专题07 分式的加减乘除运算【期末复习重难点专题培优】-2025-2026学年数学苏科版八年级下册

2025-2026学年苏科版新教材数学八年级下册期末复习重点难点专题培优练 专题07 分式的加减乘除运算『期末复习重难点专题培优』 【8个高频易错题型讲练+期末真题实战演练 共44题】 01 题型汇总 目录 【重点题型 分类讲练】 1 题型一 异分母分式加减法 1 题型二 整式与分式相加减 3 题型三 已知分式恒等式，确定分子或分母 5 题型四 分式加减混合运算 7 题型五 分式加减的实际应用 8 题型六 分式乘除混合运算 11 题型七 含乘方的分式乘除混合运算 13 题型八 分式加减乘除混合运算 16 题型九 分式化简求值 18 题型十 分式最值 19 【基础夯实 能力提升】 23 【拓展拔尖 冲刺满分】 28 02 题型汇编 讲练 【重点题型 分类讲练】 题型一 异分母分式加减法 【精讲】（2026八年级下·江苏·专题练习）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将分母因式分解后通分，合并分子并约分即可； （2）将分母因式分解后通分，合并分子并约分即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 【精练1】（25-26八年级下·江苏无锡·期中）已知，且，则______． 【答案】 【分析】先对已知等式变形，得到，再将所求分式先平方，利用完全平方公式展开后代入计算，最后根据判断符号得到结果． 【详解】解： ， ， ， ， ， ，， ， ． 【精练2】（25-26八年级下·江苏泰州·月考）并联电路中两个电阻的阻值分别为，电路的总电阻和满足，则可表示为______（用含，的代数式表示）． 【答案】 【分析】根据已知等式移项得到的表达式，再利用异分母分式减法法则计算，最后取倒数即可得到的表达式． 【详解】解：∵， ∴， 根据异分母分式减法法则通分计算得：， 对等式两边取倒数得：． 题型二 整式与分式相加减 【精讲】（24-25八年级下·河南三门峡·期末）化简的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查分式的加减运算，需将整式转化为同分母分式，再依据同分母分式的加减法则计算． 【详解】解：∵原式=， ∴将化为分母为的分式，得， ∵同分母分式相加，分母不变，分子相加， ∴分子计算：， ∴原式． 故选：C． 【精练1】（24-25八年级下·江苏泰州·期中）已知，则的取值范围为（　　） A． B． C．且 D．且 【答案】D 【分析】本题考查了分式有意义的条件，分式的化简，根据题意表示出，，，，即可求得每个数为一个循环，进而根据分式有意义的条件得出的取值范围，即可求解． 【详解】解：，，，， ∴且，，即且 故选：D 【精练2】（24-25八年级下·江苏宿迁·期中）化简： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了分式的混合运算，解题的关键是掌握分式的基本运算法则和运算顺序． （1）先通分，然后加减约分化为最简分式即可； （2）先通分化为同分母的分式加减解题即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： 题型三 已知分式恒等式，确定分子或分母 【精讲】（2026八年级下·江苏泰州·专题练习）无论取何值，分式的值始终保持不变（分母不为零），则的值为______． 【答案】 【分析】分式值恒为常数，可设该值为常数，整理等式后利用多项式对任意恒成立时对应系数相等求解即可. 【详解】解：∵无论取何值，分式的值始终保持不变， ∴设（为常数）， 等式两边同乘，得 ， 整理得 ， ∵该等式对任意恒成立， ∴多项式对应系数相等，即， 且 【精练1】（25-26八年级下·江苏南通·月考）若，对任意自然数都成立，则________，可以将一个分式裂项为几项分式的和的形式，利用类似的方法，试求________． 【答案】 1 【分析】本题考查分式的混合运算．由于，对任意自然数都成立， 因此把代入等式，即可求出a的值．设，分别把，代入等式，求出b，c的值，从而得到分式可裂项为两个分式的差，根据该规律将所求式子进行裂项求解即可． 【详解】解：∵，对任意自然数都成立， ∴当时，， ∴． 设， 当时，， ∴， 当时，， ∴， 解方程组得， ∴， ∴ ． 故答案为：1；． 【精练2】（2024八年级下·江苏·专题练习）已知，求3A－B． 【答案】3 【分析】把已知等式右边通分并利用同分母分式的加法法则计算，再根据分式相等的条件列方程组即可得答案． 【详解】∵＝， ∴， 解得：， ∴3A－B＝3×2－3＝3． 题型四 分式加减混合运算 【精讲】（23-24八年级下·江苏泰州·月考）照相机成像应用了一个重要原理，用公式表示，其中f表示照相机镜头的焦距，u表示物体到镜头的距离，v表示胶片（像）到镜头的距离．已知f，v，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了分式的加减．利用分式的基本性质，把等式变形即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故选：C． 【精练1】（23-24八年级下·江苏淮安·期中）定义：两个分式与满足：，则称与这两个分式互为“美妙分式”． (1)下列三组分式：①与；②与；③与．其中互为“美妙分式”的有________________（只填序号）； (2)求分式的“美妙分式”； 【答案】(1)②③ (2)或 【分析】（1）根据给出的“美妙分式”定义把每一组的分式相减求绝对值看结果来判断； （2）根据给出的“美妙分式”定义求分式的“美妙分式”即可； 本题考查了分式的加减法和绝对值的意义，熟练掌握分式加减法的法则，正确理解新定义的法则是解题关键． 【详解】（1）解：①， ②， ③， 故答案为：②③， （2）设分式的“美妙分式”为， 则 ， 或， ①当时， ， ②当时， ， 答：分式的“美妙分式”为或. 【精练2】（23-24八年级下·江苏无锡·期中）已知非零实数x，y满足，则的值等于______． 【答案】6 【分析】本题考查的是分式的加减法和求值，根据分式的加减法运算法则计算并代入求值即可． 【详解】解：∵非零实数x，y满足， ∴ ， 故答案为：6． 题型五 分式加减的实际应用 【精讲】（25-26八年级下·江苏南京·月考）如图，“丰收1号”小麦的试验田是边长为a米的大正方形减去一个边长为1米的小正方形蓄水池后余下的部分，“丰收2号”小麦的试验田是边长为米的正方形，若两块试验田都收获了m千克小麦，则“丰收2号”试验田的单位面积产量比“丰收1号”试验田的单位面积产量多______． 【答案】 【详解】解： 【精练1】（2025·江苏南京·中考真题）已知，试比较与的大小． 【答案】 【分析】本题主要考查了分式加减的应用，因式分解应用，解题的关键是熟练掌握分式加减运算法则．先求出，根据，得出，，，即可得出，从而得出． 【详解】解：∵ ， ∵， ∴，，， ∴， ∴． 【精练2】（23-24八年级下·江苏盐城·期中）课堂上，老师提出下面的问题： 已知，，，试比较M与N的大小．小聪：整式的大小比较可采用“作差法” 老师：比较与的大小． 小聪：∵， ∴． 老师：分式的大小比较能用“作差法”吗？ … (1)请用“作差法”完成老师提出的问题； (2)比较大小： ；（填“＜”“＝”或“＞”） (3)解决上述问题后，小慧同学提出一个有关“糖水甜度”的问题：“在一定质量的糖水中，加入一定质量的糖，糖水会变得更甜！你能说明其中的道理吗？” 我们不妨设原有糖水a克，其中含糖b克（），则原糖水的“甜度”可用表示，现向糖水中加入n克糖（），糖水的“甜度”可用表示，请你用数学知识解释其中的奥秘． 【答案】(1) (2)< (3)加糖后糖水会变甜，理由见解析 【分析】本题主要考查了分式的加减的应用，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键． （1）依据题意得，，又，则，进而可以判断得解； （2）依据题意，结合（1）当时，从而可得，从而可以得解； （3）依据题意，原糖水的“甜度”为，现糖水的“甜度”为，进而可得，再结合，可得0，进而可以判断得解． 【详解】（1）解：由题意得， ， 又， ， ， ， ∴； （2）由题意，结合（1）当时， ， 故答案为：． （3）由题意，原糖水的“甜度”为，现糖水的“甜度”为． ， 又， ， ， ， ∴在一定质量的糖水中，加入一定质量的糖，糖水会变得更甜． 题型六 分式乘除混合运算 【精讲】（25-26八年级下·江苏泰州·月考）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用分式的乘除法法则进行计算即可； （2）先通分，然后按同分母分式加减法计算法则进行计算即可． 【详解】（1）解： （2）解： 【精练1】（25-26八年级下·江苏南京·月考）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查分式的乘除运算，解题思路为将除法转化为乘法，对多项式因式分解后约去公因式，即可计算得到结果，用到分式乘除运算法则和因式分解的知识． 【详解】（1） 解： ． （2）解： ． 【精练2】（25-26八年级下·江苏泰州·月考）分解因式与计算 (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了因式分解，分式的乘除混合运算，同分母分式减法，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先提公因式，再运用公式法进行因式分解，即可作答． （2）先运用完全平方公式进行因式分解，再运用平方差公式进行因式分解，即可作答． （3）先运算乘方，把除法化为乘法，再化简，即可作答． （4）结合同分母分式减法法则计算，即可作答． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： （4）解： ． 题型七 含乘方的分式乘除混合运算 【精讲】（25-26八年级下·江苏常州·月考）化简： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先计算乘方，再计算乘除法即可得到答案； （2）先把小括号内的式子通分化简，再把除法变成乘法后约分化简即可得到答案． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【精练1】（2026八年级下·江苏泰州·专题练习）化简： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据分式的乘方进行计算，同时将除法转化为乘法进行计算，即可求解； （2）先计算括号内，同时将除法转化为乘法，再约分，即可求解； （3）先计算括号内，同时将除法转化为乘法，再约分，即可求解． 【详解】（1）解：原式 ； （2）原式 ； （3）原式 ． 【精练2】（2025八年级下·江苏泰州·专题练习）计算： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查了分式的混合运算，解题关键是熟练掌握分式的约分和几种常见的分解因式的方法是解题的关键． 四个小题均可以按照混合运算法则，先算乘方，再把除法化成乘法，然后约分即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ； （4）解：原式 ． 题型八 分式加减乘除混合运算 【精讲】（24-25八年级下·江苏徐州·期中）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）直接根据分式的乘法运算法则进行运算，结果化为最简分式； （2）先计算小括号内的加法，再计算除法，结果化为最简分式． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【精练1】（25-26八年级下·江苏泰州·月考）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先进行乘方运算，再进行乘除运算即可解答； （2）先将括号内的分式通分，再进行减法运算，最后进行乘除运算即可解答． 【详解】（1）解： （2）解： ． 【精练2】（24-25八年级下·江苏连云港·月考）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先根据分式基本性质统一分母，化为同分母分式后通分相加计算结果； （2）先利用平方差公式，完全平方公式分解因式，将除法转化为乘法后约分，再计算减法得到最终结果． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 题型九 分式化简求值 【精讲】（25-26八年级下·江苏盐城·期中）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】先由分式混合运算化简分式，再将代入化简后的分式计算即可． 【详解】解： ， 当时，原式． 【精练1】（25-26八年级下·江苏无锡·期中）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【详解】解： ， 当时，原式． 【精练2】（25-26八年级下·江苏连云港·期中）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】先算括号内的减法，再算加法，化简得到最简结果，然后根据负整数指数幂的运算法则计算出的值，再将其代入求出结果． 【详解】解：原式， ， 原式． 题型十 分式最值 【精讲】（25-26八年级下·江苏南通·月考）新定义：如果任意交换两个字母的位置，式子的值都不变，那么我们把这样的式子称作交换对称式． 例如：，它们都是交换对称式．已知：， ①若，则交换对称式________； ②若，则交换对称式的最小值为________． 【答案】 【分析】本题考查了分式的混合运算和完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是关键． 对于①，利用多项式的乘法得到和的值，代入表达式求值；对于②，先将表达式化简为关于的表达式，然后配方求最小值． 【详解】①∵，， ∴， ∴，， ∵ ∵，， ∴原式， 故答案为； ② ∵ ∴原式 故答案为． 【精练1】（25-26八年级下·江苏镇江·月考）请仔细阅读下面材料，然后解决问题： 在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”，例如：；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”，例如：．我们知道，假分数可化为带分数，例，类似的，假分式也可以化为“带分式”（整式与真分式和的形式），例如：． (1)将分式化为带分式； (2)当x取哪些整数值时，分式的值也是整数？ (3)当______时，分式的最大值是______． 【答案】(1) (2) (3)当时，分式的最大值是5 【分析】本题考查了分式的运算与变形，分式的值等知识． （1）根据材料提供方法变形即可求解； （2）由（1）得，根据分式的值是整数，得到为整数，即可得到当x取整数时，是3的整数因数，得到或，即可求出； （3）变形为，即可得到当取最小值时，分式有最大值．根据，得到，求出当时，，问题得解． 【详解】（1）解：； （2）解：∵由（1）得， ∵分式的值是整数， ∴为整数， ∴当x取整数时，是3的整数因数， ∴或， ∴； （3）解：， ∴当取最小值时，分式有最大值． ∵， ∴， ∴当即时，， 故当时，分式的最大值是5． 【精练2】（24-25八年级下·江苏南通·月考）阅读下面材料，并解答问题． 材料：将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式． 解：由分母为，可设 则 对应任意，上述等式均成立，，，． 这样，分式被拆分成了一个整式与一个分式的和． 解答： (1)将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式； (2)如果的值为整数，求的整数值； (3)当时，试求的最小值． 【答案】(1)分式被拆分成了一个整式与一个分式的和 (2) (3)8 【分析】本题考查了分式的拆分运算、平方数的非负性、不等式的运算等知识点，读懂材料，掌握分式的运算法则是解题关键． （1）参照例题材料，设−，然后求出a、b的值，从而即可得出答案； （2）由，结合它为整数得到为整数，因此，，求解即可； （3）由得到，进而，，即可解答． 【详解】（1）解：由分母为，可设 则 对应任意，上述等式均成立， ， ，． ， 这样，分式被拆分成了一个整式与一个分式的和． （2）解：， ∵的值为整数， ∴为整数， ∵x为整数， ∴，， ∴ （3）解：由（1）得， 当时，， ∴，， ∴， 即， ∴的最小值为8． 03 真题强化 实战 【基础夯实 能力提升】 1．（24-25八年级下·江苏南通·期末）计算的结果等于（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了同分母的分式的加减运算﹒先根据同分母分式的加减运算法则计算得，再约分即可求解﹒ 【详解】解：﹒ 故选：C﹒ 2．（24-25八年级下·江苏镇江·期末）某工程队要修路米，原计划平均每天修米．因天气原因，平均每天少修米（）．因此，实际完成工程的时间比原计划推迟的天数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了分式的加减运算的应用， 根据原计划和实际的工作效率，分别求出完成时间，再计算两者的差值即为推迟天数． 【详解】原计划时间为：总路程为米，原计划每天修米，故原计划完成时间为天． 实际时间为：实际每天修米，故实际完成时间为天． ∴推迟天数为实际时间减去原计划时间， ∴ ． 故选：B． 3．（24-25八年级下·江苏泰州·期末）已知，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查分式的求值．解题关键是将比例式转化为与的关系，再代入分式中化简． 设，将和用表示，从而代入简化计算． 【详解】根据比例式，设，代入分式： ， 答：A． 4．（24-25八年级下·江苏镇江·期末）若，则的值为______． 【答案】 【分析】根据已知等式变形得到和，进一步推出，再将所求代数式整体代换化简，即可求出值． 【详解】解：， ，，且， ，即， 原式 ． 5．（24-25八年级下·江苏连云港·期末）已知实数x满足，则分式的值为_____________； 【答案】/ 【分析】本题考查了分式的化简求值； 由已知条件 ，可得 ，即 ．代入分式的分母可得 ．再化简分式即可得到结果． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴ 故答案为 ． 6．（24-25八年级下·江苏扬州·期末）规定：在平面直角坐标系中，如果一个点的横、纵坐标均为正整数，那么称这个点为“正整点”．函数图像上“正整点”的坐标为_______． 【答案】 【分析】本题主要考查了分式的值、分式的加减法、新定义等知识点，掌握新定义成为解题的关键． 由题意可得，为正整数，然后分、、三种情况分别代入计算即可解答． 【详解】解：∵函数图像上“正整点”， ∴，为正整数， 当时，无意义，不符合题意； 当时，，即“正整点”的坐标为． 当时，为小于1的正分数，不可能为整数，不符合题意． 综上，函数图像上“正整点”的坐标为． 故答案为：． 7．（23-24八年级下·江苏连云港·期末）八下数学《伴你学》第55页有这样一段表述：当分母的次数高于分子的次数时，我们把这个分式叫做真分式．当分母的次数不低于分子的次数时，我们把这个分式叫做假分式．任何一个假分式都能化成整式和真分式的代数和的形式．如： 阅读完这段文字后，小丽认为，当时，随着x的不断增大，的值会无限接近一个数．类比上述过程，当时，随着x的不断增大，的值会无限接近的一个数是____． 【答案】2 【分析】本题考查分式的性质，熟练掌握分式的基本性质，理解题中的变量分离的方法是解题的关键． 由，再结合的取值范围即可求解． 【详解】解：∵， ∵当时，随着的不断增大而减小，的值无限接近0， ∴的值无限接近2， 故答案为2． 8．（24-25八年级下·江苏泰州·期末）小丽和小明在做一道练习题：已知，试比较与的大小． 小丽说：“当，时，有，；因为，所以”． 小明说：“小丽的做法不正确，因为，只是一个特例，不具有一般性．可以……”，请你将小明的做法补充完整． 【答案】见解析 【分析】本题考查分式的加减法，熟练掌握分式加减计算的方法是本题的关键．计算，若差值大于0，说明；若差值等于0，说明；若差值小于0，说明． 【详解】解： ∵， ∴，， ∴． 故． 9．（24-25八年级下·江苏泰州·期末）课堂上，老师提出了下面的问题：若，试比较与的大小． 小华：整式的大小比较可采取“作差法”．例如比较与的大小．因为，所以． 老师：分式的大小比较能用“作差法”吗？ (1)请用“作差法”完成老师提出的问题； (2)比较大小：___________． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查分式运算的应用，解题关键是理解材料，通过作差法求解，掌握分式运算的方法． （1）根据作差法求的值即可得出答案； （2）根据作差法求的值即可得出答案． 【详解】（1）解：， ， ， ； （2）解：， ． 故答案为：． 10．（23-24八年级下·江苏泰州·期末）先化简，再求值：，且为满足的整数． 【答案】， 【分析】本题考查分式的化简求值，除法变乘法，利用乘法分配律进行计算，化简后再代入一个使分式有意义的值计算即可． 【详解】解：原式 ； ∵且， ∴且， ∵且是整数， ∴， ∴当时，原式． 【拓展拔尖 冲刺满分】 1．（23-24八年级下·江苏苏州·期末）在平面直角坐标系中，过点的直线交x轴、y轴于点，，则的最小值为（    ） A． B． C． D．以上均不正确 【答案】B 【分析】首先求出，所在直线的解析式为，然后将代入得到，然后代入变形为，利用换元法和完全平方公式得到，然后利用平方的非负性求解即可． 【详解】设，所在直线的解析式为 ∴，解得 ∴ ∴将代入得 整理得，即 ∴ 设 ∴原式 ∵ ∴ ∴的最小值为 ∴的最小值为． ∴的最小值为． 故选：B． 2．（24-25八年级下·江苏镇江·期末）对于，，有以下两个结论：①若，则；②若，则．对于这两个结论，说法正确的是（    ） A．①对②不对 B．①不对②对 C．①②都对 D．①②都不对 【答案】C 【分析】根据分式的加减计算，进而判断①②，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴ ①若，则， ∴，故①正确； ②若，即，则，则，故②正确， 故选：C． 3．（24-25八年级下·江苏南通·期末）若，且，则的值为（   ）． A．1 B． C．3 D． 【答案】D 【分析】本题考查了分式的化简求值，正确进行分式的化简是关键． 首先把所求的式子化成的形式，然后根据，即，，代入求解． 【详解】解： ， ，，， ∴原式． 故选：D． 4．（24-25八年级下·江苏无锡·期末）已知，则的值是______． 【答案】/-0.25 【分析】先把所给等式的左边通分，再相减，可得，再根据等式性质可得，即可得出，再代入，化简即可求出结果． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案是：． 5．（24-25八年级下·江苏苏州·期末）若恒成立，则______． 【答案】4 【分析】根据分式的性质，将等式的右边进行分式的加法运算，再比较两个分式，即可求得的值，再计算即可． 【详解】 ， ， 解得． ． 故答案为：4． 6．（24-25八年级下·江苏宿迁·期末）已知正数、、满足：，，，则______． 【答案】/ 【分析】本题考查了分式的化简求值．计算，然后整体代入求解即可． 【详解】解：因为 ， 所以， 解得． 故答案为：． 7．（24-25八年级下·江苏扬州·期末）已知，则式子的值是___________． 【答案】 【分析】此题考查了分式的求值，熟练掌握分式的运算法则和整体代入是解题法关键． 由得到，再整体代入即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故答案为： 8．（24-25八年级下·江苏连云港·期末）先化简，再求值：，其中． 【答案】，3 【分析】本题考查分式的化简求值，熟练掌握分式的混合运算法则是解答的关键． 先根据分式的混合运算，结合因式分解化简原式，再代值求解即可． 【详解】解： ， 当时，原式． 9．（24-25八年级下·江苏泰州·期末）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先算括号内的式子，同时将除法转化为乘法，然后约分即可； （2）首先计算绝对值，零指数幂，负整数指数幂和二次根式的乘法，然后计算加减． 【详解】（1） ； （2） ． 10．（24-25八年级下·江苏泰州·期末）观察下列式子，并探索它们的规律： ①，②，③…… (1)请写出第④个等式：__________； (2)试写出第n个等式表示这个规律，并加以证明． 【答案】(1) (2)，证明见解析 【分析】本题主要考查了分式类规律题，分式的加减运算，明确题意，准确得到规律是解题的关键． （1）观察给出的3个等式，找出分数的分子、分母的变化规律，即可求解； （2）用含n的等式表示（1）中发现的规律，写出第n个等式，再根据异分母的分式加法法则计算化简即可证明． 【详解】（1）解：由题意得：第④个等式为， 故答案为：； （2）解：由题意得，第n个等式为：， 证明： ． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $2025-2026学年苏科版新教材数学八年级下册期末复习重点难点专题培优练 专题07 分式的加减乘除运算『期末复习重难点专题培优』 【8个高频易错题型讲练+期末真题实战演练 共44题】 01 题型汇总 目录 【重点题型 分类讲练】 1 题型一 异分母分式加减法 1 题型二 整式与分式相加减 2 题型三 已知分式恒等式，确定分子或分母 2 题型四 分式加减混合运算 3 题型五 分式加减的实际应用 3 题型六 分式乘除混合运算 5 题型七 含乘方的分式乘除混合运算 6 题型八 分式加减乘除混合运算 7 题型九 分式化简求值 8 题型十 分式最值 8 【基础夯实 能力提升】 10 【拓展拔尖 冲刺满分】 11 02 题型汇编 讲练 【重点题型 分类讲练】 题型一 异分母分式加减法 【精讲】（2026八年级下·江苏·专题练习）计算： (1)； (2)． 【精练1】（25-26八年级下·江苏无锡·期中）已知，且，则______． 【精练2】（25-26八年级下·江苏泰州·月考）并联电路中两个电阻的阻值分别为，电路的总电阻和满足，则可表示为______（用含，的代数式表示）． 题型二 整式与分式相加减 【精讲】（24-25八年级下·河南三门峡·期末）化简的结果是（   ） A． B． C． D． 【精练1】（24-25八年级下·江苏泰州·期中）已知，则的取值范围为（　　） A． B． C．且 D．且 【精练2】（24-25八年级下·江苏宿迁·期中）化简： (1) (2) 题型三 已知分式恒等式，确定分子或分母 【精讲】（2026八年级下·江苏泰州·专题练习）无论取何值，分式的值始终保持不变（分母不为零），则的值为______． 【精练1】（25-26八年级下·江苏南通·月考）若，对任意自然数都成立，则________，可以将一个分式裂项为几项分式的和的形式，利用类似的方法，试求________． 【精练2】（2024八年级下·江苏·专题练习）已知，求3A－B． 题型四 分式加减混合运算 【精讲】（23-24八年级下·江苏泰州·月考）照相机成像应用了一个重要原理，用公式表示，其中f表示照相机镜头的焦距，u表示物体到镜头的距离，v表示胶片（像）到镜头的距离．已知f，v，则（    ） A． B． C． D． 【精练1】（23-24八年级下·江苏淮安·期中）定义：两个分式与满足：，则称与这两个分式互为“美妙分式”． (1)下列三组分式：①与；②与；③与．其中互为“美妙分式”的有________________（只填序号）； (2)求分式的“美妙分式”. 【精练2】（23-24八年级下·江苏无锡·期中）已知非零实数x，y满足，则的值等于______． 题型五 分式加减的实际应用 【精讲】（25-26八年级下·江苏南京·月考）如图，“丰收1号”小麦的试验田是边长为a米的大正方形减去一个边长为1米的小正方形蓄水池后余下的部分，“丰收2号”小麦的试验田是边长为米的正方形，若两块试验田都收获了m千克小麦，则“丰收2号”试验田的单位面积产量比“丰收1号”试验田的单位面积产量多______． 【精练1】（2025·江苏南京·中考真题）已知，试比较与的大小． 【精练2】（23-24八年级下·江苏盐城·期中）课堂上，老师提出下面的问题： 已知，，，试比较M与N的大小．小聪：整式的大小比较可采用“作差法” 老师：比较与的大小． 小聪：∵， ∴． 老师：分式的大小比较能用“作差法”吗？ … (1)请用“作差法”完成老师提出的问题； (2)比较大小： ；（填“＜”“＝”或“＞”） (3)解决上述问题后，小慧同学提出一个有关“糖水甜度”的问题：“在一定质量的糖水中，加入一定质量的糖，糖水会变得更甜！你能说明其中的道理吗？” 我们不妨设原有糖水a克，其中含糖b克（），则原糖水的“甜度”可用表示，现向糖水中加入n克糖（），糖水的“甜度”可用表示，请你用数学知识解释其中的奥秘． 题型六 分式乘除混合运算 【精讲】（25-26八年级下·江苏泰州·月考）计算： (1) (2) 【精练1】（25-26八年级下·江苏南京·月考）计算： (1)； (2)． 【精练2】（25-26八年级下·江苏泰州·月考）分解因式与计算 (1) (2) (3) (4) 题型七 含乘方的分式乘除混合运算 【精讲】（25-26八年级下·江苏常州·月考）化简： (1) (2) 【精练1】（2026八年级下·江苏泰州·专题练习）化简： (1)； (2)； (3)． 【精练2】（2025八年级下·江苏泰州·专题练习）计算： (1) (2) (3) (4) 题型八 分式加减乘除混合运算 【精讲】（24-25八年级下·江苏徐州·期中）计算： (1)； (2)． 【精练1】（25-26八年级下·江苏泰州·月考）计算： (1)； (2)． 【精练2】（24-25八年级下·江苏连云港·月考）计算： (1) (2) 题型九 分式化简求值 【精讲】（25-26八年级下·江苏盐城·期中）先化简，再求值：，其中． 【精练1】（25-26八年级下·江苏无锡·期中）先化简，再求值：，其中． 【精练2】（25-26八年级下·江苏连云港·期中）先化简，再求值：，其中． 题型十 分式最值 【精讲】（25-26八年级下·江苏南通·月考）新定义：如果任意交换两个字母的位置，式子的值都不变，那么我们把这样的式子称作交换对称式． 例如：，它们都是交换对称式．已知：， ①若，则交换对称式________； ②若，则交换对称式的最小值为________． 【精练1】（25-26八年级下·江苏镇江·月考）请仔细阅读下面材料，然后解决问题： 在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”，例如：；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”，例如：．我们知道，假分数可化为带分数，例，类似的，假分式也可以化为“带分式”（整式与真分式和的形式），例如：． (1)将分式化为带分式； (2)当x取哪些整数值时，分式的值也是整数？ (3)当______时，分式的最大值是______． 【精练2】（24-25八年级下·江苏南通·月考）阅读下面材料，并解答问题． 材料：将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式． 解：由分母为，可设 则 对应任意，上述等式均成立，，，． 这样，分式被拆分成了一个整式与一个分式的和． 解答： (1)将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式； (2)如果的值为整数，求的整数值； (3)当时，试求的最小值． 03 真题强化 实战 【基础夯实 能力提升】 1．（24-25八年级下·江苏南通·期末）计算的结果等于（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·江苏镇江·期末）某工程队要修路米，原计划平均每天修米．因天气原因，平均每天少修米（）．因此，实际完成工程的时间比原计划推迟的天数为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级下·江苏泰州·期末）已知，则的值为（    ） A． B． C． D． 4．（24-25八年级下·江苏镇江·期末）若，则的值为______． 5．（24-25八年级下·江苏连云港·期末）已知实数x满足，则分式的值为_____________； 6．（24-25八年级下·江苏扬州·期末）规定：在平面直角坐标系中，如果一个点的横、纵坐标均为正整数，那么称这个点为“正整点”．函数图像上“正整点”的坐标为_______． 7．（23-24八年级下·江苏连云港·期末）八下数学《伴你学》第55页有这样一段表述：当分母的次数高于分子的次数时，我们把这个分式叫做真分式．当分母的次数不低于分子的次数时，我们把这个分式叫做假分式．任何一个假分式都能化成整式和真分式的代数和的形式．如： 阅读完这段文字后，小丽认为，当时，随着x的不断增大，的值会无限接近一个数．类比上述过程，当时，随着x的不断增大，的值会无限接近的一个数是____． 8．（24-25八年级下·江苏泰州·期末）小丽和小明在做一道练习题：已知，试比较与的大小． 小丽说：“当，时，有，；因为，所以”． 小明说：“小丽的做法不正确，因为，只是一个特例，不具有一般性．可以……”，请你将小明的做法补充完整． 9．（24-25八年级下·江苏泰州·期末）课堂上，老师提出了下面的问题：若，试比较与的大小． 小华：整式的大小比较可采取“作差法”．例如比较与的大小．因为，所以． 老师：分式的大小比较能用“作差法”吗？ (1)请用“作差法”完成老师提出的问题； (2)比较大小：___________． 10．（23-24八年级下·江苏泰州·期末）先化简，再求值：，且为满足的整数． 【拓展拔尖 冲刺满分】 1．（23-24八年级下·江苏苏州·期末）在平面直角坐标系中，过点的直线交x轴、y轴于点，，则的最小值为（    ） A． B． C． D．以上均不正确 2．（24-25八年级下·江苏镇江·期末）对于，，有以下两个结论：①若，则；②若，则．对于这两个结论，说法正确的是（    ） A．①对②不对 B．①不对②对 C．①②都对 D．①②都不对 3．（24-25八年级下·江苏南通·期末）若，且，则的值为（   ）． A．1 B． C．3 D． 4．（24-25八年级下·江苏无锡·期末）已知，则的值是______． 5．（24-25八年级下·江苏苏州·期末）若恒成立，则______． 6．（24-25八年级下·江苏宿迁·期末）已知正数、、满足：，，，则______． 7．（24-25八年级下·江苏扬州·期末）已知，则式子的值是___________． 8．（25-26八年级下·江苏连云港·期末）先化简，再求值：，其中． 9．（24-25八年级下·江苏泰州·期末）计算： (1)； (2)． 10．（24-25八年级下·江苏泰州·期末）观察下列式子，并探索它们的规律： ①，②，③…… (1)请写出第④个等式：__________； (2)试写出第n个等式表示这个规律，并加以证明． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $