指数运算与对数运算课件-2027届高三数学一轮复习

　指数运算与对数运算 1.指数及指数运算 根式 定义 如果xn=a,那么x叫作a的n次方根(其中n>1,n∈N*),记为,n称为根指数,a称为根底数 性质 当n为奇数时,正数的n次方根是一个正数,负数的n次方根是一个负数 当n为偶数时,正数的n次方根有两个,它们互为相反数 指数幂 指数 定义 指数是幂运算an(a≠0)中的一个参数,a为底数,n为指数,指数位于底数的右上角 分数指 数幂 正分数指数幂:给定正数a和正整数m,n(n>1,且m,n互素),若存在唯一的正数b,使得bn=am,则称b为a的次幂,记作b= 负分数指数幂:给定正数a和正整数m,n(n>1,且m,n互素),定义 0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义 指数幂 的运算 性质 aαaβ=aα+β(a>0,α,β∈Q) (aα)β=aαβ(a>0,α,β∈Q) (ab)α=aαbα(a>0,b>0,α∈Q) 微思考 等式()n=a以及=a一定成立吗? 提示 等式()n=a在有意义的前提下是一定成立的;但=a不一定成立,事实上有 2.对数及对数运算 概念 一般地,如果a(a>0,且a≠1)的b次幂等于N,即ab=N,那么数　　称为以a为底N的对数,记作　　　=b,其中a叫作对数的　　　,N叫作　　　  性质 底数的限制a>0,且a≠1 对数式与指数式的互化:ax=N⇔　　　　  负数和零没有对数 1的对数是　　　:loga1=　　　  底数的对数是　　　:logaa=　　　  常用对数:lg N=log10N 自然对数ln N=logeN(e=2.718 28…) 对数恒等式:=　　  b logaN 底数 真数 x=logaN　 0 0 1 1 N 运算性质 loga(M·N)=　　　　　  a>0,且a≠1,M>0,N>0 loga=　　　　　　　  logaMn=　　　　(n∈R)  换底公式 logab=(a>0,且a≠1;c>0,且c≠1;b>0) logaM+logaN logaM-logaN 　nlogaM [自主诊断] 1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”) (1)lg 2+lg 5=1.(　　) (2)(-3.(　　) (3)若MN>0,则loga(MN)=logaM+logaN(a>0,a≠1).(　　) (4)log2a2=2log2|a|.(　　) √ × 解析 因为(-3<0,>0,所以两者不相等. × 解析 当M<0,N<0时结论不成立. √ 2.(多选题)(人A必修一教材习题改编)设a>0,m,n是正整数,且n>1,则下列各式正确的是(　　) A.=a B.()4=a C.a0=1 D. BCD 3.(2022·天津,6)化简(2log43+log83)(log32+log92)=(　　) A.1　　　　　B. C.2 D. C 解析 原式=(2log23+log23)·(log32+log32)=log23log32=2.故选C. 4.(人A必修一教材习题改编)已知10m=2,10n=3,则1=　 .  解析 1=[(10m)3÷(10n)2=(23÷32 5.(人A必修一教材习题改编)已知=3,则a+a-1=　　　　　, a2+a-2=　　　　　.  7 47 解析 由=3,得()2=9,所以a+a-1+2=9,所以a+a-1=7,所以(a+a-1)2=49,即a2+a-2+2=49,所以a2+a-2=47. 常用结论 1.换底公式的变形:logab=,logab·logbc·logcd=logad, lobn=logab(a,b,c,am均大于0且不等于1,n∈R). 2.对数值的符号规律:logab>0⇔(a-1)(b-1)>0,logab<0⇔(a-1)(b-1)<0,其中a>0,a≠1,b>0. 考点一　指数幂的运算 例1　计算: (1)+(-6)0+; (2)(a>0,b>0); 解 原式=+1+-2=+1+-2=2+ 解 原式==a+1. 考点一 考点二 考点三 (3)若10m=4,10n=5,求1的值; (4)已知=1(a>0),求的值. 解由10m=4,10n=5,得1 解 对=1两边平方,可得()2=12,即a-2+a-1=1,所以a+a-1=3. 对a+a-1=3两边平方,可得(a+a-1)2=32,即a2+2+a-2=9,所以a2+a-2=7. 将a+a-1=3,a2+a-2=7代入,可得原式= 考点一 考点二 考点三 规律方法　1.指数幂的运算首先将根式、分数的分数指数幂统一为整数的分数指数幂,以便利用法则计算,还应注意: (1)必须同底数幂相乘,指数才能相加. (2)运算的先后顺序. 2.运算结果不能同时含有根号和分数指数,也不能既有分母又含有负指数. 考点一 考点二 考点三 [对点训练1](1)(2025·北京海淀模拟)若3m=5,3n=6,则下列式子值为的 是(　　) A. B.325m-6n C.33m-2n D. C 解析 因为3m=5,3n=6,所以125=53=(3m)3=33m,36=62=(3n)2=32n, 所以=33m-2n.故选C. 考点一 考点二 考点三 (2)(多选题)下列计算正确的是(　　) A. B.()(-3)÷()=-9a(a>0,b>0) C. D.已知x2+x-2=2(x≠0),则x+x-1=2 BC 考点一 考点二 考点三 解析 对于A,,所以A错误; 对于B,()(-3)÷=-9= -9a(a>0,b>0),所以B正确; 对于C,,所以C正确; 对于D,因为(x+x-1)2=x2+2+x-2=4,所以x+x-1=±2,所以D错误.故选BC. 考点一 考点二 考点三 考点二　对数运算 例2　(1)(多选题)(2025·浙江湖州模拟)已知a=log25,b=log3,则(　　) A.ab>0 B.4a·9b=1 C.>1 D.log612= BCD 考点一 考点二 考点三 解析 因为a=log25>log21=0,b=log3<log31=0,所以ab<0,故A错误; 由a=log25,b=log3,得2a=5,3b=,则4a·9b=(2a)2·(3b)2=52=1,故B正确; 因为=log52-lo3=log52+log53=log56>1,故C正确; 因为=log612,故D正确.故选BCD. 考点一 考点二 考点三 (2)(2024·全国甲,理15)已知a>1且=-,则a=　　　　　.  64 解析 由题意,得log2a=-,整理得(log2a)2-5log2a-6=0,则log2a=-1或log2a=6,又a>1,所以log2a=6,故a=26=64. 考点一 考点二 考点三 (3)(原创题)已知log32=m,9n=5,则用m和n表示log215的结果为　　　　　.  解析 由log32=m,得=m,则log23= 由9n=5,得32n=5,则log232n=log25,即log25=2nlog23=所以log215=log23+log25= 考点一 考点二 考点三 规律方法　对数式化简与计算的一般思路 (1)合:逆用对数的运算性质,将同底数的对数的和、差、倍数运算,转化为同底数的对数真数的积、商、幂的运算. (2)拆:运用对数的运算性质,将真数是积、商、幂的对数转化为同底数的对数的和、差、倍数运算. (3)对数的底数不相同时,可通过换底公式转化为底数相同的对数再进行化简计算. 考点一 考点二 考点三 [对点训练2](1)(2025·海南海口模拟)若a=log36,6b=18,则ab-log32=(　　) A.1 B.-1 C.2 D.-2 C 解析 由6b=18,得b=log618,又a=log36, 所以ab-log32=log36·log618-log32=log36·(log66+log63)-log32=log36-log32+1 =log33+1=2.故选C. 考点一 考点二 考点三 (2)求下列各式的值: ①lg 52+lg 2×lg 50+(lg 2)2; ②log2+log212-log242; ③. 考点一 考点二 考点三 解 ①原式=2lg 5+lg 2×(lg 5+lg 10)+(lg 2)2=2lg 5+lg 2×lg 5+lg 2+(lg 2)2 =2lg 5+lg 2×(lg 5+lg 2)+lg 2=2lg 5+lg 2+lg 2=2(lg 5+lg 2)=2. ②原式=log2+log212-log2=log2(12)=log2=- ③原式的分子=lg 5(3+3lg 2)+3(lg 2)2=3lg 5+3lg 2(lg 5+lg 2)=3lg 5+3lg 2 =3(lg 5+lg 2)=3,原式的分母=(lg 6+2)-lg=lg 6+2-lg =lg 6+2-lg 6+2=4,故原式= 考点一 考点二 考点三 考点三　指数与对数运算的实际应用 例3　(1)(2025·辽宁朝阳模拟)著名数学家、物理学家牛顿曾提出:物体在空气中冷却,如果物体的初始温度为θ1 ℃,空气温度为θ0 ℃,则t分钟后物体的温度θ(单位:℃)满足:θ=θ0+(θ1-θ0)e-kt.若当空气温度为20 ℃时,某物体的温度从80 ℃下降到50 ℃用时18分钟,则再经过36分钟后,该物体的温度 为(　　) A.22.5 ℃ B.25 ℃ C.27.5 ℃ D.30 ℃ C 解析 由题知θ0=20,θ1=80,θ=50,所以50=20+(80-20)e-18k,可得e-18k=,再经过36分钟后,该物体的温度为θ=20+(80-20)e-54k=20+(80-20)(e-18k)3=27.5,即该物体的温度为27.5 ℃.故选C. 考点一 考点二 考点三 (2)(多选题)(2023·新高考Ⅰ,10)噪声污染问题越来越受到重视.用声压级来度量声音的强弱,定义声压级Lp=20×lg,其中常数p0(p0>0)是听觉下限阈值,p是实际声压.下表为不同声源的声压级: 声源 与声源的距离/m 声压级/dB 燃油汽车 10 60~90 混合动力汽车 10 50~60 电动汽车 10 40 已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车10 m处测得实际声压分别为p1,p2,p3,则(　　) A.p1≥p2 B.p2>10p3 C.p3=100p0 D.p1≤100p2 ACD 考点一 考点二 考点三 解析 由题意可知,燃油汽车=20×lg[60,90], 所以[60,90],① 同理,[50,60],② =102=100.③ 对于A选项,由表知,所以A正确;对于B选项,由②÷③,得[,10],所以10,所以p2≤10p3,所以B错误;对于C选项,由③,得=100,故p3=100p0,所以C正确;对于D选项,由①÷②,得[1,102],所以[1,100].所以p1≤100p2.所以D正确. 故选ACD. 考点一 考点二 考点三 教考衔接 (人A必修一教材习题)声强级L1(单位:dB)由公式L1=10lg给出,其中I为声强(单位:W/m2). (1)一般正常人听觉能忍受的最高声强为1 W/m2,能听到的最低声强为 10-12W/m2.求人听觉的声强级范围. (2)平时常人交谈时的声强约为10-6 W/m2,求其声强级. 考点一 考点二 考点三 解 (1)∵L1=10lg, ∴令I=1得,L1=10lg(1012)=120, 令I=10-12得,L1=10lg 1=0,∴人听觉的声强级范围为[0,120](单位:dB). (2)∵L1=10lg, 令I=10-6得,L1=10lg(106)=60, ∴其声强级为60 dB. 考点一 考点二 考点三 规律方法　指数与对数运算实际应用的解题策略 (1)理解题意、弄清题目条件与所求之间的关系; (2)理解问题中各量的含义及其关系式中各字母的含义,明确已知和未知; (3)根据已知条件代入求解,如果所求变量在幂的指数位置上,则要借助对数进行求解. 考点一 考点二 考点三 [对点训练3](2025·北京,9)在一定条件下,某人工智能大语言模型训练N个单位的数据量所需要时间T=klog2N(单位:小时),其中k为常数.在此条件下,已知训练数据量N从106个单位增加到1.024×109个单位时,训练时间增加20小时;当训练数据量N从1.024×109个单位增加到4.096×109个单位时,训练时间增加(单位:小时)(　　) A.2 B.4 C.20 D.40 B 解析 由题意,得klog2(1.024×109)-klog2106=20,即klog2=20,∴klog21 024=20,∴10k=20,解得k=2,即T=2log2N. ∴2log2(4.096×109)-2log2(1.024×109)=2log24=4.故选B. 考点一 考点二 考点三 $