微专题03 一次函数的实际应用问题（专项训练）数学新教材人教版八年级下册

微专题03 一次函数的实际应用问题 题型一 利用一次函数解决行程问题 本题考查了行程问题的数量关系的运用，待定系数法求一次函数的解析式的运用，一次函数与一元一次方程的运用，解答时求出函数的解析式是关键． 1．（2026·陕西西安·模拟预测）A，B两地相距360千米，甲、乙两车分别从A地出发前往B地，甲车出发半小时后乙车才出发．甲、乙两车所行驶的路程y（千米）与时间x（小时）之间的关系如图所示． (1)求所在直线的函数表达式； (2)求乙车到达B地的时候，甲车距离B地还有多远? 【答案】(1) (2)乙车到达B地的时候，甲车距离B地还有千米 【分析】（1）先由图求出甲车的速度，进而可求点坐标，设所在直线的函数表达式为，将，代入求解； （2）将代入，求出对应的x值，再根据甲车的速度即可求解． 【详解】（1）解：甲车的速度为：（千米/小时）， 当行驶的路程千米时，时间小时， ∴， 设所在直线的函数表达式为，将，代入得： ， 解得， ∴所在直线的函数表达式为； （2）解：将代入得， ， 解得， ∴（千米）， （千米）， 答：乙车到达B地的时候，甲车距离B地还有千米． 2．（25-26八年级下·辽宁大连·期中）甲、乙二人分别沿同一条道路从学校出发，前往体育场锻炼，甲步行，乙骑自行车．乙到达体育场停留一段时间后，原路原速返回学校．两人距学校的距离y（单位：）与甲的出发时间x（单位：）之间的函数关系如图所示． (1)乙在体育场停留了________； (2)当乙从体育场返回与甲相遇时，甲出发了多少？ 【答案】(1) (2)甲出发了 【分析】（1）根据函数图象可得乙往返时间为分钟，进而求得停留时间； （2）分别求得甲乙的函数关系式，令，解方程，即可求解． 【详解】（1）解： 根据函数图象可得乙往返时间为分钟， 乙在体育场停留了分钟 （2）设，代入，得，， ∴， 设，由题意得，代入，， ， 解得， ． 令，解得． ∴当乙从体育场返回与甲相遇时，甲出发了． 3．（25-26八年级下·海南海口·期中）如图所示为某汽车行驶的路程（千米）与时间（小时）的函数关系图，观察图中所提供的信息解答下列问题： (1)汽车在前小时内的平均速度是_____； (2)汽车中途停了_____小时； (3)当时，求与的函数关系式． 【答案】(1)千米/小时 (2) (3) 【分析】（1）结合函数图象得出汽车在前小时内的路程，进而求出平均速度； （2）结合函数图象即可得到答案； （3）使用待定系数法求函数关系式即可． 【详解】（1）解：（千米/小时）， ∴汽车在前小时内的平均速度为千米/小时； （2）解：由图可知，中途停了（小时）； （3）解：设， 将点，代入，得， ， 解得， ∴． 4．（2026·天津西青·一模）一列快车和一列慢车同时从甲地出发，匀速驶向乙地，快车到达乙地后停留小时，沿原路以原速返回甲地．已知慢车的速度为，快车到甲地的距离（单位：）与行驶时间（单位：）的函数图象（折线）如下图所示． (1)填空：图中的值是______，甲乙两地相距______，快车的速度为______，出发______快车返回甲地； (2)直接写出折线（包括端点）对应的函数解析式； (3)在慢车从甲地到乙地行驶的过程中，对于同一个的值，快车到甲地的距离为，慢车到甲地的距离为，当时，求的取值范围（直接写出结果即可）． 【答案】(1)，，， (2) (3) 【分析】（）根据函数图象解答即可求解； （）根据函数图象分段解答即可求解； （）求出快车从乙地返回甲地与慢车相遇的时间，进而即可求解； 【详解】（1）解：∵快车到达乙地后停留小时， ∴， 由函数图象可知，甲乙两地相距， ∵快车个小时从甲地到达乙地， ∴快车的速度为 ， ∵快车沿原路以原速返回甲地， ∴出发 快车返回甲地； （2）解：当时，； 当时，； 当时， ； 综上，； （3）解：由题意可得， 当时，可知快车从乙地返回甲地与慢车相遇， ∴ ， 解得， ∴当时，的取值范围为． 5．（25-26八年级下·吉林长春·期中）一列城际快车从甲地出发匀速开往乙地，一列货运慢车从乙地出发匀速开往甲地．如图是快、慢两车离乙地的路程与快车出发开始计时的时间之间的函数图象．根据图象回答下列问题： (1)甲、乙两地之间的距离为___________km； (2)当时， ①求慢车离乙地的路程与之间的函数关系式； ②当___________（h）时，两车相遇； (3)直接写出在慢车行驶过程中，两车相距时，的值． 【答案】(1)600 (2)①；② (3)或 【分析】（1）由图象获取信息； （2）①利用待定系数法求解析式；②求出快车的解析式，联立解析式求解； （3）根据两点之间的距离列出含绝对值的方程求解． 【详解】（1）解：由图象可知，当时，快车离乙地的距离为， 所以甲、乙两地之间的距离为； （2）①设慢车离乙地的路程y与x之间的函数关系式为， 将代入解析式得：， 解得：， ； ②设快车离乙地的路程与x之间的函数关系式为， 将代入解析式得：， 解得：， ， 当时，两车相遇， ，解得：， 当时，两车相遇； （3）根据题意得：， 解得：或． 题型二 利用一次函数解决销售问题 本题考查了销售问题的数量关系的运用，待定系数法求一次函数的解析式的运用，一次函数与一元一次方程的运用，解答时求出函数的解析式是关键． 1．（2026·山东济南·二模）某校开展阳光体育大课间活动，需购买一批球类用品．在采购中发现，篮球的单价比足球的单价高20元，用10000元购买篮球的数量和用8000元购买足球的数量相同． (1)求篮球和足球的单价； (2)学校需购买篮球和足球共120个（两种球都要购买），足球的数量不能多于篮球数量的，购买多少个篮球时采购费用最少？最少采购费用是多少元？ 【答案】(1)篮球的单价为100元，足球的单价为80元 (2)当购买篮球72个，足球48个时，总费用最低，为11040元 【详解】（1）解：设篮球的单价为x元，则足球的单价为元， 由题意得，， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∴， 答：篮球的单价为100元，足球的单价为80元； （2）解：设购买篮球a个，总费用为y元， 由题意得，， ∵足球的数量不能多于篮球数量的， ∴， ∴， ∵两种球都要购买， ∴，且a为整数， ∵，， ∴y随a增大而增大， ∴当时，y有最小值， 此时，元， 答：当购买篮球72个，足球48个时，总费用最低，为11040元． 2．（25-26八年级下·山东济南·期中） 市场调查 调查背景 济阳区九曲黄河万里情文旅街区是全国唯一的黄河主题夜经济街区，成为济阳区新晋网红打卡地．景区内包括沿黄九省非遗美食与文创商铺，集夜游、亲子游乐、民俗体验、美食购物于一体． 市场调查 其中某商铺销售奶茶和果汁，已知卖出3杯奶茶和2杯果汁共收入68元，卖出2杯奶茶和5杯果汁共收入82元． 经营需求 该商铺计划销售奶茶和果汁共50杯，且奶茶的数量不超过果汁的2倍． 问题解决： (1)任务1：请你计算奶茶和果汁的单价． (2)任务2：请问销售多少杯奶茶才能使总收入最高？并求出最高收入． 【答案】(1)奶茶的单价为16元/杯，果汁的单价为10元/杯 (2)销售33杯奶茶才能使总收入最高，最高收入698元 【分析】（1）设奶茶和果汁的单价，根据“市场调查”的结果列出二元一次方程组，解方程组即可； （2）根据“经营需求”列不等式，确定奶茶数量的取值范围，再根据“总收入奶茶的收入果汁的收入”列一次函数关系式，然后根据一次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：设奶茶的单价为元/杯，果汁的单价为元/杯， 根据题意得，，解得； 答：奶茶的单价为16元/杯，果汁的单价为10元/杯； （2）解：设销售奶茶杯，总收入为元， 该商铺计划销售奶茶和果汁共50杯，且奶茶的数量不超过果汁的2倍， ，解得， 由题意得：， ， 随的增大而增大， ，为整数， 的最大整数解为33， 当时，有最大值，（元）． 答：销售33杯奶茶才能使总收入最高，最高收入698元． 3．（25-26八年级下·河北保定·期中）某快递企业为提高工作效率，拟购买A，B两种型号的智能机器人进行快递分拣．已知A型号智能机器人每台比B型号智能机器人贵10万元，若同时购买6台A型号智能机器人和6台B型号智能机器人，所需费用为660万元． (1)求A，B两种型号智能机器人的单价； (2)通过测试发现A型号智能机器人每台每周可分拣快递21万件，B型号智能机器人每台每周可分拣快递16万件，现该企业准备用不超过560万元购买A，B两种型号智能机器人共10台，则该企业选择哪种购买方案，能使每周分拣快递的件数最多？ 【答案】(1)A型号智能机器人的单价为万元，B型号智能机器人的单价为万元. (2)购进台A型号智能机器人，台B型号智能机器人时，每周分拣快递的件数最多. 【分析】（1）根据A、B型号机器人的价格差和购买总费用的条件列方程，求解得到两种型号机器人的单价； （2）设A型号机器人的购买数量，根据总费用不超过预算列出不等式，得到购买数量的取值范围，再建立总分拣件数关于购买数量的一次函数，利用一次函数的单调性求解得到分拣件数最多的方案． 【详解】（1）解：设型号智能机器人的单价为万元，则型号智能机器人的单价为万元. 根据题意得： ， 解得， ∴， 答: 型号智能机器人的单价为万元，型号智能机器人的单价为万元； （2）解：设购进台型号智能机器人，则购进台型号智能机器人. 根据总费用不超过万元得： ， 整理得， 解得； 设每周分拣快递总件数为万件，则：， 化简得， ∵， ∴随的增大而增大， ∴当取最大值6时，取得最大值，此时． 答：购进6台型号智能机器人，4台型号智能机器人时，每周分拣快递的件数最多 4．（2026·湖南·二模）2025年首届“湘超联赛”火爆出圈，其官方文创同样点燃了球迷热情．其中，以吉祥物“湘湘”（省鸟红嘴相思鸟）和“超超”（杂交水稻少年）为原型设计的钥匙扣挂件，凭借浓郁的“湘”味设计和萌趣造型，迅速成为年度人气周边，线上线下屡屡售罄，堪称湖南人看球的“氛围感神器”．某生产厂家看准商机，生产“湘湘”、“超超”两款挂饰，已知“湘湘”挂饰的批发单价比“超超”挂饰的批发单价高2元．若花800元批发购买“湘湘”挂饰的数量与花600元批发购买“超超”挂饰的数量相同． (1)求“湘湘”、“超超”两款挂饰的批发单价分别是多少元？ (2)某文具店从该厂家处批发购进了“湘湘”、“超超”两款挂饰共60个，“湘湘”挂饰的数量不超过“超超”挂饰数量的一半，“超超”挂饰售价为10元/个，“湘湘”挂饰的售价比“超超”挂饰的售价高30%．若购进的这两种挂饰全部售出，且要使得所获利润最多，则该店购进“湘湘”挂饰多少个？最大利润是多少？ 【答案】(1)“湘湘”挂饰的批发单价为8元，“超超”挂饰的批发单价为6元 (2)该店购进“湘湘”挂饰20个，最大利润是260元 【分析】（1）设“超超”挂饰的批发单价为元，则“湘湘”挂饰的批发单价为元，根据花800元批发购买“湘湘”挂饰的数量与花600元批发购买“超超”挂饰的数量相同，列分式方程求解； （2）根据题意列出一次函数，并确定自变量的取值范围，根据一次函数增减性确定最值． 【详解】（1）解：设“超超”挂饰的批发单价为元，则“湘湘”挂饰的批发单价为元， 根据题意得， 解得， 经检验，是所列方程的解，且符合题意， ． 答：“湘湘”挂饰的批发单价为8元，“超超”挂饰的批发单价为6元． （2）解：设该店购进“湘湘”挂饰个，则购买“超超”挂饰个， 由题意得， 解得， 设销售这两种挂饰的总利润为元， 由题意得 ， ， 随的增大而增大． 当时，有最大值，最大值． 答：该店购进“湘湘”挂饰20个，最大利润是260元． 【点睛】本题考查分式方程与实际问题、一次函数最值、不等式求自变量范围，解题关键是分式方程要检验并符合实际意义以及一次函数增减性定最值． 5．（25-26八年级下·四川内江·期中）某校开设智能机器人编程的校本课程，购买了A，B两种型号的机器人模型．A型机器人模型单价比B型机器人模型单价多200元，用2000元购买A型机器人模型和用1200元购买B型机器人模型的数量相同． (1)求A型，B型机器人模型的单价分别是多少元？ (2)学校准备再次购买A型和B型机器人模型共40台，购买B型机器人模型不超过A型机器人模型的3倍，且商家给出了两种型号机器人模型均打八折的优惠．设购买两种机器人的总花费为，购买A型机器人的数量为台，求与的函数关系，并写出的取值范围 (3)在（2）的条件下问购买A型和B型机器人模型各多少台时花费最少？最少花费是多少元？ 【答案】(1)500元，300元 (2) (3)购买A型机器人10台，B型机器人30台时花费最少，最少花费是11200元 【分析】（1）先设A型机器人模型单价是x元，B型机器人模型单价为，再根据购买两种机器人的数量相等列出分式方程，求出解并检验； （2）设购买A型机器人模型m台，购买B型机器人模型台，购买A型和B型机器人模型共花费w元，再列出不等式，并求出解集，然后根据购买两种机器人的费用和等于W得出一次函数； （3）根据一次函数的性质讨论得出最小值即可． 【详解】（1）解：设A型机器人模型单价是x元，B型机器人模型单价为元，根据题意，得 ， 解得， 经检验，是原方程的解， ， 所以A型机器人模型的单价为500元，B型机器人模型的单价为300元； （2）解：设购买A型机器人模型m台，购买B型机器人模型台，购买A型和B型机器人模型共花费W元，根据题意，得 ，且， 解得， ∴ ，其中； （3）解： ， ∵，且， ∴W随着m的增大而增大， ∴当时，W取最小值，此时， 所以购买A型机器人模型10台，购买B型机器人模型30台时花费最少，最少花费11200元． 题型三 利用一次函数解决工程问题 本题考查了工程问题的数量关系的运用，待定系数法求一次函数的解析式的运用，一次函数与一元一次方程的运用，解答时求出函数的解析式是关键． 1．（25-26八年级下·全国·课后作业）某工程队承担了一项修路任务，任务进行一段时间后，工程队提高了工作效率．该工程队修路的长度y（单位：m）与修路时间t（单位：天）之间的函数关系如图所示．求该工程队提高效率前每天修路的长度． 【答案】该工程队提高效率前每天修路的长度为75m 【分析】本题主要考查了求一次函数，熟练掌握待定系数法是解题的关键． 先求出工程队提高了工作效率后修路的长度与修路时间之间的函数关系式，进而求得修路时间为天时的修路长度，从而即可得解． 【详解】解：设工程队提高了工作效率后修路的长度y与修路时间t之间的函数关系式为（，）， 把点和代入关系式， 得解得 ∴工程队提高了工作效率后修路的长度与修路时间之间的函数关系式为． 当时，， ， ∴该工程队提高效率前每天修路的长度为． 2．（2026·河南濮阳·一模）为响应国家“绿色发展”号召，推进黄河流域生态保护与高质量发展，我市计划对某段河道进行综合治理．现拟由甲、乙两个工程队共同完成该项目的污水处理任务．经测算，该段河道需要处理的污水是600立方米，甲队每天能处理的污水量是乙队的倍，且甲队单独完成这项任务比乙队单独完成少用10天． (1)求甲、乙两队每天分别能处理污水多少立方米？ (2)已知甲队施工的费用为1000元/天，乙队施工的费用为700元/天，现要求两队合作完成该任务，且甲队的施工天数不得高于乙队的施工天数．请设计一种施工方案，使得总费用最低，并求出最低总费用． 【答案】(1)甲队每天能处理污水30立方米，乙队每天能处理污水20立方米 (2)当甲队施工12天，乙队施工12天时总费用最低，最低总费用为20400元． 【分析】（1）设乙队每天能处理污水立方米，则甲队每天能处理污水立方米，根据甲队单独完成这项任务比乙队单独完成少用10天建立方程求解即可； （2）设甲队施工a天，总费用为W元，列出W关于a的函数关系式，再求出a的取值范围，最后根据一次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：设乙队每天能处理污水立方米，则甲队每天能处理污水立方米， 由题意得，， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∴， 答：甲队每天能处理污水30立方米，乙队每天能处理污水20立方米； （2）解：设甲队施工a天，总费用为W元， 由题意得， ， ∵甲队的施工天数不得高于乙队的施工天数， ∴， ∴， ∵， ∴W随a的增大而减小， ∴当时，W有最小值，最小值为， 此时， 答：当甲队施工12天，乙队施工12天时总费用最低，最低总费用为20400元． 3．（24-25九年级下·吉林长春·期中）一个有进水管与出水管的容器，从某时刻开始内只进水不出水，在随后的内既进水又出水，每分的进水量和出水量是两个常数，容器内的水量（单位：L）与时间（单位：）之间的关系如图所示 (1)进水速度为_____________，出水速度为_____________． (2)求时，与的函数关系式． (3)若水量在某一段时间内刚好用6分钟上升了，直接写出这段时间开始时的值． 【答案】(1) (2) (3)3 【分析】本题考查了一次函数的实际应用，正确理解图象，求出函数解析式是解题的关键． （1）由函数图象可得前5分钟只进水，5-15分钟既进水又出水，则前5分钟的水量除以时间即为进水速度，用进水速度减去5-15分钟既进水又出水时净速度即为出水速度，即可求解； （2）运用待定系数法求解； （3）分两种情况讨论，当时，由题意得：，解方程即可；当时，，故不可能进水． 【详解】（1）解：由题意得，进水速度为，出水速度为：， 故答案为：； （2）解：设与的函数关系式为， 由图象可得： 解得：， ∴解析式为：； （3）解：当时， 由题意得：， 解得：； 当时，，故不可能进水， ∴． 4．一个有进水管与出水管的容器，从某时刻开始4分钟内只进水不出水，在随后的8分钟内既进水又出水，12分钟后关闭进水管，放空容器中的水，每分钟的进水量和出水量是两个常数．容器内水量（单位：）与时间（单位：）之间的关系如图所示． 请根据相关信息，解答下列问题： （Ⅰ）填表： 时间/min 2 3 4 12 容器内水量/L 10 20 （Ⅱ）填空： ①每分钟进水______升，每分钟出水______升； ②容器中储水量不低于15升的时长是______分钟； （Ⅲ）当时，请直接写出关于的函数解析式． 【答案】（Ⅰ）填表见解析；（Ⅱ）①5；②13；（Ⅲ）． 【分析】（Ⅰ）根据图象可得出表格； （Ⅱ）①根据图象可知4分钟进水20升，即可得出每分钟进水5升，即可得出结论；②用待定系数法分别求出两段对应的函数关系式，求出容器中储水量等于15升时的时间，即可求解； （Ⅲ）当时，函数解析式为正比例函数，当时，设函数解析式为，分别进行求解即可． 【详解】（Ⅰ）根据图象得： 时间/min 2 3 4 12 容器内水量/L 10 15 20 30 （Ⅱ）①根据题意，每分钟进水(升)， 当时，设随变化的函数解析式为， ∵图象过点和点， ∴，解得， ∴函数解析式为， ∴同时开进水和出水管每分钟进水 (升)， ∴每分钟出水 (升) ②当时，(分钟)， 当时，设随变化的函数解析式为， ∵图象过点和点， ∴，解得， ∴函数解析式为， 当，， ∴， 则容器中储水量不低于15升的时长是16-3=13(分钟) 故答案为：①5；②13； （Ⅲ）当时，函数解析式为正比例函数， 每分钟进水量，即， 当时，设函数解析式为， 把点和代入， 则，解得， ∴， 综上所述，． 【点睛】本题考查了一次函数的应用，正确理解题意，利用待定系数法求出函数的解析式是解题的关键． 5．（2026·河北邯郸·一模）有甲、乙两个运输队共同承担了清理运输A、B两个建筑工地施工土方的任务，在规定时间内，甲、乙两个运输队分别可以清运土方20万立方米和30万立方米，当前A、B两个建筑工地需要清运的土方分别是40万立方米和10万立方米，经评估测算，甲、乙两个运输队在A、B两个工地清运土方的单价费用如下表： 单价 运输队 在A工地清运土方费用单价（元/立方米） 在B工地清运土方费用单价（元/立方米） 甲运输队 40 35 乙运输队 38 36 设甲运输队在A工地清运土方x万立方米，清运完成A、B两个工地的土方所需的总费用为y万元． (1)用含x的代数式完成下表（不必化简），并求y与x的函数关系式；（不写自变量x的取值范围） 清运土方 运输队 在A工地清运土方（万立方米） 在B工地清运土方（万立方米） 甲运输队 乙运输队 (2)求总费用y的最大值； (3)在实际清运土方的过程中，甲运输队在A工地使用人工智能设备，使每立方米的清运费用减少a元，但仍高于甲运输队在B工地清运费用的单价，求如何分配甲、乙两个运输队的清运任务，使清理土方的总费用最小． 【答案】(1)见解析 (2)1914万元 (3)当时，甲运输队在A工地清运土方14万立方米，在B工地清运土方6万立方米，乙运输队在A工地清运土方26万立方米，在B工地清运土方4万立方米总费用最少；当时，清运土方的总费用与x无关，均为1860万元；当时，甲运输队在A工地清运土方18万立方米，在B工地清运土方2万立方米，乙运输队在A工地清运土方22万立方米，在B工地清运土方8万立方米总费用最少． 【分析】（1）根据A、B两个建筑工地需要清运的土方分别是40万立方米和10万立方米，甲运输队可以清运土方20万立方米即可填写表格，结合甲、乙两个运输队在A、B两个工地清运土方的单价费用即可求得y与x的函数关系式； （2）根据一次函数的性质即可求解； （3）由题意得， ，根据函数的增减性分类讨论即可求解． 【详解】（1）解：填表如下： 清运土方 运输队 在A工地清运土方（万立方米） 在B工地清运土方（万立方米） 甲运输队 乙运输队 由题意，列函数关系式得， ∴． （2）解：由（1）可知，总费用， ∵， ∴当时，y的最大值为万元． （3）解：由题意可得，， ∴， ∴， ∴， 当时，，y随x的增大而增大， ∴当时，y有最小值， 此时，甲运输队在A工地清运土方14万立方米，在B工地清运土方6万立方米，乙运输队在A工地清运土方26万立方米，在B工地清运土方4万立方米； 当时，清运土方的总费用与x无关，均为1860万元； 当时，，y随x的增大而减小， ∴当时，y有最小值， 此时，甲运输队在A工地清运土方18万立方米，在B工地清运土方2万立方米，乙运输队在A工地清运土方22万立方米，在B工地清运土方8万立方米； 综上所述，当时，甲运输队在A工地清运土方14万立方米，在B工地清运土方6万立方米，乙运输队在A工地清运土方26万立方米，在B工地清运土方4万立方米总费用最少； 当时，清运土方的总费用与x无关，均为1860万元； 当时，甲运输队在A工地清运土方18万立方米，在B工地清运土方2万立方米，乙运输队在A工地清运土方22万立方米，在B工地清运土方8万立方米总费用最少． 题型四 利用图表信息解决实际问题 利用表格给出的信息，采用待定系数法求出函数解析式，进而解答实际问题. 1．（25-26八年级下·辽宁大连·期中）综合与实践：音乐与函数的关系． 根据物理学中的振动频率和音调的关系可知．在敲击玻璃杯时，杯中水位高度不同，声音的振动快慢（频率）也不同．如果水位越高，振动越慢，音调越低．如果水位越低，振动越快，音调越高．为了从数学角度理解它们之间的关系，某兴趣小组开展了综合与实践活动，记录如下： 项目主题 用一根竹筷，若干个同种型号的玻璃杯制作水杯琴 项目准备 1．准备一根竹筷，若干个同种型号的玻璃杯，若干自来水； 2．利用手机上网，查阅资料，下载相关软件，了解音乐，物理相关知识． 项目实施 任务一：采集数据 若干个同种型号的玻璃杯中分别装进不同高度的自来水，用筷子分别敲击每个玻璃杯的杯口，同时用测音高的软件测量出频率，记录了玻璃杯不同水位高度对应的振动频率，经记录得到数据如下表： 水位高度 2 5 8 10 12 … 频率 548 500 452 420 388 … 任务二：应用模型 根据表中的数值描点，并用平滑的曲线连接这些点，发现这些点都在同一条直线上，确定f是h的一次函数． 任务三：应用模型 兴趣小组通过查阅资料，列出以下七个音阶与频率对照表． 音阶 Do Re Mi Fa Sol La Si 频率 261.6 293.7 329.6 349.2 392 440 493.9 根据以上信息，解决下列问题： (1)求该玻璃杯的频率f关于水位高度h的函数表达式（不要求写出自变量h的取值范围）； (2)已知玻璃杯中的水量是随水位高度均匀变化的，当玻璃杯中的水位高度为时，所使用的水量为．当水位每升高时，则所使用的水量增加，若用筷子敲击一次玻璃杯的杯口，想发出的音阶为Sol，求应该在玻璃杯中装多少毫升的水． 【答案】(1) (2)应该在玻璃杯中装的水． 【分析】（1）根据这些点在同一条直线上，确定是的一次函数，设，利用待定系数法即可求解； （2）发出的音阶为时，令，代入（1）中解析求出的值，再根据题意列式计算即可． 【详解】（1）解：由题意设，代入，得， 解得， ； （2）解：当时，，． ， 答：应该在玻璃杯中装的水． 2．（23-24八年级上·江苏连云港·期末）某学校计划组织全校1441名师生到相关部门规划的林区植树，经过研究，决定租用当地租车公司62辆A，B两种型号客车作为交通工具．下表是租车公司提供给学校有关两种型号客车的载客量和租金信息： 型号 载客量 租金单价 A 30人/辆 380元/辆 B 20人/辆 280元/辆 注：载客量指的是每辆客车最多可载该校师生的人数． (1)设租用A型号客车x辆，租车总费用为y元，求y与x的函数表达式，并写出x的取值范围； (2)若要使租车总费用不超过21940元，一共有几种租车方案？哪种租车方案最省钱？ 【答案】(1)（且x为整数） (2)共有25种租车方案；租用A型号客车21辆，B型号客车41辆时最省钱 【分析】本题考查了一次函数的应用、一元一次不等式组的应用，解题的关键是根据题意列出函数关系式与不等式组． （1） 先根据总费用=A型车费用+B型车费用列出函数表达式，再根据载客量不小于总人数、车辆数非负确定x的取值范围； （2） 结合总费用不超过21940元的条件，列出不等式组，确定x的整数取值，得到租车方案，再根据一次函数的增减性确定最省钱方案． 【详解】（1）解： 租用A型号客车辆，则租用B型号客车辆， ． 总载客量需满足， ， ． 又为整数，且， 的取值范围是，且为整数． （2）解： 租车总费用不超过21940元， ， ． 结合（1）中，得，且为整数， 可取，共25种租车方案． 中，， 随的增大而增大， 当时，取得最小值， 此时，． 答：一共有25种租车方案，租用A型车21辆、B型车41辆时最省钱． 3．（2026·江苏连云港·一模）某种直饮机上有温水、开水两个按钮，操作屏示意图如图所示，小明先接温水再接开水，打算接的水，期间不计热损失，利用图中信息解决下列问题： 物理知识：开水和温水混合时会发生热传递，开水放出的热量等于温水吸收的热量（开水体积开水降低的温度温水体积温水升高的温度）． 生活经验：饮水适宜温度是（包括与）． (1)若小明先接温水，则还需再接开水的时间为____； (2)设小明接温水的时间为 ， ①若最终杯子中水的温度是，求的值； ②若要使水杯中水的温度为饮水适宜温度，求的取值范围． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】（1）设需再接开水的时间为．根据题意列出一元一次方程，解方程即可得出答案； （2）①由题意知温水体积为，开水体积为，设水杯中水的温度为，根据题意得出与的关系式，再代入数据即可求解； ②根据饮水适宜温度是，结合①中的与的关系式，列出不等式组，解不等式组即可求解． 【详解】（1）解：设需再接开水的时间为． 根据题意，得， 解得． 答：需再接开水的时间为． （2）解：①由题意，知温水体积为，开水体积为， 设水杯中水的温度为，由题意， ∴， ∴当时． 解得： ②∵饮水适宜温度是， ∴， 解得． 4．（2026·湖北十堰·一模）请你根据下列素材，完成有关任务． 背景 某校计划到某体育用品商店购买篮球、足球和气排球，供更多学生参加体育锻炼，增强身体素质． 素材一 买一个气排球元，买个篮球和一个足球价钱为元，购买个篮球的价格比购买一个足球多花费元． 素材二 该校要购买篮球，足球，气排球共个，且气排球的个数是篮球个数的倍． 素材三 根据学生兴趣需要，篮球不多于个，总花费不超过元． 请完成下列任务： (1)求出篮球和足球的单价． (2)求购买篮球，足球，气排球共花费（元）与购买篮球（个）的函数关系式． (3)制定花费最少的购买方案． 【答案】(1)篮球和足球的单价分别为元和元 (2) (3)花费最少的购买方案为篮球个，足球个，气排球个 【分析】（1）设一个篮球价格元，一个足球价格元，根据素材一列出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）根据素材一的结论、素材二，利用总价单价数量，分别表示出篮球、足球、气排球的花费，求和即可列出与的函数关系式； （3）根据素材三可列出关于的一元一次不等式组，解之可得出的取值范围，再利用一次函数的性质，即可解决最值问题． 【详解】（1）解：设一个篮球价格为元，一个足球价格为元， 依题意得， 解得， 答：篮球和足球的单价分别为元和元． （2）解：购买篮球，足球，气排球共个，且气排球的个数是篮球个数的倍，购买篮球个， 气排球个数是个，足球个数是个， 依题意得： ． （3）解：由素材三得， 解得， ，， 随的增大而减小， 当时，最小，此时，， 花费最少的购买方案为篮球个，足球个，气排球个． 5．（23-24八年级上·四川成都·期末）某通讯公司就手机流量套餐推出A，B，C三种方案（如表），三种方案每月所需的费用y（元）与每月使用的流量x（兆）之间的函数图象如图．结合表格和图象解答下列问题： A方案 B方案 C方案 每月基本费用（元） 20 56 266 每月免费使用流量（兆） 1024 m 无限 超出后每兆收费（元） n n (1)填空：表中m＝ ，n＝ ； (2)在A方案中，当每月使用的流量不少于1024兆时，求每月所需的费用y（元）与每月使用的流量x（兆）之间的函数关系式； (3)在这三种方案中，当每月使用的流量超过多少兆时，选择C方案最划算？ 【答案】(1)3072，0.3 (2)y关于x的函数关系式为； (3)当每月使用的流量超过3772兆时，选择C方案最划算 【分析】（1）根据题意可直接进行求解； （2）利用待定系数法解答即可； （3）利用B方案当每月使用的流量不少于3072兆时的函数关系式即可得到答案． 【详解】（1）解：根据题意，得，； 故答案为：3072，0.3； （2）解：设在A方案中，当每月使用的流量不少于1024兆时，每月所需的费用y（元）与每月使用的流量x（兆）之间的函数关系式为， 把代入，得：， 解得：， ∴y关于x的函数关系式为； （3）解：在B方案中，当每月使用的流量不少于3072兆时， 根据题意得：， 令， 解得， 由图象得，当每月使用的流量超过3772兆时，选择C方案最划算． 题型五 实际问题中的分段函数 学习一次函数中的分段函数，通常应注意以下几点： ⑴在解析式和图象上都要反映出自变量的相应取值范围。 ⑵分段函数的图象是由几条线段（或射线）组成的折线. ⑶分析分段函数的图象要结合实际问题背景对图象的意义进行认识和理解,尤其要理解折线中横、纵坐标表示的实际意义. 1．（2026·陕西西安·模拟预测）为响应节约用水号召，西安市自来水公司执行三级阶梯水价制度，具体收费标准如下： 每月用水量（吨） 收费标准（元/吨） 不超过12吨 3.5 超过12吨但不超过20吨的部分 6 超过20吨的部分 8.3 (1)若小滨家一个月用水量为x吨，需缴纳水费y元，求y与x的函数关系式； (2)若小滨家3月份的水费账单为131.5元，求小滨家3月份的用水量． 【答案】(1) (2)25 【分析】（1）根据阶梯水价制度，分段计算水费可得关系式； （2）根据水费可知用水量超过了20吨，再代入关系式求出答案． 【详解】（1）解：当时，； 当时，， 所以y与x的函数关系式为； （2）解：∵，且， ∴将代入，得， 解得， 所以小滨家3月份的用水量是25吨． 2．（2026·陕西西安·模拟预测）某公司招聘外卖送餐员进行送餐服务，送餐员的月工资由底薪1500元加上外卖送单补贴（送一次外卖为一单）构成，外卖送单补贴的具体方案如下： 外卖送单数量 补贴（元／单） 每月不超过500单 3.5 超过500单但不超过900单的部分 5 超过900单的部分 8 (1)若某外卖小哥一个月送餐单（），所得工资元，求与的函数关系式． (2)若某外卖小哥2月份的工资总额为5650元，那么他2月份外卖送餐多少单？ 【答案】(1)当时，；当时， (2)他2月份外卖送餐950单 【分析】本题主要考查了一次函数的应用，解题的关键是理解题意，列出函数关系式，注意分类讨论． （1）分两种情况，列出函数关系式即可； （2）先确定他2月份送餐单数超过900单，再利用（1）中函数解析式求解． 【详解】（1）解：当时， ； 当时， ； 综上，当时，；当时，． （2）解：（元，（元； 元元 ； ∴当时，得 ， 解得， 他2月份外卖送餐950单． 3．（2026·陕西西安·三模）盛夏时节，阎良“南果北种”的红心火龙果进入丰产期，颗颗饱满如红宝石．当地种植基地为方便市民尝鲜，推出同城快递配送服务，按包裹重量(计量单位为千克，不足1千克按1千克计量)实行阶梯计费．具体计费标准如下： 费用档位 包裹重量(单位：千克) 计价方式 第一档 元 第二档 超出千克的部分，元/千克 第三档 超出千克的部分，元/千克 根据以上提供的信息，请你解答下列问题： (1)当时，求配送费(单位：元)与包裹重量之间的函数关系式． (2)某用户购买该基地火龙果，快递配送费用为元，求出该包裹重量是多少千克？ 【答案】(1) (2)千克 【分析】（1）根据阶梯累计计费规则，整理得到对应区间的配送费与重量的函数关系式； （2）先计算第二档的最高配送费，判断32.8元所在的费用档位，再根据对应档位的计费规则列一元一次方程求解即可． 【详解】（1）解：当时第一档费用为10元，超出5千克的重量为千克，超出部分单价为元/千克 总配送费 化简得 即当时， 函数关系式为． （2）把代入， 得(元) 该包裹重量，属于第三档当时， 总配送费为 化简得 令， 得方程 ∴ 解得 答∶该包裹重量是26千克． 4．（25-26八年级上·辽宁本溪·期中）为鼓励市民节约资源，某市采用分档计费的方式计算居民的管道天然气费用．下表是家庭人口不超过4人时户年用气量及分档计费标准： 计费档 户年用气量 单价/（元） 第一档 2.73 第二档 3.28 第三档 3.82 (1)当时，求出燃气费（单位：元）与之间的关系式； (2)某户一年用气量是，求该户这一年的燃气费； (3)某户去年一年的燃气费是1311元，求该户去年一年的用气量． 【答案】(1) (2)该户这一年的燃气费为1147元 (3)该户去年一年的用气量为 【分析】本题主要考查了一次函数的应用，求一次函数的关系式， （1）第一档用气总费用加上超过第一档用气量的费用可得关系式； （2）直接将代入（1）关系式，可得答案； （3）先求出第一档的最高费用，第二档的最高费用，可知该用气费用属于第二档，可得一元一次方程，求出解即可． 【详解】（1）解： 由表格可知，当时，． （2）解：， 当时，， 所以，当用气量为时，该户这一年的燃气费为1147元． （3）解：当时，（元）， 当时，（元）， ， 所以，该户用气量属于第二档， 当时，， 解得，， 所以当燃气费为1311元时，该户去年一年的用气量为． 5．（25-26八年级上·浙江台州·期末）为鼓励节约用水，居民生活用水采用阶梯收费．水价分三个等级：第一级为月用水量以下（包括）；第二级为月用水量超过但不超过；第三级为月用水量超过（不包括）．下面是某居民收到的一张2025年7月份的生活用水消费明细（不完整）． 已知该居民6月份和7月份的用水量总和为，且7月份的用水量超过6月份，但不超过6月份的2倍． (1)设该居民7月份的用水量为，求x的取值范围； (2)该居民7月份的生活用水水费最多需要缴纳多少元； (3)若该居民7月份的生活用水水费比6月份多41元，求该居民7月份的用水量． 【答案】(1) (2)89.5元 (3) 【分析】本题主要考查了一次函数的应用——分段计费，一元一次方程的应用，一元一次不等式组的应用，解题的关键是熟练掌握每段水费与单价和吨数的关系列式与列方程． （1）由题意列出不等式组即可求解； （2）根据阶梯收费标准列出一次函数，求出7月份水费最大值即可； （3）分和分别列出方程即可求解． 【详解】（1）解：∵该居民7月份用水量为，则6月份用水量为， 由题意得，， 解得， 答：x的取值范围为． （2）解：∵， ∴7月份的水费， ∵， ∴随增大而增大， ∴当时，7月份的水费最多为（元）． 答：该居民7月份的生活用水水费最多需要缴纳89.5元． （3）解：当时，该居民6月份用水量超过了， ∴ 解得，不符合题意，舍去； 当时，该居民6月份用水量未超过， ∴， 解得， 答：该居民7月份的用水量为． 题型六 利用一次函数解决最值问题 根据题意求出函数解析式，再利用一次函数增减性得出函数最值是解题关键． 1．（25-26八年级下·山东青岛·期中）最美人间四月天．”在这喧嚣的世界里，鲜花的存在，让人们感受到了春的灿烂与馨香，某个体户购买了玫瑰花，满天星两种鲜花摆摊销售，若购进玫瑰花5束，满天星3束，需要125元；若购进玫瑰花8束，满天星6束，需要224元． (1)求玫瑰花，满天星两种鲜花的进价分别是每束多少元？ (2)若每束玫瑰花的售价为20元，每束满天星的售价为30元．结合市场需求，该个体户决定购进两种鲜花共80束，计划购买成本不超过1369元，且购进满天星的数量不少于玫瑰花数量的．两种鲜花全部销售完时，求销售的最大利润及相应的进货方案． 【答案】(1) 玫瑰花进价为每束13元，满天星进价为每束20元 (2) 最大利润为701元，对应的进货方案为购进玫瑰花33束，满天星47束 【分析】（1）设玫瑰花的进价是x元/束，满天星的进价是y元/束，根据题意列出方程组求解即可； （2）设购进玫瑰花m束，则购进满天星束，根据题意列出不等式组求出，然后表示出总利润，然后利用一次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：设玫瑰花的进价是x元/束，满天星的进价是y元/束， 根据题意得：， 解得：． 答：玫瑰花的进价是13元/束，满天星的进价是20元/束； （2）设购进玫瑰花m束，则购进满天星束， 根据题意得：， 解得：， 设购进的两种鲜花全部销售完后获得的总利润为w元， 则， 即， ∵， ∴w随m的增大而减小， ∴当时，w取得最大值，（元）， 此时（束）． 答：当购进玫瑰花33束，满天星47束时，销售的最大利润为701元． 2．（25-26九年级下·河南周口·月考）某健身房推出蛋白能量包和碳水补给包两种食物套餐．套餐中的蛋白粉、燕麦片和水果的质量如下表（不完整）： 食物套餐 蛋白粉/ 燕麦片/ 水果/ 蛋白能量包 碳水补给包 调研发现：份蛋白能量包中燕麦片与蛋白粉的总质量比份碳水补给包中燕麦片与蛋白粉的总质量多克，且份蛋白能量包和份碳水补给包中燕麦片的总质量为． (1)求每份蛋白能量包和碳水补给包中的燕麦片质量； (2)小凯为自己预订了连续天的运动补给套餐（每天只订一种套餐），为了保证训练需求，要求水果的总质量不高于．小凯应怎样选择这两款套餐，才能使这天的套餐中燕麦片的总质量最少？ 【答案】(1)每份蛋白能量包中燕麦片质量为，每份碳水补给包中燕麦片质量为． (2)选择天订蛋白能量包，天订碳水补给包，可使天燕麦片总质量最少． 【分析】（1）设每份蛋白能量包和碳水补给包中的燕麦片质量分别为、，根据题目给出的两个等量关系建立二元一次方程组，求解方程组得到两种套餐的燕麦片质量． （2）设预订蛋白能量包天，则预订碳水补给包天，根据水果总质量的限制列出一元一次不等式，求出的取值范围；再建立燕麦片总质量关于的一次函数，根据函数单调性求出最小值对应的值，确定最优套餐选择方案． 【详解】（1）解：设每份蛋白能量包中的燕麦片质量为，每份碳水补给包中的燕麦片质量为． ， 解得 答：每份蛋白能量包中的燕麦片质量为，每份碳水补给包中的燕麦片质量为． （2）解：设预订蛋白能量包天，则预订碳水补给包天． ， 解得， 设燕麦片总质量为，则 ， ∴， ， 随的增大而减小． 当时，取得最小值． （天）． 答：小凯应预订蛋白能量包天，碳水补给包天，才能使燕麦片总质量最少． 3．（25-26八年级下·北京通州·期中）某公园为了提升服务质量，预购进两类功能不同的机器人A，B共40台．两类机器人因为功能不同，因此价格也不相同．其中A种机器人每台6万元，购买B种机器人所需费用（万元）与购买数量（台）之间存在的函数关系如图所示． (1)求与的函数关系式； (2)在购买计划中，购买B种机器人的数量不超过25台，但不少于A种机器人的台数，请设计购买方案，使总费用最低，并求出最低费用． 【答案】(1)； (2)购买B种机器人台，购买A种机器人台，总费用最低，最低费用为万元． 【分析】（1）分段利用待定系数法求解即可； （2）设购买B种机器人台，则购买A种机器人台，总费用为元，先根据题意列出不等式组求得，再列出一次函数，利用一次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：当时， 设与的函数关系式为， 将代入得，解得， ∴与的函数关系式为； 当时， 设与的函数关系式为， 将，代入得， 解得， ∴与的函数关系式为； 综上，与的函数关系式为； （2）解：设购买B种机器人台，则购买A种机器人台，总费用为元， 根据题意得， 解得， 根据题意得， ∵， ∴随的增大而减小， ∴当时，的最小值（万元）． ， 此时购买B种机器人台，购买A种机器人台． 4．（25-26九年级下·江苏盐城·期中）随着春季假期到来，研学旅行热潮持续升温，为进一步提升游客体验，让游客更深入感受自然与文化魅力，某景区正着力打造沉浸式旅游新场景，并计划采购一批帐篷．已知购买3个A型号的帐篷和2个B型号的帐篷共需3600元；购买5个A型号的帐篷和4个B型号的帐篷共需6400元． (1)求A，B两种型号的帐篷的单价； (2)据统计，该景区需购买A，B两种型号的帐篷共60个，且A型号的帐篷数量不少于B型号的帐篷数量的．请你设计购买成本最少的方案，并求出该方案的费用． 【答案】(1)A，B两种型号的帐篷的单价分别为800元，600元 (2)购买A型号的帐篷15个，B型号的帐篷45个时，购买成本最少，该方案所需费用39000元 【分析】本题考查二元一次方程组和不等式的应用，根据已知条件列出方程组和不等式是解题的关键． （1）设A、B两种型号的帐篷的单价分别为，元，根据题意列出方程组，解方程组即可； （2）设购买A型号的帐篷个，则B型号的帐篷个，根据题意列不等式，得到，设购买A、B两种型号的帐篷的总价为元，则，根据一次函数的性质解答即可． 【详解】（1）解：设A、B两种型号的帐篷的单价分别为，元， 根据题意得， 解得：， 答：A、B两种型号的帐篷的单价分别为800元，600元； （2）解：设购买A型号的帐篷个，则B型号的帐篷个， 根据题意得：， 解得：， 设购买A、B两种型号的帐篷的总价为元， 则， ， 随的增大而增大， 当时，最小，此时， ， 答：购买A型号的帐篷15个，B型号的帐篷45个时，购买成本最少，该方案所需费用39000元． 5.疫情期间，甲、乙两个仓库要向两地运送防疫物资，已知甲仓库可调出吨防疫物资，乙仓库可调出吨防疫物资，地需吨防疫物资，地需吨防疫物资，两仓库到两地的路程和运费如下表： 路程/千米 运送千米所需运费/(元/吨) 甲仓库 乙仓库 甲仓库 乙仓库 地 地 (1)设从甲仓库运往地防疫物资吨，两仓库运往两地的总费用为元，求关于的函数关系式． (2)如何调运才能使总运费最少? 总运费最少是多少? 【答案】(1) (2)从甲仓库运往地吨，运往地吨，从乙仓库运往地吨时，总运费最少，总运费最少是元 【分析】（）根据题意列出函数解析式即可； （）根据一次函数的性质解答即可求解； 【详解】（1）解：由题意得， ， ∴关于的函数关系式为； （2）解：在一次函数 中， ∵， ∴随的增大而减小， 又∵， ∴当时，总费用的值取最小， 即从甲仓库运往地吨，运往地吨，从乙仓库运往地吨，运往地吨，总运费最少，总运费最少为元， 答：从甲仓库运往地 吨，运往地 吨，从乙仓库运往地吨，总运费最少，总运费最少是元． 题型七 利用一次函数解决选择方案问题 方案选择问题首先根据题意分别用函数表达式表示出各自的收费标准，然后列方程、不等式根据一次函数的性质来进行选择最佳的方案即可. 1．（25-26九年级下·河南鹤壁·月考）在日常生活中，打印已经成为社区居民必不可少的事项，为了满足居民需求，给辖区居民带来更多优质服务，很多社区推出了共享打印机自助服务．以下是某社区推出的两种打印机收费方式： 方案A：； 方案B：． 其中，x代表打印的张数（张），y代表打印总费用（元）． (1)如果你是该社区的居民，请你通过计算说明选择哪种方案更省钱？ (2)一居民使用打印总费用为多少元时，选择方案B比方案A多打印了20张． 【答案】(1)当时，方案B更省钱；当时，两种方案费用相同；当时，方案A更省钱 (2)60元 【分析】（1）通过比较两种方案费用的大小关系，分三种情况讨论，得到不同打印张数下更省钱的方案； （2）根据“选择方案B比方案A多打印了20张”列方程求解． 【详解】（1）解：∵， ∴当时， 解得； 当时， 解得； 当时， 解得； 综上所述，当时，方案B更省钱；当时，两种方案费用相同；当时，方案A更省钱； （2）解：设打印总费用为y元， 根据题意得， 解得 ∴使用打印总费用为60元时，选择方案B比方案A多打印了20张． 2．（25-26八年级下·甘肃白银·期中）暑假期间，两位家长计划带领若干名学生到白银旅游，探访黄河石林和火焰山矿山公园，并体验当地非遗文化．他们咨询了两家旅行社，报价均为每人500元（含景区门票及特色活动）． 甲旅行社：两位家长全额收费，学生享受七折优惠． 乙旅行社：全体成员（含家长）均享八折优惠． 请解答以下问题： (1)设学生数为人，甲旅行社收费为元，则函数关系式______； 设学生数为人，乙旅行社收费为元，则函数关系式______． (2)若家长希望学生深入了解白银的生态保护与非遗传承，应如何根据学生人数选择旅行社？通过计算说明理由． 【答案】(1)； (2)学生数人时，两家旅行社均可；学生数人时，选甲旅行社；学生数人时，选乙旅行社，理由见解析 【分析】（1）根据甲旅行社的收费两名家长的全额费用学生的七折费用，可得到与x的函数关系式；再根据乙旅行社的收费两名家长的八折费用学生的八折费用，可得到与x的函数关系式； （2）首先分三种情况讨论：①，②，③，针对每一种情况，分别求出对应的x的取值范围，然后比较哪种情况下选谁更合适，即可判断选择哪家旅行社． 【详解】（1）解：学生数为人，甲旅行社收费为元，则， 即； 学生数为人，乙旅行社收费为元，则，即． 故答案为：；； （2）解：分三种情况比较费用： 当时，，解得； 当时，，解得； 当时，，解得． 综上所述，学生数人时，两家旅行社均可；学生数人时，选甲旅行社；学生数人时，选乙旅行社． 3．（25-26八年级下·河南南阳·期中）小明在观看世界泳联世锦赛后对游泳产生了浓厚的兴趣，计划在假期练习游泳某游泳馆推出了甲、乙两种消费卡，设游泳次数为（次），所需费用为（元），选择这两种卡消费时，与的函数关系如图所示． 根据图象信息，解答下列问题： (1)分别求出甲、乙两种消费卡对应的函数表达式； (2)两图象交点的坐标是_____； (3)请根据游泳次数确定选择哪种卡消费比较合算． 【答案】(1)甲种消费卡对应的函数表达式为；设乙种消费卡对应的函数表达式为 (2) (3)当时，选择两种卡的费用相同；当时，选择甲种消费卡比较合算；当时，选择乙种消费卡比较合算． 【分析】本题考查一次函数的应用、用待定系数法求一次函数的表达式、根据两直线的交点求不等式的解集、两直线的交点与二元一次方程组的解，读懂图和运用数形结合思想解决实际问题是解题的关键． （1）运用待定系数法即可求出与之间的函数表达式； （2）联立方程，解二元一次方程组即可得出点的坐标； （3）解方程或不等式即可解决问题，分三种情形回答即可． 【详解】（1）解：设甲种消费卡对应的函数表达式为， 将代入，得， 所以甲种消费卡对应的函数表达式为； 设乙种消费卡对应的函数表达式为， 将，代入，得， 解得， 所以乙种消费卡对应的函数表达式为； （2）解：联立, 解得， ∴两图象交点的坐标为； （3）解：由图象可知，当时，选择两种卡的费用相同； 当时，选择甲种消费卡比较合算； 当时，选择乙种消费卡比较合算． 4．（25-26八年级下·山西太原·期中）活动背景：为响应山西省新能源汽车推广政策，落实绿色出行要求，太原市某小区计划为业主安装新能源汽车家用充电桩，提升小区便民服务水平．该小区共有12栋居民楼，预计有名业主申请安装充电桩，且每名业主申请安装1个充电桩，物业拟定了两个安装方案如下： 项目 方案一（第三方合作安装） 方案二（物业自主安装） 费用明细 1．每栋楼统一收取勘测、布线费500元/栋 2．充电桩安装费：50元/个 3．免费提供3年质保服务 1．每栋楼无基础服务费 2．充电桩安装费：35元/个 3．充电桩辅材采购费：20元/个 4．质保服务费：1000元/年（可选，若选择则按年收取，默认签订2年合同） 若小区默认签订2年质保合同，结合上表信息分析，该小区选择哪个方案进行充电桩安装，所需总费用较少？ 【答案】当时，选方案一费用较少；当时，选方案一和方案二费用一样多；当时，选方案二费用较少 【分析】设方案一的费用为元，方案二的费用为元，根据方案一和方案二分别列出所需的费用，然后求出，和时对应x的取值范围，进而可求解． 【详解】解：设方案一的费用为元，方案二的费用为元， ， ， 若，则解得：， 若，则解得：， 若，则解得：， 所以， 当时，选方案一费用较少； 当时，选方案一和方案二费用一样多； 当时，选方案二费用较少． 5．（2026·山东济宁·二模）金秋时节，硕果飘香，某石榴种植基地采摘了一批优质石榴准备运往某地销售，经测算：用2辆A型车和1辆B型车载满石榴一次可运送100吨；用1辆A型车和2辆B型车载满石榴一次可运送80吨． (1)1辆A型车和1辆B型车都载满石榴一次可分别运送多少吨？ (2)已知这批优质石榴共500吨，计划同时租用A型车和B型车一次运送完．为确保运输效率与安全，要求所有车辆都载满石榴，且A型车数量不超过B型车数量的2倍，若1辆A型车租金1000元/次，1辆B型车租金600元/次，设A型车租用x辆，求租车费用W与x之间的函数关系式，并写出最少租车费用和费用最少时的租车方案． 【答案】(1)1辆A型车载满一次可运送40吨，1辆B型车载满一次可运送20吨 (2)函数关系式为 （为满足的整数），最少租车费用为13000元，费用最少的租车方案为：租用A型车10辆，B型车5辆 【分析】（1）设1辆A型车载满一次可运送a吨，1辆B型车载满一次可运送b吨，依题意列出二元一次方程组，求出a，b的值即可； （2）由题意，得到，求出，且x为整数，再根据一次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：设1辆A型车载满一次可运送a吨，1辆B型车载满一次可运送b吨，依题意，得 ， 解得， 答：1辆A型车载满一次可运送40吨，1辆B型车载满一次可运送20吨． （2）解：由题意，得 ， ∵，且x为整数， ∴，且x为整数， 由，得W随着x的增大而减小， ∴当时，W取得最小值，为（元）， 此时B型车的数量为（辆）． 答：函数关系式为 （为满足的整数），最少租车费用为13000元，费用最少的租车方案为：租用A型车10辆，B型车5辆． 题型八 利用一次函数解决几何问题 本题考查了动点问题的函数图象,三角形的面积公式等知识．解题关键是深刻理解动点的函数图象，了解图象中关键点所代表的实际意义，理解动点的完整运动过程,学会分类讨论的思想方法． 1．（23-24八年级下·吉林长春·月考）如图1，在矩形中，，，点P从A出发，沿的路线运动，到点D停止；点Q从点D出发，沿路线运动，到点A停止．若点P、Q同时出发，速度分别为每秒，，a秒时，P、Q两点同时改变速度，分别变为每秒，（P、Q两点速度改变后一直保持此速度，直到停止），如图2是的面积s和运动时间x（秒）的图象． (1)求出a值； (2)设点P已行的路程为，点Q还剩的路程为，请分别求出改变速度后，、与x的函数关系式； (3)当P、Q两点都在边上时，若，求x的值． 【答案】(1) (2)； (3)或 【分析】本题考查了本题是几何双动点问题，正确理解图象的变化与动点运动位置之间的关系是关键． （1）由图象可知，当点P在上运动时，的面积保持不变，则a秒时，点P在上，再利用面积求a； （2）P、Q两点的函数关系式都是在运动6秒的基础上得到的，因此注意在总时间内减去6秒，由此列函数关系式即可； （3）在（2）的基础上，两个点相距分为相遇前相距或相遇后两种情况，分别列方程求解即可． 【详解】（1）解：由图象可知，当点P在上运动时，的面积保持不变，则a秒时，点P在上， ， 即， 解得， ； （2）解：由（1）知，6秒后点P变速，则点P已行的路程为； 点运动的路程总长为（），第6秒时已经走了，故点Q还剩的路程为； （3）解：当P、Q两点相遇前相距时， ， 解得； 当P、Q两点相遇后相距时， ， 解得； 当或时，P、Q两点相距． 2．如图，在长方形中，动点从点出发，沿的方向运动至处停止，记点运动的路程为，三角形的面积为，与的关系如图所示，请回答下列问题：    (1)图2中 ， ； (2)分别求出点在线段，和上运动时与的关系式； (3)当三角形的面积为时，求点运动的路程． 【答案】(1)， (2)；； (3)或 【分析】（1）根据点的运动轨迹，当点运动到点和点时，三角形的面积最大，根据点的运动路程为，与的关系图，可知，，；根据长方形的性质，得出，；再根据三角形的面积公式，求出和； （2）根据点的运动轨迹，当点在上，则是直角三角形，；当点在上运动时，；当点在上运动时，则是直角三角形，，即可； （3）根据三角形面积等于时，分类讨论：①在上运动时，即时，②在上运动时，即，即可． 【详解】（1）∵动点从点出发，沿的方向运动至处停止， ∴当点运动到点和点时，三角形的面积相等且最大， ∴由图可知，当三角形的面积最大时，， ∴，， ∵四边形是长方形， ∴，， ∴当点运动到点和点时，三角形的面积为：； 当点运动到点时，运动的路程：， ∴； 故答案为：，． （2）由（1）得，，， ∴当点在上，则是直角三角形，， ∴； 当点在上运动时，， ∴； ③当点在上运动时，为直角三角形， ， ∴， ∴． （3）当三角形面积等于时， ∴①在上运动时，即时， ∴， ∴； ②在上运动时，即时， ∴， ∴； ∴点点运动的路程为或． 【点睛】本题考查函数图象与几何的综合，解题的关键是掌握动点问题的函数图象，动点的运动轨迹． 3．如图1，在正方形中，O是的中点，P点从A点出发沿的路线移动到D点时停止，出发时以a单位/秒的速度匀速运动；同时Q点从D点出发沿的路线移动到A点时停止，出发时以b单位/秒的速度匀速运动；P、Q点相遇后P点的速度变为c单位/秒，Q点的速度变为d单位/秒运动．图2是线段扫过的面积与时间t的图象，图3是线段扫过的面积与时间t的图象． (1)正方形的边长是__________； (2)求线段扫过的面积与时间t的代数关系式； (3)若在正方形中所夹图形面积S为5，求点P移动的时间t． 【答案】(1)4 (2) (3)或 【分析】本题考查的是动点图象问题、图象面积的计算等知识，此类问题关键是：弄清楚不同时间段，图象和图形的对应关系，进而求解． （1）由图象知，8秒时，相遇，此时扫过的面积图象中间变化1次，而的没有变化，故、在点相遇，由图2知，，即可求解； （2）分类讨论，根据三角形面积是底乘高乘，梯形面积是高乘上底加上下底的和再乘，进行列式计算，注意时间范围，即可作答． （3）与（2）过程类同，再令面积为在正方形中所夹图形面积S为5，即可列式代入数值作答． 【详解】（1）解：由图象知，8秒时，相遇， 此时扫过的面积图象中间变化1次，而扫过的面积图象没有变化，故、在点相遇， 设正方形的边长为，则 由图2知，，解得：， 故答案为4； （2）由图2知，相遇后点秒走了的长度即4个单位，则， 图3：，解得： ∵Q点从D点出发沿的路线移动到A点时停止，出发时以b单位/秒的速度匀速运动 ∴ 同理， 当点在段时， 当点Q在段时， 则 ， 当点在段时， ； 综上， （3）解：由题意得：， 相遇前： 当Q在上，点P在上时，此时 当，则（舍去）； 当Q在上，点P在上时，此时 当，则 相遇后：当点在段时，如图， 设的面积为，梯形的面积为， 则正方形的面积为， ， 当点在段时， ； 当时， 令，，； 当时， 令，，（舍去）； 综上：或 4．（23-24八年级下·海南·期中）如图，在长方形中，，、点从出发，沿路线运动，到停止；点的速度为每秒，秒时点改变速度，变为每秒，图是点出发秒后，的面积与秒的关系图象；    (1)当点在上运动时，的面积会_______，点在上运动时，的面积会______，点在上运动时，的面积会________；填“增大”或“减小”或“不变” (2)根据图提供的信息，求出、及图中的值； (3)设点离开点的路程为，请写出动点改变速度后与出发后的运动时间秒的关系式． (4)当点出发后几秒时，的面积是长方形面积的？ 【答案】(1)增大；不变；减小； (2)； (3)； (4)当点出发5秒或14.5秒时，的面积是长方形面积的． 【分析】此题为一动点运动分析问题，解题时从动点的运动形式上找出规律，分析不同分段区间时的运动性质，找出等式关系列出方程组解出方程解析式． （1）根据函数图象及动点运动即可得出结果； （2）根据三角形的面积公式可求a、b及图②中c的值； （3）确定y与x的等量关系后列出关系式即可； （4）结合题意，分四种情况确定相应的函数解析式，然后计算的面积，然后将计算出来的数值代入所求函数的不同分段，解出对应的x的值，若解出的x值在对应的分段区间内，则x的值即为所求的解，反之则不是． 【详解】（1）解：当点在上运动时，增大，的面积会增大；点在上运动时，的面积会不变；点在上运动时，的面积会减小； 故答案为：增大；不变；减小； （2）∵长方形中，，， ∴， 当点P在上时， 得： ， ∴， ， ； （3）∵， ∴动点P改变速度后y与出发后的运动时间x（秒）的函数关系式为：； （4）①当时 ， ； ②当时 ， ； ③当x运动到C点时 解得： 即：时 ； ④当时 ， ； 综上： ； ∵， ①时，，符合题意； ②时，，不符合题意，舍去； ③时，，不符合题意，舍去； ④，，符合题意； 所以点P出发后5秒或秒，的面积是长方形面积的． 5．如图1，在长方形中，，，点P从点A出发，沿的路线运动，到点D停止；点Q从点D出发，沿的路线运动，到点A停止．若点P，Q同时出发，点P的速度为1cm/s，点Q的速度为3cm/s，运动a秒后，点P，Q同时改变速度，点P的速度变为cm/s，点Q的速度变为cm/s，直到停止．图2是点P出发x秒后，的面积（）与运动时间x（秒）的关系图象；图3是点Q出发x秒后，的面积（）与运动时间x（秒）的关系图象．    (1)根据图象得：______秒，______cm/s，______秒，______cm/s； (2)设点P已行的路程为（cm），点Q还剩的路程为（cm），当时，请分别求出、和运动时间x（s）的关系式； (3)当______时，为等腰三角形． 【答案】(1)6，4，11，1； (2)；； (3)或5或． 【分析】（1）当在上运动时表示出，并求出，根据图形面积之差，进而求出，此时点运动到点求出， （2）根据路程等于速度时间作答， （3）分情况讨论，当点在上，点在上；当点在上，点在上；当点在上，点在上；当点在上，点在上，四种情况进行讨论． 【详解】（1）解：点从， ， 点从， ， 由图2，， 点在上运动 ， ， 即， 点从， ， ，， 点从， ， 点从到， 即， ， ， ， ， 当时， 的路程为 即从 由图3，共用14秒， 则从， ， 故答案为：6，4，11，1； （2）解：当时， 即， ， ， ， ； （3）解：为等腰三角形， ①当点在上，点在上运动时， 过点向作垂线交于点，如图，    由图可知，， 即， 解得（符合题意）； ②当点在上，点在上运动时， 连接，如图，   ， ， 解得（符合题意）； ③当点在上，点在上运动时， 不合题意舍去； ④当点在上，点在上运动时， ， ， 解得（符合题意）；    故故答案为：或5或． 【点睛】本题考查四边形等腰三角形等的综合题，解题的关键是对图形的熟练掌握和对不同情况的分类讨论． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 微专题03 一次函数的实际应用问题 题型一 利用一次函数解决行程问题 本题考查了行程问题的数量关系的运用，待定系数法求一次函数的解析式的运用，一次函数与一元一次方程的运用，解答时求出函数的解析式是关键． 1．（2026·陕西西安·模拟预测）A，B两地相距360千米，甲、乙两车分别从A地出发前往B地，甲车出发半小时后乙车才出发．甲、乙两车所行驶的路程y（千米）与时间x（小时）之间的关系如图所示． (1)求所在直线的函数表达式； (2)求乙车到达B地的时候，甲车距离B地还有多远? 2．（25-26八年级下·辽宁大连·期中）甲、乙二人分别沿同一条道路从学校出发，前往体育场锻炼，甲步行，乙骑自行车．乙到达体育场停留一段时间后，原路原速返回学校．两人距学校的距离y（单位：）与甲的出发时间x（单位：）之间的函数关系如图所示． (1)乙在体育场停留了________； (2)当乙从体育场返回与甲相遇时，甲出发了多少？ 3．（25-26八年级下·海南海口·期中）如图所示为某汽车行驶的路程（千米）与时间（小时）的函数关系图，观察图中所提供的信息解答下列问题： (1)汽车在前小时内的平均速度是_____； (2)汽车中途停了_____小时； (3)当时，求与的函数关系式． 4．（2026·天津西青·一模）一列快车和一列慢车同时从甲地出发，匀速驶向乙地，快车到达乙地后停留小时，沿原路以原速返回甲地．已知慢车的速度为，快车到甲地的距离（单位：）与行驶时间（单位：）的函数图象（折线）如下图所示． (1)填空：图中的值是______，甲乙两地相距______，快车的速度为______，出发______快车返回甲地； (2)直接写出折线（包括端点）对应的函数解析式； (3)在慢车从甲地到乙地行驶的过程中，对于同一个的值，快车到甲地的距离为，慢车到甲地的距离为，当时，求的取值范围（直接写出结果即可）． 5．（25-26八年级下·吉林长春·期中）一列城际快车从甲地出发匀速开往乙地，一列货运慢车从乙地出发匀速开往甲地．如图是快、慢两车离乙地的路程与快车出发开始计时的时间之间的函数图象．根据图象回答下列问题： (1)甲、乙两地之间的距离为___________km； (2)当时， ①求慢车离乙地的路程与之间的函数关系式； ②当___________（h）时，两车相遇； (3)直接写出在慢车行驶过程中，两车相距时，的值． 题型二 利用一次函数解决销售问题 本题考查了销售问题的数量关系的运用，待定系数法求一次函数的解析式的运用，一次函数与一元一次方程的运用，解答时求出函数的解析式是关键． 1．（2026·山东济南·二模）某校开展阳光体育大课间活动，需购买一批球类用品．在采购中发现，篮球的单价比足球的单价高20元，用10000元购买篮球的数量和用8000元购买足球的数量相同． (1)求篮球和足球的单价； (2)学校需购买篮球和足球共120个（两种球都要购买），足球的数量不能多于篮球数量的，购买多少个篮球时采购费用最少？最少采购费用是多少元？ 2．（25-26八年级下·山东济南·期中） 市场调查 调查背景 济阳区九曲黄河万里情文旅街区是全国唯一的黄河主题夜经济街区，成为济阳区新晋网红打卡地．景区内包括沿黄九省非遗美食与文创商铺，集夜游、亲子游乐、民俗体验、美食购物于一体． 市场调查 其中某商铺销售奶茶和果汁，已知卖出3杯奶茶和2杯果汁共收入68元，卖出2杯奶茶和5杯果汁共收入82元． 经营需求 该商铺计划销售奶茶和果汁共50杯，且奶茶的数量不超过果汁的2倍． 问题解决： (1)任务1：请你计算奶茶和果汁的单价． (2)任务2：请问销售多少杯奶茶才能使总收入最高？并求出最高收入． 3．（25-26八年级下·河北保定·期中）某快递企业为提高工作效率，拟购买A，B两种型号的智能机器人进行快递分拣．已知A型号智能机器人每台比B型号智能机器人贵10万元，若同时购买6台A型号智能机器人和6台B型号智能机器人，所需费用为660万元． (1)求A，B两种型号智能机器人的单价； (2)通过测试发现A型号智能机器人每台每周可分拣快递21万件，B型号智能机器人每台每周可分拣快递16万件，现该企业准备用不超过560万元购买A，B两种型号智能机器人共10台，则该企业选择哪种购买方案，能使每周分拣快递的件数最多？ 4．（2026·湖南·二模）2025年首届“湘超联赛”火爆出圈，其官方文创同样点燃了球迷热情．其中，以吉祥物“湘湘”（省鸟红嘴相思鸟）和“超超”（杂交水稻少年）为原型设计的钥匙扣挂件，凭借浓郁的“湘”味设计和萌趣造型，迅速成为年度人气周边，线上线下屡屡售罄，堪称湖南人看球的“氛围感神器”．某生产厂家看准商机，生产“湘湘”、“超超”两款挂饰，已知“湘湘”挂饰的批发单价比“超超”挂饰的批发单价高2元．若花800元批发购买“湘湘”挂饰的数量与花600元批发购买“超超”挂饰的数量相同． (1)求“湘湘”、“超超”两款挂饰的批发单价分别是多少元？ (2)某文具店从该厂家处批发购进了“湘湘”、“超超”两款挂饰共60个，“湘湘”挂饰的数量不超过“超超”挂饰数量的一半，“超超”挂饰售价为10元/个，“湘湘”挂饰的售价比“超超”挂饰的售价高30%．若购进的这两种挂饰全部售出，且要使得所获利润最多，则该店购进“湘湘”挂饰多少个？最大利润是多少？ 5．（25-26八年级下·四川内江·期中）某校开设智能机器人编程的校本课程，购买了A，B两种型号的机器人模型．A型机器人模型单价比B型机器人模型单价多200元，用2000元购买A型机器人模型和用1200元购买B型机器人模型的数量相同． (1)求A型，B型机器人模型的单价分别是多少元？ (2)学校准备再次购买A型和B型机器人模型共40台，购买B型机器人模型不超过A型机器人模型的3倍，且商家给出了两种型号机器人模型均打八折的优惠．设购买两种机器人的总花费为，购买A型机器人的数量为台，求与的函数关系，并写出的取值范围 (3)在（2）的条件下问购买A型和B型机器人模型各多少台时花费最少？最少花费是多少元？ 题型三 利用一次函数解决工程问题 本题考查了工程问题的数量关系的运用，待定系数法求一次函数的解析式的运用，一次函数与一元一次方程的运用，解答时求出函数的解析式是关键． 1．（25-26八年级下·全国·课后作业）某工程队承担了一项修路任务，任务进行一段时间后，工程队提高了工作效率．该工程队修路的长度y（单位：m）与修路时间t（单位：天）之间的函数关系如图所示．求该工程队提高效率前每天修路的长度． 2．（2026·河南濮阳·一模）为响应国家“绿色发展”号召，推进黄河流域生态保护与高质量发展，我市计划对某段河道进行综合治理．现拟由甲、乙两个工程队共同完成该项目的污水处理任务．经测算，该段河道需要处理的污水是600立方米，甲队每天能处理的污水量是乙队的倍，且甲队单独完成这项任务比乙队单独完成少用10天． (1)求甲、乙两队每天分别能处理污水多少立方米？ (2)已知甲队施工的费用为1000元/天，乙队施工的费用为700元/天，现要求两队合作完成该任务，且甲队的施工天数不得高于乙队的施工天数．请设计一种施工方案，使得总费用最低，并求出最低总费用． 3．（24-25九年级下·吉林长春·期中）一个有进水管与出水管的容器，从某时刻开始内只进水不出水，在随后的内既进水又出水，每分的进水量和出水量是两个常数，容器内的水量（单位：L）与时间（单位：）之间的关系如图所示 (1)进水速度为_____________，出水速度为_____________． (2)求时，与的函数关系式． (3)若水量在某一段时间内刚好用6分钟上升了，直接写出这段时间开始时的值． 4．一个有进水管与出水管的容器，从某时刻开始4分钟内只进水不出水，在随后的8分钟内既进水又出水，12分钟后关闭进水管，放空容器中的水，每分钟的进水量和出水量是两个常数．容器内水量（单位：）与时间（单位：）之间的关系如图所示． 请根据相关信息，解答下列问题： （Ⅰ）填表： 时间/min 2 3 4 12 容器内水量/L 10 20 （Ⅱ）填空： ①每分钟进水______升，每分钟出水______升； ②容器中储水量不低于15升的时长是______分钟； （Ⅲ）当时，请直接写出关于的函数解析式． 5．（2026·河北邯郸·一模）有甲、乙两个运输队共同承担了清理运输A、B两个建筑工地施工土方的任务，在规定时间内，甲、乙两个运输队分别可以清运土方20万立方米和30万立方米，当前A、B两个建筑工地需要清运的土方分别是40万立方米和10万立方米，经评估测算，甲、乙两个运输队在A、B两个工地清运土方的单价费用如下表： 单价 运输队 在A工地清运土方费用单价（元/立方米） 在B工地清运土方费用单价（元/立方米） 甲运输队 40 35 乙运输队 38 36 设甲运输队在A工地清运土方x万立方米，清运完成A、B两个工地的土方所需的总费用为y万元． (1)用含x的代数式完成下表（不必化简），并求y与x的函数关系式；（不写自变量x的取值范围） 清运土方 运输队 在A工地清运土方（万立方米） 在B工地清运土方（万立方米） 甲运输队 乙运输队 (2)求总费用y的最大值； (3)在实际清运土方的过程中，甲运输队在A工地使用人工智能设备，使每立方米的清运费用减少a元，但仍高于甲运输队在B工地清运费用的单价，求如何分配甲、乙两个运输队的清运任务，使清理土方的总费用最小． 题型四 利用图表信息解决实际问题 利用表格给出的信息，采用待定系数法求出函数解析式，进而解答实际问题. 1．（25-26八年级下·辽宁大连·期中）综合与实践：音乐与函数的关系． 根据物理学中的振动频率和音调的关系可知．在敲击玻璃杯时，杯中水位高度不同，声音的振动快慢（频率）也不同．如果水位越高，振动越慢，音调越低．如果水位越低，振动越快，音调越高．为了从数学角度理解它们之间的关系，某兴趣小组开展了综合与实践活动，记录如下： 项目主题 用一根竹筷，若干个同种型号的玻璃杯制作水杯琴 项目准备 1．准备一根竹筷，若干个同种型号的玻璃杯，若干自来水； 2．利用手机上网，查阅资料，下载相关软件，了解音乐，物理相关知识． 项目实施 任务一：采集数据 若干个同种型号的玻璃杯中分别装进不同高度的自来水，用筷子分别敲击每个玻璃杯的杯口，同时用测音高的软件测量出频率，记录了玻璃杯不同水位高度对应的振动频率，经记录得到数据如下表： 水位高度 2 5 8 10 12 … 频率 548 500 452 420 388 … 任务二：应用模型 根据表中的数值描点，并用平滑的曲线连接这些点，发现这些点都在同一条直线上，确定f是h的一次函数． 任务三：应用模型 兴趣小组通过查阅资料，列出以下七个音阶与频率对照表． 音阶 Do Re Mi Fa Sol La Si 频率 261.6 293.7 329.6 349.2 392 440 493.9 根据以上信息，解决下列问题： (1)求该玻璃杯的频率f关于水位高度h的函数表达式（不要求写出自变量h的取值范围）； (2)已知玻璃杯中的水量是随水位高度均匀变化的，当玻璃杯中的水位高度为时，所使用的水量为．当水位每升高时，则所使用的水量增加，若用筷子敲击一次玻璃杯的杯口，想发出的音阶为Sol，求应该在玻璃杯中装多少毫升的水． 2．（23-24八年级上·江苏连云港·期末）某学校计划组织全校1441名师生到相关部门规划的林区植树，经过研究，决定租用当地租车公司62辆A，B两种型号客车作为交通工具．下表是租车公司提供给学校有关两种型号客车的载客量和租金信息： 型号 载客量 租金单价 A 30人/辆 380元/辆 B 20人/辆 280元/辆 注：载客量指的是每辆客车最多可载该校师生的人数． (1)设租用A型号客车x辆，租车总费用为y元，求y与x的函数表达式，并写出x的取值范围； (2)若要使租车总费用不超过21940元，一共有几种租车方案？哪种租车方案最省钱？ 3．（2026·江苏连云港·一模）某种直饮机上有温水、开水两个按钮，操作屏示意图如图所示，小明先接温水再接开水，打算接的水，期间不计热损失，利用图中信息解决下列问题： 物理知识：开水和温水混合时会发生热传递，开水放出的热量等于温水吸收的热量（开水体积开水降低的温度温水体积温水升高的温度）． 生活经验：饮水适宜温度是（包括与）． (1)若小明先接温水，则还需再接开水的时间为____； (2)设小明接温水的时间为 ， ①若最终杯子中水的温度是，求的值； ②若要使水杯中水的温度为饮水适宜温度，求的取值范围． 4．（2026·湖北十堰·一模）请你根据下列素材，完成有关任务． 背景 某校计划到某体育用品商店购买篮球、足球和气排球，供更多学生参加体育锻炼，增强身体素质． 素材一 买一个气排球元，买个篮球和一个足球价钱为元，购买个篮球的价格比购买一个足球多花费元． 素材二 该校要购买篮球，足球，气排球共个，且气排球的个数是篮球个数的倍． 素材三 根据学生兴趣需要，篮球不多于个，总花费不超过元． 请完成下列任务： (1)求出篮球和足球的单价． (2)求购买篮球，足球，气排球共花费（元）与购买篮球（个）的函数关系式． (3)制定花费最少的购买方案． 5．（23-24八年级上·四川成都·期末）某通讯公司就手机流量套餐推出A，B，C三种方案（如表），三种方案每月所需的费用y（元）与每月使用的流量x（兆）之间的函数图象如图．结合表格和图象解答下列问题： A方案 B方案 C方案 每月基本费用（元） 20 56 266 每月免费使用流量（兆） 1024 m 无限 超出后每兆收费（元） n n (1)填空：表中m＝ ，n＝ ； (2)在A方案中，当每月使用的流量不少于1024兆时，求每月所需的费用y（元）与每月使用的流量x（兆）之间的函数关系式； (3)在这三种方案中，当每月使用的流量超过多少兆时，选择C方案最划算？ 题型五 实际问题中的分段函数 学习一次函数中的分段函数，通常应注意以下几点： ⑴在解析式和图象上都要反映出自变量的相应取值范围。 ⑵分段函数的图象是由几条线段（或射线）组成的折线. ⑶分析分段函数的图象要结合实际问题背景对图象的意义进行认识和理解,尤其要理解折线中横、纵坐标表示的实际意义. 1．（2026·陕西西安·模拟预测）为响应节约用水号召，西安市自来水公司执行三级阶梯水价制度，具体收费标准如下： 每月用水量（吨） 收费标准（元/吨） 不超过12吨 3.5 超过12吨但不超过20吨的部分 6 超过20吨的部分 8.3 (1)若小滨家一个月用水量为x吨，需缴纳水费y元，求y与x的函数关系式； (2)若小滨家3月份的水费账单为131.5元，求小滨家3月份的用水量． 2．（2026·陕西西安·模拟预测）某公司招聘外卖送餐员进行送餐服务，送餐员的月工资由底薪1500元加上外卖送单补贴（送一次外卖为一单）构成，外卖送单补贴的具体方案如下： 外卖送单数量 补贴（元／单） 每月不超过500单 3.5 超过500单但不超过900单的部分 5 超过900单的部分 8 (1)若某外卖小哥一个月送餐单（），所得工资元，求与的函数关系式． (2)若某外卖小哥2月份的工资总额为5650元，那么他2月份外卖送餐多少单？ 3．（2026·陕西西安·三模）盛夏时节，阎良“南果北种”的红心火龙果进入丰产期，颗颗饱满如红宝石．当地种植基地为方便市民尝鲜，推出同城快递配送服务，按包裹重量(计量单位为千克，不足1千克按1千克计量)实行阶梯计费．具体计费标准如下： 费用档位 包裹重量(单位：千克) 计价方式 第一档 元 第二档 超出千克的部分，元/千克 第三档 超出千克的部分，元/千克 根据以上提供的信息，请你解答下列问题： (1)当时，求配送费(单位：元)与包裹重量之间的函数关系式． (2)某用户购买该基地火龙果，快递配送费用为元，求出该包裹重量是多少千克？ 4．（25-26八年级上·辽宁本溪·期中）为鼓励市民节约资源，某市采用分档计费的方式计算居民的管道天然气费用．下表是家庭人口不超过4人时户年用气量及分档计费标准： 计费档 户年用气量 单价/（元） 第一档 2.73 第二档 3.28 第三档 3.82 (1)当时，求出燃气费（单位：元）与之间的关系式； (2)某户一年用气量是，求该户这一年的燃气费； (3)某户去年一年的燃气费是1311元，求该户去年一年的用气量． 5．（25-26八年级上·浙江台州·期末）为鼓励节约用水，居民生活用水采用阶梯收费．水价分三个等级：第一级为月用水量以下（包括）；第二级为月用水量超过但不超过；第三级为月用水量超过（不包括）．下面是某居民收到的一张2025年7月份的生活用水消费明细（不完整）． 已知该居民6月份和7月份的用水量总和为，且7月份的用水量超过6月份，但不超过6月份的2倍． (1)设该居民7月份的用水量为，求x的取值范围； (2)该居民7月份的生活用水水费最多需要缴纳多少元； (3)若该居民7月份的生活用水水费比6月份多41元，求该居民7月份的用水量． ‘ ’ 题型六 利用一次函数解决最值问题 根据题意求出函数解析式，再利用一次函数增减性得出函数最值是解题关键． 1．（25-26八年级下·山东青岛·期中）最美人间四月天．”在这喧嚣的世界里，鲜花的存在，让人们感受到了春的灿烂与馨香，某个体户购买了玫瑰花，满天星两种鲜花摆摊销售，若购进玫瑰花5束，满天星3束，需要125元；若购进玫瑰花8束，满天星6束，需要224元． (1)求玫瑰花，满天星两种鲜花的进价分别是每束多少元？ (2)若每束玫瑰花的售价为20元，每束满天星的售价为30元．结合市场需求，该个体户决定购进两种鲜花共80束，计划购买成本不超过1369元，且购进满天星的数量不少于玫瑰花数量的．两种鲜花全部销售完时，求销售的最大利润及相应的进货方案． 2．（25-26九年级下·河南周口·月考）某健身房推出蛋白能量包和碳水补给包两种食物套餐．套餐中的蛋白粉、燕麦片和水果的质量如下表（不完整）： 食物套餐 蛋白粉/ 燕麦片/ 水果/ 蛋白能量包 碳水补给包 调研发现：份蛋白能量包中燕麦片与蛋白粉的总质量比份碳水补给包中燕麦片与蛋白粉的总质量多克，且份蛋白能量包和份碳水补给包中燕麦片的总质量为． (1)求每份蛋白能量包和碳水补给包中的燕麦片质量； (2)小凯为自己预订了连续天的运动补给套餐（每天只订一种套餐），为了保证训练需求，要求水果的总质量不高于．小凯应怎样选择这两款套餐，才能使这天的套餐中燕麦片的总质量最少？ 3．（25-26八年级下·北京通州·期中）某公园为了提升服务质量，预购进两类功能不同的机器人A，B共40台．两类机器人因为功能不同，因此价格也不相同．其中A种机器人每台6万元，购买B种机器人所需费用（万元）与购买数量（台）之间存在的函数关系如图所示． (1)求与的函数关系式； (2)在购买计划中，购买B种机器人的数量不超过25台，但不少于A种机器人的台数，请设计购买方案，使总费用最低，并求出最低费用． 4．（25-26九年级下·江苏盐城·期中）随着春季假期到来，研学旅行热潮持续升温，为进一步提升游客体验，让游客更深入感受自然与文化魅力，某景区正着力打造沉浸式旅游新场景，并计划采购一批帐篷．已知购买3个A型号的帐篷和2个B型号的帐篷共需3600元；购买5个A型号的帐篷和4个B型号的帐篷共需6400元． (1)求A，B两种型号的帐篷的单价； (2)据统计，该景区需购买A，B两种型号的帐篷共60个，且A型号的帐篷数量不少于B型号的帐篷数量的．请你设计购买成本最少的方案，并求出该方案的费用． 5.疫情期间，甲、乙两个仓库要向两地运送防疫物资，已知甲仓库可调出吨防疫物资，乙仓库可调出吨防疫物资，地需吨防疫物资，地需吨防疫物资，两仓库到两地的路程和运费如下表： 路程/千米 运送千米所需运费/(元/吨) 甲仓库 乙仓库 甲仓库 乙仓库 地 地 (1)设从甲仓库运往地防疫物资吨，两仓库运往两地的总费用为元，求关于的函数关系式． (2)如何调运才能使总运费最少? 总运费最少是多少? 题型七 利用一次函数解决选择方案问题 方案选择问题首先根据题意分别用函数表达式表示出各自的收费标准，然后列方程、不等式根据一次函数的性质来进行选择最佳的方案即可. 1．（25-26九年级下·河南鹤壁·月考）在日常生活中，打印已经成为社区居民必不可少的事项，为了满足居民需求，给辖区居民带来更多优质服务，很多社区推出了共享打印机自助服务．以下是某社区推出的两种打印机收费方式： 方案A：； 方案B：． 其中，x代表打印的张数（张），y代表打印总费用（元）． (1)如果你是该社区的居民，请你通过计算说明选择哪种方案更省钱？ (2)一居民使用打印总费用为多少元时，选择方案B比方案A多打印了20张． 2．（25-26八年级下·甘肃白银·期中）暑假期间，两位家长计划带领若干名学生到白银旅游，探访黄河石林和火焰山矿山公园，并体验当地非遗文化．他们咨询了两家旅行社，报价均为每人500元（含景区门票及特色活动）． 甲旅行社：两位家长全额收费，学生享受七折优惠． 乙旅行社：全体成员（含家长）均享八折优惠． 请解答以下问题： (1)设学生数为人，甲旅行社收费为元，则函数关系式______； 设学生数为人，乙旅行社收费为元，则函数关系式______． (2)若家长希望学生深入了解白银的生态保护与非遗传承，应如何根据学生人数选择旅行社？通过计算说明理由． 3．（25-26八年级下·河南南阳·期中）小明在观看世界泳联世锦赛后对游泳产生了浓厚的兴趣，计划在假期练习游泳某游泳馆推出了甲、乙两种消费卡，设游泳次数为（次），所需费用为（元），选择这两种卡消费时，与的函数关系如图所示． 根据图象信息，解答下列问题： (1)分别求出甲、乙两种消费卡对应的函数表达式； (2)两图象交点的坐标是_____； (3)请根据游泳次数确定选择哪种卡消费比较合算． 4．（25-26八年级下·山西太原·期中）活动背景：为响应山西省新能源汽车推广政策，落实绿色出行要求，太原市某小区计划为业主安装新能源汽车家用充电桩，提升小区便民服务水平．该小区共有12栋居民楼，预计有名业主申请安装充电桩，且每名业主申请安装1个充电桩，物业拟定了两个安装方案如下： 项目 方案一（第三方合作安装） 方案二（物业自主安装） 费用明细 1．每栋楼统一收取勘测、布线费500元/栋 2．充电桩安装费：50元/个 3．免费提供3年质保服务 1．每栋楼无基础服务费 2．充电桩安装费：35元/个 3．充电桩辅材采购费：20元/个 4．质保服务费：1000元/年（可选，若选择则按年收取，默认签订2年合同） 若小区默认签订2年质保合同，结合上表信息分析，该小区选择哪个方案进行充电桩安装，所需总费用较少？ 5．（2026·山东济宁·二模）金秋时节，硕果飘香，某石榴种植基地采摘了一批优质石榴准备运往某地销售，经测算：用2辆A型车和1辆B型车载满石榴一次可运送100吨；用1辆A型车和2辆B型车载满石榴一次可运送80吨． (1)1辆A型车和1辆B型车都载满石榴一次可分别运送多少吨？ (2)已知这批优质石榴共500吨，计划同时租用A型车和B型车一次运送完．为确保运输效率与安全，要求所有车辆都载满石榴，且A型车数量不超过B型车数量的2倍，若1辆A型车租金1000元/次，1辆B型车租金600元/次，设A型车租用x辆，求租车费用W与x之间的函数关系式，并写出最少租车费用和费用最少时的租车方案． 题型八 利用一次函数解决几何问题 本题考查了动点问题的函数图象,三角形的面积公式等知识．解题关键是深刻理解动点的函数图象，了解图象中关键点所代表的实际意义，理解动点的完整运动过程,学会分类讨论的思想方法． 1．（23-24八年级下·吉林长春·月考）如图1，在矩形中，，，点P从A出发，沿的路线运动，到点D停止；点Q从点D出发，沿路线运动，到点A停止．若点P、Q同时出发，速度分别为每秒，，a秒时，P、Q两点同时改变速度，分别变为每秒，（P、Q两点速度改变后一直保持此速度，直到停止），如图2是的面积s和运动时间x（秒）的图象． (1)求出a值； (2)设点P已行的路程为，点Q还剩的路程为，请分别求出改变速度后，、与x的函数关系式； (3)当P、Q两点都在边上时，若，求x的值． 2．如图，在长方形中，动点从点出发，沿的方向运动至处停止，记点运动的路程为，三角形的面积为，与的关系如图所示，请回答下列问题：    (1)图2中 ， ； (2)分别求出点在线段，和上运动时与的关系式； (3)当三角形的面积为时，求点运动的路程． 3．如图1，在正方形中，O是的中点，P点从A点出发沿的路线移动到D点时停止，出发时以a单位/秒的速度匀速运动；同时Q点从D点出发沿的路线移动到A点时停止，出发时以b单位/秒的速度匀速运动；P、Q点相遇后P点的速度变为c单位/秒，Q点的速度变为d单位/秒运动．图2是线段扫过的面积与时间t的图象，图3是线段扫过的面积与时间t的图象． (1)正方形的边长是__________； (2)求线段扫过的面积与时间t的代数关系式； (3)若在正方形中所夹图形面积S为5，求点P移动的时间t． 4．（23-24八年级下·海南·期中）如图，在长方形中，，、点从出发，沿路线运动，到停止；点的速度为每秒，秒时点改变速度，变为每秒，图是点出发秒后，的面积与秒的关系图象；    (1)当点在上运动时，的面积会_______，点在上运动时，的面积会______，点在上运动时，的面积会________；填“增大”或“减小”或“不变” (2)根据图提供的信息，求出、及图中的值； (3)设点离开点的路程为，请写出动点改变速度后与出发后的运动时间秒的关系式． (4)当点出发后几秒时，的面积是长方形面积的？ 5．如图1，在长方形中，，，点P从点A出发，沿的路线运动，到点D停止；点Q从点D出发，沿的路线运动，到点A停止．若点P，Q同时出发，点P的速度为1cm/s，点Q的速度为3cm/s，运动a秒后，点P，Q同时改变速度，点P的速度变为cm/s，点Q的速度变为cm/s，直到停止．图2是点P出发x秒后，的面积（）与运动时间x（秒）的关系图象；图3是点Q出发x秒后，的面积（）与运动时间x（秒）的关系图象．    (1)根据图象得：______秒，______cm/s，______秒，______cm/s； (2)设点P已行的路程为（cm），点Q还剩的路程为（cm），当时，请分别求出、和运动时间x（s）的关系式； (3)当______时，为等腰三角形． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $