第7节指数函数课件-2027届高三数学一轮复习

第7节　指数函数 课标解读　1.了解指数函数的实际意义,理解指数函数的概念.2.能画出具体指数函数的图象,探索并理解指数函数的单调性与特殊点. 1.指数函数的概念 函数y=ax(a>0,且a≠1)叫做指数函数,其中指数x是自变量,定义域为R. 微点拨 形如y=kax,y=akx+b+h(a>0,且a≠1,k≠0)等的函数称为指数型函数,不是指数函数. 2.指数函数的图象与性质 y=ax 0<a<1 a>1 图象     定义域 R 值域 　　　  性质 过定点(0,1),即x=0时,y=1 当x>0时,0<y<1;当x<0时,y>1 当x>0时,y>1;当x<0时,0<y<1   　 在定义域R上是　　　　　  在定义域R上是　　　　　  比较幂值大小的重要依据 (0,+∞) 减函数 增函数 微点拨 1.画指数函数y=ax(a>0,且a≠1)的图象,应抓住三个关键点:(1,a),(0,1),(-1,). 2.底数a的大小决定了指数函数图象相对位置的高低,不论是a>1,还是0<a<1,在第一象限内底数越大,函数图象越高,即“底大图高”. 3.f(x)=ax与g(x)=a-x=()x(a>0,且a≠1)的图象关于y轴对称. 4.指数函数的图象以x轴为渐近线. [自主诊断] 1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”) (1)函数y=3×2x与y=2x+1都不是指数函数.(　　) (2)若函数f(x)是指数函数,且f(1)>1,则f(x)是增函数.(　　) (3)若am>an(a>0,且a≠1),则m>n.(　　) (4)函数f(x)=ax+3-2(a>0,且a≠1)的图象恒过定点(-3,-1).(　　) √ √ × 解析 当0<a<1时,m<n,所以错误. √ 2.(苏教必修一教材习题)设a>0,a≠1,如果函数f(x)=ax满足f(2)>f(3),那么a的取值范围是(　　) A.0<a<1 B.1<a≤2 C.2<a≤3 D.a>3 A 解析 因为函数f(x)=ax为单调函数,且f(2)>f(3),所以函数f(x)=ax为单调递减函数,所以0<a<1.故选A. 3.(人A必修一教材习题改编)已知a=0.750.1,b=1.012.7,c=1.013.5,则(　　) A.a>b>c　　　 B.a>c>b C.c>b>a D.c>a>b C 解析 因为函数y=1.01x在(-∞,+∞)上是增函数,且3.5>2.7, 故1.013.5>1.012.7>1>0.750.1,即c>b>a.故选C. 4.(人A必修一教材习题改编)已知2x-1<23-x,则x的取值范围是　　　　　.  (-∞,2) 解析 由指数函数的性质,得x-1<3-x,解得x<2,所以x的取值范围是(-∞,2). 5.(全国高考)函数y=ax(a>0,且a≠1)在区间[0,1]上的最大值与最小值的和为3,则a=　　　　　.  2 解析 由函数y=ax(a>0,且a≠1)的性质可知其在区间[0,1]上是单调函数, 即当x=0和x=1时,取得最值,所以a0+a1=3,即a=2. 考点一　指数函数的图象及其应用 例1　(1)(2025·福建福州模拟)函数f(x)=ax-b的图象如图所示,其中a,b为常数,则下列结论正确的是(　　) A.a>1,b<0 B.a>1,b>0 C.0<a<1,b>0 D.0<a<1,b<0 D 解析 由题图可知函数f(x)=ax-b单调递减,所以0<a<1,又0<f(0)<1, 所以0<a-b<1=a0,即-b>0,b<0.故选D. 考点一 考点二 (2)(多选题)(2025·山东滨州模拟)已知非零实数a,b满足等式,则下列结论不可能成立的是(　　) A.0<b<a B.a<b<0 C.0<a<b D.b<a<0 CD 考点一 考点二 解析 (方法一)在同一直角坐标系中作出函数y=与y=的图象如图所示, 设=m,当m>1时,结合图象可得a<b<0; 当m=1时,结合图象可得a=b=0; 当0<m<1时,结合图象可得a>b>0. 由此可知C,D选项不可能.故选CD. 考点一 考点二 (方法二)由题意,等式两边同时取对数,得aln=bln, 即aln 2=bln 3,当a=b=0时,显然成立; 当ab≠0时,得>1,所以a,b同号且|a|>|b|, 所以a<b<0或0<b<a,由此可知C,D选项不可能.故选CD. 考点一 考点二 规律方法　对于有关指数型函数的图象问题,一般是从最基本的指数函数的图象入手,通过平移、伸缩、对称变换得到.特别地,当指数函数的底数与1的大小关系不确定时应注意分类讨论. 考点一 考点二 [对点训练1](1)(多选题)若函数f(x)=ax+b(a>0,且a≠1,b∈R)的图象过第一、三、四象限,则(　　) A.0<a<1 B.a>1 C.-1<b<0 D.b<-1 BD 解析 函数f(x)=ax+b(a>0,且a≠1,b∈R)的图象过第一、三、四象限,根据图象的性质可得a>1,a0+b<0,即a>1,b<-1.故选BD. 考点一 考点二 (2)(2025·甘肃兰州模拟)已知函数f(x)=|2x-1|,关于x的方程f(x)=k有两个不相等的实数根,则实数k的取值范围是(　　) A.(1,+∞) B.[1,+∞) C.[0,1] D.(0,1) D 解析 作出函数f(x)=|2x-1|的大致图象,如图所示. 若关于x的方程f(x)=k有两个不相等的实数根, 则函数y=f(x)的图象与直线y=k有两个交点,由图知,k∈(0,1).故选D. 考点一 考点二 考点二　指数函数的性质及其应用 考向1　比较指数式的大小 例2　(1)已知a=()-0.3,b=1.10.7,c=(,则a,b,c的大小关系为(　　) A.c<b<a B.b<a<c C.c<a<b D.b<c<a C 解析 因为函数y=()x在R上单调递减,所以a=()-0.3=()0.3<()0=1,即a∈(0,1);c=(<()0=1,即c∈(0,1),又>0.3,则(<()0.3,即a>c.因为函数y=1.1x在R上单调递增,则b=1.10.7>1.10=1.综上,b>a>c,故选C. 考点一 考点二 (2)(2025·湖北襄阳模拟)下列关系中正确的是(　　) A. B. C. D. B 解析 因为,又y=在R上单调递减,-, 所以,即故选B. 考点一 考点二 规律方法　比较指数式大小的方法 考点一 考点二 [对点训练2]已知函数f(x)=ex,若a=f(40.99),b=f(21.99),c=f(ln 2),则a,b,c的大小关系为(　　) A.a<b<c B.a<c<b C.c<a<b D.c<b<a C 解析 因为函数f(x)=ex在R上单调递增,且21.99>21.98=40.99>20=1>ln 2,所以f(21.99)>f(40.99)>f(ln 2),即c<a<b.故选C. 考点一 考点二 考向2　指数型函数的值域问题 例3　(1)(2025·安徽合肥模拟)已知x∈,则函数f(x)=的值域是(　　) A. B. C.(0,3] D.[3,+∞) B 解析 令t=tan x,则f(x)=可化为g(t)=, 因为t=tan x当x时单调递增,所以当x时,t∈(-1,1),又g(t)=单调递减,且t∈(-1,1),所以g(t),即f(x)的值域是故选B. 考点一 考点二 (2)设x∈R,用[x]表示不超过x的最大整数,则y=[x]称为“高斯函数”,例如: [-2.5]=-3,[2.7]=2.已知函数f(x)=,则函数[f(x)]的值域是(　　) A.{-1,1} B.{-1,0} C.(-1,1) D.(-1,0) B 考点一 考点二 解析 (方法一)函数f(x)==1-,因为ex>0,所以1+ex>1,所以0<<1.因此-2<-<0,所以-1<1-<1,即-1<f(x)<1.当-1<f(x)<0时,[f(x)]=-1;当0≤f(x)<1时,[f(x)]=0,所以[f(x)]的值域为{-1,0}.故选B. (方法二)由f(x)=,得ex=,因为ex>0,所以>0,解得-1<f(x)<1. 当-1<f(x)<0时,[f(x)]=-1; 当0≤f(x)<1时,[f(x)]=0,因此[f(x)]的值域为{-1,0}.故选B. 考点一 考点二 [对点训练3](1)(2025·湖南三湘名校模拟)已知函数f(x)=3|ax-1|(a≠0),则f(x)的图象经过定点　　　　　;f(x)的值域为　　　　　.  (0,3) [1,+∞) 解析 令x=0,得f(0)=3|-1|=3,故f(x)的图象经过定点(0,3); 函数f(x)的定义域为R,所以函数y=|ax-1|的值域为[0,+∞), 因为y=3x在x∈[0,+∞)内单调递增,值域为[1,+∞), 所以函数f(x)的值域为[1,+∞). 考点一 考点二 (2)(2025·湖南株洲模拟)已知函数f(x)=m×3x+n的值域为(1,+∞),且f(0)=2,则m-n=　　　　　.  0 解析 由指数函数的性质可知3x>0,若m=0,则f(x)=n,为常数,不符合题意;若m<0,则f(x)=m×3x+n<n,不符合题意;若m>0,则f(x)=m×3x+n>n, 因为函数f(x)=m×3x+n的值域为(1,+∞),所以n=1,又f(0)=2,则m+n=2,解得m=1,n=1,所以m-n=0. 考点一 考点二 考向3　解简单的指数方程或不等式 例4　(1)不等式≤()x-2的解集为　　　　 　.  {x|-3≤x≤1} 解析 因为()x-2=(2-2)x-2=2-2x+4, 所以2-2x+4,即x2+1≤-2x+4, 即x2+2x-3≤0,解得-3≤x≤1, 故原不等式的解集为{x|-3≤x≤1}. 考点一 考点二 (2)已知函数f(x)=+a为奇函数,则方程f(x)=的解是x=　　　　　.  -1 解析 因为函数f(x)=+a为奇函数且定义域为R, 故f(0)=+a=0,解得a=-,经检验,当a=-时,f(x)为奇函数. 由f(x)=,得,解得x=-1. 规律方法　利用指数函数的性质解方程、不等式,最重要的是“同底”原则,利用单调性转化解决. 考点一 考点二 [对点训练4]若ax+1>(a>0,且a≠1),求x的取值范围. 解 因为ax+1>=a3x-5,所以当a>1时,由y=ax为增函数,可得x+1>3x-5,所以x<3. 当0<a<1时,由y=ax为减函数,可得x+1<3x-5,所以x>3. 综上,当a>1时,x的取值范围为(-∞,3),当0<a<1时,x的取值范围为(3,+∞). 考点一 考点二 $