4.1因式分解的意义 课件2025-2026学年数学浙教版数学七年级下册

（浙教版）七年级 下 4.1因式分解的意义 因式分解 第4章 “四” 教学目标 01 新知导入 02 新知讲解 03 课堂练习 04 课堂总结 05 板书设计 06 内容总览 CONTENTS 目录 教学目标 1.了解因式分解的意义； 2.了解因式分解与多项式乘法的关系。 新知导入 在小学，我们学过整数的素因数分解. 12 =___________. 6 =___________. 8 =___________. 30 =___________. 2×3 2×2×2 2×2×3 2×3×5 类似地，有时也需要将整式分解成几个因式乘积的形式. 新知讲解 前面我们学过整式的乘法, 例如两个整式x和x-y相乘的积是x-xy,即x(x-y)=x2-xy。 根据等式的性质,可得x-xy=x(x-y)。 像这样把多项式x²一xy转化为两个整式x与x一y的积的形式,是一种重要的代数式变形。 新知讲解 a(a+1)= a2+a= (a+b)(a-b)= a2-b2= (a+1)2= a2+2a+1= a2+a a2-b2 (a+b)(a-b) a2+2a+1 (a+1)2 a(a+1) 整式的乘法 多项式转化为几个整式的积 请观察下面两种代数式变形的例子，它们之间有什么关系？ 整式的积 多项式 多项式 整式的积 新知讲解 因式分解 定义： 把一个多项式化成了几个整式的_________的形式， 像这样的式子变形叫作____________，也叫作把这个多项式____________. 积 因式分解 分解因式 新知讲解 在下列等式中，从左到右的变形是因式分解的有 .不是因式分解的，请说明原因. ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ ③ ⑥ am+bm+c=m(a+b)+c 24x2y=3x ·8xy x2–1=(x+1)(x–1) (2x+1)2=4x2+4x+1 x2+x=x2(1+ ) 2x+4y+6z=2(x+2y+3z) 最后不是积的运算 因式分解的对象是多项式 是整式乘法 每个因式必须是整式 新知讲解 下列整式乘法与因式分解之间有什么关系？ （1）m(a + b + c) = ma + mb + mc， ma + mb + mc = m(a + b + c)； （2）(a－7)2 = a2 －14a + 49， a2－14a + 49 = (a－7)2； （3）(x + 3)(x－3) = x2 －9， x2－9 = (x + 3)(x－3). m(a + b + c) = ma + mb + mc (a－7)2 = a2 －14a + 49 (x + 3)(x－3) = x2 －9 ma + mb + mc = m(a + b + c) a2－14a + 49 = (a－7)2 x2－9 = (x + 3)(x－3) 观 察 新知讲解 可以用整式的乘法运算来帮助我们寻找因式分解的方法,检验因式分解的正确性。 联系：因式分解与整式乘法是方向相反的变形. (多项式)“和” (整式乘积)“积” 整式乘法 因式分解 区别 化“积”为“和” 化“和”为“积” x2 - 1 (x + 1)(x - 1) 因式分解 整式乘法 新知讲解 例 检验下列因式分解是否正确。 (1) x2y-xy2=xy(x-y); (2) 2x²-1=(2x+1)(2x-1); (3) x2+3x+2=(x+1)(x+2)。 分析:检验因式分解是否正确,只要看等式右边几个整式相乘的积与左边的多项式是否相等。 新知讲解 例 检验下列因式分解是否正确。 (1) x2y-xy2=xy(x-y); (2) 2x²-1=(2x+1)(2x-1); (3) x2+3x+2=(x+1)(x+2)。 解:(1) 因为xy(x-y)=xy·x-xy·y=x2y-xy2,所以该因式分解正确; (2)因为(2x+1)(2x-1)=4x²-1≠2x2-1,所以该因式分解不正确; (3)因为(x+1)(x+2)=x2+2x+x+2=x2+3x+2,所以该因式分解正确。 课堂练习 基础题 1.下列式子从左到右变形是因式分解的是(　　) A．a2＋4a－21＝a(a＋4)－21 B．a2＋4a－21＝(a－3)(a＋7) C．(a－3)(a＋7)＝a2＋4a－21 D．a2＋4a－21＝(a＋2)2－25 B 课堂练习 基础题 2. 对于 , ,从左到右的变形，表述正确 的是( ) C A. 都是因式分解 B. 都是乘法运算 C. ①是因式分解，②是乘法运算 D. ①是乘法运算，②是因式分解 课堂练习 基础题 3. 如果把多项式因式分解为 ，那 么 的值为( ) A A. B. 2 C. 12 D. 4. 若多项式可分解成 ，则 的值是( ) A A. B. 13 C. 12 D. 5．简便方法计算下面各题: (1) -27×5.6+79×(-5.6)+0.6×56; (2) 39×37-13×34. 解： (1) 原式=-27×5.6-79×5.6+6×5.6=5.6×(-27-79+6) =5.6×(-100)=-560　 (2) 原式=39×37-13×3×33=39×37-39×27 =39×(37-27)=39×10=390 课堂练习 基础题 课堂练习 提升题 1. 因式分解时，甲看错了 的值，分解的结果 是，乙看错了 的值，分解的结果为 ,那么 分解因式正确的结果为 ( ) C A. B. C. D. 2.若4a2+kab+9b2分解因式的结果为(2a-3b)2,则k的值为　　　　.  -12 课堂练习 阅读材料: 已知二次三项式x2-4x+m有一个因式为x+3,求另一个因式及m的值. 解:设另一个因式为x+n,则x2-4x+m=(x+3)(x+n). 所以x2-4x+m=x2+(n+3)x+3n. 所以解得 所以另一个因式为x-7,m的值为-21. 拓展题 18 课堂练习 仿照材料中的方法解答下面的问题: (1) 已知二次三项式x2-5x+a有一个因式为x-2,求另一个因式及a的值; (2) 已知二次三项式2x2+3x-k有一个因式为2x-5,求另一个因式及k的值. 解：(1) 设另一个因式为x+b,则x2-5x+a=(x-2)(x+b). 所以x2-5x+a=x2+(b-2)x-2b.所以解得 所以另一个因式为x-3,a的值为6　 拓展题 19 课堂练习 仿照材料中的方法解答下面的问题: (1) 已知二次三项式x2-5x+a有一个因式为x-2,求另一个因式及a的值; (2) 已知二次三项式2x2+3x-k有一个因式为2x-5,求另一个因式及k的值. 解：(2) 设另一个因式为x+c,则2x2+3x-k=(2x-5)(x+c). 所以2x2+3x-k=2x2+(2c-5)x-5c.所以解得 所以另一个因式为x+4,k的值为20 拓展题 20 课堂总结 因式分解 一般地，把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做因式分解，有时我们也把这一过程叫做分解因式。 定义： 与整式乘法的关系： 整式乘法与因式分解一个是 积化和差，另一个是和差化积，是两种互逆的变形。 即：多项式 整式的积 板书设计 1.因式分解： 2.因式分解与整式乘法的关系： 课题：4.1因式分解的意义 $