专题08： 四边形（4大图形+16大题型） 2025-2026学年八年级下学期数学期末考试专题复习（苏科版）

2025-2026学年八年级下学期 数学期末专题复习 专题:03： 四边形（4大图形+16大题型） 模块1：思维导图+题型预览 模块2：课本复盘+考点默写 考点1：平行四边形的定义、性质、判定 1．平行四边形的定义：两组对边分别 的四边形叫做平行四边形. 表示方法：□ABCD 2．平行四边形的性质: （1）边：两组对边分别 且 ． （2）角：对角 ，邻角 ． （3）对角线：互相 ． （4）对称性： 对称图形但不一定是 对称图形． 3、平行四边形的判定方法 判定方法 文字语言 图形语言 符号语言 方法1 两组对边分别 的四边形是平行四边形 ∵AD//BC,AB//CD ∴四边形ABCD是平行四边形 方法2 两组对边分别 的四边形是平行四边形. ∵AD=BC,AB=CD ∴四边形ABCD是平行四边形 方法3 有一组对边 且 的四边形是平行四边形. ∵AD//BC,AD=BC ∴四边形ABCD是平行四边形 方法4 对角线互相平分的四边形是平行四边形. ∵OA=OC,OB=OD ∴四边形ABCD是平行四边形 考点2：矩形的定义、性质、判定 1． 矩形的定义：有一个角是 的 叫做矩形。 2． 矩形的性质： （1） 边：对边 且 ；邻边 ； （2） 角：四个角都是 ； （3） 对角线：对角线 且 ； （4） 整体： 图形、 图形； 3．矩形的判定方法： 方法1：有一个角是 的 ； 方法2：有 个角是 ；方法3：对角线 的 ． 考点3：菱形的定义、性质、判定 1.菱形的定义：有一组 的 叫做菱形。 2.菱形的性质： （1）边：对边 ，四边 ； （2）角：对角 ，邻角 ； （3）对角线：对角线 ； （4）整体： 对称图形， 对称图形； （5）面积=底×高= ． 3.菱形的判定方法： 判定方法 文字语言 图形语言 符号语言 方法1 有一组邻边 的平行四边形 ∵四边形ABCD是平行四边形,AB=BC ∴四边形ABCD是菱形 方法2 四条边都 的四边形 ∵AB=BC=CD=DA ∴四边形ABCD是菱形 方法3 对角线 的 ∵AC//BD,AO=CO,BO=DO ∴四边形ABCD是菱形 考点4：正方形的定义、性质、判定 1.正方形的定义：四个角是 ， 叫做正方形。 2.正方形的性质： （1）边：四边 ，邻边 ； （2）角：四个 ； （3）对角线：对角线 ； （4）整体： 对称图形， 对称图形。 3．正方形的判定： 判定方法 文字语言 图形语言 符号语言 方法1 四个角是 ，四边 的四边形是正方形 ∵四边形ABCD是平行四边形, ∠A=90°,AB=BC ∴四边形ABCD是正方形 方法2 一组 相等的 是正方形 ∵四边形ABCD是矩形,AB=BC ∴四边形ABCD是正方形 方法3 一个角是 的 是正方形 ∵四边形ABCD是菱形,∠A=90° ∴四边形ABCD是正方形 考点5：三角形的中位线 1.定义：连接三角形两边 的 叫做三角形的中位线。（一个三角形共三条中位线） 2.性质定理: 三角形的中位线平行于 ，并且等于第三边的 。 3.符号语言： 考点6：梯形 1.梯形：一组 对 边 ,另 一 组 对 边 的 四 边 形 叫 作 梯 形； 2.等腰梯形： 的梯形叫作等腰梯形； 3.直角梯形： 的梯形叫作直角梯形。 考点7：中点四边形的重要结论 原图形 中点四边形 图形 任意四边形 对角线相等的四边形 对角线垂直的四边形 对角线互相垂直且相等的四边形 模块3：重点题型+变式训练 【题型1】根据平行四边形的性质求角度 【例题】1．如图，在中，的平分线交边于点．已知，则的度数为__________． 【变式训练】 1．如图的对角线相交于点交于，连接，则的度数为_________________． 2．在中，，则的度数为______． 3．在中，如果，那么______． 4．如图，小明用四根木条钉成一个木框，推动得到．现测得，，那么的度数为___________． 【题型2】根据平行四边形的性质证明线段相等 【例题】2．如图，已知在中，的平分线交于点，连接． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 【变式训练】 1．如图，在平行四边形中，过对角线的交点O分别与交于E，F，，，． (1)求证：； (2)求四边形的周长． 2．如图，四边形为平行四边形，的角平分线交于点F，交的延长线于点E，求证：． 3．如图，在平行四边形中，点，在对角线上，且，求证：． 4．如图，在中，是对角线，，，垂足分别为点E、F，连结，交于点O． (1)求证：． (2)若，，求的长． 【题型3】根据平行四边形的性质证明角相等 【例题】3. 如图，在平行四边形中，点、分别在、延长线上，且．求证：． 【变式训练】 1．如图，在中，点、是对角线上的两点，且，连接、，求证：. 2．如图，的两条对角线、相交于点，点、分别是、上的中点．连接、．求证：． 3．如图，在中，点在边上，且，点在上，且． (1)求证：． (2)求证：． 4．如图，将 绕点A 顺时针方向旋转一定角度得到 使得点 B 的对应点E 恰好落在边上，点 F，G分别为点C，D 的对应点，与的交点为H． (1)求证： 平分 ． (2)若 求 的度数． 【题型4】添加条件判定平行四边形 【例题】4．如图，在四边形中，对角线交于点O，，要使四边形为平行四边形，则需添加一个条件，这个条件可以是（   ） A． B． C． D． 【变式训练】 1．如图，在四边形中，，若添加一个条件，使得四边形为平行四边形，这个条件可以是______． 2．如图，在平行四边形中，点E，F是对角线上两个不同点．连接，，，，添加一个条件使得四边形是平行四边形． (1)请在以下选项中选择所有符合条件的选项，将其序号填写在下方横线上． ①，，E、F为垂足；②；③． 符合条件的选项有： ． (2)选择其中一个条件，写出证明过程：我选择 ， 证明过程如下： 3．如图，的对角线与相交于点O，点E，F分别在和上．请你添加一个条件，使四边形是平行四边形，并说明理由． (1)添加的一个条件是：______； (2)说明理由． 4．如图，是四边形的对角线，点为的中点，．从①，②，③等三个选项中选择一个作为添加条件，使四边形为平行四边形，并说明理由． 【题型5】平行四边形的判定 【例题】5．如图，在四边形中，，．若平分交于点E，，求证：四边形是平行四边形． 【变式训练】 1．如图，在四边形中，，，，垂足分别为，，若．求证：四边形为平行四边形． 2．如图，在四边形中，，对角线，相交于点O，E为上一点，连接并延长交于点F，且．求证： (1)； (2)四边形为平行四边形． 3．如图，在中，D是的中点，E是的中点，过点A作的平行线交的延长线于点F，连接； (1)求证：四边形是平行四边形； (2)请写出四个图中的三角形，并且每个三角形的面积都等于面积的一半． 4．已知和均为等边三角形，F、D分别在、上，，，连接、． (1)求的度数； (2)求证：四边形为平行四边形． 【题型6】平行四边形的性质与判定综合问题 【例题】6．如图，在四边形中，点E、F在上，且，，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，，，求的长． 【变式训练】 1．如图：已知在中，，为上任意一点，交于，交于，求证：.    2．四边形中，，，O为对角线的中点，过O点作直线，交的延长线于点E，交的延长线于点F． (1)求证：四边形是平行四边形． (2)如果四边形与四边形的周长分别是16与10，求的周长． 3．在中，是的中线，为的中点，过点作与的延长线相交于点，连接． (1)如图1，求证：四边形是平行四边形； (2)如图2，若，请直接写出图中所有的等腰三角形，不需要证明． 4．已知：如图，点为内一点，、的面积分别记为、，的面积记为，试探究与之间的关系． 【题型7】利用矩形的性质解决角度问题 【例题】7．如图，莹莹将一个直角三角尺与矩形纸片按如图所示放置，与交于点，，，莹莹通过测量发现恰好平分，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【变式训练】 1．如图，在矩形中，对角线、交于点O．延长至点E，，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 2．如图，矩形的对角线和相交于点，平分交于点，如果，那么的度数为（   ） A． B． C． D． 3．如图，在矩形中，对角线，相交于点，于点，，则的大小是（    ） A． B． C． D． 4．如图，在矩形中，对角线与相交于点，于点．求的度数． 【题型8】利用矩形的性质解决线段长问题 【例题】8．如图，在矩形中，对角线、相交于点O，比的周长大2，矩形的周长为28，则的长为（    ） A．6 B．8 C．13 D．15 【变式训练】 1．如图，在矩形中，点E在边上，，连接，若，，则的长为（   ） A． B．10 C． D． 2．如图，在矩形中，，，P是上不与点A和点D重合的一个动点，过点P分别作和的垂线，垂足分别为E，F，则的值为（    ） A． B．3 C． D． 3．如图，在矩形中，，垂直平分于点E，则的长为（   ） A． B． C．4 D．2 4．如图，在矩形中，，，为边上一点，点为的中点，连接并延长，交于点N，若平分．求证： (1)； (2)求的长． 【题型9】利用矩形性质证明 【例题】9．如图，在矩形中，E是的中点，连接，． (1)求证：． (2)若，，求的周长． 【变式训练】 1．如图，四边形是矩形，点在的延长线上，．求证：是等腰三角形． 2．如图，矩形中，E是边上的一点，连接，且． (1)求证：平分； (2)若，求边的长． 3．如图，点E，F分别在矩形的边，上，，．求证：． 4．在矩形中，点是上的一个动点（点不与端点重合），点为的中点，连接． (1)如图1．求证：； (2)如图2，连接，若，直接写出所有等于的一半的角． 【题型10】矩形的折叠问题 【例题】10．矩形柔性材料可任意折叠，如图，将矩形纸片沿直线折叠，使点C落在边的中点处，点B落在点处，其中，，则的长为（   ） A． B．4 C． D．5 【变式训练】 1．如图，将矩形的边折叠，使点D落在边上的点F处，折痕为．若，，则的长为（   ） A．4 B．3 C． D． 2．如图，在矩形中，，，点，分别在边，上，沿着折叠矩形，使点，分别落在，处，且点在线段上（可与点，重合），过点作于点，连接．当与重合时，________；若四边形为正方形，则________． 3．如图，把矩形纸片折叠，使点B恰好落在边上，折痕为，且，． (1)求的长； (2)求折痕的长． 4．在矩形纸片中，． (1)如图①，将矩形纸片沿折叠，使点落在点处，连接，和相交于点，求的长； (2)图①中的四边形是怎样的四边形？请说明理由； (3)如图②将矩形纸片折叠，使与重合，求折痕的长． 【题型11】矩形的判定问题 【例题】11．如图，点在的边上，，请从这三个选项①；②；③中，选择一个合适的选项作为已知条件，使为矩形． (1)你添加的条件是_______（填序号）； (2)添加条件后，证明为矩形． 【变式训练】 1．如图，在平行四边形中，点是边上的一个动点，点是边的中点，的延长线与的延长线交于点，连接． (1)求证：四边形是平行四边形 (2)若，   ①当的值是 时，四边形是矩形（直接写出答案）；   ②当的值是 时，四边形是菱形，并说明理由． 2．在四边形中，于点，点为中点，连接．有如下条件：①；②连接，． (1)从①②中任选一个作为已知条件，求证：四边形为矩形； (2)连接，若，求的长． 3．如图，正方形的边长为8，点E为边上一点，若于点F，于点G． (1)求证：四边形是矩形； (2)求的长． 4．如图，在中，是的中点，，． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，求的长． 【题型12】利用菱形的性质解决问题 【例题】12．如图，是菱形的对角线，作的垂直平分线分别交、于点E、F，连接、，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【变式训练】 1．如图，在菱形中，对角线与交于点O，点E在边上，连接交于点F．若，平分，则的度数为（    ） A． B． C． D． 2．如图，菱形的对角线和相交于点O，，垂足为E，若菱形的周长为20，，则的长为_________． 3．如图，菱形的对角线、相交于点，过点作且，连接交于点，连接、．已知，，则菱形的面积______；______． 4．如图，在中，，点是边的中点．，． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求菱形的面积． 【题型13】菱形的判定问题 【例题】13．在中，已知对角线与交于点，若增加下列一个条件，不能判定一定为菱形的是（    ） A． B． C． D． 【变式训练】 1．如图， 在四边形中， 对角线， 相交于点， 过点作交于点．已知，若再添加一个条件可使四边形是菱形，则这个条件可以是__________． 2．如图，在中，点E，F在对角线上，，连接，，，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)请添加一个与线段有关的条件，使四边形是菱形．（不需要说明理由．） 3．已知：如图，四边形为平行四边形，为的一条对角线． (1)（多选题）若添加一个条件，使得为菱形，这个条件可以是（   ） A．        B． C．为的角平分线    D． (2)用尺规作图，作线段的垂直平分线，分别交、、于点、、，连接、，求证：四边形为菱形． 4．如图，在中，，垂足为点E． (1)过点A作，垂足为点F．（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） (2)若，求证：四边形是菱形． 【题型14】正方形的折叠问题 【例题】14．如图，已知在正方形中，是上一点，将正方形的边沿折叠到，延长交于点，连接．现有如下4个结论：①；②与一定不相等；③；④的周长是一个定值．其中正确的个数为（    ）． A． B． C． D． 【变式训练】 1．如图，四边形是边长为18的正方形纸片，为边上的点，．将纸片沿某条直线折叠，使点B落在点处，点A的对应点为，折痕分别与边交于点M、N，则的长是（   ） A．4 B．4.25 C．5 D．5.5 2．如图，正方形纸片中，E是上一点，将纸片沿过点E的直线折叠，使点A落在上的点G处，点B落在点H处，折痕交于点F．若，则（   ） A．4 B． C． D． 3．如图，已知正方形，，为的中点，连接，把沿折叠得到，连结交于点． (1)求证：； (2)求，的长． 4．【折一折】将边长为2的正方形纸片折叠，使边，都落在对角线上，展开得折痕，，连接，如图1． (1) ；点A到的距离是 ． 【转一转】 (2)将图1中的绕点A旋转，使它的两边分别交边，于点P，Q（即），连接，如图2，点A到的距离是否发生变化？说明理由； 【探一探】 (3)连接正方形对角线，若图2中的的边，分别交对角线于点M，N，如图3，当点Q是边的三等分点时，求的长． 【题型15】应用三角形的中位线解决问题 【例题】15．将直角三角形纸片按如图方式折叠两次再展开，若，则MN的长为（   ） A．1 B．2 C．4 D．6 【变式训练】 1．如图中，点是边的中点，点在内，平分，，点在上，．若，求的长为___________． 2．如图，连接四边形各边中点得到的四边形，在不添加任何辅助线的情况下，请添加一个条件________，使四边形是矩形． 3．阅读下面材料，完成相应的任务． 类比三角形中位线，我们把连接四边形对边中点的线段叫做四边形的中位线． 如图1，在四边形中，点，分别是，的中点，则就是四边形的中位线．求四边形中位线的长度，可以通过找对角线中点，将其转化为三角形中位线解决． 例：如图2，在四边形中，点，分别是，的中点．若，，，，求的长． 解：取的中点，连接，． 因为点、分别是，的中点， 所以，，，．（依据） …… 任务： (1)将材料中的解题过程补充完整． (2)如图3，在四边形中，点，分别是，的中点，，，，延长，交于点，延长交于点．求证：． (3)对角线互相垂直的四边形叫垂美四边形．已知四边形是垂美四边形，、、、分别为边、、、的中点，连接，，，，若，，则与的关系是______，______． 4．探究三角形与梯形中位线的性质及应用，并完成以下问题 知识回顾： (1)本学期我们研究了三角形的中位线的性质．如图1，中，是△的中位线，连接．则与的关系为：___（用符号语言表达）． 方法迁移： (2)连接梯形两腰的中点，得到的线段叫做梯形的中位线．如图2，已知梯形中，，点，分别为，的中点，就是梯形的中位线．请猜想线段，，之间的关系，并说明理由． 理解内化： (3)已知梯形的中位线长为，高为，则梯形面积是___． 拓展： (4)如图3，分别以的边、为一边，在外作正方形和，点是的中点，求证：点到的距离是的一半． 【题型16】中点四边形问题 【例题】16．新定义问题：四边形四条边上的中点分别为，，，，顺次连接，，，，得到的四边形叫中点四边形，连接对角线与． (1)求证：四边形的中点四边形是平行四边形； (2)当与满足什么条件时，四边形是矩形？并证明． (3)矩形的中点四边形是___________，菱形的中点四边形是___________，正方形的中点四边形是___________． 【变式训练】 1．如图，已知四边形中，、、、分别是四条边、、、的中点，、是对角线，连接、、、． (1)证明：四边形为平行四边形； (2)若______，则四边形是菱形请从；这两个选项中选择一个作为条件，使结论成立．（填序号） 2．解答：在横线上填上合适的条件，并说明你所填条件的合理性． (1)如图所示，E、F、G、H分别是四边形各边中点，连接，则四边形为________形． (2)当四边形满足________条件时，四边形是菱形． (3)当四边形满足________条件时，四边形是矩形． (4)当四边形满足________条件时，四边形是正方形． 3．如图所示，分别是四边形各边中点，连接，则四边形为________形．在横线上填上合适的条件，并说明你所填条件的合理性． （1）当四边形满足________条件时，四边形是菱形． （2）当四边形满足________条件时，四边形是矩形． （3）当四边形满足________条件时，四边形是正方形． 4．综合与探究 定义：对于一个四边形，我们把依次连接它的各边中点得到的新四边形叫做原四边形的“中点四边形”，如果原四边形的中点四边形是个正方形，我们就把这个原四边形叫做“中方四边形”． 概念理解： （1）下列四边形中一定是“中方四边形”的是________． A．平行四边形            B．矩形            C．菱形            D．正方形 性质探究： （2）如图1，四边形是“中方四边形”，观察图形，写出关于四边形的结论： ①________； ②________； 问题解决： （3）如图2，以锐角的两边为边长，分别向外侧作正方形和正方形ACFG，连接，问有什么位置关系和数量关系？直接写出结果． 拓展应用： （4）如图3，已知四边形是“中方四边形”，M，N分别是的中点．试探索与的数量关系，并说明理由． 试卷第1页，共3页 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年八年级下学期 数学期末专题复习 专题:03： 四边形（4大图形+16大题型） 模块1：思维导图+题型预览 模块2：课本复盘+考点默写 考点1：平行四边形的定义、性质、判定 1．平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形. 表示方法：□ABCD 2．平行四边形的性质: （1）边：两组对边分别平行且相等． （2）角：对角相等，邻角互补． （3）对角线：互相平分． （4）对称性：中心对称图形但不一定是轴对称图形． 3、平行四边形的判定方法 判定方法 文字语言 图形语言 符号语言 方法1 两组对边分别平行的四边形是平行四边形 ∵AD//BC,AB//CD ∴四边形ABCD是平行四边形 方法2 两组对边分别相等的四边形是平行四边形. ∵AD=BC,AB=CD ∴四边形ABCD是平行四边形 方法3 有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形. ∵AD//BC,AD=BC ∴四边形ABCD是平行四边形 方法4 对角线互相平分的四边形是平行四边形. ∵OA=OC,OB=OD ∴四边形ABCD是平行四边形 考点2：矩形的定义、性质、判定 1． 矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。 2． 矩形的性质： （1） 边：对边平行且相等；邻边垂直； （2） 角：四个角都是直角； （3） 对角线：对角线相等且互相平分； （4） 整体：中心对称图形、轴对称图形； 3．矩形的判定方法： 方法1：有一个角是直角的平行四边形； 方法2：有三个角是直角；方法3：对角线相等的平行四边形． 考点3：菱形的定义、性质、判定 1.菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。 2.菱形的性质： （1）边：对边平行，四边相等； （2）角：对角相等，邻角互补； （3）对角线：对角线互相垂直平分； （4）整体：中心对称图形，轴对称图形； （5）面积=底×高=对角线乘积的一半． 3.菱形的判定方法： 判定方法 文字语言 图形语言 符号语言 方法1 有一组邻边相等的平行四边形 ∵四边形ABCD是平行四边形,AB=BC ∴四边形ABCD是菱形 方法2 四条边都相等的四边形 ∵AB=BC=CD=DA ∴四边形ABCD是菱形 方法3 对角线互相垂直的平行四边形 ∵AC//BD,AO=CO,BO=DO ∴四边形ABCD是菱形 考点4：正方形的定义、性质、判定 1.正方形的定义：四个角是直角，四边相等叫做正方形。 2.正方形的性质： （1）边：四边相等，邻边垂直； （2）角：四个直角； （3）对角线：对角线互相垂直平分； （4）整体：中心对称图形，轴对称图形。 3．正方形的判定： 判定方法 文字语言 图形语言 符号语言 方法1 四个角是直角，四边相等的四边形是正方形 ∵四边形ABCD是平行四边形, ∠A=90°,AB=BC ∴四边形ABCD是正方形 方法2 一组邻边相等的矩形是正方形 ∵四边形ABCD是矩形,AB=BC ∴四边形ABCD是正方形 方法3 一个角是直角的菱形是正方形 ∵四边形ABCD是菱形,∠A=90° ∴四边形ABCD是正方形 考点5：三角形的中位线 1.定义：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。（一个三角形共三条中位线） 2.性质定理: 三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半。 3.符号语言： 考点6：梯形 1.梯形：一组 对 边 平 行,另 一 组 对 边 不 平 行 的 四 边 形 叫 作 梯 形； 2.等腰梯形：两腰相等的梯形叫作等腰梯形； 3.直角梯形：有一个角是直角的梯形叫作 直角梯形。 考点7：中点四边形的重要结论 原图形 中点四边形 图形 任意四边形 平行四边形 对角线相等的四边形 矩形 对角线垂直的四边形 菱形 对角线互相垂直且相等的四边形 正方形 模块3：重点题型+变式训练 【题型1】根据平行四边形的性质求角度 【例题】1．如图，在中，的平分线交边于点．已知，则的度数为__________． 【答案】 【分析】先根据平行四边形的性质和角平分线的定义可推出，进而求得，从而根据平行四边形的对角相等即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵是的平分线， ∴ ∴， ∵， ∴． 【变式训练】 1．如图的对角线相交于点交于，连接，则的度数为_________________． 【答案】 【分析】本题考查平行四边形的性质，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，平行线的性质. 根据平行四边形的性质可得，，由平行线的性质求出，由线段垂直平分线的性质可得，进而利用等边对等角求解． 【详解】解：∵ 四边形是平行四边形. ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴是线段的垂直平分线， ∴， ∴． 2．在中，，则的度数为______． 【答案】 【分析】利用平行四边形对边平行得到邻角互补，结合平行四边形对角相等的性质，根据已知条件列方程求解，即可得到的度数． 【详解】解： 四边形是平行四边形， ，，， 又， ∴， 解得， ． 3．在中，如果，那么______． 【答案】135 【详解】解：四边形是平行四边形， ，． ， ， ， 解得， ， ． 4．如图，小明用四根木条钉成一个木框，推动得到．现测得，，那么的度数为___________． 【答案】/122度 【分析】根据平行四边形的对边平行，得到，通过平行线的性质可求得，所以，再根据平行线的性质，即可求得答案． 【详解】解：四边形是平行四边形， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， ， ． 【题型2】根据平行四边形的性质证明线段相等 【例题】2．如图，已知在中，的平分线交于点，连接． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）由平行四边形的性质得到，再由平行线的性质和角平分线的定义证明，则可证明； （2）由平行四边形的性质得到，再证明，则由等腰三角形的性质和三角形内角和定理可得答案． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵的平分线交于点， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵，， ∴， ∴． 【变式训练】 1．如图，在平行四边形中，过对角线的交点O分别与交于E，F，，，． (1)求证：； (2)求四边形的周长． 【答案】(1)见解析 (2)四边形的周长为16 【分析】（1）由平行四边形的性质得，，推出，根据可证明，从而得出结论； （2）根据四边形的周长等于解答即可． 【详解】（1）证明：如图， 在中，，， ∴， 又∵， ∴， ∴． （2）解：由（1）可知， ∴，， ∴，， 在中，，， 四边形BCEF的周长． 2．如图，四边形为平行四边形，的角平分线交于点F，交的延长线于点E，求证：． 【答案】见解析 【分析】由平行四边形的性质得到，再由平行线的性质和等角对等边推出，则，据此可证明． 【详解】证明：∵四边形为平行四边形， ∴， ∴， ∵的角平分线交于点F，交的延长线于点E， ∴， ∴， ∴， ∴． 3．如图，在平行四边形中，点，在对角线上，且，求证：． 【答案】见解析 【分析】根据平行四边形的性质得，，然后根据证明即可证明结论成立． 【详解】证明：四边形是平行四边形， ， 在和中， ， ， ． 4．如图，在中，是对角线，，，垂足分别为点E、F，连结，交于点O． (1)求证：． (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)2 【分析】（1）证明即可得出结论； （2）先由已知得，则，在中，由勾股定理求出，再根据得，即可求解． 【详解】（1）证明：∵在中，是对角线， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∴， 在中，，， ∴， 解得（负值已舍去）， 由（1）知，， ∴， ∴． 【题型3】根据平行四边形的性质证明角相等 【例题】3. 如图，在平行四边形中，点、分别在、延长线上，且．求证：． 【答案】证明见详解 【分析】本题考查平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，能够正确使用相关性质是解题的关键． 利用平行四边形的性质，可得，即可证得． 【详解】证明：四边形为平行四边形， ，，， ， ， ， ， ， ． 【变式训练】 1．如图，在中，点、是对角线上的两点，且，连接、，求证：. 【答案】见解析 【分析】由平行四边形的性质得，，得出，根据证明即可得出结论． 【详解】证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， 又∵， 在与中， ， ∴， ∴． 2．如图，的两条对角线、相交于点，点、分别是、上的中点．连接、．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握平行四边形的性质，证明三角形全等是解题的关键．证明，即可得出结论． 【详解】证明：∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∴， ∵点、分别是、上的中点， ∴，， ∴， ∴ 即， 在和中， ， ∴， ∴． 3．如图，在中，点在边上，且，点在上，且． (1)求证：． (2)求证：． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）根据平行四边形的性质可知，结合已知条件和邻补角的定义，即可证明； （2）根据平行四边形的性质可知，即可根据“”证得结论． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， 又∵，， ∴； （2）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， 在和中， ， ∴． 4．如图，将 绕点A 顺时针方向旋转一定角度得到 使得点 B 的对应点E 恰好落在边上，点 F，G分别为点C，D 的对应点，与的交点为H． (1)求证： 平分 ． (2)若 求 的度数． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】（1）根据旋转的性质可得，，则可得，进而可得，即可得证 平分． （2）先求出，再根据旋转角相等可得，再由平行四边形的性质可得． 本题主要考查旋转的性质和平行四边形的性质，熟练掌握相关知识是解答本题的关键． 【详解】（1）证明：∵将 绕点A 顺时针方向旋转一定角度得到 ∴， 又∵点 B 的对应点E 恰好落在边上， ∴， ∴， ∴， ∴ 平分． （2）解：∵，且， ∴， ∴， 根据旋转的性质可得， ∴， 又∵四边形是平行四边形， ∴， ∴． 【题型4】添加条件判定平行四边形 【例题】4．如图，在四边形中，对角线交于点O，，要使四边形为平行四边形，则需添加一个条件，这个条件可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】对于D，由一组对边平行且相等的四边形是平行四边形证明即可． 【详解】解：A、B、C均不能证明四边形为平行四边形，D可以， ∵， ∴ ∵， ∴四边形为平行四边形． 【变式训练】 1．如图，在四边形中，，若添加一个条件，使得四边形为平行四边形，这个条件可以是______． 【答案】（答案不唯一） 【分析】给出一组对边相等，那么只需要这一组对边平行或者另一组对边相等即可，当然也可以添加条件证明这一组对边平行或者证明另一组对边相等． 【详解】解：∵， 当添加时，则四边形为平行四边形； 或添加时，四边形为平行四边形． 2．如图，在平行四边形中，点E，F是对角线上两个不同点．连接，，，，添加一个条件使得四边形是平行四边形． (1)请在以下选项中选择所有符合条件的选项，将其序号填写在下方横线上． ①，，E、F为垂足；②；③． 符合条件的选项有： ． (2)选择其中一个条件，写出证明过程：我选择 ， 证明过程如下： 【答案】(1)①② (2)①，证明见解析（答案不唯一） 【分析】根据平行四边形的性质和判定解答即可． 【详解】（1）解：符合条件的选项有：①②； （2）解：我选择①，证明过程如下： ∵，， ∴，， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形． 我选择②，证明过程如下： ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， 在与中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形． 3．如图，的对角线与相交于点O，点E，F分别在和上．请你添加一个条件，使四边形是平行四边形，并说明理由． (1)添加的一个条件是：______； (2)说明理由． 【答案】(1)，答案不唯一 (2)见解析 【分析】（1）从对角线的角度思考，添加条件即可； （2）利用对角线互相平分的四边形是平行四边形证明即可． 本题考查了平行四边形的性质和判定，熟练掌握判定定理是解题的关键． 【详解】（1）解：从对角线的角度思考，可以添加， 故答案为：．不唯一 （2）证明：∵的对角线与相交于点O，     ∴， 又∵， ∴， ∴四边形是平行四边形． 4．如图，是四边形的对角线，点为的中点，．从①，②，③等三个选项中选择一个作为添加条件，使四边形为平行四边形，并说明理由． 【答案】①，证明见解析（答案不唯一） 【分析】本题考查了平行四边形的判定，熟练掌握平行四边形的判定定理是解题的关键． 先证明，得到，，推出，添加①，得到，可证明四边形是平行四边形；添加③， 由，可证明四边形是平行四边形． 【详解】解：点为的中点，， 在和中， ， ， ，， ， 添加①，理由如下， ， ， 四边形是平行四边形； 添加③，理由如下， ， 四边形是平行四边形． 【题型5】平行四边形的判定 【例题】5．如图，在四边形中，，．若平分交于点E，，求证：四边形是平行四边形． 【答案】见解析 【分析】先通过角平分线求得，再利用两直线平行，同旁内角互补求得，发现，从而推出，最后根据两组对边平行的四边形是平行四边形得证． 【详解】证明：∵，平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形． 【变式训练】 1．如图，在四边形中，，，，垂足分别为，，若．求证：四边形为平行四边形． 【答案】见解析 【分析】证明得出，即可证明，结合，即可得证． 【详解】证明：∵， ∴，即， 又∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形． 2．如图，在四边形中，，对角线，相交于点O，E为上一点，连接并延长交于点F，且．求证： (1)； (2)四边形为平行四边形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）由得到，再根据已知，利用证明； （2）由得到，由此再证明，得到且，四边形为平行四边形可证． 【详解】（1）解法一： 证明：， ， 又，， ； 解法二： 证明：， ，， 又， ； （2）解法一： 由（1）得，， ， ， ， ， ， ， ， 又， 四边形为平行四边形． 解法二： 由（1）得，， ，， ， ，， ， ， 四边形为平行四边形． 3．如图，在中，D是的中点，E是的中点，过点A作的平行线交的延长线于点F，连接； (1)求证：四边形是平行四边形； (2)请写出四个图中的三角形，并且每个三角形的面积都等于面积的一半． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）先证明，可得，再利用等量代换得出，结合平行四边形的判定即可证明； （2）利用三角形中线的性质和平行线间的距离处处相等，结合平行四边形的性质即可得到答案． 【详解】（1）证明：， ， ∵E是的中点， ∴， ∵， ， ∴， ∵D是的中点， ， ， ∴四边形是平行四边形； （2）解：．理由如下： ∵， ∴， 由（1）得四边形是平行四边形， ∴， ∵ ∴． 4．已知和均为等边三角形，F、D分别在、上，，，连接、． (1)求的度数； (2)求证：四边形为平行四边形． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】（1）根据等边三角形的性质，得出，，求出，证明，得出，根据三角形外角的性质得出答案即可； （2）连接，证明，得出，，证明为等边三角形，得出，，从而证明，，即可证明结论． 【详解】（1）证明：是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）证明：连接，如图所示： ∵为等边三角形， ∴，， ，即， ∵， ， ∴，， ∵，， ∴，即， ∴， ∴为等边三角形， ∴，， ∴，， ∴， ∴四边形为平行四边形． 【题型6】平行四边形的性质与判定综合问题 【例题】6．如图，在四边形中，点E、F在上，且，，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，，，求的长． 【答案】(1)详见解析 (2) 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质、平行线的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理以及三角形面积等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键． （1）证明，得，根据一边平行且相等的四边形为平行四边形得出结论； （2）由平行四边形的性质得，，再由勾股定理求出，然后由三角形面积求出的长即可． 【详解】（1）证明：， ， ， ， ， 在和中， ， ， 四边形是平行四边形； （2）由（1）可知，四边形是平行四边形， ，， ， ， ， ， ． 的长为． 【变式训练】 1．如图：已知在中，，为上任意一点，交于，交于，求证：. 【答案】见解析． 【分析】可先证得四边形为平行四边形，得到，再证明，得到． 【详解】∵，， ∴四边形为平行四边形． ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． ∵， ∴． 2．四边形中，，，O为对角线的中点，过O点作直线，交的延长线于点E，交的延长线于点F． (1)求证：四边形是平行四边形． (2)如果四边形与四边形的周长分别是16与10，求的周长． 【答案】(1)见解析 (2)13 【分析】（1）由平行线的性质得到，，则可证明，得到，据此可证明结论； （2）可证明四边形是平行四边形，，则可证明四边形的周长，同理可得四边形的周长，则可推出，再根据三角形的周长公式可得答案． 【详解】（1）证明：∵， ，， ∵O为对角线的中点， ∴ ∴， ， 四边形是平行四边形； （2）解：∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴四边形的周长； 同理可得四边形的周长， ∵四边形与四边形的周长分别是16与10， ∴， ∴， ∴的周长． 3．在中，是的中线，为的中点，过点作与的延长线相交于点，连接． (1)如图1，求证：四边形是平行四边形； (2)如图2，若，请直接写出图中所有的等腰三角形，不需要证明． 【答案】(1)见解析 (2)，，， 【分析】（1）先证，可得，结合条件，得，根据即可得到结论； （2）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，得、、是等腰三角形，由，结合四边形是平行四边形，可得是等腰三角形． 【详解】（1）证明：∵E是的中点， ∴， ∵， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴， ∵是的中线， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形 （2）解：∵，E是的中点， ∴， ∴和是等腰三角形， 由（1）得：， ∴， ∴， ∴是等腰三角形， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴是等腰三角形， 综上所述：图中所有的等腰三角形为：、、、． 4．已知：如图，点为内一点，、的面积分别记为、，的面积记为，试探究与之间的关系． 【答案】 【分析】本题考查平行四边形的判定与性质，过点作分别交、于点、，过点作于点，过点作于点，可得与同底同高，与同底同高，由此即可求解．掌握平行四边形的面积公式是解题的关键． 【详解】解：与之间的关系∶． 理由：如图，过点作分别交、于点、，过点作于点，过点作于点， ∴，， ∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∴， ∴四边形、四边形都是平行四边形， ∴，，， ∴，， ∴， 即． 【题型7】利用矩形的性质解决角度问题 【例题】7．如图，莹莹将一个直角三角尺与矩形纸片按如图所示放置，与交于点，，，莹莹通过测量发现恰好平分，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用直角三角形的性质和角平分线的定义可得，，利用矩形的性质可得，再根据平角的定义解答即可求解． 【详解】解：∵，，平分， ∴，， ∵矩形， ∴， ∴， ∴． 【变式训练】 1．如图，在矩形中，对角线、交于点O．延长至点E，，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据矩形的性质可知，结合，可证明四边形是平行四边形，所以，所以，再根据矩形的性质证明，可得，即可求得答案． 【详解】解：四边形是矩形， ， ， 四边形是平行四边形， ， ， 四边形是矩形， ，，， ， ， ． 2．如图，矩形的对角线和相交于点，平分交于点，如果，那么的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据矩形性质得出，，，，根据等腰三角形的判定得出，证明为等边三角形，得出，根据等腰三角形的性质得出即可． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，，，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴． 3．如图，在矩形中，对角线，相交于点，于点，，则的大小是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先利用矩形对角线相等且互相平分的性质，结合求出和的度数；再根据得到，在直角三角形中求出的度数． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，． ∵ ∴． 在 中，， ∴ 为等腰三角形． ∵ ∴． ∴． 故选：A． 4．如图，在矩形中，对角线与相交于点，于点．求的度数． 【答案】 【分析】解题关键是利用矩形对角线互相平分且相等的性质，得出为等腰三角形，求出的度数，再结合构造的直角三角形，利用直角三角形两锐角互余求出． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， 又∵， ∴， 又∵， ∴， ∴． 【题型8】利用矩形的性质解决线段长问题 【例题】8．如图，在矩形中，对角线、相交于点O，比的周长大2，矩形的周长为28，则的长为（    ） A．6 B．8 C．13 D．15 【答案】A 【分析】根据矩形的性质得出，结合与的周长差得出，再根据矩形周长得出，联立求解即可． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，，， ∵的周长比的周长大2， ∴， 即， ∵矩形的周长为28， ∴， 即， 联立， 解得，． 【变式训练】 1．如图，在矩形中，点E在边上，，连接，若，，则的长为（   ） A． B．10 C． D． 【答案】A 【分析】先在直角三角形中利用勾股定理求出的长度，从而得到的长度，进而得出和的长度，最后在直角三角形中用勾股定理求出的长度．本题主要考查了矩形的性质以及勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 【详解】解：∵ 四边形是矩形 ∴ ，，， ∵ ，， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ． 2．如图，在矩形中，，，P是上不与点A和点D重合的一个动点，过点P分别作和的垂线，垂足分别为E，F，则的值为（    ） A． B．3 C． D． 【答案】C 【分析】连接，勾股定理求出的长，等积法求出的值即可． 【详解】解：连接， ∵矩形中，， ∴，， ∴， ∵过点P分别作和的垂线，垂足为E，F， ∴， ∴. 3．如图，在矩形中，，垂直平分于点E，则的长为（   ） A． B． C．4 D．2 【答案】C 【分析】根据矩形的性质知对角线相等和相互平分，结合垂直平分线的性质，得到等边三角形，根据等边三角形的性质和含直角三角形的性质得到长，从而得到的长，即的长． 【详解】解：四边形是矩形， ，，， ， 垂直平分， ，，， ， 是等边三角形， ， ， ， ， ， ， ． 4．如图，在矩形中，，，为边上一点，点为的中点，连接并延长，交于点N，若平分．求证： (1)； (2)求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据矩形和平行线的性质可证明，即可证明． （2）根据角平分线的定义和平行线的性质，可得，进而得出，，结合勾股定理可得，代入，求得． 【详解】（1）证明：∵点为的中点， ， ∵四边形是矩形， ，， ， 在和中， ， ， ． （2）解：平分，， ，， ， ， ， ， ， ， 在中，，， 在中，，， 即， 解得． 【题型9】利用矩形性质证明 【例题】9．如图，在矩形中，E是的中点，连接，． (1)求证：． (2)若，，求的周长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据矩形的性质得到，，根据E是的中点得到，可知； （2）根据E是的中点得到，根据勾股定理求出，根据全等三角形的性质得到，即可求出的周长． 【详解】（1）证明：在矩形中，，． 为中点， ． ； （2）解：， ． ，． ． ， ． 的周长为． 【变式训练】 1．如图，四边形是矩形，点在的延长线上，．求证：是等腰三角形． 【答案】证明见解析 【分析】根据矩形的性质得出，，根据可证明四边形是平行四边形，可得，进而得出，即可证明是等腰三角形． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴是等腰三角形． 2．如图，矩形中，E是边上的一点，连接，且． (1)求证：平分； (2)若，求边的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据矩形的性质得，进而得出，再根据“等边对等角”得，然后说明，则此题可解； （2）先根据矩形的性质得，再说明，可得，然后根据勾股定理求出，进而得出答案． 【详解】（1）证明：∵四边形是矩形， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴平分； （2）解：在矩形中，， ∵， ∴， ∴． 根据勾股定理，得， ∴． 3．如图，点E，F分别在矩形的边，上，，．求证：． 【答案】见解析 【分析】根据矩形的性质得到，结合，，可得，即得答案． 【详解】证明：四边形为矩形， ， 在和中， ， ． 4．在矩形中，点是上的一个动点（点不与端点重合），点为的中点，连接． (1)如图1．求证：； (2)如图2，连接，若，直接写出所有等于的一半的角． 【答案】(1)证明见解析 (2)，，， 【分析】（1）连接，先得出，，再证明，由此即可得证； （2）过点作于点，先得出，再证明，则可得，，然后证出，由此即可得． 【详解】（1）证明：如图1，连接， ∵四边形是矩形， ∴， ∵点为的中点， ∴， ∴， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴． （2）解：如图2，过点作于点， 由（1）已证：， ∴（等腰三角形的三线合一）， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴，， ∵，点为的中点， ∴，（等腰三角形的三线合一）， ∴，， 又∵， ∴， ∴， 综上，所有等于的一半的角是，，，． 【题型10】矩形的折叠问题 【例题】10．矩形柔性材料可任意折叠，如图，将矩形纸片沿直线折叠，使点C落在边的中点处，点B落在点处，其中，，则的长为（   ） A． B．4 C． D．5 【答案】C 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∵折叠，点C落在边的中点处， ∴， 设，则， 在中，， ∴， 整理得，， 解得，， ∴ ． 【变式训练】 1．如图，将矩形的边折叠，使点D落在边上的点F处，折痕为．若，，则的长为（   ） A．4 B．3 C． D． 【答案】C 【分析】根据矩形的性质和勾股定理求出的长，由折叠的性质得到，，进而求出和的长，设，在Rt 中利用勾股定理列方程求解即可． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，，， 在中，，， ∴ ， 由折叠的性质可知：，， ∴， ∴ ， 设，则 ， ∴ ， 在 中，， ， 解得， 即． 2．如图，在矩形中，，，点，分别在边，上，沿着折叠矩形，使点，分别落在，处，且点在线段上（可与点，重合），过点作于点，连接．当与重合时，________；若四边形为正方形，则________． 【答案】 /0.875 【分析】利用矩形的性质得，利用折叠的性质可得，当与重合时，设，则，在中，根据勾股定理可得； 连接，当四边形为正方形时，，由勾股定理得出，在中，利用勾股定理求出，进而即可求解． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，， 当与重合时，由折叠可得， 设，则， 在中，， ∴， 解得， ∴； 当四边形为正方形时，如图，连接， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∵于点， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， 由勾股定理得，， 由折叠可得，，， ∴， ∴， 设，则， 在中，， ∴， 解得， ∴， ∴． 3．如图，把矩形纸片折叠，使点B恰好落在边上，折痕为，且，． (1)求的长； (2)求折痕的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据翻折变换的对称性可知，然后根据矩形的性质和中的勾股定理求出，即可解答； （2）设，分别表示出、，然后在中利用勾股定理求出即可；在中，利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：∵把纸片折叠，使点B恰好落在边上， ∴，， ∵四边形是矩形， ∴，， 在中，， ． ， ∴， ∴. （2）解：设，则，， 在中， ， 即． 解得．故． 在中，由勾股定理得， ∴ 4．在矩形纸片中，． (1)如图①，将矩形纸片沿折叠，使点落在点处，连接，和相交于点，求的长； (2)图①中的四边形是怎样的四边形？请说明理由； (3)如图②将矩形纸片折叠，使与重合，求折痕的长． 【答案】(1)cm (2)等腰梯形，见解析 (3)cm 【分析】（1）通过折叠的性质，和矩形对边平行的性质，得到，从而得到，再设参数，利用勾股定理列方程求解即可； （2）利用（1）中的关系，求出，利用等边对等角和对顶角相等，得到，从而得到，再通过折叠的性质，和矩形对边相等的性质，得到，即可得到四边形的形状； （3）连接，先通过折叠的性质，和矩形的性质，确定和互相垂直平分，利用（1）的结论，通过勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：由折叠性质，得， 在矩形中，，， ∴， ∴， ∴， 设，则， 在中，，即， 解得， ∴； （2）解：等腰梯形．理由如下： 由折叠性质，得，， 在矩形中，，， ∴，， 由（1），得， ∴，即， ∴， 又， ∴， ∴， ∴，即， ∴ ∴， 又与不平行， ∴四边形是梯形， 又， ∴四边形是等腰梯形． （3）解：如图，连接，设交于点O，则由折叠的性质，得，，且点O为中点， 在矩形中，， ∴， 又，， ∴， ∴，， 由（1），得， ∴， ∴， 同（1）理，得， 在中，， 解得， ∴． 【题型11】矩形的判定问题 【例题】11．如图，点在的边上，，请从这三个选项①；②；③中，选择一个合适的选项作为已知条件，使为矩形． (1)你添加的条件是_______（填序号）； (2)添加条件后，证明为矩形． 【答案】(1)①或③ (2)见解析 【分析】（1）根据矩形的判定条件，结合已知条件，判断三个选项中哪些能推出平行四边形为矩形，其中①和③可行，②不可行． （2）分别对添加条件①、③的情形进行证明，通过等腰三角形性质、平行四边形性质，推导出平行四边形的一个内角为，从而证明其为矩形；同时说明添加条件②无法证明的原因． 【详解】（1）解：添加的条件可以是：①或③． （2）证明：情形一：添加条件①， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴，即． ∵， ∴． 又∵四边形是平行四边形， 四边形为矩形． 情形二：添加条件③ ∵四边形是平行四边形， ∴，． 在和中， ， ∴（）， ∴． ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴四边形为矩形． 说明：添加条件②无法证明， ∵， ∴恒成立（等腰三角形两底角相等）， 该条件是已知条件的直接推论，无法额外提供能推出四边形为矩形的信息，故无法证明． 【变式训练】 1．如图，在平行四边形中，点是边上的一个动点，点是边的中点，的延长线与的延长线交于点，连接． (1)求证：四边形是平行四边形 (2)若，   ①当的值是 时，四边形是矩形（直接写出答案）；   ②当的值是 时，四边形是菱形，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)①，②，见解析 【分析】（1）证明即可得证； （2）①根据矩形的判定求解即可；   ②根据菱形的判定解答即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴， ∵点是边的中点， ∴， ∵， ∴     ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形； （2）解：∵，，， ∴， ∵点是边的中点， ∴， 设， ∴； ①∵四边形是矩形， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， 故当的值是3时，四边形是矩形；   ②解：∵四边形是菱形， ∴， ∵ ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， 故当的值是1时，四边形是菱形． 2．在四边形中，于点，点为中点，连接．有如下条件：①；②连接，． (1)从①②中任选一个作为已知条件，求证：四边形为矩形； (2)连接，若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）选择①：利用一组对边相等且平行的四边形易证四边形为平行四边形，再根据，即可证明结论；选择②：根据等腰三角形三线合一可得，由三个角为直角的四边形是矩形，即可证明结论； （2）由（1）知四边形为矩形，勾股定理求出，再求出，在中，由勾股定理即可求解． 【详解】（1）选择①； 证明：点为中点， ， 又， ， ， 四边形是平行四边形， 于点， ， 四边形为矩形， 选择②连接，， 证明：， 为等腰三角形， 点为中点， ， ， ， ， ， 于点 ， 四边形为矩形； （2）解：如图，连接， 由（1）知四边形为矩形， ， 在中，， ∴ ， 点为中点， ， 在中， ， ∴． 3．如图，正方形的边长为8，点E为边上一点，若于点F，于点G． (1)求证：四边形是矩形； (2)求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据正方形的性质得出，结合，，证出四边形是矩形， （2）根据正方形的性质得出，则，证出，，由勾股定理，得，，则． 【详解】（1）证明：∵四边形是正方形， ∴，即， ∵，， ∴， ∴四边形是矩形， （2）解：∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴，， 由勾股定理，得，， ∴． 4．如图，在中，是的中点，，． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)的长为 【分析】（1）由等腰三角形三线合一的性质得出，由平行线的性质得出，结合已知条件可得出，即可证明四边形是矩形． （2）由（1）可知四边形是矩形．由矩形的性质得出，，，由已知条件和勾股定理求出，最后根据等面积法可得出，即可求出． 【详解】（1）解：在中， 是的中点， ，即， 又， ， 又， ， 在四边形中， ， 四边形是矩形； （2）解：四边形是矩形，是的中点， ， 在中，由勾股定理得：， ， 即， 解得：． 【题型12】利用菱形的性质解决问题 【例题】12．如图，是菱形的对角线，作的垂直平分线分别交、于点E、F，连接、，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由菱形的性质可得，，，证明并结合线段垂直平分线的性质可得，由等边对等角得出，即可得出结果． 【详解】解：∵四边形为菱形， ∴，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵垂直平分， ∴， ∴， ∴， ∴． 【变式训练】 1．如图，在菱形中，对角线与交于点O，点E在边上，连接交于点F．若，平分，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据菱形的性质得到，，证明是等边三角形，得到，则，再由平行线的性质求出的度数，由角平分线的定义求出的度数即可得到答案． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴，， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴； 2．如图，菱形的对角线和相交于点O，，垂足为E，若菱形的周长为20，，则的长为_________． 【答案】 【分析】根据菱形的性质求出的长度，再利用等面积法求出答案． 【详解】解：∵四边形是菱形，且周长为， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∵，且， ∴， 解得． 3．如图，菱形的对角线、相交于点，过点作且，连接交于点，连接、．已知，，则菱形的面积______；______． 【答案】 【分析】先根据菱形的性质得到，，．结合已知得到，，利用勾股定理求得，则，然后利用菱形的面积公式求解面积即可；再证明四边形是平行四边形，得到，．利用勾股定理求得即可求解． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴，，． ∵，， ∴，， 在中，， ∴，则， ∴菱形的面积为； ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴，． 在中，， ∴． 4．如图，在中，，点是边的中点．，． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求菱形的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形，可证：四边形是平行四边形，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可证，根据一组对边相等的平行四边形是菱形可证结论成立； （2）方法一，利用菱形的性质和勾股定理可以求出，根据菱形的面积公式即可求出结果；方法二，过点作，垂足为，根据直角三角形的性质求出的长度，利用勾股定理求出的长度，根据菱形的面积公式即可求出结果． 【详解】（1）证明：，即， ， 四边形是平行四边形， ，点是边的中点， ， 四边形是菱形； （2）解：方法一，如下图所示，连接与相交于点， 四边形是菱形， ， ，，， ，， ， ， ， 在中，， 根据勾股定理得：， ， ， ， ， 菱形的面积为； 方法二，如下图所示，过点作，垂足为， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， 在中，根据勾股定理得，， ， ， ， ， ， ， 菱形的面积为． 【题型13】菱形的判定问题 【例题】13．在中，已知对角线与交于点，若增加下列一个条件，不能判定一定为菱形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵ 四边形是平行四边形，对角线与交于点， ∴ ，， 对选项A：∵ ， ∴ ，即，可得平行四边形是矩形，不能判定它是菱形； 对选项B：∵ 一组邻边相等的平行四边形是菱形， ∴ 可判定是菱形； 对选项C：∵ 中， ∴ ，又， ∴ ， ∴ ，可判定是菱形； 对选项D：∵ ，， ∴ 由可得，由勾股定理逆定理得，即，对角线互相垂直的平行四边形是菱形，可判定是菱形； 综上，不能判定一定为菱形的是选项A． 【变式训练】 1．如图， 在四边形中， 对角线， 相交于点， 过点作交于点．已知，若再添加一个条件可使四边形是菱形，则这个条件可以是__________． 【答案】 (答案不唯一) 【分析】本题考查了菱形的判定，熟悉掌握菱形的判定方法是解题的关键． 先判定出四边形为平行四边形，再根据菱形的判定添加条件即可． 【详解】解：∵，， ∴四边形为平行四边形， ∴只需要添加一组邻边相等或对角线垂直即可证明是菱形， 故答案为：(答案不唯一) ． 2．如图，在中，点E，F在对角线上，，连接，，，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)请添加一个与线段有关的条件，使四边形是菱形．（不需要说明理由．） 【答案】(1)证明见解析 (2)或 【分析】（1）根据平行四边形的性质得，，则，证明，得，，即可推出，则，根据平行四边形的判定即可得出结论； （2）连接，由或得是菱形，则、互相垂直平分，由得，则、互相垂直平分，根据对角线互相垂直平分的平行四边形是菱形，即可得出结论． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形； （2）解：当或时，四边形是菱形，理由如下： 如图，连接， ∵四边形是平行四边形，（或）， ∴四边形是菱形， ∴、互相垂直平分， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴、互相垂直平分， 又∵四边形是平行四边形， ∴四边形是菱形． 3．已知：如图，四边形为平行四边形，为的一条对角线． (1)（多选题）若添加一个条件，使得为菱形，这个条件可以是（   ） A．        B． C．为的角平分线    D． (2)用尺规作图，作线段的垂直平分线，分别交、、于点、、，连接、，求证：四边形为菱形． 【答案】(1)ACD (2)见解析 【分析】（1）根据菱形的判定定理分析即可； （2）根据题意即可作图，由线段的垂直平分线的性质得到，然后证明，则，即可通过四边相等的四边形是菱形证明． 【详解】（1）解：∵四边形为平行四边形， 当时，是菱形，故A符合题意； 当时，四边形是矩形，故B不符合题意； 当为的角平分线时， 则， 因为中，， 所以， 所以， 所以， 所以是菱形，故C符合题意； 当时，是菱形，故D符合题意． （2）解：如图即为所求， 证明：∵垂直平分， ∴，， ∵平行四边形中，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形为菱形． 4．如图，在中，，垂足为点E． (1)过点A作，垂足为点F．（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） (2)若，求证：四边形是菱形． 【答案】(1)作图见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）过作的垂线即可. （2）由证明，进一步可得结论. 【详解】（1）解：如图，即为所求. （2）证明：∵在中，，，， 而， ∴， ∴是菱形. 【题型14】正方形的折叠问题 【例题】14．如图，已知在正方形中，是上一点，将正方形的边沿折叠到，延长交于点，连接．现有如下4个结论：①；②与一定不相等；③；④的周长是一个定值．其中正确的个数为（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由翻折的性质及全等三角形的性质可判断①；根据正方形的性质及角的和差关系可判断③；根据三角形的周长公式可判断④；当是的中点时，可得，再判断②的正确性． 【详解】解：∵正方形， ∴，， ∵折叠， ∴， ∴，，，， ∴， ∵在和中， ， ∴， ∴，，故①正确； ∴， 故③正确； ∵的周长，， ∴的周长， 是定值，故④正确， ∵当是的中点时，可得，故②错误， ∴正确的结论有①③④． 【变式训练】 1．如图，四边形是边长为18的正方形纸片，为边上的点，．将纸片沿某条直线折叠，使点B落在点处，点A的对应点为，折痕分别与边交于点M、N，则的长是（   ） A．4 B．4.25 C．5 D．5.5 【答案】A 【分析】连接，依据垂直平分，即可得到，设，则，依据勾股定理可得方程，即可得到的长． 【详解】解：如图，连接， 由折叠可得，B，关于对称，即垂直平分， ∴， 设，则， ∵， ∴， ∵中，， 中，， ∴， 解得， ∴， 故选：A． 2．如图，正方形纸片中，E是上一点，将纸片沿过点E的直线折叠，使点A落在上的点G处，点B落在点H处，折痕交于点F．若，则（   ） A．4 B． C． D． 【答案】D 【分析】由折叠性质可知，进而利用同角的余角相等证明，由此即可得出，进而确定．在中，根据勾股定理列方程求解即可． 【详解】解：如图，连接交于点，过点作，垂足为， 则， ∵正方形， ∴，， ∴四边形是矩形， ∴， 由折叠可知， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵ ∴， 设正方形边长为，则， ∵， ∴， 在中，，即 解得：或（不合题意舍去） ∴． 故选：D 3．如图，已知正方形，，为的中点，连接，把沿折叠得到，连结交于点． (1)求证：； (2)求，的长． 【答案】(1)见解析 (2)， 【分析】（1）根据正方形的性质和折叠的性质找到条件，利用证明即可； （2）根据全等三角形的性质和勾股定理进行解答即可． 【详解】（1）证明：四边形是正方形， ，， ∵把沿折叠得到， ，， ，， 在和中， ， ∴； （2）解：四边形是正方形， ， ∵， ， 设，则 为中点， ， 则， 在中， ， ， 解得， ∴，． 4．【折一折】将边长为2的正方形纸片折叠，使边，都落在对角线上，展开得折痕，，连接，如图1． (1) ；点A到的距离是 ． 【转一转】 (2)将图1中的绕点A旋转，使它的两边分别交边，于点P，Q（即），连接，如图2，点A到的距离是否发生变化？说明理由； 【探一探】 (3)连接正方形对角线，若图2中的的边，分别交对角线于点M，N，如图3，当点Q是边的三等分点时，求的长． 【答案】(1)，2 (2)不变，理由见解析 (3) 【分析】（1）根据翻折的性质得出答案； （2）延长至T，使得，再证明，即可得出答案； （3）在（2）的基础上，求出，设，则，在中，利用勾股定理进行求解即可． 【详解】（1）解：∵四边形是正方形， ∴，，， 由折叠的性质得，，． ∴，， ∴点A到的距离． （2）解：结论：不变，仍然等于2． 理由：如图，延长至T，使得， ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∵点A到的距离为的长，等于2， ∴点A到的距离等于2； （3）解：∵点Q是边的三等分点， ∴， 由（2）可知：，， ∴， 设，则， 在中，由勾股定理，得， ∴， 解得， ∴． 【题型15】应用三角形的中位线解决问题 【例题】15．将直角三角形纸片按如图方式折叠两次再展开，若，则MN的长为（   ） A．1 B．2 C．4 D．6 【答案】B 【详解】第一次折叠：点落在边上，说明是上的点，且，此时是的中位线，， 第二次折叠：将点再向上折叠，得到，此时是的中位线。 因为，而是的中位线，所以：． 【变式训练】 1．如图中，点是边的中点，点在内，平分，，点在上，．若，求的长为___________． 【答案】3 【分析】延长交于点G，证明，由全等三角形的性质得出，，再证明为的中位线，四边形是平行四边形．由中位线和平行四边形的性质得出，再进一步代入求解即可． 【详解】解：延长交于点G， ∵，平分， ∴，， 在和中， ， ∴． ∴，， ∵， ∴为的中位线， ∴． ∵， ∴四边形是平行四边形． ∴． ∵为的中位线， ∴ ∴． 2．如图，连接四边形各边中点得到的四边形，在不添加任何辅助线的情况下，请添加一个条件________，使四边形是矩形． 【答案】，（答案不唯一） 【分析】利用三角形中位线定理，先证明四边形的一组对边平行且相等，从而判定它是平行四边形；再通过添加条件使对角线互相垂直，让平行四边形的一个内角为直角，进而证明它是矩形． 【详解】解：，（答案不唯一）， 如图，连接， ∵ 在中，分别是的中点， ∴，， 同理，在中，分别是的中点， ∴，且， ∴且， ∴四边形是平行四边形， 当，平行四边形有一个直角，即成为矩形． 3．阅读下面材料，完成相应的任务． 类比三角形中位线，我们把连接四边形对边中点的线段叫做四边形的中位线． 如图1，在四边形中，点，分别是，的中点，则就是四边形的中位线．求四边形中位线的长度，可以通过找对角线中点，将其转化为三角形中位线解决． 例：如图2，在四边形中，点，分别是，的中点．若，，，，求的长． 解：取的中点，连接，． 因为点、分别是，的中点， 所以，，，．（依据） …… 任务： (1)将材料中的解题过程补充完整． (2)如图3，在四边形中，点，分别是，的中点，，，，延长，交于点，延长交于点．求证：． (3)对角线互相垂直的四边形叫垂美四边形．已知四边形是垂美四边形，、、、分别为边、、、的中点，连接，，，，若，，则与的关系是______，______． 【答案】(1)过程见解析 (2)证明过程见解析 (3)互相平分且相等；50 【分析】（1）由三角形中位线定理得，，，，根据平行线的性质可得出，再由勾股定理即可求解； （2）连接，取的中点，连接，，根据三角形中位线定理得，，，，进而可得，，用勾股定理的逆定理证明是直角三角形，且，即可得结论； （3）根据已知条件证明四边形是矩形，即可得解； 【详解】（1）解：取的中点，连接，， 点、分别是，的中点， ，，，，（三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半） ，， ， ， 在中，由勾股定理得； （2）证明：连接，取的中点，连接，， 点，分别是，的中点， ，，，， ，， ，，， ， 是直角三角形，且， ， ； （3）解：如图，四边形是垂美四边形，、、、分别为边、、、的中点，连接，，，， 是的中位线，是的中位线，是的中位线，是的中位线， ，， 四边形是平行四边形， ， ， 平行四边形是矩形， ，是矩形的对角线， 与互相平分且相等， ，， ，， 中，， ， ， ． 4．探究三角形与梯形中位线的性质及应用，并完成以下问题 知识回顾： (1)本学期我们研究了三角形的中位线的性质．如图1，中，是△的中位线，连接．则与的关系为：___（用符号语言表达）． 方法迁移： (2)连接梯形两腰的中点，得到的线段叫做梯形的中位线．如图2，已知梯形中，，点，分别为，的中点，就是梯形的中位线．请猜想线段，，之间的关系，并说明理由． 理解内化： (3)已知梯形的中位线长为，高为，则梯形面积是___． 拓展： (4)如图3，分别以的边、为一边，在外作正方形和，点是的中点，求证：点到的距离是的一半． 【答案】(1)， (2)，，理由见解析 (3) (4)证明过程见解析 【分析】（1）由已知可得是的中位线，即可求解； （2）连接并延长交的延长线于点，证明，可得，，可得，为的中位线，结合平行线的性质，即可得线段，，之间的关系； （3）由（2）得梯形中位线与上底、下底之间的关系，代入梯形的面积公式计算即可； （4）分别过，，，作的垂线，垂足依次为，，，，，证明，，可得，即可证得结论． 【详解】（1）解：∵点是边的中点，点是边的中点， ∴是的中位线， ∴，． （2）解：，，理由如下： 如图（2），连接并延长交的延长线于点， ∵， ∴， ∵点为的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∵为的中点，为的中点， ∴为的中位线， ∴，， ∴，． （3）解：∵梯形的中位线长为，高为， ∴． （4）证明：分别过，，，作的垂线，垂足依次为，，，，则， 过点作，交于点，交延长线于点， ∵，，，， ∴， ∴四边形是矩形，四边形是矩形， ∴，，，， ∴， ∴， ∵是的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴为的中点， ∴为梯形的中位线， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∵于点，于点， ∴，， ∴，， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∵于点，于点， ∴，， ∴，， ∴， ∴，， ∴， ∴． 【题型16】中点四边形问题 【例题】16．新定义问题：四边形四条边上的中点分别为，，，，顺次连接，，，，得到的四边形叫中点四边形，连接对角线与． (1)求证：四边形的中点四边形是平行四边形； (2)当与满足什么条件时，四边形是矩形？并证明． (3)矩形的中点四边形是___________，菱形的中点四边形是___________，正方形的中点四边形是___________． 【答案】(1)见解析 (2)当时，四边形是矩形，证明见解析 (3)菱形，矩形，正方形 【分析】（1）根据三角形中位线定理可证且，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，可证结论成立； （2）根据三角形中位线定理可证，，，，当时，可得，，，根据有三个角是直角的四边形是矩形，可知当时，四边形是矩形； （3）根据三角形的中位线定理可知矩形的中点四边形是菱形，菱形的中点四边形是矩形，正方形的中点四边形是正方形． 【详解】（1）证明：点、、、分别是、、、的中点， 是的中位线，是的中位线， ，，，， 且， 四边形是平行四边形； （2）解：当时，四边形是矩形， 证明：点、、、分别是、、、的中点， 是的中位线，是的中位线，是的中位线，是的中位线， ，，，， 四边形是平行四边形， ， ，，， ∴， 四边形是矩形； （3）解：当四边形为矩形时，， 点、、、分别是、、、的中点， 是的中位线，是的中位线，是的中位线，是的中位线， ，， ， 四边形是菱形， 矩形的中点四边形是菱形； 当四边形为菱形时，， 点、、、分别是、、、的中点， 是的中位线，是的中位线，是的中位线，是的中位线， ，，，， ， ，，， 四边形是矩形， 菱形的中点四边形是矩形； 当四边形为正方形时，，， 点、、、分别是、、、的中点， 是的中位线，是的中位线，是的中位线，是的中位线， ，，，， ，， 四边形是正方形， 正方形的中点四边形是正方形． 【变式训练】 1．如图，已知四边形中，、、、分别是四条边、、、的中点，、是对角线，连接、、、． (1)证明：四边形为平行四边形； (2)若______，则四边形是菱形请从；这两个选项中选择一个作为条件，使结论成立．（填序号） 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据三角形中位线定理得到，，，，得到，，根据平行四边形的判定定理证明； （2）根据三角形中位线定理得到，再根据菱形的判定解答． 【详解】（1）证明：、、、分别是四条边、、、的中点， 、分别为、的中位线， ，，，， ，， 四边形为平行四边形； （2）解：、分别是四条边、的中点， 为的中位线， ， 当时，，则平行四边形是菱形． 2．解答：在横线上填上合适的条件，并说明你所填条件的合理性． (1)如图所示，E、F、G、H分别是四边形各边中点，连接，则四边形为________形． (2)当四边形满足________条件时，四边形是菱形． (3)当四边形满足________条件时，四边形是矩形． (4)当四边形满足________条件时，四边形是正方形． 【答案】(1)平行四边 (2) (3) (4)且 【分析】连接，可以根据分别是四边形各边中点，得到线段分别为的中位线，由中位线定理可以证明四边形为平行四边形；再根据菱形，矩形和正方形的判定条件，添加对应的条件即可得到答案． 【详解】（1）解：四边形为平行四边形， 理由，连接， 分别是四边形各边中点， 线段分别为的中位线， ，，，， ，， 四边形为平行四边形； （2）解：， 理由，如图①四边形的对角线， 四边形为平行四边形，且，， ， 平行四边形为菱形； （3）解：， 理由，如图②四边形的对角线互相垂直， 分别是四边形各边中点， 线段分别为的中位线， ，， ， ， 四边形为平行四边形， 四边形为矩形； （4）解：且， 理由，如图③四边形的对角线相等且互相垂直， 根据，可知平行四边形为矩形， 根据，可知平行四边形为菱形， 四边形为正方形． 3．如图所示，分别是四边形各边中点，连接，则四边形为________形．在横线上填上合适的条件，并说明你所填条件的合理性． （1）当四边形满足________条件时，四边形是菱形． （2）当四边形满足________条件时，四边形是矩形． （3）当四边形满足________条件时，四边形是正方形． 【答案】平行四边形，见解析；（1），理由见解析；（2），理由见解析；（3）且，理由见解析 【分析】本题考查了平行四边形的判定，矩形的判定，菱形的判定，正方形的判定，中位线定理，掌握相关知识点是解题的关键． 连接，可以根据分别是四边形各边中点，得到线段分别为的中位线，由中位线定理可以证明四边形为平行四边形；再根据菱形，矩形和正方形的判定条件，添加对应的条件即可得到答案． 【详解】解：四边形为平行四边形， 理由，连接， 分别是四边形各边中点， 线段分别为的中位线， ，，，， ，， 四边形为平行四边形， 故答案为：平行四边形； （1）， 理由，如图①四边形的对角线， 四边形为平行四边形，且，， ， 平行四边形为菱形， 故答案为：； （2）， 理由，如图②四边形的对角线互相垂直， 分别是四边形各边中点， 线段分别为的中位线， ，， ， ， 四边形为平行四边形， 四边形为矩形， 故答案为：； （3）且， 理由，如图③四边形的对角线相等且互相垂直， 根据，由（2）可知， 根据，由（1）可知平行四边形为菱形， 四边形为正方形， 故答案为：且． 4．综合与探究 定义：对于一个四边形，我们把依次连接它的各边中点得到的新四边形叫做原四边形的“中点四边形”，如果原四边形的中点四边形是个正方形，我们就把这个原四边形叫做“中方四边形”． 概念理解： （1）下列四边形中一定是“中方四边形”的是________． A．平行四边形            B．矩形            C．菱形            D．正方形 性质探究： （2）如图1，四边形是“中方四边形”，观察图形，写出关于四边形的结论： ①________； ②________； 问题解决： （3）如图2，以锐角的两边为边长，分别向外侧作正方形和正方形ACFG，连接，问有什么位置关系和数量关系？直接写出结果． 拓展应用： （4）如图3，已知四边形是“中方四边形”，M，N分别是的中点．试探索与的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）D；（2）①，②；（3），；（4），理由见解析 【分析】（1）根据定义“中方四边形”，即可得出答案； （2）由中位线的性质可得，结合正方形的性质可得结论； （3）取四边形边中点分别为M、N、R、L并顺次连接成四边形，连接交于P，连接交于K，利用三角形中位线定理可证得四边形是平行四边形，再证得，推出四边形是菱形，再由，可得菱形是正方形，即可证得结论； （4）设的中点分别为E、F，并顺次连接，可得四边形是正方形，再根据等腰直角三角形性质即可证得结论． 【详解】解：（1）在平行四边形、矩形、菱形、正方形中只有正方形是“中方四边形”，理由如下： 因为正方形的对角线相等且互相垂直， 所以其中点四边形是正方形； 故选：D； （2）①，②；理由如下： 如图1，∵四边形是“中方四边形”， ∴四边形是正方形， ∴， ∵E、F、G、H分别是的中点， ∴， ∴， 故答案为：； （3）如图，取四边形边中点分别为M、N、R、L并顺次连接成四边形，连接交于P，连接交于K， ∵四边形各边中点分别为M、N、R、L， ∴分别是的中位线， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵四边形和四边形都是正方形， ∴， ∴，即， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴四边形是菱形， ∵， ∴． 又∵， ∴， ∴， ∴， 综上所述，的位置关系为，数量关系为； （4），理由如下： 如图，设的中点分别为E、F，并顺次连接， ∵四边形是“中方四边形”， ∴四边形是正方形， ∴， ∴， ∵F，N分别是的中点， ∴， ∴． 试卷第1页，共3页 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $