第5节　幂函数、二次函数课件-2027届高三数学一轮复习

第5节　幂函数、二次函数 课标解读　1.通过具体实例,结合y=x,y=,y=x2,y=,y=x3的图象,理解它们的变化规律,了解幂函数.2.掌握二次函数的图象与性质(单调性、对称性、顶点、最值等). 1.幂函数 (1)幂函数的定义 一般地,函数　　　　　叫做幂函数,其中x是自变量,α是常数.  (2)常见的五种幂函数的图象 y=xα　 (3)幂函数的性质 ①幂函数在(0,+∞)内都有定义; ②当α>0时,幂函数的图象都过点　　　　和　　　　,且在(0,+∞)内单调递增;  ③当α<0时,幂函数的图象都过点　　　　,且在(0,+∞)内单调递减;  ④当α为奇数时,y=xα为　　　　　;当α为偶数时,y=xα为　　　　　　.  微点拨 幂函数图象的特征 (1)在(0,1)上,幂函数中指数越大,函数图象越接近x轴(简记为“指大图低”). (2)在(1,+∞)上,幂函数中指数越大,函数图象越远离x轴. (1,1) (0,0) (1,1) 奇函数 偶函数 2.二次函数 (1)二次函数解析式的三种形式 一般式:f(x)=　　　　　　　　.  顶点式:f(x)=a(x-m)2+n(a≠0),顶点坐标为　 .  零点式:f(x)=a(x-x1)(x-x2)(a≠0),x1,x2为f(x)的　　　　.  ax2+bx+c(a≠0)　 (m,n) 零点 (2)二次函数的图象和性质 函数 y=ax2+bx+c(a>0) y=ax2+bx+c(a<0) 图象(抛物线)     定义域 　　  值域 　　　　　  　　　　　  对称轴 x=　　  R [,+∞)　 (-∞,] -　 函数 y=ax2+bx+c(a>0) y=ax2+bx+c(a<0) 顶点坐标 　　　 　　　　  奇偶性 当b=0时是　　　函数,当b≠0时是非奇非偶函数  单调性 在(-∞,-]上单调递　　　;  在[-,+∞)内单调递　　  在(-∞,-]上单调递　　　;  在[-,+∞)内单调递　　  (-) 偶 减 增 增 减 [自主诊断] 1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”) (1)函数f(x)=2x4是幂函数.(　　) (2)若二次函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0)的图象不经过第一象限,则必有a<0.(　　) (3)二次函数y=a(x-1)2+2的单调递增区间是[1,+∞).(　　) (4)幂函数的图象若与坐标轴有交点,则交点一定是原点.(　　) × 解析 因为x4的系数不是1,所以f(x)不是幂函数. √ × 解析 当a<0时,[1,+∞)是单调递减区间. √ 2.(人A必修一教材习题改编)已知幂函数f(x)=k·xα的图象过点(),则k+α=(　　) A.　 　B.1　 　C.　 　D.2 C 解析 由题意得k=1,又函数f(x)的图象过点(),所以()α=,解得α=,则k+α=故选C. 3.(人A必修一教材习题改编)函数f(x)=-2x2+4x,x∈[-1,2]的值域为(　　) A.[-6,2] B.[-6,1] C.[0,2] D.[0,1] A 解析 函数f(x)=-2x2+4x图象的对称轴为直线x=1,则f(x)在区间[-1,1]上单调递增,在区间[1,2]上单调递减,所以f(x)max=f(1)=2,f(x)min=f(-1)=-2-4=-6,即f(x)的值域为[-6,2].故选A. 4.(2023·天津,3)若a=1.010.5,b=1.010.6,c=0.60.5,则(　　) A.c>a>b B.c>b>a C.a>b>c D.b>a>c D 解析 由y=1.01x在R上单调递增,则a=1.010.5<b=1.010.6,由y=x0.5在[0,+∞)上单调递增,则a=1.010.5>c=0.60.5,所以b>a>c.故选D. 5.(上海高考)已知α∈{-2,-1,-,1,2,3},若幂函数f(x)=xα为奇函数,且在(0,+∞)内单调递减,则α=　　　　　.  -1 解析 因为幂函数f(x)=xα在(0,+∞)内单调递减,所以α=-2,或α=-1,或α=-,又幂函数f(x)=xα为奇函数,所以α=-1. 6.(人A选二教材习题)已知函数f(x)=x2+px+q,试确定p,q的值,使得当x=1时, f(x)有最小值4. 解 根据题意,函数f(x)=x2+px+q,其二次项系数为1. 若当x=1时,f(x)有最小值4,则f(x)=(x-1)2+4=x2-2x+5, 又由f(x)=x2+px+q,得p=-2,q=5. 考点一　幂函数的图象与性质 例1　(1)(2025·湖北武汉模拟)图中曲线C1,C2,C3分别为幂函数y=xa,y=xb,y=xc在第一象限内的图象,则a,b,c依次可以是(　　) A.,3,-1 B.-1,3, C.,-1,3 D.-1,,3 D 考点一 考点二 考点三 教材衍展 解析 由题图可知,y=xa在第一象限内单调递减,则a<0; y=xb在第一象限内单调递增,且图象呈现上凸趋势,则0<b<1; y=xc在第一象限内单调递增,且图象呈现下凸趋势,则c>1.故选D. 考点一 考点二 考点三 教材衍展 (2)(2025·安徽黄山期末)已知幂函数f(x)=(m∈Z)为奇函数,且在区间(0,+∞)内单调递增,则m=(　　) A.1或4 B.0或4 C.1或2 D.0或2 D 解析 由幂函数在区间(0,+∞)内单调递增,则-m2+2m+3>0,所以m2-2m-3 =(m+1)(m-3)<0,可得-1<m<3.由m∈Z,则m=0,或m=1,或m=2.若m=0,或m=2,则f(x)=x3为奇函数,满足题意;若m=1,则f(x)=x4为偶函数,不满足题意,所以m=0或m=2.故选D. 考点一 考点二 考点三 教材衍展 规律方法　1.对于幂函数y=xα(α∈R)图象,根据α<0,0<α<1,α=1,α>1的取值确定在第一象限的位置后,其余象限的图象由幂函数的奇偶性决定. 2.在比较幂值的大小时,必须结合幂值的特点,选择适当的幂函数模型,借助其单调性进行比较. 考点一 考点二 考点三 教材衍展 [对点训练1](1)如图所示是函数y=(m,n∈N*且互质)的图象,则(　　) A.m,n是奇数,且<1 B.m是偶数,n是奇数,且>1 C.m是偶数,n是奇数,且<1 D.m是奇数,n是偶数,且>1 C 解析 函数y=的图象关于y轴对称,故m为偶数,又m,n互质,所以n为奇数.当x∈(0,1)时,y=的图象在y=x的图象的上方,当x∈(1,+∞)时,y=的图象在y=x的图象的下方,故<1.故选C. 考点一 考点二 考点三 教材衍展 (2)(2026·江苏苏州模拟)已知幂函数y=(m∈Z)的图象关于y轴对称,且在(0,+∞)内单调递减,则满足(a+1>(3-2a的实数a的取值范围是(　　) A.(-1,)∪() B.() C.(-1,)∪(,+∞) D.(-1,) C 考点一 考点二 考点三 教材衍展 解析 因为函数y=在(0,+∞)内单调递减,所以m2-2m-3<0,又m∈Z,所以m=0,或m=1,或m=2. 因为函数y=(m∈Z)的图象关于y轴对称, 所以m2-2m-3=(m-3)(m+1)为偶数,m=0,或m=2不符合题意,舍去,所以m=1, 函数y=的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),且函数y=在(-∞,0)和(0,+∞)内单调递减,当x<0时,y<0,当x>0时,y>0,所以不等式(a+1>(3-2a可化为所以-1<a<或a>,所以a的取值范围为(-1,)∪(,+∞).故选C. 考点一 考点二 考点三 教材衍展 考点二　二次函数的解析式 例2　已知二次函数f(x)满足f(2)=-1,f(-1)=-1,且f(x)的最大值是8,试确定该二次函数的解析式. 解 (方法一　利用“一般式”解题)设f(x)=ax2+bx+c(a≠0). 由题意得解得所以所求二次函数的解析式为f(x)=-4x2+4x+7. 考点一 考点二 考点三 教材衍展 (方法二　利用“顶点式”解题)设f(x)=a(x-m)2+n(a≠0).因为f(2)=f(-1),所以抛物线的对称轴为直线x=,所以m= 又根据题意,函数有最大值8,所以n=8,所以f(x)=a(x-)2+8. 因为f(2)=-1,所以a(2-)2+8=-1,解得a=-4,所以f(x)=-4(x-)2+8=-4x2+4x+7. (方法三　利用“零点式”解题)由已知得f(x)+1=0的两根为x1=2,x2=-1, 故可设f(x)+1=a(x-2)(x+1)(a≠0),即f(x)=ax2-ax-2a-1.又函数有最大值8,即=8,解得a=-4.故所求函数的解析式为f(x)=-4x2+4x+7. 考点一 考点二 考点三 教材衍展 规律方法　求二次函数解析式的方法 求二次函数解析式,一般运用待定系数法,选择规律如下: 考点一 考点二 考点三 教材衍展 [对点训练2]已知二次函数的图象过点(-3,0),(1,0),且顶点到x轴的距离等于2,则此二次函数的解析式为　 .  y=x2+x-或y=-x2-x+ 解析 因为二次函数的图象过点(-3,0),(1,0),所以可设二次函数的解析式为y=a(x+3)(x-1),a≠0,整理得y=ax2+2ax-3a,所以顶点的纵坐标为 =-4a. 因为二次函数的图象的顶点到x轴的距离为2,所以|-4a|=2,解得a=± 所以二次函数的解析式为y=x2+x-或y=-x2-x+ 考点一 考点二 考点三 教材衍展 考点三　二次函数的图象与性质 考向1　二次函数的图象 例3　(多选题)(2025·湖北宜昌模拟)如图,二次函数y=ax2+bx+c(a>0)的图象与x轴交于两点(x1,0),(2,0),其中0<x1<1.下列四个结论正确的是(　　) A.abc>0 B.a+b+c<0 C.2a-c>0 D.<-4 BCD 考点一 考点二 考点三 教材衍展 解析 由题图可知,抛物线开口向上,且交于y轴正半轴,则a>0,c>0, 因为对称轴在y轴右侧,则->0,所以b<0,所以abc<0,故A错误; 当x=1时,a+b+c<0,故B正确; 当x=2时,4a+2b+c=0,则2b=-4a-c,又a+b+c<0,则2a+2b+2c<0,所以2a-c>0,故C正确; 因为a>0,b<0,则-2=-4,当且仅当2a=-b时,等号成立,但二次函数y=ax2+bx+c(a>0)的图象与x轴交于两点(x1,0),(2,0),其中0<x1<1,则对称轴为x=->1,则-b>2a,则等号无法取到,故<-4,故D正确. 故选BCD. 考点一 考点二 考点三 教材衍展 规律方法　识别二次函数图象应学会“三看” 考点一 考点二 考点三 教材衍展 [对点训练3](多选题)(2025·海南海口模拟)如图是二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)图象的一部分,图象过点A(-3,0),对称轴为直线x=-1,则下面四个结论正确的是(　　) A.b2>4ac B.2a-b=1 C.a-b+c<0 D.5a<b AD 考点一 考点二 考点三 教材衍展 解析 因为函数图象与x轴交于两点,所以b2-4ac>0,即b2>4ac,故A正确; 因为函数图象的对称轴为直线x=-1,即-=-1,所以2a-b=0,故B错误; 结合题目中的图象,可知当x=-1时,y>0,即a-b+c>0,故C错误; 由函数图象的对称轴为直线x=-1,知b=2a,根据抛物线开口向下,知a<0,所以5a<2a=b,即5a<b,故D正确.故选AD. 考点一 考点二 考点三 教材衍展 考向2　二次函数的单调性 例4　[一题多变]已知函数f(x)=(m+1)x2-mx-1(m∈R)在[0,+∞)内单调递增,则实数m的取值范围是　　　　　.  [-1,0] 解析 若m+1=0,则m=-1,此时f(x)=x-1,在[0,+∞)内单调递增,符合题意;若m≠-1,依题意应有解得-1<m≤0. 综上,实数m的取值范围是[-1,0]. 考点一 考点二 考点三 教材衍展 AI变式 [变式1](改在区间内单调递增为单调递增区间)本例条件下,若函数的单调递增区间为[0,+∞),则实数m的值为　　　　　.  0 解析 因为函数的单调递增区间为[0,+∞),所以m+1≠0,且对称轴x==0,解得m=0.当m=0时,f(x)=x2-1,其单调递增区间为[0,+∞),符合题意. 考点一 考点二 考点三 教材衍展 [变式2](改单调递增为单调递减)本例条件下,若函数在[0,+∞)内单调递减,则实数m是否存在? 解 若m+1=0,则m=-1,此时f(x)=x-1,在[0,+∞)内单调递增,不符合题意;如果m≠-1,依题意应有所以无解.所以满足条件的实数m不存在. 考点一 考点二 考点三 教材衍展 [变式3](改单调区间为闭区间)本例条件下,若函数在[1,2]上单调递减,则实数m的取值范围是　　　　　.  (-∞,-2] 解析 若m+1=0,则m=-1,此时f(x)=x-1,在[1,2]上单调递增,不符合题意; 若m+1>0,即m>-1时,依题意应有解得无解; 若m+1<0,即m<-1时,依题意应有解得解得m≤-2. 综上,实数m的取值范围是(-∞,-2]. 考点一 考点二 考点三 教材衍展 [变式4](将单调问题变为不单调)本例条件下,若函数在区间[-3,-2]上不单调,则实数m的取值范围是　　　　　.  (-,-) 解析 若m+1=0,则m=-1,此时f(x)=x-1,在[-3,-2]上单调递增,不符合题意; 若m+1≠0,则应有-3<<-2,解得-<m<-,所以实数m的取值范围是 (-,-). 考点一 考点二 考点三 教材衍展 规律方法　二次函数单调性的求解策略 (1)要确定二次函数在某个区间上的单调性,需结合二次函数对应的抛物线的开口方向和对称轴的位置,通过比较对称轴与给定区间的端点的大小关系,建立不等式求解. (2)若二次项系数含参数,必须分类讨论:当系数为零时,函数退化为一次函数,需验证是否符合题意;当系数非零时,按二次函数性质分析. (3)若二次函数在某一区间内不单调,说明对称轴位于该区间内部.可通过列不等式求解参数范围. 考点一 考点二 考点三 教材衍展 考向3　二次函数的最值 例5　(2025·湖北武汉检测)已知二次函数f(x)=x2-6x+5. (1)当1≤x≤6时,函数f(x)的最大值和最小值分别是多少? (2)当t≤x≤t+3时,函数f(x)的最大值为m,最小值为n,若m-n=3,求t的值. 考点一 考点二 考点三 教材衍展 解 (1)因为f(x)=x2-6x+5=(x-3)2-4,所以f(x)图象的对称轴为x=3,顶点坐标为(3,-4),所以当x=3时,f(x)min=-4;因为当1≤x≤3时,f(x)单调递减,所以当x=1时,f(x)max=0,因为当3<x≤6时,f(x)单调递增,所以当x=6时,f(x)max=5. 综上,当1≤x≤6时,函数f(x)的最大值为5,最小值为-4. 考点一 考点二 考点三 教材衍展 (2)当t≤x≤t+3时,对t进行分类讨论: ①当t+3<3,即t<0时,f(x)单调递减,当x=t+3时,n=(t+3)2-6(t+3)+5=t2-4,当x=t时,m=t2-6t+5,所以m-n=t2-6t+5-(t2-4)=-6t+9,所以-6t+9=3, 解得t=1(不符合题意,舍去); ②当0≤t<3时,顶点的横坐标属于区间[t,t+3],所以n=-4,当0≤t时,在x=t时,m=t2-6t+5,m-n=t2-6t+5+4=t2-6t+9,即t2-6t+9=3,解得t1=3-, t2=3+(不符合题意,舍去); 当<t<3时,在x=t+3时,m=t2-4, 所以m-n=t2-4+4=t2,即t2=3,解得t1=,t2=-(不符合题意,舍去); 考点一 考点二 考点三 教材衍展 ③当t≥3时,f(x)单调递增, 当x=t时,n=t2-6t+5,当x=t+3时,m=(t+3)2-6(t+3)+5=t2-4, 所以m-n=t2-4-t2+6t-5=6t-9=3,解得t=2(不符合题意,舍去). 综上,t=3-或t= 考点一 考点二 考点三 教材衍展 规律方法　二次函数最值问题的类型及求解策略 (1)类型:①对称轴、区间都是固定的;②对称轴变动、区间固定;③对称轴固定、区间变动. (2)解决这类问题的思路:抓住“三点一轴”数形结合,三点是指区间两个端点和中点,一轴指的是对称轴,结合配方法,根据函数的单调性及分类讨论的思想即可完成. 考点一 考点二 考点三 教材衍展 [对点训练4]已知函数f(x)=ax2-2ax+1+b(a>0). (1)若a=b=1,求函数f(x)在区间[t,t+1]上的最大值; (2)若函数f(x)在区间[2,4]上的最大值为9,最小值为1,求实数a,b的值. 考点一 考点二 考点三 教材衍展 解 (1)当a=b=1时,函数f(x)化为f(x)=x2-2x+2,其图象的对称轴为直线x=1,而=t+ ①当t+1,即t时,函数在x=t时取得最大值t2-2t+2; ②当t+>1,即t>时,函数在x=t+1时取得最大值(t+1)2-2(t+1)+2=t2+1.综上,当t时,最大值为t2-2t+2;当t>时,最大值为t2+1. (2)因为函数f(x)的图象开口向上,且对称轴方程为x=1,所以函数在[2,4]上单调递增,所以当x=2时,函数f(x)取得最小值b+1;当x=4时,函数f(x)取得最大值16a-8a+1+b=8a+1+b.由题意,可得解得 考点一 考点二 考点三 教材衍展 教材衍展　一次分式函数 1.一次分式函数的定义:形如y=(a≠0,ad≠bc)的函数称为一次分式函数. 2.一次分式函数的图象和性质 定义域与值域 定义域:{x|x≠-};值域:{y|y≠} 对称中心 (-) 渐近线方程 x=-和y= 单调性 当ad>bc时,函数在区间(-∞,-)和(-,+∞)内分别单调递减; 当ad<bc时,函数在区间(-∞,-)和(-,+∞)内分别单调递增 考点一 考点二 考点三 教材衍展 图象   考点一 考点二 考点三 教材衍展 典例已知函数f(x)=的定义域是{x|x∈R,x≠-3}. (1)求函数f(x)的值域; (2)若f(x)在(-∞,b)上单调递增,求实数b的取值范围. 解 依题意知,不等式x+a≠0,即x≠-a,此不等式的解集为{x|x∈R,x≠-3},所以a=3. (1)因为f(x)==2+,由于0,所以2+2,因此函数的值域为{y|y∈R,y≠2}. (2)因为f(x)=2+,所以函数的单调递增区间是(-∞,-3)和(-3,+∞). 又因为f(x)在(-∞,b)上单调递增,所以b≤-3. 考点一 考点二 考点三 教材衍展 规律方法　一次分式函数的应用技巧 (1)熟练掌握一次分式函数分离常数的方法与技巧; (2)善于运用换元的方法将相关函数转化为一次分式函数从而解决问题; (3)熟练掌握不等式的性质,能够利用不等式的性质准确地求代数式的取值范围. 考点一 考点二 考点三 教材衍展 [对点训练](2025·安徽亳州模拟)已知函数f(x)=,其中a∈R,且a≠1. (1)当函数f(x)的图象关于点中心对称时,求a的值; (2)当函数f(x)在区间(-1,+∞)内单调递增时,求a的取值范围. 解 (1)当f(x)的图象关于点成中心对称时, 有y=f(x-1)-=a-是奇函数, 所以a-=0,解得a= (2)因为函数f(x)==a+,又函数f(x)在区间(-1,+∞)内单调递增,所以2-2a<0,解得a>1,所以a的取值范围是(1,+∞). 考点一 考点二 考点三 教材衍展 $