精品解析：江苏南京市宁海中学2025--2026学年下学期期中测试 八年级数学

2025－2026学年第二学期期中测试八年级数学 （本卷共100分，测试时间100分钟） 一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1. 下列事件中属于必然事件的是（　） A. 检查生产流水线上的一个产品，是合格品 B. 三条线段组成一个三角形 C. a是实数，则 D. 367个人中至少有2个人生日相同 2. 下列调查中，适合采用普查的是（ ） A. 调查某市垃圾分类的情况 B. 了解某班学生的跳远成绩 C. 调查某品牌新能源汽车的抗撞击能力 D. 了解全国中学生的脊柱侧弯情况 3. 空气的成分（除去水汽、杂质等）是：氮气约占78%，氧气约占21%，其他微量气体约占1%．要反映上述信息，宜采用的统计图是( ) A. 条形统计图 B. 折线统计图 C. 扇形统计图 D. 频数分布直方图 4. 下列各式能用公式法因式分解的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在中，的平分线交于点E，若，则的周长是（ ） A. 7.5 B. 9 C. 15 D. 30 6. 如图，在四边形中，、、、分别是线段、、、的中点，要使四边形是菱形，需要加的条件是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上） 7. 为了了解2026年春学期南京市八年级学生的视力水平，随机抽取了1000名学生进行检测．此次抽样调查的样本容量为__________． 8. 如图，在平行四边形中，，则的度数是__________． 9. “深度求索”的英语单词“”中，字母“e”出现的频率是________． 10. 杜牧《清明》诗中写道“清明时节雨纷纷”，从数学的观点看，诗句中描述的事件是____事件．（填“必然”、“不可能”或“随机”） 11. 因式分解：______． 12. 菱形的两条对角线的长分别为6和8，则这个菱形的周长为_____． 13. 平行四边形的对角线交点在原点，若，则点的坐标是_____． 14. 若，则代数式的值为________． 15. 在平面直角坐标系中，正方形的边在y轴正半轴上，边在第一象限，且点、，将正方形绕点A顺时针旋转，若点B的对应点恰好落在坐标轴上，则点C的对应点的坐标为____________________． 16. 如图，将边长为的正方形纸片沿折叠，点落在边上的点处，点的对应点为点，与交于点，取的中点，连接，则周长的最小值是__________． 三、解答题（本大题共10小题，共68分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 把下列各式因式分解或简便计算： （1）因式分解：； （2）因式分解：； （3）简便计算：； （4）简便计算：． 18. 神舟二十二号飞船的成功发射，激发了某校学生对航天知识的浓厚兴趣．校团委为了解该校九年级学生对航天知识的掌握情况，随机抽取一部分学生进行航天知识测试（满分100分）． （1）【收集数据】下列抽样调查方式中最合适的是_____．（只填写序号） ①随机抽取九年级部分女生； ②随机抽取九年级一个班级学生； ③从九年级的每个班中随机抽取2名学生． （2）【整理并描述数据】校团委将所抽取学生的测试成绩整理后分成四组，并绘制成下面两幅不完整的统计图： 请补全频数分布直方图（写出计算过程）； （3）【应用数据】若测试成绩80分及以上为掌握情况较好，估计该校九年级840名学生中，航天知识掌握情况较好的人数． 19. 在一个不透明的盒子里装着除颜色外完全相同的黑、白两种小球共个，小明做摸球试验，他将盒子里面的球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色后，再把它放回盒子中．不断重复上述过程，下表是试验中的统计数据： 摸球的次数 500 800 1000 3000 摸到白球的次数 摸到白球的频率 （1）若从盒子里随机摸出一球，则摸到白球的概率约为________（精确到）； （2）盒子里约有白球________个； （3）若向盒子里再放入个除颜色以外其他完全相同的球，这个球中白球只有2个．然后每次将球搅拌均匀后，任意摸出一个球记下颜色后再放回，通过大量重复摸球试验后发现．摸到白球的频率稳定在，请你推测可能是多少？ 20. 如图，在中，点E、F分别在、上，交于点．求证． 21. 如图，四边形是菱形，，点，在上，，连接，，，． （1）求证：四边形是菱形． （2）若，，求四边形的周长． 22. 一块边长为的正方形空地，在四角均留出一个边长为的正方形地块用来修建花坛，其余地方做成草坪，求草坪的面积大小． 23. 已知直线l及直线外l有一点A．请仅用圆规和直尺按下列要求作图． （1）在图①中，求作点B、C、D，其中有两点在直线l上，且使得点A、B、C、D是一个平行四边形的四个顶点； （2）在图②中，求作点B、C、D，其中有两点在直线l上，且使得点A、B、C、D是一个矩形的四个顶点．（保留作图痕迹，写出必要的说明） 24. 已知m为正奇数，求证能被8整除． 25. 阅读材料并解决问题． ①分解因式：； ②求代数式的最小值：由，可知当时，有最小值，最小值是．根据阅读材料，用配方法解决下列问题： （1）分解因式：________； （2）当________时，多项式有最________值（填大或小），为________． （3）请问：当a，b为何值时，多项式有最小值？并求出这个最小值． 26. 【探究与应用】 我们把平行四边形沿着它的一条对角线翻折，会发现有很多结论．例如：在平行四边形中，，将沿直线翻折至，连接，则． （1）如图1，若与相交于点O，证明以上这个结论； 小明同学提出如下解题思路，请补全： 【思路分析】 由折叠的性质得，；由平行四边形的性质得______，．由上面的分析可证得，______，这样就可以得到，则______，再由等腰三角形的性质得，证出，即可得出结论； （2）如图2，与相交于点O，若，，，则的面积为______； （3）如果，， ①当是直角三角形时，请画图并直接写出的长． ②设的长度为x，当时，直接写出x的取值范围． 【附加题】（共20分） 27. 如图，在矩形中，平分，交于点E，，交于点F，以为边，作矩形，与相交于点H．则下列结论：①；②若，则；③；④当F是的中点时，．其中正确的结论是____．（填写所有正确结论的序号） 28. 【基础回顾】（1）如图1，是正方形中边上任意一点，以点为中心，将顺时针旋转后得到，若连接，则的形状为 ； 【类比探究】（2）如图2，在（1）的条件下，设与相交于点，在上取点，使，连接，猜想与的数量关系，并给予证明； 【联想拓展】（3）如图3，在中，，．点在上，求，，之间存在的数量关系． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025－2026学年第二学期期中测试八年级数学 （本卷共100分，测试时间100分钟） 一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1. 下列事件中属于必然事件的是（　） A. 检查生产流水线上的一个产品，是合格品 B. 三条线段组成一个三角形 C. a是实数，则 D. 367个人中至少有2个人生日相同 【答案】D 【解析】 【分析】必然事件是指一定发生的事件，根据概念逐一判断各选项即可解答． 【详解】解：A、检查生产流水线上的产品可能不合格，不一定是合格品，因此不是必然事件； B、三条线段只有满足任意两边之和大于第三边才能组成三角形，不一定能组成三角形，因此不是必然事件； C、为实数时，当，有，不满足，因此不是必然事件； D、一年最多有366天，367人中若前366人生日均不重复，第367人的生日一定与其中1人重复，因此367个人中至少有2个人生日相同，是必然事件． 2. 下列调查中，适合采用普查的是（ ） A. 调查某市垃圾分类的情况 B. 了解某班学生的跳远成绩 C. 调查某品牌新能源汽车的抗撞击能力 D. 了解全国中学生的脊柱侧弯情况 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查普查与抽样调查的选择，根据普查的适用条件：调查范围小、易操作、不会破坏调查对象，对各选项逐一判断即可． 【详解】解：∵普查适合调查范围小，数量少，易实施，且调查不会破坏调查对象的情况， ∴A选项调查某市垃圾分类情况，调查范围大，适合抽样调查，不符合要求， B选项了解某班学生的跳远成绩，调查范围小，人数少，适合普查，符合要求， C选项调查某品牌新能源汽车的抗撞击能力，测试会破坏车辆，适合抽样调查，不符合要求， D选项了解全国中学生的脊柱侧弯情况，调查范围大人数多，适合抽样调查，不符合要求． 3. 空气的成分（除去水汽、杂质等）是：氮气约占78%，氧气约占21%，其他微量气体约占1%．要反映上述信息，宜采用的统计图是( ) A. 条形统计图 B. 折线统计图 C. 扇形统计图 D. 频数分布直方图 【答案】C 【解析】 【分析】在扇形统计图中将总体看做一个圆，用各个扇形表示各部分，能清楚的表示出各部分所占总体的百分比． 【详解】根据题意，将空气（除去水汽、杂质等）看做总体，用各个扇形表示空气的成分（除去水汽、杂质等）中每一种成分所占空气的百分比，由此可以选择扇形统计图． 故选C． 【点睛】本题考查了统计图的选取，扇形统计图的特点及优点，熟练掌握各种统计图的特点及优点是解题的关键． 4. 下列各式能用公式法因式分解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据因式分解公式法判断即可. 【详解】,属于平方差公式;其余选项都不可因式分解. 故选A. 【点睛】本题考查因式分解公式法的判断,关键在于熟练掌握公式法的计算. 5. 如图，在中，的平分线交于点E，若，则的周长是（ ） A. 7.5 B. 9 C. 15 D. 30 【答案】C 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质得到相应结论，再利用等角对等边得到AB=AE，利用AE和DE的关系及长度求出结果． 【详解】解：∵四边形ABCD为平行四边形， ∴，，， ∵的平分线交AD于点， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴，， ∴， 则平行四边形ABCD的周长为：， 故选C． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，等角对等边，解题的关键是利用相应性质将角和边的关系进行转化． 6. 如图，在四边形中，、、、分别是线段、、、的中点，要使四边形是菱形，需要加的条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据三角形中位线定理可得，，再由菱形的判定，即可求解． 【详解】解：、、、分别是线段、、、的中点， ，， 当时，四边形是菱形， 当时，四边形是菱形． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了三角形中位线定理，菱形的判定，熟练掌握三角形中位线定理，菱形的判定定理是解题的关键． 二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上） 7. 为了了解2026年春学期南京市八年级学生的视力水平，随机抽取了1000名学生进行检测．此次抽样调查的样本容量为__________． 【答案】 1000 【解析】 【分析】样本容量则是指样本中个体的数目，据此可得答案． 【详解】解：由题意得，本次抽样调查的样本容量为． 8. 如图，在平行四边形中，，则的度数是__________． 【答案】##100度 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质．由“在平行四边形中，”可求得与的度数，继而求得答案． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 9. “深度求索”的英语单词“”中，字母“e”出现的频率是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了求频率，用字母e的个数除以字母的总个数即可得到答案． 【详解】解：“深度求索”的英语单词“”中，字母“e”出现的频率是， 故答案为：． 10. 杜牧《清明》诗中写道“清明时节雨纷纷”，从数学的观点看，诗句中描述的事件是____事件．（填“必然”、“不可能”或“随机”） 【答案】随机 【解析】 【分析】本题考查了随机事件的概念，解题的关键是明确必然事件，不可能事件，随机事件的定义． 必然事件是指在一定条件下必然会发生的事件；不可能事件是指在一定条件下必然不会发生的事件；随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．判断诗句描述的事件类型，依据随机事件的定义分析． 【详解】“清明时节雨纷纷”描述的是清明时节下雨的情况，在现实中，清明时节可能下雨，也可能不下雨，其发生具有不确定性，符合随机事件的定义．因此，诗句中描述的事件是随机事件． 故答案为：随机． 11. 因式分解：______． 【答案】 【解析】 【分析】观察多项式可得两项的公因式为，利用提公因式法即可求解． 【详解】解：． 12. 菱形的两条对角线的长分别为6和8，则这个菱形的周长为_____． 【答案】20 【解析】 【分析】根据菱形的对角线互相垂直平分的性质，利用对角线的一半，根据勾股定理求出菱形的边长，再根据菱形的四条边相等求出周长即可． 【详解】解：如图，根据题意得AO=×8=4，BO=×6=3， ∵四边形ABCD是菱形，∴AB=BC=CD=DA，AC⊥BD． ∴△AOB是直角三角形． ∴． ∴此菱形的周长为：5×4=20 故答案为：20． 13. 平行四边形的对角线交点在原点，若，则点的坐标是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的性质，坐标与图形性质，由题意A，C关于原点对称，可得点C的坐标． 【详解】解：由题意A，C关于原点对称， ∵， ∴． 故答案为：． 14. 若，则代数式的值为________． 【答案】0 【解析】 【分析】此题考查的是因式分解，掌握完全平方公式和平方差公式因式分解是解决此题的关键． 将因式分解变形为，然后代入求值即可． 【详解】解： ∵， 将代入，得 原式 故答案为：0． 15. 在平面直角坐标系中，正方形的边在y轴正半轴上，边在第一象限，且点、，将正方形绕点A顺时针旋转，若点B的对应点恰好落在坐标轴上，则点C的对应点的坐标为____________________． 【答案】或或 【解析】 【分析】根据题意画出图形，分3种情况进行讨论：①点B的对应点恰好落在x轴正半轴上时，②点B的对应点恰好落在y轴负半轴上时，③点B的对应点恰好落在x轴负半轴上时，根据旋转的性质，利用全等三角形的判定与性质可得点C的对应点的坐标． 【详解】解：因为正方形的边在y轴正半轴上，边在第一象限，且点、，则：， ∴， ∴， 画图如下： 当正方形绕点A顺时针旋转， ①点B的对应点恰好落在x轴正半轴上时，如图，作轴， ，， ， ，， ， 在和中， ， ， ，， ， 点C的对应点的坐标为； ②点B的对应点恰好落在y轴负半轴上时，如图， ， 点C的对应点的坐标为； ③点B的对应点恰好落在x轴负半轴上时，如图， 同①可知： ， ，，， ∴点横坐标为， 点C的对应点的坐标为； 综上所述：点C的对应点的坐标为或或 故答案为：或或 【点睛】本题属于四边形的综合题，考查了正方形的性质、旋转的性质、坐标与图形的变化、全等三角形的判定与性质，解决本题的关键是综合运用以上知识． 16. 如图，将边长为的正方形纸片沿折叠，点落在边上的点处，点的对应点为点，与交于点，取的中点，连接，则周长的最小值是__________． 【答案】 【解析】 【分析】延长至点，使得，连接、、、，由折叠的性质可得，，，，从而判断是的中位线，．容易证明和，则，，由等量代换可得的周长为．根据线段公理可得，当、、三点共线时，取得最小值，即的周长的最小值为． 【详解】解：如图，延长至点，使得，连接、、、， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， 在中，， 由折叠的性质可得，，，， ∵点是的中点， ∴， ∵，即点为的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴的周长， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴当、、三点共线时，取得最小值，即的最小值为， ∴的周长的最小值为． 三、解答题（本大题共10小题，共68分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 把下列各式因式分解或简便计算： （1）因式分解：； （2）因式分解：； （3）简便计算：； （4）简便计算：． 【答案】（1）； （2）； （3）； （4）． 【解析】 【分析】（）先提取公因式，再用完全平方公式因式分解； （）先变形提取公因式，再用平方差公式因式分解； （）利用平方差公式变形后进行简便计算； （）将原式变形后，利用完全平方公式进行简便计算． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ； 【小问3详解】 解： ； 【小问4详解】 解： ． 18. 神舟二十二号飞船的成功发射，激发了某校学生对航天知识的浓厚兴趣．校团委为了解该校九年级学生对航天知识的掌握情况，随机抽取一部分学生进行航天知识测试（满分100分）． （1）【收集数据】下列抽样调查方式中最合适的是_____．（只填写序号） ①随机抽取九年级部分女生； ②随机抽取九年级一个班级学生； ③从九年级的每个班中随机抽取2名学生． （2）【整理并描述数据】校团委将所抽取学生的测试成绩整理后分成四组，并绘制成下面两幅不完整的统计图： 请补全频数分布直方图（写出计算过程）； （3）【应用数据】若测试成绩80分及以上为掌握情况较好，估计该校九年级840名学生中，航天知识掌握情况较好的人数． 【答案】（1）③； （2）见解析； （3）航天知识掌握情况较好的人数是名． 【解析】 【分析】（1）根据抽样调查要具有广泛性、代表性判断即可； （2）结合频数分布直方图，扇形统计图，可求出样本容量，再计算即可； （3）根据用样本估计总体，先计算出样本中所占比，再乘总人数即可求解． 【小问1详解】 解：根据抽样调查要具有广泛性、代表性，故抽样调查方式中最合适的是③； 【小问2详解】 解：（名）， （名）； 【小问3详解】 解：（名）， 答：航天知识掌握情况较好的人数是名． 19. 在一个不透明的盒子里装着除颜色外完全相同的黑、白两种小球共个，小明做摸球试验，他将盒子里面的球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色后，再把它放回盒子中．不断重复上述过程，下表是试验中的统计数据： 摸球的次数 500 800 1000 3000 摸到白球的次数 摸到白球的频率 （1）若从盒子里随机摸出一球，则摸到白球的概率约为________（精确到）； （2）盒子里约有白球________个； （3）若向盒子里再放入个除颜色以外其他完全相同的球，这个球中白球只有2个．然后每次将球搅拌均匀后，任意摸出一个球记下颜色后再放回，通过大量重复摸球试验后发现．摸到白球的频率稳定在，请你推测可能是多少？ 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）观察表格中频率的稳定趋势，取近似值即可得到摸到白球的概率. （2）用总球数乘以摸到白球的概率即可估算白球数量． （3）根据加入球后的频率稳定值得到概率，结合白球数量与总球数列出方程，求解即可得到的值． 【小问1详解】 解：由表格数据可知，随着摸球次数增加，摸到白球的频率逐渐稳定在附近， ∴摸到白球的概率约为． 【小问2详解】 解：∵盒子中共有个球， ∴盒子里约有白球(个) ． 【小问3详解】 解：∵加入个球后，总球数变为，白球个数变为，且摸到白球的概率为， 故可列方程得， 整理得， 解得， 答：推测可能是． 20. 如图，在中，点E、F分别在、上，交于点．求证． 【答案】见解析 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质，易证，得出，即可得证． 【详解】证明：∵四边形是平行四边形， ，， ． 在和中， ， ， ， ， ． 21. 如图，四边形是菱形，，点，在上，，连接，，，． （1）求证：四边形是菱形． （2）若，，求四边形的周长． 【答案】（1）见解析； （2）四边形的周长为． 【解析】 【分析】（）连接，交于点，由菱形的性质可得，，，从而得，所以四边形是平行四边形，又，故平行四边形是菱形，从而求证； （）连接，交于点，由四边形是菱形，得，，，通过勾股定理求得，因为四边形是菱形，所以，，由勾股定理得，即可求出四边形的周长． 【小问1详解】 证明：如图，连接，交于点， ∵四边形是菱形， ∴，，， ∵， ∴，即， ∴四边形是平行四边形， 又， ∴四边形是菱形； 【小问2详解】 解：如图，连接，交于点， ∵四边形是菱形， ∴，，， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∵四边形是菱形， ∴，， 在中，由勾股定理得：， ∴四边形的周长为． 22. 一块边长为的正方形空地，在四角均留出一个边长为的正方形地块用来修建花坛，其余地方做成草坪，求草坪的面积大小． 【答案】草坪的面积为． 【解析】 【分析】草坪面积等于大正方形空地的面积减去四个正方形花坛的总面积，利用平方差公式可简便计算得到结果． 【详解】解：由题意可知，大正方形空地的边长为，每个正方形花坛的边长为，设草坪的面积为， 则 ， 答：草坪的面积为． 23. 已知直线l及直线外l有一点A．请仅用圆规和直尺按下列要求作图． （1）在图①中，求作点B、C、D，其中有两点在直线l上，且使得点A、B、C、D是一个平行四边形的四个顶点； （2）在图②中，求作点B、C、D，其中有两点在直线l上，且使得点A、B、C、D是一个矩形的四个顶点．（保留作图痕迹，写出必要的说明） 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】（1）如图①，在直线l上任意取点B、C，连接，再分别以点A、B为圆心，以、为半径分别画弧，两弧相交于点D，由于，，根据平行四边形的判定方法可判断四边形为所平行四边形； （2）如图②，先过A点作l的垂线，垂足为B点，在直线l上任意取点C，再过C点作直线l的垂线a，然后在直线a上截取，先利用，可判断四边形为平行四边形，然后利用可判断四边形ABCD为矩形． 【小问1详解】 如图①，在直线l上任意取点B、C，连接，再分别以点A、B为圆心，以、为分别画弧，两弧相交于点D，连接、， 则四边形为所作； 【小问2详解】 如图②，先过A点作l的垂线，垂足为B点，在直线l上任意取点C，再过C点作直线l的垂线a，然后在直线a上截取， 则四边形为所作． 【点睛】本题考查了作图﹣基本作图：熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键．也考查了平行四边形点的判定与性质、矩形的判定． 24. 已知m为正奇数，求证能被8整除． 【答案】见解析 【解析】 【分析】先根据正奇数的特征用正整数表示，再对因式分解化简，利用连续整数的性质证明结果是8的倍数即可，用到平方差公式和奇数的基本性质． 【详解】证明：∵为正奇数， ∴设，其中为正整数， ， 代入得 ， ∵和是两个连续的整数， ∴两个连续整数中必有一个是偶数， ∴能被2整除， ∴能被整除， ∴能被8整除． 25. 阅读材料并解决问题． ①分解因式：； ②求代数式的最小值：由，可知当时，有最小值，最小值是．根据阅读材料，用配方法解决下列问题： （1）分解因式：________； （2）当________时，多项式有最________值（填大或小），为________． （3）请问：当a，b为何值时，多项式有最小值？并求出这个最小值． 【答案】（1） （2）2，小，7 （3）当时，多项式有最小值，最小值为20 【解析】 【分析】本题主要考查了利用配方法进行因式分解，平方差公式和完全平方公式，解题的关键是掌握平方差公式和完全平方公式． （1）先利用配方法进行整理，再利用平方差公式进行因式分解； （2）利用配方法进行整理，再求出最值即可； （3）利用配方法进行整理，再求出最值即可． 【小问1详解】 解：， 故答案为：； 【小问2详解】 解：， ∴当时，多项式有最小值，为7， 故答案为：2，小，7； 【小问3详解】 解： ， ∴当时，多项式有最小值，最小值为20． 26. 【探究与应用】 我们把平行四边形沿着它的一条对角线翻折，会发现有很多结论．例如：在平行四边形中，，将沿直线翻折至，连接，则． （1）如图1，若与相交于点O，证明以上这个结论； 小明同学提出如下解题思路，请补全： 【思路分析】 由折叠的性质得，；由平行四边形的性质得______，．由上面的分析可证得，______，这样就可以得到，则______，再由等腰三角形的性质得，证出，即可得出结论； （2）如图2，与相交于点O，若，，，则的面积为______； （3）如果，， ①当是直角三角形时，请画图并直接写出的长． ②设的长度为x，当时，直接写出x的取值范围． 【答案】（1） （2） （3）①图见解析，或或或；②或 【解析】 【分析】（1）根据平行四边形的性质，等腰三角形的判定和性质，补全分析即可． （2）易得四边形为矩形，设，在中，利用勾股定理，求出的值，根据三角形的面积公式进行求解即可； （3）①分（两种情况），，，四种情况讨论求解即可；②分，两种情况进行讨论求解即可． 【小问1详解】 解：∵折叠， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，． ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 故答案为：； 【小问2详解】 ∵平行四边形中，， ∴四边形是矩形， ∴，，， 由（1）得：， 设，则， 在中，由勾股定理得： 解得：， ∴， ； 【小问3详解】 ①如图，当时，延长交于， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴是的中点， ∴； 如图，当时， ∵， ∴， 由（1）知：， ∴， ∴， 由（1）知：， ∴， ∴四边形为矩形， ∴， ∵， ∴在同一直线上， ∴， ∵中，， ∴， ∴； 当时，如图： 在平行四边形中，， ∴， 由(1)知， ∴， ∵， 设则：， ∴， ∴； ∴； 当时，如图： ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； 综上所述，当是直角三角形时，的长为或或或； ②当时，由①可知，当时，， 由图可知：时，； 当时，由①可知：当的长为，， 由图可知：当时，； 综上：当或时，． 【点睛】本题考查平行四边形中的折叠问题．同时考查了矩形的判定和性质，含30度角的直角三角形，勾股定理．熟练掌握相关知识点，利用数形结合和分类讨论的思想，进行求解，是解题的关键． 【附加题】（共20分） 27. 如图，在矩形中，平分，交于点E，，交于点F，以为边，作矩形，与相交于点H．则下列结论：①；②若，则；③；④当F是的中点时，．其中正确的结论是____．（填写所有正确结论的序号） 【答案】①②④ 【解析】 【分析】①由矩形的性质和角平分线的性质可得是等腰直角三角形，即，进而可得；②先证可得，再证可得，进而说明四边形是正方形，即，然后代入求出即可判定②；③由勾股定理可得，再运用线段的和差可得∴、，再结合判定是否成立即可；④设，则、，则；再运用勾股定理可得，可表示出，最后代入比较即可解答． 【详解】解：①∵矩形， ∴， ∵平分， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴；故①正确； ②∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵四边形是矩形， ∴四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∴；故②正确； ③若， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴；故③错误； ④当F是的中点时， 设，则， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴．故④正确． 综上所述：①②④． 故答案为：①②④． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质、正方形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质等知识先，灵活运用相关知识点成为解答本题的关键． 28. 【基础回顾】（1）如图1，是正方形中边上任意一点，以点为中心，将顺时针旋转后得到，若连接，则的形状为 ； 【类比探究】（2）如图2，在（1）的条件下，设与相交于点，在上取点，使，连接，猜想与的数量关系，并给予证明； 【联想拓展】（3）如图3，在中，，．点在上，求，，之间存在的数量关系． 【答案】（1）等腰直角三角形；（2）证明见解析；（3） 【解析】 【分析】（1）由正方形的性质得出，，，由旋转的性质得出，，则可得出结论； （2）证明再由全等三角形的性质可得出结论； （3）将逆时针旋转后得到，连接，则是等腰直角三角形，由旋转的性质得出，，证出，由勾股定理可得出答案． 【详解】解：（1）四边形为正方形， ，，， 顺时针旋转，得， ，， 为等腰直角三角形； 故答案为：等腰直角三角形； （2）． 证明：将顺时针旋转后得到， ，， ， ． （3）． 将逆时针旋转后得到，连接，则是等腰直角三角形， 由旋转的性质可知，， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题是几何变换综合题，考查了等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理，旋转的性质，正方形的性质，熟练掌握旋转的性质是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $