专题10 二项分布7种常见考法归类讲义（56题）-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第三册题型归纳与解题策略

【考点通关】2025-2026学年高二数学高频考点与解题策略(人教A版2019选择性必修第三册) 专题10 二项分布7种常见考法归类（56题） 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 考点一n重伯努利试验的判断 考点二n重伯努利试验的概率问题 考点三 二项分布及其应用 考点四 二项分布的均值与方差 考点五 建立二项分布模型解决实际问题 考点六 服从二项分布的随机变量概率最大问题 考点七 二项分布的综合应用 知识点1 n重伯努利试验及其特征 1．n重伯努利试验的概念 将一个伯努利试验独立地重复进行n次所组成的随机试验称为n重伯努利试验． 2．n重伯努利试验的共同特征 (1)同一个伯努利试验重复做n次． (2)各次试验的结果相互独立． (3)每次试验都只有两种结果，即事件要么发生，要么不发生，这两种结果是对立的 注：1、在相同条件下，有放回地抽样试验是n重伯努利试验. 2、相互独立的概念 (1)相互独立的定义 设A，B为两个事件，如果P(AB)＝P(A)·P(B)，则称事件A与事件B相互独立． (2)相互独立事件 事件A(或B)发生对事件B(或A)发生的概率没有影响，这样的两个事件叫做相互独立事件． 3、相互独立的性质 若事件A与B相互独立，则A与，与B，与也相互独立． 4、相互独立事件与互斥事件的区别 相互独立事件是指两个事件发生的概率互不影响，计算式为P(AB)＝P(A)P(B)，互斥事件是指在同一试验中，两个事件不会同时发生，计算公式为P(A∪B)＝P(A)＋P(B)． 4.利用相互独立事件求复杂事件概率的解题思路 (1)将待求复杂事件转化为几个彼此互斥简单事件的和． (2)将彼此互斥简单事件中的简单事件，转化为几个已知(易求)概率的相互独立事件的积事件． (3)代入概率的积公式求解． 3．重伯努利试验的概率公式 一般地，如果在一次试验中事件发生的概率是,事件在次试验中发生次，共有种情形，由试验的独立性知，每种情形下，在次试验中发生，而在其余次试验中不发生的概率都是,所以由概率加法公式知，在重伯努利试验中，事件恰好发生次的概率为( ) . 知识点2　二项分布 一般地，在n重伯努利试验中，设每次试验中事件A发生的概率为p(0<p<1)，用X表示事件A发生的次数，则X的分布列为 P(X＝k)＝Cpk(1－p)n－k，k＝0,1,2，…，n. 称随机变量X服从二项分布，记作X～B(n，p)． 注：1、：伯努利试验的次数 ： 事件发生的次数 ：每次试验中事件发生的概率 2、独立重复试验与二项分布问题的类型及解题策略 (1)在求n次独立重复试验中事件恰好发生k次的概率时，首先要确定好n和k的值，再准确利用公式求概率． (2)在根据独立重复试验求二项分布的有关问题时，关键是理清事件与事件之间的关系，确定二项分布的试验次数n和变量的概率，求得概率． 3．判断一个随机变量是否服从二项分布，关键有二：其一是独立性，即一次试验中，事件发生与不发生二者必居其一；其二是重复性，即试验是独立重复地进行了n次． 4．P(A·B)＝P(A)·P(B)只有在事件A，B相互独立时，公式才成立，此时P(B)＝P(B|A)． 知识点3　二项分布的均值与方差 若随机变量X服从参数为n，p的二项分布，即X～B(n，p)，则E(X)＝np，D(X)＝np(1－p) 注：(1)如果ξ ～B(n，p)，则用公式E(ξ)＝np，D(ξ)＝np(1－p)求解，可大大减少计算量． (2)有些随机变量虽不服从二项分布，但与之具有线性关系的另一随机变量服从二项分布，这时，可以综合应用E(aξ＋b)＝aE(ξ)＋b以及E(ξ)＝np求出E(aξ＋b)，同样还可求出D(aξ＋b)． 策略方法 一、n重伯努利试验的判断方法 1.核心特征 （1）重复性：在相同条件下，同一试验重复做次； （2）独立性：各次试验的结果相互独立，互不影响； （3）两结果性：每次试验只有发生、不发生两种对立结果； （4）等概率性：每次试验中事件发生的概率均为，保持不变。 2.判定步骤 （1）看是否为可重复试验，条件一致； （2）看试验结果是否只有两种对立情形； （3）看各次试验是否相互独立； （4）看事件发生概率是否保持不变。 3.常见模型 （1）有放回抽样、连续投篮、独立答题、重复掷硬币； （2）不放回抽样不属于n重伯努利试验（概率改变）。 二、n重伯努利试验的概率计算 1.核心公式 （1）事件恰好发生次的概率： 2.计算步骤 （1）判断试验为n重伯努利试验； （2）确定试验次数、单次概率、发生次数； （3）代入公式计算； （4）若为范围概率，将对应情况概率相加。 3.常用结论 （1）“至少次”：； （2）“至多次”：； （3）对立简化：。 三、二项分布的判定与应用 1.判定条件 （1）背景为n重伯努利试验； （2）随机变量表示事件发生的次数； （3）记作：，其中为试验次数，为单次概率。 2.分布列 （1），。 3.适用场景 （1）独立重复答题、投篮、抽样、检测、设备工作； （2）多次独立决策、选择、竞赛、系统可靠性。 四、二项分布的均值与方差 1.公式 （1）均值（期望）：； （2）方差：； （3）标准差：。 2.线性性质 （1）若，则； （2）。 3.快速计算 （1）已知，直接用求期望，求方差； （2）避免列分布列，大幅简化计算。 五、建立二项分布模型解决实际问题 1.建模步骤 （1）识别：问题是否为独立重复试验； （2）设定：设为“成功/合格/命中/通过”的次数； （3）确定：写出； （4）计算：用公式求概率、期望、方差； （5）作答：依据计算结果做决策、判断、解释。 2.典型问题 （1）产品抽样检验、合格数、次品数； （2）射击、投篮、答题、闯关的成功次数； （3）系统正常工作台数、设备故障数； （4）竞赛、赛制、选择、偏好人数。 六、二项分布概率最大项问题 1.求解思路 （1）设最大，列不等式组： （2）代入二项分布概率公式化简； （3）解出整数，即为概率最大时的取值。 2.简化结论 （1）若为整数，则和时概率最大； （2）若非整数，则（取整数部分）时概率最大。 七、二项分布的综合应用 1.与全概率、贝叶斯结合 （1）先由全概率求单次成功概率； （2）再判定，求分布、期望、方差。 2.与递推、马尔可夫链结合 （1）先由转移概率求单次概率； （2）再视为二项分布求解。 3.与实际决策结合 （1）计算期望收益、期望成本； （2）比较方案优劣，给出最优选择。 八、高频易错点 1.混淆“不放回”与“有放回”，不放回不属于二项分布； 2.看错与，试验次数与单次概率颠倒； 3.求概率最大项时漏列不等式组； 4.方差计算忘记乘； 5.综合题未先求就直接套二项分布； 6.范围概率多算、少算端点值。 考点一 重伯努利试验的判断 1．【多选】（2026高二·全国·课后作业）对于伯努利试验，以下说法其中正确的是（    ） A．每次试验之间是相互独立的 B．每次试验只有两个相互对立的结果 C．每次试验中事件A发生的概率相等 D．各次试验中，各个事件是互斥的 【答案】ABC 【分析】根据伯努利试验的概念分析判断. 【详解】伯努利试验即为n次独立重复性实验，则有： 每次试验之间是相互独立的，故A正确； 每次试验均为分布，即每次试验只有两个相互对立的结果，故B正确； 每次试验中事件A发生的概率相等，故C正确； 各次试验之间没有关联，即各次实验结果互不干扰，可以同时发生， 故各次试验中，各个事件不是互斥的，故D错误； 故选：ABC. 2．【多选】（2026高二·重庆·月考）现有装有若干黄球和若干白球的不透明盒子，下列说法正确的是（   ） A．从盒子中摸出一个球，记录黄球的个数，则服从两点分布． B．从盒子中不放回的依次取4个球，则这个试验是4重伯努利试验． C．利用样本估计总体中黄球的比例，采用不放回摸球估计的结果更可靠 D．用X表示有放回方式下摸出黄球的个数，已知，则 【答案】ACD 【分析】利用两点分布、伯努利试验AB；利用有放回、无放回可靠性判断C；利用期望的性质计算判断D. 【详解】对于A，从盒子中摸出一个球，记录黄球的个数，的可能取值为0（白球）或1（黄球）， 因此服从两点分布，其中成功概率为黄球比例，A正确； 对于B，从盒子中不放回的依次取4个球，每次取到黄球概率不同，不是4重伯努利试验，B错误； 对于C，利用样本估计总体中黄球的比例，采用不放回摸球估计的结果更可靠，C正确； 对于D，，则，D正确. 故选：ACD 3．（2026高二·全国·课后作业）以下真命题共有______个． ①在n重伯努利试验中，各次试验的结果相互没有影响； ②在n重伯努利试验中，各次试验中某事件发生的概率可以不同； ③如果在1次试验中某事件发生的概率是p，那么在n次独立重复试验中这个事件恰好发生k次的概率． 【答案】2 【分析】根据n重伯努利试验的知识对个命题进行分析，从而确定正确答案. 【详解】①，n重伯努利试验是相互独立试验，各次试验的结果相互没有影响，①是真命题. ②，n重伯努利试验是独立重复试验，各次试验中某事件发生的概率相同，②是假命题. ③，结合二项分布的知识可知，在n次独立重复试验中事件恰好发生k次的概率为， 所以③是真命题. 综上所述，真命题共有个. 故答案为： 4．（2026高二·江苏·课前预习）下列试验是否为n重伯努利试验： (1)袋中有质地、大小完全相同的6个红球和4个白球，每次从中任取1个球，记下颜色后放回，连续取球2次； (2)袋中有质地、大小完全相同的6个红球和4个白球，每次从中任取1个球，不放回，连续取球2次. 【答案】(1)是 (2)不是 【分析】（1）（2）根据n重伯努利试验的特点判断； 【详解】（1） 是n重伯努利试验，因为每次试验的条件相同，且每次试验的结果互不影响，同一事件发生的概率也相同. （2） 不是n重伯努利试验，因为每次试验的条件不同（每次取球后不放回，下次取球与上次取球时袋中球的数目不同），并且每次试验中同一事件发生的概率不同. 5．（2026高二·全国·课后作业）判断下列试验是不是n重伯努利试验： (1)依次投掷四枚质地不同的硬币，3次正面向上； (2)某人射击，击中目标的概率是稳定的，他连续射击了10次，其中6次击中； (3)口袋中装有5个白球，3个红球，2个黑球，依次从中抽取5个球，恰好抽出4个白球． 【答案】(1)不是n重伯努利试验 (2)是n重伯努利试验 (3)不是n重伯努利试验 【分析】通过分析不同的试验的条件即可得出结论. 【详解】（1）由题意， ∵试验的条件不同(质地不同)， ∴不是n重伯努利试验 （2）由题意， ∵某人射击且击中的概率是稳定的， ∴是n重伯努利试验． （3）由题意， ∵每次抽取，试验的结果有三种不同的颜色，且每种颜色出现的可能性不相等， ∴不是n重伯努利试验． 考点二 重伯努利试验的概率问题 6．（2026高二·山东临沂·期中）某试验成功概率为，独立重复做6次，则成功次数不超过2次的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】记表示试验成功的次数，试验成功概率为，独立重复做6次，则成功次数不超过2次的概率. 7．（2026高二·北京西城·期中）重复进行10次某试验，每次试验的成功率都为p（），则其中前4次都未成功后6次都成功的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意，前4次都未成功后6次都成功的概率为. 8．（2026·云南昆明·模拟预测）甲、乙两名五子棋爱好者进行一场比赛，采用7局4胜制（先胜4局者获胜，比赛结束），已知每局比赛甲获胜的概率为，则甲第一局获胜并最终以获胜的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用独立重复事件分析求解即可. 【详解】甲第一局获胜并最终以获胜，说明甲、乙两人在5局比赛中，甲胜了4局，输了1局，并且输掉的这局为第二局或第三局或第四局， 故概率为：. 9．（2026·山东潍坊·模拟预测）投壶源于射礼，是中国古代宴饮时的一种投掷游戏及礼仪，参与者需在一定距离外将箭矢投入壶口或壶耳.在某投壶游戏中，选手甲投中壶口､壶耳的概率分别为，依落点计分如表格所示.若甲连续投掷3次，每次投掷互不影响，则甲的总得分不少于5分的概率为（    ） 投掷结果 壶口 壶耳 其它 计分 2 1 0 A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意可得甲的总得分不少于5分包含三次均投入壶口或三次中有两次投入壶口，一次投入壶耳两种情况. 三次均投入壶口得6分的概率， 三次中有两次投入壶口，一次投入壶耳得5分的概率， 所以甲的总得分不少于5分的概率为. 10．（2026高二·黑龙江·期中）在某次国际围棋比赛中，甲、乙两人进入最后比赛．比赛采取五局三胜制，即先胜三局的一方获得比赛冠军，比赛结束．假设每局比赛甲胜乙的概率都为，没有和局，且各局比赛的胜负互不影响，则甲在比赛中以3:1获得冠军的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】若甲要以结束比赛，则第四局必胜，前三局赢两局即可. 【详解】由题可知，若甲要以结束比赛，则甲在前三局中有2局赢，1局输，在第四局必须赢. 而甲在前三局有三种情况：1.赢赢输；2.赢输赢；3.输赢赢. 因此. 故选：B． 11．（2026高二·重庆渝北·期中）在某次抽奖活动中，一个口袋里装有3个白球和2个黑球，所有球除颜色外无任何不同，每次从中摸出2个球，观察颜色后放回，若为同色，则中奖.则摸球三次仅中奖一次的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】依题意，摸球一次中奖的概率为， 则摸球三次仅中奖一次的概率为. 12．（2026高二·辽宁朝阳·期末）如图是一块高尔顿板示意图：在一块木板上钉着若干排互相平行但相互错开的圆柱形小木块，小木块之间留有适当的空隙作为通道，小球从上方的通道口落下后，将与层层小木块碰撞，最后掉入下方的某一个球槽内．若小球下落过程中每次与小木块碰撞后，向左、向右落下的机会均等，则小球最终落入③号球槽和⑥号球槽的概率之和为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分析下落过程碰撞的次数和向左向右落下的概率，分别分析落入③号球槽和⑥号球槽的情况，分析求解，即可得答案. 【详解】下落过程中，需要经过6次碰撞，每次向左、向右落下的概率均为， 落入③号球槽需向左4次，向右2次，则, 落入⑥号球槽需向左1次，向右5次，则， 则小球最终落入③号球槽和⑥号球槽的概率之和为. 故选：B 考点三 二项分布及其应用 13．（2026高二·全国·课后作业）设随机变量服从二项分布，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，利用独立重复试验的概率计算公式，即可求解. 【详解】因为随机变量服从二项分布， 则 ． 故选：C． 14．（2026高二·重庆渝中·月考）已知随机变量X服从二项分布，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据二项分布概率公式计算求解. 【详解】∵随机变量X服从二项分布，∴， 故选：A． 15．（2026高二·安徽·月考）设，且，那么（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由二项分布的概率公式代入计算，即可得到结果. 【详解】由二项分布的概率公式可得，所以， 则. 故选：C 16．（2026高二·全国·课堂例题）已知随机变量，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由二项分布的概率公式运算即可得解. 【详解】因为因为随机变量服从二项分布， ． 故选：D 17．（2026高二·天津·期中）若随机变量服从二项分布，且，则（   ） A．39 B．65 C．50 D．63 【答案】D 【分析】先利用二项分布的概率公式求出的值，再利用排列数公式和组合数公式求解. 【详解】随机变量服从二项分布，且， ， ， ， . 故选：D 18．（2026·山西吕梁·模拟预测）如图所示，已知一质点在外力的作用下，从原点出发，每次向左移动的概率为，向右移动的概率为.若该质点每次移动一个单位长度，设经过5次移动后，该质点位于的位置，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，由条件可得的可能取值为，且，结合二项分布的概率计算公式代入计算，即可求解. 【详解】由题意可知，当时，的可能取值为，且， 所以 . 故选：C 19．（2026高二·黑龙江绥化·期中）如图，一个质点在随机外力的作用下，从原点出发，每隔1秒等可能地向左或向右移动1个单位.设移动秒后质点所在位置对应的实数为随机变量，则（    ） A． B． C． D．2 【答案】A 【分析】记质点向右移动的次数为，据题意可得，服从二项分布.分别求得和时对应的的值，由此求得和，从而求得. 【详解】由题意知，质点向左或向右移动1个单位的概率均为，设质点向右移动的次数为，则， 若，则移动6次后质点一共向左移动3次，向右移动3次，所以； 若，则移动6次后质点一共向右移动4次，向左移动2次，所以. 故. 故选：A. 20．（2026高二·四川绵阳·期末）某市政道路两旁需要进行绿化，计划从甲，乙，丙三种树木中选择一种进行栽种，通过民意调查显示，赞成栽种乙树木的概率为，若从该地市民中随机选取4人进行访谈，则至少有3人建议栽种乙树木的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】运用二项分布知识求解即可 【详解】赞成栽种乙树木的人数设为X，则. 根据二项分布概率公式知道至少有3人建议栽种乙树木的概率为. 故选：D. 21．（2026高二·山东潍坊·期中）某人寿保险公司规定，投保人没活过岁时，保险公司要赔偿100万元.活过岁时，保险公司不赔偿，但要给投保人一次性支付5万元.已知购买此种保险的每个投保人能活过岁的概率都是，随机抽取3个投保人，设其中活过岁的人数为，保险公司要赔偿给这三个人的总金额为万元.则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】依题意可得，又，则，利用二项分布的概率公式计算可得. 【详解】依题意，因为个投保人中，活过岁的人数为，所以没活过岁的人数为， 因此，即， 所以. 故选：A 考点四 二项分布的均值与方差 22．（湖北武汉市2026届高三年级五月供题数学试题）已知，则（    ） A．1000 B．1150 C．1300 D．1350 【答案】B 【详解】因为，所以，. 所以. 因为对二项分布，有， 所以， 所以， 所以. 23．（2026高二·新疆·期中）若随机变量满足，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为随机变量满足，且， 所以，整理得到，所以， 即，解得，则，所以. 24．（2026·重庆渝中·模拟预测）小明高考结束后出去游玩，帽子和墨镜每天至少戴一件，他每天戴帽子的概率为，戴墨镜的概率为，各天穿戴的情况独立，表示他在20天的游玩时间中只戴帽子的天数，则其期望（   ） A．4天 B．8天 C．10天 D．16天 【答案】A 【详解】记为事件“小明戴帽子”，记为事件“小明戴墨镜”， ，， ， 所以，，（天）. 25．（2026高二·河南驻马店·月考）已知集合含有个元素，其中，先后两次随机､独立地选取集合的两个子集，记为与.设为集合中元素的个数，则为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据随机变量服从二项分布，利用期望公式求解即可. 【详解】根据集合的子集个数，可知集合的可能情况有种； 同理，集合B也可能有种， 因此，两集合的所有可能情况数为， 随机变量的所有取值为， 当时，先从个元素中选出个元素，记为，有种可能情况， 对于这个元素中的每个元素，满足时， 只可能满足这三种情况之一，有种可能情况， 因此，事件“”的所有可能情况数为，则， 由， 可知， 则. 26．（2026高二·安徽·期中）射击中每次击中目标得2分，未击中目标得0分，已知某运动员每次射击击中目标的概率是0.7，假设每次射击击中目标与否互不影响，则他射击3次的得分的数学期望是（    ）. A．0.63 B．1.4 C．2.1 D．4.2 【答案】D 【分析】确定射击3次击中目标的次数服从二项分布，再根据期望的性质计算得分的数学期望. 【详解】由题意可知，射击3次击中次数X的可能取值为0，1，2，3，每次射击击中目标的概率是0.7，且每次射击击中目标与否互不影响， 所以，射击3次击中目标的次数为，， 设得分为，则，所以. 27．（2026高二·河北衡水·期中）某人工智能模型进行指令识别训练，每次识别成功的概率为，失败的概率为，各次识别相互独立.现对该模型进行5次独立测试，设识别成功的次数为随机变量. (1)求在第二次识别成功的条件下，5次中恰有3次识别成功的概率； (2)求的分布列与数学期望. 【答案】(1) (2) 0 1 2 3 4 5 . 【分析】（1）先定义对应随机事件，分析交事件含义为第二次固定识别成功，剩余四次恰好两次成功，据此用独立概率和组合公式算出联合概率，再结合第二次识别成功的基础概率，套用条件概率公式求出结果. （2）先判断随机变量服从二项分布，确定取值范围，利用二项分布概率公式依次算出每个取值对应的概率，列出分布列，再直接用二项分布期望公式计算数学期望. 【详解】（1）设事件：第二次识别成功；事件：次中恰有3次识别成功. 则事件：第二次识别成功，且5次中恰有3次识别成功，即除第二次外，剩余4次中恰有2次识别成功. 所以. 因为，所以. （2）由题意，得，且的所有可能取值为， 则， ， ， ， ， . 所以的分布列为 0 1 2 3 4 5 . 28．（2026高二·山西长治·期中）某厂甲、乙两条生产线同时生产某种零件，该厂规定这种零件的内径不小于100mm且不大于120mm为优等品.已知甲生产线生产的这种零件的内径X服从正态分布，乙生产线生产的这种零件的内径Y服从正态分布，且满足，.现将甲、乙两条生产线生产的这种零件的数量按3∶2的比例混合在一起. (1)从这批混合零件中随机抽取一件，求该零件是优等品的概率； (2)从这批混合零件中随机抽取4件，记这4个零件中优等品的个数为，求的分布列和数学期望. 【答案】(1) (2)分布列见解析， 【分析】（1）先应用正态分布求解概率再应用全概率公式计算求解； （2）应用二项分布得出概率及分布列，最后应用二项分布数学期望公式计算求解. 【详解】（1）由正态分布可知，甲生产线生产的这种零件是优等品的概率为 ， 乙生产线生产的这种零件是优等品的概率为 从这批混合零件中随机抽取一件是甲生产线生产的概率为，是乙生产线生产的概率为， 由全概率公式可得，从这批混合零件中随机抽取一件，该零件是优等品的概率是 （2）由题意可知，的可能取值为0，1，2，3，4，且 所以的分布列为 0 1 2 3 4 P 所以 29．（2026高二·河北承德·月考）某高中为提升学生的数学建模素养，举办了数学建模比赛，现从参赛学生中随机抽取20名，其成绩（满分10分）如下： 8.1，8.4，7.9，8.6，9.1，7.8，8.8，8.4，7.7，8.6 9.0，9.2，8.1，7.8，8.9，8.2，9.1，8.6，7.9，8.0 规定：成绩不低于8.0分的学生，称为“数学建模优秀生”． (1)从这20名学生中随机选3人，求这3人中至少有1人是“数学建模优秀生”的概率； (2)以这20名学生的样本数据来估计该校全体参加数学建模比赛学生的总体数据，若从该校参赛学生中任选4人，记为抽到的“数学建模优秀生”的人数，求的分布列、数学期望及方差． 【答案】(1) (2)的分布列为 0 1 2 3 4 ， 【分析】（1）先计算没有“数学建模优秀生”的概率为，再结合对立事件概率求解即可； （2）结合题意得，再结合二项分布的概率公式求解即可, 【详解】（1）由题意知，20名学生中，成绩不低于8.0分的学生有15名， 所以，20名学生中“数学建模优秀生”有15人， 从这20名学生中随机选3人，不是“数学建模优秀生”的概率为， 所以，这3人中至少有1人是“数学建模优秀生”的概率为． （2）因为样本数据中，“数学建模优秀生”占比例为， 所以，该校学生中，“数学建模优秀生”的概率为， 所以，从该校参赛学生中任选4人，抽到的“数学建模优秀生”的人数， 所以，的可能取值为0，1，2，3，4， ，， ，， ， 故的分布列为 0 1 2 3 4 所以数学期望，方差 30．（2026高三·云南昭通·期中）为了普及足球知识，某市开展了“滇超知识竞赛”活动.现从参加该竞赛的学生中随机抽取了80名，统计了他们的成绩（满分100分），并绘制成如图所示的频率分布直方图. (1)求这组数据的平均值（同一组中的数据用该组区间的中间值为代表）； (2)当成绩不低于80分的学生被评为“滇超达人”，以频率估计概率，从本市参加该竞赛的学生中随机抽取3人，随机变量X表示抽取学生为“滇超达人”的人数，求X的分布列及数学期望； (3)某市参与竞赛的学生中，甲校学生占25%，乙校学生占35%，丙校学生占40%，三校学生在活动中“滇超达人”所占比例为2:3:5.从参与该竞赛的学生中随机抽取一人，求这名学生是“滇超达人”的概率. 【答案】(1) (2)分布列见解析，数学期望为 (3) 【分析】（1）根据频率分布直方图中平均值的求法求解即可； （2）以频率估计概率，根据频率分布直方图，得到“滇超达人”在竞赛人数中所占的比例，即得到随机从本市参加该竞赛的学生中随机抽取1人，该学生为“滇超达人”的概率，利用服从二项分布，可得其分布列及数学期望； （3）利用全概率公式可得. 【详解】（1）由频率分布直方图，这组数据的平均值为 （2）以频率估计概率，根据频率分布直方图， 得到“滇超达人”在竞赛人数中的占比为， 即从本市参加该竞赛的学生中随机抽取1人，该学生为“滇超达人”的概率为； 易知， 所以， ， ， . 所以X的分布列为 X的数学期望是. （3）由三校学生在活动中“滇超达人”所占比例为2:3:5，得在所有的“滇超达人”中随机抽选一人， 则这名学生是甲、乙、丙三校学生的概率分别是. 已知参与竞赛的学生中，甲校学生占25%，乙校学生占35%，丙校学生占40%， 所以根据全概率公式可得，从参与该竞赛的学生中随机抽取一人， 这名学生是“滇超达人”的概率为. 31．（2026·上海黄浦·模拟预测）小明每天上学出发时会选择是否骑共享单车．根据平台统计和他的使用习惯：若出发时不下雨，他选择骑共享单车的概率为0.8；若出发时下雨，他选择骑共享单车的概率为0.4．假设本周小明每天上学出发时下雨的概率均为0.25，且出发地共享单车供应充足． (1)求本周某天小明上学出发时选择骑共享单车去学校的概率； (2)已知本周某天小明选择了骑共享单车去学校，求该天小明出发时不下雨的概率； (3)设小明在本周的前三天中选择骑共享单车去学校的天数为X，且这三天中每天的骑行选择相互独立，求随机变量X的分布，并计算其数学期望和方差． 【答案】(1)0.7 (2) (3)；； 【分析】（1）设相应事件，根据题意结合全概率公式运算求解； （2）根据题意结合贝叶斯公式运算求解； （3）分析可知，结合二项分布求分布列、期望和方差. 【详解】（1）设“小明上学出发时下雨”为事件A，“小明选择骑共享单车去学校”为事件B． 由题意可知：，，，， 由全概率公式可得， 所以小明在本周某天选择骑共享单车去学校的概率为0.7． （2）由题意可知：， 所以小明出发时不下雨的概率为． （3）由题意可知：， 则，； ；； 可知X的分布列为， 所以X的数学期望，方差． 32．（2026高二·贵州遵义·月考）某校在一次数学活动期间为提升学生们的数学素养，举办了一场“数学文化素养知识大赛”，已知共有1000名学生参加了比赛，现从参加比赛的全体学生中随机抽取100人的成绩作为样本，得到如下频率分布直方图： (1)若规定成绩较高的前的学生获奖，请求出a的值并估计获奖学生的最低分数线； (2)活动期间学校开放号门、号门和号门供学生出入，学生从号门、号门和号门进入学校的概率分别为，，，若学生从某个门进入学校，则其从该门出学校的概率为，从其他两个门出学校的概率各为．假设学生从号门、号门、号门出入学校互不影响，现有甲乙丙丁名学生参加活动，设X为人中从号门出学校的人数，求X的期望及方差． 【答案】(1)； (2)； 【分析】（1）利用所有矩形面积和为列出方程，求出参数；从高分段累计频率，定位分数线所在区间，列方程求解前30%对应的最低分； （2）利用全概率公式，分从号门、号门和号门进入学校三种情况，计算出从号门出校门的总概率；判定服从二项分布，直接用公式计算期望和方差求解. 【详解】（1）由频率分布直方图可知，解得. 成绩在的频率为； 成绩在的频率为， 成绩在的频率为， 规定成绩较高的前的学生获奖,因为，， 所以分数线在内. 设最低分数线为，则，解得， 因此获奖学生的最低分数线为. （2）设事件表示从号门进入学校（），事件表示从号门出学校， 由全概率公式可得， 又已知，，，，，， 所以. 因为为名学生中从号门出学校的人数，每名学生相互独立， 所以服从二项分布，即， 由二项分布的期望和方差可得，，因此X的期望为，方差为. 33．（2026高三·上海·月考）从某校学生中随机抽出100名学生参加搏击操比赛，根据比赛成绩得到如图所示的频率分布直方图，数据的分组依次为[40,50)、[50,60)、[60,70)、[70,80)、[80,90)、[90,100]．若成绩在前的学生可获得“优秀拳击手”称号． (1)成绩至少要达到多少分才可以被评为“优秀拳击手”？ (2)从该校学生中随机抽取5人，设其中“优秀拳击手”的人数为，用频率估计概率，求的期望和方差； (3)经过调查发现，该校高三学生中“优秀拳击手”的比例达到了，已知三个年级人数相同，现从该校的“优秀拳击手”中随机选一名学生，求这名学生来自高三的概率． 【答案】(1)84.17 (2) (3) 【详解】（1）由频率分布直方图的性质，所有组的频率之和为，组距为10，因此： ， 即，解得. 从高分段向低分段累积频率： 组的频率为， 要达到前的频率，还需， 这部分来自组，对应分数为：. 因此成绩至少要达到分（约84.17分）才可被评为“优秀拳击手”. （2）由直方图计算得优秀率. 由题意知，期望. 方差. （3）设三个年级人数均为，则全校优秀人数为，高三优秀人数为，故所求概率. 考点五 建立二项分布模型解决实际问题 34．（2026高二·重庆渝北·期中）某商家为了推销新生产的玩具，举行抽奖活动.玩具有外观和内饰的颜色区别，现有25个不同的玩具，其外观和内饰的颜色分布如下表所示： 内饰外观 红色内饰 蓝色内饰 黄色外观 10 2 绿色外观 10 3 (1)若小华从这些玩具中随机拿一个玩具，记事件为小华取到黄色外观的玩具，事件为小华取到红色内饰的玩具，求，和； (2)该商家规定在一次抽奖中，每人可以从这些玩具中随机一次性拿两个玩具，现有两种抽奖方案： 方案一：每人参加一次抽奖活动.若拿到的两个玩具外观和内饰都异色，则获得一等奖800元；若拿到的两个玩具外观和内饰均为同色，则获得二等奖500元；若拿到的两个玩具仅外观或内饰同色，则获得三等奖300元. 方案二：每人参加三次抽奖活动.每次抽奖若拿到的两款玩具外观和内饰均为同色，获得奖金500元，否则没有奖金. 设方案一中每人获得奖金金额为X元，方案二中每人获得奖金金额为Y元.请写出X的分布列及求出X，Y的期望，并通过期望比较哪种方案获奖金额更高. 【答案】(1)，，， (2) 800 500 300 ，，方案二获奖金额更高. 【分析】（1）通过条件概率公式、概率乘法公式以及事件和概率公式即可求解； （2）通过古典概型求出X的分布列及其期望，根据二项分布求出的期望即可得结果. 【详解】（1），， ， （2）方案一中，可取800，500，300. 则， ， ， 的分布列： 800 500 300 . 方案二中，记每人三次抽奖中获奖次数为， 因为每次抽奖条件相同且独立，所以服从二项分布. 设一次抽奖的获奖概率为，则，所以， 可得中奖次数的期望为. 根据题设，，则. ，故方案二获奖金额更高. 35．（2026·江西·模拟预测）某科技企业研发的新一代人形机器人在量产前进行性能测试，其中行走稳定性是核心指标，测试分为平地行走和斜坡行走两个项目，规定：两个项目均达标，则机器人性能合格；否则机器人性能不合格.已知该型号机器人平地行走达标的概率为，斜坡行走达标的概率为，且两个项目是否达标相互独立. (1)随机抽取1台该机器人进行测试，求这台机器人性能合格的概率； (2)随机抽取3台该机器人进行独立测试，设表示这3台机器人中性能合格的台数，求随机变量的分布列和数学期望； (3)该企业对机器人进行技术升级后，重新测试，升级后每台机器人性能合格的概率提升至，若随机抽取4台机器人测试，至少有1台性能合格的概率不低于，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 0 1 2 3 期望 (3) 【分析】（1）根据独立事件概率乘法公式计算求解； （2）由题意可得服从二项分布，根据二项分布求解分布列和数学期望； （3）根据二项分布的概率计算公式结合题意列不等式计算求解. 【详解】（1）设事件：机器人平地行走达标，；设事件：机器人斜坡行走达标，； 由题意，事件与相互独立，则性能合格为事件. 根据独立事件概率乘法公式：. （2）由题意，服从二项分布：的可能取值为. 根据二项分布概率公式，； 的分布列为： 0 1 2 3 的数学期望. （3）设升级后，4台机器人中性能合格的台数为，则. “至少有1台合格”的对立事件为“4台均不合格”，其概率为. 由题意：， 整理得：，又，解得：， 故实数的取值范围为. 36．（2026·安徽安庆·模拟预测）在一次元宵节三角函数公式竞答决赛活动中，甲、乙两人角逐冠军.规则如下：①共5次竞答机会，每次竞答两人均从A，B两个箱子中选择一个公式回答，答完放回；②甲答对A、B箱中一个公式的概率分别为，；乙答对A、B箱中一个公式的概率均为；③每答对A箱中一个公式得20分，每答对B箱中一个公式得30分；④5次竞答后总得分最高者获得冠军. (1)规定甲前两次都从A箱中选择，后三次都从B箱中选择，五次竞答完成后，求甲总分得分至少110分的概率. (2)若前两次甲、乙均从B箱中选择公式，两次竞答后甲得总分60分，乙得总分30分.后三次竞答在即，深思熟虑后甲决定后三次都在A箱子中选择公式竞答，乙决定后三次仍然都在B箱子中选择公式竞答，请问最终冠军最有可能是谁? 【答案】(1) (2)甲获得冠军的可能性更大 【分析】（1）列出甲得分至少110分的情况，根据二项分布的概率求解即可； （2）根据题意，甲五次总得分X可能为60、80、100、120，求得相应的概率，列出分布列，结合期望公式，即可求解. 【详解】（1）甲至少110分有两种情况：前两次甲得40分，后三次甲得90分；前两次甲得20分，后三次甲得90分； 故概率为. （2）后三次甲选A箱，甲五次总得分X可能为60、80、100、120， ，， ，， 随机变量X的分布列为： 60 80 100 120 分. 后三次乙选B箱，乙五次总得分Y可能为30、60、90、120， ，， ，， 随机变量Y的分布列为： 30 60 90 120 分， 所以，故甲获得冠军的可能性更大. 37．（2026·安徽滁州·模拟预测）某校数学社团设计了一款游戏，满足如下规则：一质点在数轴上从原点开始随机向左或向右移动，每步移动一个单位长度．若每步质点向右移动的概率为，向左移动的概率为．经过5步移动后，质点的位置坐标记为随机变量． (1)当时，若质点只在非负半轴上移动，求在此条件下的值； (2)该数学社团用计算机进行了100次独立实验，记录最终位置的频数分布如下： 1 3 5 频数 9 16 23 27 14 11 ①求的平均数； ②用该样本的平均数估计随机变量的均值，求的值（保留两位小数）． 【答案】(1) (2)① ；② 【分析】（1）利用公式计算条件概率； （2）由频数分布计算平均值，再结合二项分布的期望公式求的值. 【详解】（1）设事件“质点只在非负半轴上移动”，事件“”， ，，所以． 另解： 所以． （2）①样本的均值． ②设向右移动次数为，，， 所以，所以． 又由①知，所以，得． 38．（2026·辽宁鞍山·模拟预测）在某次军事演习中，红军参谋部进行战前推演：蓝军拥有两个相同结构的军事基地，每个基地有个重要节点：红军拥有某种型号导弹，对上述每个重要节点单枚命中即可摧毁，且单枚突破防御并命中的概率为．红军的演习任务是发射枚该型号导弹对蓝军军事基地实施打击，完成对蓝军至少一个军事基地的彻底摧毁（即摧毁该基地内的全部重要节点）即为获胜． 现有两种打击方案： 方案一：选择某一军事基地内的个重要节点进行打击，对每个重要节点发射两枚导弹； 方案二：对两个军事基地的各个重要节点进行打击，对每个重要节点发射一枚导弹． 视各枚导弹突破防御并命中目标相互独立，请你帮助红军参谋部进行推演计算： (1)分别求出两种方案中，最终摧毁的重要节点数的期望，并比较期望大小； (2)比较两种方案下红军获胜的概率，判断哪种方案更优． 【答案】(1)方案一期望为，方案二期望为，且； (2)方案一获胜概率更大，方案一更优. 【分析】（1）利用二项分布的期望公式分别计算两个方案的期望，再比较大小. （2）方案一：获胜条件等价于被打击的基地被彻底摧毁，计算该基地所有节点均被摧毁的概率即为获胜概率；方案二：分别计算两个基地被彻底摧毁的概率，利用概率加法公式计算至少一个基地被摧毁的概率，进而比较两个方案获胜概率的大小. 【详解】（1）设各导弹命中相互独立，单个节点只要至少被命中一次就会被摧毁： 方案一：仅打击1个基地的个节点，每个节点发射2枚导弹. 单个节点未被摧毁的概率为， 因此单个节点被摧毁的概率为. 设方案一摧毁节点数为，则， 则. 方案二：打击两个基地共个节点，每个节点发射1枚导弹. 单个节点被摧毁的概率为，设方案二摧毁节点数为， 则，. 因为，所以. （2）获胜条件为至少一个基地所有节点全被摧毁，分别计算获胜概率： 方案一：仅打击一个基地，获胜当且仅当该基地所有个节点全被摧毁， 因此获胜概率： 方案二：设分别为第一个、第二个基地全被摧毁，根据题意可得， ， 由，可知只需比较和的大小， 用归纳法证明：对，有， 当时，，不等式成立； 假设时不等式成立，即，则时： ， 作差得：，不等式也成立. 因此对所有，，即， 方案一获胜概率更高，方案一更优. 考点六 服从二项分布的随机变量概率最大问题 39．（2026高三·北京·一轮复习）若，则取得最大值时，_____． 【答案】5 【分析】由二项分布写出的表达式，结合组合数的性质求得正确答案. 【详解】因为，所以，， 由组合数的性质知，当时最大，此时取得最大值． 故答案为：5 40．（2026高二·山东泰安·期末）若随机变量，则当取最大值时，正整数k的值是________. 【答案】4 【分析】由题意得，然后根据解出即可. 【详解】由题意， 当取最大值时，， 即，其中， 化简得，解得， 所以取最大值时，. 故答案为：4. 41．（2026·湖南邵阳·模拟预测）若随机变量，则当取得最大值时，正整数的值是________． 【答案】5 【分析】根据二项分布，计算，再根据二项式系数的最大值，即可求解. 【详解】由题可知，所以取得最大值，即最大，此时. 故答案为：5 42．（2026高三·全国·专题练习）甲、乙两人进行象棋比赛（没有平局），采用“五局三胜”制．已知在每局比赛中，甲获胜的概率为，．设甲以获胜的概率为，则的最大值为______． 【答案】 【分析】甲以获胜，则前三局中甲要胜两局败一局，第四局甲再获胜，所以，再利用导数求解最大值． 【详解】甲以获胜，则前三局中甲要胜两局败一局，第四局甲再获胜， 所以， 则． 令，得； 令，得． 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以当时，取得最大值，为． 故答案为： 43．（2026高一·上海·期末）某公司招聘员工分笔试和面试两个环节，应聘者需从笔试备选题和面试备选题中分别随机抽取各10道题，并独立完成所抽取的20道题，每道题答对得10分，答错不得分．甲答对笔试每道题的概率为，答对面试每道题的概率为．假设每道题都是相互独立的，则甲得________分的概率最大． 【答案】 【分析】设应聘者答对笔试和面试备选题分别道的概率最大，先利用二项分布概率公式列出概率表达式，依题列出不等式组求得，根据，求得，继而得出答案. 【详解】设应聘者答对笔试和面试备选题分别道的概率最大， 则， 依题意，，解得 又因为，所以，易知时，最大， 故甲得分为的概率最大． 故答案为：120. 44．（2026高二·江苏南京·期中）抛掷一枚质地均匀的骰子，观察骰子朝上面的点数，并制定如下规则：当点数为2，3，4，5时得1分，当点数为1，6时得3分.多次抛掷这枚骰子，将每次得分相加的结果作为最终得分.若抛掷2次骰子，最终得分为，则随机变量X的期望是__________；若抛掷2024次骰子，记得分恰为分的概率为，则当取最大值时的值为__________. 【答案】 或 【分析】（1）先计算得分和得分的概率，再利用独立事件的概率公式列出分布列； （2）记得1分的次数为，则，利用求二项分布的概率最值解出，再根据得出或，则可求的值. 【详解】（1）由题意可得，得1分的概率为，得3分的概率为， 因的可能取值为2，4，6， 则，，， 则随机变量的期望值． （2）记得1分的次数为，则得3分的次数为， 所得总分为， 拋掷2024次骰子，记得分恰为分的概率为，则， 若取最大值，则，， 则，解得， 又，，则或， 当时，； 当时，． 故答案为：；或 45．（2026·云南曲靖·模拟预测）如图，一个质点在外力的作用下，从原点0出发，每隔1s向左或向右移动一个单位，且向右移动的概率为．若该质点共移动100次，则它位于数字______处的可能性最大． 【答案】 【分析】根据题意，设质点向右移动的次数为，可知服从二项分布，然后求得取最大值时的值，即可得到结果. 【详解】设质点向右移动的次数为，则服从二项分布，即， 则质点最终的位置等于向右移动的次数减去向左移动的次数， 即， 由二项分布的概率公式可得， 设最大，则， 由可得， 即， 化简可得，解得， 由可得， 即， 化简可得，解得， 即，且，则时，最大， 则质点最终的位置为. 故答案为： 【点睛】关键点睛：本题主要考查了二项分布概率最大值问题，难度较大，解答本题的关键在于结合二项分布的概率公式计算，从而得到结果. 46．（2026高二·江苏南京·期中）某学校在假期组织30位学生前往北京、上海、广州、深圳、杭州、苏州、成都、重庆8个城市参加研学活动．每个学生可自由选择8个城市中的任意1个（不要求每个城市必须要有学生选择）．若每位学生选择去每个城市的概率都相等且互不影响，则有________个学生选择前往北京或上海研学的概率最大． 【答案】 【分析】设有个学生选择前往北京或上海研学，由题意可得服从二项分布，再根据二项分布的概率公式结合不等式组法求解即可. 【详解】设有个学生选择前往北京或上海研学， 由题意可得每个学生选择前往北京或上海研学的概率， 则， 设有个学生选择前往北京或上海研学的概率最大， 则， 即， 即， 解得， 又，所以， 所以有个学生选择前往北京或上海研学的概率最大. 故答案为：. 47．（2026高二·内蒙古通辽·期末）抛掷一枚质地均匀的骰子，观察骰子朝上面的点数，并制定如下规则：当点数为时得1分，当点数为1，6时得3分.多次抛掷这枚骰子，将每次得分相加的结果作为最终得分.若抛掷2次骰子，最终得分为，则随机变量的期望是__________；若抛掷50次骰子，记得分恰为分的概率为，则当取最大值时的值为__________. 【答案】 或 【分析】分析抛一次骰子得1分以及得3分的概率，从而计算最终得分的概率，计算期望值；设得1分的次数为，计算得1分次数为次时总得分为分的概率，列不等式组计算概率最大时的值，从而求出的值. 【详解】抛一次骰子得1分的概率为，得3分的概率为， 的可能取值为，，， ， 则随机变量的期望是； 记得1分的次数为，则得3分的次数为， 因此抛掷50次骰子，所得总分为， 则得1分的次数为次时总分得n分的概率为，，若取最大，则 ，可得， 因为，所以，或， 当时，， 当时，， 故答案为：①；②或. 【点睛】思路点睛：得分由扔骰子过程中出现1分的次数和出现3分的次数决定，所以求得分的概率先设出现1分的次数，再计算的概率，列不等式组求出概率最大的的值，再计算. 48．（2026高二·河南南阳·期末）某人在次射击中击中目标的次数为，且，已知，则当取最大值时，________． 【答案】7 【分析】根据二项分布的期望和方差公式求出，再利用不等式法求概率的最大值. 【详解】依题意，得解得， 故，所以． 当最大时， 即 即整理得 解得，而，因此． 49．（2026高二·广西柳州·期中）2025年1月下旬，DeepSeek的R1模型发布，该模型在全球范围内引发广泛关注.现为了对其产品用户的使用行为进行统计分析，收集了1000名用户的每日使用时长（单位：分钟），得到如下所示的频率分布直方图，每日使用时长不小于60分钟的用户称为“忠实粉丝”. (1)求的值； (2)现采用分层抽样的方法从样本中使用时长在的用户中随机抽取7人，并从中随机抽取2人作进一步分析，记为2人中忠实粉丝的人数，求的分布列和期望. (3)用样本的频率估计概率，从该产品所有用户中抽取5人，为忠实粉丝的人数，记时对应的概率为，则为多少时最大？ 【答案】(1) (2)分布列见解析， (3) 【分析】（1）根据频率之和为1即可求解； （2）根据超几何分布的概率求解分布列，即可求解； （3）根据二项分布以及组合数的计算即可求解. 【详解】（1）由，解得. （2）由频率分布直方图可知，[40,60）与[80,100）的用户数之比为3：4， 所以用分层抽样抽取的7人中，有4人是忠实粉丝，从7人中任取2人，取0，1，2， ， 所以的分布列为 0 1 2 所以 （3）用样本的频率估计概率，从所有用户中任取1人，他为忠实粉丝的概率为 所以 ， 解得：，又，故时概率最大 50．（2026·广东揭阳·模拟预测）某商城为了回馈广大顾客，设计了一个抽奖活动，在抽奖箱中放8个大小相同的小球，其中4个为红色，4个为白色.抽奖方式为：每名顾客进行两次抽奖，每次抽奖从抽奖箱中一次性摸出两个小球，规定第一次抽奖后不将球放回抽奖箱，直接进行第二次抽奖，如果每次抽奖摸出的两个小球颜色相同即为中奖，两个小球颜色不同即为不中奖. (1)求中奖次数X的分布列和数学期望； (2)求第二次中奖的概率； (3)已知有位顾客进行抽奖，则其中中奖2次的人数为多少的概率最大？ 【答案】(1)的分布列为 0 1 2 . (2) (3)中奖2次的人数为时的概率最大. 【分析】（1）根据题意分析随机变量的可能取值，求出各个值对应的概率可得分布列及期望； （2）根据（1）的计算数据可求第二次中奖的概率； （3）设位顾客中中奖2次的人数为，则，故可不等式组的整数解确定中奖2次的人数为何值时对应的概率最大. 【详解】（1）若第一次抽奖后不将球放回抽奖箱，直接进行第二次抽奖， 则中奖次数的可能取值为， 则， ， ， 则的分布列为 0 1 2 所以的期望为. （2）设为“第二次中奖”， 则. （3）设位顾客中中奖2次的人数为，由（1）的分布列可得， 故，其中， 令， 所以， 化简得，故， 故中奖2次的人数为的概率最大. 51．（2026高三·山西·月考）甲､乙两位同学进行纸飞机比赛，设各局比赛的结果相互独立，且每局比赛甲获胜的概率为，乙获胜的概率为.比赛规则如下：三局两胜制指有一方获胜两局，比赛结束；四局三胜制指有一方获胜三局，比赛结束. (1)若，比赛采用三局两胜制，求甲获胜的概率； (2)若，甲、乙进行了局比赛，表示甲获胜的局数，当且仅当时，取得最大值，其中，求满足条件的的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）分析可知甲最终获胜的两种可能的比分为或，利用独立重复试验的概率公式可求得所求得甲获胜的概率； （2）分析可知，可得，记，解不等式，可得结果. 【详解】（1）根据题意可知，每局比赛甲获胜的概率为，乙获胜的概率为， 若采用三局两胜制，则最终获胜的两种可能的比分为或. 因为每局比赛的结果是独立的， 所以甲最终获胜的概率； （2）易得，，， 记， 则， 由，得， 即当时，， 当时，， 故当时，最大，所以的估计值为. 52．（2026高三·江苏扬州·月考）某零部件代加工基地为某科技公司生产了一批精密零件，其质量指标（单位：μm）服从正态分布，已知当时，．规定质量指标在内的零件为优质品，且每个零件的检测结果相互独立． (1)现从该批零件中随机抽取2个，求这2个零件中恰好有1个为优质品的概率； (2)从该批零件中随机抽取6个进行检测，记这6个零件中有个优质品的概率最大，当这6个零件中恰好有个优质品时把这6个零件视为一个样本，从这6个零件中不放回地任取3个进行二次检测，记取出的3个零件中优质品的个数为，求的分布列与期望； 【答案】(1) (2) 1 2 3 【分析】（1）先确定，由条件可得从该批零件中随机抽取1个为优质品的概率，再结合独立重复试验概率公式求结论； （2）先求，由，判断的单调性，确定，再确定的可能取值，并求取各值的概率，由此可得分布列，再由期望公式求期望. 【详解】（1）因为，所以，， 所以从该批零件中随机抽取1个为优质品的概率， 所以从该批零件中随机抽取个， 恰好有个为优质品的概率为. （2）设随机抽取的个零件中，优质品的个数为. 由题意得，， 所以， 因为， 当时，， 当时，， 所以. 由题意可得的所有可能取值为1，2，3， ，，， 所以的分布列为 1 2 3 . 考点七 二项分布的综合应用 53．（2026高二·福建福州·期中）某湿地公园有两条散步路线，分别记为路线和路线．湿地附近的居民经常来此散步，经过一段时间的统计发现，前一天选择路线的居民第二天选择路线和路线的概率均为；前一天选择路线的居民第二天选择路线和路线的概率分别为和．已知居民第一天选择路线的概率为，选择路线的概率为． (1)若有4位居民连续两天去湿地散步，记其中第二天选择路线散步的人数为，求的分布列和数学期望； (2)若某居民每天都去湿地散步，记他第天选择路线的概率为． （i）证明：数列是等比数列； （ii）设，证明：． 【答案】(1) 0 1 2 3 4 ； (2)（i）证明见解析；（ii）证明见解析 【分析】（1）先求居民第二天路线的概率，然后根据二项分布的概率公式求出概率，可得分布列，利用二项分布期望公式可得期望； （2）（i）分析第n天选择路线A和路线B情况下第n+1天选择路线A的概率，再由全概率公式列式，求出关系式，利用构造法证明数列是等比数列并求出通项公式；（ii）借助放缩法及等比数列前n项和公式推理得证. 【详解】（1）记附近居民第天选择路线分别为事件， 依题意，，， 则由全概率公式，得居民第二天选择路线散步的概率； 记第二天选择路线散步的人数为，则， 则， 则的分布列为： 0 1 2 3 4 故的数学期望； （2）（i）当第天选择路线时，第天选择路线的概率为； 当第天选择路线时，第天选择路线的概率为， 由全概率公式得， 所以，而， 于是数列是首项为，公比为的等比数列， 因此，即； （ii）由（i）知， 当时，， 而，所以； 当时，，而， 所以 所以． 54．（2026高三·青海西宁·月考）城市生态公园有两条散步路线，分别记为路线和路线.公园附近的居民经常来此散步，经过一段时间的统计发现，前一天选择路线的居民第二天选择路线和路线的概率均为；前一天选择路线的居民第二天选择路线和路线的概率分别为和.已知居民第一天选择路线的概率为，选择路线的概率为. (1)若有4位居民连续两天去公园散步，记第二天选择路线散步的人数为，求的分布列及期望； (2)若某居民每天都去公园散步，记第天选择路线的概率为. （i）请写出与的递推关系，并求出； （ii）设，记数列的前项和为，求证：. 【答案】(1)分布列见解析， (2)（i）；（ii）证明见解析 【分析】（1）利用全概率公式求出单个居民第二天选择路线散步的概率，然后确定4位居民中第二天选择路线散步的人数服从二项分布，最后根据二项分布的概率公式和期望公式计算分布列和期望. （2）（i）根据前一天选择不同路线时第二天选择路线的概率，推导出与的递推关系，再构造等比数列求出的通项公式； （ii）先化简，得其通项公式，然后使用错位相减法求出前项和，即可得证. 【详解】（1）记附近居民第天选择路线分别为事件. 根据题意，，， 则，，， 所以由全概率公式，得居民第二天选择路线散步的概率 . 记第二天选择路线散步的人数为，则， 则，， ，， ， 则的分布列为： 0 1 2 3 4 故的数学期望. （2）（i）当第天选择路线时，第天选择路线的概率， 当第天选择路线时，第天选择路线的概率， 所以. 由此可得，又， 于是数列是首项为，公比为的等比数列. 因此，所以. （ii）证明：由已知得， 所以，则， 两式相减，得， 所以，又， 所以. 55．（2026高二·江苏泰州·月考）某学校食堂每天都会提供A，B两种套餐供学生选择（学生只能选择其中的一种），经过统计分析发现:学生第一天选择A套餐的概率为，选择套餐的概率为.而前一天选择了套餐的学生第二天选择套餐的概率为，选择套餐的概率为;前一天选择套餐的学生第二天选择套餐的概率为，选择套餐的概率也是，如此往复.记同学甲第天选择套餐的概率为. (1)求同学甲第二天选择套餐的概率; (2)证明:数列为等比数列; (3)从该校所有学生中随机抽取100名学生统计第二天选择套餐的人数，用表示这100名学生中恰有名学生选择套餐的概率，求取最大值时对应的的值. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)37 【分析】（1）根据题意结合全概率公式运算求解； （2）根据题意结合全概率公式可得，结合等比数列的定义分析证明； （3）根据题意分析可得，结合二项分布的概率公式列式求解. 【详解】（1）设“第1天选择B套餐”，“第2天选择B套餐”， 则“第1天不选择B套餐”. 根据题意可知：. 由全概率公式可得. （2）设“第天选择B套餐”，则， 根据题意. 由全概率公式可得 ， 整理得，且， 所以是以为首项，为公比的等比数列. （3）第二天选择A类套餐的概率 由题意可得：学生第二天选择A类套餐的概率为，则不选择A类套餐的概率为， 所以，则， 当取最大值时，则， 即，即， 解得，且，所以. 56．（2026高三·全国·专题练习）为落实立德树人的根本任务，某校决定开展包括音乐课、舞蹈课、篮球课、围棋课等十余门兴趣课来丰富学生的校园生活．已知每门课每月上四节，第一个月每人任选一门进行学习，每上一节课可得1个绩点且表现优秀者额外得1个绩点，若本月获得不少于7个绩点，则此课程结业且下月选择其他的课程，否则继续上原来的课．若甲、乙两人在第一个月均选择了篮球课，且篮球课上甲每节课表现优秀的概率为，乙每节课表现优秀的概率为，每节课是否优秀互不影响，甲、乙两人之间也互不影响． (1)求甲同学在第一个月的绩点得分的分布列和数学期望； (2)求第一个月甲、乙两人均结业的概率； (3)为提升同学们的参与度，篮球课上老师策划了两个游戏项目，根据项目的难易度，选择项目的同学奖励1个徽章，选择项目的同学奖励2个徽章，假设每人只选择一个项目且选择项目的概率分别为，每个同学的选择相互独立．若某一时刻老师发放个徽章的概率为，且满足当时，，求及数列的最值． 【答案】(1)分布列见解析， (2) (3)答案见解析， 最大值为，最小值为． 【分析】（1）确定随机变量取值，由独立重复试验概率公式求得概率即可求解； （2）由独立重复试验概率公式求得相应概率，再由独立事件乘法公式求解即可； （3）由条件确定，构造等比数列，由累加法求得，进而可求解. 【详解】（1）设甲同学第一个月的绩点得分为， 则的可能取值为． ， ， ， ， ． 所以的分布列为 4 5 6 7 8 ， 即甲同学在第一个月绩点得分的数学期望为． （2）设乙同学第一个月的绩点得分为， 的可能取值为． ， ． 设甲同学第一个月可以结业为事件，乙同学第一个月可以结业为事件，则 ， ， 根据题意事件显然相互独立， 所以． （3）由题意，当，即发放1个徽章，只有一种情况，， 当，此时有两种情况： ①给两位同学分别发放1个徽章； ②给一位同学发放2个徽章，， 当时，， 则， 所以是首项为，公比为的等比数列． 故成立． 则有 ， 所以， 又， 所以． 当为偶数时，， 由于，易得随着的增大而减小， 所以当时取最大值，最大值为， 又当时，，此时无最小值； 当为奇数时，， 同理易得随着的增大而增大， 所以当时取最小值，最小值为， 又当时，，此时无最大值． 综上所述，数列的最大值为，最小值为． $【考点通关】2025-2026学年高二数学高频考点与解题策略(人教A版2019选择性必修第三册) 专题10 二项分布7种常见考法归类（56题） 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 考点一n重伯努利试验的判断 考点二n重伯努利试验的概率问题 考点三 二项分布及其应用 考点四 二项分布的均值与方差 考点五 建立二项分布模型解决实际问题 考点六 服从二项分布的随机变量概率最大问题 考点七 二项分布的综合应用 知识点1 n重伯努利试验及其特征 1．n重伯努利试验的概念 将一个伯努利试验独立地重复进行n次所组成的随机试验称为n重伯努利试验． 2．n重伯努利试验的共同特征 (1)同一个伯努利试验重复做n次． (2)各次试验的结果相互独立． (3)每次试验都只有两种结果，即事件要么发生，要么不发生，这两种结果是对立的 注：1、在相同条件下，有放回地抽样试验是n重伯努利试验. 2、相互独立的概念 (1)相互独立的定义 设A，B为两个事件，如果P(AB)＝P(A)·P(B)，则称事件A与事件B相互独立． (2)相互独立事件 事件A(或B)发生对事件B(或A)发生的概率没有影响，这样的两个事件叫做相互独立事件． 3、相互独立的性质 若事件A与B相互独立，则A与，与B，与也相互独立． 4、相互独立事件与互斥事件的区别 相互独立事件是指两个事件发生的概率互不影响，计算式为P(AB)＝P(A)P(B)，互斥事件是指在同一试验中，两个事件不会同时发生，计算公式为P(A∪B)＝P(A)＋P(B)． 4.利用相互独立事件求复杂事件概率的解题思路 (1)将待求复杂事件转化为几个彼此互斥简单事件的和． (2)将彼此互斥简单事件中的简单事件，转化为几个已知(易求)概率的相互独立事件的积事件． (3)代入概率的积公式求解． 3．重伯努利试验的概率公式 一般地，如果在一次试验中事件发生的概率是,事件在次试验中发生次，共有种情形，由试验的独立性知，每种情形下，在次试验中发生，而在其余次试验中不发生的概率都是,所以由概率加法公式知，在重伯努利试验中，事件恰好发生次的概率为( ) . 知识点2　二项分布 一般地，在n重伯努利试验中，设每次试验中事件A发生的概率为p(0<p<1)，用X表示事件A发生的次数，则X的分布列为 P(X＝k)＝Cpk(1－p)n－k，k＝0,1,2，…，n. 称随机变量X服从二项分布，记作X～B(n，p)． 注：1、：伯努利试验的次数 ： 事件发生的次数 ：每次试验中事件发生的概率 2、独立重复试验与二项分布问题的类型及解题策略 (1)在求n次独立重复试验中事件恰好发生k次的概率时，首先要确定好n和k的值，再准确利用公式求概率． (2)在根据独立重复试验求二项分布的有关问题时，关键是理清事件与事件之间的关系，确定二项分布的试验次数n和变量的概率，求得概率． 3．判断一个随机变量是否服从二项分布，关键有二：其一是独立性，即一次试验中，事件发生与不发生二者必居其一；其二是重复性，即试验是独立重复地进行了n次． 4．P(A·B)＝P(A)·P(B)只有在事件A，B相互独立时，公式才成立，此时P(B)＝P(B|A)． 知识点3　二项分布的均值与方差 若随机变量X服从参数为n，p的二项分布，即X～B(n，p)，则E(X)＝np，D(X)＝np(1－p) 注：(1)如果ξ ～B(n，p)，则用公式E(ξ)＝np，D(ξ)＝np(1－p)求解，可大大减少计算量． (2)有些随机变量虽不服从二项分布，但与之具有线性关系的另一随机变量服从二项分布，这时，可以综合应用E(aξ＋b)＝aE(ξ)＋b以及E(ξ)＝np求出E(aξ＋b)，同样还可求出D(aξ＋b)． 策略方法 一、n重伯努利试验的判断方法 1.核心特征 （1）重复性：在相同条件下，同一试验重复做次； （2）独立性：各次试验的结果相互独立，互不影响； （3）两结果性：每次试验只有发生、不发生两种对立结果； （4）等概率性：每次试验中事件发生的概率均为，保持不变。 2.判定步骤 （1）看是否为可重复试验，条件一致； （2）看试验结果是否只有两种对立情形； （3）看各次试验是否相互独立； （4）看事件发生概率是否保持不变。 3.常见模型 （1）有放回抽样、连续投篮、独立答题、重复掷硬币； （2）不放回抽样不属于n重伯努利试验（概率改变）。 二、n重伯努利试验的概率计算 1.核心公式 （1）事件恰好发生次的概率： 2.计算步骤 （1）判断试验为n重伯努利试验； （2）确定试验次数、单次概率、发生次数； （3）代入公式计算； （4）若为范围概率，将对应情况概率相加。 3.常用结论 （1）“至少次”：； （2）“至多次”：； （3）对立简化：。 三、二项分布的判定与应用 1.判定条件 （1）背景为n重伯努利试验； （2）随机变量表示事件发生的次数； （3）记作：，其中为试验次数，为单次概率。 2.分布列 （1），。 3.适用场景 （1）独立重复答题、投篮、抽样、检测、设备工作； （2）多次独立决策、选择、竞赛、系统可靠性。 四、二项分布的均值与方差 1.公式 （1）均值（期望）：； （2）方差：； （3）标准差：。 2.线性性质 （1）若，则； （2）。 3.快速计算 （1）已知，直接用求期望，求方差； （2）避免列分布列，大幅简化计算。 五、建立二项分布模型解决实际问题 1.建模步骤 （1）识别：问题是否为独立重复试验； （2）设定：设为“成功/合格/命中/通过”的次数； （3）确定：写出； （4）计算：用公式求概率、期望、方差； （5）作答：依据计算结果做决策、判断、解释。 2.典型问题 （1）产品抽样检验、合格数、次品数； （2）射击、投篮、答题、闯关的成功次数； （3）系统正常工作台数、设备故障数； （4）竞赛、赛制、选择、偏好人数。 六、二项分布概率最大项问题 1.求解思路 （1）设最大，列不等式组： （2）代入二项分布概率公式化简； （3）解出整数，即为概率最大时的取值。 2.简化结论 （1）若为整数，则和时概率最大； （2）若非整数，则（取整数部分）时概率最大。 七、二项分布的综合应用 1.与全概率、贝叶斯结合 （1）先由全概率求单次成功概率； （2）再判定，求分布、期望、方差。 2.与递推、马尔可夫链结合 （1）先由转移概率求单次概率； （2）再视为二项分布求解。 3.与实际决策结合 （1）计算期望收益、期望成本； （2）比较方案优劣，给出最优选择。 八、高频易错点 1.混淆“不放回”与“有放回”，不放回不属于二项分布； 2.看错与，试验次数与单次概率颠倒； 3.求概率最大项时漏列不等式组； 4.方差计算忘记乘； 5.综合题未先求就直接套二项分布； 6.范围概率多算、少算端点值。 考点一 重伯努利试验的判断 1．【多选】（2026高二·全国·课后作业）对于伯努利试验，以下说法其中正确的是（    ） A．每次试验之间是相互独立的 B．每次试验只有两个相互对立的结果 C．每次试验中事件A发生的概率相等 D．各次试验中，各个事件是互斥的 2．【多选】（2026高二·重庆·月考）现有装有若干黄球和若干白球的不透明盒子，下列说法正确的是（   ） A．从盒子中摸出一个球，记录黄球的个数，则服从两点分布． B．从盒子中不放回的依次取4个球，则这个试验是4重伯努利试验． C．利用样本估计总体中黄球的比例，采用不放回摸球估计的结果更可靠 D．用X表示有放回方式下摸出黄球的个数，已知，则 3．（2026高二·全国·课后作业）以下真命题共有______个． ①在n重伯努利试验中，各次试验的结果相互没有影响； ②在n重伯努利试验中，各次试验中某事件发生的概率可以不同； ③如果在1次试验中某事件发生的概率是p，那么在n次独立重复试验中这个事件恰好发生k次的概率． 4．（2026高二·江苏·课前预习）下列试验是否为n重伯努利试验： (1)袋中有质地、大小完全相同的6个红球和4个白球，每次从中任取1个球，记下颜色后放回，连续取球2次； (2)袋中有质地、大小完全相同的6个红球和4个白球，每次从中任取1个球，不放回，连续取球2次. 5．（2026高二·全国·课后作业）判断下列试验是不是n重伯努利试验： (1)依次投掷四枚质地不同的硬币，3次正面向上； (2)某人射击，击中目标的概率是稳定的，他连续射击了10次，其中6次击中； (3)口袋中装有5个白球，3个红球，2个黑球，依次从中抽取5个球，恰好抽出4个白球． 考点二 重伯努利试验的概率问题 6．（2026高二·山东临沂·期中）某试验成功概率为，独立重复做6次，则成功次数不超过2次的概率为（    ） A． B． C． D． 7．（2026高二·北京西城·期中）重复进行10次某试验，每次试验的成功率都为p（），则其中前4次都未成功后6次都成功的概率为（   ） A． B． C． D． 8．（2026·云南昆明·模拟预测）甲、乙两名五子棋爱好者进行一场比赛，采用7局4胜制（先胜4局者获胜，比赛结束），已知每局比赛甲获胜的概率为，则甲第一局获胜并最终以获胜的概率为（   ） A． B． C． D． 9．（2026·山东潍坊·模拟预测）投壶源于射礼，是中国古代宴饮时的一种投掷游戏及礼仪，参与者需在一定距离外将箭矢投入壶口或壶耳.在某投壶游戏中，选手甲投中壶口､壶耳的概率分别为，依落点计分如表格所示.若甲连续投掷3次，每次投掷互不影响，则甲的总得分不少于5分的概率为（    ） 投掷结果 壶口 壶耳 其它 计分 2 1 0 A． B． C． D． 10．（2026高二·黑龙江·期中）在某次国际围棋比赛中，甲、乙两人进入最后比赛．比赛采取五局三胜制，即先胜三局的一方获得比赛冠军，比赛结束．假设每局比赛甲胜乙的概率都为，没有和局，且各局比赛的胜负互不影响，则甲在比赛中以3:1获得冠军的概率为（    ） A． B． C． D． 11．（2026高二·重庆渝北·期中）在某次抽奖活动中，一个口袋里装有3个白球和2个黑球，所有球除颜色外无任何不同，每次从中摸出2个球，观察颜色后放回，若为同色，则中奖.则摸球三次仅中奖一次的概率为（    ） A． B． C． D． 12．（2026高二·辽宁朝阳·期末）如图是一块高尔顿板示意图：在一块木板上钉着若干排互相平行但相互错开的圆柱形小木块，小木块之间留有适当的空隙作为通道，小球从上方的通道口落下后，将与层层小木块碰撞，最后掉入下方的某一个球槽内．若小球下落过程中每次与小木块碰撞后，向左、向右落下的机会均等，则小球最终落入③号球槽和⑥号球槽的概率之和为（   ） A． B． C． D． 考点三 二项分布及其应用 13．（2026高二·全国·课后作业）设随机变量服从二项分布，则等于（   ） A． B． C． D． 14．（2026高二·重庆渝中·月考）已知随机变量X服从二项分布，则（   ） A． B． C． D． 15．（2026高二·安徽·月考）设，且，那么（   ） A． B． C． D． 16．（2026高二·全国·课堂例题）已知随机变量，则（    ） A． B． C． D． 17．（2026高二·天津·期中）若随机变量服从二项分布，且，则（   ） A．39 B．65 C．50 D．63 18．（2026·山西吕梁·模拟预测）如图所示，已知一质点在外力的作用下，从原点出发，每次向左移动的概率为，向右移动的概率为.若该质点每次移动一个单位长度，设经过5次移动后，该质点位于的位置，则（    ） A． B． C． D． 19．（2026高二·黑龙江绥化·期中）如图，一个质点在随机外力的作用下，从原点出发，每隔1秒等可能地向左或向右移动1个单位.设移动秒后质点所在位置对应的实数为随机变量，则（    ） A． B． C． D．2 20．（2026高二·四川绵阳·期末）某市政道路两旁需要进行绿化，计划从甲，乙，丙三种树木中选择一种进行栽种，通过民意调查显示，赞成栽种乙树木的概率为，若从该地市民中随机选取4人进行访谈，则至少有3人建议栽种乙树木的概率为（   ） A． B． C． D． 21．（2026高二·山东潍坊·期中）某人寿保险公司规定，投保人没活过岁时，保险公司要赔偿100万元.活过岁时，保险公司不赔偿，但要给投保人一次性支付5万元.已知购买此种保险的每个投保人能活过岁的概率都是，随机抽取3个投保人，设其中活过岁的人数为，保险公司要赔偿给这三个人的总金额为万元.则（    ） A． B． C． D． 考点四 二项分布的均值与方差 22．（湖北武汉市2026届高三年级五月供题数学试题）已知，则（    ） A．1000 B．1150 C．1300 D．1350 23．（2026高二·新疆·期中）若随机变量满足，且，则（    ） A． B． C． D． 24．（2026·重庆渝中·模拟预测）小明高考结束后出去游玩，帽子和墨镜每天至少戴一件，他每天戴帽子的概率为，戴墨镜的概率为，各天穿戴的情况独立，表示他在20天的游玩时间中只戴帽子的天数，则其期望（   ） A．4天 B．8天 C．10天 D．16天 25．（2026高二·河南驻马店·月考）已知集合含有个元素，其中，先后两次随机､独立地选取集合的两个子集，记为与.设为集合中元素的个数，则为（    ） A． B． C． D． 26．（2026高二·安徽·期中）射击中每次击中目标得2分，未击中目标得0分，已知某运动员每次射击击中目标的概率是0.7，假设每次射击击中目标与否互不影响，则他射击3次的得分的数学期望是（    ）. A．0.63 B．1.4 C．2.1 D．4.2 27．（2026高二·河北衡水·期中）某人工智能模型进行指令识别训练，每次识别成功的概率为，失败的概率为，各次识别相互独立.现对该模型进行5次独立测试，设识别成功的次数为随机变量. (1)求在第二次识别成功的条件下，5次中恰有3次识别成功的概率； (2)求的分布列与数学期望. 28．（2026高二·山西长治·期中）某厂甲、乙两条生产线同时生产某种零件，该厂规定这种零件的内径不小于100mm且不大于120mm为优等品.已知甲生产线生产的这种零件的内径X服从正态分布，乙生产线生产的这种零件的内径Y服从正态分布，且满足，.现将甲、乙两条生产线生产的这种零件的数量按3∶2的比例混合在一起. (1)从这批混合零件中随机抽取一件，求该零件是优等品的概率； (2)从这批混合零件中随机抽取4件，记这4个零件中优等品的个数为，求的分布列和数学期望. 29．（2026高二·河北承德·月考）某高中为提升学生的数学建模素养，举办了数学建模比赛，现从参赛学生中随机抽取20名，其成绩（满分10分）如下： 8.1，8.4，7.9，8.6，9.1，7.8，8.8，8.4，7.7，8.6 9.0，9.2，8.1，7.8，8.9，8.2，9.1，8.6，7.9，8.0 规定：成绩不低于8.0分的学生，称为“数学建模优秀生”． (1)从这20名学生中随机选3人，求这3人中至少有1人是“数学建模优秀生”的概率； (2)以这20名学生的样本数据来估计该校全体参加数学建模比赛学生的总体数据，若从该校参赛学生中任选4人，记为抽到的“数学建模优秀生”的人数，求的分布列、数学期望及方差． 30．（2026高三·云南昭通·期中）为了普及足球知识，某市开展了“滇超知识竞赛”活动.现从参加该竞赛的学生中随机抽取了80名，统计了他们的成绩（满分100分），并绘制成如图所示的频率分布直方图. (1)求这组数据的平均值（同一组中的数据用该组区间的中间值为代表）； (2)当成绩不低于80分的学生被评为“滇超达人”，以频率估计概率，从本市参加该竞赛的学生中随机抽取3人，随机变量X表示抽取学生为“滇超达人”的人数，求X的分布列及数学期望； (3)某市参与竞赛的学生中，甲校学生占25%，乙校学生占35%，丙校学生占40%，三校学生在活动中“滇超达人”所占比例为2:3:5.从参与该竞赛的学生中随机抽取一人，求这名学生是“滇超达人”的概率. 31．（2026·上海黄浦·模拟预测）小明每天上学出发时会选择是否骑共享单车．根据平台统计和他的使用习惯：若出发时不下雨，他选择骑共享单车的概率为0.8；若出发时下雨，他选择骑共享单车的概率为0.4．假设本周小明每天上学出发时下雨的概率均为0.25，且出发地共享单车供应充足． (1)求本周某天小明上学出发时选择骑共享单车去学校的概率； (2)已知本周某天小明选择了骑共享单车去学校，求该天小明出发时不下雨的概率； (3)设小明在本周的前三天中选择骑共享单车去学校的天数为X，且这三天中每天的骑行选择相互独立，求随机变量X的分布，并计算其数学期望和方差． 32．（2026高二·贵州遵义·月考）某校在一次数学活动期间为提升学生们的数学素养，举办了一场“数学文化素养知识大赛”，已知共有1000名学生参加了比赛，现从参加比赛的全体学生中随机抽取100人的成绩作为样本，得到如下频率分布直方图： (1)若规定成绩较高的前的学生获奖，请求出a的值并估计获奖学生的最低分数线； (2)活动期间学校开放号门、号门和号门供学生出入，学生从号门、号门和号门进入学校的概率分别为，，，若学生从某个门进入学校，则其从该门出学校的概率为，从其他两个门出学校的概率各为．假设学生从号门、号门、号门出入学校互不影响，现有甲乙丙丁名学生参加活动，设X为人中从号门出学校的人数，求X的期望及方差． 33．（2026高三·上海·月考）从某校学生中随机抽出100名学生参加搏击操比赛，根据比赛成绩得到如图所示的频率分布直方图，数据的分组依次为[40,50)、[50,60)、[60,70)、[70,80)、[80,90)、[90,100]．若成绩在前的学生可获得“优秀拳击手”称号． (1)成绩至少要达到多少分才可以被评为“优秀拳击手”？ (2)从该校学生中随机抽取5人，设其中“优秀拳击手”的人数为，用频率估计概率，求的期望和方差； (3)经过调查发现，该校高三学生中“优秀拳击手”的比例达到了，已知三个年级人数相同，现从该校的“优秀拳击手”中随机选一名学生，求这名学生来自高三的概率． 考点五 建立二项分布模型解决实际问题 34．（2026高二·重庆渝北·期中）某商家为了推销新生产的玩具，举行抽奖活动.玩具有外观和内饰的颜色区别，现有25个不同的玩具，其外观和内饰的颜色分布如下表所示： 内饰外观 红色内饰 蓝色内饰 黄色外观 10 2 绿色外观 10 3 (1)若小华从这些玩具中随机拿一个玩具，记事件为小华取到黄色外观的玩具，事件为小华取到红色内饰的玩具，求，和； (2)该商家规定在一次抽奖中，每人可以从这些玩具中随机一次性拿两个玩具，现有两种抽奖方案： 方案一：每人参加一次抽奖活动.若拿到的两个玩具外观和内饰都异色，则获得一等奖800元；若拿到的两个玩具外观和内饰均为同色，则获得二等奖500元；若拿到的两个玩具仅外观或内饰同色，则获得三等奖300元. 方案二：每人参加三次抽奖活动.每次抽奖若拿到的两款玩具外观和内饰均为同色，获得奖金500元，否则没有奖金. 设方案一中每人获得奖金金额为X元，方案二中每人获得奖金金额为Y元.请写出X的分布列及求出X，Y的期望，并通过期望比较哪种方案获奖金额更高. 35．（2026·江西·模拟预测）某科技企业研发的新一代人形机器人在量产前进行性能测试，其中行走稳定性是核心指标，测试分为平地行走和斜坡行走两个项目，规定：两个项目均达标，则机器人性能合格；否则机器人性能不合格.已知该型号机器人平地行走达标的概率为，斜坡行走达标的概率为，且两个项目是否达标相互独立. (1)随机抽取1台该机器人进行测试，求这台机器人性能合格的概率； (2)随机抽取3台该机器人进行独立测试，设表示这3台机器人中性能合格的台数，求随机变量的分布列和数学期望； (3)该企业对机器人进行技术升级后，重新测试，升级后每台机器人性能合格的概率提升至，若随机抽取4台机器人测试，至少有1台性能合格的概率不低于，求实数的取值范围. 36．（2026·安徽安庆·模拟预测）在一次元宵节三角函数公式竞答决赛活动中，甲、乙两人角逐冠军.规则如下：①共5次竞答机会，每次竞答两人均从A，B两个箱子中选择一个公式回答，答完放回；②甲答对A、B箱中一个公式的概率分别为，；乙答对A、B箱中一个公式的概率均为；③每答对A箱中一个公式得20分，每答对B箱中一个公式得30分；④5次竞答后总得分最高者获得冠军. (1)规定甲前两次都从A箱中选择，后三次都从B箱中选择，五次竞答完成后，求甲总分得分至少110分的概率. (2)若前两次甲、乙均从B箱中选择公式，两次竞答后甲得总分60分，乙得总分30分.后三次竞答在即，深思熟虑后甲决定后三次都在A箱子中选择公式竞答，乙决定后三次仍然都在B箱子中选择公式竞答，请问最终冠军最有可能是谁? 37．（2026·安徽滁州·模拟预测）某校数学社团设计了一款游戏，满足如下规则：一质点在数轴上从原点开始随机向左或向右移动，每步移动一个单位长度．若每步质点向右移动的概率为，向左移动的概率为．经过5步移动后，质点的位置坐标记为随机变量． (1)当时，若质点只在非负半轴上移动，求在此条件下的值； (2)该数学社团用计算机进行了100次独立实验，记录最终位置的频数分布如下： 1 3 5 频数 9 16 23 27 14 11 ①求的平均数； ②用该样本的平均数估计随机变量的均值，求的值（保留两位小数）． 38．（2026·辽宁鞍山·模拟预测）在某次军事演习中，红军参谋部进行战前推演：蓝军拥有两个相同结构的军事基地，每个基地有个重要节点：红军拥有某种型号导弹，对上述每个重要节点单枚命中即可摧毁，且单枚突破防御并命中的概率为．红军的演习任务是发射枚该型号导弹对蓝军军事基地实施打击，完成对蓝军至少一个军事基地的彻底摧毁（即摧毁该基地内的全部重要节点）即为获胜． 现有两种打击方案： 方案一：选择某一军事基地内的个重要节点进行打击，对每个重要节点发射两枚导弹； 方案二：对两个军事基地的各个重要节点进行打击，对每个重要节点发射一枚导弹． 视各枚导弹突破防御并命中目标相互独立，请你帮助红军参谋部进行推演计算： (1)分别求出两种方案中，最终摧毁的重要节点数的期望，并比较期望大小； (2)比较两种方案下红军获胜的概率，判断哪种方案更优． 考点六 服从二项分布的随机变量概率最大问题 39．（2026高三·北京·一轮复习）若，则取得最大值时，_____． 40．（2026高二·山东泰安·期末）若随机变量，则当取最大值时，正整数k的值是________. 41．（2026·湖南邵阳·模拟预测）若随机变量，则当取得最大值时，正整数的值是________． 42．（2026高三·全国·专题练习）甲、乙两人进行象棋比赛（没有平局），采用“五局三胜”制．已知在每局比赛中，甲获胜的概率为，．设甲以获胜的概率为，则的最大值为______． 43．（2026高一·上海·期末）某公司招聘员工分笔试和面试两个环节，应聘者需从笔试备选题和面试备选题中分别随机抽取各10道题，并独立完成所抽取的20道题，每道题答对得10分，答错不得分．甲答对笔试每道题的概率为，答对面试每道题的概率为．假设每道题都是相互独立的，则甲得________分的概率最大． 44．（2026高二·江苏南京·期中）抛掷一枚质地均匀的骰子，观察骰子朝上面的点数，并制定如下规则：当点数为2，3，4，5时得1分，当点数为1，6时得3分.多次抛掷这枚骰子，将每次得分相加的结果作为最终得分.若抛掷2次骰子，最终得分为，则随机变量X的期望是__________；若抛掷2024次骰子，记得分恰为分的概率为，则当取最大值时的值为__________. 45．（2026·云南曲靖·模拟预测）如图，一个质点在外力的作用下，从原点0出发，每隔1s向左或向右移动一个单位，且向右移动的概率为．若该质点共移动100次，则它位于数字______处的可能性最大． 46．（2026高二·江苏南京·期中）某学校在假期组织30位学生前往北京、上海、广州、深圳、杭州、苏州、成都、重庆8个城市参加研学活动．每个学生可自由选择8个城市中的任意1个（不要求每个城市必须要有学生选择）．若每位学生选择去每个城市的概率都相等且互不影响，则有________个学生选择前往北京或上海研学的概率最大． 47．（2026高二·内蒙古通辽·期末）抛掷一枚质地均匀的骰子，观察骰子朝上面的点数，并制定如下规则：当点数为时得1分，当点数为1，6时得3分.多次抛掷这枚骰子，将每次得分相加的结果作为最终得分.若抛掷2次骰子，最终得分为，则随机变量的期望是__________；若抛掷50次骰子，记得分恰为分的概率为，则当取最大值时的值为__________. 48．（2026高二·河南南阳·期末）某人在次射击中击中目标的次数为，且，已知，则当取最大值时，________． 49．（2026高二·广西柳州·期中）2025年1月下旬，DeepSeek的R1模型发布，该模型在全球范围内引发广泛关注.现为了对其产品用户的使用行为进行统计分析，收集了1000名用户的每日使用时长（单位：分钟），得到如下所示的频率分布直方图，每日使用时长不小于60分钟的用户称为“忠实粉丝”. (1)求的值； (2)现采用分层抽样的方法从样本中使用时长在的用户中随机抽取7人，并从中随机抽取2人作进一步分析，记为2人中忠实粉丝的人数，求的分布列和期望. (3)用样本的频率估计概率，从该产品所有用户中抽取5人，为忠实粉丝的人数，记时对应的概率为，则为多少时最大？ 50．（2026·广东揭阳·模拟预测）某商城为了回馈广大顾客，设计了一个抽奖活动，在抽奖箱中放8个大小相同的小球，其中4个为红色，4个为白色.抽奖方式为：每名顾客进行两次抽奖，每次抽奖从抽奖箱中一次性摸出两个小球，规定第一次抽奖后不将球放回抽奖箱，直接进行第二次抽奖，如果每次抽奖摸出的两个小球颜色相同即为中奖，两个小球颜色不同即为不中奖. (1)求中奖次数X的分布列和数学期望； (2)求第二次中奖的概率； (3)已知有位顾客进行抽奖，则其中中奖2次的人数为多少的概率最大？ 51．（2026高三·山西·月考）甲､乙两位同学进行纸飞机比赛，设各局比赛的结果相互独立，且每局比赛甲获胜的概率为，乙获胜的概率为.比赛规则如下：三局两胜制指有一方获胜两局，比赛结束；四局三胜制指有一方获胜三局，比赛结束. (1)若，比赛采用三局两胜制，求甲获胜的概率； (2)若，甲、乙进行了局比赛，表示甲获胜的局数，当且仅当时，取得最大值，其中，求满足条件的的值. 52．（2026高三·江苏扬州·月考）某零部件代加工基地为某科技公司生产了一批精密零件，其质量指标（单位：μm）服从正态分布，已知当时，．规定质量指标在内的零件为优质品，且每个零件的检测结果相互独立． (1)现从该批零件中随机抽取2个，求这2个零件中恰好有1个为优质品的概率； (2)从该批零件中随机抽取6个进行检测，记这6个零件中有个优质品的概率最大，当这6个零件中恰好有个优质品时把这6个零件视为一个样本，从这6个零件中不放回地任取3个进行二次检测，记取出的3个零件中优质品的个数为，求的分布列与期望； 考点七 二项分布的综合应用 53．（2026高二·福建福州·期中）某湿地公园有两条散步路线，分别记为路线和路线．湿地附近的居民经常来此散步，经过一段时间的统计发现，前一天选择路线的居民第二天选择路线和路线的概率均为；前一天选择路线的居民第二天选择路线和路线的概率分别为和．已知居民第一天选择路线的概率为，选择路线的概率为． (1)若有4位居民连续两天去湿地散步，记其中第二天选择路线散步的人数为，求的分布列和数学期望； (2)若某居民每天都去湿地散步，记他第天选择路线的概率为． （i）证明：数列是等比数列； （ii）设，证明：． 54．（2026高三·青海西宁·月考）城市生态公园有两条散步路线，分别记为路线和路线.公园附近的居民经常来此散步，经过一段时间的统计发现，前一天选择路线的居民第二天选择路线和路线的概率均为；前一天选择路线的居民第二天选择路线和路线的概率分别为和.已知居民第一天选择路线的概率为，选择路线的概率为. (1)若有4位居民连续两天去公园散步，记第二天选择路线散步的人数为，求的分布列及期望； (2)若某居民每天都去公园散步，记第天选择路线的概率为. （i）请写出与的递推关系，并求出； （ii）设，记数列的前项和为，求证：. 55．（2026高二·江苏泰州·月考）某学校食堂每天都会提供A，B两种套餐供学生选择（学生只能选择其中的一种），经过统计分析发现:学生第一天选择A套餐的概率为，选择套餐的概率为.而前一天选择了套餐的学生第二天选择套餐的概率为，选择套餐的概率为;前一天选择套餐的学生第二天选择套餐的概率为，选择套餐的概率也是，如此往复.记同学甲第天选择套餐的概率为. (1)求同学甲第二天选择套餐的概率; (2)证明:数列为等比数列; (3)从该校所有学生中随机抽取100名学生统计第二天选择套餐的人数，用表示这100名学生中恰有名学生选择套餐的概率，求取最大值时对应的的值. 56．（2026高三·全国·专题练习）为落实立德树人的根本任务，某校决定开展包括音乐课、舞蹈课、篮球课、围棋课等十余门兴趣课来丰富学生的校园生活．已知每门课每月上四节，第一个月每人任选一门进行学习，每上一节课可得1个绩点且表现优秀者额外得1个绩点，若本月获得不少于7个绩点，则此课程结业且下月选择其他的课程，否则继续上原来的课．若甲、乙两人在第一个月均选择了篮球课，且篮球课上甲每节课表现优秀的概率为，乙每节课表现优秀的概率为，每节课是否优秀互不影响，甲、乙两人之间也互不影响． (1)求甲同学在第一个月的绩点得分的分布列和数学期望； (2)求第一个月甲、乙两人均结业的概率； (3)为提升同学们的参与度，篮球课上老师策划了两个游戏项目，根据项目的难易度，选择项目的同学奖励1个徽章，选择项目的同学奖励2个徽章，假设每人只选择一个项目且选择项目的概率分别为，每个同学的选择相互独立．若某一时刻老师发放个徽章的概率为，且满足当时，，求及数列的最值． $