精品解析：江苏南京外国语学校 2025一2026学年下学期期中八年级数学试题

南京外国语学校2025-2026学年度第二学期期中初二年级数学试题 一、选择题（6小题，共12分） 1. 下列图形中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. 等边三角形 B. 平行四边形 C. 菱形 D. 等腰梯形 【答案】C 【解析】 【详解】解：A、等边三角形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意； B、平行四边形是中心对称图形，不一定是轴对称图形，故此选项不符合题意； C、∵菱形沿两条对角线所在直线折叠均可重合，绕对角线交点旋转180°可与原图形重合， ∴菱形既是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项符合题意； D、等腰梯形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意． 2. 分解因式：（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】直接利用平方差公式分解因式得出答案． 【详解】解： ． 故选：A． 【点睛】此题主要考查了公式法分解因式，正确应用乘法公式是解题关键． 3. 要使分式有意义，字母，须满足（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查分式有意义的条件，掌握相关知识是解决问题的关键．分式有意义的条件是分母不为零，因此只需考虑分母 . 【详解】∵ 分式 有意义需分母 ， ∴ ， 故选： A． 4. 根据分式的基本性质，分式可变形为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是分式的基本性质，根据分式的基本性质，分子和分母同时乘以或除以同一个非零整式，分式的值不变；将原分式的分子和分母同时乘以，即可变形为选项C的形式. 【详解】解：分子和分母同时乘以： ； 故选：C 5. 下列条件中，不能判定为菱形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据菱形的判定定理逐一判断即可． 【详解】解：如图所示， 当时，可以判定为矩形，不能判定为菱形，选项A符合要求； 当时，由平行四边形对边平行得与平行，可得，因此，推出，可判定为菱形，B不符合要求； 当时，根据一组邻边相等的平行四边形是菱形，可判定为菱形，C不符合要求； 当，根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形，可判定为菱形，D不符合要求． 6. 如图，点E，F，G，H分别在矩形ABCD（AB＞AD）的四条边上，连接EF，FG，GH，HE，得到四边形EFGH．下列关于四边形EFGH的说法：①存在无数个四边形EFGH是平行四边形；②存在无数个四边形EFGH是菱形；③存在无数个四边形EFGH是矩形；④存在无数个四边形EFGH是正方形，正确的是（ ） A. ① B. ①② C. ①②③ D. ①②③④ 【答案】C 【解析】 【分析】连接AC，BD交于点O，过点O的直线EG和HF分别交AB，BC，CD，AD于点E，F，G，H，则，，根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，对角线互相垂直的平行四边形是菱形，对角线相等的平行四边形是矩形，有一组邻边相等的矩形是正方形，逐项判断即可． 【详解】解：如图，连接AC，BD交于点O，过点O的直线EG和HF分别交AB，BC，CD，AD于点E，F，G，H． ①因为ABCD是矩形，有无数种情况使得，，即存在无数个四边形EFGH是平行四边形，故①正确； ②当时，四边形EFGH是菱形，故存在无数个四边形EFGH是菱形，故②正确； ③当时，四边形EFGH是矩形，故存在无数个四边形EFGH是矩形，故③正确； ④当四边形EFGH是正方形时，,,易证，可知,,结合可推出,与已知条件矛盾，故不存在四边形EFGH是正方形，故④错误； 综上，①②③正确， 故选：C． 【点睛】本题考查平行四边形、菱形、矩形、正方形的判定，熟练掌握特殊平行四边形的判定方法是解题的关键． 二、填空题（10题，共20分） 7. 分解因式的结果是____________． 【答案】 【解析】 【详解】解：． 8. 分式，，的最简公分母是____________． 【答案】 【解析】 【分析】取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母，据此求解即可． 【详解】解：各分式的分母分别为，，，则最简公分母为． 9. 已知，则________． 【答案】2 【解析】 【分析】本题主要考查了代数式求值、等式的基本性质、分式的基本性质等知识点，灵活运用等式的基本性质和分式的基本性质成为解题的关键． 由可得，然后代入约分即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故答案为2． 10. 若关于x的分式方程有增根，则增根是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查分式方程的增根，根据分式方程的增根的定义即可求得答案． 【详解】解：∵关于x的分式方程有增根， .∴， 解得，即增根是， 故答案为：． 11. 如图，的顶点、分别在直线，上，，若，，则________． 【答案】##32度 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质得到，再利用平行线的性质得到即可解答． 【详解】解：过点作， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴， ∵在中， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了平行线的性质，平行四边形的性质，掌握平行线的性质是解题的关键． 12. 如图，在中，，，的角平分线交于点，交的延长线于点，则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，角平分线的定义，等腰三角形的判定等，利用平行四边形的性质及角平分线的定义可得，即得，，进而即可求解，掌握平行四边形的性质是解题的关键． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴，，， ∵平分， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 13. 如图，是的角平分线，点E、F分别在、上，且，，当时，四边形是____________形． 【答案】 菱 【解析】 【分析】由平行线的性质和角平分线的定义可证明，得到；根据，可证明四边形是平行四边形，且，由等边对等角得到，则可证明，得到，据此证明，即可得到平行四边形是菱形 ． 【详解】解：∵是的角平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形，且， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴平行四边形是菱形 ． 14. 如图是一张矩形纸片，点是对角线的中点，点在边上，把沿直线折叠，使点落在对角线上的点处，连接，．若，则_____度． 【答案】18 【解析】 【分析】连接MD，设∠DAF=x，利用折叠与等腰三角形的性质，用x的代数式表示出∠ADC=90°，列出方程解方程即可． 【详解】连接MD，设∠DAF=x 根据矩形的基本性质可知AM=MD，AD∥BC，∠BCD=∠ADC=90° ∴∠MDA=∠DAF=x，∠ACB=∠DAC=x ∴∠DMF=2x ∵△DCE折叠得到△DFE ∴DF=CD=AB，DE⊥FC，∠FDE=∠CDE 又MF=AB ∴MF=DF ∴∠MDF=2x ∵∠BCD=∠ACB+∠ACD=90°，∠EDC+∠FCD=90° ∴∠CDE=∠ACD=x ∴∠FDE=∠CDE=x ∴∠ADC=∠ADM+∠MDF+∠FDE+∠CDE=x+2x+x+x=5x=90° ∴x=18° 故∠DAF=18° 故答案为18． 【点睛】本题考查了矩形的折叠问题，能够做出合适的辅助线用∠DAF表示出∠ADC是解题关键． 15. 在菱形中，，，点E，F分别在，上，点P在对角线上，连接，，则的最小值为____________． 【答案】 【解析】 【分析】在取点，使，证明，求得，当共线，且时，取得最小值，利用勾股定理求得，再利用等积法求解即可． 【详解】解：在上取点，使，连接， ∵菱形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴当共线，且时，取得最小值， ∵菱形中，，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴的最小值为． 16. 如图，在正方形中，点O是对角线的中点，点P在线段上，连接并延长交于点E，过点P作交于点F，连接、，交于G，以下结论正确的有（填序号）．____________ ①；②；③；④为定值． 【答案】①② 【解析】 【分析】①运用正方形的性质与判定得，再证明可得结论；③将绕点A顺时针旋转得到，证明 ，再结合三边关系，得；②将绕点A顺时针旋转得到，利用全等三角形的性质证明即可；④由，推出，因为的长度是变化的，故的面积不是定值． 【详解】解：∵四边形是正方形 ∴ 分别过点作，如图所示： 则， ∴四边形是矩形， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， 则， 即， ∵， ∴， ∴， 故①符合题意， 由①得 ∵ ∴是等腰直角三角形，， 将绕点A顺时针旋转得到，如图所示： ∴，， 则 即 ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴， 故③是不符合题意； 将绕点A顺时针旋转得到， ∵，， ∴， ∴C，B，M共线， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 则， ∴， 故②符合题意， ∵， ∴， ∵的长度是变化的， ∴的面积不是定值， 故④不符合题意． 三、解答题 17. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】先把小括号内的式子通分化简，再把除法变成乘法后约分化简，最后代入求值即可． 【详解】解： ， 当时，原式． 18. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 原方程无解 【解析】 【分析】（1）（2）把原方程去分母化为整式方程，再解方程并检验即可得到答案． 【小问1详解】 解： 方程两边同时乘以得， 解得， 检验：当时，， ∴是原方程的解； 【小问2详解】 解： 方程两边同时乘以得， 去括号得， 移项，合并同类项得， 解得， 检验：当时，， ∴是原方程的增根， ∴原方程无解． 19. 证明：当时，． 【答案】见解析 【解析】 【分析】根据不等式的性质可得，则，据此可证明结论． 【详解】证明：∵， ∴，， ∴， ∴， ∴，即 ． 20. 用方程解决问题：为了提高工作效率，公司计划整理文件1080份．由于青年员工支援，实际每天整理的文件份数比原计划每天多，结果提前6天完成任务．原计划每天整理多少份文件？ 【答案】 原计划每天整理60份文件 【解析】 【分析】设原计划每天整理份文件，则实际每天整理份文件，根据实际比原计划提前6天完成任务建立方程求解即可． 【详解】解：设原计划每天整理份文件，则实际每天整理份文件， 由题意得， 解得 经检验，是原方程的解，且符合题意，  答：原计划每天整理60份文件． 21. 如图，在中，，于点D，延长到点E，使．过点E作交的延长线于点F，连接，． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若，，则的长为____________． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）证，得，再由平行四边形的判定即可得出结论； （2）由等腰三角形的性质得，由平行四边形的性质得，进而由勾股定理得的长，据此计算即可求解． 【小问1详解】 证明：， ， 在和中， ， ， ， ， 四边形是平行四边形； 【小问2详解】 解：∵，， ∴， 由（1）可知，四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴． 22. 如图，在中，于D，点M，E，F分别是，，的中点．求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】根据斜边上的中线等于斜边的一半，可得，，再利用等边对等角，得到，，推出，接着利用是的中位线证明四边形是平行四边形，得到，最后得证． 【详解】证明：， ， 是的中点， ， ； ， ， 是的中点， ， ， ， ， ， 点，，分别是，，的中点， 是的中位线，是的中位线， ，， 四边形是平行四边形， ， ． 23. 如图，在正方形中，点E、F在对角线上，且． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，则四边形的面积为____________． 【答案】（1）见解析 （2）24 【解析】 【分析】（1）连接交于点O，根据正方形性质得，再根据得，由此可判定四边形是菱形； （2）先由勾股定理求出，则根据得，则，然后根据菱形的面积公式即可得出四边形的面积． 【小问1详解】 证明：连接交于点O，如图所示： ∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∴， 在四边形中，， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴平行四边形是菱形； 【小问2详解】 解：∵， 在中，， 由勾股定理得：， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴菱形的面积为：． 24. 在矩形中，，． （1）如图，P为边上一点，将沿直线翻折至的位置，当点Q落在上时，求的长． （2）M是边上的一个动点，将沿翻折，其中点C的对称点为． ①当A，M，三点共线时，的长为____________； ②的最小值为____________． 【答案】（1）； （2）①4；② 【解析】 【分析】（1）利用折叠的性质得到，在中，利用勾股定理求解即可； （2）①设，则，，在中，利用勾股定理列式计算即可求解； ②先判断点在以点为圆心，为半径的圆上，∴当B，D，三点共线时，取得最小值，据此计算即可求解． 【小问1详解】 解：∵矩形，，， ∴，， 由折叠的性质知， 在中，； 【小问2详解】 解：①如图，设， 由折叠的性质知，，， ∵A，M，三点共线， ∴， ∴， ∴，， 在中，，即， 解得， ∴； ②由题意得，点在以点为圆心，为半径的圆上， ∴当B，D，三点共线时，取得最小值，最小值为， ∴的最小值为． 25. 定义：分式的分子或分母中含有分式，这样的分式叫做繁分式，例如像这样，的分式称为繁分式．利用分式的基本性质可以把繁分式化简为最简分式，例如化简时，繁分式的分子分母同乘得到；若实数m，n满足，． （1）____________（用含t的式子表示）； （2）求证：不论t取何值，分式化简后都为一个定值，并求出该定值． 【答案】（1） （2）证明见解析，定值为 【解析】 【分析】（1）直接把，代入所求式子中约分即可得到答案； （2）根据题意可证明，把式子变形为，再把代入化简即可证明结论． 【小问1详解】 解：∵，， ∴； 【小问2详解】 证明：∵， ∴， ∴ ， ∴不论t取何值，分式化简后都为一个定值，且； 26. 问题：已知梯形中，，其中，E，F分别是，的中点，有哪些性质呢？不妨设，，．小红同学对的长度进行了如下研究： （1）当时，如图①，求的长． 分析思路如下：作于H，则四边形为矩形． ，F分别是，的中点； ；． ____________， 在中，____________．（用x，y，m表示） （2）如图②，在一般的梯形中，，其中，直接写出与梯形的边，，，的数量关系为____________．（用x，y，m表示） （3）如图3，已知点A，B，直线l，作梯形，使得的中点F在l上，满足且最小．（尺规作图，保留作图痕迹，写出必要的文字说明） （4）小红同学对的性质又提出了进一步的猜想： ①平分梯形的面积； ②垂直平分梯形中位线； ③； ④经过对角线的交点； 以上猜想一定正确的是：____________． 【答案】（1）； （2） （3）见解析 （4）①③④ 【解析】 【分析】（1）根据矩形的性质得到，，可求出，再利用勾股定理即可得到答案； （2）过点A，点E，点B分别作的垂线，垂足分别为G、H、M，则四边形和四边形都是矩形，由矩形的性质可得；求出， ；由勾股定理得，，则可推出，进而得到，由勾股定理得； （3）作线段的垂直平分线交于点E，过点E作于点F，过点F作的平行线，以点F为圆心，的长为半径画弧，交过点F且与平行的直线于点C和点D，连接，则四边形即为所求； （4）设梯形的高为h，根据线段中点的定义可得，根据，，可得，据此可判断①；梯形的中位线一定平行于，而与不一定垂直，据此可判断②；过点E作，分别交于点J，点T，则四边形和四边形都是平行四边形，可得，，则；延长到点K，使得，连接，证明，得到，由三角形三边的关系可得，据此可判断③；连接交于点G，取的中点O，过点O作于点M，延长交于点N，过点E作于点K，过点F作于点L，证明，得到；由等面积法可证明，，，则可证明，如图3-2所示，连接交于点，同理可证明，则可证明点G与点重合，则经过对角线的交点． 【小问1详解】 解：作于H，则四边形为矩形， ∴，， ，F分别是，的中点； ，． ， 在中，； 【小问2详解】 解：如图所示，过点A，点E，点B分别作的垂线，垂足分别为G、H、M，则四边形和四边形都是矩形， ∴； ∵，F分别是，的中点； ，， ∴ ， ； 在中，由勾股定理得， 在中，由勾股定理得， 得， ∴， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得； 【小问3详解】 解：作线段的垂直平分线交于点E，过点E作于点F，过点F作的平行线，以点F为圆心，的长为半径画弧，交过点F且与平行的直线于点C和点D，连接，则四边形即为所求； 由（2）可得， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵是定值，即是定值， ∴当最小时，则要最小，即要最小， ∵点F在直线l上， ∴由垂线段最短可知，， 又∵，点F为的中点， ∴所作四边形即为所求； 【小问4详解】 解：设梯形的高为h， ∵，F分别是，的中点， ∴， ∴， ∴，， ∴，故①正确； ∵梯形的中位线一定平行于，而与不一定垂直， ∴梯形的中位线与不一定垂直， ∴不一定垂直平分梯形中位线，故②错误； 如图所示，过点E作，分别交于点J，点T， ∵， ∴四边形和四边形都是平行四边形， ∴，， ∴， ∴； 如图所示，延长到点K，使得，连接， ∵，，， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， 又∵， ∴，故③正确； 如图3-1所示，连接交于点G，取的中点O，过点O作于点M，延长交于点N，过点E作于点K，过点F作于点L， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴； ∵， ∴； ∵， ∴； ∵， ∴， ∴， ∵分别是，的中点， ∴， ∴； 如图3-2所示，连接交于点， 同理可证明， ∴， ∴点G与点重合， ∴经过对角线的交点． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 南京外国语学校2025-2026学年度第二学期期中初二年级数学试题 一、选择题（6小题，共12分） 1. 下列图形中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. 等边三角形 B. 平行四边形 C. 菱形 D. 等腰梯形 2. 分解因式：（ ） A. B. C. D. 3. 要使分式有意义，字母，须满足（ ） A. B. C. D. 4. 根据分式的基本性质，分式可变形为（ ） A. B. C. D. 5. 下列条件中，不能判定为菱形的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，点E，F，G，H分别在矩形ABCD（AB＞AD）的四条边上，连接EF，FG，GH，HE，得到四边形EFGH．下列关于四边形EFGH的说法：①存在无数个四边形EFGH是平行四边形；②存在无数个四边形EFGH是菱形；③存在无数个四边形EFGH是矩形；④存在无数个四边形EFGH是正方形，正确的是（ ） A. ① B. ①② C. ①②③ D. ①②③④ 二、填空题（10题，共20分） 7. 分解因式的结果是____________． 8. 分式，，的最简公分母是____________． 9. 已知，则________． 10. 若关于x的分式方程有增根，则增根是______． 11. 如图，的顶点、分别在直线，上，，若，，则________． 12. 如图，在中，，，的角平分线交于点，交的延长线于点，则的长为______． 13. 如图，是的角平分线，点E、F分别在、上，且，，当时，四边形是____________形． 14. 如图是一张矩形纸片，点是对角线的中点，点在边上，把沿直线折叠，使点落在对角线上的点处，连接，．若，则_____度． 15. 在菱形中，，，点E，F分别在，上，点P在对角线上，连接，，则的最小值为____________． 16. 如图，在正方形中，点O是对角线的中点，点P在线段上，连接并延长交于点E，过点P作交于点F，连接、，交于G，以下结论正确的有（填序号）．____________ ①；②；③；④为定值． 三、解答题 17. 先化简，再求值：，其中． 18. 解方程： （1）； （2）． 19. 证明：当时，． 20. 用方程解决问题：为了提高工作效率，公司计划整理文件1080份．由于青年员工支援，实际每天整理的文件份数比原计划每天多，结果提前6天完成任务．原计划每天整理多少份文件？ 21. 如图，在中，，于点D，延长到点E，使．过点E作交的延长线于点F，连接，． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若，，则的长为____________． 22. 如图，在中，于D，点M，E，F分别是，，的中点．求证：． 23. 如图，在正方形中，点E、F在对角线上，且． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，则四边形的面积为____________． 24. 在矩形中，，． （1）如图，P为边上一点，将沿直线翻折至的位置，当点Q落在上时，求的长． （2）M是边上的一个动点，将沿翻折，其中点C的对称点为． ①当A，M，三点共线时，的长为____________； ②的最小值为____________． 25. 定义：分式的分子或分母中含有分式，这样的分式叫做繁分式，例如像这样，的分式称为繁分式．利用分式的基本性质可以把繁分式化简为最简分式，例如化简时，繁分式的分子分母同乘得到；若实数m，n满足，． （1）____________（用含t的式子表示）； （2）求证：不论t取何值，分式化简后都为一个定值，并求出该定值． 26. 问题：已知梯形中，，其中，E，F分别是，的中点，有哪些性质呢？不妨设，，．小红同学对的长度进行了如下研究： （1）当时，如图①，求的长． 分析思路如下：作于H，则四边形为矩形． ，F分别是，的中点； ；． ____________， 在中，____________．（用x，y，m表示） （2）如图②，在一般的梯形中，，其中，直接写出与梯形的边，，，的数量关系为____________．（用x，y，m表示） （3）如图3，已知点A，B，直线l，作梯形，使得的中点F在l上，满足且最小．（尺规作图，保留作图痕迹，写出必要的文字说明） （4）小红同学对的性质又提出了进一步的猜想： ①平分梯形的面积； ②垂直平分梯形中位线； ③； ④经过对角线的交点； 以上猜想一定正确的是：____________． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $