第四节　指数函数课件-2027届高三数学一轮复习

第四节 第二章　函数与基本初等函数 指数函数 【目标要求】　1.了解指数函数的实际意义,理解指数函数的概念. 2.能用描点法或借助计算工具画出具体指数函数的图象,探索并理解指数函数的单调性与特殊点. 1.指数函数的概念 函数y=ax(a>0,且a≠1)叫做指数函数,其中指数x是自变量,定义域是R,a是底数. 2.指数函数的图象与性质   a>1 0<a<1 图象     定义域 R 值域 _____________ 性质 过定点_______,即x=0时,y=1 当x>0时,__________; 当x<0时,___________ 当x<0时,_________; 当x>0时,__________ 在(-∞,+∞)上是__________ 在(-∞,+∞)上是__________ (0,+∞) (0,1) y>1 0<y<1 y>1 0<y<1 增函数 减函数 1.指数函数图象的关键点(0,1),(1,a),. 2.底数对函数y=ax(a>0,且a≠1)的函数值的影响如图所示(a1>a2>a3>a4),不论是a>1,还是0<a<1,在第一象限内底数越大,函数图象越高. 3.指数函数y=ax(a>0,a≠1)的图象和性质与a的取值有关,要特别注意应分a>1与0<a<1来研究. 1.思考辨析(对的打“√”,错的打“×”) (1)y=2ax(a>0且a≠1)是指数函数.(　　) 指数函数解析式为y=ax(a>0且a≠1),y=2ax(a>0且a≠1)不符合指数函数解析式特征,不是指数函数,错误. 解析 (2)指数函数y=ax与y=(a>0,且a≠1)的图象关于y轴对称.(　　) (3)y=ax(a>0且a≠1)是单调函数.(　　) (4)函数y=ax+2(a>0,且a≠1)过定点(0,2).(　　) 恒过定点(0,3). 解析 2.下列各函数中,是指数函数的是(　　) A.y=x3 B.y=(-4)x C.y=5x+1 D.y=52x 根据指数函数的定义形如y=ax(a>0且a≠1)为指数函数判断:对于A:y=x3为幂函数,故A错误;对于B:y=(-4)x中-4不能作为底数,故B错 误;对于C:y=5x+1=5×5x中系数不为1,故C错误;对于D:y=52x=25x是指数函数,故D正确.故选D. 解析 3.(人A必一P120T9改编)函数f(x)=的图象大致为(　　) 解析 解析 5.已知函数f(x)=ax+1+3(a>0且a≠1)的图象一定过点P,则点P的坐标是_______. (-1,4) 当x+1=0,即x=-1时,f(x)=a0+3=4恒成立,所以函数f(x)=ax+1+3恒过点 (-1,4). 解析 【例1】　(1)已知函数y=ax(a>0,且a≠1)与函数y=(b>0,且b≠1)的图象如图所示,则(　　) A.a>b>1 B.a>1>b>0 C.b>1>a>0 D.b>a>1 考点一 指数函数的图象 由图得a>1,0<<1,所以b>1.因为函数y=(b>0,且b≠1)的图象与函数y=bx(b>0,且b≠1)的图象关于y轴对称,如图所示,由图可知:a1>b1,则a>b>1.故选A. 解析 (2)(2025·北京高考)为了得到函数y=9x的图象,只需把函数y=3x的图象上所有点的(　　) A.横坐标变为原来的倍,纵坐标不变 B.横坐标变为原来的2倍,纵坐标不变 C.纵坐标变为原来的倍,横坐标不变 D.纵坐标变为原来的3倍,横坐标不变 因为y=9x=32x,所以将函数y=3x的图象上所有点的横坐标变成原来的倍,纵坐标不变,即可得到函数y=9x的图象,故选A. 解析 (3)(多选题)若实数x1,x2,x3满足==,则下列不等关系可能成立的是(　　) A.x1<x2<x3 B.x2<x3<x1 C.x3<x2<x1 D.x3<x1<x2 如图,在同一平面直角坐标系中作出y=2x, y=3x,y=的图象,再作直线y=m,变换m的值发现,x1,x2,x3的大小关系可能为x3<x2<x1, x3=x2<x1,x2<x3<x1,x2<x3=x1,x2<x1<x3,x2=x1<x3,x1<x2<x3,故A,B,C正确,D错误.故选ABC. 解析 1.对于有关指数型函数的图象问题,一般是从最基本的指数函数的图象入手,通过平移、伸缩、对称变换得到.特别地,当底数a与1的大小关系不确定时应注意分类讨论. 2.有关指数方程、不等式问题的求解,往往利用相应的指数型函数图象,数形结合求解. 【训练】　(1)函数y=x+a与y=(a>1),它们的大致图象在同一直角坐标系中有可能是(　　) 对于A,C,由于函数y=x+a是增函数,图象应该呈上升趋势,所以A,C错误;对于D,因为a>1,所以直线在y轴上的截距大于1,故D错误.故选B. 解析 (2)(2026·青岛质检)(多选题)点M(x1,y1)在函数y=ex的图象上,当x1∈[0,1)时,的值可能等于(　　) A.-1 B.-2 C.-3 D.0 表示过点M(x1,y1)与点A(1,-1)的直线的斜率k.M(x1,y1)是y=ex在x∈[0,1)图象上的动点,如图, B(1,e),则k∈(-∞,-2],只有B,C满足. 解析 考向❶比较指数式的大小 【例2】　(1)已知0<a<1<b,则(　　) A.ba<ab<aa<bb B.ab<aa<ba<bb C.bb<ab<aa<ba D.ab<ba<aa<bb 考点二 指数函数的性质 解析 (2)若ea+πb≥e-b+π-a,下列结论一定成立的是(　　) A.a+b≤0 B.a-b≥0 C.a-b≤0 D.a+b≥0 因为ea+πb≥e-b+π-a,所以ea-π-a≥e-b-πb①,令f(x)=ex-π-x,则f(x)是R上的增函数,①即为f(a)≥f(-b),所以a≥-b,即a+b≥0.故选D. 解析 比较指数式大小的常用方法 单调 性法 不同底的指数式化同底后就可以应用指数函数的单调性比较大小,所以能够化同底的尽可能化同底 取中间 值法 不同底、不同指数的指数式比较大小时,先与中间值(特别是0,1)比较大小,然后得出大小关系 解析 解不等式问题应确定函数的奇偶性与单调性. 考向❸指数复合型函数的单调性 【例4】　(2023·新课标Ⅰ卷)设函数f(x)=2x(x-a)在区间(0,1)上单调递减,则a的取值范围是(　　) A.(-∞,-2] B.[-2,0) C.(0,2] D.[2,+∞) 解析 对于指数型复合函数的问题,关键是判断其单调性.对于形如y=af(x)的函数的单调性,它的单调区间与f(x)的单调区间有关:若a>1,则函数f(x)的单调递增(减)区间即函数y=af(x)的单调递增(减)区间;若0<a<1,则函数f(x)的单调递增(减)区间即函数y=af(x)的单调递减(增)区间. 【题组对点练】 题号 1 2 3 考向 ❶ ❷ ❸ (1)(2024·天津高考)若a=4.2-0.3,b=4.20.3,c=log4.20.2,则a,b,c的大小关系为(　　) A.a>b>c B.b>a>c C.c>a>b D.b>c>a 由函数y=4.2x单调递增可知,0<a<1<b,又c=log4.20.2<0,故b>a>c,故 选B. 解析 (2)已知函数f(x)=2 02(a≠0)的图象关于直线x=2对称,且函数f(x)的最小值为1,则不等式f(x)≥2 026的解集为(　　) A.{x|0<x≤4} B.{x|x≥4或x<0} C.{x|0≤x≤4} D.{x|x≥4或x≤0} 因为函数f(x)=2 02(a≠0)的图象关于直线x=2对称,所以y=ax2+bx+1关于直线x=2对称,即-=2,即b=-4a,所以f(x)=2 02-4ax+1=2 02+1-4a.又因为函数f(x)有最小值为1,所以a>0且f(2)=1,即2 02=1,所以1-4a=0,即a=,所以f(x)=2 02.所以不等式f(x)≥2 026,即2 02≥2 026,即(x-2)2≥1,解得x≥4或x≤0.故选D. 解析 36 (3)(多选题)已知函数f(x)=,则下列结论正确的是(　　) A.f(x)的图象关于坐标原点对称 B.f(x)的图象关于y轴对称 C.f(x)的最大值为1 D.f(x)在定义域上单调递减 解析 作出函数y==的图象,如图 所示,将y=的图象向左平移1个单位得 到f(x)=图象.故选B. 4.已知函数f(x)=则不等式f(x)≤3的解集是(　　) A.[3,8] B.(-∞,3]∪[8,+∞) C.[-3,8] D.(-∞,-3]∪[8,+∞) 因为函数f(x)=则由不等式f(x)≤3可得所以-3≤x≤0或0<x≤8.即得-3≤x≤8.故选C. 因为0<a<1<b,函数y=ax(0<a<1)是减函数,所以0<ab<aa<1,同理,函数y=bx(b>1)是增函数,所以1<ba<bb.综上,可得ab<aa<ba<bb.故选B. 考向❷解简单的指数不等式 【例3】　设函数f(x)=2|x+1|-|x-1|,则使f(x)≥2的x的取值范围是(　　) A. B.(1,+∞) C. D. f(x)=2|x+1|-|x-1|≥2=,又函数y=2x为增函数,所以|x+1|-|x-1|≥,当x<-1时,|x+1|-|x-1|=-(x+1)+(x-1)=-2≥无解,当-1≤x≤1时,|x+1|-|x-1|=(x+1)+(x-1)=2x≥⇒x≥,所以≤x≤1,当x>1时,|x+1|-|x-1|=(x+1)-(x-1)=2≥恒成立,所以x>1,综上,x的取值范围是.故选D. 函数y=2x在R上单调递增,而函数f(x)=2x(x-a)在区间(0,1)上单调递减,则有函数y=x(x-a)=-在区间(0,1)上单调递减,因此≥1,解得a≥2,所以a的取值范围是[2,+∞).故选D. 因为f(-x)===-f(x),所以f(x)为奇函数,图象关于坐标原点对称,故A正确;因为f(1)==-,f(-1)==,f(1)≠f(-1),所以f(x)不是偶函数,图象不关于y轴对称,故B不正确;因为f(x)=-=-1+,又3x>0,所以3x+1>1,所以0<<2,所以f(x)∈(-1,1),故C不正确;因为f(x)=-= -1+,且y=3x为增函数,所以f(x)在定义域(-∞,+∞)上单调递减,故D正确.故选AD. $