第8节　对数函数课件-2027届高三数学一轮复习

第8节　对数函数 课标解读　1.通过具体实例,了解对数函数的概念.能画出具体对数函数的图象,探索并了解对数函数的单调性与特殊点.2.知道对数函数y=logax与指数函数y=ax互为反函数(a>0,且a≠1). 1.对数函数的概念 函数y=logax(a>0,且a≠1)叫做对数函数,其中x是自变量,定义域是　　　　.  微点拨 对数函数解析式y=logax的三个特征:(1)底数a>0,且a≠1;(2)真数是自变量x且x>0;(3)系数为1. (0,+∞) 2.对数函数的图象与性质 函数 y=logax(a>0,且a≠1) a>1 0<a<1 图象     图象 特征 在y轴右侧,过定点(1,0) 这是因为loga1=0 当x逐渐增大时,图象是上升的 当x逐渐增大时,图象是下降的 函数 y=logax(a>0,且a≠1) a>1 0<a<1 性质 定义域 (0,+∞) 值域 R 单调性 在(0,+∞)上单调递增 在(0,+∞)上单调递减 函数值变化规律 当x=1时,y=0 当x>1时,y>0; 当0<x<1时,y<0 当x>1时,y<0; 当0<x<1时,y>0 微点拨 在直线x=1的右侧,当a>1时,底数越大,图象越靠近x轴;当0<a<1时,底数越小,图象越靠近x轴.也就是说,在第一象限内,不同底数的对数函数的图象从左到右底数逐渐增大. 微思考 如何确定对数型函数y=kloga(mx+n)+b(a>0,且a≠1,m≠0)图象所过的定点? 提示 由于loga1=0,令mx+n=1得x=,此时y=k×0+b=b,因此该函数的图象经过定点(,b). 3.反函数 一般地,指数函数y=ax(a>0,且a≠1)与对数函数y=logax(a>0,且a≠1)互为　　　　　,它们的定义域与值域正好互换.  微点拨 1.只有在定义域上单调的函数才存在反函数. 2.互为反函数的两个函数的图象关于直线y=x对称. 反函数 常用结论 1.函数y=logax与y=lox(a>0,且a≠1)的图象关于x轴对称. 2.对于函数f(x)=|logax|(a>0,且a≠1),若f(m)=f(n)(m≠n),则必有mn=1. 3.(1)不论a>1还是0<a<1,对数函数y=logax(a>0,且a≠1)的图象都无限靠近y轴,但不会与y轴相交. (2)不论a>1还是0<a<1,对数函数y=logax(a>0,且a≠1)的图象都经过点(,-1), (1,0),(a,1),且图象都在y轴右侧,据此可以快速画出对数函数y=logax(a>0,且a≠1)的大致图象. [自主诊断] 1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”) (1)y=logx5是对数函数.(　　) (2)对数函数y=logax(a>0,且a≠1)的图象恒过定点(1,0).(　　) (3)当x>1时,logax>0.(　　) (4)函数y=log2x与y=lox的图象关于x轴对称.(　　) × 解析 自变量在底数位置,不是对数函数. √ × 解析 当0<a<1时,x>1,logax<0.故错误. √ 2.(人A必修一教材习题改编)如图所示,关于三个对数函数的图象,下列选项正确的是(　　) A.0<c<b<1<a B.0<b<c<1<a C.1<b<c<a D.1<c<b<a A 解析 作直线y=1,则该直线与三个函数图象交点的横坐标为相应的底数,可得0<c<b<1<a.故选A. 3.(人A必修一教材习题改编)函数f(x)=的定义域是(　　) A.(1,+∞) B.(2,+∞) C.[1,+∞) D.[2,+∞) D 解析 要使函数f(x)=有意义,只需解得x≥2,所以函数f(x)的定义域为[2,+∞).故选D. 4.(北师必修一教材习题)若b>a>1,则函数y=loga(x+b)的图象不经过(　　) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 D 解析 因为b>a>1,所以函数y=logax在(0,+∞)上单调递增,图象过一、四象限,又因为函数y=loga(x+b)的图象是由函数y=logax的图象向左平移b个单位长度得到,而b>1,所以函数y=loga(x+b)的图象不经过第四象限.故选D. 5.(2024·北京,9)已知(x1,y1),(x2,y2)是函数y=2x图象上不同的两点,则下列正确的是(　　) A.log2 B.log2 C.log2>x1+x2 D.log2<x1+x2 A 解析 ∵y1=,y2=,∴y1+y2=>2=2, ∴log2>log2故选A. 6.(北师必修一教材习题改编)解方程:lo(3x2+2x-1)=1. 解 由3x2+2x-1=2x2-1,解得x=0或x=-2.当x=0时,2x2-1=-1,不符合要求,舍去;当x=-2时,2x2-1=7,满足要求.故方程lo(3x2+2x-1)=1的解集为 {x|x=-2}. 考点一　对数函数的图象及应用 例1　(1)(2025·福建泉州模拟)函数f(x)=loga(x+b)(a>0,且a≠1)的图象如图所示,则必有(　　) A.a>1,1<b<2 B.0<a<1,1<b<2 C.a>1,-2<b<-1 D.0<a<1,-2<b<-1 A 解析 由题图可知,f(x)在定义域上单调递增,而y=x+b是增函数,根据复合函数单调性可知a>1.因为f(0)=logab∈(0,1),所以1<b<a. 由题图可知当y=0时,x+b=1,x=1-b∈(-1,0),又b>1,所以b∈(1,2).故选A. 考点一 考点二 教材衍展 (2)(2025·北京延庆模拟)不等式log3x≥(x-1)的解集是(　　) A.{x|1≤x≤3} B.{x|1≤x≤4} C.{x|x≥1} D.{x|0≤x≤1或x≥3} A 解析 在同一坐标系内作出函数y=log3x,y=(x-1)的大致图象,如图, 观察图象知,当且仅当1≤x≤3时,函数y=log3x的图象不在直线y=(x-1)的下方,所以不等式log3x(x-1)的解集是{x|1≤x≤3}.故选A. 考点一 考点二 教材衍展 规律方法　对数函数图象的识别及应用方法 (1)在识别函数图象时,要善于利用已知函数的性质、函数图象上的特殊点(与坐标轴的交点、最高点、最低点等)排除不符合要求的选项. (2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题,数形结合求解. 考点一 考点二 教材衍展 [对点训练1](1)已知a>0,b>0,且ab=1,则函数f(x)=ax与函数g(x)=-logbx的图象可能是(　　) B 考点一 考点二 教材衍展 解析 因为ab=1,所以b=,所以g(x)=-lox=logax,而f(x)=ax与g(x)=logax的图象关于直线y=x对称,各选项中只有B满足题意.故选B. 考点一 考点二 教材衍展 (2)若方程4x=logax(0<a<1)在(0,]上有解,则实数a的取值范围为　　　　.  (0,] 解析 构造函数f(x)=4x和g(x)=logax.当0<a<1时,画出两个函数的大致图象,如图所示. 可知,只需两图象在(0,]上有交点即可,则f()≥g(),即2≥loga,则0<a,所以实数a的取值范围为(0,]. 考点一 考点二 教材衍展 考点二　对数函数的性质及其应用 考向1　比较对数式的大小 例2　(1)(2025·天津模拟)已知a=0.60.4,b=log0.60.4,c=log0.64,则a,b,c的大小关系是(　　) A.b<a<c B.c<b<a C.a<b<c D.c<a<b D 解析 因为y=0.6x在R上是减函数,所以有0<0.60.4<0.60=1,则0<a<1; 因为函数y=log0.6x是(0,+∞)内的减函数,所以有log0.60.4>log0.60.6=1,0=log0.61>log0.64, 所以b>1,c<0,故c<a<b.故选D. 考点一 考点二 教材衍展 (2)(多选题)若实数a,b,c满足loga2<logb2<logc2,则下列关系中可能成立的 是(　　) A.a<b<c B.b<a<c C.c<b<a D.a<c<b BCD 考点一 考点二 教材衍展 解析 因为loga2<logb2<logc2,所以在同一平面直角坐标系中画出y=logax,y=logbx,y=logcx的图象,如图所示,有四种情况,所以a,b,c的关系有如下四种可能: ①1<c<b<a;②0<a<1<c<b;③0<b<a<1<c;④0<c<b<a<1. 图1 图2 图3 图4 可知B,C,D可能成立.故选BCD. 考点一 考点二 教材衍展 规律方法　比较对数式大小的方法 若底数为同一常数 可由对数函数的单调性直接进行判断;若底数为同一字母,则需对底数进行分类讨论 若底数不同,真数相同 可以先用换底公式化为同底后,再进行比较 若底数与真数都不同 常借助1,0等中间量进行比较 考点一 考点二 教材衍展 [对点训练2](2025·辽宁辽阳模拟)已知a=log23,b=log47,c=,则(　　) A.b>c>a B.b>a>c C.a>c>b D.a>b>c D 解析 因为b=log47=log2,且y=log2x在定义域上单调递增,所以log22<log2<log23,所以1<b<a. 因为1<e<π,所以c=<1,故a>b>c.故选D. 考点一 考点二 教材衍展 考向2　解简单的对数不等式 例3　(1)不等式log2(2x+3)>log2(5x-6)的解集为(　　) A.(-∞,3) B. C. D. D 解析 由已知得解得<x<3,所以不等式的解集为 故选D. 考点一 考点二 教材衍展 (2)定义在R上的偶函数f(x)在区间(-∞,0)内单调递减,且f(-2)=2,则不等式f(lox)>2的解集为(　　) A.(-∞,)∪(4,+∞) B.(0,)∪(2,+∞) C.(0,)∪(,+∞) D.(0,)∪(4,+∞) D 解析 因为偶函数f(x)在区间(-∞,0)内单调递减,且f(-2)=2,所以f(x)在区间(0,+∞)内单调递增,且f(2)=2,所以由不等式f(lox)>2,可得|lox|>2,即lox>2或lox<-2,即log2x<-2或log2x>2,即不等式的解集为(4,+∞).故选D. 考点一 考点二 教材衍展 规律方法　求解对数不等式的两种类型及方法 类型 方法 logax>logab 借助y=logax的单调性求解,如果a的取值不确定,需分a>1与0<a<1两种情况讨论 logax>b 需先将b化为以a为底的对数式的形式,再借助y=logax的单调性求解 考点一 考点二 教材衍展 [对点训练3]已知a>0,且a≠1,解关于x的不等式:loga>1. 解 原不等式即loga>logaa.当a>1时,原不等式等价于则1-a>因为1-a<0,所以<x<0.当0<a<1时,原不等式等价于 由①得x<0或x>1;由②得0<x<,所以1<x< 综上,当a>1时,不等式的解集为{x|<x<0};当0<a<1时,不等式的解集为{x|1<x<}. 考点一 考点二 教材衍展 考向3　求单调区间或参数取值范围 例4　(1)(2025·安徽亳州模拟)若函数y=lg(2+mx)在区间[1,+∞)内单调递增,则实数m的取值范围是(　　) A.(-∞,-1) B.(0,+∞) C.[-2,0) D.(0,1] B 解析 因为函数y=lg(2+mx)在区间[1,+∞)内单调递增,所以y=2+mx在区间[1,+∞)内单调递增,且大于零恒成立, 则解得m>0,故实数m的取值范围是(0,+∞).故选B. 考点一 考点二 教材衍展 (2)(多选题)已知函数f(x)=lg(x2+ax-a),下列说法正确的是(　　) A.若f(x)的定义域为R,则a的取值范围是(-4,0) B.若f(x)的值域为R,则a的取值范围是(-∞,-4]∪[0,+∞) C.若a=2,则f(x)的单调递减区间为(-∞,-1) D.若f(x)在(-2,-1)内单调递减,则a的取值范围是(-∞,] ABD 考点一 考点二 教材衍展 解析 对于A,因为f(x)的定义域为R,所以x2+ax-a>0对任意x∈R恒成立,即Δ=a2+4a<0,解得-4<a<0,所以A正确; 对于B,因为函数f(x)的值域为R,所以需x2+ax-a≤0有解,因此Δ=a2+4a≥0,解得a≤-4或a≥0,所以B正确; 对于C,当a=2时,f(x)=lg(x2+2x-2),由x2+2x-2=(x+1)2-3>0,得x<-1-或 x>-1+,根据复合函数的单调性得其单调递减区间是(-∞,-1-),所以C错误; 对于D,因为f(x)在(-2,-1)内单调递减,所以解得a,所以D正确.故选ABD. 考点一 考点二 教材衍展 规律方法　对数型函数f(x)=logag(x)单调性的求解方法 (1)根据“同增异减”确定函数的单调区间,务必注意函数定义域的限制,即单调区间应满足g(x)>0. (2)已知f(x)=logag(x)的单调性求参数范围时,除按照“同增异减”确定参数满足的条件外,还应使参数满足在给定的区间上g(x)>0恒成立. 考点一 考点二 教材衍展 [对点训练4](2025·广东湛江模拟)若函数f(x)=loga(x2-2ax+a-1)有最大值,则实数a的取值范围是(　　) A.(0,) B.(,1) C.() D.(1,2) B 解析 令t=x2-2ax+a-1,当0<a<1时,要使函数f(x)=loga(x2-2ax+a-1)有最大值,则函数t=x2-2ax+a-1要有最小正值,当a>1时,函数f(x)无最大值. 要使函数t=x2-2ax+a-1有最小正值,需Δ=4a2-4(a-1)<0,解得<a<2. 综上,实数a的取值范围是(,1). 故选B. 考点一 考点二 教材衍展 教材衍展　指、对、幂的大小比较 指、对、幂“比大小”是高考中的经典题型,命题者常将其设计为选择题,综合考查幂函数、指数函数、对数函数等的运算和单调性等知识.这类题目难度灵活多变,解答时,可从代数与几何双角度切入,灵活运用函数性质与图象进行分析求解. 考点一 考点二 教材衍展 典例(1)(2024·天津,5)设a=4.2-0.2,b=4.20.2,c=log4.20.2,则a,b,c的大小关系 为(　　) A.a<b<c B.a<c<b C.c<b<a D.c<a<b D 解析 因为y=4.2x在R上是增函数,且-0.2<0<0.2,所以0<4.2-0.2<4.20<4.20.2, 所以0<4.2-0.2<1<4.20.2,即0<a<1<b. 因为y=log4.2x在(0,+∞)内是增函数,且0<0.2<1, 所以log4.20.2<log4.21=0,即c<0,所以c<a<b. 故选D. 考点一 考点二 教材衍展 (2)(2025·山东德州模拟)设2 024a=2 025,b=log2 0232 026,2 022c=2 026, 则(　　) A.a>c>b B.a>b>c C.b>c>a D.c>b>a D 解析 依题意,c=log2 0222 026,b==log2 0222 026=c, a=log2 0242 025==log2 0232 025<log2 0232 026=b,所以c>b>a.故选D. 考点一 考点二 教材衍展 (3)(2025·浙江金华二模)已知a=log32,b=log54,c=log98,则(　　) A.c<b<a B.a<c<b C.b<a<c D.a<b<c D 解析 由题意可知,0<a<1,0<b<1,0<c<1.则 <1,所以a<b.则<1,所以b<c. 所以a<b<c.故选D. 考点一 考点二 教材衍展 规律方法　1.利用单调性直接比较大小.如果两个幂或对数的底数相同,则可通过函数的单调性直接比较大小. 2.利用特殊值作“中间量”.通常优先选择“-1,0,,1”对所比较的数进行划分,然后再进行比较,此时可以简化比较的步骤.也有一些题目需要选择特殊的常数对所比较的数的值进行估计,例如1=log22<log23<log24=2,可估计log23是一个在区间(1,2)内的数,从而便于比较. 3.可根据条件选择作差法、作商法、放缩法、基本不等式法等比较大小. 考点一 考点二 教材衍展 [对点训练](1)(2025·福建泉州模拟)已知a=log72,b=log0.70.2,c=0.70.2,则a,b,c的大小关系为(　　) A.a<c<b B.a<b<c C.b<c<a D.c<a<b A 解析 因为y=log7x在(0,+∞)内单调递增,且1<2<,所以log71<log72<log7,得0<log72<,即0<a<因为y=log0.7x在(0,+∞)内单调递减,且0<0.2<0.7,所以log0.70.2>log0.70.7=1,即b>1. 因为y=0.7x在R上单调递减,且0<0.2<0.5, 所以0.70>0.70.2>0.70.5=,即<c<1, 所以a<c<b. 故选A. 考点一 考点二 教材衍展 (2)(2025·云南红河模拟)已知函数f(x)的图象关于y轴对称,且f(x)在[0,+∞)内单调递减,则f(log25),f,f(0.30.2)的大小关系是(　　) A.f<f(0.30.2)<f(log25) B.f<f(log25)<f(0.30.2) C.f(0.30.2)<f<f(log25) D.f(log25)<f<f(0.30.2) D 考点一 考点二 教材衍展 解析 由题意知f(-x)=f(x), 则f=f(-log35)=f(log35). 由对数函数的单调性可知0<log52<log53<log55=1, 由换底公式可得0<<1,则log25>log35>1, 再由指数函数的单调性可知0<0.30.2<0.30=1,所以log25>log35>0.30.2>0. 而函数f(x)在[0,+∞)内单调递减,所以有f(log25)<f(log35)<f(0.30.2), 即f(log25)<f<f(0.30.2).故选D. 考点一 考点二 教材衍展 A. B. C. D. $