精品解析：广东省广州市天河区第八十九中学2025-2026学年八年级下学期期中考试数学

2025学年第二学期广州市第八十九中学期中考试卷 初二年级 数学试卷 本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，共150分．考试时间120分钟． 第Ⅰ卷（共100分） 注意事项： 1、答卷前，考生务必将自己的姓名、考号等信息填写在答题纸上． 2、答案必须填写在答题纸的相应位置上，答案写在试题卷上无效． 一、单选题（本题共有10个小题，每小题3分，共30分） 1. 下列各式中，属于最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 在中，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 3. 正五边形的外角和为（　　） A. B. C. D. 4. 如图，是的中位线，若，则的长是（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 5. 下列各组数中，能够作为直角三角形的三边长的一组是（　　） A. 1，2，3 B. 2，3，4 C. 4，5，6 D. 3，4，5 6. 如图，在中，，，，点是线段的中点，则的长为（ ） A. B. C. D. 7. 内角和等于的多边形是（ ） A. 五边形 B. 六边形 C. 七边形 D. 八边形 8. 下列各组二次根式中，能进行合并的是（ ）． A. 与 B. 与 C. 与 D. 与 9. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 一个台阶如图，阶梯每一层高，宽，长．一只蚂蚁从点爬到点最短路程是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本题有6个小题，每个小题3分，共18分） 11. 若二次根式有意义，则x的取值范围是____________． 12. 如图，数轴上表示的数是______． 13. 已知菱形的两条对角线长分别为和，则这个菱形的面积是_________． 14. 如下图，在四边形中，，添加一个条件________，使四边形是平行四边形．（不需作其它辅助线） 15. 如图，平行四边形的对角线，交于点，已知，，，则的周长为________． 16. 如图，直角三角形中，，，，点D是上的一个动点，过点D作于E点，于F点，连接，则线段长的最小值为__________． 三、解答题（本大题有5个小题，共52分，解答要求写出文字说明，证明过程或计算步骤） 17. 按要求完成下列计算： （1）计算 （2）化简求值：已知，，求的值． 18. 如图，菱形中，于点M，于点N．求证：． 19. 一个多边形，它的内角和比外角和的4倍多，求这个多边形的边数及内角和度数． 20. 已知，化简 21. 如图，在中，是边上的点，，，，． （1）求证：是直角三角形； （2）求的长． 第Ⅱ卷（共50分） 四、解答题（本大题有4个小题，共50分，解答要求写出文字说明，证明过程或计算步骤） 22. 如图，铁路上A，B两站（视为直线上两点）相距，C，D为两村庄（视为两个点），于A，于．已知，，现要在铁路上建设一个特产收购站，使得，两村到E站的距离相等，则E站应建在距离A站多少千米处？ 23. 已知：如图，四边形为平行四边形，为的一条对角线． （1）（多选题）若添加一个条件，使得为菱形，这个条件可以是（ ） A． B． C．为的角平分线 D． （2）用尺规作图，作线段的垂直平分线，分别交、、于点、、，连接、，求证：四边形为菱形． 24. 在矩形中，，，在上取一点，将沿直线折叠，得到． （1）如图1，若点F刚好落在上时，求的长； （2）如图2，当时，若在线段上有一动点P，求的最小值． 25. 正方形中，，E是中点，M为线段上一点（不与D，E重合），连接． （1）如图，将线段绕点C逆时针旋转得，连接．求证：； （2）若M为的中点，在（1）的条件下，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025学年第二学期广州市第八十九中学期中考试卷 初二年级 数学试卷 本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，共150分．考试时间120分钟． 第Ⅰ卷（共100分） 注意事项： 1、答卷前，考生务必将自己的姓名、考号等信息填写在答题纸上． 2、答案必须填写在答题纸的相应位置上，答案写在试题卷上无效． 一、单选题（本题共有10个小题，每小题3分，共30分） 1. 下列各式中，属于最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：最简二次根式需满足两个条件：被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式； 对选项A，==，被开方数含能开得尽方的因数，不是最简二次根式； 对选项B，=，被开方数能开得尽方，不是最简二次根式； 对选项C，被开方数含分母，化简得，不是最简二次根式； 对选项D，的被开方数不含分母，也不含能开得尽方的因数，满足条件，是最简二次根式 2. 在中，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的性质，根据平行四边形的性质解决问题即可． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 3. 正五边形的外角和为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查多边形的外角和定理，根据多边形的外角和等于，即可求解． 【详解】解：任意多边形的外角和都是， 故正五边形的外角和的度数为． 故选：B． 4. 如图，是的中位线，若，则的长是（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．已知是的中位线，，根据中位线定理即可求得的长． 【详解】解：∵是的中位线，， ∴． 故选：B． 5. 下列各组数中，能够作为直角三角形的三边长的一组是（　　） A. 1，2，3 B. 2，3，4 C. 4，5，6 D. 3，4，5 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查勾股定理的逆定理的应用，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键． 根据勾股定理的逆定理“三角形三边满足（其中c为最大边），则该三角形为直角三角形”即可求解． 【详解】解：选项A：，， ， 故选项A不符合题意； 选项B：，， ， 故选项B不符合题意； 选项C：，， ， 故选项C不符合题意； 选项D：，， ， 故选项D符合题意． 故选：D． 6. 如图，在中，，，，点是线段的中点，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形斜边的中线性质，勾股定理，由勾股定理得，然后根据直角三角形斜边的中线性质即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：在中，，，， 由勾股定理得：， ∵点是线段的中点， ∴， 故选：． 7. 内角和等于的多边形是（ ） A. 五边形 B. 六边形 C. 七边形 D. 八边形 【答案】B 【解析】 【详解】解：设该多边形的边数为， ∵边形的内角和公式为， ∴根据题意可得方程， 解得，即， ∴内角和为的多边形是六边形. 8. 下列各组二次根式中，能进行合并的是（ ）． A. 与 B. 与 C. 与 D. 与 【答案】D 【解析】 【分析】能合并的二次根式的判定标准是，化为最简二次根式后，被开方数相同，因此本题先将各选项中的非最简二次根式化简，再对比被开方数即可得到结果． 【详解】解：A选项：，与的被开方数不同，不能合并； B选项：，与的被开方数不同，不能合并； C选项：，与的被开方数不同，不能合并； D选项：，与的被开方数相同，能合并． 9. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】直接根据二次根式的运算法则进行计算即可判断正确的选项． 【详解】解：A、 、故A错误； B、 ，故B错误； C、，计算符合二次根式乘法法则，故C正确； D、与不是同类二次根式，不能直接合并，、故D错误． 10. 一个台阶如图，阶梯每一层高，宽，长．一只蚂蚁从点爬到点最短路程是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题主要考查了平面展开最短路径问题．先将图形平面展开，再用勾股定理根据两点之间线段最短进行解答 ． 【详解】解：如图所示： 台阶平面展开图为长方形，，， 则蚂蚁沿台阶面爬行到点最短路程是此长方形的对角线长． 由勾股定理得：， 故选：D． 二、填空题（本题有6个小题，每个小题3分，共18分） 11. 若二次根式有意义，则x的取值范围是____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，熟知二次根式的被开方数是非负是解题的关键； 根据二次根式的被开方数是非负数可得，再解不等式即可． 【详解】解：若二次根式有意义，则，即； 故答案为：． 12. 如图，数轴上表示的数是______． 【答案】 【解析】 【分析】要确定数轴上表示的数，关键是求出直角三角形的斜边长：该数是直角三角形的斜边长度；根据勾股定理，直角三角形的斜边长为两直角边平方和的算术平方根；计算出斜边长，即可得到数轴上表示的数． 【详解】解：由图可知，直角三角形的两条直角边长分别为2和3，根据勾股定理： 斜边长 ， 由于该长度是从原点开始量取的，因此数轴上表示的数为． 13. 已知菱形的两条对角线长分别为和，则这个菱形的面积是_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的知识点是菱形的面积，解题关键是熟练掌握菱形面积的求解方法． 菱形面积求法：①底乘以高；②对角线积的一半．据此即可得解． 【详解】解：菱形的两条对角线长分别为和， 菱形的面积． 故答案为：． 14. 如下图，在四边形中，，添加一个条件________，使四边形是平行四边形．（不需作其它辅助线） 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【详解】解：根据平行四边形的判定方法，可添加条件（或、等，合理即可）． 15. 如图，平行四边形的对角线，交于点，已知，，，则的周长为________． 【答案】17 【解析】 【分析】由平行四边形的性质得出OA=OC=3，OB=OD=6，BC=AD=8，即可求出△OBC的周长． 【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OA=OC=3，OB=OD=6，BC=AD=8， ∴△OBC的周长=OB+OC+BC=3+6+8=17． 故答案为：17． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，并利用性质解题．平行四边形基本性质有：①平行四边形两组对边分别平行；②平行四边形的两组对边分别相等；③平行四边形的两组对角分别相等；④平行四边形的对角线互相平分． 16. 如图，直角三角形中，，，，点D是上的一个动点，过点D作于E点，于F点，连接，则线段长的最小值为__________． 【答案】2.4 【解析】 【分析】本题考查了矩形的判定与性质，垂线段最短的性质，勾股定理，连接，利用勾股定理列式求出，判断出四边形是矩形，根据矩形的对角线相等可得，再根据垂线段最短可得时，线段的值最小，然后根据三角形的面积公式列出方程求解即可，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图，连接． ∵，，， ∴， ∵，，， ∴四边形是矩形， ∴， 由垂线段最短，可得当时，最短，即线段的值最小， 此时，， 即， 解得， ∴线段长的最小值为． 故答案为：． 三、解答题（本大题有5个小题，共52分，解答要求写出文字说明，证明过程或计算步骤） 17. 按要求完成下列计算： （1）计算 （2）化简求值：已知，，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解：∵，， ∴， ∴． 18. 如图，菱形中，于点M，于点N．求证：． 【答案】 证明：∵，， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∴． 【解析】 【分析】根据菱形的性质证明即可． 【详解】略 19. 一个多边形，它的内角和比外角和的4倍多，求这个多边形的边数及内角和度数． 【答案】这个多边形的边数是11，内角和度数是1620度． 【解析】 【分析】多边形的内角和比外角和的4倍多180°，而多边形的外角和是360°，则内角和是1620度．n边形的内角和可以表示成（n−2）•180°，设这个多边形的边数是n，就得到方程，从而求出边数． 【详解】解：根据题意，得 （n−2）•180°＝360°×4+180°， 解得：n＝11． 360°×4+180°=1620° 则这个多边形的边数是11，内角和度数是1620度． 【点睛】本题考查了多边形内角和，解题的关键是结合多边形的内角和公式寻求等量关系，构建方程即可求解． 20. 已知，化简 【答案】1 【解析】 【分析】根据a的取值范围，即可去绝对值和根号，再计算即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∴ ． 21. 如图，在中，是边上的点，，，，． （1）求证：是直角三角形； （2）求的长． 【答案】（1） 证明：∵，，， ∴，，， 即， ∴是直角三角形，； （2）9 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理及勾股定理的逆定理．解答本题的关键是熟练掌握两个定理． （1）根据勾股定理的逆定理可判断出为直角三角形； （2）在中利用勾股定理即可得出． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴． 第Ⅱ卷（共50分） 四、解答题（本大题有4个小题，共50分，解答要求写出文字说明，证明过程或计算步骤） 22. 如图，铁路上A，B两站（视为直线上两点）相距，C，D为两村庄（视为两个点），于A，于．已知，，现要在铁路上建设一个特产收购站，使得，两村到E站的距离相等，则E站应建在距离A站多少千米处？ 【答案】E站应建在离A站处 【解析】 【分析】设，可将和的长表示出来，然后根据勾股定理可得，即可列出方程进行求解． 【详解】解：∵C，D两村到E站的距离相等， ∴． ∵于A，于B， ∴， ∴， ∴， 设，则． ∵，， ∴， 解得：， ∴． 答：E站应建在离A站处． 23. 已知：如图，四边形为平行四边形，为的一条对角线． （1）（多选题）若添加一个条件，使得为菱形，这个条件可以是（ ） A． B． C．为的角平分线 D． （2）用尺规作图，作线段的垂直平分线，分别交、、于点、、，连接、，求证：四边形为菱形． 【答案】（1）ACD （2） 解：如图即为所求， 证明：∵垂直平分， ∴，， ∵平行四边形中，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形为菱形． 【解析】 【分析】（1）根据菱形的判定定理分析即可； （2）根据题意即可作图，由线段的垂直平分线的性质得到，然后证明，则，即可通过四边相等的四边形是菱形证明． 【小问1详解】 解：∵四边形为平行四边形， 当时，是菱形，故A符合题意； 当时，四边形是矩形，故B不符合题意； 当为的角平分线时， 则， 因为中，， 所以， 所以， 所以， 所以是菱形，故C符合题意； 当时，是菱形，故D符合题意． 【小问2详解】 略 24. 在矩形中，，，在上取一点，将沿直线折叠，得到． （1）如图1，若点F刚好落在上时，求的长； （2）如图2，当时，若在线段上有一动点P，求的最小值． 【答案】（1）4 （2） 【解析】 【分析】（1）先由矩形的性质和折叠的性质得到，再利用勾股定理求出，则，设，则，在中，由勾股定理列出方程，解方程即可得到答案； （2）根据题意得出，过点P作，得出，当F、、M三点共线时，且时，取得最小值，过点E作，然后利用折叠的性质及勾股定理求解即可． 【小问1详解】 解：四边形是矩形，将沿直线折叠，点F刚好落在上， ∴，，， ， ， 设，则， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ； 【小问2详解】 解：∵，， ∴， ∵， ∴， 过点P作，如图所示： ∴， ∴， 如图，当F、、M三点共线时，且时，取得最小值， 过点E作， ∴四边形为矩形，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵折叠， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值为． 25. 正方形中，，E是中点，M为线段上一点（不与D，E重合），连接． （1）如图，将线段绕点C逆时针旋转得，连接．求证：； （2）若M为的中点，在（1）的条件下，求的长． 【答案】（1） 证明：由题意得，， ∵正方形， ∴，， ∴， ∴， ∴； （2）． 【解析】 【分析】（1）利用证明，即可证明； （2）作交的延长线于点，取的中点，连接，先求得，由，求得，证明，求得，，再利用勾股定理求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：作交的延长线于点，取的中点，连接，如图， ∵正方形，，E是中点， ∴，， ∴， ∵M为的中点， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵点是的中点， ∴是的中位线， ∴，，， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了旋转的性质，勾股定理，正方形的性质，三角形中位线定理，全等三角形的判定和性质，正确引出辅助线解决问题是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $