命题大赛 第七章 复数单元测试卷-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

河南省高一数学下学期阶段测试（人教A版必修二第七章） 参考答案 1．A 【详解】因为，所以，复数z的虚部是-1. 2．B 【详解】∵，∴， 则在复平面内对应的点在第二象限． 3．C 【详解】复数， 当时，，复数，是纯虚数； 当复数为纯虚数时，有，解得. 则“”是“复数为纯虚数”的充要条件. 4．C 【详解】由题意可得，即，解得或. 5．C 【详解】由且，得， ∴，整理得， ∴， 当且仅当，即，时，取得最小值. 6．B 【详解】在复平面内，设对应的点为，则表示到点的距离为， 表示动点到点的距离，因为， 所以． 7．D 【详解】因为， 且，，即， 得； 同理因为，且， 即， 得：；联立可得：，，． 8．C 【详解】对于A，当x=时，因为=cos+isin=i，所以+1=i+1≠0，选项A错误； 对于B，===eπi=cos π+isin π=-1，选项B错误； 对于C，由eix=cos x+isin x，得e-ix=cos(-x)+isin(-x)=cos x-isin x， 所以eix+e-ix=2cos x，得出cos x=，选项C正确； 对于D，由C选项的分析得eix-e-ix=2isin x，得出sin x=-i，选项D错误. 9．AC 【详解】， A：的虚部为，正确. B：的共轭复数为，错误. C：，正确. D：在复平面内对应的点为，位于第一象限，错误. 10．ABD 【详解】设， 若，则，则， 则， 则， 故，故A正确； ，故B正确； 表示点，两点间的距离， 因为，当时有最小值， 则的最小值为，故C错误； 因为，为实数，所以为实数，故D正确. 11．ABC 【详解】对于A，因为，所以的虚部为，故A正确； 对于B，因为， 所以在复平面内对应的点为，位于第一象限，故B正确； 对于C，因为，， 所以，即，故C正确； 对于选项D：因为，， 则在复平面内分别对应点， 可得，， 则面积为， 当且仅当时，等号成立，所以面积的最大值为，故D错误. 12．4 【详解】因为1+i是实系数方程的一个复数根， 则1-i是实系数方程的一个复数根， 所以，解得，所以p·q=4. 13． 【详解】因为，且， 所以，所以，所以，即复数的虚部是． 14． 2， 【详解】令，，因为，所以， 令，所以当时，有最小值3，即，， 因为向量，的夹角为锐角，故，即； 所以， 因为，所以，故的最大值为. 15．【详解】（1）由题意，. 若为实数，则，解得. （2）由（1）知，. 若为纯虚数，则，解得.所以. （3） 在复平面内对应的点为. 因为，， 所以横坐标为正，纵坐标为负，故对应点位于第四象限. 16．【详解】（1）． ∵为纯虚数，∴，解得，∴，． （2）复数，，是的共轭复数，所以 则，，．∵为直角三角形，显然． ∴．即．解得． 17．【详解】（1）由是方程的两个虚根，得互为共轭复数， 设，则，，， 由，得，即， 因此，解得，所以. （2）由，得，则，， 因此，， 由与的夹角为锐角，得，且与不共线， 所以，解得且， 所以实数的取值范围为. 18．【详解】（1）若，则， 由于对应向量，对应向量， 所以； （2）由于，所以，， 则，则， 化简可得：，解得：或； （3）设，则，由，可得：， 化简得：，所以或，由于， 当时，，且，所以， 所以时，， 当时，， 当时，，且，所以， 所以时，，当时，， 综上，的最大值为，最小值为 19．【详解】由z是方程x2+2x+2=0的根，Δ=22-4×1×2=-4<0， 解得z==-1±i. (1)因为Im(z)>0，所以z=-1+i，所以==b-2i， 则a=(b-2i)(-1+i)=-b+2+(b+2)i，a，b∈R， 所以解得所以a+b=2. (2)因为Im(z)<0，所以z=-1-i.又i2 027=i2 024·i3=-i， 所以z1====. 因为Re(z1)<0，Im(z1)>0， 所以解得-2<t<，所以实数t的取值范围为. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 题号 题型 分值 难度系数 核心考点 1 单选题 5分 0.90 复数的除法运算,复数的乘方 2 单选题 5分 0.85 复数的除法运算,共轭复数的概念及计算,判断复数对应的点所在的象限 3 单选题 5分 0.85 复数的除法运算,充要条件的证明,已知复数的类型求参数 4 单选题 5分 0.85 已知复数的类型求参数 5 单选题 5分 0.85 求复数的模,复数加减法的代数运算,基本不等式求和的最小值 6 单选题 5分 0.70 与复数模相关的轨迹（图形）问题 7 单选题 5分 0.65 求复数的模 8 单选题 5分 0.5 新定义 9 多选题 6分 0.80 共轭复数的概念及计算,求复数的模,判断复数对应的点所在的象限,求复数的实部与虚部 10 多选题 6分 0.65 与复数模相关的轨迹（图形）问题,复数的相等,复数代数形式的乘法运算 11 多选题 6分 0.5 判断复数对应的点所在的象限,复数的三角表示,求复数的实部与虚部 12 填空题 5分 0.85 复数范围内方程的根,复数代数形式的乘法运算 13 填空题 5分 0.80 复数的相等,求复数的实部与虚部,复数的乘方 14 填空题 5分 0.6 数量积的坐标表示,求复数的模,用定义求向量的数量积 15 解答题 13分 0.85 已知复数的类型求参数,判断复数对应的点所在的象限,复数加减法的代数运算 16 解答题 15分 0.80 已知复数的类型求参数,复数的坐标表示,复数代数形式的乘法运算 17 解答题 15分 0.70 复数范围内方程的根,复数的坐标表示,向量夹角的计算,复数的相等 18 解答题 17分 0.65 复数的坐标表示,复数的除法运算,求复数的模 19 解答题 17分 0.5 新定义 学科网（北京）股份有限公司 $ 河南省高一数学下学期阶段测试 （人教A版必修二第七章） （总分：150分 考试时间：120分钟） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．（原创）若，则复数z的虚部是（    ） A．-1 B．1 C．-i D．i 2．复数（i为虚数单位）的共轭复数在复平面内对应的点在（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．“”是“复数为纯虚数”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．若复数为实数，则实数的值为（   ） A．1 B． C．1或 D．以上都不对 5．复数满足条件，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 6．若复数满足，其中为虚数单位，则的取值范围为（   ） A．[4，6] B． C． D． 7．已知是复数，满足，，，则（    ） A． B．3 C． D．6 8．1748年，瑞士数学家欧拉发现了复指数函数和三角函数的关系，并写出以下公式eix=cos x+isin x(e是自然对数的底数，i是虚数单位)，这个公式在复变论中占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”.下列说法正确的是(　　) A.+1=0 B.=1 C.cos x= D.sin x= 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．已知复数（i为虚数单位），则（    ） A．的虚部为 B．的共轭复数为 C． D．在复平面内对应的点位于第四象限 10．已知复数，，则下列说法正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，，则的最小值为 D．若为实数，则也为实数 11．在量子计算的理论研究中，量子比特的相位演化可以用复指数形式描述．瑞士数学家欧拉于1748年提出了著名的欧拉公式：为量子态的叠加与演化提供了重要的数学基础．其中是自然对数的底数，是虚数单位，该公式将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数函数的关联．依据欧拉公式，则下列结论正确的是（   ） A．的虚部为 B．在复平面内对应的点位于第一象限 C． D．若在复平面内分别对应点，则面积的最大值为 三、填空题：本题共3小题，每题5分，共15分。 12．（原创）已知1+i是实系数方程的一个复数根，则p·q＝______． 13．已知，则复数的虚部是______． 14．已知复数，对任意的实数，的最小值为，在复平面内，复数，所对应的向量分别为，，向量，的夹角为锐角，则______； 若复数满足，则的最大值为______．（第一个空2分，第二个空3分） 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15．(13分)已知复数，，． (1)若为实数，求m的值； (2)若为纯虚数，求； (3)证明：在复平面内对应的点位于第四象限． 16．(15分)已知i为虚数单位，复数是的共轭复数. (1)若是纯虚数，求； (2)在复平面内，复数对应的点分别是，若三角形ABC为直角三角形，求的值. 17．(15分)已知为虚数单位，是的两个虚根． (1)设满足方程，求实数的值； (2)设，在复平面内，复数对应的向量分别是，若向量与的夹角为锐角，求实数的取值范围． 18．(17分)已知在复平面内，复数所对应的点分别为，.为坐标原点，是虚数单位. (1)若，求与； (2)向量，对应的复数分别为，，若，求实数； (3)已知复数满足，求的最值. 19.(17分) 在英语中，实数是Real Number，一般取Real的前两个字母“Re”表示一个复数的实部；虚数是Imaginary Number，一般取Imaginary的前两个字母“Im”表示一个复数的虚部.如：Re(2+3i)=2，Im(2+3i)=3；Re(-3i)=0，Im(-3i)=-3.已知复数z是方程x2+2x+2=0的根. (1)若Im(z)>0，且=b-2i(a，b∈R，i是虚数单位)，求a+b；(7分) (2)若Im(z)<0，复数z1=，t∈R，且Re(z1)<0，Im(z1)>0，求实数t的取值范围.(10分) 1 1 学科网（北京）股份有限公司 $