专题02： 概率（2大概念+7大题型） 2025-2026学年八年级下学期数学期末考试专题复习（苏科版）

2025-2026学年八年级下学期 数学期末专题复习 专题:02： 概率（2大概念+7大题型） 模块1：思维导图+题型预览 模块2：课本复盘+考点默写 考点1：事件的分类与概念 1.在一定条件下,有些事件我们事先能确定它一定 ,这样的事件是不可能事件； 2．在一定条件下,有些事件我们事先能确定它一定 ,这样的事件是必然事件； 3.在一定条件下,很多事件我们事先 ,这样的事件是随机事件。 4. 事件与 事件都属于确定性事件。 考点2：概率的意义 1.概率：把用于度量一个 发生的可能性大小的数值,称为这个事件发生的概率；如果用字母A表示一个事件,那么 表示事件A 发生的概率 . 2.通常规定,必然事件A 发生的概率是 ,记作 ; 不可能事件A 发生的概率是 ,记作 ; 随机事件A 发生的概率P(A)是 和 之间的数。 考点3：频率与概率 1.频率：在多次重复试验中， 与 的比值。 2.在大量重复试验中,一个随机事件发生的频率在某一个常数附近摆动,并趋于 ,我们把这种现象称为 ,并且用这个频率的稳定值作为该随机事件的 . 3.概率是对随机事件发生 的一种度量 .在大量 试验中,随机事件发生的频率具有 .实际生活中,能够进行大量重复试验的随机事件,可以通过 估计概率 . 模块3：重点题型+变式训练 【题型1】判断事件的类型 【例题】1．下列事件中是必然事件的是（   ） A．本次考试小明同学能考120分 B．明天早上会下雨 C．花生油滴入水中，油会浮在水面上 D．小军后天到衡阳旅游的飞机会晚点 【变式训练】 1．下列事件为必然事件的是（　　） A．正数大于负数 B．买一张电影票，座位号是奇数号 C．掷一次骰子，朝上一面的点数大于7 D．雨后出现彩虹 2．下列成语所描述的事件中，属于随机事件的是（    ） A．不期而遇 B．旭日东升 C．水中捞月 D．水涨船高 3．“版七年级下册数学课本共页，某同学随手翻开，恰好翻到第页”，这个事件是（   ） A．必然事件 B．不可能事件 C．随机事件 D．以上都不正确 4．下列事件中，是随机事件的是（    ） A．早上太阳从西方升起 B．将油滴入水中，油会浮在水面上 C．抛出的石头会下落 D．掷一枚骰子，向上一面的数字是偶数 【题型2】比较事件发生可能性大小 【例题】2.盒子里有仅颜色不同的100个球，其中绿球有5个，黄球有12个，黑球有3个，其余为红球，小辰从中任意摸出一个球，摸到球的可能性最大的是（   ） A．绿球 B．黄球 C．红球 D．黑球 【变式训练】 1．下列成语描述的事件中，发生的可能性最小的是（    ） A．瓜熟蒂落 B．大海捞针 C．水中捞月 D．百发百中 2．下列语句所描述的事件，可能性最小的是（   ） A．旭日东升 B．小暑热得透，大暑凉飕飕 C．水中捞月 D．种瓜得瓜，种豆得豆 3．下列成语所反映的事件中，可能性大小最小的事件是（    ） A．水中捞月 B．一箭双雕 C．旭日东升 D．绳锯木断 4．法国数学家拉普拉斯说：生活中最重要的问题，绝大部分其实只是概率问题．下列民间谚语中事件发生的概率最大的是（  ） A．竹篮打水 B．瑞雪兆丰年 C．乌云脚底白，定有大雨来 D．滴水穿石 【题型3】判断对概率意义的理解 【例题】3. 下列说法正确的是（） A．种植一种花卉成活率是，则种100株这种花一定会有95株成活 B．天气预报“明天降水概率是”，是指明天有的时间会下雨 C．某位体育老师参加深圳市半程马拉松比赛一定能获得大奖 D．随机掷一枚质地均匀的骰子，若前3次都掷出“1”，则第4次仍然可能掷出“1” 【变式训练】 1．下列说法正确的是（   ） A．一种福利彩票中奖率是千分之一，则买这种彩票1000张，一定会中奖 B．天气预报“明天降水概率为”，是指明天有的时间会下雨 C．连续掷一枚均匀硬币，若4次都是正面朝上，则第五次正面朝上的概率为 D．相等的两个角是对顶角 2．关于概率意义的理解，下列说法正确的是（   ） A．某射击运动员射击一次只有两种可能的结果：中靶与不中，所以他击中靶的概率是． B．中国星网星座计划中，某批次卫星发射成功概率为0.95，则发射100颗该批次卫星，一定会有95颗成功入轨． C．小明做了2次抛掷均匀硬币的试验，结果两次正面朝上，他认为再抛一次一定是反面朝上． D．据行业报告，2026年我国智能算力占比有望突破，但对于某一家具体企业而言，其智能算力占比可能远高于或远低于这一数值． 3．小华在罚球线上投篮的命中率大约是，下列说法错误的是（   ） A．小华在罚球线上投篮1次，投中的可能性较大 B．小华在罚球线上投篮1次，投不中的可能性较小 C．小华在罚球线上连续投篮5次，一定能投中3次 D．小华在罚球线上连续投篮5次，有投中3次的可能性 4．盲盒，是指一种商品销售模式，消费者在购买时并不知道具体款式，只有在拆开后才能知晓内容．这种模式通常用于潮流玩具、手办、文具或收藏卡等领域，其核心吸引力在于不确定性带来的惊喜感与收集乐趣．现有某种盲盒，商家承诺该盲盒中可开出种普通款玩偶中的一种，概率相同，还有的概率开出一种隐藏款玩偶．关于该盲盒的情况，下列说法中正确的是（   ） A．若要集齐种普通款玩偶，只需要购买个盲盒即可 B．考虑到隐藏款的存在，若要集齐种普通款玩偶，只需要购买个盲盒即可 C．若购买个盲盒，肯定会重复出现某款玩偶 D．若购买个盲盒，其中一定会有一个隐藏款玩偶 【题型4】求某事件发生的频率 【例题】4．王力同学在做“投掷一枚正方体骰子”的实验时，连续抛了10次，共有3次掷得数字“5”．则掷得数字“5”的频率是（   ） A． B． C． D． 【变式训练】 1．投掷一枚硬币次，“正面朝上”的有次，则“正面朝上”的频率为（　　） A．54 B．46 C．0.54 D．0.46 2．假期将至，学校向全校师生发出倡议“不去河沟游玩，防落水；不去河沟游泳，防溺水”．在这句宣传语中，“河”字出现的频率为________． 3．如图是一枚图钉被抛起后钉尖触地的频率和抛掷次数变化趋势图，则一枚图钉被抛起后钉尖触地的频率稳定值约是____． 4．“深度求索”的英语单词“”中，字母“e”出现的频率是________． 【题型5】判断频率与概率的说法正误 【例题】5．下列说法正确的是（   ） A．某彩票的中奖概率是，那么买100张彩票一定有5张中奖 B．掷一枚质地均匀的硬币次，正面向上的频率随着的增大，稳定在附近 C．概率很小的事件是不可能事件 D．只要试验的次数足够多，频率就等于概率 【变式训练】 1．以下说法正确的是（    ） A．在做用频率估计概率的试验时，只要试验的次数足够多，一定可以得到概率的精确值 B．在做抛瓶盖的试验时，每名同学尽量用相同规格的瓶盖进行试验，然后再汇总全班同学的数据进行估计概率 C．在用频率估计概率时，因为随机事件是否发生是不确定的，每次得到的频率一般是不同的，所以随机事件发生的概率也是不确定的 D．在做抛瓶盖的试验时，如果上一次试验盖口向上，那么进行下一次试验时盖口向上的可能性会减小 2．在相同条件下的多次重复试验中，一个随机事件发生的频率为，该事件的概率为．下列说法正确的是（   ） A．试验次数越多，越大 B．试验次数越多，越大 C．与都可能发生变化 D．试验次数大量增加时，在附近摆动，并趋于稳定 3．在一个不透明的袋子里装有若干个红球和黄球，这些球除颜色外完全相同，从中任意摸出一个球，记下颜色后放回，搅匀后再重新摸球．下列说法正确的是（    ） A．摸到黄球的频数越大，摸到黄球的频率越大 B．摸到黄球的频数越大，摸到黄球的频率越小 C．重复多次摸球后，摸到黄球的频数逐渐稳定 D．重复多次摸球后，摸到黄球的频率逐渐稳定 4．如图，显示了用计算机模拟随机投掷一枚图钉的某次试验的结果．下面的推断合理的是（　　） A．当投掷次数是500时，计算机记录“钉尖向上”的次数是308，所以“钉尖向上”的概率是 B．当投掷次数是6000时，“钉尖向上”的频率一定是 C．随着试验次数的增加，“钉尖向上”的频率总在附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“钉尖向上”的概率是 D．若再次用计算机模拟此试验，则当投掷次数为1000时，“钉尖向上”的频率一定仍是 【题型6】用频率估计概率 【例题】6．欢欢将自己的微信付款码打印在面积为的正方形纸上，如图所示，为了估计图中黑色部分的面积，他在纸内随机掷点，经过大量重复试验，发现点落入黑色部分的频率稳定在0.6左右，据此可以估计黑色部分的面积约为（    ） A． B． C． D． 【变式训练】 1．在相同条件下，选取一定数量的小麦种子做发芽试种，结果如下表所示： 试种数量 200 500 1000 1500 2000 发芽的频率 0.78 0.82 0.79 0.81 0.80 试估计种植一粒该品种的小麦发芽的概率约是（   ） A．0.79 B．0.80 C．0.81 D．0.82 2．一个不透明的袋子中装有若干个除颜色外均相同的小球，小红从袋子中随机取出一个球记下颜色再放回袋子，通过大量重复试验后，黑色小球出现的频率如图所示，则摸到黑球的概率约为（    ） A． B． C． D． 3．“泰山国际登山节”的赛事共有两项，“专业竞技组”和“全民健身组”．小军参加了志愿者服务工作，为估算“全民健身组”的人数，对部分参赛选手做了调查：请估算本次赛事参加“全民健身组”人数的概率为_____ 调查人数 20 50 100 200 500 1000 参加人数 15 39 81 171 426 852 频率 0.810 0.855 0.852 0.852 4．“一人一盔安全守规，一人一戴平安常在”，如表是某厂质检部门对该厂生产的一批头盔质量检测的情况． 抽取的头盔数 合格品数 合格品频率 从这批头盔中任意抽取一顶是合格品的概率的估计值是__________（精确到）． 【题型7】频率与概率的综合应用 【例题】7．植树节为每年月日，某单位买了一批树苗组织员工去植树，资料显示该种树苗在相同条件下成活试验的部分结果如下表： 每批棵数 成活的棵数 成活的频率 (1)完成上述表格：___________，___________； (2)这种树苗成活的概率估计值为___________（精确到）． 【变式训练】 1．“一人一盔安全守规，一人一戴平安常在”．下表是某厂质检部门对该厂生产的一批头盔质量检测的情况． 抽取的头盔数 500 1000 1500 2000 3000 4000 合格品数 491 986 1470 2949 3932 合格品频率 (1)求出表中__________，__________； (2)从这批头盔中任意抽取一顶是合格品的概率的估计值是__________（精确到）； (3)如果生产50000顶头盔，估计有多少顶头盔是合格品？ 2．植树节为每年3月12日，某中学买了一批树苗组织学生去植树，资料显示该种树苗在相同条件下成活试验的部分结果如下表： 每批棵数 50 100 150 400 800 1000 成活的棵数 37 77 316 640 800 成活的频率 0.74 0.77 0.78 0.79 0.80 (1)完成上述表格：_____，_____； (2)这种树苗成活的概率估计值为_____（精确到0.1）． (3)如果想要有600棵树能够成活，那么在相同条件下至少需要买多少棵树苗？ 3．某鱼塘主准备将自家的鱼塘转让出去，现在需要通过估计鱼塘中鱼的数量来估算鱼塘的价值．他从鱼塘中打捞了300条鱼，在每一条鱼身上做好标记后，把这些鱼放归鱼塘，经过一段时间后，再从鱼塘中打捞鱼．通过多次实验得到数据如下表： 每次打捞条数 50 100 150 200 300 400 500 打捞到带标记的鱼的条数 4 11 15 21 30 n 51 打捞到带标记的鱼的频率 0.080 m 0.100 0.105 0.100 0.095 0.102 根据表中数据，回答下列问题： (1)表中________，________； (2)随机从鱼塘中打捞一条鱼，根据表中数据估计这条鱼带标记的概率为________（精确到0.1）； (3)若每条鱼价值大约为45元，则这片鱼塘中的鱼的价值大约是多少元？ 4．（精灵天团）是泡泡玛特旗下的独家潮玩，主要角色为、、、等． 某商场推出了“购物抽盲盒”活动，每个盲盒包含其中一个角色，且每个盲盒被抽中的概率相同．商场记录顾客抽到获得的数据如下： 抽盲盒次数n 100 150 200 500 800 1000 抽到的次数m 11 20 b 79 128 161 抽到的频率 a (1)表中的______， ______． (2)“抽到”的概率的估计值是______（精确到）； (3)商场准备的2000个盲盒全部抽完，除外，若顾客抽到其他三种角色的概率相同，则抽到的次数是多少个？ 试卷第1页，共3页 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年八年级下学期 数学期末专题复习 专题:02： 概率（2大概念+7大题型） 模块1：思维导图+题型预览 模块2：课本复盘+考点默写 考点1：事件的分类与概念 1.在一定条件下,有些事件我们事先能确定它一定不会发生,这样的事件是不可能事件； 2．在一定条件下,有些事件我们事先能确定它一定会发生,这样的事件是必然事件； 3.在一定条件下,很多事件我们事先不能确定会不会发生,这样的事件是随机事件。 4.不可能事件与必然事件都属于确定性事件。 考点2：概率的意义 1.概率：把用于度量一个随机事件发生的可能性大小的数值,称为这个事件发生的概率；如果用字母A表示一个事件,那么P(A)表示事件A 发生的概率 . 2.通常规定,必然事件A 发生的概率是 1,记作 P(A) =1 ; 不可能事件A 发生的概率是 0 ,记作 P(A) =0 ; 随机事件A 发生的概率P(A)是 0 和 1 之间的数。 考点3：频率与概率 1.频率：在多次重复试验中，事件发生的次数与总试验次数的比值。 2.在大量重复试验中,一个随机事件发生的频率在某一个常数附近摆动,并趋于稳定,我们把这种现象称为 频率的稳定性,并且用这个频率的稳定值作为该随机事件的概率 . 3.概率是对随机事件发生可能性大小的一种度量 .在大量重复试验中,随机事件发生的频率具有稳定性.实际生活中,能够进行大量重复试验的随机事件,可以通过频率估计概率 . 模块3：重点题型+变式训练 【题型1】判断事件的类型 【例题】1．下列事件中是必然事件的是（   ） A．本次考试小明同学能考120分 B．明天早上会下雨 C．花生油滴入水中，油会浮在水面上 D．小军后天到衡阳旅游的飞机会晚点 【答案】C 【详解】解：∵必然事件是一定条件下一定发生的事件，随机事件是可能发生也可能不发生的事件， ∴A选项中，小明考试是否得120分不确定，是随机事件； B选项中，明天早上是否下雨不确定，是随机事件； C选项中，花生油密度小于水，花生油滴入水中一定会浮在水面上，是必然事件，符合要求； D选项中，飞机是否晚点不确定，是随机事件． 【变式训练】 1．下列事件为必然事件的是（　　） A．正数大于负数 B．买一张电影票，座位号是奇数号 C．掷一次骰子，朝上一面的点数大于7 D．雨后出现彩虹 【答案】A 【分析】先明确概念：必然事件是一定条件下一定发生的事件，随机事件是可能发生也可能不发生的事件，不可能事件是一定条件下一定不发生的事件，根据必然事件，不可能事件，随机事件的定义，逐一判断选项即可得到答案． 【详解】解：∵所有正数都大于0，所有负数都小于0， ∴ 正数一定大于负数， 故A选项是必然事件； ∵ 买电影票时，座位号可能是奇数也可能是偶数， 故B选项是随机事件； ∵骰子的最大点数为6，不可能出现点数大于7的情况， 故C选项是不可能事件， ∵ 雨后不一定会出现彩虹， 故D选项是随机事件． 2．下列成语所描述的事件中，属于随机事件的是（    ） A．不期而遇 B．旭日东升 C．水中捞月 D．水涨船高 【答案】A 【分析】本题考查事件的分类，需根据随机事件、必然事件、不可能事件的概念判断各选项，随机事件指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件． 【详解】解：A、不期而遇是可能发生也可能不发生的事件，属于随机事件； B、旭日东升是必然发生的事件，属于必然事件； C、水中捞月是不可能发生的事件，属于不可能事件； D、水涨船高是必然发生的事件，属于必然事件． 3．“版七年级下册数学课本共页，某同学随手翻开，恰好翻到第页”，这个事件是（   ） A．必然事件 B．不可能事件 C．随机事件 D．以上都不正确 【答案】C 【分析】必然事件指一定条件下一定发生的事件，不可能事件指一定条件下一定不发生的事件，随机事件指一定条件下可能发生也可能不发生的事件，根据定义判断即可． 【详解】解：∵课本共页，随手翻开时，恰好翻到第页可能发生也可能不发生，符合随机事件的定义， ∴这个事件是随机事件． 4．下列事件中，是随机事件的是（    ） A．早上太阳从西方升起 B．将油滴入水中，油会浮在水面上 C．抛出的石头会下落 D．掷一枚骰子，向上一面的数字是偶数 【答案】D 【详解】解：选项A，早上太阳从西方升起，一定不发生，是不可能事件，不符合题意； 选项B，油滴入水中油浮在水面，一定发生，是必然事件，不符合题意； 选项C，抛出的石头一定会下落，一定发生，是必然事件，不符合题意； 选项D，掷一枚骰子，向上一面的数字可能是奇数也可能是偶数，结果不确定，可能发生也可能不发生，是随机事件，符合题意． 【题型2】比较事件发生可能性大小 【例题】2. 盒子里有仅颜色不同的100个球，其中绿球有5个，黄球有12个，黑球有3个，其余为红球，小辰从中任意摸出一个球，摸到球的可能性最大的是（   ） A．绿球 B．黄球 C．红球 D．黑球 【答案】C 【分析】本题根据可能性大小的判断方法解题，哪种颜色的球数量越多，摸到该颜色球的可能性越大，先计算出红球的数量，再比较四种颜色球的数量大小即可得到结论. 【详解】∵总球数为100个，绿球5个，黄球12个，黑球3个， ∴红球数量为 个， ∵ ，即红球数量最多， ∴摸到红球的可能性最大. 【变式训练】 1．下列成语描述的事件中，发生的可能性最小的是（    ） A．瓜熟蒂落 B．大海捞针 C．水中捞月 D．百发百中 【答案】C 【分析】只需判断每个成语对应事件的类型，比较发生概率的大小即可得到结果． 【详解】解：∵瓜熟蒂落是必然事件，发生概率为，百发百中是随机事件，大海捞针是随机事件，发生概率大于0小于1，水中捞月是不可能事件，发生概率为0， ∴水中捞月发生的可能性最小． 2．下列语句所描述的事件，可能性最小的是（   ） A．旭日东升 B．小暑热得透，大暑凉飕飕 C．水中捞月 D．种瓜得瓜，种豆得豆 【答案】C 【分析】先判断每个选项对应事件的类型，得到各事件发生的概率大小，再比较即可得到可能性最小的事件． 【详解】A选项“旭日东升”是必然事件，发生的概率为； B选项“小暑热得透，大暑凉飕飕”是随机事件，发生的概率小于； C选项“水中捞月”是不可能事件，发生的概率为； D选项“种瓜得瓜，种豆得豆”受种子不发芽、植株死亡等因素影响，属于随机事件，发生的概率小于， 因此C选项描述的事件发生的可能性最小． 故选：C． 3．下列成语所反映的事件中，可能性大小最小的事件是（    ） A．水中捞月 B．一箭双雕 C．旭日东升 D．绳锯木断 【答案】A 【详解】解：水中捞月是不可能事件，不可能发生； 一箭双雕是随机事件，有可能发生也有可能不发生； 旭日东升是必然事件，一定发生； 绳锯木断是必然事件，一定发生； 所以在这四个成语所反映的事件中，可能性大小最小的事件是水中捞月． 4．法国数学家拉普拉斯说：生活中最重要的问题，绝大部分其实只是概率问题．下列民间谚语中事件发生的概率最大的是（  ） A．竹篮打水 B．瑞雪兆丰年 C．乌云脚底白，定有大雨来 D．滴水穿石 【答案】D 【详解】解：选项A竹篮打水是不可能事件，概率为， 选项B瑞雪兆丰年是随机事件，概率满足， 选项C乌云脚底白，定有大雨来是随机事件，概率满足， 选项D滴水穿石是必然事件，概率为， ∴四个选项中该事件发生的概率最大，答案为D． 【题型3】判断对概率意义的理解 【例题】3. 下列说法正确的是（） A．种植一种花卉成活率是，则种100株这种花一定会有95株成活 B．天气预报“明天降水概率是”，是指明天有的时间会下雨 C．某位体育老师参加深圳市半程马拉松比赛一定能获得大奖 D．随机掷一枚质地均匀的骰子，若前3次都掷出“1”，则第4次仍然可能掷出“1” 【答案】D 【分析】根据概率表示事件发生可能性大小的定义，逐一判断各选项即可． 【详解】解：A、∵成活率只表示这种花卉成活的可能性为，种植100株不一定会有95株成活，∴A错误； B、∵“明天降水概率是”指明天降水的可能性为30%，不是30%的时间会下雨，∴B错误. C、∵体育老师参加马拉松比赛获得大奖是随机事件，不是必然事件，不一定能发生，∴C错误； D、∵掷质地均匀的骰子是独立随机事件，每次掷出的结果互不影响，前3次掷出1后，第4次仍然可能掷出1，∴D正确． 【变式训练】 1．下列说法正确的是（   ） A．一种福利彩票中奖率是千分之一，则买这种彩票1000张，一定会中奖 B．天气预报“明天降水概率为”，是指明天有的时间会下雨 C．连续掷一枚均匀硬币，若4次都是正面朝上，则第五次正面朝上的概率为 D．相等的两个角是对顶角 【答案】C 【分析】根据概率的意义和对顶角的定义逐一判断即可． 【详解】解： 选项A中，彩票中奖是随机事件，中奖率千分之一，买1000张也不一定会中奖，原说法错误，不符合题意； 选项B中，明天降水概率，指明天下雨的可能性为，不是的时间下雨，原说法错误，不符合题意； 选项C中，均匀硬币每次投掷都是独立随机事件，正面朝上的概率始终为，与前4次结果无关，原说法正确，符合题意； 选项D中，相等的两个角不一定是对顶角，例如平行线的同位角相等，但不是对顶角，原说法错误，不符合题意； 2．关于概率意义的理解，下列说法正确的是（   ） A．某射击运动员射击一次只有两种可能的结果：中靶与不中，所以他击中靶的概率是． B．中国星网星座计划中，某批次卫星发射成功概率为0.95，则发射100颗该批次卫星，一定会有95颗成功入轨． C．小明做了2次抛掷均匀硬币的试验，结果两次正面朝上，他认为再抛一次一定是反面朝上． D．据行业报告，2026年我国智能算力占比有望突破，但对于某一家具体企业而言，其智能算力占比可能远高于或远低于这一数值． 【答案】D 【详解】解：A、射击运动员射击中靶与不中靶不是等可能事件，不满足等可能事件概率的计算条件，击中靶的概率不是，故A错误； B、卫星发射成功概率为0.95仅表示发射成功的可能性大小，不代表发射100颗一定有95颗成功，故B错误； C、抛掷均匀硬币是独立随机事件，每次抛掷正面朝上的概率均为，前两次结果不影响下一次结果，再抛一次不一定是反面朝上，故C错误； D、是全国范围智能算力占比的整体统计结果，反映整体的趋势，单个企业的智能算力占比受具体情况影响，可能远高于或远低于该数值，符合概率意义，故D正确． 3．小华在罚球线上投篮的命中率大约是，下列说法错误的是（   ） A．小华在罚球线上投篮1次，投中的可能性较大 B．小华在罚球线上投篮1次，投不中的可能性较小 C．小华在罚球线上连续投篮5次，一定能投中3次 D．小华在罚球线上连续投篮5次，有投中3次的可能性 【答案】C 【分析】本题考查概率的意义，概率反映事件发生的可能性大小，不代表事件一定发生，据此判断各选项即可． 【详解】解：∵命中率为 投不中的概率为， ∵ ∴投篮1次时，投中的可能性较大，投不中的可能性较小， 故A和B正确； 概率仅表示事件发生的可能性，无法保证事件一定发生， 连投5次，只存在投中3次的可能性，而不是一定投中3次， 故C错误，D正确． 4．盲盒，是指一种商品销售模式，消费者在购买时并不知道具体款式，只有在拆开后才能知晓内容．这种模式通常用于潮流玩具、手办、文具或收藏卡等领域，其核心吸引力在于不确定性带来的惊喜感与收集乐趣．现有某种盲盒，商家承诺该盲盒中可开出种普通款玩偶中的一种，概率相同，还有的概率开出一种隐藏款玩偶．关于该盲盒的情况，下列说法中正确的是（   ） A．若要集齐种普通款玩偶，只需要购买个盲盒即可 B．考虑到隐藏款的存在，若要集齐种普通款玩偶，只需要购买个盲盒即可 C．若购买个盲盒，肯定会重复出现某款玩偶 D．若购买个盲盒，其中一定会有一个隐藏款玩偶 【答案】C 【详解】解：选项，购买个盲盒可能出现重复款式或开出隐藏款，无法保证集齐种普通款，说法错误； 选项，购买个盲盒也可能出现重复普通款或多次开出隐藏款，无法保证集齐种普通款，说法错误； 选项，共有种不同款式，购买的个盲盒对应个款式结果，至少有个盲盒款式相同，一定会重复出现某款玩偶，说法正确； 选项，开出隐藏款的概率为只代表单次购买开出隐藏款的可能性，购买个盲盒仍有可能都不开出隐藏款，说法错误． 【题型4】求某事件发生的频率 【例题】4．王力同学在做“投掷一枚正方体骰子”的实验时，连续抛了10次，共有3次掷得数字“5”．则掷得数字“5”的频率是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据频率的定义，代入计算即可得到结果． 【详解】解：由题意知，掷得数字“5”的频率为 ． 【变式训练】 1．投掷一枚硬币次，“正面朝上”的有次，则“正面朝上”的频率为（　　） A．54 B．46 C．0.54 D．0.46 【答案】D 【分析】本题主要考查了求频率，根据频率等于频数除以总数进行求解即可． 由频率是频数与总次数的比值，代入求值即可． 【详解】解：∵总投掷次数为100次，“正面朝上”频数为46次， ∴频率为， 故选D． 2．假期将至，学校向全校师生发出倡议“不去河沟游玩，防落水；不去河沟游泳，防溺水”．在这句宣传语中，“河”字出现的频率为________． 【答案】 【分析】本题主要考查了频数与频率的运用，解题时注意：频率＝频数÷数据总数，即用“河”字出现的次数除以总的字的个数求解． 【详解】解：“不去河沟游玩，防落水；不去河沟游泳，防溺水”，共有18个字，其中“河”字出现的次数为2次， ∴“河”字出现的频率为． 3．如图是一枚图钉被抛起后钉尖触地的频率和抛掷次数变化趋势图，则一枚图钉被抛起后钉尖触地的频率稳定值约是____． 【答案】 【详解】解：随着抛掷次数的增加，钉尖触地频率逐渐稳定在附近， 则一枚图钉被抛起后钉尖触地的频率稳定值约是． 4．“深度求索”的英语单词“”中，字母“e”出现的频率是________． 【答案】 【分析】本题主要考查了求频率，用字母e的个数除以字母的总个数即可得到答案． 【详解】解：“深度求索”的英语单词“”中，字母“e”出现的频率是， 故答案为：． 【题型5】判断频率与概率的说法正误 【例题】5．下列说法正确的是（   ） A．某彩票的中奖概率是，那么买100张彩票一定有5张中奖 B．掷一枚质地均匀的硬币次，正面向上的频率随着的增大，稳定在附近 C．概率很小的事件是不可能事件 D．只要试验的次数足够多，频率就等于概率 【答案】B 【分析】本题考查概率与频率的基本概念，辨析各选项是否符合概率相关定义即可得出答案． 【详解】解：A选项，∵中奖概率表示每张彩票中奖的可能性为，买张彩票是随机事件，不一定有张中奖， ∴A错误． B选项，∵根据频率的稳定性，掷质地均匀的硬币，当试验次数增大时，正面向上的频率会稳定在概率附近， ∴B正确． C选项，∵概率很小的事件仍有可能发生，不可能事件是一定不发生的事件，概率为，∴C错误． D选项，∵当试验次数足够多时，频率会稳定在概率附近，是接近概率，并非等于概率，∴D错误． 【变式训练】 1．以下说法正确的是（    ） A．在做用频率估计概率的试验时，只要试验的次数足够多，一定可以得到概率的精确值 B．在做抛瓶盖的试验时，每名同学尽量用相同规格的瓶盖进行试验，然后再汇总全班同学的数据进行估计概率 C．在用频率估计概率时，因为随机事件是否发生是不确定的，每次得到的频率一般是不同的，所以随机事件发生的概率也是不确定的 D．在做抛瓶盖的试验时，如果上一次试验盖口向上，那么进行下一次试验时盖口向上的可能性会减小 【答案】B 【分析】根据频率与概率的关系，逐一判断各选项正误即可． 【详解】解：∵用频率估计概率得到的是概率的近似值，即使试验次数足够多，也无法得到概率的精确值，∴A错误． ∵用相同规格瓶盖可以保证试验条件一致，汇总全班数据增大了试验次数，能提高估计的准确性，符合频率估计概率的试验要求，∴B正确． ∵随机事件发生的概率是固定的确定值，频率是每次试验得到的不确定数值，频率的不确定性不影响概率的确定性，∴C错误． ∵每次抛瓶盖试验都是独立事件，上一次试验的结果不会影响下一次结果发生的可能性大小，∴D错误． 2．在相同条件下的多次重复试验中，一个随机事件发生的频率为，该事件的概率为．下列说法正确的是（   ） A．试验次数越多，越大 B．试验次数越多，越大 C．与都可能发生变化 D．试验次数大量增加时，在附近摆动，并趋于稳定 【答案】D 【分析】概率P是固定值，频率f随试验次数增加在P附近波动并趋于稳定. 本题考查频率与概率的关系，熟练掌握二者的关系是解题的关键. 【详解】解：∵ 概率P是常数，不随试验次数改变； 频率f随试验次数增加而逐渐稳定于P附近. ∴ 选项D正确. 故选：D. 3．在一个不透明的袋子里装有若干个红球和黄球，这些球除颜色外完全相同，从中任意摸出一个球，记下颜色后放回，搅匀后再重新摸球．下列说法正确的是（    ） A．摸到黄球的频数越大，摸到黄球的频率越大 B．摸到黄球的频数越大，摸到黄球的频率越小 C．重复多次摸球后，摸到黄球的频数逐渐稳定 D．重复多次摸球后，摸到黄球的频率逐渐稳定 【答案】D 【分析】本题考查频率与频数的概念以及频率的稳定性． 频数是事件发生的次数，频率是频数与总次数的比值. 随着试验次数的增加，频率会逐渐稳定在概率附近． 【详解】解：A、摸到黄球的频数增大时，总摸球次数也会增加，频率是频数与总次数的比值，因此频率不一定增大，该说法错误，不符合题意； B、同理，频数增大时总次数也增加，频率不一定减小，该说法错误，不符合题意； C、频数是摸到黄球的次数，会随试验次数增加而增加，不会稳定，该说法错误，不符合题意； D、重复多次摸球后，摸到黄球的频率会逐渐稳定在概率附近，该说法正确，符合题意． 故选：D． 4．如图，显示了用计算机模拟随机投掷一枚图钉的某次试验的结果．下面的推断合理的是（　　） A．当投掷次数是500时，计算机记录“钉尖向上”的次数是308，所以“钉尖向上”的概率是 B．当投掷次数是6000时，“钉尖向上”的频率一定是 C．随着试验次数的增加，“钉尖向上”的频率总在附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“钉尖向上”的概率是 D．若再次用计算机模拟此试验，则当投掷次数为1000时，“钉尖向上”的频率一定仍是 【答案】C 【分析】本题主要考查了用频率估计概率，计算频率，大量反复试验下频率的稳定值即为概率值，频率等于频数除以总数，每次试验频率的值都有可能发生变化，据此可得答案． 【详解】解：A、当投掷次数是500时，计算机记录“钉尖向上”的次数是308，所以此时“钉尖向上”的频率是： ，但“钉尖向上”的概率不一定是，原说法错误，不符合题意； B、当投掷次数是6000时，“钉尖向上”的频率不一定是，原说法错误，不符合题意； C、随着实验次数的增加，“钉尖向上”的频率总在附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“钉尖向上”的概率是，原说法正确，符合题意； D、若再次用计算机模拟实验，则当投掷次数为1000时，“钉尖向上”的概率可能是，但不一定是，原说法错误，不符合题意． 故选：C． 【题型6】用频率估计概率 【例题】6．欢欢将自己的微信付款码打印在面积为的正方形纸上，如图所示，为了估计图中黑色部分的面积，他在纸内随机掷点，经过大量重复试验，发现点落入黑色部分的频率稳定在0.6左右，据此可以估计黑色部分的面积约为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用频率估计概率，然后计算得出结论即可． 【详解】解：， 即黑色部分的面积约为． 【变式训练】 1．在相同条件下，选取一定数量的小麦种子做发芽试种，结果如下表所示： 试种数量 200 500 1000 1500 2000 发芽的频率 0.78 0.82 0.79 0.81 0.80 试估计种植一粒该品种的小麦发芽的概率约是（   ） A．0.79 B．0.80 C．0.81 D．0.82 【答案】B 【分析】利用频率估计概率，大量重复试验时，频率会逐渐稳定在某个数值附近，可用稳定后的频率估计概率，掌握该知识点即可解题． 【详解】解：∵观察表格数据可知，随着试种数量不断增大，发芽频率逐渐稳定在0.80附近， ∴根据用频率估计概率的方法，可得种植一粒该品种的小麦发芽的概率约为0.80． 2．一个不透明的袋子中装有若干个除颜色外均相同的小球，小红从袋子中随机取出一个球记下颜色再放回袋子，通过大量重复试验后，黑色小球出现的频率如图所示，则摸到黑球的概率约为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据用频率估算概率的方法即可求解． 【详解】解：依题意，将摸出黑色小球的频率绘制成的统计图．得出摸到黑球的频率在附近波动， ∴估计摸到黑球的概率为． 3．“泰山国际登山节”的赛事共有两项，“专业竞技组”和“全民健身组”．小军参加了志愿者服务工作，为估算“全民健身组”的人数，对部分参赛选手做了调查：请估算本次赛事参加“全民健身组”人数的概率为_____．（精确到） 调查人数 20 50 100 200 500 1000 参加人数 15 39 81 171 426 852 频率 0.810 0.855 0.852 0.852 【答案】 【分析】根据用频率估计概率的规则，当试验次数逐渐增大时，频率会逐渐稳定在概率附近，选取大样本下的稳定频率，再按要求精确到即可得到结果． 【详解】解：根据用频率估计概率的性质，随着调查人数增大，频率逐渐稳定在概率附近，观察表格可知，最大调查人数对应的频率为，将精确到得． 4．“一人一盔安全守规，一人一戴平安常在”，如表是某厂质检部门对该厂生产的一批头盔质量检测的情况． 抽取的头盔数 合格品数 合格品频率 从这批头盔中任意抽取一顶是合格品的概率的估计值是__________（精确到）． 【答案】 【分析】根据用频率估计概率的知识点，观察表格中抽取的头盔数量增大时，合格品频率的稳定取值，即可得到所求概率的估计值． 【详解】解：由表格数据可知，随着抽取的头盔数量不断增大，合格品的频率稳定在0.983附近，故估计概率为0.983。按题意精确到0.01得0.98，所以从这批头盔中任意抽取一顶是合格品的概率的估计值是． 【题型7】频率与概率的综合应用 【例题】7．植树节为每年月日，某单位买了一批树苗组织员工去植树，资料显示该种树苗在相同条件下成活试验的部分结果如下表： 每批棵数 成活的棵数 成活的频率 (1)完成上述表格：___________，___________； (2)这种树苗成活的概率估计值为___________（精确到）． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）用总棵数乘以成活的频率求出的值，用成活的棵数除以总棵数求出的值； （2）随着树苗棵数的增加，即可估算得出答案． 【详解】（1）解：由题意得，，； （2）解：由表格中的数据可知，随着树苗棵数的增加，成活的频率稳定在附近， ∴这种树苗成活的概率估计值为． 【变式训练】 1．“一人一盔安全守规，一人一戴平安常在”．下表是某厂质检部门对该厂生产的一批头盔质量检测的情况． 抽取的头盔数 500 1000 1500 2000 3000 4000 合格品数 491 986 1470 2949 3932 合格品频率 (1)求出表中__________，__________； (2)从这批头盔中任意抽取一顶是合格品的概率的估计值是__________（精确到）； (3)如果生产50000顶头盔，估计有多少顶头盔是合格品？ 【答案】(1)1964； (2) (3)49000 【分析】（1）根据表中数据计算即可； （2）由表中数据可判断频率在左右摆动，再由频率估计概率可判断任意抽取一只头盔是合格品的概率为； （3）用样本数据估计总体即可． 【详解】（1）解：，； （2）解：由表格可知，随着抽取的头盔数量不断增大，任意抽取一个是合格的频率在附近波动， 所以任意抽取的一顶是合格品的概率估计值是； （3）解：（顶）． 答：估计有49000顶头盔是合格品． 2．植树节为每年3月12日，某中学买了一批树苗组织学生去植树，资料显示该种树苗在相同条件下成活试验的部分结果如下表： 每批棵数 50 100 150 400 800 1000 成活的棵数 37 77 316 640 800 成活的频率 0.74 0.77 0.78 0.79 0.80 (1)完成上述表格：_____，_____； (2)这种树苗成活的概率估计值为_____（精确到0.1）． (3)如果想要有600棵树能够成活，那么在相同条件下至少需要买多少棵树苗？ 【答案】(1)117，0.80 (2)0.8 (3) 【分析】（1）利用数据占比目标数总数计算即可； （2）利用大量测试下，概率估计值为试验频率可得； （3）利用除以成活概率进行估算即可． 【详解】（1）解：，； （2）解：因为在相同条件下，当试验次数很大时，事件发生的频率可作为概率的近似值，而试验数据量最大为1000棵，对应频率为， 所以这种树苗成活的概率估计值是， （精确到）； （3）解：（棵）， 答：在相同条件下至少需要买棵树苗． 3．某鱼塘主准备将自家的鱼塘转让出去，现在需要通过估计鱼塘中鱼的数量来估算鱼塘的价值．他从鱼塘中打捞了300条鱼，在每一条鱼身上做好标记后，把这些鱼放归鱼塘，经过一段时间后，再从鱼塘中打捞鱼．通过多次实验得到数据如下表： 每次打捞条数 50 100 150 200 300 400 500 打捞到带标记的鱼的条数 4 11 15 21 30 n 51 打捞到带标记的鱼的频率 0.080 m 0.100 0.105 0.100 0.095 0.102 根据表中数据，回答下列问题： (1)表中________，________； (2)随机从鱼塘中打捞一条鱼，根据表中数据估计这条鱼带标记的概率为________（精确到0.1）； (3)若每条鱼价值大约为45元，则这片鱼塘中的鱼的价值大约是多少元？ 【答案】(1)， (2)0.1 (3)这片鱼塘中的鱼的价值大约是135000元 【分析】（1）用频数11除以总数100即可求出频率m，用总数400乘以频率0.095即可求出频数n； （2）根据频率估计概率得0.1； （3）先用300除以概率0.1得到鱼塘中大约有3000条鱼，再列式即可求出总价值． 【详解】（1）解：，； （2）解：根据频率估计概率得随机从鱼塘中打捞一条鱼，根据表中数据估计这条鱼带标记的概率为0.1； （3）解：（条）， （元）． 答：这片鱼塘中的鱼的价值大约是135000元． 4．（精灵天团）是泡泡玛特旗下的独家潮玩，主要角色为、、、等． 某商场推出了“购物抽盲盒”活动，每个盲盒包含其中一个角色，且每个盲盒被抽中的概率相同．商场记录顾客抽到获得的数据如下： 抽盲盒次数n 100 150 200 500 800 1000 抽到的次数m 11 20 b 79 128 161 抽到的频率 a (1)表中的______， ______． (2)“抽到”的概率的估计值是______（精确到）； (3)商场准备的2000个盲盒全部抽完，除外，若顾客抽到其他三种角色的概率相同，则抽到的次数是多少个？ 【答案】(1)，33 (2) (3)560个 【分析】本题主要考查了频率估计概率，熟练掌握频率和概率的关系，是解题的关键． （1）根据表格中数据求出a、b的值即可； （2）根据频率估计概率即可； （3）根据抽到”的概率得出2000个盲盒中的个数，然后求出其他三种角色的个数之和，再根据抽到其他三种角色的概率相同，得出抽到的次数即可． 【详解】（1）解：，； （2）解：根据表格中数据可知：抽到的频率稳定在附件，所以抽到的概率的估计值是． （3）解： （个）， 答：抽到的次数是560个． 试卷第1页，共3页 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $