幂函数与二次函数课件-2027届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习课件聚焦幂函数与二次函数专题，依据高考评价体系梳理了幂函数图象与性质、二次函数最值与对称性、二次函数与方程不等式综合应用三大核心考点，通过教材习题改编与模拟题分析明确高频考点分布，归纳定义判断、单调性比较、分类讨论求最值等常考题型，体现备考针对性与实用性。 课件亮点在于“教材母题溯源+关键能力训练+思维路径构建”，如幂函数解析式求解用定义法求指数，二次函数最值问题通过轴位分析分类讨论，培养学生数学思维与模型意识。特设解题思维链与答题要语，帮助学生掌握转化思想与数形结合技巧，教师可据此精准指导学情，助力学生高效突破考点，提升高考得分率。

数 学 构建知识体系 形成关键能力 提高学科素养 精准高效备考 高考能力梯级集训 第5节　幂函数与二次函数 返回目录 目录 1 2 3 基础满分练 课前 自检自测·夯基固本 能力高分练 课中 关键能力·可视思维 素养提升练 课中 高考定向·捕捉热点 第5节　幂函数与二次函数 基础 满分练 课前 自检自测·夯基固本 三个高考关键点 关键点1 幂函数的图象与性质 1.(人教A版必修第一册教材习题)已知幂函数y=f(x)的图象过点(8,2),则f(9)的值为(　　)[命题点❶] A.2 B.3 C.4 D.9 B 解析:设幂函数为f(x)=xa,图象过点(8,2),故f(8)=8a=2,故a=, f(x)=,f(9)==3. 返回目录 2.(多选)(人教A版必修第一册教材习题改编)已知α∈{-1,1,2,3},则使函数y=xα的值域为R,且为奇函数的α的值为(　　)[命题点❷] A.-1 B.1 C.2 D.3 BD 解析:当α=-1时,y=x-1=为奇函数,但值域为{y|y≠0},不满足条件;当α=1时, y=x为奇函数,值域为R,满足条件;当α=2时,y=x2为偶函数,值域为{y|y≥0},不满足条件;当α=3时,y=x3为奇函数,值域为R,满足条件. 返回目录 3.(人教B版必修第二册教材习题)函数f(x)=(x+2)-2的定义域为　　　　　　,单调递增区间是　　　　　　　,单调递减区间是　　　　　　　.[命题点❸] (-∞,-2) {x|x≠-2} (-2,+∞) 解析:由于f(x)=(x+2)-2=,所以其定义域为{x|x≠-2},单调递增区间是 (-∞,-2),单调递减区间是(-2,+∞). 返回目录 4.(人教A版必修第一册教材习题改编)已知a=0.40.3,b=0.30.3,c=0.30.4,则a,b,c的大小关系是　　　　　.(用“<”连接)[命题点❸] c<b<a 解析:由指数函数,幂函数的单调性可知0.30.4<0.30.3,0.40.3>0.30.3,即c<b<a. 返回目录 关键点2 二次函数的最值与对称性 5.(人教B版必修第一册教材习题改编)函数f(x)=-2x2+4x,x∈[-1,2]的值域为(　　)[命题点❹] A.[-6,2] B.[-6,1] C.[0,2] D.[0,1] A 返回目录 6.(人教A版必修第一册教材习题改编)已知函数f(x)=x2-2ax+4在[0,+∞)上单调递增,则实数a的取值范围为(　　)[命题点❹] A.(-∞,-1] B.[-1,+∞) C.[0,+∞) D.(-∞,0] D 解析:函数f(x)=x2-2ax+4=(x-a)2+4-a2,所以f(x)的单调递增区间是[a,+∞),依题意知,[0,+∞)⊆[a,+∞),所以a≤0,即实数a的取值范围是(-∞,0],故选D. 返回目录 关键点3 二次函数、方程、不等式的综合应用 7.(人教A版必修第一册教材习题改编)已知函数f(x)=ax2+x+5的图象在x轴上方,则a的取值范围是(　　)[命题点❹] A.(0,) B.(-∞,-) C.(,+∞) D.(-,0) C 解析:由题意知 解得a>故选C. 返回目录 回归教材•考教衔接 1.幂函数 (1)幂函数的定义[❶] 一般地,函数y=xα叫做幂函数,其中x是自变量,α是常数. (2)常见的五种幂函数的图象[❷] 　　 弄清图象的性质以及相对位置关系 返回目录 (3)幂函数的性质[❸] ①幂函数在(0,+∞)上都有定义; ②当α>0时,幂函数的图象都过点(1,1)和(0,0),且在(0,+∞)上单调递增; ③当α<0时,幂函数的图象都过点(1,1),且在(0,+∞)上单调递减; ④当α为奇数时,y=xα为奇函数;当α为偶数时,y=xα为偶函数. 返回目录 2.二次函数 (1)二次函数解析式的三种形式 一般式:f(x)=ax2+bx+c(a≠0). 顶点式:f(x)=a(x-m)2+n(a≠0),顶点坐标为(m,n). 零点式:f(x)=a(x-x1)(x-x2)(a≠0),x1,x2为f(x)的零点. 返回目录 (2)二次函数的图象与性质[❹] 函数 y=ax2+bx+c(a>0) y=ax2+bx+c(a<0) 图象(抛 物线) 定义域 R 值域 [,+∞) (-∞,] 对称轴 x=- 返回目录 函数 y=ax2+bx+c(a>0) y=ax2+bx+c(a<0) 顶点坐标 (-) 奇偶性 当b=0时是偶函数,当b≠0时是非奇非偶函数 单调性 在(-∞,-]上是减函数,在[-,+∞)上是增函数 在(-∞,-]上是增函数,在 [-,+∞)上是减函数 返回目录 能力 高分练 课中 关键能力•可视思维 考点1　幂函数的图象与性质 命题视角:借助幂函数单调性与奇偶性,比较函数值大小、解不等式. 例1 (1)已知a=110.3,b=,c=21.2,则a,b,c的大小关系为(　　) A.a<b<c B.b<c<a C.c<a<b D.b<a<c A 解析:由题可知,a=110.3<1,b=,c=21.2>,则a6<112=121, b6=()6=125,c6>()6=27=128.因为y=x6在(0,+∞)上单调递增,且121<125<128,所以a<b<c. 返回目录 考点1 考点2 考点3 (2)(2025·湖北武汉模拟)已知幂函数f(x)=(2m+m)xm-2,则下列结论正确的是 (　　) A.f(x)为奇函数 B.f(x)在其定义域上单调递减 C.f(m+1)>f(2) D.f(m-1)<f(-2) C 返回目录 考点1 考点2 考点3 解析:因为f(x)=(2m+m)xm-2是幂函数,根据幂函数的定义可知2m+m=1,当m=0时,20+0=1,等式成立,因为y=2x+x在R上单调递增,故m=0为唯一解.此时f(x)=x-2=,其定义域为(-∞,0)∪(0,+∞). A选项,f(-x)==f(x),所以f(x)是偶函数,A选项错误;B选项,对f(x)=求导,可得f'(x)=-当x>0时,f'(x)<0,当x<0时,f'(x)>0,f(x)在(-∞,0)上单调递增,在(0,+∞)上单调递减,B错误;C选项,m+1=1,f(x)=在(0,+∞)上单调递减.因为1<2,所以f(1)>f(2),即f(m+1)>f(2),C选项正确;D选项,m-1=-1,f(x)在 (-∞,0)上单调递增,-2<-1,所以f(-2)<f(-1),即f(m-1)>f(-2),D错误.故选C. 返回目录 考点1 考点2 考点3 对点训练1 (1)幂函数y=(m∈Z)的图象如图所示,则m的值为 (　　) A.-1 B.0 C.1 D.2 C 解析:从图象上看,由于图象不过原点,且在(0,+∞)单调递减,故m2-2m-3<0,即-1<m<3;又函数是偶函数,故m2-2m-3为负偶数,将m=0,1,2分别代入,可知当m=1时,m2-2m-3=-4,满足要求. 返回目录 考点1 考点2 考点3 (2)(多选)已知函数f(x)=xα的图象经过点(4,2),则下列说法正确的是(　 　) A.函数f(x)为偶函数 B.函数f(x)在其定义域内为增函数 C.当x>1时,f(x)>1 D.当0<x1<x2时,<f() BCD 解析:由于函数f(x)=xα的图象经过点(4,2),故有4α=2,∴α=,故f(x)=显然,函数f(x)为非奇非偶函数,故A错误;函数f(x)在其定义域内为增函数,故B正确;当x>1时,f(x)=>1,故C正确;由于函数f(x)图象为“上凸”,故当0<x1<x2时,<f(),故D正确. 返回目录 考点1 考点2 考点3 答题要语 解题思维路径 统一指数比较,先求解析式再分析性质. 返回目录 考点1 考点2 考点3 关键能力思维链 返回目录 考点1 考点2 考点3 考点2　二次函数的解析式 命题视角:根据图象或几何性质,待定系数法求解析式中的参数. 例2 (一题多解)若二次函数f(x)满足f(2)=-1,f(-1)=-1,且f(x)的最大值是8,则f(x)的解析式为　　　　　　　　.  f(x)=-4x2+4x+7 解析: (方法1)设f(x)=ax2+bx+c(a≠0).由题意得解得所以所求二次函数的解析式为f(x)=-4x2+4x+7. 返回目录 考点1 考点2 考点3 (方法2)设f(x)=a(x-m)2+n(a≠0).因为f(2)=f(-1),所以图象的对称轴为直线x=所以m=又根据题意函数有最大值8,所以n=8,所以f(x)= a(x-)2+8.因为f(2)=-1,所以a(2-)2+8=-1,解得a=-4,所以f(x)=-4(x-)2+8= -4x2+4x+7. (方法3)由已知f(x)+1=0的两根为x1=2,x2=-1,故可设f(x)+1=a(x-2)(x+1) (a≠0),即f(x)=ax2-ax-2a-1.又函数f(x)有最大值8,即=8,解得 a=-4.所以所求二次函数的解析式为f(x)=-4x2+4x+7. 返回目录 考点1 考点2 考点3 对点训练2 (2025·海南海口模拟)已知二次函数f(x)的图象经过点(4,3),在x轴上截得的线段长为2,并且对任意x∈R,都有f(2-x)=f(2+x),则f(x)=　　　　　　.  x2-4x+3 解析:因为f(2-x)=f(2+x)对x∈R恒成立,所以y=f(x)的图象关于直线x=2对称. 又y=f(x)的图象在x轴上截得的线段长为2,所以f(x)=0的两根为2-1=1, 2+1=3,所以二次函数f(x)与x轴的两交点坐标为(1,0)和(3,0),因此设f(x)=a(x-1)(x-3)(a≠0).又点(4,3)在y=f(x)的图象上,所以3a=3,则a=1,故f(x)=(x-1)(x-3)=x2-4x+3. 返回目录 考点1 考点2 考点3 解题思维路径 返回目录 考点1 考点2 考点3 考点3　二次函数的图象、性质及其应用 角度 1 命题视角:聚焦动态区间最值问题、二次方程根的分布及与不等式、实际应用的结合,强调数形结合与分类讨论. 二次函数的最值(值域) 例3 已知函数f(x)=x2+2x-4. (1)若f(x)在区间[a,a+1]上不单调,求实数a的取值范围; (2)若t>-2,求f(x)在区间[-2,t]上的最小值g(t). 返回目录 考点1 考点2 考点3 解:(1)因为函数f(x)=x2+2x-4在[a,a+1]上不单调,且图象的对称轴为x=-1,所以a<-1<a+1, 即解得-2<a<-1, 故实数a的取值范围为(-2,-1). (2)因为f(x)=x2+2x-4的图象开口向上,对称轴为x=-1,当-2<t≤-1时,函数f(x)在[-2,t]上单调递减,所以f(x)min=f(t)=t2+2t-4;当t>-1时,函数f(x)在[-2,-1)上单调递减,在(-1,t]上单调递增,所以f(x)min=f(-1)=-5. 综上,g(t)= 返回目录 考点1 考点2 考点3 角度 2 二次函数的零点问题 例4 (1)已知f(x)=1-(x-a)(x-b),并且m,n是方程f(x)=0的两根,则实数a,b,m,n的大小关系可能是(　　) A.m<a<b<n B.a<m<n<b C.a<m<b<n D.m<a<n<b A 返回目录 考点1 考点2 考点3 解析:设g(x)=-(x-a)(x-b), 又f(x)=1-(x-a)(x-b),分别画出这两个函数的图象,其中f(x)的图象可看成是由g(x)的图象向上平移1个单位长度得到的,如图,由图可知,可能有m<a<b<n.故选A. 返回目录 考点1 考点2 考点3 (2)(2025·浙江绍兴模拟)若关于x的一元二次方程x2+(3a-1)x+a+8=0有两个不相等的实根x1,x2,且x1<1,x2>1,则实数a的取值范围为　　　　　　　.  (-∞,-2) 解析:令函数f(x)=x2+(3a-1)x+a+8,依题意,f(x)=0的两个不等实根x1,x2满足x1<1,x2>1,而函数f(x)图象开口向上,因此f(1)<0,则12+(3a-1)×1+a+8<0,解得a<-2,所以实数a的取值范围为(-∞,-2). 返回目录 考点1 考点2 考点3 对点训练3 (2026·四川泸州模拟)若函数f(x)=2ax2+3x-1在区间(-1,1)内恰有一个零点,则实数a的取值集合为(　　) A.{a|-1<a<2} B. C.{a|-1≤a≤2} D. D 返回目录 考点1 考点2 考点3 解析:由函数f(x)=2ax2+3x-1,若a=0,可得f(x)=3x-1,令f(x)=0,即3x-1=0,解得x=,符合题意;若a≠0,令f(x)=0,即2ax2+3x-1=0,可得Δ=9+8a,当Δ=0,即9+8a=0时,解得a=-,此时f(x)=-x2+3x-1,解得x=,符合题意;当Δ>0,即a>-,且a≠0时,则满足f(-1)·f(1)=(2a-4)(2a+2)<0,解得-1<a<2,且a≠0,若a=-1,可得f(x)=-2x2+3x-1,令f(x)=0,即2x2-3x+1=0,解得x=1或x=,其中x=(-1,1),符合题意;若a=2,可得f(x)=4x2+3x-1,令f(x)=0,即4x2+3x-1=0,解得x=-1或x=,其中x=(-1,1),符合题意.综上可得,实数a的取值集合为故选D. 返回目录 考点1 考点2 考点3 解题思维路径 返回目录 考点1 考点2 考点3 关键能力思维链 答题要语 画图分析零点分布,利用函数值判断大小. 返回目录 考点1 考点2 考点3 解题思维路径 返回目录 考点1 考点2 考点3 素养 提升练 课中 高考定向•捕捉热点 命题趋势1:从单一性质考查转向多种性质的综合判断与应用. 1.(多选)(2025·黑龙江高三期中)已知函数f(x)=,则下列说法正确的是 (　 　) A.f(-4)=2 B.f(x)为偶函数 C.f(x)在区间[-4,-1]上单调递增 D.若|x1|<|x2|,则f(x1)<f(x2) ABD 返回目录 解析:因为f(x)=的定义域为R,对于选项A,f(-4)==2,故A正确;对于选项B,因为f(-x)==f(x),所以f(x)为偶函数,故B正确;对于选项C,当x≥0,f(x)=在[0,+∞)内单调递增,由偶函数性质可知,f(x)在(-∞,0]内单调递减,即f(x)在区间[-4,-1]上单调递减,故C错误;对于选项D,因为f(x)在[0,+∞)内单调递增,若0≤|x1|<|x2|,所以f(|x1|)<f(|x2|),结合偶函数定义可得f(x1)<f(x2),故D正确.故选ABD. 返回目录 2.(多选)已知f(x)=xα(α∈R),则下列说法正确的是(　　) A.当α=-1时,f(x)的值域为R B.当α=3时,f(π)>f(3) C.当α=时,f(x2)是偶函数 D.当α=时,f2(x)是奇函数 BC 返回目录 解析:当α=-1时,f(x)=,此时f(x)的值域为{y|y≠0},故A错误;当α=3时,f(x)=x3在R上单调递增,所以f(π)>f(3),故B正确;当α=时,f(x)=,f(x2)==|x|,定义域为R,关于原点对称,∀x∈R,f((-x)2)=|-x|=f(x2),所以f(x2)是偶函数,故C正确;当α=时,f(x)=(x≥0),则f2(x)=x(x≥0),定义域不关于原点对称,故为非奇非偶函数,D错误.故选BC. 返回目录 命题趋势2:含参二次函数在动区间或定区间上的最值问题,是考查分类讨论思想的绝佳载体. 3.(原创)(多选)二次函数y=x2+(2a-1)x-3在x∈[-1,3]上最大值为1,则实数 a的值为(　　) A.- B.- C.- D.-1 BD 解析:y=x2+(2a-1)x-3,则图象开口向上,对称轴为直线x=当1时,即a≥-,在x=3处有最大值1,即9+(2a-1)×3-3=1,解得a=-;当>1时,即a<-,在x=-1处有最大值1,即1+(2a-1)×(-1)-3=1,得a=-1.故a=-1或a=-故选BD. 返回目录 4.已知函数f(x)=2x2-ax+1,x∈[-1,a],且f(x)的最大值为f(a),则实数a的取值范围是(　　) A.[1,+∞) B.(-∞,-1]∪[2,+∞) C.[2,+∞) D.[3,+∞) C 解析:由题意可得函数图象的对称轴方程为x=,当-1<a≤0时,f(x)在[-1,a]上单调递减,则f(x)max=f(-1),不符合题意;当a>0时,要使f(x)的最大值为f(a),则f(a)≥f(-1),即2a2-a2+1≥2+a+1,解得a≤-1(舍去),或a≥2,所以实数a的取值范围是[2,+∞),故选C. 返回目录 模块内融合:将幂函数图象性质与指数、对数函数、三角函数、二次函数根的分布、函数变换等知识结合命题. 5.函数f(x)=sin x+cos 2x+3的值域是(　　) A.[1,] B.[1,4] C.[,4] D.[1,5] A 返回目录 解析:f(x)=sin x+1-2sin2x+3=-2sin2x+sin x+4.令t=sin x,t∈[-1,1],此时函数y=-2t2+t+4,其图象的对称轴为t=-当t=时,y=-2+4= -2+4=-+4=+4=当t=-1时,y=-2×(-1)2+(-1)+4=-2-1+4=1.所以y=-2t2+t+4在t∈[-1,1]上的值域是[1,].故选A. 返回目录 6.已知幂函数f(x)=xα满足2f(2)=f(16),若a=f(log42),b=f(ln 2),c=f(),则a,b,c的大小关系是(　　) A.a>c>b B.a>b>c C.b>a>c D.b>c>a C 解析:在幂函数f(x)=xα中,2f(2)=f(16),所以2×2α=16α,即2α+1=24α,所以α+1=4α,解得α=,所以f(x)=,所以f(x)是定义域为R的增函数.又a=f(log42),b=f(ln 2),c=f(),且log42=,ln 2>ln ,所以ln 2>log42>,即f(ln 2)>f(log42)>f(),所以b>a>c.故选C. 返回目录 $