努利试验． 故选：ACD． 题型2：n重伯努利试验的概率 6．（2026·广东清远·模拟预测）甲､乙两人进行象棋比赛，每局胜者得1分，负者得0分．设每局甲胜的概率为，乙胜的概率为，且各局胜负相互独立，五局比赛结束后甲比乙至少多得2分的概率为__________．（结果用数字作答） 【答案】 【分析】利用二项分布概率公式来分两类计算即可. 【详解】事件：甲胜5局，得5分，乙得0分，则， 事件：甲胜4局，负1局，得4分，乙得1分，则， 所以五局比赛结束后甲比乙至少多得2分的概率为 故答案为： 7．（2026高一·全国·专题练习）连掷一枚硬币5次，则至少出现一次正面向上的概率为______． 【答案】/0.96875 【分析】由古典概型概率计算公式、对立事件概率计算公式即可求解. 【详解】由题意得所求概率为． 故答案为：. 8．（2026高二·山东临沂·期中）某试验成功概率为，独立重复做6次，则成功次数不超过2次的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】记表示试验成功的次数，试验成功概率为，独立重复做6次，则成功次数不超过2次的概率. 9．（2026·云南昆明·模拟预测）甲、乙两名五子棋爱好者进行一场比赛，采用7局4胜制（先胜4局者获胜，比赛结束），已知每局比赛甲获胜的概率为，则甲第一局获胜并最终以获胜的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用独立重复事件分析求解即可. 【详解】甲第一局获胜并最终以获胜，说明甲、乙两人在5局比赛中，甲胜了4局，输了1局，并且输掉的这局为第二局或第三局或第四局， 故概率为：. 10．（2026高二·黑龙江·期中）在某次国际围棋比赛中，甲、乙两人进入最后比赛．比赛采取五局三胜制，即先胜三局的一方获得比赛冠军，比赛结束．假设每局比赛甲胜乙的概率都为，没有和局，且各局比赛的胜负互不影响，则甲在比赛中以3:1获得冠军的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】若甲要以结束比赛，则第四局必胜，前三局赢两局即可. 【详解】由题可知，若甲要以结束比赛，则甲在前三局中有2局赢，1局输，在第四局必须赢. 而甲在前三局有三种情况：1.赢赢输；2.赢输赢；3.输赢赢. 因此. 故选：B． 11．（2026高二·辽宁朝阳·期末）如图是一块高尔顿板示意图：在一块木板上钉着若干排互相平行但相互错开的圆柱形小木块，小木块之间留有适当的空隙作为通道，小球从上方的通道口落下后，将与层层小木块碰撞，最后掉入下方的某一个球槽内．若小球下落过程中每次与小木块碰撞后，向左、向右落下的机会均等，则小球最终落入③号球槽和⑥号球槽的概率之和为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分析下落过程碰撞的次数和向左向右落下的概率，分别分析落入③号球槽和⑥号球槽的情况，分析求解，即可得答案. 【详解】下落过程中，需要经过6次碰撞，每次向左、向右落下的概率均为， 落入③号球槽需向左4次，向右2次，则, 落入⑥号球槽需向左1次，向右5次，则， 则小球最终落入③号球槽和⑥号球槽的概率之和为. 故选：B （二） 二项分布的均值与方差 二项分布的均值与方差的求解方法： 第一步是判断随机变量X服从什么分布，第二步代入相应的公式求解． 若X服从两点分布，则E(X)＝p，D(X)＝p(1－p)； 若X服从二项分布，即X～B(n，p)，则E(X)＝np，D(X)＝np(1－p)． 题型3：二项分布概率计算 12．（2026高二·江苏苏州·期中）设随机变量服从二项分布，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，利用独立重复试验的概率计算公式，即可求解. 【详解】因为随机变量服从二项分布， 则 ． 故选：C． 13．（2026高二·全国·课堂例题）已知随机变量，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由二项分布的概率公式运算即可得解. 【详解】因为因为随机变量服从二项分布， ． 故选：D 14．（2026高二·安徽·月考）设，且，那么（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由二项分布的概率公式代入计算，即可得到结果. 【详解】由二项分布的概率公式可得，所以， 则. 故选：C 题型4：二项分布及其应用 15．（2026·山西吕梁·模拟预测）如图所示，已知一质点在外力的作用下，从原点出发，每次向左移动的概率为，向右移动的概率为.若该质点每次移动一个单位长度，设经过5次移动后，该质点位于的位置，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，由条件可得的可能取值为，且，结合二项分布的概率计算公式代入计算，即可求解. 【详解】由题意可知，当时，的可能取值为，且， 所以 . 故选：C 16．（2026高二·四川绵阳·期末）某市政道路两旁需要进行绿化，计划从甲，乙，丙三种树木中选择一种进行栽种，通过民意调查显示，赞成栽种乙树木的概率为，若从该地市民中随机选取4人进行访谈，则至少有3人建议栽种乙树木的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】运用二项分布知识求解即可 【详解】赞成栽种乙树木的人数设为X，则. 根据二项分布概率公式知道至少有3人建议栽种乙树木的概率为. 故选：D. 17．（2026高三·全国·专题练习）某农科院专家对新品种蔬菜种子进行发芽率试验，每个试验组5个坑，每个坑种1粒种子．经过大量试验，每个试验组没有发芽的坑数的平均数为，则每粒种子发芽的概率______． 【答案】 【分析】先得出不发芽的坑数服从二项分布，利用二项分布的期望公式可求答案. 【详解】由题意得，每组中各个坑是否发芽相互独立，每个坑不发芽的概率为， 设每组不发芽的坑数为X，则，所以每组没有发芽的坑数的平均数为，解得，所以每个种子的发芽率为． 故答案为： 18．【多选】（2026高二·重庆·期中）某市四所高中的足球队（分别记为“甲队”、“乙队”、“丙队”、“丁队”）进行单循环比赛（即每支球队都要跟其他各支球队进行一场比赛），最后按各队的积分排列名次，积分规则为每队胜一场得分，平一场得分，负一场得分.若每场比赛中两队胜、平、负的概率都为，则在比赛结束时，下列说法正确的是（   ） A．甲队的积分可能为分 B．甲队积分为分的概率为 C．四支球队的积分总和可能为分 D．甲队胜场且乙队负场的概率为 【答案】BCD 【分析】利用题目分析可判断A；分析可知若甲队积分为分，则甲队赢场负场，或甲队平场，利用独立事件和互斥事件的概率公式可判断B；分析可知每场比赛两队的积分之和为分或分，结合可判断C；对甲乙对战的情况进行分类讨论，结合独立事件和互斥事件的概率公式可判断D. 【详解】对于A选项，由题意可知，甲队需要比赛场，若甲队的积分为分，则甲队至少要赢场， 若甲队赢场，则甲队的积分为分；若甲队赢场平场，则甲队的积分为分； 若甲队赢场负场，则甲队的积分为分.综上所述，甲队的积分不可能为分，A错； 对于B选项，若甲队积分为分，则甲队赢场负场，或甲队平场， 所以，甲队积分为分的概率为，B对； 对于C选项，对于每一场，若一场比赛能决胜负，则两队的积分之和为分， 若一场比赛为平局，则两队的积分之和为分，所以每场比赛两队的积分之和为分或分， 由题意可知，四支队伍比赛的总场数为，由于， 故若场比赛只有场是平局，有场能决胜负，此时四支球队的积分总和为分，C对； 对于D选项，甲队胜场且乙队负场包含以下几种情况： ①甲乙对战时是平局，则甲胜丙、甲胜丁、乙负丙、乙负丁，此时概率为， ②若甲胜乙，则甲与丙、丁的对战中，恰有一场甲胜，乙与丙、丁的对战中，恰有一场乙负， 此时的概率为； ③若乙胜甲，则甲胜丙，甲胜丁且乙负丙，乙负丁， 此时的概率为. 综上所述，甲队胜场且乙队负场的概率为，D对. 19．【多选】（2026高二·全国·课后作业）甲、乙两人投篮，每人只能在下列两种方式中选一种.方式1：投篮3次，每次投中得1分，未投中不得分，累计计分；方式2：选手最多投3次，如果第一次投中可进行第二次投篮，如果第二次投中可进行第三次投篮，如果某次未投中，则投篮终止，且每投中一次得2分，未投中不得分，累计计分，已知甲、乙两人每次投中的概率均为，且各次投篮相互独立.甲选择方式1投篮，乙选择方式2投篮，则下列说法正确的是（    ） A．当时，甲得1分的概率为 B．当时，甲至少得1分的概率为 C．当时，乙最多得2分的概率为 D．当时，乙得6分的概率大于乙得2分的概率 【答案】BCD 【分析】对于选项A和B，由二项分布的概率公式、对立事件的概率公式验算，可判定A错误，B正确；对于C，由互斥加法、独立乘法公式即可求解；对于D，分别求得，结合列不等式，可判定D正确. 【详解】对于A，当时，设甲得分为随机变量，则， 所以，所以A错误； 对于B，由选项A，可得，所以B正确； 对于C，设乙的得分为随机变量，则可取， 当时，可得，，，所以C正确； 对于D，由，， ，. 变量的分布列为 Y 0 2 4 6 P 则， 即，解得或， 因为，所以 即当时，，所以D正确. 题型5：二项分布的均值与方差 20．（2026高二·北京·期中）已知随机变量，若，，则______． 【答案】 【分析】根据二项分布的期望和方差公式计算可得. 【详解】因为，所以，， 即，所以. 故答案为： 21．（2026高二·新疆·期中）若随机变量满足，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为随机变量满足，且， 所以，整理得到，所以， 即，解得，则，所以. 22．（2026·重庆渝中·模拟预测）小明高考结束后出去游玩，帽子和墨镜每天至少戴一件，他每天戴帽子的概率为，戴墨镜的概率为，各天穿戴的情况独立，表示他在20天的游玩时间中只戴帽子的天数，则其期望（   ） A．4天 B．8天 C．10天 D．16天 【答案】A 【详解】记为事件“小明戴帽子”，记为事件“小明戴墨镜”， ，， ， 所以，，（天）. 23．（2026高二·河南驻马店·月考）已知集合含有个元素，其中，先后两次随机､独立地选取集合的两个子集，记为与.设为集合中元素的个数，则为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据随机变量服从二项分布，利用期望公式求解即可. 【详解】根据集合的子集个数，可知集合的可能情况有种； 同理，集合B也可能有种， 因此，两集合的所有可能情况数为， 随机变量的所有取值为， 当时，先从个元素中选出个元素，记为，有种可能情况， 对于这个元素中的每个元素，满足时， 只可能满足这三种情况之一，有种可能情况， 因此，事件“”的所有可能情况数为，则， 由， 可知， 则. 24．（2026高二·安徽·期中）射击中每次击中目标得2分，未击中目标得0分，已知某运动员每次射击击中目标的概率是0.7，假设每次射击击中目标与否互不影响，则他射击3次的得分的数学期望是（    ）. A．0.63 B．1.4 C．2.1 D．4.2 【答案】D 【分析】确定射击3次击中目标的次数服从二项分布，再根据期望的性质计算得分的数学期望. 【详解】由题意可知，射击3次击中次数X的可能取值为0，1，2，3，每次射击击中目标的概率是0.7，且每次射击击中目标与否互不影响， 所以，射击3次击中目标的次数为，， 设得分为，则，所以. 25．（2026高二·河北衡水·期中）某人工智能模型进行指令识别训练，每次识别成功的概率为，失败的概率为，各次识别相互独立.现对该模型进行5次独立测试，设识别成功的次数为随机变量. (1)求在第二次识别成功的条件下，5次中恰有3次识别成功的概率； (2)求的分布列与数学期望. 【答案】(1) (2) 0 1 2 3 4 5 . 【分析】（1）先定义对应随机事件，分析交事件含义为第二次固定识别成功，剩余四次恰好两次成功，据此用独立概率和组合公式算出联合概率，再结合第二次识别成功的基础概率，套用条件概率公式求出结果. （2）先判断随机变量服从二项分布，确定取值范围，利用二项分布概率公式依次算出每个取值对应的概率，列出分布列，再直接用二项分布期望公式计算数学期望. 【详解】（1）设事件：第二次识别成功；事件：次中恰有3次识别成功. 则事件：第二次识别成功，且5次中恰有3次识别成功，即除第二次外，剩余4次中恰有2次识别成功. 所以. 因为，所以. （2）由题意，得，且的所有可能取值为， 则， ， ， ， ， . 所以的分布列为 0 1 2 3 4 5 . 26．（2026高二·河北承德·月考）某高中为提升学生的数学建模素养，举办了数学建模比赛，现从参赛学生中随机抽取20名，其成绩（满分10分）如下： 8.1，8.4，7.9，8.6，9.1，7.8，8.8，8.4，7.7，8.6 9.0，9.2，8.1，7.8，8.9，8.2，9.1，8.6，7.9，8.0 规定：成绩不低于8.0分的学生，称为“数学建模优秀生”． (1)从这20名学生中随机选3人，求这3人中至少有1人是“数学建模优秀生”的概率； (2)以这20名学生的样本数据来估计该校全体参加数学建模比赛学生的总体数据，若从该校参赛学生中任选4人，记为抽到的“数学建模优秀生”的人数，求的分布列、数学期望及方差． 【答案】(1) (2)的分布列为 0 1 2 3 4 ， 【分析】（1）先计算没有“数学建模优秀生”的概率为，再结合对立事件概率求解即可； （2）结合题意得，再结合二项分布的概率公式求解即可, 【详解】（1）由题意知，20名学生中，成绩不低于8.0分的学生有15名， 所以，20名学生中“数学建模优秀生”有15人， 从这20名学生中随机选3人，不是“数学建模优秀生”的概率为， 所以，这3人中至少有1人是“数学建模优秀生”的概率为． （2）因为样本数据中，“数学建模优秀生”占比例为， 所以，该校学生中，“数学建模优秀生”的概率为， 所以，从该校参赛学生中任选4人，抽到的“数学建模优秀生”的人数， 所以，的可能取值为0，1，2，3，4， ，， ，， ， 故的分布列为 0 1 2 3 4 所以数学期望，方差 27．（2026·上海黄浦·模拟预测）小明每天上学出发时会选择是否骑共享单车．根据平台统计和他的使用习惯：若出发时不下雨，他选择骑共享单车的概率为0.8；若出发时下雨，他选择骑共享单车的概率为0.4．假设本周小明每天上学出发时下雨的概率均为0.25，且出发地共享单车供应充足． (1)求本周某天小明上学出发时选择骑共享单车去学校的概率； (2)已知本周某天小明选择了骑共享单车去学校，求该天小明出发时不下雨的概率； (3)设小明在本周的前三天中选择骑共享单车去学校的天数为X，且这三天中每天的骑行选择相互独立，求随机变量X的分布，并计算其数学期望和方差． 【答案】(1)0.7 (2) (3)；； 【分析】（1）设相应事件，根据题意结合全概率公式运算求解； （2）根据题意结合贝叶斯公式运算求解； （3）分析可知，结合二项分布求分布列、期望和方差. 【详解】（1）设“小明上学出发时下雨”为事件A，“小明选择骑共享单车去学校”为事件B． 由题意可知：，，，， 由全概率公式可得， 所以小明在本周某天选择骑共享单车去学校的概率为0.7． （2）由题意可知：， 所以小明出发时不下雨的概率为． （3）由题意可知：， 则，； ；； 可知X的分布列为， 所以X的数学期望，方差． 28．（2026高二·贵州遵义·月考）某校在一次数学活动期间为提升学生们的数学素养，举办了一场“数学文化素养知识大赛”，已知共有1000名学生参加了比赛，现从参加比赛的全体学生中随机抽取100人的成绩作为样本，得到如下频率分布直方图： (1)若规定成绩较高的前的学生获奖，请求出a的值并估计获奖学生的最低分数线； (2)活动期间学校开放号门、号门和号门供学生出入，学生从号门、号门和号门进入学校的概率分别为，，，若学生从某个门进入学校，则其从该门出学校的概率为，从其他两个门出学校的概率各为．假设学生从号门、号门、号门出入学校互不影响，现有甲乙丙丁名学生参加活动，设X为人中从号门出学校的人数，求X的期望及方差． 【答案】(1)； (2)； 【分析】（1）利用所有矩形面积和为列出方程，求出参数；从高分段累计频率，定位分数线所在区间，列方程求解前30%对应的最低分； （2）利用全概率公式，分从号门、号门和号门进入学校三种情况，计算出从号门出校门的总概率；判定服从二项分布，直接用公式计算期望和方差求解. 【详解】（1）由频率分布直方图可知，解得. 成绩在的频率为； 成绩在的频率为， 成绩在的频率为， 规定成绩较高的前的学生获奖,因为，， 所以分数线在内. 设最低分数线为，则，解得， 因此获奖学生的最低分数线为. （2）设事件表示从号门进入学校（），事件表示从号门出学校， 由全概率公式可得， 又已知，，，，，， 所以. 因为为名学生中从号门出学校的人数，每名学生相互独立， 所以服从二项分布，即， 由二项分布的期望和方差可得，，因此X的期望为，方差为. 29．（2026高三·上海·月考）从某校学生中随机抽出100名学生参加搏击操比赛，根据比赛成绩得到如图所示的频率分布直方图，数据的分组依次为[40,50)、[50,60)、[60,70)、[70,80)、[80,90)、[90,100]．若成绩在前的学生可获得“优秀拳击手”称号． (1)成绩至少要达到多少分才可以被评为“优秀拳击手”？ (2)从该校学生中随机抽取5人，设其中“优秀拳击手”的人数为，用频率估计概率，求的期望和方差； (3)经过调查发现，该校高三学生中“优秀拳击手”的比例达到了，已知三个年级人数相同，现从该校的“优秀拳击手”中随机选一名学生，求这名学生来自高三的概率． 【答案】(1)84.17 (2) (3) 【详解】（1）由频率分布直方图的性质，所有组的频率之和为，组距为10，因此： ， 即，解得. 从高分段向低分段累积频率： 组的频率为， 要达到前的频率，还需， 这部分来自组，对应分数为：. 因此成绩至少要达到分（约84.17分）才可被评为“优秀拳击手”. （2）由直方图计算得优秀率. 由题意知，期望. 方差. （3）设三个年级人数均为，则全校优秀人数为，高三优秀人数为，故所求概率. 题型6：服从二项分布的概率最值问题 30．（2026高二·湖北·阶段检测）某人在19次射击中击中目标的次数为X，若，若最大，则（    ） A．14或15 B．15 C．15或16 D．16 【答案】C 【分析】由二项分布的概率计算公式及计算即可. 【详解】因为在19次射击中击中目标的次数为X，， 所以，且. 若最大，则. ，即 解得：， 因为且，所以当或时，最大. 故选：C. 31．（2026高二·四川广元·期末）若随机变量X服从二项分布，则取得最大值时，（   ） A．2或3 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】利用计算即可. 【详解】由题可知：， 所以化简得到，又，所以2或3. 故选：A 32．（2026高二·山东烟台·阶段检测）某同学共投篮12次，每次投篮命中的概率为，假设每次投篮相互独立，记他投篮命中的次数为随机变量，则_______，该同学投篮最有可能命中_______次． 【答案】 7.68 10 【分析】由二项分布求方差公式得到方差，设该同学投篮最有可能命中次，从而得到不等式组，求出，得到答案. 【详解】由二项分布的定义可知，， 故， 设该同学投篮最有可能命中次， 则，即， 解得，因为为正整数，所以 故答案为：7.68，10 33．（2026高二·湖北武汉·阶段检测）某人射击一发子弹，命中目标的概率为，现在他射击发子弹，则击中目标的子弹数最可能是（    ） A．14 B．15 C．16 D．15或16 【答案】D 【分析】设命中目标的子弹数为X，则，利用二项分布的概率公式，求出概率最大的子弹数作答. 【详解】设命中目标的子弹数为X，则，有， 依题意，设最大，显然，都不是最大的，即有， 于是，即， ，整理得，解得， 所以击中目标的子弹数最可能是15或16． 故选：D 34．（2026·湖南邵阳·模拟预测）若随机变量，则当取得最大值时，正整数的值是________． 【答案】5 【分析】根据二项分布，计算，再根据二项式系数的最大值，即可求解. 【详解】由题可知，所以取得最大值，即最大，此时. 故答案为：5 35．（2026高三·全国·专题练习）甲、乙两人进行象棋比赛（没有平局），采用“五局三胜”制．已知在每局比赛中，甲获胜的概率为，．设甲以获胜的概率为，则的最大值为______． 【答案】 【分析】甲以获胜，则前三局中甲要胜两局败一局，第四局甲再获胜，所以，再利用导数求解最大值． 【详解】甲以获胜，则前三局中甲要胜两局败一局，第四局甲再获胜， 所以， 则． 令，得； 令，得． 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以当时，取得最大值，为． 故答案为： 36．（2026高二·江苏南京·期中）抛掷一枚质地均匀的骰子，观察骰子朝上面的点数，并制定如下规则：当点数为2，3，4，5时得1分，当点数为1，6时得3分.多次抛掷这枚骰子，将每次得分相加的结果作为最终得分.若抛掷2次骰子，最终得分为，则随机变量X的期望是__________；若抛掷2024次骰子，记得分恰为分的概率为，则当取最大值时的值为__________. 【答案】 或 【分析】（1）先计算得分和得分的概率，再利用独立事件的概率公式列出分布列； （2）记得1分的次数为，则，利用求二项分布的概率最值解出，再根据得出或，则可求的值. 【详解】（1）由题意可得，得1分的概率为，得3分的概率为， 因的可能取值为2，4，6， 则，，， 则随机变量的期望值． （2）记得1分的次数为，则得3分的次数为， 所得总分为， 拋掷2024次骰子，记得分恰为分的概率为，则， 若取最大值，则，， 则，解得， 又，，则或， 当时，； 当时，． 故答案为：；或 （三） 二项分布的实际应用 一般地，在n重伯努利试验中，设每次试验中事件A发生的概率为p(0<p<1)，用X表示事件A发生的次数，则X的分布列为：，如果随机变量X的分布列具有上式的形式，则称随机变量X服从二项分布，记作X～B(n，p)． 题型7：二项分布的实际应用 37．（2026高二·湖南常德·阶段检测）福州纸伞是历史悠久的中国传统手工艺品，属于福州三宝之一，纸伞的制作工序大致分为三步：第一步削伞架，第二步裱伞面；第三步绘花刷油.一个优秀的作品除了需要有很好的素材外，更要有制作上的技术要求，已知某工艺师在每个环节制作合格的概率分别为，，，只有当每个环节制作都合格才认为一次成功制作. (1)求该工艺师进行3次制作，恰有一件优秀作品的概率； (2)若该工艺师制作4次，其中优秀作品数为，求概率分布列及期望； 【答案】(1) (2)分布列见解析， 【分析】（1）先求出制作一件优秀作品的概率，再结合二项分布概率公式，即可求解； （2）若该工艺师制作4次，其中优秀作品数为，的可能取值为0，1，2，3，4，求出对应的概率，即可得的分布列，代入期望公式求解期望即可. 【详解】（1）由题意可知，制作一件优秀作品的概率为， 所以该工艺师进行3次制作，恰有一件优秀作品的概率. （2）该工艺师制作4次，其中优秀作品数为，的所有可能取值为0，1，2，3，4， 由题意知， 则，， ，，， 故的分布列为： 0 1 2 3 4 所以数学期望为. 38．（2026·江苏·模拟预测）某学校有甲，乙两个餐厅，经统计发现，前一天选择餐厅甲就餐第二天仍选择餐厅甲就餐的概率为，第二天选择餐厅乙就餐的概率为；前一天选择餐厅乙就餐第二天仍选择餐厅乙就餐的概率为，第二天选择餐厅甲就餐的概率为．若学生第一天选择餐厅甲就餐的概率是，选择餐厅乙就餐的概率是，记某同学第天选择餐厅甲就餐的概率为． (1)记某班3位同学第二天选择餐厅甲的人数为，求随机变量的分布列及期望； (2)学校为缓解就餐压力，决定每天从各年级抽调21人到甲乙两个餐厅参加志愿服务，请求出的通项公式，根据以上数据合理分配甲，乙两个餐厅志愿者人数，并说明理由． 【答案】(1)分布列见解析，； (2)，分配到甲，乙两个餐厅志愿者人数分别为和. 【分析】（1）先求某同学第二天选择餐厅甲就餐的概率，然后根据二项分布的概率公式求出概率，可得分布列，利用二项分布期望公式可得期望； （2）根据题意先求与的关系，然后利用构适法可得通项，由确定两餐厅志愿者人数分配. 【详解】（1）某同学第二天选择餐厅甲就餐的概率 某同学第二天选择餐厅乙就餐的概率 所以3位同学第二天选择餐厅甲就餐的人数为 记某班3位同学第二天选择餐厅甲的人数为，所有可能的取值为， 则 的分布列为： X 0 1 2 3 P . （2）依题意，，即， 则有，当时，可得， 数列是首项为公比为的等比数列，则， 时，， 所以，各年级抽调的21人中，分配到餐厅甲的志愿者人数为，分配到餐厅乙的志愿者人数为. 39．（2026高二·全国·期末）在某诗词大会的“个人追逐赛”环节中，参赛选手应从8个不同的题目中随机抽取3个题目进行作答．已知这8个题目中，选手甲只能正确作答其中的6个，而选手乙正确作答每个题目的概率均为0.8，且甲、乙两位选手对每个题目作答都是相互独立的． (1)求选手甲恰好正确作答2个题目的概率； (2)记选手乙正确作答的题目个数为X，求X的分布列和数学期望； (3)如果在抽取的3个题目中答对2个题目就可以晋级，你认为甲、乙两位选手谁晋级的可能性更大？请说明理由． 【答案】(1) (2)分布列见解析， (3)选手乙，理由见解析 【分析】（1）由题意选手甲需要从能正确作答其中的6个的题目中正确作答2个题目，在剩余的2个不会的题目中答1个，再求解概率即可； （2）由题意得，，再根据二项分布的性质求解分布列与数学期望即可； （3）分别计算甲乙两人答对2或3个题目的数学概率进行判断即可. 【详解】（1）设事件A为“选手甲正确作答2个题目”，则． 故选手甲恰好正确作答2个题目的概率为． （2）由题意得，，X的所有可能取值为0，1，2，3， ∴，，，， ∴X的分布列为 X 0 1 2 3 P 0.008 0.096 0.384 0.512 ∴． （3）设选手甲正确作答的题目个数为Y，则Y的所有可能取值为0，1，2，3， ∴，， ∴． ∵， ∴， ∴可以认为选手乙晋级的可能性更大． 40．（2026高二·山东济宁·期中）某学校组织“校园文化”知识竞赛，竞赛分为初赛和复赛两个阶段，每位参加比赛的同学，初赛必须回答3个问题，每题答对得1分，答错得0分，且初赛总得分不低于2分方可晋级复赛；复赛分为3轮，每轮设置2个问题，每题答对得2分，答错得0分，晋级复赛的选手需完成全部复赛问题，复赛3轮得分累加为复赛总得分． 已知小张同学在初赛中每题答对的概率均为；复赛每轮中，第1题答对的概率为，第2题答对的概率为0.3，且所有问题之间的回答结果互不影响. (1)求小张同学成功晋级复赛的概率； (2)已知小张同学已晋级复赛. （i）若，求小张同学复赛总得分为10分的概率； （ii）设小张同学在复赛3轮中，恰有2轮每轮得分不低于2分的概率为，求的最大值. 【答案】(1) (2)（i）；（ii） 【分析】（1）设小张同学在初赛的得分为，则，结合二项分布运算求解即可； （2）设在复赛中每轮得分为，并求对应的概率.（i）分析可知2轮4分，1轮2分，进而求概率；（ii）可得，，利用导数求最值即可. 【详解】（1）设小张同学在初赛的得分为，则， 所以小张同学成功晋级复赛的概率. （2）设在复赛中每轮得分为，则有： ； ； ， （i）若，则，，， 因为小张同学复赛总得分为10分，则2轮4分，1轮2分， 所以小张同学复赛总得分为10分的概率； （ii）由题意可知：，， 则， 令，解得；令，解得； 则在内单调递增，在内单调递减， 所以取到最大值. 1．（2026·福建）某一批花生种子，如果每1粒发芽的概率为，那么播下3粒种子恰有2粒发芽的概率是 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意知，此实验为独立重复实验，且服从二项分布,再结合二项分布的概率的求法求解即可. 【详解】解：设表示发芽的粒数，由已知可得：此实验为独立重复实验，且服从二项分布, 则， 故选：C. 【点睛】本题考查了二项分布与次独立重复实验的关系，重点考查了运算能力，属基础题. 2．（2026高三·河南驻马店·期末）已知，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】利用二项分布的期望与方差公式代入运算. 【详解】因为服从二项分布，所以，得，故． 故选：D. 3．（2026高二·全国·课堂例题）已知，则______． 【答案】 【分析】根据二项分布的概率公式计算即可 【详解】因为随机变量服从二项分布， 所以． 故答案为：　 4．（2026高二·全国·课后作业）下列事件：①运动员甲射击一次，“射中9环”与“射中8环”；②甲､乙两名运动员各射击一次，“甲射中10环”与“乙射中9环”；③甲､乙两名运动员各射击一次，“甲､乙都射中目标”与“甲､乙都没射中目标”；④在相同的条件下，甲射击10次5次击中目标.其中是独立重复试验的是（    ） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】D 【分析】根据互斥事件、相互独立事件，以及独立重复试验的定义可以判断：①，甲射击一次，“射中9环”与“射中8环”是一个实验的两个结果，是互斥事件；②是相互独立事件；③是互斥事件；④是独立重复试验. 【详解】①和③符合互斥事件的概念，是互斥事件； ②是相互独立事件； ④是独立重复试验； 所以只有④符合题意， 故选：D. 5．（2026高二·江苏苏州·期中）将一个半径适当的小球放入如图所示的容器最上方的入口处，小球自由下落，在下落的过程中，小球将遇到黑色障碍物3次，最后落入A袋或B袋中，已知小球每次遇到障碍物时，向左、右两边下落的概率分别是，.设小球向左的次数为随机变量X. (1)求随机变量X的概率分布列； (2)分别求出小球落入A袋和B袋中的概率. 【答案】(1)分布列见解析 (2)小球落入A袋和B袋中的概率分别为和 【分析】（1）易得，根据二项分布可得出答案； （2）小球落入A袋则小球一直向左或一直向右，从而可求出小球落入A袋的概率，再利用对立事件的概率公式可求得小球落入B袋的概率. 【详解】（1）解：由题意可知，，其中将向左的概率看成成功概率， 则， 列表如下： 0 1 2 3 （2）解：小球落入A袋的概率， 小球落入B袋中的概率， 所以小球落入A袋和B袋中的概率分别为和. 6．（2026高二·全国·专题练习）某射手进行射击训练，假设每次射击击中目标的概率为，且每次射击的结果互不影响，已知射手射击了5次，求： (1)其中只在第一、三、五次击中目标的概率； (2)其中恰有3次击中目标的概率； (3)其中恰有3次连续击中目标，而其他两次没有击中目标的概率. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据独立事件的乘法公式可求出结果； （2）根据独立重复试验的概率公式可求出结果. （3）根据独立事件的乘法公式和互斥事件的加法公式可求出结果. 【详解】（1）该射手射击了5次，其中只在第一、三、五次击中目标，相当于射击了5次，在第一、三、五次击中目标， 在第二、四次没有击中目标，所以只有一种情况，又因为各次射击的结果互不影响， 故所求概率为. （2）因为各次射击的结果互不影响，所以符合次独立重复试验的概率模型. 该射手射击了5次，其中恰有3次击中目标的概率为. （3）该射手射击了5次，其中恰有3次连续击中目标，而其他两次没有目标， 把3次连续击中目标看成一个整体，可得共有种情况. 故所求概率为. 7．（7.4.1二项分布）为防止风沙危害，某地决定建设防护绿化带，种植杨树，沙柳等植物．某人一次种植了株沙柳，各株沙柳的成活与否是相互独立的，成活率为，设为成活沙柳的株数，均值为3，标准差为． (1)求和的值，并写出的分布列； (2)若有3株或3株以上的沙柳未成活，则需要补种，求需要补种沙柳的概率． 【答案】(1)，分布列见解析 (2) 【分析】（1）根据二项分布的知识列方程组，求得，并求得的分布列. （2）结合（1）的分布列求得正确答案. 【详解】（1）由题意知，． 由， 得，从而． 的分布列为 0 1 2 3 4 5 6 （2）记“需要补种沙柳”，则， 得，或， 所以需要补种沙柳的概率为． 8．（2026高二·全国·课堂例题）某厂一批产品的合格率是． (1)求从中抽取一件产品为正品的数量的方差； (2)若从中有放回地随机抽取件产品，计算抽出的件产品中正品数的方差及标准差． 【答案】(1) (2)方差，标准差为 【分析】（1）根据题意，利用两点分布即可直接求解方差； （2）利用二项分布的性质，即可直接求解方差和标准差. 【详解】（1）用表示抽得的正品数，则． 则服从两点分布，且， 所以． （2）用表示抽得的正品数，则， 所以， 标准差为． 9．（2026高二·全国·专题练习）一名学生每天骑自行车上学，从家到学校的途中有5个交通岗，假设他在各交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率都是. (1)求这名学生在途中遇到红灯的次数的分布列； (2)求这名学生在首次遇到红灯或到达目的地停车前经过的路口数的分布列； (3)这名学生在途中至少遇到一次红灯的概率． 【答案】(1)分布列见解析 (2)分布列见解析 (3) 【分析】（1）由条件可知，，根据二项分布的概率公式，求分布列； （2）依题意的可能取值为、、、、、，求出所对应的概率，即可求解分布列； （3）利用对立事件求概率. 【详解】（1）由，则，， 即，， ，， ，， 故的分布列为 0 1 2 3 4 5 （2）依题意的可能取值为、、、、、， 则，， ，， ， 故的分布列为 0 1 2 3 4 5 （3）所求概率为. 10．（2026·江苏）甲、乙两人各射击1 次击中目标的概率分别三分之二和四分之三，假设两人射击是否击中目标相互之间没有影响，每次射击是否击中目标相互之间也没有影响． （1）求甲射击4次，至少有1次未击中目标的概率． （2）求两人各射击4次，甲恰好击中目标2次且乙恰好击中目标3次的概率． （3）假设某人连续2次未击中目标，则停止射击，问：乙恰好射击5次后被终止射击的概率是多少？ 【答案】（1） （2） （3） 【分析】（1）根据对立事件的概率公式进行求解即可； （2）根据积事件的概率公式，结合次独立重复试验中某事件恰好发生次的概率公式进行求解即可； （3）乙恰好射击5次后被终止射击，说明最后两次没有射中，前二次至多有一次没有射中，然后根据独立试验同时发生的概率公式进行求解即可. 【详解】解：（1）记“甲连续射击4次，至少1次未击中目标”为事件， 由题意知，每人各次射击是否击中目标相互之间没有影响， 所以射击4次，相当于4次独立重复试验， 故， 即甲射击4次，至少1次未击中目标的概率为； （2）记“甲射击4次，恰好击中目标2次”为事件， 记“乙射击4次，恰好击中目标3次”为事件， 记“甲恰好击中目标2次且乙恰好击中目标3次”为事件，则 ； ； ． 又事件，相互独立， 故， 即两人各射击4次，甲恰好击中目标2次且乙恰好击中目标3次的概率为． （3）记“乙恰好射击5次后，被中止射击”为事件， “乙第次射击为击中”为事件，， 则且． ． 即乙恰好射击5次后，被中止射击的概率是． 【点睛】本题考查了独立试验同时发生概率公式的应用，考查了对立事件概率公式的应用，考查了次独立重复试验中某事件恰好发生次的概率公式的应用，考查了数学阅读能力和运算能力. 11．（2026高二·北京西城·期末）某批数量很大的产品的次品率为，从中任意取出件，则其中恰好含有件次品的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题可通过次独立重复试验中恰好发生次的概率的求法得出结果. 【详解】因为次品率为，从中任意取出件， 所以恰好含有件次品的概率为， 故选：C. 12．（2026·全国·模拟预测）现有3个小组，每组3人，每人投篮1次，投中的概率均为，若1个小组中至少有1人投中，则称该组为“成功组”，则这3个小组中恰有1个“成功组”的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用独立重复试验计算概率即可. 【详解】1个小组是“成功组”的概率为, 则这3个小组中恰有1个“成功组”的概率为. 故选：B． 13．（2026高二·全国·课堂例题）设如果，那么______，______． 【答案】 /3.2 /0.64 【分析】由二项分布方差以及期望的公式求解即可. 【详解】． 故答案为：； 14．（2026高二·江苏泰州·月考）某学校食堂每天都会提供A，B两种套餐供学生选择（学生只能选择其中的一种），经过统计分析发现:学生第一天选择A套餐的概率为，选择套餐的概率为.而前一天选择了套餐的学生第二天选择套餐的概率为，选择套餐的概率为;前一天选择套餐的学生第二天选择套餐的概率为，选择套餐的概率也是，如此往复.记同学甲第天选择套餐的概率为. (1)求同学甲第二天选择套餐的概率; (2)证明:数列为等比数列; (3)从该校所有学生中随机抽取100名学生统计第二天选择套餐的人数，用表示这100名学生中恰有名学生选择套餐的概率，求取最大值时对应的的值. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)37 【分析】（1）根据题意结合全概率公式运算求解； （2）根据题意结合全概率公式可得，结合等比数列的定义分析证明； （3）根据题意分析可得，结合二项分布的概率公式列式求解. 【详解】（1）设“第1天选择B套餐”，“第2天选择B套餐”， 则“第1天不选择B套餐”. 根据题意可知：. 由全概率公式可得. （2）设“第天选择B套餐”，则， 根据题意. 由全概率公式可得 ， 整理得，且， 所以是以为首项，为公比的等比数列. （3）第二天选择A类套餐的概率 由题意可得：学生第二天选择A类套餐的概率为，则不选择A类套餐的概率为， 所以，则， 当取最大值时，则， 即，即， 解得，且，所以. 15．（2026高三·全国·专题练习）为落实立德树人的根本任务，某校决定开展包括音乐课、舞蹈课、篮球课、围棋课等十余门兴趣课来丰富学生的校园生活．已知每门课每月上四节，第一个月每人任选一门进行学习，每上一节课可得1个绩点且表现优秀者额外得1个绩点，若本月获得不少于7个绩点，则此课程结业且下月选择其他的课程，否则继续上原来的课．若甲、乙两人在第一个月均选择了篮球课，且篮球课上甲每节课表现优秀的概率为，乙每节课表现优秀的概率为，每节课是否优秀互不影响，甲、乙两人之间也互不影响． (1)求甲同学在第一个月的绩点得分的分布列和数学期望； (2)求第一个月甲、乙两人均结业的概率； (3)为提升同学们的参与度，篮球课上老师策划了两个游戏项目，根据项目的难易度，选择项目的同学奖励1个徽章，选择项目的同学奖励2个徽章，假设每人只选择一个项目且选择项目的概率分别为，每个同学的选择相互独立．若某一时刻老师发放个徽章的概率为，且满足当时，，求及数列的最值． 【答案】(1)分布列见解析， (2) (3)答案见解析， 最大值为，最小值为． 【分析】（1）确定随机变量取值，由独立重复试验概率公式求得概率即可求解； （2）由独立重复试验概率公式求得相应概率，再由独立事件乘法公式求解即可； （3）由条件确定，构造等比数列，由累加法求得，进而可求解. 【详解】（1）设甲同学第一个月的绩点得分为， 则的可能取值为． ， ， ， ， ． 所以的分布列为 4 5 6 7 8 ， 即甲同学在第一个月绩点得分的数学期望为． （2）设乙同学第一个月的绩点得分为， 的可能取值为． ， ． 设甲同学第一个月可以结业为事件，乙同学第一个月可以结业为事件，则 ， ， 根据题意事件显然相互独立， 所以． （3）由题意，当，即发放1个徽章，只有一种情况，， 当，此时有两种情况： ①给两位同学分别发放1个徽章； ②给一位同学发放2个徽章，， 当时，， 则， 所以是首项为，公比为的等比数列． 故成立． 则有 ， 所以， 又， 所以． 当为偶数时，， 由于，易得随着的增大而减小， 所以当时取最大值，最大值为， 又当时，，此时无最小值； 当为奇数时，， 同理易得随着的增大而增大， 所以当时取最小值，最小值为， 又当时，，此时无最大值． 综上所述，数列的最大值为，最小值为． 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $2025-2026学年高二数学同步知识·题型解题秘籍精讲精练讲义（人教A版2019选择性必修第三册） 7.4.1二项分布7题型分类 一、相互独立事件 1．事件A（或B）是否发生对事件B（A）发生的概率没有影响，这样的两个事件叫做相互独立事件． 2．设A,B是两事件,如果满足等式P(A∩B)=P(AB)=P(A)P(B),则称事件A,B相互独立,简称A,B独立． 二、n重伯努利试验的概念 只包含两个可能结果的试验叫做伯努利试验，将一个伯努利试验独立地重复进行n次所组成的随机试验称为n重伯努利试验． 三、n重伯努利试验的特征 1．同一个伯努利试验重复做n次． 2．各次试验的结果相互独立． 四、二项分布 一般地，在n重伯努利试验中，设每次试验中事件A发生的概率为p(0<p<1)，用X表示事件A发生的次数，则X的分布列为：，如果随机变量X的分布列具有上式的形式，则称随机变量X服从二项分布，记作X～B(n，p)． 五、二项分布的期望与方差 如果X～B(n，p)，那么E(X)＝np，D(X)＝np(1－p)． （一） n重伯努利试验的概率 1．n重伯努利试验的概念 只包含两个可能结果的试验叫做伯努利试验，将一个伯努利试验独立地重复进行n次所组成的随机试验称为n重伯努利试验． 2．n重伯努利试验具有如下共同特征 (1)同一个伯努利试验重复做n次； (2)各次试验的结果相互独立． 3.n重伯努利试验概率求解的关注点 (1)解此类题常用到互斥事件概率加法公式，相互独立事件概率乘法公式及对立事件的概率公式． (2)运用n重伯努利试验的概率公式求概率时，首先判断问题中涉及的试验是否为n重伯努利试验，判断时注意各次试验之间是相互独立的，并且每次试验的结果只有两种(即要么发生，要么不发生)，在任何一次试验中某一事件发生的概率都相等，然后用相关公式求概率． 题型1：n重伯努利试验的判断 1．（2026高二·全国·专题练习）小明同小华一起玩掷骰子游戏，比赛谁能掷出奇数点.游戏规则如下：小明先掷，小华后掷，如此间隔投掷.问： (1)小明共投掷n次，是否可看作n重伯努利试验？小华共投掷m次，是否可看作m重伯努利试验？ (2)在游戏的全过程中共投掷了次，则这次是否可看作重伯努利试验？ 2．（2026高二·全国·课后作业）判断下列试验是不是n重伯努利试验： (1)依次投掷四枚质地不同的硬币，3次正面向上； (2)某人射击，击中目标的概率是稳定的，他连续射击了10次，其中6次击中； (3)口袋中装有5个白球，3个红球，2个黑球，依次从中抽取5个球，恰好抽出4个白球． 3．（2026高二·全国·课后作业）以下真命题共有______个． ①在n重伯努利试验中，各次试验的结果相互没有影响； ②在n重伯努利试验中，各次试验中某事件发生的概率可以不同； ③如果在1次试验中某事件发生的概率是p，那么在n次独立重复试验中这个事件恰好发生k次的概率． 4．（2026高二·全国·课后作业）重伯努利试验应满足的条件： ①各次试验之间是相互独立的；②每次试验只有两种结果； ③各次试验成功的概率是相同的；④每次试验发生的事件是互斥的． 其中正确的是（    ） A．①② B．②③ C．①②③ D．①②④ 5．【多选】（2026高二·全国·课后作业）下列试验不是重伯努利试验的是（    ）． A．依次投掷四枚质地不同的硬币 B．某人射击，击中目标的概率是稳定的，他连续射击了次 C．口袋中装有个白球，个红球，个黑球，依次从中抽取个球 D．小明做道难度不同的数学单选题 题型2：n重伯努利试验的概率 6．（2026·广东清远·模拟预测）甲､乙两人进行象棋比赛，每局胜者得1分，负者得0分．设每局甲胜的概率为，乙胜的概率为，且各局胜负相互独立，五局比赛结束后甲比乙至少多得2分的概率为__________．（结果用数字作答） 7．（2026高一·全国·专题练习）连掷一枚硬币5次，则至少出现一次正面向上的概率为______． 8．（2026高二·山东临沂·期中）某试验成功概率为，独立重复做6次，则成功次数不超过2次的概率为（    ） A． B． C． D． 9．（2026·云南昆明·模拟预测）甲、乙两名五子棋爱好者进行一场比赛，采用7局4胜制（先胜4局者获胜，比赛结束），已知每局比赛甲获胜的概率为，则甲第一局获胜并最终以获胜的概率为（   ） A． B． C． D． 10．（2026高二·黑龙江·期中）在某次国际围棋比赛中，甲、乙两人进入最后比赛．比赛采取五局三胜制，即先胜三局的一方获得比赛冠军，比赛结束．假设每局比赛甲胜乙的概率都为，没有和局，且各局比赛的胜负互不影响，则甲在比赛中以3:1获得冠军的概率为（    ） A． B． C． D． 11．（2026高二·辽宁朝阳·期末）如图是一块高尔顿板示意图：在一块木板上钉着若干排互相平行但相互错开的圆柱形小木块，小木块之间留有适当的空隙作为通道，小球从上方的通道口落下后，将与层层小木块碰撞，最后掉入下方的某一个球槽内．若小球下落过程中每次与小木块碰撞后，向左、向右落下的机会均等，则小球最终落入③号球槽和⑥号球槽的概率之和为（   ） A． B． C． D． （二） 二项分布的均值与方差 二项分布的均值与方差的求解方法： 第一步是判断随机变量X服从什么分布，第二步代入相应的公式求解． 若X服从两点分布，则E(X)＝p，D(X)＝p(1－p)； 若X服从二项分布，即X～B(n，p)，则E(X)＝np，D(X)＝np(1－p)． 题型3：二项分布概率计算 12．（2026高二·江苏苏州·期中）设随机变量服从二项分布，则等于（   ） A． B． C． D． 13．（2026高二·全国·课堂例题）已知随机变量，则（    ） A． B． C． D． 14．（2026高二·安徽·月考）设，且，那么（   ） A． B． C． D． 题型4：二项分布及其应用 15．（2026·山西吕梁·模拟预测）如图所示，已知一质点在外力的作用下，从原点出发，每次向左移动的概率为，向右移动的概率为.若该质点每次移动一个单位长度，设经过5次移动后，该质点位于的位置，则（    ） A． B． C． D． 16．（2026高二·四川绵阳·期末）某市政道路两旁需要进行绿化，计划从甲，乙，丙三种树木中选择一种进行栽种，通过民意调查显示，赞成栽种乙树木的概率为，若从该地市民中随机选取4人进行访谈，则至少有3人建议栽种乙树木的概率为（   ） A． B． C． D． 17．（2026高三·全国·专题练习）某农科院专家对新品种蔬菜种子进行发芽率试验，每个试验组5个坑，每个坑种1粒种子．经过大量试验，每个试验组没有发芽的坑数的平均数为，则每粒种子发芽的概率______． 18．【多选】（2026高二·重庆·期中）某市四所高中的足球队（分别记为“甲队”、“乙队”、“丙队”、“丁队”）进行单循环比赛（即每支球队都要跟其他各支球队进行一场比赛），最后按各队的积分排列名次，积分规则为每队胜一场得分，平一场得分，负一场得分.若每场比赛中两队胜、平、负的概率都为，则在比赛结束时，下列说法正确的是（   ） A．甲队的积分可能为分 B．甲队积分为分的概率为 C．四支球队的积分总和可能为分 D．甲队胜场且乙队负场的概率为 19．【多选】（2026高二·全国·课后作业）甲、乙两人投篮，每人只能在下列两种方式中选一种.方式1：投篮3次，每次投中得1分，未投中不得分，累计计分；方式2：选手最多投3次，如果第一次投中可进行第二次投篮，如果第二次投中可进行第三次投篮，如果某次未投中，则投篮终止，且每投中一次得2分，未投中不得分，累计计分，已知甲、乙两人每次投中的概率均为，且各次投篮相互独立.甲选择方式1投篮，乙选择方式2投篮，则下列说法正确的是（    ） A．当时，甲得1分的概率为 B．当时，甲至少得1分的概率为 C．当时，乙最多得2分的概率为 D．当时，乙得6分的概率大于乙得2分的概率 题型5：二项分布的均值与方差 20．（2026高二·北京·期中）已知随机变量，若，，则______． 21．（2026高二·新疆·期中）若随机变量满足，且，则（    ） A． B． C． D． 22．（2026·重庆渝中·模拟预测）小明高考结束后出去游玩，帽子和墨镜每天至少戴一件，他每天戴帽子的概率为，戴墨镜的概率为，各天穿戴的情况独立，表示他在20天的游玩时间中只戴帽子的天数，则其期望（   ） A．4天 B．8天 C．10天 D．16天 23．（2026高二·河南驻马店·月考）已知集合含有个元素，其中，先后两次随机､独立地选取集合的两个子集，记为与.设为集合中元素的个数，则为（    ） A． B． C． D． 24．（2026高二·安徽·期中）射击中每次击中目标得2分，未击中目标得0分，已知某运动员每次射击击中目标的概率是0.7，假设每次射击击中目标与否互不影响，则他射击3次的得分的数学期望是（    ）. A．0.63 B．1.4 C．2.1 D．4.2 25．（2026高二·河北衡水·期中）某人工智能模型进行指令识别训练，每次识别成功的概率为，失败的概率为，各次识别相互独立.现对该模型进行5次独立测试，设识别成功的次数为随机变量. (1)求在第二次识别成功的条件下，5次中恰有3次识别成功的概率； (2)求的分布列与数学期望. 26．（2026高二·河北承德·月考）某高中为提升学生的数学建模素养，举办了数学建模比赛，现从参赛学生中随机抽取20名，其成绩（满分10分）如下： 8.1，8.4，7.9，8.6，9.1，7.8，8.8，8.4，7.7，8.6 9.0，9.2，8.1，7.8，8.9，8.2，9.1，8.6，7.9，8.0 规定：成绩不低于8.0分的学生，称为“数学建模优秀生”． (1)从这20名学生中随机选3人，求这3人中至少有1人是“数学建模优秀生”的概率； (2)以这20名学生的样本数据来估计该校全体参加数学建模比赛学生的总体数据，若从该校参赛学生中任选4人，记为抽到的“数学建模优秀生”的人数，求的分布列、数学期望及方差． 27．（2026·上海黄浦·模拟预测）小明每天上学出发时会选择是否骑共享单车．根据平台统计和他的使用习惯：若出发时不下雨，他选择骑共享单车的概率为0.8；若出发时下雨，他选择骑共享单车的概率为0.4．假设本周小明每天上学出发时下雨的概率均为0.25，且出发地共享单车供应充足． (1)求本周某天小明上学出发时选择骑共享单车去学校的概率； (2)已知本周某天小明选择了骑共享单车去学校，求该天小明出发时不下雨的概率； (3)设小明在本周的前三天中选择骑共享单车去学校的天数为X，且这三天中每天的骑行选择相互独立，求随机变量X的分布，并计算其数学期望和方差． 28．（2026高二·贵州遵义·月考）某校在一次数学活动期间为提升学生们的数学素养，举办了一场“数学文化素养知识大赛”，已知共有1000名学生参加了比赛，现从参加比赛的全体学生中随机抽取100人的成绩作为样本，得到如下频率分布直方图： (1)若规定成绩较高的前的学生获奖，请求出a的值并估计获奖学生的最低分数线； (2)活动期间学校开放号门、号门和号门供学生出入，学生从号门、号门和号门进入学校的概率分别为，，，若学生从某个门进入学校，则其从该门出学校的概率为，从其他两个门出学校的概率各为．假设学生从号门、号门、号门出入学校互不影响，现有甲乙丙丁名学生参加活动，设X为人中从号门出学校的人数，求X的期望及方差． 29．（2026高三·上海·月考）从某校学生中随机抽出100名学生参加搏击操比赛，根据比赛成绩得到如图所示的频率分布直方图，数据的分组依次为[40,50)、[50,60)、[60,70)、[70,80)、[80,90)、[90,100]．若成绩在前的学生可获得“优秀拳击手”称号． (1)成绩至少要达到多少分才可以被评为“优秀拳击手”？ (2)从该校学生中随机抽取5人，设其中“优秀拳击手”的人数为，用频率估计概率，求的期望和方差； (3)经过调查发现，该校高三学生中“优秀拳击手”的比例达到了，已知三个年级人数相同，现从该校的“优秀拳击手”中随机选一名学生，求这名学生来自高三的概率． 题型6：服从二项分布的概率最值问题 30．（2026高二·湖北·阶段检测）某人在19次射击中击中目标的次数为X，若，若最大，则（    ） A．14或15 B．15 C．15或16 D．16 31．（2026高二·四川广元·期末）若随机变量X服从二项分布，则取得最大值时，（   ） A．2或3 B．2 C．3 D．4 32．（2026高二·山东烟台·阶段检测）某同学共投篮12次，每次投篮命中的概率为，假设每次投篮相互独立，记他投篮命中的次数为随机变量，则_______，该同学投篮最有可能命中_______次． 33．（2026高二·湖北武汉·阶段检测）某人射击一发子弹，命中目标的概率为，现在他射击发子弹，则击中目标的子弹数最可能是（    ） A．14 B．15 C．16 D．15或16 34．（2026·湖南邵阳·模拟预测）若随机变量，则当取得最大值时，正整数的值是________． 35．（2026高三·全国·专题练习）甲、乙两人进行象棋比赛（没有平局），采用“五局三胜”制．已知在每局比赛中，甲获胜的概率为，．设甲以获胜的概率为，则的最大值为______． 36．（2026高二·江苏南京·期中）抛掷一枚质地均匀的骰子，观察骰子朝上面的点数，并制定如下规则：当点数为2，3，4，5时得1分，当点数为1，6时得3分.多次抛掷这枚骰子，将每次得分相加的结果作为最终得分.若抛掷2次骰子，最终得分为，则随机变量X的期望是__________；若抛掷2024次骰子，记得分恰为分的概率为，则当取最大值时的值为__________. （三） 二项分布的实际应用 一般地，在n重伯努利试验中，设每次试验中事件A发生的概率为p(0<p<1)，用X表示事件A发生的次数，则X的分布列为：，如果随机变量X的分布列具有上式的形式，则称随机变量X服从二项分布，记作X～B(n，p)． 题型7：二项分布的实际应用 37．（2026高二·湖南常德·阶段检测）福州纸伞是历史悠久的中国传统手工艺品，属于福州三宝之一，纸伞的制作工序大致分为三步：第一步削伞架，第二步裱伞面；第三步绘花刷油.一个优秀的作品除了需要有很好的素材外，更要有制作上的技术要求，已知某工艺师在每个环节制作合格的概率分别为，，，只有当每个环节制作都合格才认为一次成功制作. (1)求该工艺师进行3次制作，恰有一件优秀作品的概率； (2)若该工艺师制作4次，其中优秀作品数为，求概率分布列及期望； 38．（2026·江苏·模拟预测）某学校有甲，乙两个餐厅，经统计发现，前一天选择餐厅甲就餐第二天仍选择餐厅甲就餐的概率为，第二天选择餐厅乙就餐的概率为；前一天选择餐厅乙就餐第二天仍选择餐厅乙就餐的概率为，第二天选择餐厅甲就餐的概率为．若学生第一天选择餐厅甲就餐的概率是，选择餐厅乙就餐的概率是，记某同学第天选择餐厅甲就餐的概率为． (1)记某班3位同学第二天选择餐厅甲的人数为，求随机变量的分布列及期望； (2)学校为缓解就餐压力，决定每天从各年级抽调21人到甲乙两个餐厅参加志愿服务，请求出的通项公式，根据以上数据合理分配甲，乙两个餐厅志愿者人数，并说明理由． 39．（2026高二·全国·期末）在某诗词大会的“个人追逐赛”环节中，参赛选手应从8个不同的题目中随机抽取3个题目进行作答．已知这8个题目中，选手甲只能正确作答其中的6个，而选手乙正确作答每个题目的概率均为0.8，且甲、乙两位选手对每个题目作答都是相互独立的． (1)求选手甲恰好正确作答2个题目的概率； (2)记选手乙正确作答的题目个数为X，求X的分布列和数学期望； (3)如果在抽取的3个题目中答对2个题目就可以晋级，你认为甲、乙两位选手谁晋级的可能性更大？请说明理由． 40．（2026高二·山东济宁·期中）某学校组织“校园文化”知识竞赛，竞赛分为初赛和复赛两个阶段，每位参加比赛的同学，初赛必须回答3个问题，每题答对得1分，答错得0分，且初赛总得分不低于2分方可晋级复赛；复赛分为3轮，每轮设置2个问题，每题答对得2分，答错得0分，晋级复赛的选手需完成全部复赛问题，复赛3轮得分累加为复赛总得分． 已知小张同学在初赛中每题答对的概率均为；复赛每轮中，第1题答对的概率为，第2题答对的概率为0.3，且所有问题之间的回答结果互不影响. (1)求小张同学成功晋级复赛的概率； (2)已知小张同学已晋级复赛. （i）若，求小张同学复赛总得分为10分的概率； （ii）设小张同学在复赛3轮中，恰有2轮每轮得分不低于2分的概率为，求的最大值. 1．（2026·福建）某一批花生种子，如果每1粒发芽的概率为，那么播下3粒种子恰有2粒发芽的概率是 A． B． C． D． 2．（2026高三·河南驻马店·期末）已知，且，则（   ） A． B． C． D． 3．（2026高二·全国·课堂例题）已知，则______． 4．（2026高二·全国·课后作业）下列事件：①运动员甲射击一次，“射中9环”与“射中8环”；②甲､乙两名运动员各射击一次，“甲射中10环”与“乙射中9环”；③甲､乙两名运动员各射击一次，“甲､乙都射中目标”与“甲､乙都没射中目标”；④在相同的条件下，甲射击10次5次击中目标.其中是独立重复试验的是（    ） A．① B．② C．③ D．④ 5．（2026高二·江苏苏州·期中）将一个半径适当的小球放入如图所示的容器最上方的入口处，小球自由下落，在下落的过程中，小球将遇到黑色障碍物3次，最后落入A袋或B袋中，已知小球每次遇到障碍物时，向左、右两边下落的概率分别是，.设小球向左的次数为随机变量X. (1)求随机变量X的概率分布列； (2)分别求出小球落入A袋和B袋中的概率. 6．（2026高二·全国·专题练习）某射手进行射击训练，假设每次射击击中目标的概率为，且每次射击的结果互不影响，已知射手射击了5次，求： (1)其中只在第一、三、五次击中目标的概率； (2)其中恰有3次击中目标的概率； (3)其中恰有3次连续击中目标，而其他两次没有击中目标的概率. 7．（7.4.1二项分布）为防止风沙危害，某地决定建设防护绿化带，种植杨树，沙柳等植物．某人一次种植了株沙柳，各株沙柳的成活与否是相互独立的，成活率为，设为成活沙柳的株数，均值为3，标准差为． (1)求和的值，并写出的分布列； (2)若有3株或3株以上的沙柳未成活，则需要补种，求需要补种沙柳的概率． 8．（2026高二·全国·课堂例题）某厂一批产品的合格率是． (1)求从中抽取一件产品为正品的数量的方差； (2)若从中有放回地随机抽取件产品，计算抽出的件产品中正品数的方差及标准差． 9．（2026高二·全国·专题练习）一名学生每天骑自行车上学，从家到学校的途中有5个交通岗，假设他在各交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率都是. (1)求这名学生在途中遇到红灯的次数的分布列； (2)求这名学生在首次遇到红灯或到达目的地停车前经过的路口数的分布列； (3)这名学生在途中至少遇到一次红灯的概率． 10．（2026·江苏）甲、乙两人各射击1 次击中目标的概率分别三分之二和四分之三，假设两人射击是否击中目标相互之间没有影响，每次射击是否击中目标相互之间也没有影响． （1）求甲射击4次，至少有1次未击中目标的概率． （2）求两人各射击4次，甲恰好击中目标2次且乙恰好击中目标3次的概率． （3）假设某人连续2次未击中目标，则停止射击，问：乙恰好射击5次后被终止射击的概率是多少？ 11．（2026高二·北京西城·期末）某批数量很大的产品的次品率为，从中任意取出件，则其中恰好含有件次品的概率是（    ） A． B． C． D． 12．（2026·全国·模拟预测）现有3个小组，每组3人，每人投篮1次，投中的概率均为，若1个小组中至少有1人投中，则称该组为“成功组”，则这3个小组中恰有1个“成功组”的概率为（    ） A． B． C． D． 13．（2026高二·全国·课堂例题）设如果，那么______，______． 14．（2026高二·江苏泰州·月考）某学校食堂每天都会提供A，B两种套餐供学生选择（学生只能选择其中的一种），经过统计分析发现:学生第一天选择A套餐的概率为，选择套餐的概率为.而前一天选择了套餐的学生第二天选择套餐的概率为，选择套餐的概率为;前一天选择套餐的学生第二天选择套餐的概率为，选择套餐的概率也是，如此往复.记同学甲第天选择套餐的概率为. (1)求同学甲第二天选择套餐的概率; (2)证明:数列为等比数列; (3)从该校所有学生中随机抽取100名学生统计第二天选择套餐的人数，用表示这100名学生中恰有名学生选择套餐的概率，求取最大值时对应的的值. 15．（2026高三·全国·专题练习）为落实立德树人的根本任务，某校决定开展包括音乐课、舞蹈课、篮球课、围棋课等十余门兴趣课来丰富学生的校园生活．已知每门课每月上四节，第一个月每人任选一门进行学习，每上一节课可得1个绩点且表现优秀者额外得1个绩点，若本月获得不少于7个绩点，则此课程结业且下月选择其他的课程，否则继续上原来的课．若甲、乙两人在第一个月均选择了篮球课，且篮球课上甲每节课表现优秀的概率为，乙每节课表现优秀的概率为，每节课是否优秀互不影响，甲、乙两人之间也互不影响． (1)求甲同学在第一个月的绩点得分的分布列和数学期望； (2)求第一个月甲、乙两人均结业的概率； (3)为提升同学们的参与度，篮球课上老师策划了两个游戏项目，根据项目的难易度，选择项目的同学奖励1个徽章，选择项目的同学奖励2个徽章，假设每人只选择一个项目且选择项目的概率分别为，每个同学的选择相互独立．若某一时刻老师发放个徽章的概率为，且满足当时，，求及数列的最值． 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $