第8节概率与统计的综合问题课件-2027届高三数学一轮复习

第8节　概率与统计的综合问题 课标要求 　　概率与统计的综合问题主要是在生活实践情境下，综合运用概率统 计知识构造相应的数学模型解决问题，所考查内容涉及数据分析、数学 建模、数学运算、逻辑推理等核心素养，是近几年高考追逐的热点之 一，处理此类问题的关键是把握概率、统计的本质，合理构造模型，正 确进行数学运算和必要的逻辑推理. 目录/ CONTENTS 考点一 统计图表与概率 01 考点二 回归分析与概率 02 考点三 独立性检验与概率 03 课时跟踪训练 04 01 PART 考点一 统计图表与概率 目 录 （2026·北京朝阳模拟）某电商平台为了解用户对配送服务的满意 度，分别从A地区和B地区随机抽取了500名和100名用户进行问卷评分调 查，将评分数据按[40，50），[50，60），…，[90，100]分组整理得到 如下频率分布直方图： 高中总复习·数学 目 录 （1）从A地区抽取的500名用户中随机抽取一名，求该用户评分不低于60 分的概率； 解：设事件M：从A地区抽取的500名用户中随机抽取一名，该用户评分 不低于60分. 由频率分布直方图可知，A地区抽取的500名用户中评分不低于60分的人数 为500×（0.025＋0.035＋0.015＋0.005）×10＝400， 所以P（M）＝ ＝0.8. 高中总复习·数学 目 录 （2）从B地区评分为[80，100]的样本中随机抽取两名，记评分不低于90 分的用户人数为X，求X的分布列和数学期望； 解：B地区评分为[80，100]的样本用户共有100×（0.010＋0.005）×10 ＝15人， 其中评分不低于90分的人数为5人. 由题意可知，X的所有可能取值为0，1，2. P（X＝0）＝ ＝ ， P（X＝1）＝ ＝ ， 高中总复习·数学 目 录 P（X＝2）＝ ＝ . 所以X的分布列为 X 0 1 2 P ​ ​ ​ 则X的数学期望E（X）＝0× ＋1× ＋2× ＝ . 高中总复习·数学 目 录 （3）根据图中的样本数据，假设同组中每个数据用该组区间的中点值代 替，设A地区评分的平均值估计为μ1，A，B两地区评分的平均值估计为 μ，比较μ1与μ的大小关系.（直接写出结论） 高中总复习·数学 目 录 解：μ1＞μ. 根据频率分布直方图A地区评分的平均值为μ1＝45×0.05＋55×0.15＋ 65×0.25＋75×0.35＋85×0.15＋95×0.05＝70.5， B地区评分的平均值为45×0.1＋55×0.2＋65×0.3＋75×0.25＋85×0.1 ＋95×0.05＝67＜μ1， 所以A，B两地区评分的平均值μ＜μ1. 高中总复习·数学 目 录 规律方法 统计图表与概率综合问题的求解策略 （1）正确识读统计图表，从图表中提取有效信息及样本数据； （2）根据统计原理即用样本数字特征估计总体的思想，结合样本中各统 计量之间的关系构造数学模型（函数模型、不等式模型、二项分布模 型、超几何分布模型或正态分布模型等）； （3）正确进行运算，求出样本数据中能够说明问题的特征值，从而用此 数据估计总体或作出科学的决策与判断. 高中总复习·数学 目 录 练1 如图是某市3月1日至14日的空气质量指数趋势图，空气质量指数小于 100表示空气质量优良，空气质量指数大于200表示空气重度污染.某人随 机选择3月1日至3月13日中的某一天到达该市，并停留2天. 高中总复习·数学 目 录 （1）求此人到达当日空气重度污染的概率； 解：设Ai表示事件“此人于3月i日到达该市”（i＝1，2，…，13）. 根据题意，P（Ai）＝ ，且Ai∩Aj＝⌀（i≠j）. （1）设B为事件“此人到达当日空气重度污染”，则B＝A5∪A8. 所以P（B）＝P（A5∪A8）＝P（A5）＋P（A8）＝ . 高中总复习·数学 目 录 （2）设X是此人停留期间空气质量优良的天数，求X的分布列与数学 期望. 解：由题意可知，X的所有可能取值为0，1，2，且 P（X＝1）＝P（A3∪A6∪A7∪A11）＝P（A3）＋P（A6）＋P（A7） ＋P（A11）＝ ， P（X＝2）＝P（A1∪A2∪A12∪A13）＝P（A1）＋P（A2）＋P（A12） ＋P（A13）＝ ， P（X＝0）＝1－P（X＝1）－P（X＝2）＝ . 高中总复习·数学 目 录 所以X的分布列为 X 0 1 2 P ​ ​ ​ 故X的数学期望E（X）＝0× ＋1× ＋2× ＝ . 高中总复习·数学 目 录 02 PART 考点二 回归分析与概率 目 录 （2026·山东淄博模拟）我国近几年着重强调可持续发展，加大新能 源项目的支持力度，积极推动新能源汽车产业迅速发展.某汽车制造企业 对某地区新能源汽车的销售情况进行调查，得到下面的统计表： 年份t 2021 2022 2023 2024 2025 年份代码x（x＝t－2 020） 1 2 3 4 5 销量y（万辆） 10 12 17 20 26 高中总复习·数学 目 录 （1）计算销量y关于年份代码x的样本相关系数r，并判断是否可以认为y 与x有较强的线性相关关系（若｜r｜≥0.75，则认为有较强的线性相关关 系）.若是，求出y关于x的线性回归方程；若不是，说明理由； 解：由题意得 ＝ ×（1＋2＋3＋4＋5）＝3， ＝ ×（10＋12＋17＋20＋26）＝17， xiyi＝295， ＝55， （yi－ ）2＝164， 高中总复习·数学 目 录 r＝ ＝ ＝ ＞ ≈0.976＞0.75， 因此，销量y与年份代码x有较强的线性相关关系， ＝ ＝ ＝4， ＝ － ＝17－4×3＝5， y关于x的线性回归方程为 ＝4x＋5. 高中总复习·数学 目 录 （2）为了解购车车主的性别与购车种类（分为新能源汽车与传统燃油汽 车）的情况，该企业又随机调查了该地区100位购车车主的购车情况，假 设一位车主只购一辆车.男性车主中购置传统燃油汽车的有40名，购置新 能源汽车的有30名；女性车主中有一半购置新能源汽车.将频率视为概 率，已知一位车主购得新能源汽车，请问这位车主是女性的概率. 高中总复习·数学 目 录 解：由题意知，该地区100名购车车主中，男车主有70名，女性车主有 30名，购置新能源汽车的男性车主有30名，购置新能源汽车的女性车 主有15名. “一位车主购得新能源汽车”记作事件A，“车主是女性”记作事件B， 一位车主购得新能源汽车，这位车主是女性的概率为P（B｜A）＝ ＝ ＝ . 高中总复习·数学 目 录 规律方法 回归分析与概率综合问题的解题思路 （1）此类问题的特点为：同一生活实践情境下设计两类问题，即：①求 经验回归方程（预测）；②求某随机变量的概率（范围）、均值、方差 等； （2）充分利用题目中提供的成对样本数据（散点图）做出判断，确定是 线性问题还是非线性问题.求解时要充分利用已知数据，合理利用变形公 式，以达到快速准确运算的目的； （3）明确所求问题所属事件的类型，准确构建概率模型. 高中总复习·数学 目 录 练2 （2026·河南郑州模拟）某高中数学兴趣小组，在学习了统计案 例后，准备利用所学知识研究成年男性的臂长y（cm）与身高x（cm） 之间的关系，为此他们随机统计了5名成年男性的身高与臂长，得到如 下数据： x 159 165 170 176 180 y 67 71 73 76 78 （1）根据上表数据，可用线性回归模型拟合y与x的关系，请用样本相关 系数加以说明； 高中总复习·数学 目 录 解：由表中的数据和附注中的参考数据得 xi＝850， ＝170， yi＝365， ＝73， （xi－ ）2＝112＋52＋02＋62＋102＝282， ≈8.6， （xi－ ）（yi－ ）＝ xiyi－5 ＝62 194 －5×170×73＝144， 高中总复习·数学 目 录 ∴r＝ ≈ ≈0.997. 因为y与x的样本相关系数近似为0.997，说明y与x的线性相关程度相当 高，从而可以用线性回归模型拟合y与x的关系. 高中总复习·数学 目 录 （2）建立y关于x的回归方程（系数精确到0.01）； 解：由 ＝73及（1）得 ＝ ＝ ＝ ≈0.51， ＝ － ≈73－0.51×170＝－13.7， 所以y关于x的回归方程为 ＝0.51x－13.7. 高中总复习·数学 目 录 （3）从5名样本成年男性中任取2人，记这2人臂长差的绝对值为X，求E （X）. 参考数据： xiyi＝62 194， ≈8.6， ≈16.8. 高中总复习·数学 目 录 解：X的取值依次为2，3，4，5，6，7，9，11， P（X＝2）＝ ＝ ，P（X＝3）＝ ＝ ， P（X＝4）＝ ＝ ，P（X＝5）＝ ＝ ， P（X＝6）＝ ＝ ，P（X＝7）＝ ＝ ， P（X＝9）＝ ＝ ，P（X＝11）＝ ＝ . 高中总复习·数学 目 录 X的分布列为 X 2 3 4 5 6 7 9 11 P ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ 所以E（X）＝2× ＋3× ＋4× ＋5× ＋6× ＋7× ＋9× ＋ 11× ＝ . 高中总复习·数学 目 录 03 PART 考点三 独立性检验与概率 目 录 （2026·辽宁本溪模拟）电信诈骗是指通过电话、网络和短信方式， 编造虚假信息，设置骗局，对受害人实施远程、非接触式诈骗的犯罪行 为.为打击电信诈骗犯罪活动，我国各地积极开展各类“反诈”知识宣 传，并取得了显著的效果.某社区为调查该社区市民对“反诈”知识的熟 悉情况，进行了一次抽样调查.调查结果如列联表所示. 性别 是否熟悉“反诈”知识 合计 不熟悉 熟悉 男 24 16 40 女 12 48 60 合计 36 64 100 高中总复习·数学 目 录 （1）依据小概率值α＝0.001的独立性检验，能否认为该社区市民是否熟 悉“反诈”知识与性别有关？ 解：零假设为H0：该社区市民是否熟悉“反诈”知识与性别无关， 经计算得χ2＝ ＝ ≈16.667＞10.828＝x0.001， 所以依据小概率值α＝0.001的独立性检验，推断H0不成立， 即可认为该社区市民是否熟悉“反诈”知识与性别有关，此推断犯错误的 概率不超过0.001. 高中总复习·数学 目 录 （2）为了增强市民的防范意识，该社区举办了一次“反诈”知识竞赛.已 知参加本次知识竞赛的市民的竞赛成绩X近似服从正态分布N（86，9）， 若有15.865％的参赛市民的成绩低于本次知识竞赛预期的平均成绩，试估 计本次知识竞赛预期的平均成绩； 解：因为P（X＜μ－σ）＝ － ≈ － ＝0.158 65， 又μ≈86，σ≈3， 故本次知识竞赛预期的平均成绩大约为86－3＝83. 高中总复习·数学 目 录 （3）为了进一步增强市民的“反诈”意识，参加了知识竞赛的市民可继 续参加该社区组织的答题赠话费活动，活动规则如下：每人需回答3道 题，每答对一道题获得30元话费.已知参加了知识竞赛的市民小王答对每 道题的概率均为 ，且每道题答对与否相互独立，记小王获得话费为Y 元，求Y的期望E（Y）和方差D（Y）. 高中总复习·数学 目 录 解：记小王答对题的数量为Z，则Y＝30Z，由题意得Z～B（3， ）， 则E（Z）＝3× ＝2，D（Z）＝3× × ＝ ， 所以E（Y）＝30E（Z）＝30×2＝60， D（Y）＝900D（Z）＝900× ＝600. 高中总复习·数学 目 录 规律方法 独立性检验与概率综合问题的解题思路 　　本类题目以生活题材为背景，涉及独立性检验及概率问题的综合， 解决该类问题首先收集数据列出2×2列联表，并按照公式求得χ2的值后进 行比较，再按照随机变量满足的概率模型求解. 高中总复习·数学 目 录 练3 （2026·上海静安模拟）“赶大集”出圈彰显了传统民俗的独特魅力. 为了解年轻人对“赶大集”的态度，随机调查了200位年轻人，得到的统 计数据如下面的不完整的2×2列联表所示（单位：人）. 非常喜欢 感觉一般 合计 男性 3t 100 女性 t 合计 60 （1）求t的值，试根据小概率α＝0.01的独立性检验，能否认为年轻人对 “赶大集”的态度与性别有关； 高中总复习·数学 目 录 解：由题意可知：3t＋（60－t）＝100，解得t＝20， 2×2列联表如下： 非常喜欢 感觉一般 合计 男性 60 40 100 女性 80 20 100 合计 140 60 200 零假设为H0：年轻人对“赶大集”的态度与性别无关， χ2＝ ＝ ≈9.524＞6.635. 根据小概率值α＝0.01的独立性检验，认为年轻人对“赶大集”的态度与 性别有关，此推断犯错误的概率不大于0.01. 高中总复习·数学 目 录 （2）从样本中筛选出5名男性和3名女性共8人作为代表，这8名代表中有2 名男性和2名女性非常喜欢“赶大集”.现从这8名代表中任选3名男性和2 名女性进一步交流，记X为这5人中非常喜欢“赶大集”的人数，求X的分 布列及数学期望E（X）. 解：设进一步交流的男性中非常喜欢“赶大集”的人数为m，女性中非常 喜欢“赶大集”的人数为n， 则X＝m＋n，且X的所有可能取值为1，2，3，4. P（X＝1）＝P（m＝0，n＝1）＝ ＝ ＝ ， 高中总复习·数学 目 录 P（X＝2）＝P（m＝1，n＝1）＋P（m＝0，n＝2）＝ ＋ ＝ ， P（X＝3）＝P（m＝2，n＝1）＋P（m＝1，n＝2）＝ ＋ ＝ ＝ ， P（X＝4）＝P（m＝2，n＝2）＝ ＝ ＝ . 高中总复习·数学 目 录 所以X的分布列为 X 1 2 3 4 P ​ ​ ​ ​ 所以E（X）＝1× ＋2× ＋3× ＋4× ＝ . 高中总复习·数学 目 录 04 PART 课时跟踪检测 （时间：45分钟，满分：58分） 目 录 1. （13分）某学校工会积极组织该校教职工参与“日行万步”活动，并随 机选取了该校100名教职工，统计他们的日行步数，按步数分组，得到的 饼图如图所示. 1 2 3 4 高中总复习·数学 目 录 若从日行步数超过10千步的教职工中随机选取2人， （1）求这2人的日行步数恰好一人在10千步～12千步，另一人在12千步～ 14千步的概率； 解：由饼图可以知道，100名教职工中，日行步数在10千步～12千步的有10人，日行步数在12千步～14千步的有6人，从这16人中随机选取2人，则这2人的日行步数恰好一人在10千步～12千步，另一人在12千步～14千步的概率P＝ ＝ ＝ . 1 2 3 4 高中总复习·数学 目 录 （2）设选出的这2名教职工中日行步数超过12千步的人数为随机变量X， 求E（X）. 解：由题意知X的所有可能取值为0，1，2，且P（X＝0）＝ ＝ ，P（X＝1）＝ ＝ ，P（X＝2）＝ ＝ ， 所以E（X）＝0× ＋1× ＋2× ＝ . 1 2 3 4 高中总复习·数学 目 录 2. （15分）（2026·云南曲靖模拟）某学校对高中生体质健康调研，随机 抽取100名学生的体重（单位：kg）得到如下频数分布表： 分组 [40，50） [50，60） [60，70） [70，80） [80，90] 频数 5 25 40 20 10 （1）估计样本的中位数； 解：因为5＋25＝30＜50，5＋25＋40＝70＞50， 故样本的中位数落在[60，70）内， 又40÷2＝20，30＋20＝50，故中位数为 ＝65. 1 2 3 4 高中总复习·数学 目 录 （2）从样本[60，70）和[70，80）中按分层随机抽样抽取学生6人，再从 这6人中随机抽取3人，其中体重在[60，70），[70，80）的人数分别为 x，y，记X＝x－y. ①求X的分布列及期望； ②求D（2X＋1）. 1 2 3 4 高中总复习·数学 目 录 解：①[60，70）和[70，80）的人数比为40∶20＝2∶1， 分层随机抽样抽取学生6人中，[60，70）和[70，80）的人数分别为 6× ＝4和6× ＝2， 故这6人中随机抽取3人，x的可能取值为3，2，1，对应的y的取值为0， 1，2， 所以X的可能取值为3，1，－1， P（X＝3）＝ ＝ ，P（X＝1）＝ ＝ ，P（X＝－1）＝ ＝ ， 1 2 3 4 高中总复习·数学 目 录 故X的分布列为 X 3 1 －1 P ​ ​ ​ E（X）＝3× ＋1× ＋（－1）× ＝1. ②由①知，D（X）＝（3－1）2× ＋（1－1）2× ＋（－1－1）2× ＝ ， 所以D（2X＋1）＝4D（X）＝ . 1 2 3 4 高中总复习·数学 目 录 3. （15分）（2026·海南三亚模拟）交通强国，铁路先行，每年我国铁路 部门都会根据运输需求进行铁路调图，一铁路线l上有自东向西依次编号 为1，2，…，21的21个车站. （1）为调查乘客对调图的满意度，在编号为10和11两个站点多次乘坐列 车P的旅客中，随机抽取100名旅客，得出数据（不完整）如下表所示： 车站编号 满意 不满意 合计 10 35 50 11 30 合计 55 1 2 3 4 高中总复习·数学 目 录 完善表格数据并计算分析：依据小概率值α＝0.01的独立性检验，在这两 个车站中，能否认为旅客满意程度与车站编号有关联？ 解：补充列联表如下： 车站编号 满意 不满意 合计 10 35 15 50 11 20 30 50 合计 55 45 100 1 2 3 4 高中总复习·数学 目 录 零假设为H0：旅客满意程度与车站编号无关，则χ2＝ ＝ ＞6.635， 所以根据小概率值α＝0.01的独立性检验，推断H0不成立， 即认为旅客满意程度与车站编号有关联. 1 2 3 4 高中总复习·数学 目 录 （2）根据以往调图经验，列车P在编号为8至14的终到站每次调图时有 的概率改为当前终到站的西侧一站，有 的概率改为当前终到站的东侧一 站，每次调图之间相互独立.已知原定终到站编号为11的列车P经历了3次 调图，第3次调图后的终到站编号记为X，求X的分布列及均值. 附：χ2＝ ，其中n＝a＋b＋c＋d. α 0.1 0.01 0.001 xα 2.706 6.635 10.828 1 2 3 4 高中总复习·数学 目 录 解：由题X的可能取值为8，10，12，14， 则P（X＝8）＝（ ）3＝ ；P（X＝10）＝ ×（ ）2× ＝ ； P（X＝12）＝ ×（ ）2× ＝ ；P（X＝14）＝（ ）3＝ . 所以X的分布列为 X 8 10 12 14 P ​ ​ ​ ​ 所以E（X）＝8× ＋10× ＋12× ＋14× ＝9.5. 1 2 3 4 高中总复习·数学 目 录 4. （15分）（2025·江苏徐州模拟）某品牌新能源汽车在某城市2025年1 月至5月的销售量如下表所示： 月份x 1 2 3 4 5 销售量y/辆 32 48 63 80 107 （1）求y关于x的经验回归方程； 1 2 3 4 高中总复习·数学 目 录 解：由表格可得， ＝ ×（1＋2＋3＋4＋5）＝3， ＝ ×（32＋ 48＋63＋80＋107）＝66， （xi－ ）2＝4＋1＋0＋1＋4＝10， （xi－ ）（yi－ ）＝68＋18 ＋0＋14＋82＝182，所以 ＝ ＝ ＝18.2， ＝ － ＝66－18.2×3＝11.4， 故y关于x的经验回归方程是 ＝18.2x＋11.4. 1 2 3 4 高中总复习·数学 目 录 （2）用（1）中所求的方程来拟合数据时，定义残差的绝对值大于3的一 对数据为“异常数据”，现从这5对数据中任取3对做残差分析，求取到的 数据中“异常数据”的对数X的分布列和数学期望. 附：经验回归直线 ＝ x＋ 中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为： ＝ ， ＝ － . 1 2 3 4 高中总复习·数学 目 录 解：当x＝1时， ＝18.2×1＋11.4＝29.6，残差的绝对值为｜29.6－32｜＝2.4＜3； 当x＝2时， ＝18.2×2＋11.4＝47.8，残差的绝对值为｜47.8－48｜＝ 0.2＜3； 当x＝3时， ＝18.2×3＋11.4＝66，残差的绝对值为｜66－63｜＝3； 当x＝4时， ＝18.2×4＋11.4＝84.2，残差的绝对值为｜84.2－80｜＝ 4.2＞3； 当x＝5时， ＝18.2×5＋11.4＝102.4，残差的绝对值为｜102.4－107｜ ＝4.6＞3. 所以“异常数据”为第四对和第五对共2对数据， 1 2 3 4 高中总复习·数学 目 录 故“异常数据”的对数X的所有可能取值为0，1，2， P（X＝0）＝ ＝ ，P（X＝1）＝ ＝ ，P（X＝2）＝ ＝ ， 所以X的分布列为 X 0 1 2 P ​ ​ ​ 数学期望E（X）＝0× ＋1× ＋2× ＝ . 1 2 3 4 高中总复习·数学 目 录 $