四川省内江市高中2024-2025学年高三下学期第三次模拟（4月三模）数学试题

书 高三三模数学试卷第１　 页（共４页） 内江市高中 ２０２５ 届第三次模拟考试题 数　 学 本试卷共４页，１９小题，满分１５０分，考试用时１２０分钟。 注意事项： １．答题前，考生务必将自己的姓名、考号、班级用签字笔填写在答题卡相应位置。 ２．选择题选出答案后，用２Ｂ铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡 皮擦干净后，再选涂其它答案。不能答在试题卷上。 ３．非选择题用签字笔将答案直接答在答题卡相应位置上。 ４．考试结束后，监考人员将答题卡收回。 一、单项选择题：本大题共８小题，每小题５分，共４０分．在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的 １．已知集合Ａ ＝｛ｘ ｜（ｘ ＋ １）（ｘ － ３）≤０｝，Ｂ ＝｛－ ３，－ ２，－ １，１，２，３｝，则Ａ∩Ｂ ＝ Ａ．｛－ ２，－ １｝ Ｂ．｛－ １，１，２，３｝ Ｃ．｛１，２｝ Ｄ．｛－ ３，－ ２，－ １｝ ２．设ｉ是虚数单位，若（１ － ｉ）ｚ ＝ ２ｉ，则复数ｚ的虚部为 Ａ． １ Ｂ． － １ Ｃ． ｉ Ｄ． － ｉ ３．在各项为正数的等比数列｛ａｎ｝中，ａ１ａ３ ＝ ３６，ａ２ ＋ ａ４ ＝ ６０，则ａ４ ＝ Ａ． ６６ Ｂ． ５４ Ｃ． ９ Ｄ． ６ ４．已知双曲线ｘ ２ ａ２ － ｙ２ ＝ １（ａ ＞ ０）的焦距为槡２ ５，则双曲线的离心率为 槡 槡Ａ． ６ Ｂ． ５ Ｃ． 槡２ ９５１９ Ｄ．槡 ５ ２ ５．下列说法错误的是 Ａ．若随机变量Ｘ ～ Ｎ（μ，σ２），则当σ较大时，对应的正态曲线“矮胖”，随机变量Ｘ的分布比 较分散 Ｂ．在线性回归分析时，可以用相关系数ｒ刻画两个随机变量间的线性相关性，若ｒ越小，则 说明线性相关性越弱 Ｃ．若样本数据ｘ１，ｘ２，…，ｘｎ的方差为３，则３ｘ１ ＋ １，３ｘ２ ＋ １，…，３ｘｎ ＋ １的方差为２７ Ｄ．一组数据６，７，７，８，１０，１２，１４，１６，１９，２１的第５０百分位数为１１ ６．已知函数ｆ（ｘ）在Ｒ上可导，其导函数为ｆ ′（ｘ），若ｆ（ｘ － ２）为偶函数，则一定成立的是 Ａ． ｆ（２）＝ ０ Ｂ． ｆ（－ ２）＝ ０ Ｃ． ｆ ′（２）＝ ０ Ｄ． ｆ ′（－ ２）＝ ０ ７．在正方形ＡＢＣＤ中，Ｅ为边ＢＣ上靠近点Ｂ的三等分点，Ｆ为ＡＢ的中点，连接ＡＥ与ＤＦ交于 点Ｐ，则∠ＥＰＦ的余弦值为 Ａ．槡２１０ Ｂ． －槡 ２ １０ Ｃ． 槡２ ５ ５ Ｄ． ０ 高三三模数学试卷第２　 页（共４页） ８．已知点Ｍ为正三棱柱ＡＢＣ － Ａ１Ｂ１Ｃ１表面上一个异于点Ａ１的动点，若ＡＢ 槡＝ ２，ＢＢ１ ＝ １，且满 足ＭＡ１ 槡＝ ２，则动点Ｍ的轨迹的长度为 Ａ． ２π Ｂ．槡２３ π Ｃ． 槡 ３ ２ ＋ １ ３ π Ｄ．（ 槡２ ＋ ２）π 二、多项选择题：本大题共３小题，每小题６分，共１８分．在每小题给出的选项中，有多项符合 题目要求．全部选对的得６分，部分选对的得部分分，有选错的得０分． ９．设正实数ｍ、ｎ满足ｍ ＋ ｎ ＝ ２，则 Ａ． ｍｎ的最大值为１ Ｂ． ｍ２ ＋ ｎ２的最小值为２ Ｃ 槡． ｍ ＋槡ｎ的最小值为２ Ｄ． １ｍ ＋ ４ ｎ的最小值为 ９ ２ １０．已知函数ｆ（ｘ）＝ Ａｓｉｎ（ωｘ ＋ φ）的部分图象如图，将曲线ｙ ＝ ｆ（ｘ）向右平移π６个单位长度，再 将得到的曲线上的所有点横坐标变为原来的３２倍，得到函数ｇ（ｘ）的图象，则 Ａ．直线ｘ ＝ ７π８是函数ｇ（ｘ）图象的一条对称轴 Ｂ．直线ｘ ＝ π４是函数ｇ（ｘ）图象的一条对称轴 Ｃ．点（π８ ，０）是函数ｇ（ｘ）图象的一个对称中心 Ｄ．函数ｇ（ｘ）在区间［３π８ ， ７π ８ ］上单调递减 １１．已知抛物线Ｃ：ｙ２ ＝ ２ｐｘ（ｐ ＞ ０）的焦点为Ｆ，Ｏ为坐标原点，Ａ、Ｂ是抛物线Ｃ上的两个动点， 则下列说法正确的是 Ａ．抛物线Ｃ的准线与ｘ轴交于点Ｍ，过Ｍ引抛物线Ｃ的两条切线，切点分别为Ａ、Ｂ，则 △ＭＡＢ为等腰直角三角形 Ｂ． Ｎ为ｙ轴上一点，若△ＡＯＮ是正三角形，则Ｎ的坐标为（０，槡４ ３ｐ） Ｃ．当直线ＡＢ的斜率为１时，抛物线Ｃ上存在唯一的点Ｔ使得△ＡＢＴ为等边三角形，且该 等边三角形的边长为槡４ ６ｐ Ｄ．给定点Ａ（６ｐ，槡２ ３ｐ），则抛物线Ｃ上存在唯一一个以Ａ为顶点的内接等边三角形 三、填空题：本大题共３小题，每小题５分，共１５分． １２．在（２ｘ ＋ １ｘ ） ４的展开式中，ｘ２的系数是　 　 　 　 ． １３．记Ｓｎ为等差数列｛ａｎ｝的前ｎ项和，若Ｓ１，Ｓ２２ ， Ｓ３ ３成等比数列，则其公比ｑ ＝ 　 　 　 ． １４．对于一个三位数ｎ，若其各位数字的平方和等于该数各位数字和的两倍，则称ｎ为“平衡 数”．例如２２０是“平衡数”，因为２２ ＋ ２２ ＋ ０２ ＝ ８，２ ×（２ ＋ ２ ＋ ０）＝ ８，那么最大的三位“平衡 数”是　 　 　 　 ． 高三三模数学试卷第３　 页（共４页） 四、解答题：本大题共５小题，共７７分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤． １５．（本小题１３分） 如图，在长方体ＡＢＣＤ － Ａ１Ｂ１Ｃ１Ｄ１ 中，ＡＢ ＝ ＡＤ ＝ ２，ＡＡ１ ＝ ４，Ｅ为 ＡＡ１的中点． （１）求证：Ａ１Ｃ∥平面ＢＤＥ； （２）求二面角Ａ － ＤＥ － Ｂ的余弦值． １６．（本小题１５分） 在△ＡＢＣ中，内角Ａ、Ｂ、Ｃ的对边分别为ａ、ｂ、ｃ，已知ａ 槡＝４ ２，△ＡＢＣ的面积为槡３４（ａ ２ ＋ ｃ２ － ｂ２）． （１）求Ｂ； （２）设边ＡＣ的中点为Ｄ，且边ＡＣ的中垂线交线段ＡＢ于点Ｅ，若ＤＥ 槡＝ ２ ３，求ｓｉｎＡ的值． １７．（本小题１５分） 疫苗是指用各种病原微生物制作的用于预防接种的生物制品，接种疫苗是预防和控制传 染病最经济、最有效的公共卫生干预措施．今年入春以来，代号为Ａ － α的病毒在某地流行．某 制药厂针对预防Ａ － α病毒研发出了一种特效药物γ．为了调查该药物的防疫效果，某机构采 取了随机抽样的调查方式．其中是否接种特效药与是否感染病毒的调查结果整理如下： 病毒感染情况 使用药物γ 未使用药物γ 合计 感染病毒 ８０ ３００ 未感染病毒 ５８０ ７００ 合计 ８００ ２００ １０００ （１）完成上面的列联表，并将频率视为概率，用样本估计总体，试求该地区居民Ａ － α病毒的感 染率； （２）在犯错误的概率不超过０．００１的前提下，能否认为使用特效药物γ与预防Ａ －α病毒有关？ （３）科学实验表明，任何形式的医学检测，均有结果检错的可能．已知感染Ａ － α病毒的人其检 测结果有５％的漏诊率（将已感染病毒的人判定为未感染），而没有感染Ａ － α病毒的人其 检测结果有１％的误诊率（将未感染病毒的人判定为已感染）． 已知某人的Ａ － α病毒检查结果为已感染，求此人真的感染Ａ － α病毒的概率． 附：Ｋ２ ＝ ｎ（ａｄ － ｂｃ） ２ （ａ ＋ ｂ）（ｃ ＋ ｄ）（ａ ＋ ｃ）（ｂ ＋ ｄ）． Ｐ（Ｋ２≥ｋ） ０． ０５０ ０． ０１０ ０． ００１ ｋ ３． ８４１ ６． ６３５ １０． ８２８ 高三三模数学试卷第４　 页（共４页） １８．（本小题１７分） 在平面直角坐标系中，Ｏ为坐标原点，动点Ｐ（ｘ，ｙ）到定点Ｆ（槡３，０）的距离和它到定直线 ｌ：ｘ ＝ 槡４ ３３ 的距离之比等于槡 ３ ２ ，设动点Ｐ的轨迹为曲线Γ． （１）求曲线Γ的方程； （２）设Ｍ、Ｎ为曲线Γ的上、下顶点，直线ｌ：ｙ ＝ ｋｘ ＋ １２与曲线Γ交于Ｃ、Ｄ两点（Ｄ在Ｃ上方）， 与ｙ轴交于点Ｓ（０，１２ ），记直线ＭＣ、ＮＤ的斜率分别为ｋ１、ｋ２ ． ①试探究ｋ１ｋ２是否为常数？若是，求出该常数；若不是，请说明理由； ②设直线ＭＣ与直线ＮＤ交于点Ｑ，直线ＱＳ的斜率为ｋ３，试探究１ｋ１， １ ｋ２ ，１ｋ３满足的关系式， 并说明理由． １９．（本小题１７分） 我们把ｄ ＝ ｂ － ａ（ａ ＜ ｂ）称为区间［ａ，ｂ］的长度．若函数ｆ（ｘ）是定义在区间Ｉ上的函数，且 存在［ａ，ｂ］Ｉ，使得｛ｆ（ｘ）｜ ｘ∈［ａ，ｂ］｝＝［ａ，ｂ］，则称［ａ，ｂ］为函数ｆ（ｘ）的自映射区间．已知函 数ｆ（ｘ）＝ ｘ － ｓｉｎｘ（ｘ∈Ｉ），ｇ（ｘ）＝ｍｌｎｘ（ｍ ＞ ０）． （１）若Ｉ ＝［０，２π］，请写出ｆ（ｘ）的一个自映射区间； （２）若ｇ（ｘ）存在自映射区间［ａ，ｂ］， ①求实数ｍ的取值范围； ②求证：ａ ＋ ｂ ＞ ２ｅ，且［ａ，ｂ］的长度ｄ满足ｄ２ ＞ ４ｍ（ｍ － ｅ）． 高三三模数学试题答案第１　 页（共４页） 内江市高中 ２０２５ 届第三次模拟考试题 数学参考答案及评分意见 一、单项选择题：本大题共８小题，每小题５分，共４０分．在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的． １． Ｂ　 　 ２． Ａ　 　 ３． Ｂ　 　 ４． Ｄ　 　 ５． Ｂ　 　 ６． Ｄ　 　 ７． Ａ　 　 ８． Ｃ 二、多项选择题：本大题共３小题，每小题６分，共１８分．在每小题给出的选项中，有多项是符 合题目要求的．全部选对的得６分，部分选对的得部分分，有选错的得０分． ９． ＡＢＤ　 　 １０． ＡＣＤ　 　 １１． ＡＣ 三、填空题：本大题共３小题，每小题５分，共１５分． １２． ３２　 　 １３． １　 　 １４． ２２２ 四、解答题：共７７分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． １５．解：（１）证明：连接ＡＣ，交ＢＤ于点Ｏ，连接ＥＯ． １分 !!!!!!!!!!!!!!!! ∵在长方体ＡＢＣＤ － Ａ１Ｂ１Ｃ１Ｄ１中，Ｏ是ＡＣ中点， 又Ｅ是ＡＡ１的中点， ∴ Ａ１Ｃ∥ＯＥ ３分!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! ∵ Ａ１Ｃ平面ＢＤＥ，ＯＥ平面ＢＤＥ ∴ Ａ１Ｃ∥平面ＢＤＥ． ４分!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! （２）以点Ｄ为原点建立如图的空间直角坐标系， ∵ ＡＢ ＝ ＡＤ ＝ ２，ＡＡ１ ＝ ４，Ｅ是ＡＡ１的中点， ∴ Ｄ（０，０，０），Ａ（２，０，０），Ｅ（２，０，２），Ｂ（２，２，０） ∴ →ＤＥ ＝（２，０，２），→ＤＢ ＝（２，２，０）， ６分 !!!!!!!!!! 设平面ＢＤＥ的法向量为→ｎ ＝（ｘ，ｙ，ｚ） 则由 →ＤＢ·→ｎ ＝ ０ →ＤＥ·→ｎ{ ＝ ０得 ２ｘ ＋ ２ｙ ＝ ０ ２ｘ ＋ ２ｚ{ ＝ ０，令ｘ ＝ １，则ｙ ＝ － １，ｚ ＝ － １ ∴平面ＢＤＥ的一个法向量为珗ｎ ＝（１，－ １，－ １） ８分 !!!! ∵在长方体ＡＢＣＤ － Ａ１Ｂ１Ｃ１Ｄ１中，ＣＤ⊥平面ＡＤＥ ∴平面ＡＤＥ的一个法向量为珝ｍ ＝（０，１，０）． １０分 !!!!!!!!!!!!!!!! ｃｏｓ ＜珝ｍ，珗ｎ ＞ ＝ 珝ｍ·珗ｎ｜珝ｍ ｜ ｜珗ｎ ｜ ＝ － １ 槡１ × ３ ＝ －槡３３ ． １２分!!!!!!!!!!!!!!!!!! 又二面角Ａ － ＤＥ － Ｂ为锐角， ∴二面角Ａ － ＤＥ － Ｂ的余弦值为槡３３ ． １３分!!!!!!!!!!!!!!!!!!! １６．解：（１）∵ Ｓ ＝槡３４ （ａ ２ ＋ ｃ２ － ｂ２），且Ｓ ＝ １２ ａｃｓｉｎＢ． ∴ １２ ａｃｓｉｎＢ ＝ 槡３ ４ × ２ａｃｃｏｓＢ ４分!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! ∴ ｔａｎＢ 槡＝ ３， ５分!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! 又Ｂ∈（０，π） 高三三模数学试题答案第２　 页（共４页） ∴ Ｂ ＝ π３ ． ７分!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! （２）∵在△ＡＢＣ中，ＤＥ为ＡＣ的中垂线，且ＤＥ 槡＝ ２ ３． ∴在Ｒｔ△ＡＤＥ中，ＡＤ ＝ 槡２ ３ｔａｎＡ，故ＡＣ ＝ 槡 ４ ３ ｔａｎＡ． ９分!!!!!!!!!!!!!!!!! ∵ ａ 槡＝ ４ ２，Ｂ ＝ π３ ∴在△ＡＢＣ中，由正弦定理ａｓｉｎＡ ＝ ｂ ｓｉｎＢ，有槡 ４ ２ ｓｉｎＡ ＝ 槡４ ３ ｔａｎＡ ｓｉｎ π３ ， １１分 !!! 得ｃｏｓＡ ＝槡２２ ， １３分!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! 又∵ Ａ∈（０，π） ∴ ｓｉｎＡ ＝槡２２ １５分!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! １７．解：（１） 有毒感染情况 使用药物γ 未使用药物γ 合计 感染病毒 ２２０ ８０ ３００ 未感染病毒 ５８０ １２０ ７００ 合计 ８００ ２００ １０００ ２分 !!!!!!! 　 　 估计Ａ － α病毒的感染率Ｐ ＝ ２２０ ＋ ８０１０００ ＝ ０． ３； ４分!!!!!!!!!!!!!!!! （２）由列联表知： Ｋ２ ＝ ｎ（ａｄ － ｂｃ） ２ （ａ ＋ ｂ）（ｃ ＋ ｄ）（ａ ＋ ｃ）（ｂ ＋ ｄ）＝ １０００（２２０ × １２０ － ５８０ × ８０）２ ８００ × ２００ × ３００ × ７００ ６分!!!!!!!! ≈１１． ９０５ ＞ １０． ８２８， ８分!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! 在犯错误的概率不超过０． ００１前提下，认为使用特效药与预防Ａ － α病毒有关． ９分! （３）设事件Ａ为“被检测者的检测结果为已感染”，事件Ｂ为“被检测者感染Ａ － α病毒”， 由题意得Ｐ（Ｂ）＝ ０． ３，Ｐ（Ｂ）＝ ０． ７，ｐ（Ａ ｜Ｂ）＝ ０． ９５，Ｐ（Ａ ｜Ｂ）＝ ０． ０１， Ｐ（ＡＢ）＝ Ｐ（Ｂ）·Ｐ（Ａ ｜Ｂ）＝ ０． ３ × ０． ９５ ＝ ０． ２８５ １０分 !!!!!!!!!!!!!!! 由全概率公式得 Ｐ（Ａ）＝ Ｐ（Ｂ）·Ｐ（Ａ ｜Ｂ）＋ Ｐ（Ｂ）·Ｐ（Ａ ｜Ｂ）＝ ０． ３ × ０． ９５ ＋ ０． ７ × ０． ０１ ＝ ０． ２９２， １２分 !! 所以Ｐ（Ｂ ｜Ａ）＝ ０． ２８５０． ２９２≈０． ９７６， １４分!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! 于是已知某人的Ａ － α病毒检查结果为已感染，此人真的感染Ａ － α病毒的概率是０． ９７６ １５分 !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! １８．解：（１）根据题意（ｘ 槡－ ３） ２ ＋ ｙ槡 ２ ｜ ｘ － 槡４ ３３ ｜ ＝槡３２ ， ２分!!!!!!!!!!!!!!!!!!! 高三三模数学试题答案第３　 页（共４页） 得Γ：ｘ ２ ４ ＋ ｙ ２ ＝ １ ５分 !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! （２）①设Ｃ（ｘ１，ｙ１），Ｄ（ｘ２，ｙ２），联立直线ＣＤ与曲线Γ方程 ｙ ＝ ｋｘ ＋ １２ ｘ２ ４ ＋ ｙ ２ { ＝ １ ， 得（１ ＋ ４ｋ２）ｘ２ ＋ ４ｋｘ － ３ ＝ ０，可得△ ＝ １６ｋ２ ＋ １２（１ ＋ ４ｋ２）＞ ０， ｘ１ ＋ ｘ２ ＝ － ４ｋ １ ＋ ４ｋ２ ，ｘ１ｘ２ ＝ － ３１ ＋ ４ｋ２， ７分!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! 则ｋ１ｋ２ ＝ １ － ｙ１ － ｘ１ ·ｘ２ｙ２ ＋ １ ＝ １ ２ － ｋｘ１ － ｘ１ · ｘ２ ｋｘ２ ＋ ３ ２ ＝ １ ２ ｘ２ － ｋｘ１ｘ２ － ｋｘ１ｘ２ － ３ ２ ｘ１ （） ９分!!!!!!! 由韦达定理可得ｋｘ１ｘ２ ＝ ３４ （ｘ１ ＋ ｘ２）代入（）， １０分!!!!!!!!!!!!!!! 所以ｋ１ｋ２ ＝ － ３４ ｘ１ － １ ４ ｘ２ － ９４ ｘ１ － ３ ４ ｘ２ ＝ １３ ，即 ｋ１ ｋ２ 是常数 １２分 !!!!!!!!!!!!!!!!! ②由①可知，直线ＭＣ方程为ｙ ＝ ｙ１ － １ｘ１ ｘ ＋ １，直线ＮＤ方程为ｙ ＝ ｙ２ ＋ １ ｘ２ ｘ － １， 所以ｙ － １ｙ ＋ １ ＝ ｙ１ － １ ｘ１ ·ｘ２ｙ２ ＋ １ ＝ ｋ１ ｋ２ ＝ １３ ，解得ｙ ＝ ２，即点Ｑ在直线ｙ ＝ ２上， １５分!!!!! 记直线ｙ ＝ ２与ｙ轴的交点为Ｔ（０，２）， 则｜ ｋ１ ｜ ＝ ｜ ｋＭＣ ｜ ＝ ｜ ｋＭＱ ｜ ＝ ｜ＭＴ ｜｜ＱＴ ｜ ＝ １ ｜ＱＴ ｜，即 １ ｜ ｋ１ ｜ ＝ ｜ＱＴ ｜ ｜ ｋ２ ｜ ＝ ｜ ｋＮＤ ｜ ＝ ｜ ｋＮＱ ｜ ＝ ｜ＮＴ ｜ ｜ＱＴ ｜ ＝ ３ ｜ＱＴ ｜，即 １ ｜ ｋ２ ｜ ＝ １３ ｜ＱＴ ｜ ｜ ｋ３ ｜ ＝ ｜ ｋＳＱ ｜ ＝ ｜ ＳＴ ｜ ｜ＱＴ ｜ ＝ ３ ２ ｜ＱＴ ｜，即 １ ｜ ｋ３ ｜ ＝ ２３ ｜ＱＴ ｜ １６分!!!!!!!!!!!!!!! 又因为ｋ１，ｋ２，ｋ３同号，所以１ｋ１ ＋ １ ｋ２ ＝ ２ｋ３ （或１ｋ１ ＝ １ ｋ２ ＋ １ｋ３ ） １７分 !!!!!!!!!!! １９．解：（１）因为ｆ′（ｘ）＝ １ － ｃｏｓｘ≥０恒成立，则ｆ（ｘ）在Ｉ上单调递增， 若ｆ（ｘ）存在自映射区间［ａ，ｂ］，则ｆ（ａ）＝ ａ，ｆ（ｂ）＝ ｂ ２分 !!!!!!!!!!!!! 即方程ｆ（ｘ）＝ ｘ，即ｓｉｎｘ ＝ ０（ｘ∈［０，２π］至少有两个不同实数解． 则ｘ的解集为｛０，π，２π｝，所以自映射区间［ａ，ｂ］可以是［０，π］，［０，２π］，［π，２π］中的任 意一个． ４分 !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! （２）①因为ｍ ＞ ０，ｇ（ｘ）在（０，＋ ∞）上单调递增， 若ｇ（ｘ）存在自映射区间［ａ，ｂ］，则ｇ（ａ）＝ ａ，ｇ（ｂ）＝ ｂ， 即ｈ（ｘ）＝ｍｌｎｘ － ｘ至少有两个零点， ６分 !!!!!!!!!!!!!!!!!!!! 因为ｈ′（ｘ）＝ ｍ － ｘｘ ，ｘ∈（０，ｍ）时，ｈ′（ｘ）＞ ０，ｈ（ｘ）单调递增； ｘ∈（ｍ，＋ ∞）时，ｈ′（ｘ）＜ ０，ｈ（ｘ）单调递减； 高三三模数学试题答案第４　 页（共４页） 若要存在两个零点，则ｈｍａｘ（ｘ）＝ ｈ（ｍ）＝ｍｌｎｍ －ｍ ＞ ０，即ｍ ＞ ｅ． ８分!!!!!!!! 此时ｈ（１）＝ － １ ＜ ０，ａ∈（１，ｍ），使得ｈ（ａ）＝ ０． 因为当ｘ∈（ｅ，＋ ∞）时，（２ｌｎｘ － ｘ）′ ＝ ２ － ｘｘ ＜ ０，即函数ｙ ＝ ２ｌｎｘ － ｘ单调递减， 所以２ｌｎｘ － ｘ ＜ ２ － ｅ ＜ ０，又ｍ ＞ ｅ， 所以ｈ（ｍ２）＝ ２ｍｌｎｍ －ｍ２ ＝ｍ（２ｌｎｍ －ｍ）＜ ０，则ｂ∈（ｍ，ｍ２），使得ｈ（ｂ）＝ ０． 所以ｍ的取值范围为（ｅ，＋ ∞）． １０分!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! ②先证： ｂ － ａｌｎｂ － ｌｎａ ＜ ａ ＋ ｂ ２ 对ｂ ＞ ａ ＞ ０成立，即证ｌｎ ｂ ａ ＞ ２（ｂａ － １） ｂ ａ ＋ １ 令ｂａ ＝ ｘ，则ｘ ＞ １，只需证Ｉ（ｘ）＝ ｌｎｘ － ２（ｘ － １） ｘ ＋ １ ＞ ０， 因为Ｉ′（ｘ）＝ １ｘ － ４ （ｘ ＋ １）２ ＝ （ｘ － １）２ ｘ（ｘ ＋ １）２ ＞ ０，则Ｉ（ｘ）在（１，＋ ∞）单调递增， 所以Ｉ（ｘ）＞ Ｉ（１）＝ ０． １２分 !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! 因为ｍｌｎａ － ａ ＝ ０，ｍｌｎｂ － ｂ ＝ ０，所以ｍ ＝ ｂ － ａｌｎｂ － ｌｎａ ＜ ａ ＋ ｂ ２ 因为由①有ｍ ＞ ｅ，所以ａ ＋ ｂ ＞ ２ｍ ＞ ２ｅ １３分!!!!!!!!!!!!!!!!!! 记ｓ（ｘ）＝ ｌｎｘ ＋ ｅｘ － ２，则ｓ′（ｘ）＝ １ ｘ － ｅ ｘ２ ＝ ｘ － ｅ ｘ２ ， 当ｘ∈（０，ｅ）时，ｓ′（ｘ）＜ ０，ｓ（ｘ）单调递减；当ｘ∈（ｅ，＋ ∞）时，ｓ′（ｘ）＞ ０，ｓ（ｘ）单调递增； 所以ｓ（ｘ）＞ ｓ（ｅ）＝ ０，即ｌｎｘ ＞ ２ － ｅｘ， １４分!!!!!!!!!!!!!!!!!!! 则１ｍａ ＝ ｌｎａ ＞ ２ － ｅ ａ，即ａ ２ － ２ｍａ ＋ ａｅ ＞ ０，同理ｂ２ － ２ｍｂ ＋ ｂｅ ＞ ０ 因为函数ｔ（ｘ）＝ ｘ２ － ２ｍｘ ＋ｍｅ的△ ＝ ４ｍ２ － ４ｍｅ ＞ ０，且对称轴为ｘ ＝ｍ， 则方程ｔ（ｘ）＝ ０存在两根ｘ１，ｘ２（ｘ１ ＜ ０ ＜ｍ ＜ ｘ２），且ｘ２ － ｘ１ ＝ ２ ｍ２ －槡 ｅｍ， １５分!!! 又ａ ＜ｍ ＜ ｂ，且ｔ（ａ）＞ ０，ｔ（ｂ）＞ ０，所以ａ ＜ ｘ１ ＜ｍ ＜ ｘ２ ＜ ｂ， 则ｂ － ａ ＞ ｘ２ － ｘ１ ＝ ２ ｍ２ －槡 ｅｍ， １６分!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! 所以区间［ａ，ｂ］的长度ｄ ＞ ２ ｍ２ －槡 ｅｍ． 所以ｄ２ ＞ ４ｍ（ｍ － ｅ）． １７分 !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!