四川内江市2026届高三下学期4月适应性训练数学试题

高2026届适应性训练试题 数学 本试卷共4页。全卷满分150分，考试时间为120分钟。 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考号、班级用签字笔填写在答题卡相应位置。 2.选择题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡 皮擦千净后，再选涂其它答案。不能答在试题卷上。 3.非选择题用签字笔将答案直接答在答题卡相应位置上。 4.考试结束后，监考人员将答题卡收回。 一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的， 1.设i为虚数单位，若a=（1+2)i,则复数z的虚部为 A.1 B.-1 C.2 D.-2 2.已知全集U为整数集合，若集合A={x∈ZIx2-2x>0},则CA A.1} B.1,2 C.0,1,28 D.{-2,-1,0,1,2 知双曲线E:。-=1(6>0)的一条渐近线方程为yx,则双曲线E的焦距为 A.4 B.5 C.9 D.10 4.记Sn为等比数列{an}的前n项和，若a1=3,S6=9S3,则a4= A.16 B.18 C.24 D.32 5.林林是一名大学生返乡创业者，带领自己的助农直播团队通过线上平台销售家乡特色血橙， 团队对销售数据和促销方案进行了分析，发现血橙日销售量y(吨)与直播时长x(小时)之 间存在较强的线性相关关系.现抽取五场直播数据，根据下表样本数据： 2 3 4 5 6 2 2 4 6 8.5 11.5 得到的线性回归方程为Y=X+a,则 A.a>0,b<0 B.a<0,b<0 C.20b+5a=32 D.46+a=32 6.已知lg2=m,lg3=n,则log245= A.n+1+2m B.n+1-2m C.1+m+2n 1-m+2n n+2m n+2m n+2m n +2m 数学第1页（共4页） 7.已知△ABC的外接圆圆心为0，且2A6=AB+AC,1A01=A1,则向量B在向量B配上的投 影向量为 1 B.BC C.nd D.-8 8.南宋数学家杨辉善于利用已知几何图形的面积、体积来计算离散量“垛积问题”，如图是3 个由正方体堆积而成三角垛，按此规律，在第n个三角垛中正方体的总个数为S。=1+3+6 +…+(”,+1).设每个三角垛中的每个正方体的棱长均为1，把若干个三角垛拼接成一个 直棱柱（可重复使用同一三角垛），该直棱柱底面积为(n,+ 2 2,高为n+1,且n>1,则该直 棱柱的体积可表示为 A.3S。 B.2S+Sn-1 C.2Sn+(n-1)2 D.3Sn-n2+2n-3 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项是符 合题目要求的.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.已知函数f(x)=sinx+√3cosx,则 A.f(x)的最小正周期为2m B.若f(0)=2,则tan0=√3 C.f(x)在区间[0，石]上单调递增 D.f(x)的图象关于点(，O)中心对称 10.在平行六面体ABCD-A,B,C1D1中，∠DAB=∠DAM=∠BA41=60°，AB=AD=A4,=3,则 A.AD⊥AC B.BDL平面ACC1A C.BD =32 D.三棱锥A-ABD的外接球表面积为受 11.现有一枚正n面体形状的骰子(n≥4，n∈N),各面编号依次 为1、2、3、…、n.下列正确的是 A.若随机掷一次该骰子，等可能地出现各个编号，则出现编号为1的概率为二 B.若n=6,随机掷一次该骰子，等可能地出现各个编号，现独立的先后掷骰子，记事件A为 “第一次出现的编号为偶数”，事件B为“两次出现的编号和为9”，则P(41B)=号 C.若随机掷一次该骰子出现编号为1、2、3、…、n的概率依次成等差数列，且随机掷该骰子 出现编号为1的概率为，，则掷该骰子出现编号为n的概率也为】 D.若n=12,随机掷一次该骰子出现编号为1、2、3、…、12的概率依次成等差数列，现独立 的先后掷骰子，两次得到的编号分别记为x和y,且事件“x+y=13”发生的概率为3， 则事件“=y“发生的概率为8 高三数学第2页（共4页） 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分 12.在(x-2)3的展开式中，x2的系数为 13.一动圆与圆x2+y2+6x+5=0外切，同时与圆x2+y2-6x-91=0内切，则动圆圆心的轨 迹方程为 14.若sin恶是函数x)=a3-b+1(a,beN)的-个零点，则1)= 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.(本小题满分13分) 中国A1大模型正处于一个技术进步、市场规模增长的爆发式发展阶段.为了解中国AI大 模型用户的年龄分布，A公司调查了200名中国A1大模型用户，统计他们的年龄（都在[15， 65]内)，按照[15,25)、[25,35)、[35,45)、[45,55)、[55,65]进行分组，得到如图所示的频率 分布直方图. 频率组距 (1)求m的值； 0.040 (2)现要再对关于“AI大模型的使用体验”进行问卷调查， 如果按照年龄进行分层抽样，要抽取一个容量为20 的样本，则年龄在[15,35)内的用户要抽取多少人？ 0.015 (3)估计这200名中国A1大模型用户年龄的平均数（各 0.010 0.005 组数据以该组区间的中点值作代表). 0'152535455565年龄/岁 16.(本小题满分15分) 如图，EA和DC都垂直于平面ABC,且EA=2DC=2,F是EB的中点 (1)求证：DF∥平面ABC: E (2)若△ABC是边长为2的等边三角形，求平面DEF与平面ABC所 成夹角的余弦值： B 高三数学第3页（共4页） 17.(本小题满分15分) 在△ABC中，角A,B,C所对的边是a,b,c (1)写出正弦定理并证明； (2)如图，若∠ABC=90°，P是△ABC内一点，PA=2,PB=1,PC=√2， sim∠BMP=子，求△BCP的面积 18.(本小题满分17分) 已知曲线T的方程为：y=ax+blxl,a、b为常数，斜率为k的直线l过点A(0,1) (1)若b=0,抛物线T上一点P(1,2),点F为焦点，求a的值及线段PF的长； (2)若a=b=2,直线l与曲线r有三个不同的交点，求k的取值范围； (3)若实数a、b满足：a+b=4且b>a>0,设直线l与曲线r有三个不同的交点(x,y:),i=1, 2,3,求上+上+1的取值范围： X12X3 19.(本小题满分17分) 已知函数f(x)=e-x“-(e-2)x-1,x∈(0,1)，其中a为常数，e为自然对数的底数， e≈2.718… (1)当a=2时 ①求函数在x=2处的切线方程： ②证明：f(x)>0; (2)若函数f(x)有零点，求a的取值范围并证明函数f(x)的零点是唯一的 高三数学第4页（共4页） 高2026届适应性训练试题 数学答案及评分意见 一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的. 1.A2.C3.D4.C5.C6.D7.B8.B 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项是符 合题目要求的.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9.AC 10.BCD 11.ACD 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分 12.-80 16+=1 14.5 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.解：(1)由频率分布直方图得所有矩形面积和为1 即10×(0.010+m+0.04+0.015+0.005)=1 解得m=0.03… 4分 (2)年龄在[15,35)内的频率为(0.01+0.03)×10=0.4 则抽取的样本中该区间人数为20×0.4=8人…8分 (3)设这200名中国AI大模型用户年龄的平均数为x 由频率分布直方图计算平均数 即x=20×0.1+30×0.3+40×0.4+50×0.15+60×0.05=37.5(岁) 故这200名中国A1大模型用户年龄的平均数为37.5岁 …13分 16.解：(1)证明：取AB的中点G,连接CG,FG…2分 E ~F是EB的中点PC∥EA,FG=EA ·.EA和DC都垂直于平面ABC ∴.EA∥DC…4分 .·EA=2DC ∴.FG∥DC,FG=DC .四边形CDFG为平行四边形，从而DF∥CG…5分 .·DF￠平面ABC,CGC平面ABC .DF∥平面ABC…7分 (2).:△ABC是正三角形且G是AB的中点 .CG⊥AB 以GC为x轴，GB为y轴，GF为z轴建立如图所示的空间直角坐标系…9分 F(0,0,1),D(5,0,1),E(0,-1,2),则FD=(5,0,0),F2=(0,-1,1) 设平面DEF的法向量n=(x,y,2) ,「n·F7=0 则…序-0令y=1,得i=(0.1,) 12分 又平面ABC的法向量m=(0,0,1）…13分 设平面DEF与平面ABC所成夹角为0，则 高三数学答案第1页（共4页） cos0 =Icos <m,n>1=Im nl 1 1m11nl√22 平面DBF与平面ABC所成夹角的余弦值为号 15分 1n.解：)正弦定理为：品=品B品C b 证明法1：见教材必修二第六章46页的向量法证明 证明法2：如图，设△4BC外接圆的直径为2R ①当△ABC为锐角三角形时，△ABC的外接圆圆心O在△ABC内部 连接CO并延长交圆于D,连接BD,则∠A=∠D 易知△BDC为直角三角形，则sinM=sinD= BC a CD 2R 所以品=2，同理g C sinB sinC =2R 放有品品品=2R 5分 ②当△ABC为钝角三角形时，△ABC的外接圆圆心O在△ABC外部 连接BO并延长交圆于D,连接CD,则∠A=∠D 同理易知△DBC为直角三角形，则sinA=sinD=BC=a BD 2R 所以，品=2，同理6品C-2n C 0 故有品品BC c=2R 当△ABC为直角三角形时，由锐角三角函数定义知·=b。三 "sinA sinB sinC =2R 综上，任意△ABC外接圆的直径2R,都有” b C sinAsinB=sinC=2R 8分 2作AAD中，由工弦定理得nn”P则nAP= AP 2 10分 于是由∠ABP为锐角知∠ABP=30°… 11分 又因为∠ABC=90°，得∠CBP=60°… 12分 在△CBP中，由余弦定理知Cp2=BP2+BC2-2BP·BC·cos∠CBP 即2=1+BC2-BC,得BC=1+5 2 14分 所以Sa=BC·Bp·sin∠CBP=5+,1⑤ ……… 15分 8 18.解：(1)当b=0时，曲线r的方程为：y2=ax 由抛物线T上有一点P(1,2),知a=4…. 2分 则抛物线r为y2=4x,焦点F的坐标为(1,0) 由抛物线定义知PF=xn+1=2 4分 2)当a=b=2时，曲线r的方程为{0；老0 曲线r由x轴负半轴及抛物线y2=4x构成，要使直线l:y=x+1与曲线r有三个不同的 交点，必有k>0…6分 高三数学答案第2页（共4页） 由直线与x轴负半轴有一个交点知直线与抛物线)y2=4x必有两个交点 联大y得：+1产=4-+(2-4+1=0 则△=(2x-4)2-42=16-16k>0,得k<1 因此k的取值范围为(0,1)… 9分 （3)曲线r的方程为={（2a4)x,t<0 4x, x≥0 由a+b=4且b>a>0,可得a∈(0,2) 10分 因此a-b=2a-4e(-4,0)》 要使直线1：y=低+1与曲线r:={(4x,x<0 4x, x≥0 三个交点，分以下两种情况讨论： 情况①：直线1与y2=4x相切，与y2=(2a-4)x相交于两点 时呢>0…………………**… 11分 由(2)知，直线1与y2=4x相切时，k=1,不妨设切点横坐标为x 由x3是方程x2-2x+1=0的根，即x=1 联立24)x消去得：+(2k-2a+4x+1=0 将k=1代入，得：x2+(6-2a)x+1=0,△=(6-2a)2-4=4(a-2)(a-4)>0 不妨设直线l与y2=(2a-4)x相交的两点的横坐标分别为x1,x2 由韦达定理：+=2a-6 x1x2=1 则+1+1=++1=(2a-6)+1=2a-5 12X3x12X3 由a∈(0,2)，得2a-5∈（-5，-1)… 14分 情况②：直线1与y2=4x相交于两点，与y2=(2a-4)x相切 此时k<0 联立直线1与y2=(2a-4)x,得2x2+(2k-2a+4)x+1=0 由相切知△=(2k-2a+4)2-4k=(4-2a)2+4(4-2a)k=0 由4-2a≠0，得4-2a+4h=0,即k=a_2 2 不妨设直线l与y2=(2a-4)x的切点的横坐标为x1 由韦达定理知听=是故=，因此=”2号 2 联立直线4-2子+1与产-4得“，2+(a-6)+1=0 △=(a-6)2-(a-2)2=(2a-8)(-4)>0 设直线1与y2=4x相交的两点的横坐标分别为x2x 4 厕+出62*2知上+1=+04-26-=5 XI X2 X3 %1 X2X3 2 2 由a∈(0,2)，得5-分∈(4,5) 踪合①2两种情况，+名+的取值范泡围为-5，-U(4.5 19.解：(1)当a=2时f(x)=e-x2-(e-2)x-1,x∈(0,1) 高三数学答案第3页（共4页） ①因为f(x)=e-2x-(e-2)f()=6-e+1 所以函数在x=处的切线斜率为E-e+1… 3分 由3=6-分子 知函数在x=2处的切线方程为y=(6-e+1)x+号-3 24 …5分 ②因为fx)=e-x2-(e-2)x-1,所以f(x)=e-2x-(e-2),"(x)=e-2 令"(x)=0,得x=ln2, 于是f(x)在(0，ln2)单调递减，在(n2,1)单调递增 由f(0)=3-e>0,f(1)=0,f(ln2)=4-2ln2-e<0 知存在唯一零点，使得∫(x）=0 即f(x)在(0，x)单调递增，在(，1)单调递减， 而f0)=f(1)=0 所以f代x)>0在区间(0,1)内恒成立，得证… 10分 (2)当a≥2时，fx)=e-x°-(e-2)x-1≥e-x2-(e-2)x-1 由②知f(x)>0,即此时f(x)无零点 当a≤1时，f(x)=e-x°-(e-2)x-1≤e-(e-1)x-1 令h(x)=e-(e-1)x-1,h'(x)=e-e+1 由h'(x)在(0,1)单调递增，且h'(x)=e-e+1,h'(0)<0,h'(1)>0 所以存在唯一零点t使得h'(t)=0,则h(x)在(0，)单调递减，(t,1)单调递增 而h(0)=h(1)=0,所以h(x)<0,知f(x)<0,即此时f(x)无零点…13分 下证：当a∈(1,2)时，f(x)在区间(0,1)内有零点，并且零点是唯一的 f(x)=e-x”-(e-2)x-1,f(0)=f(1)=0 f(x)=e-ax-1-(e-2),故f(0)=3-e>0f(1)=2-a>0 又f"(x)=e-a(a-1)x-2,得"(x)=e-a(a-1)(a-2)x-3>0, 于是"(x)在区间(0,1)内单调递增，有唯一零点x。为(x)的最小值点， 即f(x)min=∫(xo) 我们断言：f(x)<0,否则f(x)≥0，从而f(x)≥0，f(x)在区间[0,1]上单调递增，与 f(0)=f(1)矛盾，现列表如下： 0 (0,xo) Xo (x0,1) "(x) 0 + 单调递减，正变负， 单调递增，负变正， (x) 有唯一零点x1 有唯一零点x2 再列表如下： 0 (0,x） x1 (x,x2） X2 (x2,1) f(x) + 0 0 + 单调递增， 单调递减，正变负， f(x) 0 单调递增， 有唯一零点3 0 + 综上，a∈(1,2)，f(x)在区间(0,1)内的零点是唯一的 17分 高三数学答案第4页（共4页）