4.1+因式分解的意义（教学课件） 2025--2026学年浙教版七年级数学下册

浙教版 七年级 数学 下册 4.1 因式分解的意义 第4章 因式分解 第1课时 1.了解因式分解的概念和意义； 2.认识因式分解与整式乘法的相互关系--相反变形，并会运用 它们之间的相互关系寻求因式分解的方法； 3.在探索过程中，体会转化、数形结合的数学思想，并养成善 于思考的良好习惯．  问题1：21能被7整除？ 知识回顾 问题2：242+24能被100整除吗？ 整数 几个整数的积 转化 分解因数（因数分解） （小学） 在代数式中，我们常常也需要把一个多项式转化为几个整式的积。 多项式 几个整式的积 转化 数 式 类比 活动一：探究因式分解的概念 一般地，把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫作因式分解，有时我们也把这一过程叫分解因式．   总结 活动二：根据要求编一道因式分解的例子 先写出两个整式相乘(其中至少一个是多项式)的例子，你能由此得到相应的多项式的因式分解吗？把结果与你的同伴交流．  因式分解和整式的乘法是过程相反的变形，因此，可以用整式的乘法运算来帮助我们寻找因式分解的方法，检验因式分解的正确性．   多×多 多×多 单×多 思考1：以下变形的式子左右两边有何特征？ 整式乘法 左边 整式的积 右边 多项式 转化 左边 整式的积 右边 多项式 转化 因式分解 思考2：因式分解和整式乘法之间有何关系？ 整式乘法 左边 整式的积 右边 多项式 转化 左边 整式的积 右边 多项式 转化 因式分解 整式的积 整式乘法 因式分解 多项式 合作探究 互逆 等式的基本性质 02 知识精讲 前面我们学过整式的乘法， eg：两个整式x和x - y相乘的积是x2 - xy，即x ( x - y ) = x2 - xy。 根据等式的性质，可得x2 - xy = x ( x - y )。 像这样把多项式x2 - xy转化为两个整式x与x - y的积的形式， 是一种重要的代数式变形。 观察下列两种代数式变形的例子，它们之间有什么关系？ 整式的乘法 多项式化成几个整式的积 a ( a + 1 ) = a2 + a a2 + a = a ( a + 1 ) ( a + b ) ( a - b ) = a2 - b2 a2 - b2 = ( a + b ) ( a - b ) ( a + 1 )2 = a2 + 2a + 1 a2 + 2a + 1 = ( a + 1 )2 互为逆运算 02 知识精讲 因式分解： 一般地，把一个多项式化成几个整式的积的形式， 叫作因式分解，有时我们也把这一过程叫分解因式。 因式分解与整式乘法： 因式分解与整式乘法是相反方向的变形，即互逆运算， 二者是一个式子的不同表现形式： 因式分解：是两个或几个因式积的表现形式； 整式乘法：多项式的表现形式。 因式分解 整式乘法 ( x + 1 ) ( x - 1 ) x2 - 1 教材 例题 例2.检验下列因式分解是否正确. 教材 例题 分析：检验因式分解是否正确，只要看等式右边几个整式相乘的积与 左边的多项式是否相等. 比一比，看谁算得快 多项式 几个整式的积 把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，叫做因式分解，也称分解因式. 做 一做 02 知识精讲 1.先写出两个整式相乘(其中至少有一个是多项式)的例子，你能由此得到相应的多项式的因式分解吗？把结果与你的同伴交流。 解：整式乘法： ① 2a ( 3a + 4b ) = 6a2 + 8ab； ② ( xy - 4 )2 = x2y2 - 8xy + 16； ③ ( 3x + 5y ) ( 3x - 5y ) = 9x2 - 25y2； ④ ( a + n ) ( b + m ) = ab + am + nb + nm。 因式分解： ① 6a2 + 8ab = 2a ( 3a + 4b ) ； ② x2y2 - 8xy + 16 = ( xy - 4 )2； ③ 9x2 - 25y2 = ( 3x + 5y ) ( 3x - 5y )； ④ ab + am + nb + nm = ( a + n ) ( b + m )。 做 一做 02 知识精讲 2.下列代数式变形中，哪些是因式分解？ ( 1 ) 2m ( m - n ) = 2m2 - 2mn； ( 2 ) ab2 - ab = ab ( b - 2 ) ( 3 ) 4x2 - 4x + 1 = ( 2x - 1 )2； ( 4 ) x2 - 3x + 1 = x ( x - 3 ) + 1。 解：( 1 ) 是整式乘法，不是因式分解； ( 2 ) 是因式分解； ( 3 ) 是因式分解； ( 4 ) 右边不是积的形式，不是因式分解。 教材 例题 例3.用简便方法计算下列各题. 因式分解与整式乘法有什么联系与区别？ 多项式 几个整式的积 几个整式的积 多项式 ——称为整式乘法 ——称为因式分解 因式 因式 结果 因式分解 单 × 单 单 单 × 多 多 多 单 × 多 多 × 多 多 多 多 × 多 02 知识精讲 检验因式分解的正确性： ∵因式分解和整式的乘法是过程相反的恒等变形， ∴可以用整式的乘法运算来帮助我们寻找因式分解的方法， 检验因式分解的正确性。 02 知识精讲 例 检验下列因式分解是否正确。 ( 1 ) x2y - xy2 = xy ( x - y )； ( 2 ) 2x2 - 1 = ( 2x + 1 ) ( 2x - 1 )； ( 3 ) x2 + 3x + 2 = ( x + 1 ) ( x + 2 )。 分析：检验因式分解是否正确，只要看等式右边几个整式相乘的积与左边的多项式是否相等。 解：( 1 ) ∵xy ( x - y ) = xy·x - xy·y = x2y - xy2 ，∴该因式分解正确； ( 2 ) ∵( 2x + 1 ) ( 2x - 1 ) = 4x2 - 1 ≠ 2x2 - 1，∴该因式分解不正确； ( 3 ) ∵( x + 1 ) ( x + 2 ) = x2 + 2x + x + 2 = x2 + 3x + 2，∴该因式分解正确。 教材 练习 解：(1)不是积的形式，不是因式分解； (2)是整式的乘法，不是因式分解； (3)不是积的形式，不是因式分解； (4)是因式分解．  教材 练习 2.下列等式中，哪些从左到右的变形是因式分解？ 因式分解也称为分解因式。 因式分解定义 形成概念 把一个多项式化成 的形式,这种变形叫做 因式分解 几个整式的积 多项式 注意：１.是一种恒等变形 2.变形对象：是 ; 3.变形过程：由 变成 的形式 4.变形的结果：是几个 的积 5.分解结果中的每个因式不能再分 和 积 整式 课后总结 因式分解： 一般地，把一个多项式化成几个整式的积的形式， 叫作因式分解，有时我们也把这一过程叫分解因式。 因式分解与整式乘法： 因式分解与整式乘法是相反方向的变形，即互逆运算，二者是一个式子的不同表现形式： 因式分解：是两个或几个因式积的表现形式；整式乘法：多项式的表现形式。 检验因式分解的正确性： ∵因式分解和整式的乘法是过程相反的恒等变形， ∴可以用整式的乘法运算来帮助我们寻找因式分解的方法， 检验因式分解的正确性。 体会.分享 浙教版 七年级 数学 下册 谢谢观看！ $