精品解析：四川广元市2026届高三下学期定时训练数学试卷

高三年级定时训练 数学 注意事项： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分，满分150分，考试时间120分钟. 2.答题前，务必将自己的姓名、座位号、班级和考籍号填写在答题卡规定的位置上. 3.答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号. 4.答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上. 5.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效. 6.考试结束后，只将答题卡交回. 第Ⅰ卷（选择题 共58分） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数，则（ ） A. 1 B. C. 2 D. 4 3. 已知数列满足：，，，则（ ） A. 127 B. 128 C. 255 D. 256 4. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 5. 某果园为检测两试验园苹果的质量，现从试验园抽取30个苹果，其平均质量为，方差为48，从试验园抽取20个苹果，其平均质量为，方差为40，则抽取的这50个苹果的方差为（ ） （参考公式：样本分为2层，各层的容量、平均数和方差分别为，，，，，，记样本的平均数为，方差为，则.） A. 45.8 B. 140.8 C. 176 D. 183.2 6. 已知为坐标原点，动点在：上，点的坐标为，且线段的中点为，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 已知，，，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 8. 若实数，满足，则与的最小值最接近的是（ ）（参考数据：，，） A. 0.26 B. 0.41 C. 0.51 D. 1.10 二、多选题：本题共3小题，每题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的不得分. 9. 数列为等差数列，公差为，前项和为；数列为等比数列，公比为，前项和为.若，，，则（ ） A. B. C. D. 10. 在棱长为2的正方体中，为棱的中点，为棱的中点，则（ ） A. 直线与平面平行 B. 四面体的外接球的表面积为 C. 三棱锥的体积为 D. 平面与平面的夹角的余弦值为 11. 已知函数，，则（ ） A. 若，则函数有两个极值点 B. 若，且，则函数在上不单调 C. 若函数既有极大值又有极小值，则其极大值必大于1 D. 函数的图象关于点成中心对称图形 第Ⅱ卷（非选择题 共92分） 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，，若，则实数______. 13. 在的展开式中，的系数为__________.（用数字作答） 14. 已知双曲线：的左、右焦点分别为，，是双曲线右支上一点，且，若的平分线与轴交于点，有，则双曲线的离心率为______. 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 在中，角，，的对边分别为，，，且. （1）求； （2）若，求. 16. 在直三棱柱中，，，，. （1）求证：平面； （2）点在线段上运动，记直线与平面所成角为，求的最大值. 17. 已知函数，. （1）若函数在处取得极值，求实数的值及此时的单调区间； （2）令，若对，的图象都不在图象的下方，求实数的取值范围. 18. 已知椭圆：的焦距为，且经过点. （1）求椭圆的标准方程； （2）椭圆的光学性质：从椭圆的一个焦点发出的光线经椭圆面反射后必经过椭圆的另一个焦点.现从椭圆的左焦点发出的光线经椭圆面两次反射后再次经过左焦点，其中第一次入射点为，求第二次反射光线所在的直线； （3）设，分别是椭圆的左、右焦点，过点作一条斜率不为零的直线，交椭圆于不同两点，，点关于轴的对称点为，若存在直线使得，求实数的取值范围. 19. 某机器人公司在初代人形机器人原型机的功能验证阶段，对“连续侧空翻”动作进行落地稳定性测试．假设单次空翻成功落地概率为，测试直到出现“连续成功2次”或“连续失败2次”时立即停止，各次测试相互独立．若测试停止时最后两次均为成功，称为“成功终止”，记为恰好次测试后成功终止的概率． （1）求，； （2）求； （3）该公司技术优化后，机器人的空翻落地概率增加“成功增益”规则：若某一次空翻成功落地，下一次空翻的成功概率将在原有基础上增加，（，即成功后动作稳定性会提升）；若某一次空翻落地失败，下一次空翻的成功概率会重置为初始值．现要求技术优化后，初始状态下最终“成功终止”的概率比无增益时最终“成功终止”的概率提升至少，求满足条件的的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高三年级定时训练 数学 注意事项： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分，满分150分，考试时间120分钟. 2.答题前，务必将自己的姓名、座位号、班级和考籍号填写在答题卡规定的位置上. 3.答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号. 4.答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上. 5.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效. 6.考试结束后，只将答题卡交回. 第Ⅰ卷（选择题 共58分） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】，， 故. 2. 已知复数，则（ ） A. 1 B. C. 2 D. 4 【答案】C 【解析】 【详解】复数，，则， 所以. 3. 已知数列满足：，，，则（ ） A. 127 B. 128 C. 255 D. 256 【答案】C 【解析】 【详解】在数列中，由，得，而， 因此数列是首项为2，公比为2的等比数列，， 所以. 4. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】，而，，故， 故. 5. 某果园为检测两试验园苹果的质量，现从试验园抽取30个苹果，其平均质量为，方差为48，从试验园抽取20个苹果，其平均质量为，方差为40，则抽取的这50个苹果的方差为（ ） （参考公式：样本分为2层，各层的容量、平均数和方差分别为，，，，，，记样本的平均数为，方差为，则.） A. 45.8 B. 140.8 C. 176 D. 183.2 【答案】B 【解析】 【分析】求出平均数后，利用所给方差公式计算即可得. 【详解】这50个苹果的平均数， 则方差 . 6. 已知为坐标原点，动点在：上，点的坐标为，且线段的中点为，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先求，再结合消元法可求的取值范围. 【详解】设，则，故， 故，故，且， 故，故，故. 7. 已知，，，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】构造函数，借助导数研究其单调性后可得，再利用三角函数性质合理放缩可得，即可得. 【详解】令，则，故在上单调递增， 又，故当时，， 则，即，故， ， ，故； 综上可得. 8. 若实数，满足，则与的最小值最接近的是（ ）（参考数据：，，） A. 0.26 B. 0.41 C. 0.51 D. 1.10 【答案】C 【解析】 【分析】设，则利用基本不等式可求的最小值，从而可求的最小值，结合题设中的数据可估计最接近的数. 【详解】设，则， 故，故， 故，因为，故， 此时， 当且仅当即时等号成立， 故的最小值为，即的最小值为，故的最小值为， 所以的最小值，即最小值为. 二、多选题：本题共3小题，每题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的不得分. 9. 数列为等差数列，公差为，前项和为；数列为等比数列，公比为，前项和为.若，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【详解】依题意，，则，解得，A正确，B错误； 对于C，，C正确； 对于D，，D错误. 10. 在棱长为2的正方体中，为棱的中点，为棱的中点，则（ ） A. 直线与平面平行 B. 四面体的外接球的表面积为 C. 三棱锥的体积为 D. 平面与平面的夹角的余弦值为 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用向量法判断位置关系后可判断A的正误，利用空间距离计算外接球的球心后求得半径，再结合公式求出表面积后判断B，利用等积转化求出体积后判断C，利用向量法求出面面角的余弦值后可判断D的正误. 【详解】 以原点建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 则， 对于A，，， 设平面的法向量为，则， 所以，取， 因为，故直线与平面不平行，故A错误； 对于B，设四面体的外接球的球心为，半径为， 则， 故即， 故，故外接球的表面积为，故B正确； 对于C，因为到平面的距离即为棱长， 故，故C正确； 对于D，因为平面的法向量， 设平面与平面的夹角为，， 故D正确. 11. 已知函数，，则（ ） A. 若，则函数有两个极值点 B. 若，且，则函数在上不单调 C. 若函数既有极大值又有极小值，则其极大值必大于1 D. 函数的图象关于点成中心对称图形 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A，根据导数的判别式可判断A的正误；对于B，利用虚设零点结合导数符号可判断其正误，对于C，根据反例可判断其正误，对于D，可证明，从而可判断其正误. 【详解】， 对于A，因为，，故有两个变号零点， 所以函数有两个极值点，故A正确； 对于B，因为，， 因为，故，， 而，故存在，当时，， 当时，，故在为增函数，在为减函数， 故函数在上不单调，故B正确； 对于C，取，则， 当或时，，当时，， 故为唯一的极大值点，故的极大值为，故C错误； 对于D，， 而， 故， 而，故， 故函数的图象关于点成中心对称图形，故D正确； 第Ⅱ卷（非选择题 共92分） 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，，若，则实数______. 【答案】 【解析】 【详解】因为，故，故. 13. 在的展开式中，的系数为__________.（用数字作答） 【答案】60 【解析】 【详解】由二项式定理，展开式的通项为. 令，解得，将代入通项，得的系数为. 14. 已知双曲线：的左、右焦点分别为，，是双曲线右支上一点，且，若的平分线与轴交于点，有，则双曲线的离心率为______. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意分析可得，利用角平分线可得，再根据双曲线的定义结合余弦定理计算得出齐次式得出离心率即可. 【详解】∵，设的高为，则，可得，所以， ∵平分，可得， 则， 又因为，所以， 又中，由余弦定理得，则， 所以整理得， 故， 所以. 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 在中，角，，的对边分别为，，，且. （1）求； （2）若，求. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据正弦定理及三角变换公式可求； （2）根据余弦定理化简边角关系后可得，再根据正弦定理及题设条件、（1）中结果可求的值. 【小问1详解】 由题意及正弦定理得：， 又，则有， 又，则，又，所以. 【小问2详解】 由余弦定理，，得， 由题，有，而， ∴，即， 即，得， 又由（1）可得， 得， 所以. 16. 在直三棱柱中，，，，. （1）求证：平面； （2）点在线段上运动，记直线与平面所成角为，求的最大值. 【答案】（1）证明见解析 法一：在直三棱柱中，平面 又平面，有，又，， ，平面，有平面， 又平面，则有， 在正方形中，，又，，平面， 则有平面. 法二：以为原点，为轴，为轴，为轴建系， 则，，，，，， 进一步有：，，， 故，， 所以，，即，， 又，，平面，则有平面. （2） 【解析】 【分析】（1）根据空间垂直关系的转化可证平面，结合正方形可证平面，我们也可以建立如图所示的空间直角坐标系，利用向量法证明平面； （2）设，则结合向量法可得，根据二次函数的性质可求最大值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 设，则， ， 设平面的法向量为，则 ，即，令，则， 所以， 当时，. 17. 已知函数，. （1）若函数在处取得极值，求实数的值及此时的单调区间； （2）令，若对，的图象都不在图象的下方，求实数的取值范围. 【答案】（1）；的单调递减区间为，单调递增区间为. （2）. 【解析】 【分析】（1）先求出导函数得出极值点计算求参，再分析导函数的单调性，进而确定原函数的单调区间； （2）先化简，再构造新函数，再求出导数根据正负得出单调性即可得出最小值，最后得出参数范围. 【小问1详解】 的定义域为，， ∵在处取得极值， ∴，即：，解得， 当时，，在上单调递增. 又， 因此当时，，单调递减； 当时，，单调递增. 综上，；的单调递减区间为，单调递增区间为. 【小问2详解】 由题意，对恒成立，即：，， 整理并两边同除以得：， 令，则问题转化为求的最小值，即， 对求导并化简： ， 令，，， ∵，∴在上恒成立，故在上单调递增. 又， 当时，，，故，单调递减； 当时，，，故，单调递增； 因此在处取得最小值， 故实数的取值范围为. 18. 已知椭圆：的焦距为，且经过点. （1）求椭圆的标准方程； （2）椭圆的光学性质：从椭圆的一个焦点发出的光线经椭圆面反射后必经过椭圆的另一个焦点.现从椭圆的左焦点发出的光线经椭圆面两次反射后再次经过左焦点，其中第一次入射点为，求第二次反射光线所在的直线； （3）设，分别是椭圆的左、右焦点，过点作一条斜率不为零的直线，交椭圆于不同两点，，点关于轴的对称点为，若存在直线使得，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据焦距及点在椭圆上列式计算求出参数得出椭圆的标准方程； （2）根据新定义得出反射点结合点斜式计算得出反射光线方程； （3）先设直线，再联立得出韦达定理，再应用向量垂直坐标运算公式计算得出，最后应用判别式计算求解参数范围. 【小问1详解】 由题意：，解得：， 所以椭圆的标准方程为； 【小问2详解】 第一次入射点为，反射后过， 得到轴，得第二次反射点为， 故第二次反射光线为，其方程为， 即，为所求直线方程. 【小问3详解】 设：，，，由点关于轴的对称点为，有 联立，消得：， 由韦达定理，有，， 由，有， ， 所以 整理得：. 由得：，整理得：， 联立， 化简得， 解得. 19. 某机器人公司在初代人形机器人原型机的功能验证阶段，对“连续侧空翻”动作进行落地稳定性测试．假设单次空翻成功落地概率为，测试直到出现“连续成功2次”或“连续失败2次”时立即停止，各次测试相互独立．若测试停止时最后两次均为成功，称为“成功终止”，记为恰好次测试后成功终止的概率． （1）求，； （2）求； （3）该公司技术优化后，机器人的空翻落地概率增加“成功增益”规则：若某一次空翻成功落地，下一次空翻的成功概率将在原有基础上增加，（，即成功后动作稳定性会提升）；若某一次空翻落地失败，下一次空翻的成功概率会重置为初始值．现要求技术优化后，初始状态下最终“成功终止”的概率比无增益时最终“成功终止”的概率提升至少，求满足条件的的最小值． 【答案】（1）， （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意及独立事件的乘法公式即可求得，； （2）讨论的奇偶，计算对应的概率即可； （3）讨论成功增益为0和有成功增益的情况，分别求出初始状态下最终成功终止的概率和初始状态下最终成功终止的概率，进而根据即可求出的最小值． 【小问1详解】 依题意可得恰好次测试后成功终止（第一次失败，第二、三次成功）的概率为 ， 恰好次测试后成功终止（第一次成功，第二次失败，第三、四次成功）的概率为 ． 【小问2详解】 要在第次成功终止，则必须满足第次和第次均为成功， 当为偶数时，前次测试结果成功与失败交替出现且第次必须为失败（否则第次就已经成功终止），成功失败各次， 所以； 当为奇数时，前次测试结果成功与失败交替出现且第次必须为失败（否则第次就已经成功终止），则前次测试成功次，失败次， 所以； 所以，整理得． 【小问3详解】 定义状态为初始状态，为上次测试失败但测试未终止， 为上次测试成功但测试未终止， 设为从状态出发最终终止的概率. 则，故， 当成功增益为0，即时， 将代入得初始状态下最终成功终止的概率， 同理若成功增益， 则初始状态下最终成功终止的概率， 由题设有，故，此时， 所以满足条件的的最小值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $